第二章自动控制原理控制系统的数学模型
合集下载
自动控制原理 控制系统的数学模型
s3
3)
s(s
1)2 (s
3)
c2 t r 1et (r 1)!
1 tet 2
c1 3 et
(s 1)
4
c3 2
s
3
c4 1 e3t (s 3) 12
f (t) 2 1 et (t 3) 1 e3t
s j
F(s)化成下列因式分解形式：
F (s) B(s) k(s z1)(s z2 ) (s zm ) A(s) (s s1)(s s2 ) (s sn )
◆F(s)中具有单极点时，可展开为
F (s) c1 c2 cn
s s1 s s2
4）积分定理：
L[
f
(t )dt ]
1 s
F (s)
5）初值定理：
若函数 f(t) 及其一阶导数都是可拉氏变换的，则函数 f(t)
的初值为
f
(0
)
lim
t 0
f (t) lim sF (s) s
6）终值定理：
若函数 f(t) 及其一阶导数都是可拉氏变换的，sF(s)在包含虚
轴的右半平面内无极点，则函数 f(t) 的终值为
20
5.非线性元件(环节)微分方程的线性化
经典控制领域，主要研究线性定常控制系统
线性定常系统：描述系统的数学模型是线性常系数的微分 方程。可以应用叠加原理，即系统的总输出可以由若干个输入 引起的输出叠加得到。
对于非线性方程，可在工作点附近用泰勒级数展开，取
前面的线性项，得到等效的线性环节。
y
设具有连续变化的非线性函数:y=f(x)
输入（充分激励）
3)
s(s
1)2 (s
3)
c2 t r 1et (r 1)!
1 tet 2
c1 3 et
(s 1)
4
c3 2
s
3
c4 1 e3t (s 3) 12
f (t) 2 1 et (t 3) 1 e3t
s j
F(s)化成下列因式分解形式：
F (s) B(s) k(s z1)(s z2 ) (s zm ) A(s) (s s1)(s s2 ) (s sn )
◆F(s)中具有单极点时，可展开为
F (s) c1 c2 cn
s s1 s s2
4）积分定理：
L[
f
(t )dt ]
1 s
F (s)
5）初值定理：
若函数 f(t) 及其一阶导数都是可拉氏变换的，则函数 f(t)
的初值为
f
(0
)
lim
t 0
f (t) lim sF (s) s
6）终值定理：
若函数 f(t) 及其一阶导数都是可拉氏变换的，sF(s)在包含虚
轴的右半平面内无极点，则函数 f(t) 的终值为
20
5.非线性元件(环节)微分方程的线性化
经典控制领域，主要研究线性定常控制系统
线性定常系统：描述系统的数学模型是线性常系数的微分 方程。可以应用叠加原理，即系统的总输出可以由若干个输入 引起的输出叠加得到。
对于非线性方程，可在工作点附近用泰勒级数展开，取
前面的线性项，得到等效的线性环节。
y
设具有连续变化的非线性函数:y=f(x)
输入（充分激励）
自动控制原理-第二章-控制系统的数学模型—结构图-信号流图-传递函数
（1）单位脉冲 （2）单位阶跃 （3）单位斜坡 （4）单位加速度 （5）指数函数 （6）正弦函数 （7）余弦函数
f (t)
(t)
1(t )
t t2 2
e at
sin t cos t
F (s)
1
1s 1 s2 1 s3
1 (s a)
(s2 2) s (s2 2)
2.2 线性定常微分方程的求解 拉普拉斯反变换：部分分式展开法
时域 差分方程
解析式模型
状态方程
复域
传递函数 结构图-信号流图
图模型
频域 频率特性
数学模型是一个反应变量之间关系的表达式，在不同的域中有不同的表现形式！
1.引言
解析法：依据系统及元件各变量之间所遵循的物理、化学定律列写出变量间的数学表 达式，并实验验证。
实验法：对系统或元件输入一定形式的信号（例如阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信 号等），根据系统或元件的输出响应，经过数据处理而辨识出系统的数学模型。
k 1 v n1
s
l 1 n2
(Ti s 1)
(T
2 j
s2
2Tj
s
1)
i 1
j 1
适用于 频域分
析
3.2 传递函数的基本概念 传递函数的标准形式
K：增益
K*=根轨迹增益
K与K*的关系:
两者关系
m
zj
K K*
j 1 n
pi
i 1
3.3 典型环节及其传递函数
一个传递函数可以分解为若干个基本因子的乘积，每个基本因子就称为典型环节。常见 的几种形式有：
Y (s)
R(s)
Y (s)
f (t)
(t)
1(t )
t t2 2
e at
sin t cos t
F (s)
1
1s 1 s2 1 s3
1 (s a)
(s2 2) s (s2 2)
2.2 线性定常微分方程的求解 拉普拉斯反变换：部分分式展开法
时域 差分方程
解析式模型
状态方程
复域
传递函数 结构图-信号流图
图模型
频域 频率特性
数学模型是一个反应变量之间关系的表达式，在不同的域中有不同的表现形式！
1.引言
解析法：依据系统及元件各变量之间所遵循的物理、化学定律列写出变量间的数学表 达式，并实验验证。
实验法：对系统或元件输入一定形式的信号（例如阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信 号等），根据系统或元件的输出响应，经过数据处理而辨识出系统的数学模型。
k 1 v n1
s
l 1 n2
(Ti s 1)
(T
2 j
s2
2Tj
s
1)
i 1
j 1
适用于 频域分
析
3.2 传递函数的基本概念 传递函数的标准形式
K：增益
K*=根轨迹增益
K与K*的关系:
两者关系
m
zj
K K*
j 1 n
pi
i 1
3.3 典型环节及其传递函数
一个传递函数可以分解为若干个基本因子的乘积，每个基本因子就称为典型环节。常见 的几种形式有：
Y (s)
R(s)
Y (s)
自动控制原理_第二章
Gk ( s) G ( s) H ( s)
B( s) G1 ( s)G2 ( s) H ( s) E ( s)
注意：这里的开环传递函数是针对闭环系统而言的，而不是指开环系 统的传递函数。
解：首先对小车进行受力分析，在水平方向应 用牛顿第二定律可写出：
dy(t ) d 2 y (t ) F (t ) f Ky (t ) m dt dt 2
令
2
T
m f , 可得 K 2 mK
图2 弹簧-质量-阻尼器系统图
d 2 y( t ) dy(t ) F (t ) T 2 T y ( t ) dt 2 dt K
用解析法列写系统或元部件微分方程的一般步骤是：
（1）根据系统的具体工作情况，确定系统或元部件的输
入、输出变量；
（2）从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各变量 所遵循的物理（或化学）定律，列写出各元部件的动态方程， 一般为微分方程组； （3）消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方程； （4）将微分方程标准化。即将与输入有关的各项放在等 号右侧，与输出有关的各项放在等号左侧，并按降幂排列。
以工作点处的切线代替曲线，得到变量在工作点的增量方程， 经上述处理后，输出与输入之间就成为线性关系。
二、复频域模型 – 传递函数
（1）利用时域卷积获得：
如果已知系统单位脉冲响应为g(t),则任意输入r(t)的响应输出c(t):
c( t )
r ( ) g(t )d
c(t ) r ( ) g(t )d
0 t
考虑到物理可实现性，上式改为： 对上式做拉氏变换得：
C ( s) R( s)G( s) G( s)
C ( s) R( s )
自动控制原理：第二章 控制系统数学模型
TaTLma KJe K
dMdML m dtdt
L
Tm
Ra J K eKm
——机电时间常数(秒)；
Ta
La Ra
—电动机电枢回路时间常数 (秒)
若输出为电动机的转角q ，则有
TaTm
d 3q
dt 3
Tm
d 2q
dt 2
dq
dt
1 Ke
ua
Tm J
ML
TaTm J
dM L dt
—— 三阶线性定常微分方程 9
扰动输入为负载转矩ML。 （1）列各元件方程式。电动机方程式为：
TaTm
d 2w
dt 2
测输T速Km出发td为d电wt电测压机速w 反 K馈1e系ua数
Tm J
M反L馈 电TaJT压m
dM L dt
ua Kae ut Ktw e ur ut 12
（2）消去中间变量。从以上各式中消去中间变
量ua，e，ut，最后得到系统的微分方程式
y = Kx
式中， K f 'x0 是比例系数，它是函数f(x)在A点
的切线斜率。
18
对于有两个自变量x1,x2的非线性函数f(x1,x2)，同样 可以工作在某工作点(x10,x20)附近进行线性化。
这种小偏差线性化对控制系统大多数工作状态是可 行的。事实上，自动控制系统在正常情况下都处于 一个稳定的工作状态，即平衡状态，这时被控量与 期望值保持一直，控制系统也不进行控制动作。一 旦被控量偏离期望值产生偏差时，控制系统便开始 控制动作，以便减小这个偏差。因此控制系统中被 控量的偏差一般不会很大，只是“小偏差”。
RC传网0 递络函的数阶G跃(响s)确应立曲了线t 电路输入
自动控制原理-第二章 控制系统的数学模型
dn dtn f ( t )
t
f (t)dt 0
t
f ( )d
n
ki .L[ f (t )]
i 1
sF (s) f (0 )
s2F (s) sf (0 ) f (0 )
snF (s) sn1 f (0 ) sn2 f (0 ) f (n1) (0 )
电枢回路方程为
La
dia (t) dt
Raia (t)
Ea (t)
ua (t)
电磁转矩方程 M m Cmia (t)
电动机轴上转矩平衡方程
Jm
dm (t)
dt
fmm (t)
Mm
MC
(t)
若以角速度 m 为输出量、电枢电压 ua 为输入量，
消去中间变量，直流电动机的微分方程为
(s2+s+1)Uc(s)= Ur(s)+0.1(s+2)
即 U S 1 U S 0.1S 2
C
S2 S 1 r
S2 S 1
通电瞬间, ur(t)=1 或 Ur(s)=L[ur(t)]=1/S
故 U S 1 1 0.1S 2
C
S2 S 1 S S2 S 1
再对上式两边求反拉氏变换：
u c
t
L1 U C
S
L1
S
2
1 S
1
1 S
S
2
1 S
1
=1+1.15e-0.5tSin(0.866t-120°)+ 0.2e-0.5tSin(0.866t+30°)
t
f (t)dt 0
t
f ( )d
n
ki .L[ f (t )]
i 1
sF (s) f (0 )
s2F (s) sf (0 ) f (0 )
snF (s) sn1 f (0 ) sn2 f (0 ) f (n1) (0 )
电枢回路方程为
La
dia (t) dt
Raia (t)
Ea (t)
ua (t)
电磁转矩方程 M m Cmia (t)
电动机轴上转矩平衡方程
Jm
dm (t)
dt
fmm (t)
Mm
MC
(t)
若以角速度 m 为输出量、电枢电压 ua 为输入量，
消去中间变量，直流电动机的微分方程为
(s2+s+1)Uc(s)= Ur(s)+0.1(s+2)
即 U S 1 U S 0.1S 2
C
S2 S 1 r
S2 S 1
通电瞬间, ur(t)=1 或 Ur(s)=L[ur(t)]=1/S
故 U S 1 1 0.1S 2
C
S2 S 1 S S2 S 1
再对上式两边求反拉氏变换：
u c
t
L1 U C
S
L1
S
2
1 S
1
1 S
S
2
1 S
1
=1+1.15e-0.5tSin(0.866t-120°)+ 0.2e-0.5tSin(0.866t+30°)
自动控制原理第二章自动控制原理控制系统的数学模型
第二章 控制系统的数学模型2-1 控制系统的时域模型一、建立系统微分方程的基本步骤(P23，第二自然段)：⑴ 分析系统工作原理、各变量之间的关系，确立系统的输入变量和输出变量； ⑵ 依据支配系统工作的基本规律，逐个列写出各元件的微分方程；⑶ 消去中间变量，列写出只含有输入和输出变量以及它们的各阶导数的微分方程； ⑷ 将方程写成规范形式。
例2-1：系统输入i u ，输出o u ；从输入到输出顺序列写各元件方程， td id Lu L =，i R u R =，⎰=t id C u o 1，及o R L i u u u u ++=利用输出电压与回路电流的关系消去中间变量，t d u d C i o =，22t d u d C t d id o =；o o o i u t d u d RC td u d LC u ++=22 写成规范的微分方程(标准形式)：i o o o u u td u d RC t d u d LC =++2；或 i o u u p T p T =++)1(221，其中LC T =1，RC T =2，t d dp =。
“系统初始条件均为零”是指在零时刻以前系统的输入和输出及他们的各阶导数均为零。
在复数域，复变量s 对应微分算子，而s /1对应积分运算。
“输出对输入的响应” 是指，初始条件为零时，系统输出的运动情况。
因此，可以直接列写控制系统在复数域的方程。
就本例而言有：)()(s sI L s U L =，)()(s I R s U R =，)(1)(s I sC s U o =，及 )()()()(s U s U s U s U o R L i ++=； 消去中间变量)()(s U s C s I o ⋅=，得()()1(221U s U s T s T i o =++例2-2：系统输入F ，输出x ；力平衡方程：)()()()(2s X K s f s F s X ms +-=；整理得，)()()(2s F s X K s f ms =++。
自动控制原理第2章
略去高次项，
yy0 dfd(IT
第2章第20页
② 两个自变量
y=f(r1， r2)
静态工作点： y0=f(r10， r20)
在y0=f(r10， r20) 附近展开成泰勒级数，即
y
f
(r10,r20)rf1
(r1
r10)rf2
(r2
r20)
EXIT
第2章第14页
2.1.3 机电系统
图示为一他激直流电动机。 +
图中，ω为电动机角速度
（ rad/s ） ， Mc 为 折 算 到 电 ua 动机轴上的总负载力矩 _
（ N·m ） ， ua 为 电 枢 电 压 + （V）。设激磁电流恒定，
并忽略电枢反应。
_
ia La
ea Ra
Mc
负载
取得u: a为给定输入量， ω为输出量，Mc为扰动量，忽略电枢电感，
• 传递函数是在拉氏变换基础之上引入的描述线性定常系统或 元件输入、输出关系的函数。它是和微分方程一一对应的一 种数学模型，它能方便地分析系统或元件结构参数对系统响 应的影响。
EXIT
第2章第26页
1. 定义 零初始条件下，线性定常系统输出量的拉氏变
换与输入量的拉氏变换之比，称为该系统的传递函 数，记为G(s)，即：
例 一个由弹簧-质量-阻尼器组成 的机械平移系统如图所示。m为物 体质量，k为弹簧系数，f 为粘性 阻尼系数，外力F(t)为输入量，位 移x(t)为输出量。列写系统的运动 方程。
F
k
m x
EXIT
第2章第10页
解 在物体受外力F的作用下，质量m相对于初始状态的位移、速 度、加速度分别为x、dx/dt、d2x/dt2 。设外作用力F为输入量，位 移 x 为输出量。根据弹簧、质量、阻尼器上力与位移、速度的关 系和牛顿第二定律，可列出作用在上的力和加速度之间的关系为
自动控制原理第2章
传递函数是在拉氏变换基础上的复域中的数学模型。
※传递函数不仅可以表征系统的动态特性，而且可以
用来研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响。
微分方程 t （时域）
L
L
1
F
F 1
系统
传递函数
s j
j
频率特性
s
（复域）
s
（频域）
2.3.1拉氏变换相关知识
2.3.2传递函数的定义
线性定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换
②两个自变量： y=f(x1， x2) 静态工作点： y0=f(x10， x20) 在y0=f(x10， x20) 附近展开成泰勒级数，即
f 1 2 f f 2 f 2 f 2 ( x1 x10 ) 2 y f ( x10 , x20 ) ( x1 x10 ) ( x2 x20 ) ( x1 x10 )(x2 x20 ) 2 ( x2 x20 ) 2 x 2! x x2 x1x2 x2 1 1
例2.5试建立如图2.4所示系 统的微分方程。
R1
解：根据克希霍夫电压定律， 可写出下列方程组
u1
R2
ur
i1
C1 图2.4
i2
C2
uc
1 ur R1i1 C (i1 i2 )dt 1 1 1 (i1 i2 )dt R2i2 i2 dt C2 C1 1 uc i2 dt C2
用台劳级数展开为
df ( x) 1 d 2 f ( x) y f ( x) f ( x0 ) ( ) x 0 ( x x0 ) ( ) x 0 ( x x0 ) 2 ... dx 2! dx 2
※传递函数不仅可以表征系统的动态特性，而且可以
用来研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响。
微分方程 t （时域）
L
L
1
F
F 1
系统
传递函数
s j
j
频率特性
s
（复域）
s
（频域）
2.3.1拉氏变换相关知识
2.3.2传递函数的定义
线性定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换
②两个自变量： y=f(x1， x2) 静态工作点： y0=f(x10， x20) 在y0=f(x10， x20) 附近展开成泰勒级数，即
f 1 2 f f 2 f 2 f 2 ( x1 x10 ) 2 y f ( x10 , x20 ) ( x1 x10 ) ( x2 x20 ) ( x1 x10 )(x2 x20 ) 2 ( x2 x20 ) 2 x 2! x x2 x1x2 x2 1 1
例2.5试建立如图2.4所示系 统的微分方程。
R1
解：根据克希霍夫电压定律， 可写出下列方程组
u1
R2
ur
i1
C1 图2.4
i2
C2
uc
1 ur R1i1 C (i1 i2 )dt 1 1 1 (i1 i2 )dt R2i2 i2 dt C2 C1 1 uc i2 dt C2
用台劳级数展开为
df ( x) 1 d 2 f ( x) y f ( x) f ( x0 ) ( ) x 0 ( x x0 ) ( ) x 0 ( x x0 ) 2 ... dx 2! dx 2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
入，可根据其输出，确定其传递函数。
5. 系统传递函数是系统单位脉冲响应g(t)的拉氏变
换L[g(t)]。
c(t ) H (t )r (t ) g (t ) H (t ) (t )
t
系统建模依据
c(t ) g ( ) (t )d
2013年6月8日星期六
0
第2章第17页共119页
（2-29）
2013年6月8日星期六
第2章第24页共119页
式中
——比例系数,是随工作点A（x0，y0) 不同而不同的常数
U c1 R2i2 U c 2
(1) (3)
U1 R1i1 R2i2 U c2
2013年6月8日星期六
第2章第9页共119页
UU c 2R2 i UU c 2 c1 1 R i 2 2 c 2
(3) (3)
dU 2 i2 C 2 dt
d dU 2 dU 2 R1[C1 ( R2i2 U 2 ) C2 ] R2C2 U2 dt dt dt 2 d U2 dU 2 dU 2 dU 2 R1C1R2C2 2 R1C1 R1C2 R2C2 U2 dt dt dt dt
整理得：
d U2 dU 2 R1R2C1C2 2 ( R1C1 R1C2 R2C2 ) U 2 U1 dt dt
这就是RC四端网络的数学模型，为二阶线
2
性常微分方程。
2013年6月8日星期六 第2章第10页共119页
第二节线性系统的输入—输出传递函数描述
一、传递函数 定义：线性定常系统的传递函数，定义为 零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入 量的拉氏变换之比。零初始条件是指:当t≤0时, 系统r(t)、c(t)以及它们的各阶导数均为零。 线性系统微分方程的一般形式为:
C (s) b0 s b1 s ...... bm1 s bm G( s ) n n 1 R(s) s a1 s ...... an1 s an
m
m1
（2-2-3）
2013年6月8日星期六 第2章第12页共119页
传递函数G(S)是复变函数，是S的有理函数。 且有m≤n。 特征方程
C (s) b0 s b1 s ...... bm1 s bm G( s ) n n 1 R(s) s a1 s ...... an1 s an
2013年6月8日星期六 第2章第16页共119页
传递函数的几点性质
4. 如果系统的传递函数未知，给系统加上某种输
物理模型——任何元件或系统实际上都是很复杂的，难以对
它作出精确、全面的描述，必须进行简化或理想化。简化 后的元件或系统称为该元件或系统的物理模型。 简化是有条件的，要根据问题的性质和求解的精确要 求来确定出合理的物理模型。 数学模型——物理模型的数学描述。是指描述系统输入、输 出以及内部各变量之间动态关系的数学表达式。
1 C2 S U2 U3 Z2
第2章第22页共119页
第三节 非线性数学模型的小范围线性化
严格讲，任何实际系统都存在不同程度的非 线性。对于非本质非线性数学模型，可采用小范 围线性化方法。 设一非线性数学模型如图所示。
2013年6月8日星期六
第2章第23页共119页
设函数y=f(x)在 （ x0 ， y0 ） 点附近连续可微(此即为非线性 系统数学模型线性化的条件）, 则可将函数f(x)在 （ x0 ， y0 ） 附 近展开成泰勒级数
•
• •
传递函数G(s)是复变量s的有理真分式函数， m≤n，且所有系数均为实数。
传递函数G(s)取决于系统或元件自身的结构和 参数，与输入量的形式（幅度与大小）无关。 传递函数G(s)描述了系统输出与输入之间的关 系，但它不提供系统的物理结构信息。具有相 同传递函数的不同物理系统称为相似系统。
m m1
ma F F FS Ff
2013年6月8日星期六
第2章第5页共119页
Fs ky dy F f fv f dt ma F F FS Ff
代入：
d y dy m 2 F ky f dt dt
整理得表示输入输出关系的微分方程为：
2
d y dy m 2 f ky F dt dt
2013年6月8日星期六 第2章第19页共119页
例2－4 求例2－3系统的传递函数。
已知其输入－输出微分方程
2
d U2 dU 2 R1R2C1C2 2 ( R1C1 R1C2 R2C2 ) U 2 U1 dt dt
R1 R2
设初始状态为零，对 方程两边求拉氏变换，得:
U1 C1 C2 U2
数学建模——从实际系统中抽象出系统数学模型的过程。
2013年6月8日星期六
第2章第2页共119页
建立物理系统数学模型的方法
• 机理分析法 对系统各部分的运动机理进行
分析，按照它们遵循的物理规律、化学规律列
出各物理量之间的数学表达式,建立起系统的
数学模型。
• 实验辩识法 对系统施加某种测试信号（如阶 跃、脉冲、正弦等），记录基本输出响应（时 间响应、频率响应），估算系统的传递函数。
可得到系统的响应c(t)，称为系统的零状态响应。
• 系统响应的特性由传递函数决定，而和系统的输入无
关。传递函数则由系统的结构与参数决定。
• 传递函数的分母多项式即为微分方程的特征多项式，
为1+开环传递函数。
2013年6月8日星期六 第2章第14页共119页
•同一系统对不同的输入，可求得不同的传递函数，
第二章 控制系统的数学模型
本章知识点： •线性系统的输入－输出传递函数描述 •建立机电系统数学模型的机理分析法 •传递函数的定义与物理意义 •典型环节的数学模型 •框图及化简方法 •信号流程图与梅逊公式应用 •非线性数学模型的小范围线性化
2013年6月8日星期六 第2章第1页共119页
第一节 线性系统的输入/输出时间函数描述
2013年6月8日星期六 第2章第18页共119页
不通过微分方程直接求传递函数:
直接利用复阻抗的概念：
1 1 RCS LCS 2 Z R LS CS CS
Z R LS
1 CS
1 CS U（S） Uபைடு நூலகம்S） C Z
U （S） 1 C 2 U（S） LCS RCS 1
U1
C1
Z２
U2
图2-3 RC组成的四端网络 1 1 R2 C 2 * C1 S C2 S 1 R2 C 2 S 1 Z1 || Z 2 1 1 R2 C 2 (C1 C 2 ) S C1C 2 R2 S 2 C1 S C1 S C2 S
2013年6月8日星期六
Z1 U3 U1 R Z1
2013年6月8日星期六
第2章第3页共119页
机理分析法建立系统数学模型的步骤
• • 确定系统的输入量、输出量； 根据物理定律列写原始方程；
•
消去中间变量，写出表示系统输入、输出关系
的线性常微分方程。
2013年6月8日星期六
第2章第4页共119页
机理分析法建立系统数学模型举例
例2-1-1 图2-1-1所示为一弹 簧阻尼系统，图中质量为m 的物体受到外力F的作用， 产生位移y，求该系统的输 入—输出关系。 解：首先确定输入为外力F， 输出为位移y。 系统中有弹簧和阻尼器，所以有弹簧阻力FS和 粘性摩擦阻力Ff。 由牛顿定律知：
但其特征多项式唯一。
•在给定输入和初始条件下，解微分方程可以得到系 统的输出响应，包括两部分： 系统响应=零输入响应+零状态响应 零输入响应——在输入为零时，系统对零初始状
态的响应；
零状态响应——在零初始条件下，系统对输入的
响应。
2013年6月8日星期六
第2章第15页共119页
传递函数的几点性质:
代入上式得：
d uc duc LC 2 RC uc u dt dt
第2章第7页共119页
例2-3:图2-3为RC四端无源网络。试列写以U1(t)为输 入量，U2(t)为输出量的网络微分方程。 解：设回路电流i1、i2，根据克希霍夫定律，列写方程 组如下：
U1 R1i1 U c1
n
n 1
当初始条件均为0时，对上式两边求拉氏变换， 得系统的传递函数:
s C (s) a1 s C (s) ...... an1 sC (s) an C (s)
n
n 1
b0 s R(s) b1 s R(s) ..... bm1 sR(s) bm
m
m 1
整理得：
2013年6月8日星期六 第2章第6页共119页
2
例2-1-3 图2-1-3所示为电阻、电 感、电容串联网络，其中U为输 入电压，求以电容两端电压uc为 输出的微分方程 解：由电压定律得：
di u L Ri u c dt dq i , 而q Cu c dt
2
2013年6月8日星期六
1 U c1 (i1 i2 )dt C1
(1) (2) (3)
U1 R1 UC1 R2 UC2
U c1 R2i2 U c2 U 2 U c2
i1
C1
i2
C2
U2
1 U c2 i2 dt C2
2013年6月8日星期六
(4)
图2-3 RC组成的四端网络
(5)
第2章第8页共119页
由(4)、(5)得
1 U c2 i2 dt C2
(4)
R1 UC1 R2 UC2
U 2 U c2
(5)
U1 (2)
1 U c1 (i1 i2 )dt C1 由(2)导出:
5. 系统传递函数是系统单位脉冲响应g(t)的拉氏变
换L[g(t)]。
c(t ) H (t )r (t ) g (t ) H (t ) (t )
t
系统建模依据
c(t ) g ( ) (t )d
2013年6月8日星期六
0
第2章第17页共119页
（2-29）
2013年6月8日星期六
第2章第24页共119页
式中
——比例系数,是随工作点A（x0，y0) 不同而不同的常数
U c1 R2i2 U c 2
(1) (3)
U1 R1i1 R2i2 U c2
2013年6月8日星期六
第2章第9页共119页
UU c 2R2 i UU c 2 c1 1 R i 2 2 c 2
(3) (3)
dU 2 i2 C 2 dt
d dU 2 dU 2 R1[C1 ( R2i2 U 2 ) C2 ] R2C2 U2 dt dt dt 2 d U2 dU 2 dU 2 dU 2 R1C1R2C2 2 R1C1 R1C2 R2C2 U2 dt dt dt dt
整理得：
d U2 dU 2 R1R2C1C2 2 ( R1C1 R1C2 R2C2 ) U 2 U1 dt dt
这就是RC四端网络的数学模型，为二阶线
2
性常微分方程。
2013年6月8日星期六 第2章第10页共119页
第二节线性系统的输入—输出传递函数描述
一、传递函数 定义：线性定常系统的传递函数，定义为 零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入 量的拉氏变换之比。零初始条件是指:当t≤0时, 系统r(t)、c(t)以及它们的各阶导数均为零。 线性系统微分方程的一般形式为:
C (s) b0 s b1 s ...... bm1 s bm G( s ) n n 1 R(s) s a1 s ...... an1 s an
m
m1
（2-2-3）
2013年6月8日星期六 第2章第12页共119页
传递函数G(S)是复变函数，是S的有理函数。 且有m≤n。 特征方程
C (s) b0 s b1 s ...... bm1 s bm G( s ) n n 1 R(s) s a1 s ...... an1 s an
2013年6月8日星期六 第2章第16页共119页
传递函数的几点性质
4. 如果系统的传递函数未知，给系统加上某种输
物理模型——任何元件或系统实际上都是很复杂的，难以对
它作出精确、全面的描述，必须进行简化或理想化。简化 后的元件或系统称为该元件或系统的物理模型。 简化是有条件的，要根据问题的性质和求解的精确要 求来确定出合理的物理模型。 数学模型——物理模型的数学描述。是指描述系统输入、输 出以及内部各变量之间动态关系的数学表达式。
1 C2 S U2 U3 Z2
第2章第22页共119页
第三节 非线性数学模型的小范围线性化
严格讲，任何实际系统都存在不同程度的非 线性。对于非本质非线性数学模型，可采用小范 围线性化方法。 设一非线性数学模型如图所示。
2013年6月8日星期六
第2章第23页共119页
设函数y=f(x)在 （ x0 ， y0 ） 点附近连续可微(此即为非线性 系统数学模型线性化的条件）, 则可将函数f(x)在 （ x0 ， y0 ） 附 近展开成泰勒级数
•
• •
传递函数G(s)是复变量s的有理真分式函数， m≤n，且所有系数均为实数。
传递函数G(s)取决于系统或元件自身的结构和 参数，与输入量的形式（幅度与大小）无关。 传递函数G(s)描述了系统输出与输入之间的关 系，但它不提供系统的物理结构信息。具有相 同传递函数的不同物理系统称为相似系统。
m m1
ma F F FS Ff
2013年6月8日星期六
第2章第5页共119页
Fs ky dy F f fv f dt ma F F FS Ff
代入：
d y dy m 2 F ky f dt dt
整理得表示输入输出关系的微分方程为：
2
d y dy m 2 f ky F dt dt
2013年6月8日星期六 第2章第19页共119页
例2－4 求例2－3系统的传递函数。
已知其输入－输出微分方程
2
d U2 dU 2 R1R2C1C2 2 ( R1C1 R1C2 R2C2 ) U 2 U1 dt dt
R1 R2
设初始状态为零，对 方程两边求拉氏变换，得:
U1 C1 C2 U2
数学建模——从实际系统中抽象出系统数学模型的过程。
2013年6月8日星期六
第2章第2页共119页
建立物理系统数学模型的方法
• 机理分析法 对系统各部分的运动机理进行
分析，按照它们遵循的物理规律、化学规律列
出各物理量之间的数学表达式,建立起系统的
数学模型。
• 实验辩识法 对系统施加某种测试信号（如阶 跃、脉冲、正弦等），记录基本输出响应（时 间响应、频率响应），估算系统的传递函数。
可得到系统的响应c(t)，称为系统的零状态响应。
• 系统响应的特性由传递函数决定，而和系统的输入无
关。传递函数则由系统的结构与参数决定。
• 传递函数的分母多项式即为微分方程的特征多项式，
为1+开环传递函数。
2013年6月8日星期六 第2章第14页共119页
•同一系统对不同的输入，可求得不同的传递函数，
第二章 控制系统的数学模型
本章知识点： •线性系统的输入－输出传递函数描述 •建立机电系统数学模型的机理分析法 •传递函数的定义与物理意义 •典型环节的数学模型 •框图及化简方法 •信号流程图与梅逊公式应用 •非线性数学模型的小范围线性化
2013年6月8日星期六 第2章第1页共119页
第一节 线性系统的输入/输出时间函数描述
2013年6月8日星期六 第2章第18页共119页
不通过微分方程直接求传递函数:
直接利用复阻抗的概念：
1 1 RCS LCS 2 Z R LS CS CS
Z R LS
1 CS
1 CS U（S） Uபைடு நூலகம்S） C Z
U （S） 1 C 2 U（S） LCS RCS 1
U1
C1
Z２
U2
图2-3 RC组成的四端网络 1 1 R2 C 2 * C1 S C2 S 1 R2 C 2 S 1 Z1 || Z 2 1 1 R2 C 2 (C1 C 2 ) S C1C 2 R2 S 2 C1 S C1 S C2 S
2013年6月8日星期六
Z1 U3 U1 R Z1
2013年6月8日星期六
第2章第3页共119页
机理分析法建立系统数学模型的步骤
• • 确定系统的输入量、输出量； 根据物理定律列写原始方程；
•
消去中间变量，写出表示系统输入、输出关系
的线性常微分方程。
2013年6月8日星期六
第2章第4页共119页
机理分析法建立系统数学模型举例
例2-1-1 图2-1-1所示为一弹 簧阻尼系统，图中质量为m 的物体受到外力F的作用， 产生位移y，求该系统的输 入—输出关系。 解：首先确定输入为外力F， 输出为位移y。 系统中有弹簧和阻尼器，所以有弹簧阻力FS和 粘性摩擦阻力Ff。 由牛顿定律知：
但其特征多项式唯一。
•在给定输入和初始条件下，解微分方程可以得到系 统的输出响应，包括两部分： 系统响应=零输入响应+零状态响应 零输入响应——在输入为零时，系统对零初始状
态的响应；
零状态响应——在零初始条件下，系统对输入的
响应。
2013年6月8日星期六
第2章第15页共119页
传递函数的几点性质:
代入上式得：
d uc duc LC 2 RC uc u dt dt
第2章第7页共119页
例2-3:图2-3为RC四端无源网络。试列写以U1(t)为输 入量，U2(t)为输出量的网络微分方程。 解：设回路电流i1、i2，根据克希霍夫定律，列写方程 组如下：
U1 R1i1 U c1
n
n 1
当初始条件均为0时，对上式两边求拉氏变换， 得系统的传递函数:
s C (s) a1 s C (s) ...... an1 sC (s) an C (s)
n
n 1
b0 s R(s) b1 s R(s) ..... bm1 sR(s) bm
m
m 1
整理得：
2013年6月8日星期六 第2章第6页共119页
2
例2-1-3 图2-1-3所示为电阻、电 感、电容串联网络，其中U为输 入电压，求以电容两端电压uc为 输出的微分方程 解：由电压定律得：
di u L Ri u c dt dq i , 而q Cu c dt
2
2013年6月8日星期六
1 U c1 (i1 i2 )dt C1
(1) (2) (3)
U1 R1 UC1 R2 UC2
U c1 R2i2 U c2 U 2 U c2
i1
C1
i2
C2
U2
1 U c2 i2 dt C2
2013年6月8日星期六
(4)
图2-3 RC组成的四端网络
(5)
第2章第8页共119页
由(4)、(5)得
1 U c2 i2 dt C2
(4)
R1 UC1 R2 UC2
U 2 U c2
(5)
U1 (2)
1 U c1 (i1 i2 )dt C1 由(2)导出: