Strongart数学笔记：代数几何概型学习指南

Hartshorne代数几何概型部分学习指南(2014-04-1614:30:14)

在Hartshorne的著名教科书《代数几何》中，有这样一段话“对于代数几何来说，毋庸置疑，概型的引入是一种革命，给代数几何带来了巨大的进步。但是，跟概型打交道的人们必须背负相当沉重的技术包袱，例如层、Abel范畴、上同调、谱序列等等”，同时他的代数几何教科书只能说是瑕瑜互见，使得很多初学者对于代数几何的概型理论望而生畏，下面Strongart教授就来科普一下代数几何中概型理论。约定：本文中的环指含有单位元1的交换环，k表示特征为零的域，必要时就作为基域。

首先，我们遇到的第一个障碍就是层（sheaf），实际上层这个概念并不难理解，但很多书都在预层与层之间做技术性讨论，就好比是学微积分之前就先钻研点集拓扑，自然会让初学者感觉一头雾水。实际上，层就是在拓扑空间的开集族上定义的到Abel群（或其他良好代数对象）的映射，可以视为拓扑流形上连续函数的公理化，后者不但说明了层这个概念的直观来源，同时还反映从局部性质到整体行为的基本目的，代数几何中对应的“拓扑流形”是交换环的局部环层空间（ringedspace）.所谓环层空间，就是指拓扑空间X与其上的环层O_X组成的对(X,O_X)，其中O_X就是X上的结构层。假若O_X在各个茎上是局部环，那么它就称为局部环层空间。给定一个交换环R，其局部环层空间就是取X=SpecR，其环层由交换环R的素谱SpecR上给定，在各个茎上由环的局部化给出，这样对应的(SpecR,O_SpecR)又称为仿射概型，它在概型上起到了类似流形上坐标卡的作用。X是概型，就是指局部环层空间，即对任何x∈X，存在X的邻域U，使得（U，O_U）同构于仿射概型。概型之间的态射可以通过局部环层空间的态射定义。环层空间的态射f：（X，O_X）→（Y，O_Y）则是包含着两个要求：首先f：X→Y是环同态；其次是环层映射f#：O_Y→f*O_X，它满足对任何x∈X，y=f(x)，则f#在各茎上诱导局部环之间的同态f_x：（O_(Y,y)，M_y)→（O_(X,x)，M_x).

下面我们看概型的若干性质，它们大都来自于环的代数或（Krull）拓扑。来自于代数的概念有：概型（X，O_X）是既约的（或整的），若对X的任何开集U，O_X（U）是既约环（或整环）；来自于拓扑的概念有：概型（X，O_X）是不可约的，若X是不可约的。我们有概型是整的iff它是约化的且不可约的。这个命题可以直观的理解为：无零因子iff无aa=0型因子且无ab=0型因子。拓扑空间是Noether的，若它满足闭集的降链条件，它使得Noether概型只有有限多个不可约分支。概型（X，O_X）是Noether的，若它由有限个仿射开集U_i=SpecA_i组成的开覆盖，其中各A_i是Noether环。仿射概型X=SpecR是Noether的iffR是Noether的，这正好是Noether概型的降链条件与Noether环的升链条件之间的转化。一般情况下，Noether概型的底拓扑空间是Noether的，但反之不然，非Noether环也可能有Noether的仿射概型。典型的例子是R=k[x_1,x_2,…]/((x_1)^2,(x_2)^2,…）的仿射概型只有一点极大理想（x_1,x_2,…），但它却不是Noether环，这里的非Noether性是通过根基引入的。此外，在赋值维数＞1的赋值环都不是Noether的，但由于赋值环的谱是全序的，它所对应的仿射概型一定是Noether的。约定：下文中的概型若无特殊声明，均为Noether概型。

拓扑空间X的Krull维数指使得X的不同不可约闭子集链Z_0≤Z_1≤…≤Z_n的最大的n.概型（X，O_X）的维数就是指其底拓扑空间的维数。对于仿射概型而言，它是维数就是对应环的Krull维数。遗憾的是，概型维数的良好性质在一般只在域上的有限整概型中得到保持，超过这个范围就会出现一些奇怪的现象。比如令R是剩余域为k的DVR，其极大理想m=(u)，那么在概型X=SpecR[t]内就存在开集U=SpecR[t]_(u)，使得2=dimX≠dimU=1，这里的维数损失源于交换环的局部化。从概型的拓扑空间，我们可以得到开子概型与闭子概型的概念。开子概型相对比较简单，就是把概型的拓扑空间与结构层限制在开集上。而概型Y是概型X的闭子概型，要求拓扑空间Y是X的闭子集，同时自然包含映射i：Y→X在X上的层诱导映射i#：O_X→i*O_Y是满的。若f：Y→X诱导出Y与X上闭子概型的同构，则f称为闭浸没。对X=Spec（R），I是R的理想，我们知道Spec(R/I)与包含I的素理想集V（I）一一对应，它可以由商映射R→R/I诱导，同时使得Spec(R/I)是Spec(R)的闭子概型。比开与闭子概型更一般的结构，就是所谓概型上的概型。给定概型S，那么概型X与态射X→S称为S上的概型。若X→S与Y→S都是S上的概型，那么我们有X与Y在范畴意义下的纤维积X×_(S)Y→S。在仿射的情形下，纤维积对应于环的张量积，即若X=SpecA，Y=SpexB，S=SpecR，则X×_(S)Y=Spec（A⊙_(R)B）.概型的态射f：Y→S称为闭的，若f（Y）在S内的闭的。若对任何基态射X→S，对应的纤维积映射X×_(S)Y→S都是闭的，则f称为万有闭的。显然，万有闭态射一定是闭的，但反之不然，我们有著名的“双曲线反例”，就是说A^1映到一点{x}的态射是闭但不是万有闭的，这是因为投影A^1×_(k)A^1→{x}×A^1≌A^1就不是闭的，其闭集xy=1的像不是闭集。后面我们还会看到，这个例子实际上说明了有限型分离态射可以不是本征态射（propermorphism）。

下面我们看概型之间的态射，很多不同态射都有类似的典型性质，对此我们可以做一个系统的总结。由此出发，我们定义P是概型的好态射，若它满足：1）闭浸没满足P2）P在复合下稳定3）P在基替换下稳定在[2]的习题4.8说明了，好性质P还满足：4）P在纤维积之下稳定5）设f：X→Y，g：Y→Z是态射，其中g是分离的，若f·g满足P，则f满足P.6）若f：X→Y有性质P，则对应约化概型的约化态射f_red：X_red→Y_red也有性质P.典型的好态射家族包括有限态射、分离态射、本征态射和射影态射，其基本关系可见下图：首先就是有限态射，概型的态射f：（X，O_X）→（Y，O_Y）称为有限型的，若Y有仿射开子集{U_i=SpecA_i}覆盖，使得对任何i，f^(-1)（U_i)有有限个X的仿射开子集{SpecB_ij}覆盖，其中B_ij是有限生成的A_i-代数。概型的态射f：（X，O_X）→（Y，O_Y）称为有限的，若Y有仿射开子集{U_i=SpecA_i}覆盖，使得对任何i，f^(-1)（U_i)=SpecB_i是仿射的，其中各B_i是有限A_i-模。显然，概型的有限态射一定是有限型态射，但反之未必。设k是域，则自然包含k→k[X_1，…,X_n]诱导的概型态射A^n(k)→Speck对n≥1就是有限型的，但不是有限的。这个例子是非常典型的，它通过“维数平移”来破坏有限性条件，但可以最大限度的保持其他性质，同时它还说明了一般由多项式的零点定义出来的概型都是有限型的，有的书（比如[3])上干脆就把有限性的概型称为代数概型。要找非有限型的例子，可以把视野拓展到有理函数域内，比如自然包含k[t]→k(t)所诱导的概型态射就不是有限型的，这是因为有理函数域k(t)在k[t]上不是有限生成的。概型的态射X→S称为分离的，若对角态射X→X×_(S)X是闭浸没。这个定义的基础是点集拓扑中的一个结论，X是Hausdorff空间iff对角映射X→X×X的闭的。分离态射有个相当重要的性质，若f：X→SpecA的分离态射，其中A是某交换环，则对X的任何仿射开子集U与V，U∩V是仿射的。与分离态射相关的概念是分离概型，若有概型的分离态射X→S，就称X在S上分离，当S=SpecZ时，就称X是分离概型。非分离态射的典型例子可以通过“双原点（仿射）直线”来构造。所谓双原点直线，就是把概型X=Y=A^1沿开集U=V=A^1-{P}的粘合，其中P是与极大理想对应的点。概型的态射f：（X，O_X）→（Y，O_Y）称为仿射的，若Y有仿射开子集{U_i=SpecA_i}覆盖，使得对任何i，f^(-1)（U_i)是仿射的。显然，有限态射一定是仿射的，而仿射态射一定是分离的，因此有限态射也是分离的。我们容易得到，当X是k上的双原点仿射直线时，X→k就不是分离态射，但它却是仿射的。对于概型的分离态射，我们有专门的赋值判别法：设f：X→S是态射，其中X是Noether的，则f是分离的iff对任何商环为K的赋值环R与态射h：SpecR→S与任何态射g：SpecK→X，使得f·g=h·i，其中i：SpecX→SpecR由自然包含诱导，则存在最多一个g的扩张态射g~：SpecR→X，使得g~提升g.这样的分离性判别法主要是为了避免出现类似“双原点直线”的情形。下面我们自然要问，什么时候这样的提升唯一存在呢？由此可以引入本征态射的概念，它被定义为分离的有限型万有闭态射。综合前面的讨论，可以得到有限态射一定是本征的。在上面分离态射赋值判别的基础上，假若f还是有限型的，则f是本征的iff这样的提升g~唯一存在。利用这个本征态射赋值判别法，可以得到f：P^n(A)→SpecA是本征态射，其中P^n(A)可以理解为P^n(SpecA)，它是射影空间P^n与仿射概型SpecA在SpecZ上的纤维积，称为概型SpecA（或环A）上的射影n-空间。一般而言，概型S上的射影n-空间P^n（S），定义为射影空间P^n与概型S在SpecZ上的纤维积。态射f：X→S是射影的，若存在闭嵌入i：X→P^n(S)，使得f=p·i，其中p：P^n(S)→S由