【成才之路】高中数学 2.1 变化的快慢与变化率基础巩固 北师大版选修2-2

【成才之路】2014-2015学年高中数学 2.1 变化的快慢与变化率基础巩固 北师大版选修2-2一、选择题1．函数y ＝f (x )的自变量x 由x 0改变到x 0＋Δx 时，函数值的改变量Δy 等于( ) A ．f (x 0＋Δx ) B ．f (x 0)＋Δx C ．f (x 0)·Δx D ．f (x 0＋Δx )－f (x 0)[答案] D[解析] 写出自变量x 0和x 0＋Δx 对应的函数值f (x 0)和f (x 0＋Δx )，两式相减，就得到了函数值的改变量．2．若函数f (x )＝2x 2－1的图像上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则Δy Δx 等于( )A ．4B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2(Δx )2[答案] C[解析] Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－2＋1＝4Δx ＋2Δx 2，∴ΔyΔx＝4＋2Δx .3．质点运动规律s ＝t 2＋3，则在时间(3,3＋Δt )中，相应的平均速度为( ) A ．6＋Δt B ．6＋Δt ＋9ΔtC ．3＋ΔtD ．9＋Δt[答案] A[解析] ∵Δs ＝(3＋Δt )2＋3－32＝6Δt ＋Δt 2∴ΔsΔt＝6＋Δt . 二、填空题4．若物体运动方程为s (t )＝－2t 2＋t ，则其初速度为____． [答案] 1[解析] 物体的初速度即t ＝0时的瞬时速度，Δs Δt ＝[－＋Δt2＋＋Δt －0Δt＝－2Δ＋1，当Δt 趋于0时，ΔsΔt趋于1，即初速度为1.5．已知成本c 与产量q 的函数关系式为c ＝4q 2＋q －6，则当产量q ＝10时的边际成本，(注：边际成本是指在一定产量水平下，增加或减少一个单位产量所引起成本总额的变化量)为________．[答案] 81[解析] Δc ＝[4(10＋Δq )2＋(10＋Δq )－6]＝(4×102＋10－6)＝4(Δq )2＋81Δq ， ∴Δc Δq＝Δq2＋81ΔqΔq＝4Δq ＋81.当Δq 趋于0时，ΔcΔq 趋于81，即当产量q ＝10时，边际成本为81. 三、解答题6．已知质点M 按规律s ＝3t 2＋2做直线运动(位移单位：cm ，时间单位：s)． (1)当t ＝2，Δt ＝0.01时，求ΔsΔt ；(2)求质点M 在t ＝2时的瞬时速度． [解析] Δs Δt＝s t ＋Δt －s tΔt＝t ＋Δt2＋2－t 2＋Δt＝6t ＋3Δt .(1)当t ＝2，Δt ＝0.01时， ΔsΔt＝6×2＋3×0.01＝12.03cm/s. (2)当Δt 趋于0时，6t ＋3Δt 趋于6t ， ∴质点M 在t ＝2时的瞬时速度为12cm/s.[点评] 本题重点是求质点M 的瞬时速度，瞬时速度是根据一段时间内物体的平均速度的趋近值来定义的，因此只要知道了物体的运动方程，代入公式就可以求出瞬时速度.一、选择题1．一质点的运动方程为s ＝2t 2，则此质点在时间[1,1＋Δt ]内的平均速率为( ) A ．4＋Δt B ．2＋(Δt )2C ．4Δt ＋1D ．4＋2Δt[答案] D [解析] Δs Δt＝＋Δt 2－2Δt＝4＋2Δt .2．函数y ＝f (x )＝x 2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为k 1，在区间[x 0－Δx ，x 0]上的平均变化率为k 2，则k 1与k 2的大小关系为( )A ．k 1＞k 2B ．k 1＜k 2C ．k 1＝k 2D ．不确定[答案] A[解析] k 1＝f x 0＋Δx －f x 0Δx ＝x 0＋Δx2－x 2Δx ＝2x 0＋Δx ，k 2＝f x 0－f x 0－Δx Δx ＝x 20－x 0－Δx 2Δx＝2x 0－Δx .由题意知：Δx >0，∴k 1>k 2，选A.3．将半径为R 的球加热，若球的半径增加ΔR ，则球的体积大约增加( ) A.43πR 3ΔR B ．4πR 2ΔR C ．4πR 2D ．4πR ΔR[答案] B[解析] 43π(R ＋ΔR )3－43πR 3＝43π[R 3＋3R 2ΔR ＋3R (ΔR )2＋(ΔR )3－R 3] ≈4πR 2ΔR .故选B.4．以初速度为v 0(v 0>0)做竖直上抛运动的物体，t 秒时的高度为s (t )＝v 0t －12gt 2，则物体在t 0秒到t 0＋Δt 秒间的平均速度为( )A ．v 0－gt 0－12g ΔtB ．v 0－gt 0C ．v 0－12g ΔtD ．gt 0－12g Δt[答案] A[解析] ∵Δs ＝v 0(t 0＋Δt )－12g (t 0＋Δt )2－v 0t 0＋12gt 20＝(v 0－gt 0)Δt －12g (Δt )2，∴Δs Δt ＝v 0－gt 0－12g Δt .∴物体在t 0秒到t 0＋Δt 秒间的平均速度为v 0－gt 0－12g Δt . 5．物体甲、乙在时间0到t 1范围内路程的变化情况如图所示，下列说法正确的是( )A ．在0到t 0范围内甲的平均速度大于乙的平均速度B ．在0到t 0范围内甲的平均速度小于乙的平均速度C ．在t 0到t 1范围内甲的平均速度大于乙的平均速度D ．在t 0到t 1范围内甲的平均速度小于乙的平均速度 [答案] C[解析] 在0到t 0范围内，甲、乙所走的路程相同，时间一样，所以平均速度相同，在t 0到t 1范围内，时间相同，而甲走的路程较大，所以甲的平均速度较大．二、填空题6．一质点运动规律是s ＝t 2＋3(单位：s (m)，t (s))，则在t ＝1秒时的瞬时速度估计是________m/s.[答案] 2[解析] Δs ＝s (1＋Δt )－s (1)＝(1＋Δt )2＋3－(12＋3)＝2Δt ＋(Δt )2， ∴Δs Δt ＝2Δt ＋Δt 2Δt＝2＋Δt ，当Δt 趋于0秒时，ΔsΔt趋于2米/秒．7．一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s 与时间t 之间的函数关系为：s ＝18t 2，则t ＝2时，此木块的瞬时速度为____________． [答案] 12[解析] Δs Δt ＝18t ＋Δt 2－18t 2Δt ＝14t ＋18Δt .当t ＝2，且Δt 趋于0时，Δs Δt 趋于12. 三、解答题8．已知函数f (x )＝x 2＋x ，分别计算f (x )在自变量x 从1变到3和从1变到2时的平均变化率．[解析] 自变量x 从1变到3时，函数f (x )的平均变化率为f－f3－1＝32＋3－2＋2＝5，自变量x 从1变到2时，函数f (x )的平均变化率为f－f2－1＝22＋2－2＋1＝4.[点评] 解决函数平均变化率的计算问题，要紧扣定义：函数f (x )当自变量x 从x 1变到x 2时，函数值的平均变化为f x 2－f x 1x 2－x 1.此外，要保证计算过程的准确性．9．设质点做直线运动，已知路程s 是时间t 的函数，s ＝3t 2＋2t ＋1.(1)求从t ＝2到t ＝2＋Δt 的平均速度，并求当Δt ＝1，Δt ＝0.1与Δt ＝0.01时的平均速度；(2)求当t ＝2时的瞬时速度．[分析] 用函数的平均变化率和瞬时变化率来求．[解析] (1)因为Δs ＝3(2＋Δt )2＋2(2＋Δt )＋1－(3×22＋2×2＋1)＝14Δt ＋3Δt 2，所以从t ＝2到t ＝2＋Δt 的平均速度为v ＝ΔsΔt＝14＋3Δt . 当Δt ＝1时，v ＝17； 当Δt ＝0.1时，v ＝14.3； 当Δt ＝0.01时，v ＝14.03.(2)当t ＝2时的瞬时速度为v ＝lim Δt →0 ΔsΔt ＝lim Δt →0(14＋3Δt )＝14. 10．质点M 按规律s (t )＝at 2＋1作直线运动(位移s 的单位：m ，时间t 的单位：s)．问是否存在常数a ，使质点M 在t ＝2时的瞬时速度为8m/s?[解析] 假设存在常数a ，则Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝a (2＋Δt )2＋1－a ×22－1＝4a ＋4a Δt ＋a (Δt )2＋1－4a －1＝4a Δt ＋a (Δt )2，所以Δs Δt ＝4a Δt ＋a Δt 2Δt＝4a ＋a Δt .当Δt 趋于0时，4a ＋a Δt 趋于4a,4a ＝8，解得a ＝2. 所以存在常数a ＝2，使质点M 在t ＝2时的瞬时速度为8m/s.[点评] 对于是否存在的探究性问题，可先假设其存在，然后按瞬时速度的定义求解即可．。