黑龙江省哈尔滨市第六中学2015-2016学年高二数学上学期期末考试试题 理
黑龙江省2015—2016学年高二上学期期末试题 数学(理)含答案
2015～2016学年度上学期期末考试高二数学（理科）试题一、选择题：（每题5分，共12题，满分60分。
每题只有一个正确答案） 1、命题“00,30xx R ∃∈≤”的否定是（ ）A. 00,30xx R ∃∈≥ B.,30x x R ∀∈> C. 00,30xx R ∃∈> D. ,30x x R ∀∈≤ 2、设某中学的女生体重y （kg ）与身高x （cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数(),i i x y ()1,2,3,,i n = ，用最小二乘法建立的线性回归直线方程为ˆ0.8585.71yx =-，给出下列结论，则错误的是（ ） A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．若该中学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgC ．回归直线至少经过样本数据(),i i x y ()1,2,3,,i n = 中的一个D ．回归直线一定过样本点的中心点(,)x y3、如图是2014年元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的众数和中位数分别为（ ）A ．84,，84B ．84，85C ．85，84D ．85, 854、要从已编号（1至360）的360件产品中随机抽取30件进行检验，用系统抽样的方法抽出样本，若在抽出的样本中有一个编号为105，则在抽出的样本中最大的编号为（ ） A ．355 B ．356 C ．357 D ．3585、已知一组数据12345,,,,x x x x x 的平均数是2x =，方差是13，那么另一组数据1234532,32,32,32,32x x x x x -----的平均数和方差分别是（ ）A ．12,3B ．2,1C ．14,3D ．4,36、通常在一个数字右下角加注角标()k 说明该数字是k 进制数．若()(2)211001k =，则()22222k 换算成10进制数为（ ）A.862B.682C.1024D.10237、已知真命题""a b c d ≥⇒>和""a b e f <⇔≤,则""c d ≤是""e f ≤的( )条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要条件 D.既不充分也不必要8、在30的展开式中，x 的幂指数是整数的共有（ ） A ．4项 B ．5项 C ．6项 D ．7项10、从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件“取到的2个数之和为偶数”，事件B =“取到的2个数均为偶数”，则()P B A =（ ）A ．18 B ．14 C ．25 D ．1211、某班在5男生4女生中选择4人参加演讲比赛，选中的4人中有男生有女生，且男生甲和女生乙最少选中一人，则不同的选择方法有（ ）种 A ．91 B 、90 C ．89 D 、8612、有10本不同的书紧贴着依次立放在书架上，摆成上层3本下层7本，现要从下层7本中任取2本再随机分别调整到上层，若其他书本的相对顺序不变，则上层新增的2本书不相邻的概率为（ ） A ．35 B ．310C ．12D ．25 二、填空题：（每题5分，共4题，计20分.）13、已知多项式函数5432()254367f x x x x x x =--+-+，当5x =时由秦九韶算法知012,2555,v v ==⨯-=则3v ＝ ．14、设8877108)1(x a x a x a a x ++++=- ，则178a a a +++= ．15、一个三角形的三边长分别是5，5，6,一只蚂蚁在其内部爬行，若不考虑蚂蚁的大小，则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2的概率是 ．16、5个男生5个女生共10个同学排成一排，男生甲与男生乙之间有且只有2位女生，女生不能排在队伍的两端，则有 种排法. 三、解答题：（本大题共6个小题，满分70分。
黑龙江省哈尔滨市第六中学2015_2016学年高二数学6月月考试题理(无答案)
哈尔滨市第六中学2015-2016学年度下学期6月考试高二数学试题（理工类）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．1、已知集合2A={|log <1},B={x|0<<c}x x x ，若=A B B ，则c 的取值范围是（ ）A ．(0,1]B ．[1,+)∞C ．(0,2]D ．[2,+)∞ 2、不等式|1||5|4x x +--<的解集为A 、（－∞，4）B 、（－∞，－4）C 、（4，＋∞）D 、（－4，＋∞）3、设a ，b ∈R ，则“a >b ”是“a |a |>b |b |”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4、已知定义在R 上的函数)(x f 满足(1)1f =，且对于任意的x ，21)(<'x f 恒成立，则不等式22lg 1(lg )22x f x <+的解集为（ ）A ．1(0,)10B ．1(0,)(10,)10+∞C ．1(,10)10D ．(10,)+∞ 5、己知函数1f (x )+是偶函数，当1x (,)∈-∞时，函数f (x )单调递减，设1122a f (),b f (),c f ()=-=-=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a<b<c B ．c<a<b C ．a<c<b D ．c<b<a6、定义在[]2016,2016-上的函数()f x 满足：对于任意的[]2016,2016,-∈b a ，有()()()2012f a b f a f b +=+-，且0x >时，有()2012f x >，设()f x 的最大值和最小值分别为,M N ，则M N +的值为（ ）A. 2012-B. 2012C. 4024D. 40227、若0,,>c b a 且324)(-=+++bc c b a a ，则c b a ++2的最小值为 （ ）A ．13-B ．13+C ．232+D ．232-8、已知函数()f x 满足()()3f x f x =，当[)()1,3,ln x f x x ∈=，若在区间[)1,9内，函数()()g x f x ax =-有三个不同零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．ln 31,3e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. ln 31,93e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．ln 31,92e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．ln3ln3,93⎛⎫ ⎪⎝⎭ 9、设2 (||1)() (||1)x x f x x x ⎧≥=⎨<⎩,()g x 是二次函数，若(())f g x 的值域是[)0+，∞，则()g x 的值域是A 、]1,(-∞B 、),0[]1,(+∞⋃--∞C 、]1,(--∞D 、),0[+∞10、不等式组⎩⎨⎧≤-≥+421y x y x 的解集记为D ，有下面四个命题：22,),(:1-≥+∈∀y x D y x p ， 22,),(:2≥+∈∃y x D y x p ，32,),(:3≤+∈∀y x D y x p ， 12,),(:4-≤+∈∃y x D y x p .其中的真命题是( )A ．32,p pB ．21,p pC ．41,p pD ．31,p p11、已知函数()()32134,,a x a x t f x x x x t-+-≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，无论t 为何值，函数()f x 在R 上总是不单调，则a 的取值范围是（ ）A 、12a ≤B 、2a ≥C 、112a ≤< D 、21>a 12、已知函数⎩⎨⎧<>-+=1),(1|,)1lg(|1)(x x g x x x f 的图象关于点P 对称，且函数(1)1y f x =+-为奇函数，则下列结论：①点P 的坐标为(1,1)；②当(,0)x ∈-∞时，1)(-≤x g 恒成立；③关于x 的方程(),f x a a R =∈有且只有两个实根，其中正确结论的个数为（ ）（A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个第Ⅱ卷（非选择题 共60分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．计算：()11sin x dx -=⎰ .14．已知x 、y 为正实数,则22x y x y x ++的最小值为 ____________ 15、如果函数2()(31)(01)x x f x a a a a a =-->≠且在区间[0,)+∞上是增函数，那么实数a 的取值范围是____________．16、给出下列四个结论：① 命题"0,"2>-∈∃x x R x 的否定是"0,"2≤-∈∀x x R x ；② “若22bm am <，则b a <”的逆命题为真；③ 已知直线012:1=-+y ax l ，02:2=++by x l ，则1l ⊥2l 的充要条件是④ 对于任意实数x ，有)()(),()(x g x g x f x f =--=-且x >0时，0)(>'x f ，则x <0时，)()(x g x f '>'.其中正确结论的序号是 （填上所有正确结论的序号）。
2015-2016学年黑龙江省哈尔滨市第六中学高二下学期期末数学(理)试题
哈尔滨市第六中学2015—2016学年度下学期期末考试高二（理科）数学试题考试时间：120分钟 满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}|11,|A x x B x y ⎧⎪=+<==⎨⎪⎩ ，则R A C B = （ ） .A ()1,0- .B [)1,0- .C (]2,1-- .D ()2,1--2.sin160sin10cos 20cos10- 的值是（ ）A B C D 3.下列命题错误．．的是（ ） .A 命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为 “若1x ≠，则2320x x -+≠”.B 若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题.C 对于命题:p x R ∃∈,使得210x x ++<，则p ⌝为：x R ∀∈，均有210x x ++≥.D “2x >”是“2320x x -+>”的充分不必要条件4.在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若18,24,45a b A ===︒，则这样的三角形有（ ）.A 0个 .B 两个 .C 一个 .D 至多一个5.已知函数()f x 的定义域为(1,0)-，则函数(21)f x +的定义域为（ ）A D 6. ）.A 3- .B 2- .C 1- .D 7.已知命题:p 函数12x y a +=-的图象恒过定点()1,2；命题:q 函数()1y f x =-为偶函数，则函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，则下列命题为真命题的是（ ）.A p q ∨ .B p q ∧ .C p q ⌝∧ .D p q ∨⌝8.的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ）.A.B.C.D9.，则函数()f g x ⎡⎤⎣⎦的所有零点之和是（ ） A D 10.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()fx f x +=-，且(1)2f-=，则(2017)f 的值是（ ）.A2 .B 0 .C 1- .D 2-11.已知函数()sin f x x π=和函数()cos g x x π=在区间[]1,2-上的图象交于A 、B 、C 三点，则ABC ∆的面积是（ ）A B C D 12.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<-+-+≥-+=0)3()4(0)1()(2222x a x a a x x a k kx x f ，，，其中a R ∈，若对任意非零实数1x ，存在唯一实数)(212x x x ≠，使得)()(21x f x f =成立，则实数k 的最小值为 ( ).A 4- .B 4 .C 6 .D 8二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.已知,,a b c 分别是ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边，若 则sin C = ________.14.． 15.已知函数()22ln f x x ax x =-+在其定义域上不单调，则实数a 的取值范围是 ．16.,1()(1),1x e x f x f x x ⎧≤=⎨->⎩，()1g x kx =+，若方程()()0f x g x -=有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是_________.三、解答题：本大题共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17.(满分10分) 已知函数()212f x x x =+--（1）解不等式()0f x ≥；（2）若存实数x 使得()f x x a ≤+，求实数a 的取值范围.18．(满分12分)已知直线l的参数方程为1x y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是2sin 1sin θρθ=-． （1）写出直线l 的极坐标方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）若点P 是曲线C 上的动点，求P 到直线l 距离的最小值，并求出此时P 点坐标．19. (满分12分)设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c . 已知c c b B A B A +=+-)sin()sin(. （1）求角A 的大小；（2）当6=a 时，求ABC ∆面积的最大值，并指出面积最大时ABC ∆的形状.20. (满分12分)已知函数()2sin cos sin sin 44f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期和单调增区间； （Ⅱ）若()0002x x x f x π⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭为的一个零点，求0cos 2x 的值.21．(满分12分)已知函数()()ln ,x f x kx g x x ==. （1）求函数()ln x g x x=的单调区间； （2）若不等式()()f x g x ≥在区间，()0,+∞内恒成立，求实数k 的取值范围。
2014-2015年黑龙江省哈尔滨六中高二第一学期数学期末试卷(理科)及 解析
A．￢p：∀x∈A，2x∉B 2x∈B
D．￢p：∃x∈A，2x∉B =1（a＞b＞0）上的一点，若 ） D．
6． （5 分）已知 P 是以 F1，F2 为焦点的椭圆
PF1⊥PF2，tan∠PF1F2= ，则此椭圆的离心率为（ A． B． C．
7． （5 分）甲、乙两名运动员的 5 次测试成绩如下图所示： 甲 5 8 8 7 2 茎 1 2 3 乙 6 6 8 7 分别表示甲、
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67
从随机数表第一行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右依次选取两个数字， 则选 出来的第 5 个职工的编号为（ A．23 B．37 ） C．35 D．17 与 互相垂直，
3． （5 分）已知向量 =（1，1，0） ， =（﹣1，0，2） ，且
14． （5 分）如图，在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，AC=3，BC=4，AB=5，点 D 是线 段 AB 上的一点， 且∠CDB1=90°， AA1=CD， 则点 A1 到平面 B1CD 的距离为 ．
第3页（共29页）
15． （5 分）已知双曲线
（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线 y2=2px
A．变量 x 与 y 正相关，u 与 v 正相关 B．变量 x 与 y 正相关，u 与 v 负相关 C．变量 x 与 y 负相关，u 与 v 正相关 D．变量 x 与 y 负相关，u 与 v 负相关 2． （5 分）从某单位 45 名职工中随机抽取 5 名职工参加一项社区服务活动，用 随机数表法确定这 5 名职工．现将随机数表摘录部分如下： 16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 21 76 33 50 25
2014-2015学年黑龙江省哈尔滨六中高二(上)期末数学试卷(理科)
2014-2015学年黑龙江省哈尔滨六中高二（上）期末数学试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.对变量x、y有观测数据（x i，y i）（i=1，2，…，10），得散点图1；对变量u，v有观测数据（u i，v i）（i=1，2，…，10），得散点图2．由这两个散点图可以判断（）A.变量x与y正相关，u与v正相关B.变量x与y正相关，u与v负相关C.变量x与y负相关，u与v正相关D.变量x与y负相关，u与v负相关【答案】C【解析】解：由题图1可知，y随x的增大而减小，各点整体呈下降趋势，x与y负相关，由题图2可知，u随v的增大而增大，各点整体呈上升趋势，u与v正相关．故选C通过观察散点图可以知道，y随x的增大而减小，各点整体呈下降趋势，x与y负相关，u随v的增大而增大，各点整体呈上升趋势，u与v正相关．本题考查散点图，是通过读图来解决问题，考查读图能力，是一个基础题，本题可以粗略的反应两个变量之间的关系，是不是线性相关，是正相关还是负相关．2.从某单位45名职工中随机抽取5名职工参加一项社区服务活动，用随机数表法确定这5名职工．现将随机数表摘录部分如下：162277943949544354821737932378 8735209643844217533157245506887704744767 2176335025从随机数表第一行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个职工的编号为（）A.23B.37C.35D.17【答案】A【解析】解：随机数表第一行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，第一个数为39，然后是43，17，37，23，故选出来的第5个职工的编号是23，故选：A随机数表法也是简单随机抽样的一种方法，采用随机数表法读数时可以从左向右，也可以从右向左或者从上向下等等．应该注意的是，在读数中出现的相同数据只取一次，超过编号的数据要剔除．本题主要考查抽样方法，随机数表的使用，考生不要忽略．在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，所以每个数被抽到的概率是一样的．3.已知向量=（1，1，0），=（-1，0，2），且与互相垂直，则k的值是（）A.1B.C.D.【答案】D【解析】解：根据题意，易得k+=k（1，1，0）+（-1，0，2）=（k-1，k，2），2-=2（1，1，0）-（-1，0，2）=（3，2，-2）．∵两向量垂直，∴3（k-1）+2k-2×2=0．∴k=，故选D．根据题意，易得k+，2-的坐标，结合向量垂直的性质，可得3（k-1）+2k-2×2=0，解可得k的值，即可得答案．本题考查向量数量积的应用，判断向量的垂直，解题时，注意向量的正确表示方法．4.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB=2，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：如图连接A1B，则有A1B∥CD1，∠A1BE就是异面直线BE与CD1所成角，设AB=1，则A1E=AE=1，∴BE=，A1B=．由余弦定理可知：cos∠A1BE=．故选C．求异面直线所成的角，一般有两种方法，一种是几何法，其基本解题思路是“异面化共面，认定再计算”，即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中，结合余弦定理来求．还有一种方法是向量法，即建立空间直角坐标系，利用向量的代数法和几何法求解．本题采用几何法较为简单：连接A1B，则有A1B∥CD1，则∠A1BE就是异面直线BE与CD1所成角，由余弦定理可知cos∠A1BE的大小．本题主要考查了异面直线所成的角，考查空间想象能力和思维能力．5.设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x∈B，则（）A.￢p：∀x∈A，2x∉BB.￢p：∀x∉A，2x∉BC.￢p：∃x∉A，2x∈BD.￢p：∃x∈A，2x∉B【答案】D【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x∈B，则￢p：∃x∈A，2x∉B．故选D．直接利用全称命题的否定是特称命题，写出命题的否定命题即可．本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查．6.若P是以F1，F2为焦点的椭圆=1（a＞b＞0）上的一点，且=0，tan∠PF1F2=，则此椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：∵∴，即△PF1F2是P为直角顶点的直角三角形．∵R t△PF1F2中，∠，∴=，设PF2=t，则PF1=2t∴=2c，又∵根据椭圆的定义，得2a=PF1+PF2=3t∴此椭圆的离心率为e====故选A根据向量、的数量积为零，可得△PF1F2是P为直角顶点的直角三角形．R t△PF1F2中，根据正切的定义及∠，可设PF2=t，PF1=2t，由勾股定理，得出．利用椭圆的定义得到2a=PF1+PF2=3t，最后由椭圆离心率的定义可得此椭圆的离心率．本题给出椭圆的一个焦点三角形为直角三角形，根据一个内角的正切值，求椭圆的离心率，着重考查了椭圆的基本概念和简单几何性质，属于基础题．7.甲、乙两名运动员的5次测试成绩如下图所示设s1，s2分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的标准差，，分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的平均数，则有（）A.，s1＜s2B.，s1＞s2C.＞，s1＞s2 D.，s1=s2【答案】B【解析】解：根据茎叶图可得，s1==，，s2==．所以，s1＞s2．故选B．根据均值与标准差的计算公式可得所以，s1＞s2．进而得到答案．解决此类问题的关键是熟练记忆均值与标准差的公式以及正确理解茎叶图的特征．8.设l，m，n表示三条不同的直线，α，β，γ表示三个不同的平面，给出下列四个命题：①若l⊥α，m⊥l，m⊥β，则α⊥β；②若m⊂β，n是l在β内的射影，m⊥n，则m⊥l；③若m是平面α的一条斜线，A∉α，l为过A的一条动直线，则可能有l⊥m，l⊥α；④若α⊥β，α⊥γ，则α∥β其中真命题的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】解：①由空间向量知m⊥l，则α⊥β正确；②由三垂线定理知正确；③若m是平面α的一条斜线，l⊥α，则l和m不可能垂直，故命题错误；④正方体从同一个顶点出发的三个平面知命题错误故选B①由空间向量知识可知正确；②由三垂线定理可证；③④可举反例说明错误．本题考查空间的线面位置关系，考查空间想象能力和逻辑推理能力．9.某四面体的三视图如图所示，三个三角形均为直角三角形，则该四面体的表面积是（）A.8B.22+2C.18+6D.24+6【答案】D【解析】解：根据几何体的三视图知，该几何体是三棱锥，如图所示；且底面△ABC为俯视图中的直角三角形，∠ABC=90°，其中AB=4，BC=3，∴AC=5，PA⊥底面ABC，且PA=4，∴∠PAB=∠PAC=90°，CB⊥PB；∴S△ABC=AB•BC=×4×3=6，S△PAB=PA•AB=×4×4=8，S△PAC=PA•AC=×4×5=10，S△PBC=PB•BC=××3=6；∴三棱锥P-ABC的表面积为S=S△ABC+S△PAB+S△PAC+S△PBC=6+8+10+6=24+6．故选：D．根据几何体的三视图，得出该几何体是三棱锥，并根据三棱锥的各棱之间的关系，求出它的表面积．本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题时应根据三视图得出该几何体的结构特征，是基础题．10.已知两点A（1，0），B（b，0），若抛物线y2=4x上存在点C使△ABC为等边三角形，则b=（）A.5B.5或-C.4D.4或-2【答案】B【解析】解：过点C做x轴垂线，垂足为D，根据正三角形性质可知D为A，B的中点，坐标为（，0），则DC=•，∴C点坐标为（，±•），代入抛物线方程得，×4=×3，整理得3b2-14b-5=0，求得b=5或-，故选：B．过点C做x轴垂线，垂足为D，根据正三角形性质可知D为A，B的中点，坐标为（，0）求得DC的长，从而得到C点的坐标代入抛物线方程即可求得b．本题主要考查了抛物线的应用．解题的关键是充分利用正三角形的性质，求出C点的坐标．11.设F1、F2是双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2最小内角的大小为30°，则双曲线C的渐近线方程是（）A.x±y=0 B.x±y=0 C.x±2y=0 D.2x±y=0【答案】B【解析】解：设|PF1|＞|PF2|，则|PF1|-|PF2|=2a，又|PF1|+|PF2|=6a，解得|PF1|=4a，|PF2|=2a．则∠PF1F2是△PF1F2的最小内角为30°，∴|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2-2|PF1|•|F1F2|cos30°，∴（2a）2=（4a）2+（2c）2-2×4a×2c×，同时除以a2，化简e2-2e+3=0，解得e=，∴c=，∴b==，∴双曲线C：=1的渐近线方程为y==±，即=0．故选：B．设|PF1|＞|PF2|，由已知条件求出|PF1|=4a，|PF2|=2a，e=，进而求出b=，由此能求出双曲线C：=1的渐近线方程．本题考查双曲线的渐近线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，要熟练掌握双曲线的简单性质．12.在球O表面上有A、B、C三个点，若∠AOB=∠BOC=∠COA=，且O到平面的距离为2，则此球的表面积为（）A.48πB.36πC.24πD.12π【答案】A【解析】解：由题意，∵∠AOB=∠BOC=∠COA=，OA=OB=OC∴四面体O-ABC为正四面体设球的半径为R∵O到平面的距离为2，∴R2=8+R2，∴R2=12，∴球的表面积为4π×12=48π，故选A．根据∠AOB=∠BOC=∠COA=，OA=OB=OC，可得四面体O-ABC为正四面体，利用O 到平面的距离为2，确定球的半径，进而可求球的表面积．本题考查球的表面积，考查正四面体的性质，解题的关键是确定球的半径．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.袋中有大小相同的红色、白色球各一个，每次任取一个，有放回地摸3次，3次摸到的红球比白球多1次的概率为______ ．【答案】【解析】解：列举可得总的基本事件为（红，红，红），（红，红，白）（红，白，红）（白，红，红），（红，白，白），（白，红，白）（白，白，红）（白，白，白）共8个，其中红球比白球多1次的有（红，红，白）（红，白，红）（白，红，红）共3个，∴所求概率为P=故答案为：列举可得总的基本事件共8个，满足题意的有3个，由概率公式可得．本题考查古典概型及其概率公式，列举是解决问题的关键，属基础题．14.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，点D是线段AB上的一点，且∠CDB1=90°，AA1=CD，则点A1到平面B1CD的距离为______ ．【答案】 3【解析】解：∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，∴AC⊥BC，以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，设AA1=CD=t，C（0，0，0），D（a，b，0），B1（0，4，t），A（3，0，0），B（0，4，0），，，设，则（a-3，b，0）=（-3λ，4λ，0），∴a=3-3λ，b=4λ，即D（3-3λ，4λ，0），∴=（3-3λ，4λ，0），=（3-3λ，4λ-4，-t），∵∠CDB1=90°，∴=25λ2-34λ+9=0，解得λ=1或，当λ=1时，D与B重合，点A到面B1CD的距离为3；当λ=时，=（，，0），t==，=（0，4，），设平面B1CD的法向量=（x，y，z），则，取x=3，得=（3，-4，），=（3，0，），∴点A1到平面B1CD的距离为：d===3．综上所述，点A1到平面B1CD的距离为3．故答案为：3．以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点A1到平面B1CD的距离．本题主要考查了线面垂直的性质，以及线面平行的判定和二面角的度量，同时考查了转化与划归的思想，属于中档题．15.已知双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p= ______ ．【答案】2【解析】解：∵双曲线（a＞0，b＞0），∴双曲线的渐近线方程是y=±x又抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程是x=-，故A，B两点的纵坐标分别是y=±，又由双曲线的离心率为2，所以，则，A，B两点的纵坐标分别是y=±=±，又△AOB的面积为，x轴是角AOB的角平分线∴××=，得p=2．故答案为：2．求出双曲线（a＞0，b＞0）的渐近线方程与抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程，进而求出A，B两点的坐标，再由双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，列出方程，由此方程求出p的值．本题考查圆锥曲线的共同特征，解题的关键是求出双曲线的渐近线方程，解出A，B两点的坐标，列出三角形的面积与离心率的关系也是本题的解题关键，有一定的运算量，做题时要严谨，防运算出错．16.从双曲线x2-y2=1上一点Q引直线x+y=2的垂线，垂足为N，则线段QN的中点P 的轨迹方程为______ ．【答案】2x2-2y2-2x+2y-1=0【解析】解：设P（x，y），Q（x1，y1），则N（2x-x1，2y-y1），∵N在直线x+y=2上，∴2x-x1+2y-y1=2①又∵PQ垂直于直线x+y=2，∴=1，即x-y+y1-x1=0．②由①②得，又∵Q在双曲线x2-y2=1上，∴x12-y12=1．∴（x+y-1）2-（x+y-1）2=1．整理，得2x2-2y2-2x+2y-1=0即为中点P的轨迹方程．故答案为：2x2-2y2-2x+2y-1=0．设P（x，y），欲求其轨迹方程，即寻找其坐标间的关系，根据垂线的关系及点Q在双曲线上，代入其方程即可得到．本题主要考查了轨迹方程的问题．求曲线的轨迹方程是解析几何的基本问题．代入法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P（x，y）却随另一动点Q（x’，y’）的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将x’，y’表示为x，y的式子，再代入Q的轨迹方程，然而整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法．三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)17.（选做题）直角坐标系x O y和极坐标系O x的原点与极点重合，x轴正半轴与极轴重合，单位长度相同，在直角坐标系下，曲线C的参数方程为，为参数）．（1）在极坐标系下，曲线C与射线和射线分别交于A，B两点，求△AOB 的面积；（2）在直角坐标系下，直线l的参数方程为（t为参数），求曲线C与直线l的交点坐标．【答案】解：（1）曲线C的参数方程为，为参数）．消去参数得它的普通方程为：，将其化成极坐标方程为：，分别代入和得|OA|2=|OB|2=，因∠AOB=，故△AOB的面积S=|OA||OB|=．（2）将l的参数方程代入曲线C的普通方程，得（t-2）2=0，∴t=2，代入l的参数方程，得x=2，y=，∴曲线C与直线l的交点坐标为（2，）．【解析】（1）先消去参数方程中的参数得普通方程，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换将直角坐标方程化成极坐标方程，通过极坐标方程求出三角形的边长后求面积即可．（2）将l的参数方程代入曲线C的普通方程，得t的值，再代入l的参数方程，得曲线C与直线l的交点坐标．本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．18.三棱锥A-BCD中，面ACD与面BCD均为正三角形，点E，F，G，H分别为BD，BC，AC，AD中点（1）证明：四边形EFGH为矩形；（2）若二面角A-DC-B大小为60°，求直线EH与面BCD所成角的正弦值．【答案】（1）证明：∵三棱锥A-BCD中，面ACD与面BCD均为正三角形，点E，F，G，H分别为BD，BC，AC，AD中点，∴EF∥DC∥HG，且EF=，∴EFGH是平行四边形，取CD中点O，连结AO，BO，∴DC⊥平面AOB，∴CD⊥AB，EH⊥EF，∴四边形EFGH为矩形．（2）解：由（1）知∠AOB为二面角A-DC-B的平面角，∴∠AOB=60°，∵AB∥EH，∴EH与平面BCD所成角为AB与面BCD所成角，∵DC⊥平面AOB．∴AB在面BCD射影为BO，∵AO=BO，∴∠ABO=60°，∴EH与面BCD所成角的正弦为sin60°=．【解析】（1）由已知得EFGH是平行四边形，取CD中点O，连结AO，BO，则CD⊥AB，EH⊥EF，由此能证明四边形EFGH为矩形．（2）由已知得∠AOB=60°，EH与平面BCD所成角为AB与面BCD所成角，由此能求出EH与面BCD所成角的正弦．本题考查四边形为矩形的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．19.从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50人测量身高．据测量被测学生身高全部介于155cm到195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155，160）；第二组[160，165）；…；第八组[190，195]．如图所示是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．已知第一组与第八组人数相同，第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列．（I）估计这所学校高三年级全体男生身高在180cm以上（含180cm）的人数；（II）求第六组、第七组的频率，并补充完整频率分布直方图；（III）试求被抽取50人的中位数的近似值．（精确到0.1cm）【答案】解：（I）前五组频率为（0.008+0.016+0.04+0.04+0.06）×5=0.82∴后三组频率为1-0.82=0.18，人数为0.18×50=9∴这所学校高三年级全体男生身高180cm以上（含180cm）人数800×0.18=144人（II）第八组频率为0.008×5=0.04，人数为0.04×50=2设第六组人数m，∴m+2=2（7-m）解得m=4∴六七组频率分别为0.08、0.06，纵坐标分别为0.016、0.012（III）该中位数为x，∴（0.008+0.016+0.04）×5+（x-170）×0.04=0.5解得：x=174.5 【解析】（I）根据已知中的频率分布直方图，我们分别求出180cm以上各组矩形的高度和，乘以组距即可得到高在180cm以上（含180cm）的频率，再乘以样本容量即可得到高在180cm以上（含180cm）的人数；（II）根据第一组与第八组人数相同，第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列我们可以求出第六组、第七组、第八组的频率也成等差数列，进而即可同答案．（III）根据中位数两边的频率相等，既左边和右边的频率和均为0.5，构造出关于中位数x的方程，即可得到答案．本题考查的知识点是频率分布直方图，用样本的频率分布估计总体分布，其中频率=矩形的高×组距=频数÷样本容量，是解答本题的关键．20.如图，已知椭圆=1（a＞b＞0），F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B、（1）若∠F1AB=90°，求椭圆的离心率；（2）若=2，•=，求椭圆的方程．【答案】解：（1）若∠F1AB=90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有OA=OF2，即b=C、所以a=c，e==．（2）由题知A（0，b），F1（-c，0），F2（c，0），其中，c=，设B（x，y）．由=2⇔（c，-b）=2（x-c，y），解得x=，y=-，即B（，-）．将B点坐标代入=1，得+=1，即+=1，解得a2=3c2．①又由•=（-c，-b）•（，-）=⇒b2-c2=1，即有a2-2c2=1．②由①，②解得c2=1，a2=3，从而有b2=2．所以椭圆方程为+=1．【解析】（1）根据∠F1AB=90°推断出△AOF2为等腰直角三角形，进而可知OA=OF2，求得b 和c的关系，进而可求得a和c的关系，即椭圆的离心率．（2）根据题意可推断出A，和两个焦点的坐标，设出B的坐标，利用已知条件中向量的关系，求得x和y关于c的表达式，代入椭圆方程求得a和c的关系，利用•=求得a和c的关系，最后联立求得a和b，则椭圆方程可得．本题主要考查了椭圆的应用和椭圆的简单性质，向量的基本性质．注意挖掘题意中隐含的条件，充分利用．21.四棱锥P-ABCD中，棱长PD=a，底面ABCD是边长为a的菱形，点M为PB中点（1）若∠BCP=90°，证明：MD⊥PC；（2）若∠BCD=90°，∠PDA=PDC=60°，求二面角B-PD-A的余弦值．【答案】（1）证明：取PC中点N，连接MN，DN，则MN∥BC，∵∠BCP=90°，∴MN⊥PC，∵DP=DC，∴DN⊥PC，∵MN∩DN=N，∴PC⊥平面MND，∵MD⊂平面MND，∴MD⊥PC；（2）解：由题意，底面ABCD为正方形，△PAD与△PCD为正三角形，令AC∩BD=O，则PO⊥平面ABCD，作OQ⊥PD，连接AQ，则∠AQO为二面角B-PD-A的平面角，由题意，AO=a，AQ=，OQ=，∴cos∠AQO==．【解析】（1）取PC中点N，连接MN，DN，则MN∥BC，证明PC⊥平面MND，即可得出结论；（2）令AC∩BD=O，则PO⊥平面ABCD，作OQ⊥PD，连接AQ，则∠AQO为二面角B-PD-A的平面角，利用余弦定理，即可得出结论．本题考查线面垂直的判定与性质，考查二面角的平面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22.椭圆G：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1F2，离心率为，连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为2，直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂直l1于点P，线段PF2的垂直平分线交l2于点M．（1）求椭圆G的方程；（2）求点M的轨迹E的曲线方程；（3）点A，B为曲线E上异于原点O的两点，OA⊥OB，+=，求四边形AOBC的面积最小值．【答案】解：（1）由题意可得：，解得a2=3，c=1，b2=2．∴椭圆G的方程为．（2）点M满足：|MP|=|MF2|，∴点M是以F2为焦点，l1为准线的抛物线，其轨迹E的方程为：y2=4x．（3）设直线OA，OB的方程分别为：y=kx，．（k≠0）联立，解得A，，同理可得B（4k2，-4k）．∴S=|OA||OB|==≥32，当且仅当k=±1时取等号．∴四边形AOBC的面积最小值为32．【解析】（1）由题意可得：，解得即可得出；（2）点M满足：|MP|=|MF2|，由抛物线的定义可得：点M是以F2为焦点，l1为准线的抛物线，即可得出其轨迹E的方程．（3）设直线OA，OB的方程分别为：y=kx，．与抛物线方程联立解得A，，同理可得B（4k2，-4k）．可得S=|OA||OB|==，利用基本不等式的性质即可得出．本题考查了椭圆与抛物线的定义标准方程及其性质、直线与抛物线交转化为方程联立、四边形的面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
【黑龙江省哈尔滨市第六中学】2016-2017学年度高三上学期期末理科数学考试试卷-答案
（2）联立 得 ，
解得 ， ，联立 得
，
解得 ， 所以 ，
，
所以 ，故存在常数 ，使得 ．
21．（1）函数 的定义域为 ， ，
， ， ，令 ，即 ， ， 或 ，所以函数 的单调递增区间是 ， ；
（2）当 时， ， ，
，
令 ，
则 ，
，当 时， 在 上单调递减． 当 时， ，从而有 时， ，当 时， 在 上单调递减， 当 时， ，从而有 时， ，
黑龙江省哈尔滨市第六中学2017届高三上学期期末考试理科数学试卷
答 案
1~5．DCABA6~10．ABBCB11~12．BD
13．
14．
15．
16．
17．解：（1） ， ，两式相减可得 ， ，
当 时， ， ，所以 是以1为首项，2为公比的等差数列，所以 ， ， ， ．
（2） ，
18．（1）由表可知：空气温度指标为0的有 ；空气温度指标为1的有 ， ， ， ， ， ，空气温度指标为2的有 ， ， ．所以空气温度指标z相同的概率 ．
（2）计算10块青蒿人工种植地的综合指标，可得下表：
编号
综合指标
144ຫໍສະໝຸດ 6245
3
5
3
其中长势等级是一级的（ ）有 ， ， ， ， ， ，共6个，长势等级不是一级的（ ）有 ， ， ， ，共4个．随机变量X的所有可能取值为：1，2，3，4，5．
，
，
，
，所以X的分布列为：
X
1
2
3
4
5
P
所以 ．
19．（1）因为 ， ， ，M为DC的中点，
，取AM的中点O，连结OD，则 ，取AB的中点N，
连结ON，则 ，以 为原点如图建立空间直角坐标系，根据已知条件，得
黑龙江省哈尔滨市第六中学2015-2016学年高二上学期期末考试数学试题及答案(理)
哈尔滨市第六中学2015-2016学年度上学期期末考试高二理科数学一.选择题(共12题,每题5分) 1．复数iiz +=1（其中i 为虚数单位）的虚部是( ) A ．21-B ．i 21C ．21 D ．i 21-2. 已知121:≥-x p , 1:<-a x q .若q 是p 的必要不充分条件,则实数a 的取值范围是( )A ．(2,3]B ．[2,3]C ．(2,3)D ．(,3]-∞3. 某单位业务人员、管理人员、后勤服务人员人数之比依次为15:3:2．为了了解该单位职员的某种情况，采用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，样本中业务人员人数为30，则此样本的容量n 为（ ）A.20B.30 C ．40 D ．80 4．已知直线⊥l 平面α,直线⊂m 平面β,给出下列命题：①l ⇒⊥βα∥m ；②α∥m l ⊥=β； ③α⇒⊥m l ∥β④l ∥βα⊥⇒m ； 其中正确命题的序号是( )A ．①②③B ．②③④C ．①③D ．②④ 5. 下列说法正确的是（ ）A. 命题“若sin sin x y =，则x y =”的逆否命题为真命题B.“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件C. 命题“2,10x R x x ∃∈++<”的否定是“2,10x R x x ∀∈++<”D. 命题“若21x =，则1x =”的否命题为“若12≠x ，则1x ≠”6．设随机变量δ服从正态分布()7,3N ，若()()22-<=+>a p a p δδ，则a =( ) A ．1B ．2C ．3D ．47．如右图，已知K 为如图所示的程序框图输出结果，二项式nK x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．78．先后掷骰子（骰子的六个面分别标有1、2、3、4、5、6个点）两次落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为y x ,，设事件A 为“y x +为偶数”，事件B 为“y x ,中有偶数，且y x ≠”，则概率()A B P =( )A ．12B ．13C ．14D ．259．已知()821x +展开式的二项式系数的最大值为a ，系数的最大值为b ，则ab=( ) A ．1285 B ．2567 C ．5125 D ．128710．有5盆菊花，其中黄菊花2盆、白菊花2盆、红菊花1盆，现把它们摆放成一排，要求2盆黄菊花必须相邻，2盆白菊花不能相邻，则这5盆花不同的摆放种数是( )A ．1 2B ．24C ．36D ．4811. 甲、乙两名运动员的5次测试成绩如右图所示. 设21,s s 分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的标准差, 21,x x 分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的平均数，则有（ ）A.21x x =,21s s < B. 21x x =，21s s > C.21x x >，21s s > D.21x x =，21s s =12．已知三棱锥ABC S -的所有顶点都在球O 的球面上，SA ⊥平面ABC ，34=SA ，2=AB ，4=AC ，︒=∠60BAC ，则球O 的表面积为( )A ．4πB ．12πC ．16πD ．64π二.填空题(共4题,每题5分)13．袋中有大小相同的红色、白色球各一个，每次任取一个，有放回地摸3次，3次摸到的红球比白球多1次的概率为________________． 14. 设n 为正整数,n n f 131211)(++++= ，经计算得25)8(,2)4(,23)2(>>=f f f ，3)16(>f ,27)32(>f ，……观察上述结果，对任意正整数n ，可推测出一般结论是________. 15. 向面积为S 的ABC ∆内任投一点P ，则PBC ∆的面积小于3S的概率为 . 16．如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，5,4,3===AB BC AC ，点D 是线段AB 上的一点，且︒=∠901CDB ，CD AA =1，则点1A 到平面CD B 1的距离为_______.三.解答题(共6题,共70分) 17. (本小题满分10分)某个体服装店经营某种服装，在某周内获纯利润y （元）与该周每天销售这种服装件数x 之间有如下一组数据：已知77211280,3487ii i i i xx y ====∑∑.(1)求,x y ； （2）求纯利润ˆy与每天销售件数x 之间的回归方程. (参考公式：x b y a xn xyx n yx b ni ini ii -=--=∑∑==,1221)18.（本小题满分12分）我国新修订的《环境空气质量标准》指出空气质量指数在0-50为优秀，各类人群可正常活动.环保局对我市2014年进行为期一年的空气质量监测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为(]5,15，(]15,25，(]25,35，(]35,45，由此得到本的空气质量指数频率分布直方图，如图.(1) 求a 的值；(2) 根据样本数据，试估计这一年度的空气质量指数的平均值；(3) 如果空气质量指数不超过15，就认定空气质量为“特优等级”，则从这一年的监测数据中19.（本小题满分12分）如图三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1AB B C ⊥. (1) 证明：1AC AB =；(2)若1AC AB ⊥，o 160CBB ∠=，AB BC =,求二面角111A A B C --的余弦值.20．(本小题满分12分)某校的学生记者团由理科组和文科组构成，具体数据如下表所示：空气质量指数0.0320.020 0.018O 5 15 25 35 45 a学校准备从中选出4人到社区举行的大型公益活动进行采访，每选出一名男生，给其所在小组记1分，每选出一名女生则给其所在小组记2分，若要求被选出的4人中理科组、文科组的学生都有．(Ⅰ)求理科组恰好记4分的概率；(Ⅱ)设文科男生被选出的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ．21．(本小题满分12分)如图是某几何体的直观图与三视图的侧视图、俯视图. 在直观图中，AE BN =2,M 是ND 的中点. 侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示.（1）在答题纸上的虚线框内画出该几何体的正视图，并标上数据； （2）求证：EM ∥平面ABC ；（3）试问在边BC 上是否存在点G ，使GN ⊥平面NED . 若存在，确定点G 的位置；若不存在， 请说明理由.22.（本小题满分12分）设直线)1(:+=x k y l 与椭圆)0(3222>=+a a y x 相交于B A ,两个不同的点，与x 轴相交于点C ，记O 为坐标原点.（1）证明：222313kk a +>； （2）若2=, 求△OAB 的面积取得最大值时的椭圆方程.高二理科数学答案一.选择题CACDD CBBAB BD 二.填空题 13.83 14.()222+≥n f n 15.95 16.3 三.解答题17.(1)86.797559,6≈==y x (2)75.4419==b 36.5114719≈=a 18.(1) 解：由题意，得()0.020.0320.018101a +++⨯=， ……………1分解得0.03a =. ……………2分 （2）解：50个样本中空气质量指数的平均值为0.2100.32200.3300.184024.6X =⨯+⨯+⨯+⨯= ……………3分由样本估计总体，可估计这一年度空气质量指数的平均值约为24.6. …………4分 （3）解：利用样本估计总体，该年度空气质量指数在(]5,15内为“特优等级”，且指数达到“特优等级”的概率为0.2，则⎪⎭⎫ ⎝⎛51,3~B ξ ………5分ξ的取值为0,1,2,3， ………6分()30346405125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， ()2131448155125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2231412255125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()3331135125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. …………10分 ∴ξ的分布列为：……11分∴6448121301231251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. ………12分 （或者13355E ξ=⨯=） 19. (Ⅰ)连结1BC ，交1B C 于O ，连结AO ．因为侧面11BB C C 为菱形，所以1B C 1BC ⊥，且O 为1B C 与1BC 的中点．又1AB B C ⊥，所以1B C ⊥平面ABO ，故1B C AO⊥又 1B O CO =，故1AC AB = ……… 4分 （Ⅱ）因为1AC AB ⊥且O 为1B C 的中点，所以CO AO=又因为BC AB =，所以BOA BOC ∆≅∆. 故OB OA ⊥，从而OB OA ,,1OB 两两互相垂直．以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，OB 为单位长，建立如图所示空间直角坐标系xyz O -． 因为0160CBB ∠=，所以1CBB ∆为等边三角形．又BC AB =，则A ⎛ ⎝，()1,0,0B，1B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，0,C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭1AB ⎛= ⎝，111,0,,A B AB ⎛== ⎝111,B C BC ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭设(),,n x y z =是平面的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00111B A n AB n，即00y x =⎪=⎪⎩所以可取(1,3,n = 设m 是平面的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅01111C B m B A ，同理可取(1,m =则71cos =>=⋅<，所以二面角111A A B C --的余弦值为17. 12分20. 解：(Ⅰ) 33106P =（4分） (Ⅱ) 由题意得0,1,2,3ξ=，于是ξ的分布列为（只写出正确分布列表格的扣4分） ξ的数学期望为123()106E ξ=（12分） 21.（1）正视图如图所示.（注：不标中间实线扣1分）………………2分（2）证明：俯视图和侧视图，得︒=∠90CAB ，3=DC ,2==AB CA ，2=EA ，1=BN ，⊥EA 平面ABC ,NB DC EA ////.取BC 的中点F ，连接FM 、EM ，则EA DC FM ////，且()221=+=DC BN FM …4分 ∴FM 平行且等于EA , ∴四边形EAFM 是平行四边形， ∴EM AF //，又AF ⊆平面ABC ，∴EM ⊆平面ABC .…………………………7分（3）解，以A 为原点，以A C的方向为x 轴的正方向，的方向为y 轴正方向，的方向为z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则有A （0，0，0），E （0，0，2），B （0，2，0），D （－2，0，3），N （0，2，1），C（-2，0，0）.设ND =（-2，-2，2），NE =（0，-2，1），CB =（2，2，0），CN =（2，2，1）.假设在BC 边上存在点G 满足题意，(2,2,0),[0,1],(2,2,1)(2,2,0)(22,22,1).04410,,,882003[0,1].4CG CB GN CN CG GN NE GN NED GN ND λλλλλλλλλλλ==∈=-=-=--⎧⋅=-++=⎧⎪⊥∴⎨⎨-++=⋅=⎩⎪⎩=∈设则平面即解之得∴边BC 上存在点D ，满足CB CG 43=时，GN ⊥平面NED ………………12分22. (I ）解：依题意，直线l 显然不平行于坐标轴，故.11)1(-=+=y kx x k y 可化为 将x a y x y k x 消去代入,311222=+-=，得.012)31(222=-+-+a y k y k① 由直线l 与椭圆相交于两个不同的点3)31(,0)1)(31(4422222>+>---=∆a k a kk 整理得，即.313222kk a +>… 5分 （II ）解：设).,(),,(2211y x B y x A 由①，得221312k ky y +=+因为212,2y y -==得，代入上式，得.31222kky +-=……………8分 于是，△OAB 的面积 ||23||||21221y y y OC S =-⋅=23||32||331||32=≤+=k k k k其中，上式取等号的条件是.33,132±==k k 即由.33,312222±=+-=y k k y 可得 将33,3333,3322=-=-==y k y k 及这两组值分别代入①，均可解出.52=a 所以，△OAB 的面积取得最大值的椭圆方程是.5322=+y x ………12分。
黑龙江省哈尔滨六中2015-2016学年高二上学期学业水平测试数学试卷(理科) 含解析
2015—2016学年黑龙江省哈尔滨六中高二(上）学业水平测试数学试卷(理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的1．设集合A=｛1，2｝，则满足A∪B={1,2，3｝的集合B的个数是(）A．1个B．2个C．4个D．8个2．若a、b、c∈R,a＞b，则下列不等式成立的是（）A．B．a2＞b2C．a（c2+1）＞b（c2+1）D．a|c|＞b|c|3．设m，n是两条不同直线，α,β是两个不同的平面，下列命题正确的是(）A．m∥α，n∥β且α∥β,则m∥n B．m⊥α,n⊥β且α⊥β，则m⊥nC．m⊥α，n⊂β，m⊥n,则α⊥β D．m⊂α，n⊂α,m∥β，n∥β,则α∥β4．函数f(x）=(x2﹣2x﹣3）的单调减区间是（)A．（3，+∞) B．（1，+∞) C．(﹣∞，1）D．(﹣∞，﹣1)5．化简=（）A．1 B．2 C．D．﹣16．已知非零向量，满足｜｜=｜|，（﹣）⊥，则向量与的夹角大小为() A．30°B．60°C．120°D．150°7．在等比数列中｛a n｝中，若a3a5a7a9a11=243，则的值为(）A．9 B．1 C．2 D．38．高一年级某班63人,要选一名学生做代表，每名学生当选是等可能的，若“选出代表是女生”的概率是“选出代表是男生”的概率的，这个班的女生人数为（）A．20 B．25 C．30 D．359．若实数x、y满足=1,则x2+2y2有()A．最大值3+2 B．最小值3+2C．最大值6 D．最小值610．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（）A．4 B．5 C．6 D．711．已知直线3x+2y﹣3=0与6x+my+7=0互相平行,则它们之间的距离是（)A．4 B． C．D．12．已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm),可得这个几何体的体积是(）A．B．C．2000cm3D．4000cm3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案写在答题卡上相应的位置13．展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项等于．14．已知S n是等差数列{a n}的前n项和,S3=6，a n+a n=16，若S n=50，则n的值为．﹣215．已知变量x、y满足,则z=2x+y的最大值．16．过圆x2+y2﹣2x+4y﹣4=0内一点M(3，0)作圆的割线l，使它被该圆截得的线段最短，则直线l的方程是．三、解答题：本大题共6小题，共52分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17．等差数列{a n｝的前n项和为S n，已知a2=1,S10=45(Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ)若数列｛b n｝满足b n=,求数列｛b n｝的前n项和T n．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
哈尔滨市第六中学2015-2016学年度上学期期末考试高二理科数学一.选择题(共12题,每题5分)1．复数i iz +=1（其中i 为虚数单位）的虚部是( ) A ．21- B ．i 21 C ．21D ．i 21-2. 已知121:≥-x p , 1:<-a x q .若q 是p 的必要不充分条件,则实数a 的取值范围是( ) A ．(2,3] B ．[2,3] C ．(2,3) D ．(,3]-∞3. 某单位业务人员、管理人员、后勤服务人员人数之比依次为15:3:2．为了了解该单位职员的某种情况，采用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，样本中业务人员人数为30，则此样本的容量n 为（ ） A.20 B.30 C ．40 D ．80 4．已知直线⊥l 平面α,直线⊂m 平面β,给出下列命题： ①l ⇒⊥βα∥m ； ②α∥m l ⊥=β； ③α⇒⊥m l ∥β④l ∥βα⊥⇒m ；其中正确命题的序号是( )A ．①②③ B．②③④ C．①③ D．②④5. 下列说法正确的是（ ）A. 命题“若sin sin x y =，则x y =”的逆否命题为真命题B.“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件C. 命题“2,10x R x x ∃∈++<”的否定是“2,10x R x x ∀∈++<” D. 命题“若21x =，则1x =”的否命题为“若12≠x ，则1x ≠”6．设随机变量δ服从正态分布()7,3N ，若()()22-<=+>a p a p δδ，则a =( ）A ．1B ．2C ．3D ．47．如右图，已知K 为如图所示的程序框图输出结果，二项式nK x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为（ ） A ．4B ．5C ．6D ．78．先后掷骰子（骰子的六个面分别标有1、2、3、4、5、6个点）两次落在水平桌面后，记正面朝上 的点数分别为y x ,，设事件A 为“y x +为偶数”，事件B 为“y x ,中有偶数，且y x ≠”，则概率()A B P =( )A ．12B ．13C ．14D ．259．已知()821x +展开式的二项式系数的最大值为a ，系数的最大值为b ，则ab=( ) A ．1285 B ．2567C ．5125D ．1287 10．有5盆菊花，其中黄菊花2盆、白菊花2盆、红菊花1盆，现把它们摆放成一排，要求2盆黄菊花必须相邻，2盆白菊花不能相邻，则这5盆花不同的摆放种数是( ) A ．1 2 B ．24 C ．36 D ．4811. 甲、乙两名运动员的5次测试成绩如右图所示. 设21,s s 分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的标准差, 21,x x 分别 表示甲、乙两名运动员测试成绩的平均数，则有（ ） A. 21x x =,21s s < B. 21x x =，21s s > C.21x x >，21s s > D.21x x =，21s s =12．已知三棱锥ABC S -的所有顶点都在球O 的球面上，SA ⊥平面ABC ，34=SA ，2=AB ，4=AC ，︒=∠60BAC ，则球O 的表面积为( )A ．4πB ．12πC ．16πD ．64π二.填空题(共4题,每题5分)13．袋中有大小相同的红色、白色球各一个，每次任取一个，有放回地摸3次，3次摸到的红球比白球多1次的概率为___________________． 14. 设n 为正整数,n n f 131211)(++++= ，经计算得25)8(,2)4(,23)2(>>=f f f ，3)16(>f , 27)32(>f ，……观察上述结果，对任意正整数n ，可推测出一般结论是____________ . 15. 向面积为S 的ABC ∆内任投一点P ，则PBC ∆的面积小于3S的概率为 . 16．如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，5,4,3===AB BC AC ，点D 是线段AB 上的一点，且︒=∠901CDB ，CD AA =1，则点1A 到平面CD B 1的距离为_______.三.解答题(共6题,共70分) 17. (本小题满分10分)某个体服装店经营某种服装，在某周内获纯利润y （元）与该周每天销售这种服装件数x 之间有如下一组数据：已知77211280,3487ii i i i xx y ====∑∑.(1)求,x y ； （2）求纯利润ˆy与每天销售件数x 之间的回归方程.(参考公式：x b y a xn xyx n yx b ni ini ii -=--=∑∑==,1221)18.（本小题满分12分）我国新修订的《环境空气质量标准》指出空气质量指数在0-50为优秀，各类人群可正常活动.环保局对我市2014年进行为期一年的空气质量监测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为(]5,15，(]15,25，(]25,35，(]35,45，由此得到本的空气质量指数频率分布直方图，如图. (1) 求a 的值；(2) 根据样本数据，试估计这一年度的空气质量指数的平均值；(3) 如果空气质量指数不超过15，就认定空气质量为“特优等级”，则从这一年的监测数据中随机抽取3天的数值，其中达到“特优等级”的天数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.19.（本小题满分12分）如图三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1AB B C ⊥. (1) 证明：1AC AB =；(2)若1AC AB ⊥，o 160CBB ∠=，AB BC =, 求二面角111A A B C --的余弦值.20．(本小题满分12分)空气质量指数0.0320.020 0.018O 5 15 25 35 45 a1分，每选出一名女生则给其所在小组记2分，若要求被选出的4人中理科组、文科组的学生都有． (Ⅰ)求理科组恰好记4分的概率；(Ⅱ)设文科男生被选出的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ．21．(本小题满分12分)如图是某几何体的直观图与三视图的侧视图、俯视图. 在直观图中，AE BN =2,M 是 ND 的中点. 侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示. （1）在答题纸上的虚线框内画出该几何体的正视图，并标上数据； （2）求证：EM ∥平面ABC ；（3）试问在边BC 上是否存在点G ，使GN ⊥平面NED . 若存在，确定点G 的位置；若不存在， 请说明理由.22.（本小题满分12分）设直线)1(:+=x k y l 与椭圆)0(3222>=+a a y x 相交于B A ,两个不同的点，与x 轴相交于点C ，记O 为坐标原点.（1）证明：222313kk a +>； （2）若2=, 求△OAB 的面积取得最大值时的椭圆方程.高二理科数学答案 一.选择题CACDD CBBAB BD 二.填空题 13.83 14.()222+≥n f n 15.95 16.3 三.解答题17.(1)86.797559,6≈==y x (2)75.4419==b 36.5114719≈=a 18.(1) 解：由题意，得()0.020.0320.018101a +++⨯=， ……………1分解得0.03a =. ……………2分 （2）解：50个样本中空气质量指数的平均值为0.2100.32200.3300.184024.6X =⨯+⨯+⨯+⨯= ……………3分由样本估计总体，可估计这一年度空气质量指数的平均值约为24.6. …………4分 （3）解：利用样本估计总体，该年度空气质量指数在(]5,15内为“特优等级”，且指数达到“特优等级”的概率为0.2，则⎪⎭⎫⎝⎛51,3~B ξ ………5分ξ的取值为0,1,2,3， ………6分()30346405125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， ()2131448155125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2231412255125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()3331135125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. ……………10分 ∴ξ的分布列为：……11分∴6448121301231251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. ………12分 （或者13355E ξ=⨯=） 19. (Ⅰ)连结1BC ，交1B C 于O ，连结AO ．因为侧面11BB C C 为菱形，所以1B C 1BC ⊥且O 为1B C 与1BC 的中点．又1AB B C ⊥，所以1B C ⊥平面ABO ，故1B C AO⊥ 1B O CO =，故1AC AB = ……… 4分（Ⅱ）因为1AC AB ⊥且O 为1B C的中点，所以COAO =又因为BC AB =，所以BOA BOC ∆≅∆.故OB OA ⊥，从而OB OA ,,1OB 两两互相垂直．以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，OB 为单位长，建立如图所示空间直角坐标系xyz O -． 因为0160CBB ∠=，所以1CBB ∆为等边三角形．又BC AB =，则A ⎛ ⎝，()1,0,0B，1B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，0,C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭1AB ⎛= ⎝，111,0,,A B AB ⎛== ⎝111,B C BC ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭设(),,n x y z =是平面的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00111B A n AB n，即00y x =⎪=⎪⎩所以可取(1,3,n = 设m 是平面的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅01111C B m B A ，同理可取(1,m =则71cos =>=⋅<，所以二面角111A A B C --的余弦值为17. 12分20. 解：(Ⅰ) 33106P =（4分） (Ⅱ) 由题意得0,1,2,3ξ=，于是ξ的分布列为（只写出正确分布列表格的扣4分） ξ的数学期望为()106E ξ=（12分） 21.（1）正视图如图所示.（注：不标中间实线扣1分）………………2分 （2）证明：俯视图和侧视图，得︒=∠90CAB ， 3=DC ,2==AB CA ，2=EA ，1=BN ，⊥EA 平面ABC , NB DC EA ////.取BC 的中点F ，连接FM 、EM ，则EA DC FM ////，且()221=+=DC BN FM …4分 ∴FM 平行且等于EA , ∴四边形EAFM 是平行四边形， ∴EM AF //，又AF ⊆平面ABC ，∴EM ⊆平面ABC .…………………………7分（3）解，以A 为原点，以A C的方向为x 轴的正方向，AB 的方向为y 轴正方向，的方向为z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则有A （0，0，0），E （0，0，2），B （0，2，0），D （－2，0，3），N （0，2，1），C （－2，0，0）.设ND =（－2，－2，2），NE =（0，－2，1）， CB =（2，2，0），CN =（2，2，1）.假设在BC 边上存在点G 满足题意，(2,2,0),[0,1],(2,2,1)(2,2,0)(22,22,1).04410,,,882003[0,1].4CG CB GN CN CG GN NE GN NED GN ND λλλλλλλλλλλ==∈=-=-=--⎧⋅=-++=⎧⎪⊥∴⎨⎨-++=⋅=⎩⎪⎩=∈设则平面即解之得∴边BC 上存在点D ，满足CB CG 43=时，GN ⊥平面NED ………………12分22. (I ）解：依题意，直线l 显然不平行于坐标轴，故.11)1(-=+=y kx x k y 可化为 将x a y x y k x 消去代入,311222=+-=， 得.012)31(222=-+-+a y k y k①由直线l 与椭圆相交于两个不同的点3)31(,0)1)(31(4422222>+>---=∆a k a k k 整理得，即.313222kk a +>… 5分 （II ）解：设).,(),,(2211y x B y x A 由①，得221312k ky y +=+因为212,2y y -==得，代入上式，得.31222kky +-= ……………8分 于是，△OAB 的面积 ||23||||21221y y y OC S =-⋅=23||32||331||32=≤+=k k k k 其中，上式取等号的条件是.33,132±==k k 即由.33,312222±=+-=y k k y 可得 将33,3333,3322=-=-==y k y k 及这两组值分别代入①，均可解出.52=a 所以，△OAB 的面积取得最大值的椭圆方程是.5322=+y x ………12分。