(完整版)数轴标根法及习题
数轴标根法又称数轴穿根法或穿针引线法
“数轴标根法”又称“数轴穿根法”或“穿针引线法”是高次不等式的简单解法当高次不等式f（x）>0（或<0）的左边整式、分式不等式φ（x）/h（x）>0（或<0）的左边分子、分母能分解成若干个一次因式的积（x－a1）（x－a2）…（x －an）的形式，可把各因式的根标在数轴上，形成若干个区间，最右端的区间f （x）、φ（x）/h（x）的值必为正值，从右往左通常为正值、负值依次相间，这种解不等式的方法称为序轴标根法。
为了形象地体现正负值的变化规律，可以画一条浪线从右上方依次穿过每一根所对应的点，穿过最后一个点后就不再变方向，这种画法俗称“穿针引线法”，如图1（图片自上而下依次为图一，二，三，四）。
步骤第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。
（注意：一定要保证x前的系数为正数）例如：将x^3-2x^2-x+2>0化为(x-2)(x-1)(x+1)>0第二步：将不等号换成等号解出所有根。
例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x1=2，x2=1，x3=-1第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。
例如：-1 1 2第四步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右根”上去，一上一下依次穿过各根。
第五步：观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果不等号为“<”则取数轴下方，穿根线以内的范围。
x的次数若为偶数则不穿过，即奇过偶不过。
例如：若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的根。
在数轴上标根得：-1 1 2画穿根线：由右上方开始穿根。
因为不等号为“>”则取数轴上方，穿跟线以内的范围。
即：-1<x<1或x>2。
（如图四）奇过偶不过就是当不等式中含有有单独的x偶幂项时，如(x^2)或(x^4)时，穿根线是不穿过（X-1)^2. 0点的。
但是对于X奇数幂项，就要穿过0点了。
数轴标根法 (3)
数轴标根法什么是数轴标根法？数轴标根法（Root-finding algorithm）是一种用于求解方程根的数值算法。
方程根指的是方程中使得方程成立的变量值。
数轴标根法最基本的思想是在数轴上标记出方程在某个区间内的根，并根据方程的性质逐步缩小这个区间，直到得到近似的根。
数轴标根法的步骤数轴标根法的步骤如下：1.首先，选择一个合适的初始区间，该区间内有且仅有一个根。
初始区间应该包含方程的根，并且足够窄，以便逐步缩小区间。
2.将初始区间分成若干个等间隔的小区间，可以通过在初始区间上取等间距点来实现。
3.在每个小区间内计算方程的函数值，并判断函数值的正负性。
如果小区间两端的函数值异号，说明在这个小区间内存在根。
4.选取其中一个包含根的小区间，将其继续二分，并重复第3步，直到根的位置足够精确。
数轴标根法的核心思想在于将整个区间不断划分，然后根据函数值正负变化的特征来快速缩小求解区间，从而准确地找到根的近似值。
数轴标根法的优缺点数轴标根法作为一种求解方程根的数值算法，具有一定的优缺点。
优点•数轴标根法相对简单，易于理解和实现。
•可以通过不断划分区间来逐步逼近方程的根，从而显著提高了求解根的效率。
•在求解单根时表现良好，收敛速度较快。
缺点•数轴标根法对于方程存在多个根时，可能只能求解到其中一个或几个近似根。
•如果方程的根位于初始区间之外，或者函数在某些区间上的增减变化比较大，可能会导致算法失效。
数轴标根法的应用领域数轴标根法在实际中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：•工程领域：在工程计算中，方程根经常需要被求解，如在电路分析中求解电流和电压的方程根。
•经济学：经济学模型中，方程根求解常用于确定经济模型的平衡点或边界值。
•物理学：在物理学中，方程根的求解经常用于解释实验数据和验证物理学定律等。
•计算机科学：在图形学、人工智能等领域，方程根的求解也是常见的需求。
总之，数轴标根法作为一种求解方程根的数值算法，在各个领域都有广泛的应用。
数轴问题练习题
数轴问题练习题
在数学学习中，数轴是一种常见的图形工具，用于表示和比较数值大小。
通过解决数轴问题，可以帮助学生更好地理解和运用数值的概念。
本文将提供一些数轴问题的练习题，帮助读者巩固对数轴的理解和运用。
问题一：在数轴上标出数值的位置
1. 将数-3、0和5标在同一条数轴上。
2. 标出数值-2、1和4所对应的点。
问题二：数轴上的比较
1. 比较数-1和数0，在数轴上用"<"或">"表示结果。
2. 比较数-5和数-3，在数轴上用"<"或">"表示结果。
问题三：数轴上的计算
1. 数轴上有数值-6和2，请计算它们的和，并在数轴上标出结果。
2. 数轴上有数值3和7，请计算它们的差，并在数轴上标出结果。
问题四：数轴上的中点和距离
1. 数轴上有数值1和3，请标出它们的中点，并计算它们的距离。
2. 数轴上有数值-2和5，请标出它们的中点，并计算它们的距离。
问题五：解决数轴问题
1. 求解一个未知数x，使得数轴上距离-2和1的距离等于3。
2. 求解一个未知数y，使得数轴上距离3和7的距离等于9。
通过解决以上问题，我们可以更好地理解和应用数轴的概念。
数轴问题是数学学习中的基础内容，掌握了数轴的使用，可以帮助我们更好地理解数值的大小关系、计算和解方程等进阶概念。
希望读者通过练习和思考这些问题，能够提高自己的数轴运用能力，为更高级的数学学习打下坚实的基础。
用数轴标根法巧解不等式(组)
用数轴标根法巧解不等式（组）中学数学中常将不等式的解集标示在数轴上，在解不等式（组）时，将不等式组中几个不等式的解集标示在数轴上后，取公共部分便为不等式组的解集。
您想过吗？用数轴标根的方法也可解不等式（组）。
例如：一些可化为（x＋a）（x ＋b）（x＋c）…（x＋n）＞0（或≤0）（其中a、b、c…n为常数）的不等式，就可用数轴标根法巧解。
数轴标根法解不等式（组）时，只需将不等式（组）对应方程的根标示在数轴上，从数轴左边开始划上下弯曲的曲线，即由先霐的规则，就可直接观察求解集。
具体来说，根的个数是奇数，就从数轴下方入手画曲线；就可直接观察求解集。
具体来说，根的个数是偶数，就从数轴上方入手划曲线。
观察求解集时，不等式“＞0”取上部；“＜0”取下部；若含等于零连该解也取上。
例1：解不等式x＋4＞0⑴通常解法解：x＋4＞0x＞－4⑵数轴标根法为解：由图1可知，不等式x＋4＞0解集为x＞－4说明：因为对应方程x＋4=0的根为－4，根的个数是1，是奇数，根据“奇从下入”规则，从数轴左边下方开始划曲线，又因为不等式“＞0”，所以取数轴上方，因此，不等式x＋4＞0解集为x＞-4。
例2：解不等式x2＋2x－3≤0⑴通常解法解：解x2＋2x－3≤0即解(x＋3)(x－1) ≤0也就是解（无解）⑵数轴标根解法由图2可知，－3≤x≤1说明：因为方程x2＋2x－3=0根为－3,1，个数是偶数，根据“偶从上入”规则，在数轴左边从上入手划曲线，又因为不等式为“≤0”，所以取数轴下半部，因此，不等式x2＋2x－3≤0解集为：－3≤x≤1。
例3：解不等式＞0（x≠4）⑴常用解法解：原不等式可化为：∴x＞4或－1＜x＜2∴原不等式解集为：x＞4或－1＜x＜2⑵数轴标根解法解：原不等式可化为(x＋1)(x－2)(x－4)＞0由图3可知，x＞4或－1＜x＜2说明：因为方程＝0（x≠4）的根为－1，2，4根的个数3为奇数，根据“奇从下入”，从数轴左边下方入手划曲线，又因为原不等式为“＞0”，所以取数轴上半部，因此原不等式解集为x＞4或－1＜x＜2。
用穿根法解不等式(经典归纳)
一元高次不等式的解法这里主要介绍“数轴标根法”解高次不等式，简单快捷.“数轴标根法”又称“数轴穿根法”、“穿针引线法”或“序轴标根法”.一、解题步骤求不等式32638x x x -+<-+的解集1. 化简：移项使右侧为0，将x 最高次项系数化为正数，再将左侧分解为几个一次因式积的形式.将32638x x x -+<-+化为323680(2)(1)(4)0x x x x x x --+>⇒+-->2. 求根：将不等式换成等式解出所有根.(2)(1)(4)0x x x +--=的根为12x =-，21x =，34x =3. 标根：在数轴上从左到右依次标出各根.-2 1 44. 穿根：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右根”上去，一上一下依次穿过各根.5. 写解：大于号取上方，小于号取下方，取穿根线以内的范围，将各解集求并.不等式32638x x x -+<-+的解集为：{}|21,4x x x -<<>或二、易错提示求解不等式：)0)(0(0022110><>++++--a a x a x a x a n n n n1. 分解因式：将不等式化为0123()()()()0n a x x x x x x x x ---->L 形式.2. 正化系数：将各因式中的x 系数化为正数.3. 奇穿偶不穿：从右上方往左下方穿线，依次经过数轴上表示各根的点，看各一次因式的次数，偶次根穿而不过，奇次根一穿而过，简称“奇穿偶不穿”.4. 解分式不等式：可化为一元高次不等式进行求解，如遇“≤或≥”，在标根时，分子实心，分母空心.三、分式不等式解法1.()()()()00f x f x g x g x >⇔⋅> 2.()()()()00f x f x g x g x <⇔⋅< 3.()()()()()000f xg x f x g x g x ⋅≥⎧⎪≥⇔⎨≠⎪⎩ 4.()()()()()000f xg x f x g x g x ⋅≤⎧⎪≤⇔⎨≠⎪⎩ 四、应用举例1.解不等式：22320712x x x x -+≤-+-（系数非正） 2.解不等式：22911721x x x x -+≥-+（右侧非0） 点评：（1）不能随便去分母（2）移项通分，必须保证右侧为“0”（3）注意重根问题3.解不等式：2256032x x x x +-≥-+（分子，分母有公因式） 点评：（1）不能随便约去因式（2）重根空实心，以分母为准4.解不等式：2121332x x x x ++>--（不等式左右有公因式） 点评：不等式左右不能随便乘除因式。
数学方法穿根法
穿根法“数轴穿根法”又称“数轴标根法”第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0，并分解因式。
（注意：一定要保证x前的系数为正数）例如：将x^3-2x^2-x+2>0化为(x-2)(x-1)(x+1)>0第二步：将不等号换成等号解出所有根。
例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x1=2，x2=1，x3=-1第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。
例如：-1 1 2第三步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右根”上去，一上一下依次穿过各根。
第四步：观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果不等号为“<”则取数轴下方，穿根线以内的范围。
例如：若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的根。
在数轴上标根得：-1 1 2画穿根线：由右上方开始穿根。
因为不等号威“>”则取数轴上方，穿根线以内的范围。
即：-1<x<1或x>2。
穿根前应注意，每项X系数均为正，否则应先则提取负号，改变相应不等号方向，再穿根。
例如(2-x)(x-1)(x+1)<0，要先化为(x-2)(x-1)(x+1)>0，再穿根。
穿根法的奇过偶不过定律：就是当不等式中含有有单独的x偶幂项时，如(x^2)或(x^4)时，穿根线是不穿过0点的。
但是对于X奇数幂项，就要穿过0点了。
还有一种情况就是例如：（X-1)^2.当不等式里出现这种部分时，线是不穿过1点的。
但是对于如（X-1)^3的式子，穿根线要过1点。
也是奇过偶不过。
可以简单记为“奇穿过，偶弹回”或“自上而下，从右到左，奇次跟一穿而过，偶次跟一穿不过”（口诀秘籍嘿嘿）。
还有关于分号的问题：当不等式移项后，可能是分式，同样是可以用穿根法的，直接把分号下面的乘上来，变成乘法式子。
继续用穿根法，但是注意，解不能让原来分式下面的式子等于0典型事例：第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0，并分解因式。
数轴标根法
用数轴标根法”来解可分解的高次不等式或分式不等式具体方法步骤如下：①将不等式等价化为X—X i X—X2…X—X n ・0C：0）形式，并将各因式X的系数化“ +”为了统一方便）；②求出对应方程X-X i X-X2…X-X n =0的根（或称零点），并在数轴上表示出来；③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点，但要注意奇穿偶不穿”（奇穿偶不穿”是指当左侧f（x有因式（x—X i）n时，n为奇数时，曲线在X i点处穿过数轴；n为偶数时，曲线在X i点处不穿过数轴）；④若不等式（X的系数化“ +后）是“ 0”则找线”在x轴上方的区间；若不等式是“:0”则找线”在X轴下方的区间。
例1解不等式（X .4）（x_i）：：:0 由标根法知一4VXV1例2、解不等式：(x-3)(x+1)(x2+4x+4)乞0. 解：①将原不等式化为：(x-3)(x+1)(x+2)2乞0；②求得相应方程的根为：-2 (偶次根)，-1, 3;③在数轴上表示各根并穿线，如图：④.••原不等式的解集是{x|-1 *3或x=-2}.说明：注意不等式若带“二”号，点画为实心，解集边界处应有等号；另外，线虽不穿-2点，但x=-2满足“二”的条件，不能漏掉.例3 解不等式：(x-2)2(x-3)3(x+1)<0.解：①检查各因式中x的符号均正；②求得相应方程的根为：-1 , 2, 3 (注意：2是偶次根，3 是奇次根)；③在数轴上表示各根并穿线，每个根穿一次(自右上方开始),如下图：④.••原不等式的解集为：{x|-1<x<2或2<x<3}.6例4解不等式(1 x)(x 3)- o1 —X.所以-lvxv-3 或—3<x<1例4解不等式X2-3X—40x(x-2I X + 3)解析：先将原不等式等价化为不等式x2 - 3x - 4 x x - 2 x 3 0且x -3, x = 0, x = 2 ,即x x -2 x 3 x 1 x - 4 :: 0且x = 一3, x = 0,x = 2，用数轴标根法”二原不等式的解是- ：：,-3 '-1,0 2,4】【评注】在不等式时我们应该考虑不等式左式的定义域，也就是在标根时要注意根的取舍，否则会产生增根或失根的误解.。
数轴标根法
• 解 原不等式等价于
• x（x+1）（x－2）（x－1）（x^2+x+1）>0，
• 例如：将x^3-2x^2-x+2>0化为(x-2)(x-1)(x+1)>0
• 第二步：将不等号换成等号解出所有 根。
• 例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x1=2 ，x2=1，x3=-1
• 第三步：在数轴上从左到右依次标出 各根。
• 例如：-1 1 2
• 第四步：画穿根线：以数轴为标准，从“最 右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后 又穿过“次右根”上去，一上一下依次穿过各 根。
注意事项：
• 运用序轴标根法解不等式时，常犯以下的错误： • 1． 出现形如（a－x）的一次因式时，匆忙地“穿针引
线”。 • 例1 解不等式x（3－x）（x+1）（x－2）>0。 • 解 x（3－x）（x+1）（x－2）>0，将各根－1、0、2
、3依次标在数轴上，由图1可得原不等式的解集为 {x|x<－1或0<x<2或x>3}。 • 事实上，只有将因式（a－x）变为（x－a）的形式后才 能用序轴标根法
数轴标根法
你们了解数轴标根法吗？
• “数轴标根法”又称“数轴穿根法” 或“穿针引线法”
• 准确的说，应该叫做“序轴标根 法”。
• 那么，什么是序轴呢？
• 序轴：省去原点和单位，只 表示数的大小的数轴。序轴 上标出的两点中，左边的点 表示的数比右边的点表示的 数小。
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数轴穿根法
一、概念简介
1.“数轴标根法”又称“数轴穿根法”或“穿针引线法”
2.准确的说，应该叫做“序轴标根法”。
序轴：省去原点和单位，只表示数的大小的数轴。
序轴上标出的两点中，左边的点表示的数比右边的点表示的数小。
3.是高次不等式的简单解法
4.为了形象地体现正负值的变化规律，可以画一条浪线从右上方依次穿过每一根所对应的点，穿过最后一个点后就不再变方向，这种画法俗称“穿针引线法”
二、方法步骤
第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。
（注意：一定要保证x前的系数为正数）
例如：将x^3-2x^2-x+2>0化为(x-2)(x-1)(x+1)>0
第二步：将不等号换成等号解出所有根。
例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x1=2，x2=1，x3=-1
第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。
例如：-1 1 2
第四步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右根”上去，一上一下依次穿过各根。
第五步：观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果不等号为“<”则取数轴下方，穿根线以内的范围。
x的次数若为偶数则不穿过，即奇过偶不过。
例如：若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的根。
在数轴上标根得：-1 1 2
画穿根线：由右上方开始穿根。
因为不等号为“>”则取数轴上方，穿跟线以内的范围。
即：
-1<x<1或x>2。
（如下图所示）
三、奇过偶不过
就是当不等式中含有单独的x偶数幂项时，如(x^2)或(x^4)时，穿根线是不穿过0点的。
但是对于X奇数幂项，就要穿过0点了。
还有一种情况就是例如：（X-1)^2.当不等式里出现这种部分时，线是不穿过1点的。
但是对于如（X-1)^3的式子，穿根线要过1点。
也是奇过偶不过。
可以简单记为“奇穿过，偶弹回”，一称“奇穿偶切”。
（如图三，为（X-1)^2）
四、注意事项
运用序轴标根法解不等式时，常犯以下的错误：
1．出现形如（a－x）的一次因式时，匆忙地“穿针引线”。
例1解不等式x（3－x）（x+1）（x－2）>0。
解 x（3－x）（x+1）（x－2）>0，将各根－1、0、2、3依次标在数轴上，由图1可得原不等式的解集为{x|x<－1或0<x<2或x>3}。
事实上，只有将因式（a－x）变为（x－a）的形式后才能用序轴标根法，正确的解法是：
解原不等式变形为x（x－3）（x+1）（x－2）<0，将各根－1、0、2、3依次标在数轴上，由图1，原不等式的解集为{x|－1<x<0或2<x<3}。
2．出现重根时，机械地“穿针引线”
例2解不等式（x+1）（x－1）^2（x－4）^3<0
解将三个根－1、1、4标在数轴上，由图2得，
原不等式的解集为{x|x<－1或1<x<4}。
（如图二）
这种解法也是错误的，错在不加分析地、机械地“穿针引线”。
出现几个相同的根时，所画的浪线遇到“偶次”点（即偶数个相同根所对应的点）不能过数轴，仍在数轴的同侧折回，只有遇到“奇次”点（即奇数个相同根所对应的点）才能穿过数轴，正确的解法如下：解将三个根－1、1、4标在数轴上，如图3画出浪线图来穿过各根对应点，遇到x=1的点时浪线不穿过数轴，仍在数轴的同侧折回；遇到x=4的点才穿过数轴，于是，可得到不等式的解集
{x|－1<x<4且x≠1}（如图三）
3．出现不能再分解的二次因式时，简单地放弃“穿针引线”
例3解不等式x（x+1）（x－2）（x^3－1）>0
解原不等式变形为x（x+1）（x－2）（x－1）（x^2+x+1）>0，有些同学同解变形到这里时认为不能用序轴标根法了，因为序轴标根法指明要分解成一次因式的积，事实上，根据这个二次因式的符号将其消去再运用序轴标根法即可。
解原不等式等价于
x（x+1）（x－2）（x－1）（x^2+x+1）>0，
∵ x^2+x+1>0对一切x恒成立，
∴ x（x－1）（x+1）（x－2）>0，由图4可得原不等式的解集为{x|x<－1或0<x<1或x>2}
数轴标根法-练习题
1.不等式x 2﹣6x+8≤0的解集为 _________ .
2. 0622≥-+x x 的解集为________________
3. 06562≤-+x x 的解集为_________________
4. 0322>++-x x 的解集为__________________
5. 04722<+--x x 的解集为___________________
6.
0)65)(1)(3(2≥+++-x x x x 的解集为______________
7. 0)2)(1(2<--x x x 的解集为__________________
8.
0)1()2()4(232>-+-x x x 的解集为________________
9. 03≤-x x 的解集为___________________
10. 011>-+x x 的解集为________________
11. 0322322≤--+-x x x x 的解集为_______________
12. 13≤-x x 的解集为___________________
13. 123422+≥+--x x x x 的解集为________________
14．（2013•广东）不等式x 2+x ﹣2＜0的解集为 _________ ．
15．（2012•湖南）不等式x2﹣5x+6≤0的解集为_________ ．16．（2008•北京）不等式的解集是_________ ．17．（2011•巢湖模拟）不等式的解集为_________ ．18．（2008•杨浦区二模）不等式的解为_________ ．19．（2008•卢湾区二模）不等式的解集为_________ ．20．不等式﹣x2+5x﹣6＞0的解集为_________ ．
21．不等式2x2﹣3x﹣2＜0的解集为_________ ．
22．不等式﹣x2﹣4x+5＞0的解集是_________ ．
10．函数的定义域是_________ ．
11．不等式的解集为_________ ．
12．不等式的解集是_________ ．
13．已知函数f（x）=的定义域是一切实数，则m的取值范围是_________ ．
14．不等式的解集为_________ ．
15．若不等式的解集为{x|﹣3＜x＜﹣1或x＞2}，则a= _________ ．
16．解不等式2x2﹣5x＜3．
17．已知集合A={x|﹣x2+x+6＞0}，B={x|x2+2x﹣8＞0}，求A∩B．18．解不等式：．。