高二数学上学期《直线方程》专题辅导

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高二数学上第七章直线和圆的方程： 7.2直线的方程(一)教案

7.2 直线的方程一、教学目标(一)知识教学点在直角坐标平面内，直线上一点和直线的斜率或直线上两点，会求直线的方程；给出直线的点斜式方程，能观察直线的斜率和直线经过的定点；(二)能力训练点通过直线的点斜式方程向斜截式方程的过渡，训练学生由一般到特殊的处理问题方法；通过直线的方程特征观察直线的位置特征，培养学生的数形结合能力．(三)学科渗透点通过直线方程的几种形式培养学生的美学意识．二、教材分析1．重点：由于斜截式方程是点斜式方程的特殊情况，截距式方程是两点式方程的特殊情况，教学重点应放在推导直线的斜截式方程和两点式方程上．2．难点：在推导出直线的点斜式方程后，说明得到的就是直线的方程，即直线上每个点的坐标都是方程的解；反过来，以这个方程的解为坐标的点在直线上．的坐标不满足这个方程，但化为y-y1=k(x-x1)后，点P1的坐标满足方程．三、活动设计分析、启发、诱导、讲练结合．四、教学过程问题1：直线L过点(1,2) ,斜率为3，那么直线L上任一点满足什么条件？你能得出直线L的方程吗？问题2：假设直线L经过点P1(x1, y1), 且斜率为k，那么L的方程是什么？(一)点斜式直线l的斜率是k，并且经过点P1 (x1，y1)，直线是确定的，也就是可求的，怎样求直线l的方程(图1-24)？设点P(x，y)是直线l上不同于P1的任意一点，根据经过两点的斜率公式得注意方程(1)与方程(2)的差异：点P1的坐标不满足方程(1)而满足方程(2)，因此，点P1不在方程(1)表示的图形上而在方程(2)表示的图形上，方程(1)不能称作直线l的方程．重复上面的过程，可以证明直线上每个点的坐标都是这个方程的解；对上面的过程逆推，可以证明以这个方程的解为坐标的点都在直线l上，所以这个方程就是过点P1、斜率为k的直线l的方程．这个方程是由直线上一点和直线的斜率确定的，叫做直线方程的点斜式．当直线的斜率为0°时(图1-25)，k=0，直线的方程是y=y1．当直线的斜率为90°时(图1-26)，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1．练习1：课本第39~40页1，2(二)斜截式直线l在y轴上的截距为b，斜率为b，求直线的方程．这个问题，相当于给出了直线上一点(0，b)及直线的斜率k，求直线的方程，是点斜式方程的特殊情况，代入点斜式方程可得：y-b=k(x-0)也就是上面的方程叫做直线的斜截式方程．为什么叫斜截式方程？因为它是由直线的斜率和它在y轴上的截距确定的．当k ≠0时，斜截式方程就是直线的表示形式，这样一次函数中k 和b 的几何意义就是分别表示直线的斜率和在y 轴上的截距．练习2：课本第40页 3例1、求过点(2, -1)且倾斜角为直线x-3y+4=0 的倾斜角的2倍的直线方程。

直线与方程复习题-高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

直线与方程复习题一、知识梳理：1距离公式(1)在平面直角坐标系中，两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)之间的距离公式为：|AB |＝__________．（2）线段的中点坐标公式：若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则x=_______________; y=_______________;(3)点到直线的距离公式：点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝．(4)两条平行直线间的距离公式：两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0(C 1≠C 2)间的距离d ＝____________________．2．直线的斜率(1)直线的倾斜角与斜率：___________(2)经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝．(3)直线的一般式为0Ax By C ++=,则该直线的斜率k =____________3．直线的方程(1)截距：直线l 与x 轴交点(a ，0)的____________叫做直线l 在x 轴上的截距，直线l 与y 轴交点(0，b )的____________叫做直线l 在y 轴上的截距．(2)直线方程的主要形式：①点斜式：斜截式：①一般式：截距式：4．两条直线的位置关系(1)平行：对于两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，有l 1①l 2①____________，特别地，当直线l 1，l 2的斜率都不存在时，l 1与l 2的关系为____________．(2)垂直：如果两条直线l 1，l 2的斜率都存在，且分别为k 1，k 2，则有l 1①l 2①____________，特别地，若直线l 1：x ＝a ，直线l 2：y ＝b ，则l 1与l 2的关系为____________．5．两条直线的交点坐标：两条直线的交点坐标即方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.的解。

2022-2023学年人教版高二上学期数学精讲精练2-2 直线的方程(精讲)(解析版)

2.2 直线的方程（精讲）考点一直线的方程式【例1-1】（2022·江苏·高二课时练习）根据下列条件，分别写出直线的方程：(1)过点()3,2- (2)过点()3,0-，与x 轴垂直； (3)斜率为4-，在y 轴上的截距为7； (4)斜率为3，在x 轴上的截距为2-； (5)过点()1,8-，()4,2-； (6)过点()2,0，()0,3-．【答案】360y --=；(2)30x +=；(3)470x y +-=；(4)360x y -+=；(5)260x y +-=； (6)3260x y --=.【解析】(1)因为直线过点()3,2-，所以直线方程为：23)360y x y +=-⇒--=；(2)因为直线过点()3,0-，与x 轴垂直，所以直线方程为：330x x =-⇒+=；(3)因为直线的斜率为4-，在y 轴上的截距为7，所以直线方程为：47470y x x y =-+⇒+-=； (4)因为直线的斜率为3，所以设直线的方程为：3y x b =+，又因为直线在x 轴上的截距为2-，所以03(2)6b b =⨯-+⇒=，所以直线的方程为：36360y x x y =+⇒-+=； (5)因为直线过点()1,8-，()4,2-，所以直线的方程为：8(1)2608(2)14y x x y ---=⇒+-=----；(6)因为直线过点()2,0，()0,3-，所以直线方程为：1326023x yx y +=⇒--=-. 【例1-2】（2022·重庆）已知三角形ABC 的顶点坐标为A （-1，5）、B （-2，-1）、C （4，3）， (1)求AB 边所在的直线方程； (2)求AB 边的高所在直线方程.【答案】(1)6110x y -+=(2)6220x y +-= 【解析】(1)因为A （-1，5）、B （-2，-1），所以由两点式方程可得511521y x -+=---+，化为一般式可得：6110x y -+=； (2)直线AB 的斜率为51612+=-+. 所以由垂直关系可得AB 边高线的斜率为16-，故AB 边的高所在直线方程为()1346y x -=--,化为一般式可得：6220x y +-=. 【例1-3】（2022·江苏）设m 为实数，若直线l 的方程为()130mx m y +-+=，根据下列条件分别确定m 的值： (1)直线l 在y 轴上的截距为6； (2)直线l 的斜率为2； (3)直线l 垂直于x 轴； (4)直线l 经过点()1,3．【答案】(1)12(2)23(3)1(4)0【解析】(1)因为直线l 在y 轴上的截距为6，所以直线l 一定经过点()0,6，则6630m -+=，解得12m =. (2)当1m =时，斜率不存在，不合题意；当1m ≠时，把直线方程化为斜截式311mx y m m -=---，因为斜率为2，所以21mm -=-，解得23m =.(3)因为直线l 垂直于x 轴，所以直线的斜率不存在，所以10m -=，即1m =. (4)因为直线l 经过点()1,3，所以()3130m m +-+=，解得0m =. 【一隅三反】1．（2022·全国·高二专题练习）根据所给条件求直线方程.(1)直线过点()1,2A ，倾斜角α的正弦值为35；(2)直线过点()1,3A ，且在两坐标轴上的截距之和为8； (3)直线过点()2,4A ，()2,8-B .【答案】(1)3450x y -+=或34110x y +-=(2)360x y +-=或40x y +-=(3)60x y +-=【解析】(1)3sin 5α=，3tan 4α∴==±k ，则直线方程为()3214y x -=±-，即3450x y -+=或34110x y +-=.(2)依题意得，直线的横截距、纵截距均不为0，可设直线方程为18x y m m+=-，代入点()1,3A ，可得1318m m+=-，解得2m =或4m =，所以所求直线方程为126x y+=或144x y +=，即所求直线方程为360x y +-=或40x y +-=. (3)直线斜率()48122k -==---，则所求直线方程为()42y x -=--，整理得60x y +-=.2．（2022·全国·高二课时练习）已知三角形的三个顶点的坐标分别是()3,8A ､()3,2B -､()3,0C -. (1)求BC 边所在直线的方程； (2)求BC 边上的中线所在直线的方程. 【答案】(1)330x y ++=(2)310x y --= 【解析】(1)因为()3,2B -､()3,0C -，所以()21333BC k -==---，所以直线BC 的方程为()133y x =-+，即330x y ++=； (2)因为()3,8A ，()3,2B -､()3,0C -，所以BC 的中点为()0,1D -，所以()81330AD k --==-，所以中线AD 的方程为13y x +=，即310x y --=；考点二直线过定点【例2】（2022·四川·盐亭中学高二开学考试）不论k 为何值，直线20kx y k ++-=恒过定点（）A ．()1,2--B ．()1,2-C ．()1,2-D ．()1,2【答案】B【解析】20kx y k ++-=，可化为(1)20k x y ++-=，则过定点(1,2)-故选：B 【一隅三反】1．（2022·全国·高二）无论k 为何实数，直线212()()(0)8k x k y k +---=+恒过一个定点，这个定点是（） A ．(0,0) B ．(2,3) C ．(3,2) D ．(2,3)-【答案】B【解析】原方程可化为()()21280x y k x y -++-=-，由直线恒过定点可知，210280x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得23x y =⎧⎨=⎩，所以直线恒过定点(2,3)故选：B 2．（2021·广东佛山·高二期中）直线l ：()12310k x ky k +++-=经过定点A ，则A 的纵坐标为（） A ．2- B ．1-C ．1D ．2【答案】A【解析】由()12310k x ky k +++-=，得()2310k x y x +++-=，令10230x x y -=⎧⎨++=⎩，得2y =-.故选：A3．（2022·全国·高二单元测试）对于任意m 、n ∈R ，直线(2)()()0m n x m n y m n ++++-=必过定点______．【答案】(2,3)-【解析】由原方程可得(21)(1)0m x y n x y ++++-=对于任意m 、n ∈R 成立，由21010x y x y ++=⎧⎨+-=⎩，解得23x y =-⎧⎨=⎩，故直线(2)()()0m n x m n y m n ++++-=必过定点(2,3)-.故答案为：(2,3)-考点三直线所过象限【例3】（2022·江苏·高二单元测试）如果AB >0且BC <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过第（）象限 A ．一 B ．二C ．三D ．四【答案】C【解析】因AB >0且BC <0，则直线Ax ＋By ＋C ＝0的斜率20A AB k B B =-=-<，纵截距20C BCb B B=-=->，所以直线Ax ＋By ＋C ＝0必过第一、二、四象限，不经过第三象限.故选：C 【一隅三反】1．（2022·全国·高二单元测试）直线方程为(32)80m x y +++=，若直线不过第二象限，则实数m 的取值范围是______．【答案】23m ≤-【解析】(32)80m x y +++=不过第二象限,(32)0m ∴-+≥，解得23m ≤-，故答案为：23m ≤-2．（2022·全国·高二课时练习）若0ac <，0bc <，则直线0ax by c 不通过第______象限．【答案】三【解析】直线0ax by c 可化为a c y x b b =--，即2ac c y x bc bc =--因为0ac bc -<，20c bc->，所以直线0ax by c 的斜率为负，纵截距为正即直线0ax by c 通过第一、二、四象限，不通过第三象限.故答案为：三3．（2022·江苏·高二）（多选）已知直线l 的方程是0Ax By C ++=，则下列说法中正确的是（） A ．若0A B C ⋅⋅≠，则直线l 不过原点 B ．若0A B ⋅>，则直线l 必过第四象限 C ．若直线l 不过第四象限，则一定有0A B ⋅< D ．若0A B ⋅<且0A C ⋅>，则直线l 不过第四象限【答案】ABD【解析】对A ，若0A B C ⋅⋅≠，则,,A B C 都不等于0，当0x y ==时，000A B C ⋅+⋅+≠，所以直线l 不过原点，故A 正确；对B ，若0A B ⋅>，则直线斜率0AB-<，则直线一定过第二四象限，故B 正确；对C ，若直线l 不过第四象限，若有直线过第一二象限时，此时0A =，则0A B ⋅=，故C 错误；对D ，若0A B ⋅<且0A C ⋅>，则0,0A CB A->-<，所以直线的斜率大于0，在x 轴上截距小于0，所以直线经过第一二三象限，不经过第四象限，故D 正确. 故选：ABD.考点四直线与坐标轴围成的三角形面积【例4】（2022·湖北省武汉市青山区教育局高二期末）已知直线方程为()21y k x +=+．(1)若直线的倾斜角为135，求k 的值；(2)若直线分别与x 轴、y 轴的负半轴交于A 、B 两点，O 为坐标原点，求AOB 面积的最小值及此时直线的方程．【答案】(1)1k =-；(2)AOB 面积的最小值为4，此时直线l 的方程为240x y ++=. 【解析】(1)由题意可得()tan135tan 18045tan 451k ==-=-=-. (2)在直线AB 的方程中，令0y =可得2k x k -=，即点2,0k A k -⎛⎫⎪⎝⎭，令0x =可得2y k =-，即点()0,2B k -，由已知可得2020kk k -⎧<⎪⎨⎪-<⎩，解得0k <，所以，()()()2212114142442222AOBk k S k k k k k k k --⎛⎫⎡⎤=-⋅=-⋅=-+-=-++ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦△1442⎡⎤≥=⎢⎥⎣⎦，当且仅当2k =-时，等号成立，此时直线的方程为()221y x +=-+，即240x y ++=. 【一隅三反】1．（2021·河北省盐山中学高二期中）已知直线l 过点()1,2P -. （1）若直线l 在两坐标轴上截距和为零，求l 方程；（2）设直线l 的斜率0k >，直线l 与两坐标轴交点别为AB 、，求AOB 面积最小值. 【答案】（1）20x y +=或30x y -+=；（2）4【解析】解：（1）因为直线l 在两坐标轴上截距和为零，所以直线l 斜率存在且不为0，故不妨设斜率为k ，则直线l 方程为()21y k x -=+，所以直线在,x y 坐标轴上截距分别为21k--，2k +，所以2120k k--++=，整理得220k k +-=，解得2k =-或1k = 所以直线l 方程为20x y +=或30x y -+=. （2）由（1）知()21,0,0,2A B k k ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，因为0k >，所以AOB 面积为()1214112444222S k k k k ⎛⎛⎫⎛⎫=⨯++=⨯++≥⨯+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当4k k=，即2k =时等号成立，所以AOB 面积最小值42．（2022·广东）已知直线l ：()20kx y k k R ---=∈．（1）若直线不经过第二象限，求k 的取值范围；（2）若直线l 交x 轴正半轴于A ，交y 轴负半轴于B ，AOB 的面积为S ，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．【答案】（1）[)0+∞，；（2）S 的最小值为4，直线l 的方程为240x y --=．【解析】（1）解：由方程可知：0k ≠时，直线在x 轴与y 轴上的截距分别为：2kk+，2k --．直线不经过第二象限，2020kk k +⎧≥⎪∴⎨⎪--≤⎩，解得0.k >当0k =时，直线变为2y =-满足题意．综上可得：k 的取值范围是[)0+∞，；（2）解：由直线l 的方程可得20k A k +⎛⎫⎪⎝⎭，，()02B k --，．由题意可得2020kk k +⎧>⎪⎨⎪--<⎩，解得0k >．()21121(2)141·24224 4.22222k k S OA OB k k k k k ++⎛⎫∴=⋅=⋅--=⋅=++≥⨯+= ⎪⎝⎭当且仅当2k =时取等号．S ∴的最小值为4，此时直线l 的方程为240x y --=．3．（2021·全国·高二课时练习）已知直线l 过点()1,2. （1）当直线l 在两坐标轴上的截距相等时，求直线l 方程；（2）若直线l 交x 轴正半轴，y 轴正半轴分别于A ，B 两点，求AOB 面积的最小值. 【答案】（1）2y x =或30x y +-=；（2）最小值为4. 【解析】（1）当直线的截距为0时，则2y x = 当截距不为0时，设直线l 的方程为1x ya a+=，把点()1,2代入可得121a a+=，解得3a =，故直线l 的方程为2y x =或30x y +-=.（2）设直线l 的方程为()10,0x y a b a b +=>>，把点P 代入可得121a b+=，则121a b =+≥8ab ≥，当12a b =，即2a =，4b =时取“=”故118422AOBSab =≥⨯=，所以AOB 面积的最小值为4.考点五直线的综合运用【例5】（2022·云南普洱·高二期末）（多选）已知直线12:(1)20,:(1)10l a x ay l ax a y +++=+--=，则（） A ．1l 恒过点(2,2) B ．若12//l l，则a =C ．若12l l ⊥，则1a =± D ．当01a ≤≤时，2l 不经过第三象限【答案】BD【解析】直线1:(1)20l a x ay +++=，则()20a x y x +++=，由020x y x +=⎧⎨+=⎩，得2,2x y =-=，所以1l 恒过定点(2,2)-，所以A 错误；由12//l l 可得：1211a a a a +=≠--，所以a =B 正确；由12l l ⊥可得：(1)(1)0a a a a ++-=，0a =，所以C 错误；由2:(1)10l ax a y +--=，当1a =时，2:1l x =，不过第三象限；当1a ≠时，21:11a l y x a a =+--，不过第三象限，只需要01101aa a ⎧≤⎪⎪-⎨⎪≥⎪-⎩，解得01a ≤<，所以a 的取值范围为01a ≤≤，所以D 正确；故选：BD. 【一隅三反】1．（2022·全国·高二专题练习）（多选）下列有关直线()10：+-=∈l x my m R 的说法中不正确的是（） A ．直线l 的斜率为m - B ．直线l 的斜率为1m-C ．直线l 过定点()0,1D ．直线l 过定点()1,0【答案】ABC【解析】当0m ≠时，直线l 的方程可变为()11y x m =-－，其斜率为1m-，过定点()1,0，当0m =时，直线l 的方程变为1x =，其斜率不存在，过点()1,0，故AB 不正确，D 正确，将点()0,1代入直线方程得10-=m ，故只有当1m =时直线才会过点()01，，即C 不正确，故选：ABC ．2．（2022·江苏·高二）设m ∈R ，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=相交于点(,P P A B 与不重合），则PAB △面积的最大值是（）A B ．5 C ．D ．52 【答案】D【解析】由题意直线0x my +=过定点(0,0)A ，直线30mx y m --+=可变为(1)30m x y --+=，所以该直线过定点()1,3B ，所以2221310AB =+=，又()110m m ⨯+⨯-=，所以直线0x my +=与直线30mx y m --+=互相垂直，所以22210PA PB AB +==，所以22102PA PB PA PB =+≥⋅即5PA PB ⋅≤，当且仅当=PA PB , 所以，1522PAB S PA PB =⋅≤，即PAB △面积的最大值是52. 故选：D.3．（2022·全国·高二）已知直线l 过点()3,4P ，且与坐标轴分别相交于点A ､B ，若OAB 的面积为24，其中O 为坐标原点，则这样的直线有（）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【答案】C【解析由题知直线的斜率存在，且不过原点，所以设直线l 方程为()34y k x =-+，43k ≠，所以直线l 与x 轴交点坐标为43,0k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线l 与y 轴交点坐标为34k -+ 所以OAB 面积为()14334242k k ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭，即1624948k k --=，所以1624948k k --=或1624948k k--=-, 解方程1624948k k --=，即()2292416340k k k ++=+=，解得43k =-，解方程1624948k k --=-，即2972160k k -+=，解得4k = 所以这样的直线有3条.故选：C.。

高二数学上学期直线的方程《直线方程》专题辅导

《直线方程》专题辅导内容提要：本文是从知识要点、典型题型和解题技巧、一题多解、错解分析等方面，对《有向线段、定比分点》、《直线方程》进行专题复习，期望对高三的同学有所帮助。

知识要点：有向线段的数量和长度、两点间的距离、线段的定比分点、线段的中点坐标公式、三角形的重心坐标公式、直线的斜率、直线方程的几种形式。

典型题型和解题技巧一、有向线段、定比分点１．两点间距离公式的应用例１已知：1)(2+=x x f ，求证：|||)()(|b a b f a f -≤- 证明：如图１，设Ａ，Ｂ坐标分别为（１，a ）和 (1,b) 则||1)(|,|1)(22BO b b f AO a a f =+==+= |a –b|=|AB|.当b a ≠时，则三角形ＡＯＢ中，由||AO|-|BO||<|AB| 得｜f(a)-f(b)|<|a-b| 当a = b 时，|OA|=|OB| ,|a-b|=0, 故有｜f(a)-f(b)|=|a-b| 综上所述，得|||)()(|b a b f a f -≤-２．定比分点公式的应用（１）公式的“逆用”例２如图２，已知两点Ａ（４，１）和Ｂ（－１，３），求线段ＡＢ和y 轴交点Ｍ的坐标。

解：设点Ｍ的坐标为（０,y 0）,且λ=MBAM ，则，由定比分点公式得 4,1)1(40=∴+-+=λλλ,于是513413410=+⨯+=y ，即点M 的坐标是)513,0(M 。

（２）注意利用平面几何知识例3 如图3，已知A （5，-1）， B （-1，7），C （1，2），求的中A ABC ∠∆ 平分线AD 的长。

解：10)17()51(||22==++=AB5)12()15(||22=++-=AC 则由,2||||||||===AC AB CD BD λ 设点D （x 0,y 0）,则31211210=+⨯+-=x ，311212270=+⨯+=y即)311,31(D ，于是3214)3111()315(||22=--+-=AD说明：本例运用了三角形角平分线的性质：若AD 是ABC ∆的内角平分线，则|AB|：|AC|=|BD|：|CD|，在学习解析几何时，要尽可能地挖掘出所给图形的几何性质，以简化解题。

高二数学第七章《直线和圆的方程》同步辅导教材

高二数学第七章《直线和圆的方程》同步辅导教材一、知识结构二、学习指导1、本章让学生初步接触解析几何的基本思想，即在坐标系这个工具之下，理解形与数（方程）的对应关系。

从形到数，给出了两个最基本图形直线和圆对应的方程，在此基础上，将图形的几何位置关系研究通过数的知识来解决，如两条直线平行及垂直的关系，反映在它们对应的方程的系数关系上。

从数到形，在二元一次方程（等量关系）的基础上，介绍了二元一次不等式的几何意义，并用这个几何意义解决一类二元函数的最值问题。

以形助数的思想，既可以理解为解析几何的运用（方程的几何意义是曲线），又可以理解为是对解析几何的补充。

从而说明了数和形之间是辩证统一的。

2、倾斜角和斜率是描述直线方向的两个重要参数。

倾斜角是区间角[0，π），倾斜角与斜率之间是正切函数的关系，斜率k∈（-∞，+∞）。

直线方程的五种形式中，点斜式、斜截式、两点式、截距式都具有明确的几何意义，从几何条件看，主要是两种条件：两点及点斜。

直线方程的一般式偏重于数，说明什么的二元方程与直线对应。

求直线方程主要用待定系数法，关键是选择适当的形式，若选择k作为参数，应注意其不存在的情形。

含参数的直线方程为直线系，直线系的特征无非是两种：平行直线系与旋转直线系。

3、在二元一次方程与直线对应的基础上，借助于分类讨论的思想，课本介绍了二元一次不等式的几何意义，利用它可以解决用数的方法（单调性及基本不等式）所不能解决的一类二元函数问题。

作为这类二元函数的模型，课本介绍了《运筹学》中的重要分支简单线性规划，体现了学实用数字的新教材理念。

4、圆是一种简单的图形，通过圆的学习，一方面体会曲线和方程的对应关系，另一方面通过在圆的解题过程中大量运用圆的几何性质，揭示了数与形的紧密联系。

5、本章主要方法：坐标法，待定系数法，配方法，向量法；本章主要思想方法：数形结合，消元思想，分类讨论。

三、典型例题例1、点A（1，0）到直线l的距离为2，点B（-4，0）到l的距离为3，求l的条数。

高考数学专题《直线与直线方程》习题含答案解析

专题9.1 直线与直线方程1.（福建高考真题（文））“a=1”是“直线x+y =0和直线x-ay =0互相垂直”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】直线x +y =0和直线x −ay =0互相垂直的充要条件是1×(−a)+1×1=0，即a =1，故选C2．（2020·肥东县综合高中月考（文））点(),P x y 在直线40x y +-=上，O 是坐标原点，则OP 的最小值是（） A BC ．D 【答案】C 【解析】原点到直线40x y +-===故选C. 3．【多选题】（2021·全国高二课时练习）（多选）已知直线:1l y =-，则直线l （）． A ．过点)2-B C ．倾斜角为60° D ．在y 轴上的截距为1【答案】BC 【分析】根据直线斜截式方程的定义，依次判断，即得解【详解】点)2-的坐标不满足方程1y =-，故A 错误；根据斜截式的定义，直线l 的斜率tan k θ=60°，故B ，C 正确；由1y =-，知直线l 在y 轴上的截距为1-，故D 错误．故选：BC4．【多选题】（2021·全国高二课时练习）（多选）已知直线:10l x my m -+-=，则下列说法正确的是（）． A ．直线l 的斜率可以等于0练基础B ．若直线l 与y 轴的夹角为30°，则m =或m =C ．直线l 恒过点()2,1D ．若直线l 在两坐标轴上的截距相等，则1m =或1m =- 【答案】BD 【分析】讨论0m =和0m ≠时直线的斜率和截距情况，判断AD 的正误；利用倾斜角和斜率的关系判断B 的正误；将方程化为()()110x m y ---=判断直线过定点，判断C 的正误. 【详解】当0m =时，直线:1l x =，斜率不存在，当0m ≠时，直线l 的斜率为1m，不可能等于0，故A 选项错误； ∵直线l 与y 轴的夹角角为30°，∴直线l 的倾斜角为60°或120°，而直线l 的斜率为1m，∴1tan 60m =︒=1tan120m =︒=m 或m =B 选项正确；直线l 的方程可化为()()110x m y ---=，所以直线l 过定点()1,1，故C 选项错误；当0m =时，直线:1l x =，在y 轴上的截距不存在，当0m ≠时，令0x =，得1m y m-=，令0y =，得1x m =-，令11m m m-=-，得1m =±，故D 选项正确．故选：BD ．5．【多选题】（2021·全国高二课时练习）（多选）已知直线l 的方程为20ax by +-=，则下列判断正确的是（）．A ．若0ab >，则直线l 的斜率小于0B ．若0b =，0a ≠，则直线l 的倾斜角为90°C ．直线l 可能经过坐标原点D ．若0a =，0b ≠，则直线l 的倾斜角为0° 【答案】ABD 【分析】根据直线方程与斜率，倾斜角的关系，依次讨论各选项即可得答案. 【详解】对于A 选项，若0ab >，则直线l 的斜率0ab-<，A 正确；对于B 选项，若0b =，0a ≠，则直线l 的方程为2x a=，其倾斜角为90°，B 正确；对于C 选项，将()0,0代入20ax by +-=中，显然不成立，C 错误；对于D 选项，若0a =，0b ≠，则直线l 的方程为2y b=，其倾斜角为0°，D 正确．故选：ABD ．6．（2021·全国高二课时练习）直线3240x y +-=的斜率为______，在x 轴上的截距为______. 【答案】32- 43【分析】将直线转化为斜截式即可得出斜率，令0y =可求出在x 轴上的截距. 【详解】由3240x y +-=，可得322y x =-+，故该直线的斜率32k =-.令0y =，得43x =，所以该直线在x 轴上的截距为43. 故答案为：32-；43.7．（2021·全国）已知直线1:1l y x =+，将直线1l 绕点()1,2按逆时针方向旋转45︒后，所得直线2l 的方程为_______，将直线1l 绕点()1,2按顺时针方向旋转45°后，所得直线3l 的方程为_______．【答案】1x = 2y = 【分析】根据斜率和倾斜角的关系得出直线2l 和直线3l 的斜率再求解其直线方程即可. 【详解】易知直线1l 的斜率为1，倾斜角为45︒，所以直线2l 的倾斜角为90︒，直线3l 的倾斜角为0︒，又因为直线2l 和直线3l 都经过点()1,2，所以直线2l 和直线3l 的方程分别为1x =，2y =．故答案为：1x =；2y =8．（2021·浙江衢州·高二期末）已知直线1l ：3480x y +-=和2l ：320x ay -+=，且12l l //，则实数a =__________，两直线1l 与2l 之间的距离为__________．【答案】-4； 2 【分析】根据两直线平行斜率相等求解参数即可；运用两平行线间的距离公式计算两直线之间的距离可得出答案. 【详解】解：直线1:3480l x y +-=和2:320l x ay -+=，12l l //， 334a -∴=，解得4a =-； ∴2:3420l x y ++= 两直线1l 与2l间的距离是：2d == .故答案为：4-；2.9.（2020·浙江开学考试）已知直线1l 的方程为3420x y --=，直线2l 的方程为6810x y --=，则直线1l 的斜率为___________，直线1l 与2l 的距离为___________. 【答案】34310【解析】直线1l 的方程为3420x y --=即为3142y x =-，斜率为34. 因为直线2l 的方程为6810x y --=即为13402x y --=，所以直线1l 与2l 平行，则直线1l 与2l310=.故答案为：34；31010．（2021·抚松县第一中学高二月考）已知A （1，0），B （﹣1，2），直线l ：2x ﹣ay ﹣a ＝0上存在点P ，满足|P A |+|PB |＝a 的取值范围是 ___________．【答案】2[,2]3-【分析】计算线段AB 的距离，得到点P 的轨迹，将点A ，B 分别代入2x ﹣ay ﹣a ＝0，得到a ，根据题意得到直线l 所过定点Ｃ，求出直线AC ,BC 的斜率，根结合直线l 与线段AB 始终有交点计算出a 的取值范围. 【详解】因为||AB ==||||PA PB += 由图可知，点P 的轨迹为线段AB ，将点A ，B 的坐标分别代入直线l 的方程，可得a ＝2，a ＝23-，由直线l 的方程可化为：2x ﹣a （y +1）＝0，所以直线l 过定点C （0，﹣1），画出图形，如图所示：因为直线AC 的斜率为k AC ＝1，直线BC 的斜率为k BC ＝2(1)10----＝﹣3，所以直线l 的斜率为k ＝2a ，令2123aa⎧≥⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩，解得23-≤a ≤2，所以a 的取值范围是[23-，2]．故答案为：[23-，2]．1.（2021·绥德中学高一月考）已知0a >，0b >，直线220ax by -+=恒过点(2-，1)，则14a b+的最小值为（） A ．8 B ．9 C ．16 D ．18【答案】B 【分析】利用给定条件可得1a b +=，再借助“1”的妙用即可计算得解. 【详解】因直线220ax by -+=恒过点(2-，1)，则有2220a b --+=，即1a b +=，又0a >，0b >，则14144()()559b a a b a b a b a b +=++=++≥+=，当且仅当4b a a b =，即2b a =时取“=”，练提升由21b a a b =⎧⎨+=⎩得12,33a b ==，所以当12,33a b ==时，14a b+取得最小值9.故选：B2．（2019·四川高考模拟（文））已知点(3,0)P -在动直线(1)(3)0m x n y -+-=上的投影为点M ，若点3(2,)2N ，那么||MN 的最小值为（） A ．2 B ．32C ．1D ．12【答案】D 【解析】因为动直线()()130m x n y -+-=方程为，所以该直线过定点Q （1,3），所以动点M 在以PQ5,2= 圆心的坐标为3(1,)2-，所以点N3=，所以MN 的最小值为51322-=.故答案为：D 3．（2019·湖南衡阳市八中高三月考（文））已知直线的倾斜角为且过点，其中，则直线的方程为( )C.【答案】B 【解析】，，则直线方程为：故选4．（四川高考真题（文））设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线l θ1sin()22l 20y --=40y +-=0x -=360y 122sin πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭1cos 2θ∴=-2 3πθ=tan θ=1y x -=40y +-=B30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则PA PB +的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B 【解析】易得(0,0),(1,3)A B .设(,)P x y ，则消去m 得：2230x y x y +--=，所以点P 在以AB 为直径的圆上，PA PB ⊥，所以222||||10PA PB AB +==，令,PA PB θθ==，则)4PA PB πθθθ+=+=+.因为0,0PA PB ≥≥，所以02πθ≤≤.sin()14πθ≤+≤PA PB ≤+≤.选B. 法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以PA PB ⊥，点P 的轨迹是以AB 为直径的圆.以下同法一.5.（2020·浙江）已知点(2,1)M -，直线l 过点M 且与直线210x y -+=平行，则直线l 的方程为____________；点M 关于直线10x y -+=的对称点的坐标为_______________. 【答案】240x y -+= (0,1)- 【分析】根据所求直线与直线210x y -+=平行，设方程为()201x y n n -+=≠求解；设点M 关于直线10x y -+=的对称点的坐标为(),M x y '，由112211022y x x y -⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪-+=⎪⎩求解.【详解】因为所求直线与直线210x y -+=平行，所以设方程为()201x y n n -+=≠，因为直线过点(2,1)M -，代入直线方程解得4n =，所以所求直线方程为：240x y -+=；设点M 关于直线10x y -+=的对称点的坐标为(),M x y '，则112211022y x x y -⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪-+=⎪⎩，解得01x y =⎧⎨=-⎩，所以点M 关于直线10x y -+=的对称点的坐标为()0.1-故答案为：240x y -+=，(0,1)-6．（2019·黑龙江鹤岗·月考（文））已知直线l 经过点()4,3P ，且与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴正半轴交于点B ，O 为坐标原点.（1）若点O 到直线l 的距离为4，求直线l 的方程；（2）求OAB ∆面积的最小值.【答案】（1）7241000x y +-=（2）24 【解析】（1）由题意可设直线l 的方程为()34y k x -=-，即430kx y k --+=，则4d ==，解得724k =-. 故直线l 的方程为774302424x y ⎛⎫---⨯-+= ⎪⎝⎭，即7241000x y +-=. （2）因为直线l 的方程为430kx y k --+=，所以34,0A k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，()0,43B k -+，则OAB ∆的面积为()113194431624222S OA OB k k k k ⎛⎫⎛⎫=⋅=-+⨯-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 由题意可知k 0<，则91624k k --≥=（当且仅当34k =-时，等号成立）.故OAB ∆面积的最小值为()12424242⨯+=. 7.（2021·抚松县第一中学高二月考）已知直线l 1：2x +y +3＝0，l 2：x ﹣2y ＝0．(1) 求直线l 1关于x 轴对称的直线l 3的方程，并求l 2与l 3的交点P ； (2)求过点P 且与原点O （0，0）距离等于2的直线m 的方程．【答案】(1)2x ﹣y +3＝0，P （﹣2，﹣1）；(2) 3x +4y +10＝0或x ＝﹣2. 【分析】(1)由对称关系求直线l 3的方程，联立l 2与l 3的方程，求点P 的坐标，(2)当直线m 的斜率存在时，设直线m 的点斜式方程，由点到直线距离公式列方程求斜率，由此可得直线m 的方程，再检验过点P 的斜率不存在的直线是否满足要求. 【详解】(1)由题意，直线l 3与直线l 1的倾斜角互补，从而它们的斜率互为相反数，且l 1与l 3必过x 轴上相同点3(,0)2-，∴直线l 3的方程为2x ﹣y +3＝0，由230,20,x y x y -+=⎧⎨-=⎩解得2,1.x y =-⎧⎨=-⎩∴P （﹣2，﹣1）．(2)当直线m 的斜率存在时，设直线m 的方程为y +1＝k （x +2），即kx ﹣y +2k ﹣1＝0，∴原点O （0，0）到直线m2=，解得34k =-，∴直线m 方程为3x +4y +10＝0，当直线m 的斜率不存在时，直线x ＝﹣2满足题意，综上直线m 的方程为3x +4y +10＝0或x ＝﹣2．8．（2021·宝山区·上海交大附中高一开学考试）如图，点(),4A m ，4,B n 在反比例函数()0ky k x=>的图象上，经过点A ､B 的直线与x 轴相交于点C ，与y 轴相交于点D .（1）若2m =，求n 的值；（2）求m n +的值；（3）连接OA ､OB ，若tan tan 1AOD BOC ∠+∠=，求直线AB 的函数关系式. 【答案】(1)2(2)0(3)2y x =+ 【分析】（1）先把A 点坐标代入()0k y k x =>求出k 的值得到反比例函数解析式为8y x=，然后把(4,)B n -代8y x=可求出n 的值；（2）利用反比例函数图象上点的坐标特征得到4m ＝k ，﹣4n ＝k ，然后把两式相减消去k 即可得到m +n 的值；（3）作AE ⊥y 轴于E ，BF ⊥x 轴于F ，如图，利用正切的定义得到tan ∠AOE 4AE mOE ==，tan 4BF n BOF OF -∠==，则144m n-+=，加上0m n +=，于是可解得2,2m n ==-，从而得到(2,4)A ，(4,2)B --，然后利用待定系数法求直线AB 的解析式．【详解】（1）当m ＝2，则A （2，4），把A （2，4）代入ky x=得k ＝2×4＝8，所以反比例函数解析式为8y x=，把(4,)B n -代入8y x=得﹣4n ＝8，解得n ＝﹣2；（2）因为点A （m ，4），B （﹣4，n ）在反比例函数()0ky k x=>的图象上，所以4m ＝k ，﹣4n ＝k ，所以4m +4n ＝0，即m +n ＝0；（3）作AE ⊥y 轴于E ，BF ⊥x 轴于F ，如图，在Rt △AOE 中，tan ∠AOE 4AE mOE ==，在Rt △BOF 中，tan 4BF nBOF OF -∠==，而tan ∠AOD +tan ∠BOC ＝1，所以144m n-+=，而m +n ＝0，解得m ＝2，n ＝﹣2，则A （2，4），B （﹣4，﹣2），设直线AB 的解析式为y ＝px +q ，把(2,4),(4,2)A B --代入得2442p q p q +=⎧⎨-+=-⎩，解得12p q =⎧⎨=⎩，所以直线AB 的解析式为y ＝x +2．9．（2021·全国高二课时练习）已知点()2,1P -. （1）求过点P 且与原点的距离为2的直线的方程.（2）是否存在过点P 且与原点的距离为6的直线？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1） 20x -=或34100x y --=；（2）不存在这样的直线；理由见解析．【分析】（1）分k 存在与不存在两种情况讨论，点斜式表示直线方程，利用点到直线距离公式即得解；（2）过点P 且与原点的距离最大的直线为过点P 且与OP 垂直的直线，分析即得解【详解】（1）①当直线的斜率不存在时，直线方程为2x =，符合题意． ②当直线的斜率存在时，设斜率为k ，则直线方程为()12y k x +=-，即210kx y k ---=．2=，解得34k =，所以直线方程为34100x y --=．故所求直线方程为20x -=或34100x y --=．（2）不存在．理由如下：过点P 且与原点的距离最大的直线为过点P 且与OP 垂直的直线，OP =而6>10．（2021·全国高三专题练习）AOB 是等腰直角三角形，||AB =动直线l 过点(1,1)P 与AOB 的斜边、直角边分别交于不同的点M 、N （如图所示）.（1）设直线l 的斜率为k ，求k 的取值范围，并用k 表示M 的坐标；（2）试写出表示AMN 的面积S 的函数解析式()S k ，并求()S k 的最大值.【答案】（1）0k >，1,11kM k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭；（2）112(1)()012(1)k k k S k kk k ⎧⎪+⎪=⎨-⎪<<⎪+⎩，max 1()4S k =.【分析】(1)根据题意，结合图象即可得到k 的取值范围，再联立直线方程即可得到M 的坐标； (2) 由于l 绕P 点转动，则N 点可落在OA 上，也可落在OB 上，AMNS的计算不一样，所以必须对l 的斜率不同的取值范围进行分类讨论，表示出()S k ，结合函数单调性即可求解. 【详解】(1)由已知条件得(1,0)A 、(0,1)B ，0k >，设直线l 的方程为1y kx k =+-.由11x y y kx k+=⎧⎨=+-⎩，得1,11kM k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭. (2)当1k 时，点N 在直角边OA 上，1,0k N k -⎛⎫⎪⎝⎭， 1111()1212(1)k S k k k k k -⎛⎫=-⋅= ⎪++⎝⎭. 当01k <<时，点k 在直角边OB 上，(0,1)N k -，111()11(1)122212(1)k k S k k k k k =⨯⨯--⨯-⨯=++.∴112(1)()012(1)k k k S k k k k ⎧⎪+⎪=⎨-⎪<<⎪+⎩，当1k 时，()S k 递减，∴max 1()(1)4S k S ==，当01k <<时，11111()22(1)244S k k =-<-=+. 综上所述，当1k =时，max 1()4S k =.1.（上海高考真题（文））已知直线1l ：(3)(4)10k x k y -+-+=与2l ：2(3)230k x y --+=平行，则k 的值是（）. A ．1或3 B ．1或5C ．3或5D ．1或2【答案】C 【解析】由两直线平行得，当k-3=0时，两直线的方程分别为1y =- 和32y =，显然两直线平行．当练真题k-3≠0时，由()k 34k1/32k 32--=≠--，可得 k=5．综上，k 的值是 3或5，故选 C ．2．（2020·山东高考真题）已知直线sin cos :y x l θθ=+的图像如图所示，则角θ是（）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】D 【分析】本题可根据直线的斜率和截距得出sin 0θ<、cos 0θ>，即可得出结果. 【详解】结合图像易知，sin 0θ<，cos 0θ>，则角θ是第四象限角，故选：D.3．（2021·山东高考真题）如下图，直线l 的方程是（）A 0y -=B 20y -=C 310y --=D ．10x -=【答案】D 【分析】由图得到直线的倾斜角为30，进而得到斜率，然后由直线l 与x 轴交点为()1,0求解. 【详解】由图可得直线的倾斜角为30°，所以斜率tan 30k =︒=所以直线l 与x 轴的交点为()1,0，所以直线的点斜式方程可得l ：)01y x -=-，即10x -=．故选：D4．（2021·湖南高考真题）点(0,1)-到直线3410x y -+=的距离为（） A ．25B ．35C ．45D ．1【答案】D 【分析】利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】点(0,1)-到直线3410x y -+=的距离为515d ==，故选：D.5.（全国高考真题（理））已知点A （﹣1，0），B （1，0），C （0，1），直线y ＝ax +b （a ＞0）将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（） A.（0，1） B.112⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， C.113⎛⎤⎥ ⎝⎦， D.1132⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【答案】B 【解析】由题意可得，三角形ABC 的面积为12AB OC ⋅⋅=1，由于直线y ＝ax +b （a ＞0）与x 轴的交点为M （ba-，0），由直线y ＝ax +b （a ＞0）将△ABC 分割为面积相等的两部分，可得b ＞0，故ba-≤0，故点M 在射线OA 上．设直线y ＝ax +b 和BC 的交点为N ，则由1y ax b x y =+⎧⎨+=⎩可得点N 的坐标为（11b a -+，1a ba ++）．①若点M 和点A 重合，如图：则点N为线段BC的中点，故N（12，12），把A、N两点的坐标代入直线y＝ax+b，求得a＝b13 =．②若点M在点O和点A之间，如图：此时b13＞，点N在点B和点C之间，由题意可得三角形NMB的面积等于12，即1122NMB y⋅⋅=，即111212b a ba a+⎛⎫⨯+⋅=⎪+⎝⎭，可得a212bb=-＞0，求得b12＜，故有13＜b12＜．③若点M在点A的左侧，则b13＜，由点M的横坐标ba--＜1，求得b＞a．设直线y ＝ax +b 和AC 的交点为P ，则由 1y ax b y x =+⎧⎨=+⎩求得点P 的坐标为（11b a --，1a ba --），此时，由题意可得，三角形CPN 的面积等于12，即 12•（1﹣b ）•|x N ﹣x P |12=，即12（1﹣b ）•|1111b b a a ---+-|12=，化简可得2（1﹣b ）2＝|a 2﹣1|．由于此时 b ＞a ＞0，0＜a ＜1，∴2（1﹣b ）2＝|a 2﹣1|＝1﹣a 2 ．两边开方可得（1﹣b）=1，∴1﹣b ，化简可得 b ＞12-，故有1b 13＜．综上可得b 的取值范围应是1122⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，故选：B ．6.（2011·安徽高考真题（理））在平面直角坐标系中，如果与都是整数，就称点为整点，下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号） ①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点 ②如果与都是无理数，则直线不经过任何整点 ③直线经过无穷多个整点，当且仅当经过两个不同的整点④直线经过无穷多个整点的充分必要条件是：与都是有理数 ⑤存在恰经过一个整点的直线【答案】①③⑤ 【解析】①令直线为：，则其不与坐标轴平行且不经过任何整点，①正确； ②令直线为：，②错误；③令直线为：，过两个不同的整点，则，两式作差得：即直线经过整点直线经过无穷多个整点，③正确；x y (,)x y k b y kx b =+l l y kx b =+k b l 12y x =+l y =-()2,0l y kx =()11,x y ()22,x y 112y kx y kx =⎧⎨=⎩()1212y y k x x -=-l ()1212,x x y y --∴l④令直线为：，则不过整点，④错误； ⑤令直线为：，则其只经过一个整点，⑤正确.本题正确结果：①③⑤l 1132y x =+ll y =()0,0。

高二上数学知识点直线方程

高二上数学知识点直线方程直线方程是高二数学学习中的一大重点知识。

掌握直线的基本性质和直线方程的求解方法，对于解决与直线相关的问题至关重要。

本文将系统地介绍高二上学期数学中关于直线方程的知识点。

一、直线的基本性质在研究直线方程之前，我们首先需要了解直线的基本性质。

直线由无数个点组成，其中任意两点可以确定一条直线。

直线还具有斜率和截距两个重要的特征。

1. 斜率（k）：斜率是直线的一个重要性质，表示直线的倾斜程度。

斜率的计算公式为：k = (y2 - y1) / (x2 - x1)，其中两点为直线上的任意两个点。

2. 截距（b）：截距是直线与纵坐标轴相交的位置。

直线与纵坐标轴的交点的坐标为(0, b)，其中 b 为截距的值。

二、直线方程的求解方法在学习直线方程的求解方法之前，我们先介绍两种常见的直线方程形式：一般式和斜截式。

1. 一般式：一般式直线方程的形式为 Ax + By + C = 0，其中 A、B、C 是常数，A、B 不同时都为 0。

2. 斜截式：斜截式直线方程的形式为 y = kx + b，其中 k 为斜率，b 为截距。

接下来，我们将介绍三种常见的方法来求解直线方程。

1. 两点法：两点法是一种常用的求解直线方程的方法，可以通过已知直线上的两个点来求解直线方程。

假设已知一直线上的两个点为 A(x1, y1) 和 B(x2, y2)，则可以使用斜率公式来求解斜率 k，并将其中一个点的坐标代入斜截式方程求解截距 b，最终得到直线方程。

2. 斜率截距法：斜率截距法是一种简便的求解直线方程的方法。

已知直线的斜率 k 和截距 b，可以直接将它们代入斜截式方程 y = kx + b 中，即可得到直线方程。

3. 点斜式法：点斜式法是一种通过已知直线上的一个点和斜率来求解直线方程的方法。

已知直线上的一个点为 A(x1, y1)，直线的斜率为 k，可以使用斜率公式将斜率和坐标代入斜截式方程，进而得到直线方程。

三、直线方程的应用直线方程在数学中具有广泛的应用价值，能够解决与直线相关的各类问题。

2022-2023学年人教版高二上学期数学精讲精练2-2 直线的方程(精练)(解析版)

2.2 直线的方程（精练）1 直线的点斜式1．（2022·贵州贵阳·高二期末（理））过点()2,1A 且与直线:2430l x y -+=平行的直线方程是（） A ．20x y -= B ．250x y +-=C ．230x y --=D ．240x y +-=【答案】A【解析】因为所求直线与直线l 平行，所以设所求直线方程为：()2403x y m m -+=≠，又所求直线过点()2,1A ，代入可得22410m ⨯-⨯+=，解得0m =，所以所求直线为240x y -=，即20x y -=. 故选：A2．（2022·湖南岳阳·高二期末）过点()2,1A 且与直线:2430l x y -+=垂直的直线的方程是（） A ．20x y -= B ．250x y +-= C ．230x y --= D ．240x y +-=【答案】B【解析】由题意可知，设所求直线的方程为420x y m ++=，将点()2,1A 代入直线方程420x y m ++=中，得42210m ⨯+⨯+=，解得10m =-，所以所求直线的方程为42100x y +-=，即250x y +-=. 故选：B.3．（2022·福建·厦门外国语学校高二期末）已知直线l 的倾斜角为60，且经过点()0,1，则直线l 的方程为（）A ．y =B ．2y =-C ．1y =+D ．3y =+【答案】C【解析】由题意知：直线l l 的方程为1y +.故选：C.4．（2022·江苏·海门中学高二期末）已知直线l 过点(2,3)且与直线:250m x y -+=平行，则直线l 的方程为（） A ．270x y +-=B ．210x y --=C ．240x y -+=D ．210x y -+=【答案】C【解析】因为直线l 与直线:250m x y -+=平行，所以直线l 的斜率为12，又直线l 过点(2,3)，所以直线l 的方程为()1322y x -=-，即240x y -+=，故选：C. 5．（2021·广东·江门市第二中学高二期中）直线l 经过点()2,3-，且倾斜角45α=，则直线l 的方程为（） A ．10x y +-= B ．50x y -+=C ．10x y ++=D ．50x y --=【答案】B【解析】因为直线l 的倾斜角45α=，所以直线l 的斜率为1，又直线l 经过点()2,3-，所以直线l 的方程为32yx ，即50x y -+=，故选：B6．（2022·江苏·高二课时练习）过点(P -且与直线20x +=的夹角为3π的直线方程是（）A ．)2y x =+B ．2x =-C ．)2=+y xD ．)2=+y x 或2x =- 【答案】D【解析】根据一般方程20x +=可得y =，所以斜率为k =6πθ=，和该直线夹角为3π的直线的倾斜角为2π或56π，根据直线过点(P -，所以该直线方程为2x =-或2)y x =+.故选：D 7．（2022·江苏·高二）经过点A (0，－3)且斜率为2的直线方程为（） A ．230x y --= B ．230x y ++=C ．260x y --=D ．260x y ++=【答案】A【解析】因为直线经过点(0,3)A -且斜率为2，所以直线的方程为32(0)y x +=-，即230x y --=，故选：A ．8．（2022·江苏·高二）已知直线20ax y a +-+=在两坐标轴上的截距相等，则实数=a （） A ．1 B ．1-C ．2-或1D ．2或1【答案】D【解析】当0a =时，直线2y =，此时不符合题意，应舍去；当2a =时，直线:20l x y +=，在x 轴与y 轴上的截距均为0，符合题意；当0a ≠且2a ≠，由直线:20l ax y a +-+=可得：横截距为2aa-，纵截距为2a -. 由22aa a-=-，解得：1a =.故a 的值是2或1.故选：D 9．（2021·广东·佛山一中高二阶段练习）已知直线l 过点()2,1，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则满足条件的直线l 有（）条 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【解析】设直线l 过原点，则l 的方程为y kx = ，将点（2,1）坐标代入，得12k =，即l 的方程为12y x = ；若直线l 不过原点，设其为1x ya b+= ，将点（2,1）坐标代入，得2b a ab +=……① ，由于,a b a b ==± ，分别代入①，解得3,1a b a b ===-= ，即直线l 的方程为3x y += ，1x y -= ；共有3条；故选：C.10．（2022·江苏·高二课时练习）已知三角形的三个顶点(2,1),(3,3),(0,4)A B C --. (1)求BC 边所在直线的方程； (2)求BC 边上的高所在直线方程； (3)求BC 边的中垂线所在直线方程.【答案】(1)3120x y -+=；(2)350x y ++=；(3)310x y ++=. 【解析】(1)利用点斜式可得BC 直线方程为403430y x --=---，整理可得3120x y -+=； (2)由341303BC k -==--，所以BC 边上的高所在直线的斜率3-，所以BC 边上的高所在直线方程为3(2)1y x =-++，整理可得350x y ++=； (3)由,B C 中点为37(,)22-，由（2）知BC 边的垂直平分线的斜率3-，所以BC 边的垂直平分线为31y x =--，整理可得310x y ++=.11．（2022·江苏·高二课时练习）分别求满足下列条件的直线的方程：(1)过点()3,2A ，且与直线420x y +-=平行； (2)过点()3,0B ，且与直线250x y +-=垂直； (3)过点()5,4，且与x 轴垂直；(4)过点()2,3C -，且平行于过两点()1,2M 和()1,5N --的直线．【答案】(1)4140x y +-=(2)230x y --=(3)50x -=(4)72200x y --= 【解析】(1)由题意设直线方程为40x y m ++=，因为直线过点()3,2A ，所以4320m ⨯++=，得14m =-，所以所求直线方程为4140x y +-=(2)由题意设直线方程为20x y n -+=，因为直线过点()3,0B ，所以300n -+=，得3n =-，所以所求直线方程为230x y --=(3)因为直线过点()5,4，且与x 轴垂直，所以所求直线方程为50x -= (4)由题意可知所求直线的斜率为527112k --==--，所以直线方程为()7322y x +=-，即72200x y --= 2 直线过定点1．（2021·重庆市石柱中学校高二阶段练习）直线l ：()240a x y a ++--=恒过的定点坐标为____________. 【答案】()1,2【解析】由()240a x y a ++--=可得(1)240a x x y -++-=，由10240x x y -=⎧⎨+-=⎩可得12x y =⎧⎨=⎩，所以该直线恒过的定点(1,2).故答案为：(1,2).2．（2022·四川）直线(1)y k x =-过定点 _________________. 【答案】()1,0【解析】直线(1)y k x =-，令10x -=，得1,0x y ==，所以直线(1)y k x =-过定点()1,0，故答案为：()1,0. 3．（2022·全国·高二课时练习）设直线()23260x k y k +--+=过定点P ，则点P 的坐标为________. 【答案】(0,2)【解析】由直线方程()23260x k y k +--+=，可化简为(236)(2)0x y k y -++-=，又由236020x y y -+=⎧⎨-=⎩，解得0,2x y ==，即直线恒经过定点(0,2)P .故答案为：(0,2).4．（2022·安徽·高二开学考试）直线()()():21132R l m x m y m m +++=+∈经过的定点坐标是___________. 【答案】()1,1【解析】把直线l 的方程改写成：()()2230x y m x y +-++-=，令20230x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得：11x y =⎧⎨=⎩，所以直线l 总过定点()1,1.故答案为：（1,1）.5．（2021·重庆·铜梁中学校）直线()()():211107l m x m y m m R +++=+∈经过的定点坐标是______．【答案】(3,4)【解析】把直线l 的方程改写成：(7)(210)0x y m x y +-++-=，由方程组702100x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得：34x y =⎧⎨=⎩，所以直线l 总过定点(3,4)，故答案为：(3,4)6．（2021·全国·高二专题练习）已知直线:(31)(1)660(l x y λλλλ++-+-=为实数）过定点P ，则点P 的坐标为____．【答案】(0,6)-【解析】直线:(31)(1)660(l x y λλλλ++-+-=为实数），即(36)(6)0x y x y λ--+++=，则36060x y x y --=⎧⎨++=⎩，解得6x y =⎧⎨=-⎩，所以直线恒过定点(0,6)P -，故答案为：(0,6)-． 3 直线所过象限1．（2022·陕西渭南）如果0AB >且0BC <，那么直线0Ax By C ++=不经过（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】由0AB >且0BC <，可得,A B 同号，,B C 异号，所以,A C 也是异号；令0x =，得0C y B=->；令0y =，得0Cx A =->；所以直线0Ax By C ++=不经过第三象限. 故选：C.2．（2021·贵州黔东南）在平面直角坐标系中，过点(2,0)-且倾斜角为135︒的直线不经过（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A【解析】∵直线的倾斜角为135︒，则直线的斜率1k =-∵直线的方程：()2y x =-+即2y x =--直线不经过第一象限．故选：A ． 3．（2022·江苏·高二课时练习）设k 为实数，若直线:13l y k x不经过第四象限，则k 的取值范围为______．【答案】⎡⎢⎣⎦【解析】直线:13l y kx 经过定点)，当0k =时，此时直线:1l y =，符合要求；当0k ≠时，直线:13l y kxk ，要想不经过第四象限，则满足010k >⎧⎪⎨≥⎪⎩，解得：0k <≤，综上：0k ≤≤故答案为：⎡⎢⎣⎦4．（2022·全国·高二课时练习）已知直线2(2)68a y x a a -=+-+不经过第二象限，求实数a 的取值范围．【答案】[]2,4【解析】当2a =时，直线方程为0x =，不过第二象限，满足题意；当20a -≠即2a ≠时，直线方程可化为()142y x a a =+--．由题意得2010240a a a -≠⎧⎪⎪>⎨-⎪-≤⎪⎩，解得24a <≤．综上可得，实数a 的取值范围是24a ≤≤，即[]2,4a ∈．4 直线与坐标轴围成的三角形面积1（2022·江苏·高二）过点(1,1)P 作直线l ，与两坐标轴相交所得三角形面积为4，则直线l 有（）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【答案】D【解析】由题意设直线l 的方程为1x y a b +=，直线过(1,1)P ，则111a b+=，直线与坐标轴的交点为()(),0,0,a b , 又142S ab ==，8ab =±， 111a b a abb ++==，a b ab +=，8ab =时，8a b +=，由88a b ab +=⎧⎨=⎩，得44a b ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩44a b ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩8ab =-时，8a b +=-，由88a b ab +=-⎧⎨=-⎩，得44a b ⎧=-+⎪⎨=--⎪⎩或44a b ⎧=--⎪⎨=-+⎪⎩，所以直线l 共有4条．故选：D ．2．（2021·湖南·长郡中学高二阶段练习）过点()1,3的直线分别交x 轴正半轴和y 轴正半轴于点A 、B ，则AOB （O 为原点）面积的最小值为________.【答案】6【解析】设点(),0A a 、()0,B b ，其中0a >且0b >，则直线AB 的方程为1x ya b+=，由已知可得131a b +=，由基本不等式可得131a b +=≥12ab ≥，当且仅当2a =，6b =时，等号成立，故162AOB S ab =≥△. 故答案为：6.3．（2022·全国·高二专题练习）已知直线l 的方程为：()()()212430m x m y m ++-+-=． (1)求证：不论m 为何值，直线必过定点M ；(2)过点M 引直线1l ，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求1l 的方程．【答案】(1)证明见解析 (2)240x y ++=【解析】(1)证明：原方程整理得：()23240x y m x y --+++=．由230240x y x y --=⎧⎨++=⎩，可得12x y =-⎧⎨=-⎩，∴不论m 为何值，直线必过定点()1,2M --(2)解：设直线1l 的方程为()12(0)y k x k =+-<．令20k y x k-==-，，令02x y k ==-，．()121412444222k S k k k k ⎛⎫-⎡⎤∴=-=-++≥= ⎪⎢⎥ ⎪--⎣⎦⎝⎭．当且仅当4k k-=-，即2k =-时，三角形面积最小．则1l 的方程为240x y ++=．4．（2022·江苏·高二）已知直线l 过点(1,3)，且与x 轴、y 轴都交于正半轴，求： (1)直线l 与坐标轴围成面积的最小值及此时直线l 的方程； (2)直线l 与两坐标轴截距之和的最小值及此时直线l 的方程．【答案】(1)6；360x y +-=.(2)4+1=. 【解析】(1)设直线:1x yl a b +=(0,0)a b >>，则131a b+=，所以131a b =+≥12ab ≥，当且仅当2,6a b ==时，等号成立，所以直线l 与坐标轴围成的三角形的面积1112622ab ≥⨯=，所以直线l 与坐标轴围成面积的最小值为6，此时直线:126x yl +=，即360x y +-=.(2)设直线:1x yl a b +=(0,0)a b >>，则131a b+=，所以13()()a b a b a b +=++=3444b a a b ++≥+=+当且仅当1a =33b 时，等号成立.此时直线l 1=. 5 直线的综合运用1．（2022·江苏·高二课时练习）不论实数m 为怎样的实数，直线()1(21)5m x m y m -+-=-（） A ．互相平行B ．都经过一个定点C ．其中某一条直线与另两条直线垂直D ．其中不可能存在两条直线互相垂直【答案】B【解析】直线方程整理为：(21)50m x y x y +---+=，由21050x y x y +-=⎧⎨--+=⎩，得94x y =⎧⎨=-⎩，所以直线过定点(9,4)-，不可能有平行的两条直线，存在两条相互垂直的直线，但不可能有一条直线与其中两条垂直．故选：B ．2．（2021·江苏·常州市第一中学高二期中）（多选）已知直线1:10l x y --=，动直线2:(1)0()l k x ky k k R +++=∈，则下列结论正确的是（）A ．不存在k ，使得2l 的倾斜角为90°B ．对任意的k ，直线2l 恒过定点C ．对任意的k ，1l 与2l 都不．重合D ．对任意的k ，1l 与2l 都有公共点【答案】BD【解析】对A ，当0k =时，2:0l x =，符合倾斜角为90°，故A 错误；对B ，2:(1)(1)0l k x ky k k x y x +++=+++=，解100x y x ++=⎧⎨=⎩可得01x y =⎧⎨=-⎩，故2l 过定点(0,1)-，故B 正确；对C ，当12k =-时，21111:(1)02222l x y x y --=--=，显然与1:10l x y --=重合，故C 错误；对D ，2l 过定点(0,1)-，而(0,1)-也在1:10l x y --=上，故对任意的k ，1l 与2l 都有公共点，故D 正确；故选：BD3．（2022·江苏·高二课时练习）（多选）已知直线l 过点(P ，且与x 轴和y 轴围成一个内角为6π的直角三角形，则满足条件的直线l 的方程可以是（）A ．)1y x -B ．)1y x -=-C ．)1y x -D ．)1y x -【答案】ABC【解析】由题意，直线l 的倾斜角可以是6π或3π或56π或23π，所以直线l 的斜率6tanπk ==或tan 3k π=5tan 6k π==2tan 3k π==所以直线l 的方程可以为1)y x -或1)y x -或 1)y x -或1)y x -，由1)y x -，整理得y =，此时直线过原点，无法与x 轴和y 轴围成直角三角形. 故选：ABC.。

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《直线方程》专题辅导
（肇庆市实验中学，广东谭渊 526100）
内容提要：本文是从知识要点、典型题型和解题技巧、一题多解、错解分析等方面，对《有向线段、定比分点》、《直线方程》进行专题复习，期望对高三的同学有所帮助。

典型题型和解题技巧
一、有向线段、定比分点１．两点间距离公式的应用
例１已知：1)(2+=x x f ，求证：
|||)()(|b a b f a f -≤-
证明：如图１，设Ａ，Ｂ坐标分别为（１，a ）和 (1,b)
则||1)(|,|1)(22BO b b f AO a a f =+==+= |a –b|=|AB|.
当b a ≠时，则三角形ＡＯＢ中，
由||AO|-|BO||<|AB| 得｜f(a)-f(b)|<|a-b| 当a = b 时，|OA|=|OB| ,|a-b|=0, 故有｜f(a)-f(b)|=|a-b| 综上所述，得|||)()(|b a b f a f -≤- ２．定比分点公式的应用（１）公式的“逆用”
例２如图２，已知两点Ａ（４，１）和Ｂ（－１，３），求线段ＡＢ和y 轴交点Ｍ的坐标。

解：设点Ｍ的坐标为（０,y 0）,
图1
图3
且
λ=MB
AM
，则，由定比分点公式得 4,1)1(40=∴+-+=λλλ,于是
513413410=+⨯+=y ，即点M 的坐标是)513,0(M 。

（２）注意利用平面几何知识
例3 如图3，已知A （5，-1），
B （-1，7），
C （1，2），求的中A ABC ∠∆ 平分线A
D 的长。

解：10)17()51(||22==++=AB
5)12()15(||22=++-=AC
则由,2|
||
|||||===
AC AB CD BD λ 设点D （x 0,y 0）,则31211210=+⨯+-=
x ，3
11
212270=+⨯+=y
即)311,31(D ，于是3
2
14)3111()315(||22=--+-=AD
说明：本例运用了三角形角平分线的性质：若AD 是ABC ∆的内角平分线，则|AB|：|AC|=|BD|：|CD|，在学习解析几何时，要尽可能地挖掘出所给图形的几何性质，以简化解题。

二、点斜式和斜截式 1.斜率的求法
求直线的斜率有三种方法（1）利用定义)90(tan 0≠=ααk ；（2）利用“两点式”：)(211
21
2x x x x y y k ≠--=
；
（3）利用直线的斜截式方程：b kx y +=．例4 已知直线L 的方程为,023sin =+-y x β当β在实数范围变动时，求L 的倾斜角的取值范围。

解：由已知得3
23
sin +
=
x y β
设直线L 的倾斜角为α，则]3
3
,33[3
sin tan -
∈=
βα，从图4中可知，直线的倾斜角α
的取值范围是].,65[]6,0[πππ⋃ 说明：（1
倾斜角的取值范围是[0，π]。

(2)非所有的直线都有斜率，与x 轴
垂直的直线就不存在斜率.
2.k 参数
在直线的点斜式和斜截式方程中,
都有直线的斜率k,为了求直线的方程,常常需要确定它的斜率,此时,可以把k 作为参数引入,对解题会有很大的帮助.
例5 直线L 过定点A(-2,3),且与两轴围成的三角形面积为4, 求直线L 的方程.
解:依题意可知,L 不与两坐标轴垂直,设直线的方程为:
)2(3+=-x k y ,则L 在x 轴、y 轴上的截距分别为3223
+--k k
和，根据
题意，得4|23||32|21=--⋅+k k ，即8)23
)(32(±=++k k
当8)23
)(32(=++k k 时，解之得φ∈k ；
当8)23)(32(-=++k k 时，解之得,29
,2121-=-=k k 所以，所求的直线L
的方程为：01229042=++=-+y x y x 和
三、两点式和截距式
1．直线截距的求法
求直线截距的方法有两种：（1）把直线化为截距式)0,0(,1≠≠=+b a b
y
a x ；（2）在直线方程中，令y = 0得0x x =，再令0=x 得0y y =，则00,y x 就是直线在x 轴、y 轴上的截距。

例6已知直线L 过点P （3，2），且与x 轴正半轴，y 轴正半轴分别交
图4
于点A 、B （如图6）；（1）求AOB ∆的面积取最小值时的L 的方程；（2）求直线L 在两坐标轴上截距之和的最小值。

解：（1）设A 、B 坐标依次为（a,0）、(0,b)
（显然a>3），则直线L 的方程为1=+b
y
a x , 将P （3，2）代入得12
3=+b
a ，于是 32-=a a
b ，故AOB ∆的面积S=3
212
-=a a ab
1263
9)3(2639)3(39)3(6)3(2=+-⋅-≥+-+-=-+-+-=a a a a a a a
所以，当的面积取得最小值时即AOB b a a a ∆==-=
-4,6,39
3，故直线L 的方程为01232,14
6=-+=+y x y
x 即
图6。