函数2 自变量的取值范围
二次函数自变量取值范围
二次函数自变量取值范围一、二次函数的定义和特点二次函数是数学中的一种函数，其一般形式为f(x) = ax + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
二次函数的特点包括：1.抛物线图像：二次函数的图像为一条抛物线。
2.顶点：抛物线的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
3.开口方向：当a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。
二、自变量取值范围的影响因素1.抛物线的顶点：自变量取值范围受到顶点坐标的影响。
2.开口方向：当抛物线开口向上时，自变量取值范围较大；当抛物线开口向下时，自变量取值范围较小。
3.抛物线与坐标轴的交点：抛物线与坐标轴的交点也会影响自变量的取值范围。
三、常见二次函数的自变量取值范围1.标准式：y = ax + bx + c，其中a ≠ 0。
这种二次函数的自变量取值范围为全体实数。
2.顶点式：y = a(x - h) + k，其中a ≠ 0，h、k为实数。
这种二次函数的自变量取值范围为全体实数。
3.截距式：y = a(x + b) + c，其中a ≠ 0，b、c为实数。
这种二次函数的自变量取值范围为全体实数。
四、如何确定二次函数的自变量取值范围1.根据二次函数的定义，判断抛物线的开口方向和顶点坐标。
2.分析抛物线与坐标轴的交点，确定自变量取值范围。
3.对于复合函数或含有绝对值等复杂情况的二次函数，需要进行分类讨论，逐步确定自变量取值范围。
五、实例分析以二次函数y = 2x - 3x + 1为例，先求出顶点坐标：顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，其中b = -3，a = 2。
顶点坐标为：(3/4, 1/8)。
由于a > 0，抛物线开口向上。
又因为抛物线与y轴交于点(0, 1)，所以自变量取值范围为全体实数。
综上，二次函数y = 2x - 3x + 1的自变量取值范围为全体实数。
求函数自变量取值范围的方法
求函数自变量取值范围的方法一、函数自变量取值范围的重要性。
1.1 函数就像一个小机器呀，自变量是我们喂给这个小机器的原料。
自变量取值范围呢，就决定了哪些原料是这个小机器能接受的。
要是给错了原料，这小机器可就没法正常运转啦，就像“巧妇难为无米之炊”一样。
这个取值范围是函数的一个基本属性，它能让我们准确地理解函数的意义和行为。
1.2 比如说在实际生活中，我们要计算一个圆形的面积，函数是面积关于半径的表达式。
那半径这个自变量就不能是负数，因为现实中不存在负的半径呀，这就是自变量取值范围在实际问题中的体现。
如果不考虑取值范围，算出的结果可能就成了无稽之谈。
二、整式函数自变量取值范围。
2.1 对于整式函数，那可就简单得像吃豆腐一样。
整式函数自变量取值范围通常是全体实数。
因为整式在任何实数的代入下都能顺利进行计算，没有什么特殊的限制。
比如说函数y = 3x + 5，x可以取任何实数，就像一个大门敞开着，所有的数都可以进去溜达一圈。
2.2 再比如y = x² 2x + 1，不管x是正数、负数还是零，这个函数都能算出一个对应的y值。
就像一个包容万象的大家庭，什么数来都欢迎。
三、分式函数自变量取值范围。
3.1 分式函数就有点小脾气啦。
分式函数分母不能为零，这是铁的纪律。
因为分母为零的时候，这个分式就没有意义了，就像盖房子没有地基一样。
比如说函数y = 1/(x 2)，x就不能等于2。
要是x等于2了，那就像捅了马蜂窝一样，整个式子就乱套了。
3.2 我们得把让分母为零的那些值排除在自变量取值范围之外。
就像筛选珍珠一样，把那些不好的、会让函数出问题的值筛掉，留下的才是自变量合适的取值。
四、根式函数自变量取值范围。
4.1 根式函数呢，这里面有个小门道。
对于二次根式函数，根号下的数得是非负的。
就像我们要保护小树苗一样，根号下的数要是负数，在实数范围内就没有意义啦。
比如说y = √x，x必须大于等于0才行。
要是x是负数，那就像在沙漠里找鱼一样，根本就不存在对应的实数y值。
初中数学_如何确定函数自变量的取值范围
初中数学_如何确定函数自变量的取值范围确定函数自变量的取值范围是数学中的一个重要问题。
在解决数学问题和应用函数时，我们需要正确地确定自变量的取值范围，以保证问题的有效性和解决方案的正确性。
本文将介绍一些常见的确定函数自变量取值范围的方法。
首先，我们需要明确函数的定义域。
函数的定义域是指可以使函数有意义的自变量的取值范围。
根据函数的性质和实际问题的限制，我们可以用以下几种方法确定函数的定义域。
1.代数方法：根据函数的代数表达式，我们可以通过排除无意义或不符合要求的值来确定函数的定义域。
常见的情况包括分母不能为零、平方根函数的被开方数不能为负数等。
例如，对于函数f(x)=1/x，在这个函数中，分母不能为零，所以我们可以排除x=0。
因此，定义域可以表示为x≠0。
2.几何方法：通过函数的几何意义，我们可以确定自变量的取值范围。
例如，对于平方根函数y=√x，我们知道平方根函数的被开方数不能为负数。
因此，自变量的取值范围是x≥0。
3.实际问题的限制：在解决实际问题时，问题本身可能对自变量的取值范围有限制。
例如，一些问题要求在一个已知的范围内解决，那么自变量的取值范围可以限定在这个已知范围内。
其次，我们需要注意函数图像的特点，以确定函数自变量的取值范围。
1.函数的增减性：考虑函数的增减性可以帮助我们确定自变量的取值范围。
例如，对于一个递增函数，在这个函数中，随着自变量的增加，函数值也会增加。
因此，自变量的取值范围可以是无穷大或有实数限制的有界范围。
2.函数的奇偶性：如果函数是奇函数，那么函数图像关于原点对称，即f(x)=-f(-x)。
如果函数是偶函数，那么函数图像关于y轴对称，即f(x)=f(-x)。
根据函数的奇偶性可以帮助我们确定函数自变量的取值范围。
例如，如果函数是奇函数，那么自变量的取值范围可以限定在非负数范围内。
最后，我们可以通过函数的应用问题来确定自变量的取值范围。
1.题目限定：在解决应用问题时，问题本身可能对自变量的取值范围有限制。
函数自变量的取值范围的确定
已知点A(6,0),点P(x,y)在第一象限，且x+y=8,设∆OPA的面积为S. （1）求S关于x的函数表达式； （2）求x的取值范围； （3）求S=12时，点P的坐标.
求下列函数的自变量x的取值范围：
y 1 (x≠0) x
y 1 (x≠-1) x 1
y x (x≥0) y 4x 5
(x为一切实数）
y x2
(x≥2)
y3 x2
(x为一切实数）
二、实际问题中自变量的取值范围．
在实际问题中确定自变量的取值范围，主要 考虑两个因素：
⑴自变量自身表示的意义．如时间、用油量 等不能为负数．
老张讲数学
函数自变量的取值
一、函数关系式中自变量的取值范围
在一般的函数关系中自变量的取值范围主要考 虑以下四种情况：
⑴函数关系式为整式形式：自变量取值范围为 全体实数；
⑵函数关系式为分式形式：分母的全体不为零 ⑶函数关系式含算术平方根：被开方数的全体
为非负数； ⑷函数关系式含零指数的：底数的全体不，租用汽车接送234名学生和6名教 师集体外出活动，共租车6辆。甲、乙两车载客量和租金如下 表：
甲种车辆 乙种车辆
载客量（单位：人/辆） 45
30
租金（单位：元）
400
280
设租用甲种车x辆，租车费用为y元，求y与x的函数关系式，并 写出自变量x的取值范围．
三、几何图形中函数自变量的取值范围
⑵问题中的限制条件．此时多用不等式或不 等式组来确定自变量的取值范围．
例1.用总长为60m的篱笆围成长方形场地,求 长方形面积S(m2)与边长x(m)之间的函数关系 式,并指出式自变量的取值范围？
函数的自变量取值范围
怎样求自变量的取值范围
1.整式： 取全体实数 2.分式： 取使分母不为0的值
3.偶次根式：取使“被开方数≥0”的值 4.奇次根式： 取全体实数
取使每一个式子有意义的值 5.对于混合式：
求出下列函数中自变量的取值范围
（ 1）
(2)
-1 y=(x+6)
0 y=(x-3)
怎样求自变量的取值范围
1.整式： 取全体实数 2.分式： 取使分母不为0的值
解(1)y=x (0＜x＜2)
（2）当BE＝1.75cm时 x＝2-1.75 ＝0.25
A
xH
O
E
B
2
D
∴y=x=0.25
F
C
3、一辆汽车的油箱中现有汽油50升，如果不再加 油，那么油箱中的油量y（升）随行驶里程x（公 里）的增加而减少，平均耗油量为0.1升/公里。 （1）写出表示y与x的函数关系的式子。
图象法
用图象来表示两个变量之间的关系；
列表法
用表格的方法来表示两个变量之间的关系；
s＝60t；
解析式法
用代数表达式来表示两个变量之间的关系等. （用解析法表示关系时，还要注意自变量的取值范围）
填写如图所示的加法表，然后把所有填 有10的格子涂黑，看看你能发现什么? 解 如图,能发现涂黑的格子成一条直线． 如果把这些涂黑的 格子横向的加数用 x表示，纵向的加 数用y 表示，试写 出y与x 的函数关 系式． 函数关系式：
1 2 y x 2
x Y x
1.在上面所出现的各个函数中，自变量的取 值有限制吗？如果有，写出它的取值范围。 探索 1
y 10 x
(x取1到9的
y
y 180 2 x
12.1 函数 第2课时 函数自变量的取值范围及其函数值
12.1
函数
[归纳总结] 常见的函数表达式中，使表达式有意义的条 件有分母不为0、被开方数大于或等于0等．当函数表达式 中既含有分式又含有二次根式时，应根据它们有意义的条 件列不问题二
会根据实际问题求自变量的取值范围
例2 一辆汽车从甲地以50 km/h的速度驶往乙地，已知甲地与 乙地相距150 km，则汽车距乙地的距离s(km)与行驶时间t(h)
12.1
函数
[归纳总结] (1)由实际问题列函数表达式的关键是先找准题中 的等量关系，再将自变量与函数用方程联系起来，进而转化为 函数表达式；(2)实际问题中自变量的取值范围应根据实际问 题的意义确定；(3)函数问题往往与方程、不等式相联系，解
题时，应注意相关知识的应用．
12.1
函数
课 堂 小 结
函数
解：(1)函数 y＝3x2－5 的自变量 x 的取值范围是全体实数． (2)∵x＋1≠0，∴x≠－1. x－ 2 ∴函数 y＝ 的自变量 x 的取值范围是 x≠－1. x＋ 1 (3)∵x
x＋3≠0， 需满足 解得 2－ x ≥ 0 ，
x≤2 且 x≠－3.
1 ∴函数 y＝ ＋ 2－x的自变量 x 的取值 x＋ 3 范围是 x≤2 且 x≠－3.
应使其中所有代数式都全体实数 ________．
12.1
函数
学习目标2
会根据自变量的值求函数值
1 3．已知 y 关于 x 的函数表达式为 y＝30x－6，当 x＝ 时，y 3 的值为( C ) C ．4 D．－4 2x－1 4．已知函数 y＝ ，当 x＝a 时的函数值为 1，则 a 的值 x＋ 2 为( A )
12.1
函数
2．[2014·天水] 要使式子 x－1在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是( A ) A． x ≥1 C． x ≤1 B． x ＜1 D． x ≠1
函数自变量取值范围的确定方法
函数自变量取值范围的确定策略金山初级中学 庄士忠 201508函数是初中数学一个十分重要的内容，为保证函数式有意义或实际问题有意义，函数式中的自变量取值通常要受到一定的限制，这就是函数自变量的取值范围。
函数自变量的取值范围是函数成立的先决条件，初中阶段确定函数自变量的取值范围大致可分为三种类型：（1）函数关系式中函数自变量的取值范围；（2）实际问题中函数自变量的取值范围；（3）几何问题中函数自变量的取值范围。
一、 函数关系式中函数自变量的取值范围：初中阶段，在一般的函数关系中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况：（1）函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数；（2）函数关系式为分式形式：分母≠0；（3）函数关系式含算术平方根：被开方数≥0；（4）函数关系式含0指数：底数≠0。
典型例题：例1：函数y=x 1-的自变量x 的取值范围在数轴上可表示为【 】A ．B ．C ．D ．【分析】根据二次根式有意义的条件，计算出y=x 1-的取值范围，再在数轴上表示即可，不等式的解集在数轴上表示的方法：＞，≥向右画；＜，≤向左画，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示。
根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使y=x 1-在实数范围内有意义，必须x 10-≥ x 1⇒≥。
故在数轴上表示为：。
故选D 。
例2：函数y =1x 2- 中自变量x 取值范围是【 】A ．x =2 B ．x ≠2 C ．x ＞2 D ．x ＜2 【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据分式分母不为0的条件，要使1x 2-在实数范围内有意义，必须x 20x 2-≠⇒≠。
故选B 。
例3：函数2y=x+2中自变量x 的取值范围是【 】A ．x ＞﹣2 B ．x ≥2 C ．x ≠﹣2 D ．x ≥﹣2【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件，要使2x+2在实数范围内有意义，必须x+20x 2x >2x+20x 2≥≥-⎧⎧⇒⇒-⎨⎨≠≠-⎩⎩。
二次函数自变量取值范围
二次函数自变量取值范围（实用版）目录1.引言2.二次函数的定义和性质3.自变量的取值范围4.结论正文【引言】二次函数是数学中常见的一种函数形式，其图像通常为抛物线。
在解决二次函数问题时，我们经常需要考虑自变量的取值范围。
本文将介绍二次函数自变量的取值范围及其相关性质。
【二次函数的定义和性质】二次函数是指形如 y=ax^2+bx+c（其中 a≠0）的函数，其中 a、b、c 为常数，x 为自变量，y 为因变量。
二次函数的性质包括开口方向、对称轴和顶点坐标等。
- 开口方向：当 a>0 时，二次函数图像向上开口；当 a<0 时，二次函数图像向下开口。
- 对称轴：二次函数的对称轴为 x=-b/2a。
- 顶点坐标：二次函数的顶点坐标为 (-b/2a, c - b^2/4a)。
【自变量的取值范围】在实际问题中，我们需要确定自变量 x 的取值范围，以满足二次函数有意义的条件。
二次函数有意义的条件是 a≠0，因此我们需要讨论 a 的正负性。
- 当 a>0 时，二次函数图像开口向上。
此时，自变量 x 的取值范围是全体实数，因为对于任何实数 x，二次函数都有意义。
- 当 a<0 时，二次函数图像开口向下。
此时，自变量 x 的取值范围需要满足函数值非负，即 ax^2+bx+c≥0。
我们可以通过求解二次方程ax^2+bx+c=0 的根来确定 x 的取值范围。
【结论】综上所述，二次函数自变量的取值范围取决于函数的性质和 a 的正负性。
当 a>0 时，自变量 x 的取值范围是全体实数；当 a<0 时，自变量 x 的取值范围需要满足函数值非负。