全国初中数学邀请赛试题+答案

2 ，n t ( m n )(m n ) ( m n )
故必有 m n ． 设 m n k ，其中 k 是正整数，则上式可化为 t (2n k )k k n2 ，并可写成 关于 n 的一元二次方程
n2 2ktn tk 2 k 0 ．
①
由于 n 为正整数，故其判别式
2014 年竞赛试题参考答案—成卷
1. C 解：在△ABC 中，若 A 或 B 为直角，则点 C 的坐标分别为 ，或 ； （3， 0） （- 1， 0） 若 C 为直角，则点 C 是以 AB 为直径的圆与 x 轴相切的切点，或者与 y 轴的两交 点之一．因此，满足条件的点 C 的个数为 5． 2．A 解：由于 (a 1)3 ( 2)3 2 ，所以 a3 2 3a2 3a 1 3(a 2 a 1) ，因此
PC PB PO2 r 2 PA2 ，
① ②
QC QB r 2 QO2 ． 1 由条件知， OCQ 90 BOC 90 BAC POQ ， 2 故△OQC∽△PQO，得
QO2 QC QP ．
③
由②③得，
QC PB QC QB QC QP r 2 QO2 QO2 r 2 PO2 PA2 ，
2 x2 3x (k 3) 0 ，
①
当 D = 9 + 8(k + 3) = 0 时， k
33 3 ，此时 x1 x2 满足条件； 8 4
若 x 1 是方程①的根，得 2 12 3 1 (k 3) 0 ，故 k 4 ．此时方程①的
1 1 另一个根为 ，故原方程只有一个根 x ； 2 2 k 3 当方程①有异号实根时， x1 x2 0 ，得 k 3 ，此时原方程只有一个 2
8. 111 解： 由 x y 2 y x2 ， 可得 ( x y)( x y 1) 0 ． 因为 x y ， 所以 x y 1 0 ． 将 y ( x 1) 代入原方程可得
1 3 a ( x 2 x 1) x ， 10 x 10. 2 4
D = (- 2kt )2 - 4(- tk 2 - k ) = 4k (t (t + 1)k + 1)
是完全平方数，即 k [t (t + 1)k + 1]是完全平方数． 又因为 (k , t (t + 1)k + 1) = (k , 1) = 1 ，所以 k 和 t (t + 1)k + 1 均是完全平方数， 这样 m n k 是完全平方数． （2）设 k = x 2 , t (t + 1)k + 1 = y 2 ，其中 x, y 是正整数，则有
AE AB 2 BE 2 1 (1 a)2 ，
由 AE EF 知， 1 (1 a)2 2a ． 上式两边平方并整理，得 a 2 2a 2 0 ．又 a 0 ，故 a 3 1 ．因此 3 3 3 SD AEF = EF 2 = ?( 2a)2 ?( 3 1) 2 = 2 3 - 3 ． 4 4 2
3
y 0, x 0 ．
在菱形 ABCD 中，由 AB AD 知，
AB 2 AD2 x 2 (1 y)2 ， 1 化简得 x 2 4 y ，即 y x 2 ( x 0) ． 4
1 ( y)
2
（2）设 P ( x, y) ，则以 PQ 为直径的圆的圆
由题意知 a 20 a 200 a 214 a 1800 a ，解得 793 a 10 ． 10. 93
解：设此方程的两个解分别为 m, n ，则 m n a, mn b ．不妨设 m 为正整 数，则 n a m 为整数，且 n
b 0 ，因此 n 也是正整数． m
a b 20, a c 200, d e 2014, c e 2000 ．
2
依次解得
b 20 a ， c 200 a ，
e 2000 c 2000 (200 a) 1800 a ， d 2014 e 2014 (1800 a) 214 a ．
5
显然 1 不是此方程的解，那么 m 1, n ห้องสมุดไป่ตู้1 也是正整数．由于
(m 1)(n 1) mn (m n) 1 b a 1 2014 ，
而 2014 2 19 53 ，故当 m 1, n 1分别为 38, 53 时，其和最小． 注意到 a m n (m 1) (n 1) 2 ，故 a 的最小值为 38 53 2 93 ． 11. 解：原方程可化为
3
a3 a 4 a3 (1 a) a3 3． a3 1 (a 1)(a 2 a 1) a 2 a 1
3. D
解：若 0 90 ，则赛车的轨迹构成一个外角为 、边长为 1 米的正五 边形，于是 360 5 72 ． 若 90 180 ，则赛车的轨迹是对角线长为 1 米的正五边形中，对角线 首尾相连而成的五角星形，所以 2 72 144 ．
2 x 2 y t 2 y t 4 t m 2 2 2
4 y ( y t )2 ( y t 2m)2
． ( 4 m 4 t 4 y ) m 4 t 24 m 因为弦长 EF 为定值，即上式值不随 y 的变化而改变，所以 4 4m 4t 0 ， 即 m t 1 ． 此时， EF 2 4m (t m) 4(t 1) ，当且仅当 t 1 0 ，即 t 1 时，弦长 EF 具 有确定的正值 2 t 1 ． 因此，所求 t 的取值范围是 t 1 ． 13. 解：如图，设⊙ O 的半径为 r ，连接 OB ， OC ．由圆幂定理得，
2
当 x 10 时， a 有最小值，最小值为 （ 102 10 1 ） 111 ． 9. 793 a 10 解：设这 5 个数从小到大分别为 a, b, c, d , e ，则在它们两两求和的 10 个值 中，最小的两个依次为 a b, a c ，最大的两个依次为 d e, c e ，从而
正实根； 当方程①有一个根为 0 时， k 3 ，另一个根为 x 个正实根． 综上所述，满足条件的 k 的取值范围是 k
33 ，或 k 4 ，或 k 3 ． 8 3 ，此时原方程只有一 2
12. 解： （1）如图，因为点 A (0, 1) ， D ( x, y) ，点 B 在 y 轴负半轴上，四边 形 ABCD 是菱形，其对角线交点 M 的纵坐标为 0 ，所以点 B (0, y) ，这里
4.
B
解：将每个正整数 m 的各位数字之和记为 S (m) ． 若正整数 n 满足条件，则 S (10n) S (n) S (5n) S (5n) ，这表明 5n 和 5n 相加
5n 5n 时， 不出现进位． 由于 5n 的末位数字为 0 或 5 ， 而当 5n 的末位数字为 5 时，
3
6.
4
解： 由已知得， 所以 x y 2 ， ( x y)3 x3 y3 3xy( x y) 26 3 ( 6) 8 ， 于是 xy 3 ， x y ( x y)2 4 xy 22 4 (3) 4 ．
7. 2 3 3 解：如图，因为 AE AF , AB AD, ABE ADF 90 ， 所以△ABE≌△ADF，于是 BE DF ， EC FC ． 设 EC FC a ，则 EF 2a ， BE 1 a ． 在 Rt△ABE 中，由勾股定理可得
的个位就出现了进位，于是 5n 的末位数字为 0 ，因此 n 只可能是偶数． 另外，这样的 n 的确存在，如 n 22 2 ，此时 S (n) 2014 ，而 5n 11 10 ，
1007 个
1007 个
使得 S (5n) 1007 ．
5.
C 知，a b 4 的概率为
3 ； 62
1 1 3 2 2 3 1 解： 若a 4， 则概率为 ； 由4 6
由 4 1 1 2 1 2 1 2 1 1知，a b c 4 的概率为 则只能是 a b c d 1，概率为
1 ． 64
1
3 ；若 a b c d 4 ， 63
t (t 1) x2 1 y 2 ．
当 x 2 时，上述方程左边是 4t (t 1) 1 ，恰为完全平方数 (2t 1)2 ，故对任 意正整数 t ，该方程总有解 ( x, y) (2, 2t 1) ． 此时 k x2 4 ，方程①即为 n2 8tn 16t 4 0 ，其正整数解 n 8t 2 ，从 而可得 m 8t 6 ． 经验证，对每个给定的正整数 t ， m 8t 6, n 8t 2 都满足原方程．
结合①，可知
4
QC QC PB PO 2 PA2 ， PC PC PB PA2
注意到
PO t ，从而 PA
PQ QC PC PO 2 PA2 PO 2 PO 1 1 2． 2 2 PC PC PA PA PA t
2
14. 证明： （1）由于 m, n, t 均为正整数，而原方程等价于
x yt 心为 O , ． 2 2
设满足条件的直线 l 存在，其解析式为 y m ， l 被圆 O 截得的弦为 EF ，连 接 OE ，过点 O 作 OH EF ，垂足为 H ，则 EF 2EH ，所以
2 2 E F2 4 E H 4 ( O 2E O 2H ) 4 ( O2 Q O ) H