2017届河北省石家庄市第二中学高三上学期联考第三期(期中)考试数学(理)试题(图片版)

石家庄市第二中学2017届高三第三次联考第三期理科数学参考答案1-5 DBCAD 6-10 DBCAD 11-12 AB13 -10 14 4 15 5 16 ②③④17(1)因为cos cos cos sin sin sin C A BC A B+=+所以cos sin cos sin sin cos sin cos C A C B C A C B +=+ 即cos sin sin cos sin cos cos sin C A C A C B C B -=-得sin()sin()A C C B -=- ……………………………3分所以()A C C B A C C B π-=--=--或不可能 即2C A B =+得3C π=.……………………………5分（2）因为 2c =，所以 2222241cos 222a b c a b C ab ab +-+-=== 224a b ab +-=.……………………………………………………8分24,4ab ab ab -≤∴≤（当且仅当2a b ==取等号）113sin 43222ABC S ab C ∆=≤⨯⨯= ……………………10分18.解析（1）由132,2n n a a n +=-≥可得113(1),2n n a a n +-=-≥， {}1n a ≥-当n 2时，是首项为2，q=3的等比数列，…………………………………………4分2231,2n n a n -=⨯+≥则27,1,231, 2.n n n a n -=⎧=⎨⨯+≥⎩ ………………………………………………5分（2）由2113,3,22n n n a b b n --===≥及1,1,2, 2.n n c n n =⎧=⎨-≥⎩ 可得23,1(2)3,2n n n n c b n n -=⎧=⎨-⨯≥⎩ ………………………………………………7分012323031323(3)3(2)3n n n T n n --=+⨯+⨯+⨯++-+- . ①21232133031323(3)3(2)3n n n T n n --=+⨯+⨯+⨯++-+- ②①-②：1221260333(2)3n n n T n ---=-+++++-- ………………………………………………10分213(13)26(2)313n n n T n ----=-+---12515()344n n n T --=+……………………………………………12分19．（1）证明：连接1AC 交1AC 于点G ，连接DG .在三棱柱111C B A ABC -中，四边形11ACC A 是平行四边形，∴1AG GC =. ∵AD DB =， ∴DG ∥1BC . ………………………2分 ∵DG ⊂平面1A DC ，1BC ⊄平面1A DC ，∴1BC ∥平面1A DC . …………………………5分 （2）几何体11ABB C C 为四棱锥，,E F 分别为11,BC B C 的中点，连接,,AE AF EF则32AE =,2222111013222AF AB B F ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………………7分又因为222AEF AE AF EF ∆+=中AE AF ∴⊥111,,BC BB BC AE AE EF E AEF BC BB C C⊥⊥⋂=⊂ 1，BB ∥EF ，∴BC ⊥EF,又∴BC ⊥平面又平面⊥11平面AEF 平面BB C C …………………………………………10分过A AH ⊥11点作平面BB C C ,则34AE AF AH EF ⨯== 1113331344ABB C C V =⨯⨯=…………………………………12分 20（Ⅰ）证明：由已知,四边形ABCD 是边长为2的正方形,因为,DA AF DA AE ⊥⊥，AE AF A =DA ABE ⊥面,所以平面ABCD ⊥平面ABE ,…………2分又CB AB ⊥，所以CB AE ⊥………3分又点B 在面AEC 的射影在线段EC 上,设为H ,则AE BH ⊥ 所以AE BCE ⊥面,又BE BCE ⊂面,所以AE EB ⊥……………4分（Ⅱ）以A 为原点，垂直于平面ABCD 的直线为x 轴，AB 所在直线为y 轴，AD 为z 轴，如图所示建立空间直角坐标系A xyz -，由已知AF AE BG BE λ==，假设存在λ，使二面角B AC E --的余弦值为33． zDCHBAD CFGEH设(,,0)E a b ，则(,,0)AE a b = ，(0,2,2)AC =法一：设平面AEC 的一个法向量(,,)n x y z =，则00AE n AC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即0220ax by y z +=⎧⎨+=⎩，解得,b x y a z y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩．……………………5分令y a =，得(,,)n b a a =--是平面EAC 的一个法向量．又平面BAC 的一个法向量为(1,0,0)m =，由223cos ,32b m n m n m n a b ⋅===⋅+，化简得22a b =①………7分 又因为AE ⊥平面BCE ，所以AE BE ⊥，所以0AE BE ⋅=，即2(2)0a b b +-=②， …………………9分联立①②，解得0b =（舍），1b =．由22AE a b =+，22(2)BE a b =+-，所以AE BE =．所以当1λ=时，二面角B AC E --的余弦值为33． …………………12分 法二：如图，作EM AB ⊥于M , EN AC ⊥于N ,连接MN ,则MNE ∠为二面角E AC B --的平面角，3cos tan 23由得MNE MNE ∠=∠= ………………7分 由AF AEBG BE λ==,可得212λλ+=AE ,212λ+=BE , ……………9分于是得到22221212λλλλ+=⇒+=MN AM ,212λλ+=ME ,……………11分 所以122tan =⇒===∠λλMN ME MNE ． ……………12分21解: （1）若一切线垂直x 轴，则另一条切线垂直于y 轴，这样的00(,)P x y 点有4个，它们的坐标分别为)(3,1±±，若两切线都不垂直坐标轴，设切线方程为00()y y k x x -=-， 联立0022()13y y k x x x y -=-⎧⎪⎨+=⎪⎩即()2220000(31)6()310k x k y kx x y kx ⎡⎤++-+--=⎣⎦……………………3分依题意，()22200000,k ()121(31)0y kx y kx k ⎡⎤∆=----+=⎣⎦2即（6） 2220000(3)210x k x y k y --+-=20122011,13y k k x -=-∴=-- ，即22004x y += ……………………6分BADCF GE H NM)(22003,14x y ±±+= 在上224P x y ∴+=点的轨迹方程为 ……………………7分（2）若过Q 点的直线斜率不存在，则直线为2x =，交224x y +=于()()2,2,2,2C D -则22CD =符合题意； ………………………………………………………8分 若过Q 点的直线斜率存在，设直线方程为l ：()22y k x -=-，圆224x y +=圆心()0,0到l 的距离为()222212211k k d kk----===++…………………………………………………………9分()2211+k k -=0k =，所以直线方程为2y =， …………………………………………………………11分综上l 的方程为：2,2y x ==. ………………………………………………………12分22.解析：（Ⅰ）因()()(1)(1)x f x F x a x e ax =+-=-，()(1)x f x e ax a '=+-.所以，当0a =时，()0f x '<在R 上恒成立，即()f x 在(,)-∞+∞上单调递减；……………………………1分当0a >时，()0f x '>的解为1|1x x a⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭，即()f x 在1(1,)a -+∞上单调递增，在1(,1)a-∞-上单调递减； …………………………3分当0a <时，()0f x '>的解为1|1x x a⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭，即()f x 在1(,1)a -∞-上单调递增，在1(1,)a-+∞上单调递减. …………………………5分(Ⅱ) 方法一： 若有多于两个整数),,2,1(n i x i = ，使得0)(<i x F 成立，则()xxe x xe a <+- 1有两个以上整数解.因为()11+-=x e x y ，当0>x 时，01>-x e ，()011>+- xe x ；当0< x 时，01<-x e ，()011>+- x e x ，…………………………………………………………7分所以，1+-<x xe e a x x 有两个以上整数解.设1)(+-=x xe e x g xx ，则2)1()2()(+---='x xe e x e x g x x x ， 令()xe x x h --=2，则()01<--=' xe x h ，又()()011,010<-=>=e h h，所以()1,00∈∃x ，使得()00=x h ， ∴()x g 在()0,-x∞为增函数, 在()+∞,0x 为减函数， …………………………………………10分∴1+-<x xe e a xx 有两个以上整数解的充要条件是221(1),(2)2121ea g a g e e <-=<=--或 解得2221e a e <-. …………………………………………12分方法二：()(1)(1)0x F x e ax a x =---<(1)(1)x e ax a x ⇔-<-设()(1)g x a x =-，问题转化为()()i i f x g x <，有三个或三个以上整数i x 的解(1,2,3,,3)i n n =≥ 当0a =时，()x f x e =-，g()0x =，此时()()f x g x <的解集为R ，此情况成立；…………………7分 当0a <时，(0)1(0)f g a =-<=-，(1)(1)(1)0f e a g =-<=，2(2)(21)(2)f e a g a =-<=.可见()()f x g x <的解集不仅仅两个整数解，此情况成立； …………………8分当0a >时， 由（Ⅰ）可知()f x 的极值点为11a-， 又(0)1f =-，g(1)0=，11(1)()aa f e a a--=-，而且，()f x 仅有一个零点1a .若101a <≤，即1a ≥时，由（Ⅰ）知()f x 的单调性，以及11(1)()0aa f e a a --=-<,有()f x 与()g x 的草图如下：因1110a-<-<,所以在(,1]-∞-上()f x 单调递减，()g x 单调递增,所以m i n1()(1)a f x f e+=-=-. max ()(1)2g x g a =-=-,所以在(,1]-∞-上()()f x g x >恒成立.又(0)1(0)f g a =->=-，在[1,)x ∈+∞上，又1a ≥，所以，1x e >，10ax -≥， 所以()(1)x f x e ax =-1(1)1(1)()ax a x a a x g x >-=-+-≥-=所以在1a ≥时，在R 上没有使得()()f x g x <的整数解存在；若11a>，即01a <<时，()f x 与 ()g x 的草图如下： 因为(0)1(0)f a g =-<-=，(1)(1)0(1)f e a g =-<=，(1)g(1)(2)(2)f f g -<-<或 成立即可，解得 22021e a e <<-. 综上所述：2221e a e <- …………………12分。