2019年天津市普通高中学业水平考试数学真题(简答)
高中-数学-高考-2019年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 数学(文史类)
2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（文史类）注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2.本卷共12小题，共110分。
第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、设集合{}1,1,2,3,5A =-，{}2,3,4B =，{|13}C x R x =∈<，则()A C B =（ ）A. {2}B. {2，3}C. {-1，2，3}D. {1，2，3，4}2、设变量,x y 满足约束条件20,20,1,1,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎪⎨-⎪⎪-⎩，则目标函数4z x y =-+的最大值为（ ）A. 2B. 3C. 5D. 63、设x ∈R ，则“05x <<”是“11x -<”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4、阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为（ ）A. 5B. 8C. 24D. 295、已知2log 7a =，3log 8b =，0.20.3c =，则,,a b c 的大小关系为（ ）A. c b a <<B. a b c <<C. b c a <<D. c a b <<6、已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l .若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为（ ）A.B.C. 2D.7、已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数，将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为()g x .若()g x 的最小正周期为2π，且4g π⎛⎫= ⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A. 2-B.C.D. 28、已知函数01,()1,1.x f x x x⎧⎪=⎨>⎪⎩若关于x 的方程1()()4f x x a a R =-+∈恰有两个互异的实数解，则a 的取值范围为（ ）A. 59,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 59,44⎛⎤⎥⎝⎦C. 59,{1}44⎛⎤⎥⎝⎦D. 59,{1}44⎡⎤⎢⎥⎣⎦第Ⅰ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
(精校版)2019年天津卷理数高考真题文档版(含答案)
2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：·如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+ ．·如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =．·圆柱的体积公式V Sh =，其中S 表示圆柱的底面面积，h 表示圆柱的高．·棱锥的体积公式13V Sh =，其中S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{1,1,2,3,5},{2,3,4},{|13}A B C x x =-==∈≤<R ，则()A C B = A ．{}2B ．{}2,3C ．{}1,2,3-D ．{}1,2,3,42．设变量,x y 满足约束条件20,20,1,1,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥-⎪⎪≥-⎩则目标函数4z x y =-+的最大值为A ．2B ．3C ．5D ．63．设x ∈R ，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为A ．5B ．8C ．24D ．295．已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为A B ．C ．2D 6．已知5log 2a =，0.5og 2.l 0b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为A ．a c b<<B ．a b c<<C ．b c a<<D ．c a b<<7．已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕ=+>><π是奇函数，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ．若()g x 的最小正周期为2π，且4g π⎛⎫= ⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．2-B ．C D ．28．已知a ∈R ，设函数222,1,()ln ,1.x ax a x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩若关于x 的不等式()0f x ≥在R 上恒成立，则a 的取值范围为A ．[]0,1B ．[]0,2C ．[]0,eD ．[]1,e绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
天津市河北区2019届高中学业水平考试模拟 数学试题(解析版)
故选：B． 【点睛】本题考查不等式的基本性质，正确理解不等式的基本性质是解题的关键．
21.为了得到函数
， 的图象，只需将函数
， 的图象上所有的点（ ）
A. 向左平行移动 个单位长度 B. 向右平行移动 个单位长度
C. 向左平行移动 个单位长度 【答案】D 【解析】
D. 向右平行移动 个单位长度
【分析】
故选 A.
【点睛】本题考查集合的交集，属基础题.
2.
的值是（ ）
A.
B.
【答案】B
【解析】
C.
D.
试题分析：根据诱导公式可得 考点：1.诱导公式.
3.已知直线
，
，故选 B. ，若 ，则实数 的值为（ ）
A. 8 B. 2 C. 【答案】A
D. -2
【解析】
【分析】
利用两条直线平行的充要条件求解．
【详解】：∵直线 l1：2x+y-2=0，l2：ax+4y+1=0，l1∥l2，
A. ①②④ 【答案】B 【解析】 【分析】
B. ①④
C. ①③④
D. ②③
由不等式的基本性质可知：①（可加性）④（可乘性）正确，②不正确． ②③可通过举反例否定．
【详解】：①∵a＞b，c＞d，由不等式的可加性得 a+c＞b+d，故①正确； ②由①正确，可知②不正确；
③取 4＞-2，-1＞-3，则 4×（-1）＞（-2）×（-3）不成立，故③不正确； ④∵a＞b，c＞0，∴ac＞bc．故④正确． 综上可知：只有①④正确．
”，依次求出等差数列中
的公差与首项，然后再运用等差数列的通项公式求出该数列的通项公式
。
28.已知奇函数 【答案】
精品解析：2019年天津市高考数学试卷(理科)(原卷版)
2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共8小题。
参考公式：·如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B ⋃=+.·如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =.·圆柱的体积公式V Sh =，其中S 表示圆柱的底面面积，h 表示圆柱的高.·棱锥的体积公式13V Sh =，其中S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{1,1,2,3,5},{2,3,4},{|13}A B C x x =-==∈<R ，则()A C B = （）A.{}2 B.{}2,3 C.{}1,2,3- D.{}1,2,3,42.设变量,x y 满足约束条件20,20,1,1,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎪⎨-⎪⎪-⎩ 则目标函数4z x y =-+的最大值为（）A.2B.3C.5D.63.设x R ∈，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为（）A.5B.8C.24D.295.已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为(）A.B. C.2D.6.已知5log 2a =，0.5log 0.2b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为（）A.a c b<< B.a b c <<C.b c a << D.c a b<<7.已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数，将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为()g x .若()g x 的最小正周期为2π，且4g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A.2-B.C. D.28.已知a R ∈，设函数222,1,()ln ,1,x ax a x f x x a x x ⎧-+=⎨->⎩ 若关于x 的不等式()0f x 在R 上恒成立，则a 的取值范围为（）A.[]0,1B.[]0,2C.[]0,eD.[]1,e 第Ⅱ卷二.填空题：本大题共6小题.9.i 是虚数单位，则51i i -+的值为________.10.83128x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭是展开式中的常数项为________.11.已知四棱锥的.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_______.12.设a R ∈，直线20ax y -+=和圆22cos ,12sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）相切，则a 的值为____.13.设0,0,25x y x y >>+=，则14.在四边形ABCD 中，,5,30AD BC AB AD A ==∠=︒∥，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅= _________.三.解答题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.在V ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2b ca +=，3sin 4sin c B a C =.（Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）求sin 26B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.16.设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为23.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.（Ⅰ）用X 表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X 的分布列和数学期望；（Ⅱ）设M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M 发生的概率.17.如图，AE ⊥平面ABCD ，,CF AE AD BC ∥∥，,1,2AD AB AB AD AE BC ⊥====.（Ⅰ）求证：BF ∥平面ADE ；（Ⅱ）求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值；（Ⅲ）若二面角E BD F --的余弦值为13，求线段CF 的长.18.设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4，离心率为5.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上.若||||ON OF =（O 为原点），且OP MN ⊥，求直线PB 的斜率.19.设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列.已知1122334,622,24a b b a b a ===-=+，.（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n c 满足111,22,1,,2,k k n k k n c c b n +⎧<<==⎨=⎩其中*k ∈N .（i）求数列(){}221n n a c -的通项公式；（ii）求()2*1ni i i a c n =∈∑N .20.设函数()e cos ,()x f x x g x =为()f x 的导函数.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，证明()()02f x g x x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭ ；（Ⅲ）设n x 为函数()()1u x f x =-在区间2,242m m πππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭内的零点，其中n N ∈，证明20022sin cos n n n x x e x πππ-+-<-.。
(精校版)【高考真题】2019年天津卷文数高考试题文档版(有答案)
【详解】因为 A C {1,2} ，所以 ( A C ) B {1,2,3,4} .故选 D。
【点睛】集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结
合，即借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算．
2.【答案】 D 【分析】画出可行域，用截距模型求最值。
【详解】 已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分。
（ B ）必要而不充分条件
（ C）充要条件
（ D ）既不充分也不必要条件
（ 4）阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出
S 的值为
1
（A ）5
（B）8
（ C） 24
（ D） 29
（ 5）已知 a log 2 7, b log 3 8, c 0.30.2 ，则 a， b， c 的大小关系为
（A） c b a
· 棱锥的体积公式 V
1 Sh ，其中
S 表示棱锥的底面面积，
h 表示棱锥的高 .
3
一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）设集合 A { 1,1,2,3,5}, B {2,3,4}, C { x R |1, x 3} ，则 ( A C ) B
（ A ）{2}
（B ） {2 ， 3}
（15）（本小题满分 13 分）
2019 年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住
房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除
. 某单位老、中、青员工分别有
72,108,120 人，现采用分层抽样的方法， 从该单位上述员工中抽取 25 人调查专项附加扣除的
享受情况 .
a
a
a
所以 AB
2019年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(天津.理)含答案
2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷上的无效． 3．本卷共10小题，每小题5分，共50分．参考公式：·如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+24πS R =·如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =··一、选择题：在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．i 是虚数单位，32i 1i=-（ ） Ａ．1i +Ｂ． 1i -+Ｃ．1i -Ｄ．1i --2．设变量x y ，满足约束条件1133x y x y x y ⎧--⎪+⎨⎪-<⎩，，．≥≥则目标函数4z x y =+的最大值为（ ） Ａ．4Ｂ．11Ｃ．12Ｄ．143．“2π3θ=”是“πtan 2cos 2θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭”的（ ） Ａ．充分而不必要条件Ｂ．必要而不充分条件 Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件4．设双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，，且它的一条准线与抛物线24y x=的准线重合，则此双曲线的方程为（ ）Ａ．2211224x y -=Ｂ．2214896x y -= Ｃ．222133x y -=Ｄ．22136x y -= 5．函数2log 2)(0)y x =>的反函数是（ ） Ａ．142(2)xx y x +=-> Ｂ．142(1)x x y x +=-> Ｃ．242(2)x x y x +=->Ｄ．242(1)xx y x +=->6．设a b ，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ） Ａ．若a b ，与α所成的角相等，则a b ∥ Ｂ．若a b αβ，∥∥，αβ∥，则a b ∥ Ｃ．若a b a b αβ⊂⊂，，∥，则αβ∥ Ｄ．若a b αβ⊥⊥，，αβ⊥，则a b ⊥7．在R 上定义的函数()f x 是偶函数，且()(2)f x f x =-，若()f x 在区间[12]，上是减函数，则()f x （ ）Ａ．在区间[21]--，上是增函数，在区间[34]，上是增函数 Ｂ．在区间[21]--，上是增函数，在区间[34]，上是减函数 Ｃ．在区间[21]--，上是减函数，在区间[34]，上是增函数 Ｄ．在区间[21]--，上是减函数，在区间[34]，上是减函数8．设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k =（ ） Ａ．2Ｂ．4Ｃ．6Ｄ．89．设a bc ，，均为正数，且122log aa =，121log 2bb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭．则（ ） Ａ．a b c <<Ｂ．c b a <<Ｃ．c a b <<Ｄ．b a c <<10．设两个向量22(2cos )λλα=+-，a 和sin 2m m α⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，b ，其中m λα，，为实数．若2=a b ，中央电视台mλ的取值范围是（ ） Ａ．Ｂ．[48]，Ｃ．Ｄ．2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）第Ⅱ卷注意事项：1．答案前将密封线内的项目填写清楚．2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上． 3．本卷共12小题，共100分．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上．11．若621x ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中2x 的系数为52，则a = （用数字作答）． 12．一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为 ．13．设等差数列{}n a 的公差d 是2，前n 项的和为n S ，则22lim n n n a n S →∞-= ．14．已知两圆2210x y +=和22(1)(3)20x y -+-=相交于AB ，两点，则直线AB 的方程是 ．15．如图，在ABC △中，12021BAC AB AC ∠===，，°，D 是边BC 上一点，2DC BD =，则ADBC =· ． 16．如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有 种（用数字作答）．三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；AB DC（Ⅱ）求函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最小值和最大值．18．（本小题满分12分）已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．（Ⅰ）求取出的4个球均为黑球的概率；（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；（Ⅲ）设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望．19．（本小题满分12分） 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，60AB AD AC CD ABC ⊥⊥∠=，，°，PA AB BC ==，E 是PC 的中点．（Ⅰ）证明CD AE ⊥；（Ⅱ）证明PD ⊥平面ABE ；（Ⅲ）求二面角A PD C --的大小．20．（本小题满分12分）已知函数2221()()1ax a f x x x -+=∈+R ，其中a ∈R ． （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值． 21．（本小题满分14分）在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*+==++-∈N ，，其中0λ>．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；ACDPE（Ⅲ）证明存在k *∈N ，使得11n k n ka aa a ++≤对任意n *∈N 均成立． 22．（本小题满分14分）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F A ，，是椭圆上的一点，212AF F F ⊥，原点O 到直线1AF 的距离为113OF ．（Ⅰ）证明a =；（Ⅱ）设12Q Q ，为椭圆上的两个动点，12OQ OQ ⊥，过原点O 作直线12Q Q 的垂线OD ，垂足为D ，求点D 的轨迹方程．2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）参考解答一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分． 1．Ｃ 2．Ｂ 3．Ａ 4．Ｄ 5．Ｃ 6．Ｄ 7．Ｂ 8．Ｂ 9．Ａ 10．Ａ二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分24分． 11．2 12．14π 13．3 14．30x y +=15．83-16．390三、解答题17．本小题考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角差公式、倍角公式、函数sin()y A x ωϕ=+的性质等基础知识，考查基本运算能力．满分12分．（Ⅰ）解：π()2cos (sin cos )1sin 2cos 224f x x x x x x x ⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭．因此，函数()f x 的最小正周期为π．（Ⅱ）解法一：因为π()24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间π3π88⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为增函数，在区间3π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为减函数，又π08f ⎛⎫=⎪⎝⎭，3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭3π3πππ14244f ⎛⎫⎛⎫=-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，最小值为1-．解法二：作函数π()24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在长度为一个周期的区间π9π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的图象如下：x由图象得函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，最小值为3π14f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．18．本小题主要考查互斥事件、相互独立事件、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分． （Ⅰ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A ，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件B ．由于事件A B ，相互独立，且23241()2C P A C ==，24262()5C P B C ==．故取出的4个球均为黑球的概率为121()()()255P A B P A P B ==⨯=··． （Ⅱ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件C ，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D ．由于事件C D ，互斥，且21132422464()15C C C P C C C ==··，123422461()5C C PD C C ==·． 故取出的4个球中恰有1个红球的概率为417()()()15515P C D P C P D +=+=+=． （Ⅲ）解：ξ可能的取值为0123，，，．由（Ⅰ），（Ⅱ）得1(0)5P ξ==，7(1)15P ξ==， 13224611(3)30C P C C ξ===·．从而3(2)1(0)(1)(3)10P P P P ξξξξ==-=-=-==．ξ的分布列为ξ的数学期望012351510306E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．19．本小题考查直线与直线垂直、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．满分12分．（Ⅰ）证明：在四棱锥P ABCD -中，因PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，故PA CD ⊥．AC CD PA AC A ⊥=，∵，CD ⊥∴平面PAC ．而AE ⊂平面PAC ，CD AE ⊥∴．（Ⅱ）证明：由PA AB BC ==，60ABC ∠=°，可得AC PA =． E ∵是PC 的中点，AE PC ⊥∴．由（Ⅰ）知，AE CD ⊥，且PC CD C =，所以AE ⊥平面PCD ．而PD ⊂平面PCD ，AE PD ⊥∴．PA ⊥∵底面ABCD PD ，在底面ABCD 内的射影是AD ，AB AD ⊥，AB PD ⊥∴． 又AB AE A =∵，综上得PD ⊥平面ABE ．（Ⅲ）解法一：过点A 作AM PD ⊥，垂足为M ，连结EM ．则（Ⅱ）知，AE ⊥平面PCD ，AM 在平面PCD 内的射影是EM ，则EM PD ⊥． 因此AME ∠是二面角A PD C --的平面角． 由已知，得30CAD ∠=°．设AC a =，可得332PA a AD a PD a AE a ====，，，． 在ADP Rt △中，AM PD ⊥∵，AM PD PA AD =∴··，则7a PA AD AM a PD===··． 在AEM Rt △中，sin 4AE AME AM ==． 所以二面角A PD C --的大小是arcsin4． 解法二：由题设PA ⊥底面ABCD ，PA ⊂平面PAD ，则平面PAD ⊥平面ACD ，交线为AD ．过点C 作CF AD ⊥，垂足为F ，故CF ⊥平面PAD ．过点F 作FM PD ⊥，垂足为M ，连结CM ，故CM PD ⊥．因此CMP ∠是二面角A PD C --的平面角． 由已知，可得30CAD ∠=°，设AC a =，可得13326PA a AD a PD a CF a FD a =====，，，，． FMD PAD ∵△∽△，FM FDPA PD=∴．于是，3a aFD PA FM PD ===··． 在CMF Rt △中，1tan aCF CMF FM === 所以二面角A PD C --的大小是．20．本小题考查导数的几何意义，两个函数的和、差、积、商的导数，利用导数研究函数的单调性和极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法．满分12分． （Ⅰ）解：当1a =时，22()1x f x x =+，4(2)5f =， ACD PEFM ABCDPEM又2222222(1)2222()(1)(1)x x x x f x x x +--'==++·，6(2)25f '=-． 所以，曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程为46(2)525y x -=--， 即62320x y +-=．（Ⅱ）解：2222222(1)2(21)2()(1)()(1)(1)a x x ax a x a ax f x x x +--+--+'==++． 由于0a ≠，以下分两种情况讨论． （1）当0a >时，令()0f x '=，得到11x a=-，2x a =．当x 变化时，()()f x f x '，的变化情况如下表：所以()f x 在区间1a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∞，()a +，∞内为减函数，在区间1a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，内为增函数．函数()f x 在11x a =-处取得极小值1f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 函数()f x 在21x a=处取得极大值()f a ，且()1f a =． （2）当0a <时，令()0f x '=，得到121x a x a==-，，当x 变化时，()()f x f x '，的变化所以()f x 在区间()a -，∞，1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，+∞内为增函数，在区间1a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，内为减函数． 函数()f x 在1x a =处取得极大值()f a ，且()1f a =． 函数()f x 在21x a=-处取得极小值1f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭． 21．本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的前n 项和公式、数列求和、不等式的证明等基础知识与基本方法，考查归纳、推理、运算及灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力．满分14分．（Ⅰ）解法一：22222(2)22a λλλλ=++-=+，2232333(2)(2)222a λλλλλ=+++-=+， 3343444(22)(2)232a λλλλλ=+++-=+．由此可猜想出数列{}n a 的通项公式为(1)2n nn a n λ=-+．以下用数学归纳法证明．（1）当1n =时，12a =，等式成立．（2）假设当n k =时等式成立，即(1)2k kk a k λ=-+，那么111(2)2k k k a a λλλ++=++-11(1)222k k k k kk λλλλλ++=-+++-11[(1)1]2k k k λ++=+-+．这就是说，当1n k =+时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式(1)2n nn a n λ=-+对任何n *∈N 都成立．解法二：由11(2)2()n n n n a a n λλλ+*+=++-∈N ，0λ>，可得111221n nn nn n a a λλλλ+++⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 所以2nn n a λλ⎧⎫⎪⎪⎛⎫-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭为等差数列，其公差为1，首项为0，故21n n n a n λλ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以数列{}n a 的通项公式为(1)2n nn a n λ=-+． （Ⅱ）解：设234123(2)(1)n n n T n n λλλλλ-=++++-+-， ①345123(2)(1)n n n T n n λλλλλλ+=++++-+- ② 当1λ≠时，①式减去②式， 得212311(1)(1)(1)1n n n n n T n n λλλλλλλλλ+++--=+++--=---， 21121222(1)(1)(1)1(1)n n n n n n n n T λλλλλλλλλ++++----+=-=---． 这时数列{}n a 的前n 项和21212(1)22(1)n n n n n n S λλλλ+++--+=+--． 当1λ=时，(1)2n n n T -=．这时数列{}n a 的前n 项和1(1)222n n n n S +-=+-． （Ⅲ）证明：通过分析，推测数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的第一项21a a 最大，下面证明： 21214,22n n a a n a a λ++<=≥． ③ 由0λ>知0n a >，要使③式成立，只要212(4)(2)n n a a n λ+<+≥，因为222(4)(4)(1)(1)2n n n a n λλλλ+=+-++124(1)424(1)2n n n n n n λλλ++>-+⨯=-+· 1212222n n n n a n λ++++=，≥≥．所以③式成立．因此，存在1k =，使得1121n k n k a a a a a a ++=≤对任意n *∈N 均成立．。
2019届天津市武清区高三学业水平测试模拟数学试题Word版含答案
2019届天津市武清区高三学业水平测试模拟数学试题一．选择题（本大题共20 小题.共45分.第1至第15小题.每题2分.第16至20小题.每题3分。
每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的） 1．若i 为虚数单位.则复数31i +等于（ ）A ．iB ．i -C ．i +1D ．i -12．已知全集{}6,5,4,3,2,1=U ,集合{}4,3,2,1=P ,{}5,4,3=Q ,则)(Q C P U ⋂等于( ) A ．{}6,4,3,2,1 B ．{}5,4,3,2,1C ．{}5,2,1 D ．{}2,1 3．函数3)32sin(2)(+-=πx x f 的最小值为( )A ．5B ．1C ．3D ．44．椭圆1162522=+y x 的离心率是（ ） A ．54 B ．43 C ．53 D ．34 5．直线0133=-+y x 的倾斜角是（ ）A ．6π B ．3π C ．32π D ．65π6．在正方体1111D C B A ABCD -中.B A 1与1AD 所在的两条直线所成的角等于（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 7．若向量)2,4(),1,1(),1,1(=-==.则c 等于（ ）A ．+3B ．-3C ．3+-D ．3+8．一个容量为40的样本数据.分组后各组中数据的频数如下：［25.25.3）.6；［25.3.25.6）.4；［25.6.25.9）.10；［25.9.26.2）.8；［26.2.26.5）.8；［26.5.26.8）.4；则数据在［25.25.9）上的频率为（ ）A ．320B ．110C ．12D ．149．已知R y x ∈,.则""y x =是""y x =的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．函数22)(3-+=x x f x在区间)1,0(内的 零点个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 11．如果执行图1的框图.输入N=5.则输出的数等于（ ） A ．54 B.45 C. 65 D.5612．过原点且倾斜角为60的直线被 圆0422=-+y y x 所截得的弦长为( )A ．3B ．2C ．6D ． 3213．如图.矩形ABCD 中.点E 为边CD 的中点.若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q .则点Q 取自ABE ∆内部的概率等于（ ） A ．41 B ．31 C ．21 D ．3214．设变量x y ，满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≥-241y y x y x .则目标函数24z x y =+的最大值为（ ）Ａ．10 Ｂ．12 Ｃ．13 Ｄ．1415．已知m 、l 是两条不同的直线.α是一个平面.则下列命题中正确的是（ ）A ．若,,α⊂⊥m m l 则α⊥lB ．若m l l //,α⊥.则α⊥mC ．若,,//αα⊂m l 则m l //D ．若,//,//ααm l 则m l //16．在ABC ∆中.M 为边BC 的中点1=,点P 在AM 上且满足,2PM AP =则)(PC PB PA +⋅等于（ ） A ．94 B ．34 C ．34- D ．94- 17．为了得到函数)62cos(π+=x y 的图象.只需把函数)62sin(π+=x y 的函数（ ）A ．向左平移4π 个单位长度 B ．向右平移4π个单位长度C ．向左平移2π 个单位长度 D ．向右平移2π个单位长度 18．已知2lg 8lg 2lg ,0,0=+>>yxy x .则yx 311+的最小值是（ ） A ．2 B ．22 C ．4 D ．32 19．已知P 为抛物线221x y =上的动点.点P 在x 轴上的射影为M .点A 的坐标是⎪⎭⎫⎝⎛217,6.则PM PA +的最小值是( )A ．8B ．219C ．10D ．221 20．已知函数23)1(3)(2++-=x xk x f ,当R x ∈时.)(x f 恒为正值.则实数k 的取值范围是（ ）A ．()1,-∞-B ．()122,-∞- C ．()122,1-- D ．()122,122---二．填空题（本大题共5小题.每小题3分.共15分。
2019年天津高中学业水平考试数学模拟试题
2019年天津高中学业水平考试数学模拟1、设集合{|11}A x x =-≤≤，={|02}B x x <<，则A B ⋂=（ ） A.{|12}x x -≤< B.{|12}x x -<<C.{|01}x x <≤D.{|01}x x <<2、函数3sin(2)4y x π=+的最大值是（ ）A.3B.-1C.1D.-33、i 是虚数单位，复数512ii-等于（ ） A.2-iB.1-2iC.-2+iD.2+i4、已知向量(1,2)a =，(,4)b x =，且a b ，则x 的值为（ ） A.-2B.-4C.2D.-85、下列函数中既是偶函数，又在(0,)+∞上单调递减的是（ ） A.1y x -=B.x y e -=C.lg ||y x =D.21y x =-+6、有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫。
从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（ ） A.45B.35C.25D.157、命题：“若-1<x<1，则x 2<1”的逆否命题是（ ） A.若x ≥1或x ≤-1，则x 2≥1 B.若x 2<1，则-1<x<1 C.若x 2>1，则x>1或x<-1D.若x 2≥1，则x ≥1或x ≤-18、已知等差数列{}n a 的公差d<0，且2412a a ⋅=，248a a +=，则公差d=（ ） A.-2B.2C.±2D.-49、已知等比数列{}n a 的公比q=2，前n 项和为n S ，若372S =，则6S =（ ） A.632B.312C.63D.127210、双曲线2211625x y -=的渐近线方程为（ ）A.45y x =±B.54y x =±C.2516y x =±D.1625y x =±11、抛物线24y x =的准线方程为（ ） A.x=1B.x=-1C.116y =D.116y =-12、椭圆2214x y +=的离心率为（ ）C.5413、已知直线x+my+1=0与直线m 2x-2y-1=0互相垂直，则实数m 为（ ）B.0或2C.2D.014、一个正三角形外接圆的半径为1，向该圆内随机投一点P ，点P 恰好落在正三角形内的概率是（ ）B.213C.34πD.413π15、将函数2sin(2)6y x π=+的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数是（ ） A.2sin(2)4y x π=+B.2sin(2)3y x π=+C.2sin(2)4y x π=-D.2sin(2)3y x π=- 16、若某多面体的三视图（单位：cm俯视图A.2B.4C.6D.8 17、已知ln x π=，123y -=，12log 5z =，则（ ）A.x<y<zB.z<x<yC.z<y<xD.y<z<x18、阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（ ） A.55 B.5 C.-5D.-5519、设变量,x y 满足约束条件202210x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则目标函数z=x-y 的最大值为（ ）A.-1B.12C.5D.720、已知tan 2α=，则sin cos sin cos αααα+-=（ ）A.3B.13C.13-D.-321、在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，直线BB1与平面ACD 1所成角的余弦值为（ ）A.3B.3C.23D.322、某学校高一、高二、高三共有学生3500人，期中高三学生是高一学生的两倍，高二学生比高一学生多300人。
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2019年天津市普通高中学业水平考试
数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅰ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟。第Ⅰ卷1至4
页，第Ⅰ卷6至7页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答题时，
务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利!
参考公式：
柱体的体积公式
柱体
V
＝Sh，其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高．
锥体的体积公式
锥体
V
＝13Sh，其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高．
球的体积公式
球
V
＝34π3R，其中R表示球的半径．
第Ⅰ卷（选择题，共45分）
一、选择题：（本大题共15题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的)
1、已知集合5,4,2,1A,4,3,1B，则AB等于（ ）
A.{1,2,3,4,5} B.{1,3,4} C.{2,5} D.{1,4}
2、函数
)
6
2cos(xy
，xR的最小正周期为（ ）
A.2 B. 2 C. D.
2
3、函数
131log)(21x
x
xf
的定义域是（ ）
A.
)
21[， B.]21,31()31,0( C.]2,31()31,0( D.]2
1
,0(
4、下列函数中，与xy相等的为（ ）
A.
x
x
y2
B.2)(xy C.xy10lg D.2xy
5、若向量𝒂=（2，3），𝐛=（-1，5），则𝒂+2𝐛的坐标为（ ）
A. （0，13） B. （1，8） C.（4，13） D.（0，7）
6、若直线
012:
1yxl与直线03:2
ymxl
互相垂直，则实数m的值为（ ）
A.2 B.21 C.21 D.2
7、某班级有6名学生参加了演讲社团，其中有4名男同学
,,,,
4321
AAAA
2名女同学21,BB,现从这6名同
学中随机选取2人参加学校演讲比赛，则恰好选中1名男生和1名女生的概率为（ ）
A.
158 B.157 C.52 D.3
1
8、200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如图所示，则时速超过60hkm/的汽车数量为（ ）
A.65辆 B.76辆 C.88辆 D.95辆
9、为了得到
Rxxy),
3
2cos(
的图象，只需将函数Rxxy，2cos的图象上的所有的点（ ）
A.向左平行移动
3个长度单位 B.向左平行移动6
个长度单位
C.向右平行移动
3个长度单位 D.向右平行移动6
个长度单位
10、已知
28.0a，8.0
2b
，8.0log2c，则𝑎，𝑏，𝑐的大小关系为（ ）
A. 𝑎>𝑏>𝑐 B. 𝑎>𝑐>𝑏 C. 𝑏>𝑎>𝑐 D. 𝑐>𝑎>𝑏
11、已知向量𝒂，𝐛的夹角为
3
，且｜𝒂｜=2，𝐛=（3，1），则ba的值等于（ ）
A.52 B.15 C.5 D.2
12、设α，β是两个不同的平面，𝑙，𝑚是两条不同的直线，且ml,（ ）
A.若ml，则 B.则若,l
C.//,//则若l D.ml//,//则若
13、已知函数
122)(
xaxf
是R上的奇函数，若函数)2(mxfy的零点在区间），（11内，则m的
取值范围是（ ）
A.
)
21,2
1
(
B.)11(， C.)2,2( D.），（10
14、在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，N是棱CC1的中点，则异面直线AD1与DN所成角的余弦
值为（ ）
A.1010 B.510 C.
22 D.12
6
15、已知函数
axxxf2)(
2
在]12[，x上有最小值-1，则a的值为（ ）
A.-1或1 B.
4
5
C.
45或1 D.4
5
或1 或-1
第Ⅱ卷（非选择题，共55分）
二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
16、
3
2
tan
的值为______.
17、在△ABC中，若
45A
，622ABAC，，则BC的值为______.
18、某单位有员工120人，其中女员工有72人，为做某项调查，采用男女分层抽样法抽取容量为20的样
本，则男员工应选取的人数是_______.
19、在空间直角坐标系中，点），（11-A关于原点对称的点的坐标为_______.
20、已知函数1212)(xxxf，则不等式0)21()2(xfxf的解集为______.
三、解答题：（本大题共4个小题，共40分）
21、（8分）已知)20(71cos，，.求
（I）2cos；
（II）)3sin(;
22、（10分）已知圆C：4)1()1(22yx，若直线)0(43bbyx与圆C相切.
求（I)圆C的半径；
（II）实数b的值；
23、（10分）已知𝒂𝐛=1，且｜𝒂｜=2，｜b｜=1
(I) 求向量𝒂与𝒃的夹角；
(II) 求｜𝒂-2𝒃｜的值；
24、（12分）已知函数
0)1()(
2
fcbxxxf，且
（I）若函数)(xf是偶函数，求)(xf的解析式；
（II）在（I）的条件下，求函数)(xf在]31[，上的最大、最小值；
（III）要使函数)(xf在]31[，上是单调函数，求b的取值范围.
答案：
1-5DCBCA 6-10DABDC 11-15CBAAA
16、3- 17、52 18、8 19、），，（1-11- 20、），（3
21、（1）49472cos （2）1435
22、（1）2 （2）b=9
23、(1)
3
(2)2
24、(1)1)(2xxf(2);1-)(0取最小值时，当xfx8)(3的最大值为时，当xfx;
(3)),2[]6--，（