小船渡河模型(含答案)

运动的合成与分解实例——小船渡河模型
一、基础知识
（一）小船渡河问题分析
(1)船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动．
(2)三种速度：v1(船在静水中的速度)、v2(水流速度)、v(船的实际速度)．
(3)三种情景
①过河时间最短：船头正对河岸时，渡河时间最短，t短＝d v
1
(d为河宽)．
②过河路径最短(v2<v1时)：合速度垂直于河岸时，航程最短，s短＝d.船头指向上游
与河岸夹角为α，cos α＝v2v
1
.
③过河路径最短(v2>v1时)：合速度不可能垂直于河岸，无法
垂直渡河．确定方法如下：如图所示，以v2矢量末端为圆
心，以v1矢量的大小为半径画弧，从v2矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方
向航程最短．由图可知：cos α＝v1v
2，最短航程：s短＝d
cos α
＝v2v
1
d.
（二）求解小船渡河问题的方法
求解小船渡河问题有两类：一是求最短渡河时间，二是求最短渡河位移．
无论哪类都必须明确以下四点：
(1)解决这类问题的关键是：正确区分分运动和合运动，船的航行方向也就是
船头指向，是分运动．船的运动方向也就是船的实际运动方向，是合运动，一般情况下与船头指向不一致．
(2)运动分解的基本方法，按实际效果分解，一般用平行四边形定则按水流
方向和船头指向分解．
(3)渡河时间只与垂直河岸的船的分速度有关，与水流速度无关．
(4)求最短渡河位移时，根据船速v船与水流速度v水的大小情况用三角形法
则求极限的方法处理．
二、练习
1、一小船渡河，河宽d＝180 m，水流速度v1＝2.5 m/s.若船在静水中的速度为v2＝5 m/s，
则：
(1)欲使船在最短时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
(2)欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
解析(1)欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向．
当船头垂直河岸时，如图所示．
合速度为倾斜方向，垂直分速度为v2＝5 m/s.
t＝d
v2
＝180
5s＝36 s
v＝v21＋v22＝5
2 5 m/s
x＝v t＝90 5 m
(2)欲使船渡河的航程最短，应垂直河岸渡河，船头应朝上游与垂直河岸方向成某一夹角α，如图所示．
有v2sin α＝v1，
得α＝30°
所以当船头向上游偏30°时航程最短．
x′＝d＝180 m.
t′＝
d
v2cos 30°
＝180
5
23
s＝24 3 s
答案(1)垂直河岸方向36 s90 5 m (2)向上游偏30°24 3 s180 m
2、一条船要在最短时间内渡过宽为100 m的河，已知河水的流速v1与船离河岸的距离x变
化的关系如图甲所示，船在静水中的速度v2与时间t的关系如图乙所示，则以下判断中正确的是()
A．船渡河的最短时间是25 s B．船运动的轨迹可能是直线
C ．船在河水中的加速度大小为0.4 m/s 2
D ．船在河水中的最大速度是5 m/s 答案 C 解析 船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直时渡河时间最短，即t ＝100
5 s ＝20 s ，A 错
误；由于水流速度变化，所以合速度变化，船头始终与河岸垂直时，运动的轨迹不可能是直线，B 错误；船在最短时间内渡河t ＝20 s ，则船运动到河的中央时所用时间为10 s ，水的流速在x ＝0到x ＝50 m 之间均匀增加，则a 1＝4－0
10 m /s 2＝0.4 m/s 2，同理x ＝50 m
到x ＝100 m 之间a 2＝0－4
10 m /s 2＝－0.4 m/s 2，则船在河水中的加速度大小为0.4 m/s 2，
C 正确；船在河水中的最大速度为v ＝
52＋42 m/s ＝41 m/s ，D 错误．
3、如5所示，河水流速与距出发点垂直距离的关系如图甲所示，船在静水中的速度与时间的关系如图乙所示，若要使船以最短时间渡河，则
( )
A ．船渡河的最短时间是60 s
B ．船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直
C ．船航行的轨迹是一条直线
D ．船的最大速度是5 m/s 答案 BD
解析 当船头指向垂直于河岸时，船的渡河时间最短，其时间t ＝d v 2＝300
3 s ＝100 s ，A
错，B 对．因河水流速不均匀，所以船在河水中的航线是一条曲线，当船行驶至河中央时，船速最大，最大速度v ＝
42＋32 m /s ＝5 m/s ，C 错，D 对．
4、(2011·江苏·3)如图所示，甲、乙两同学从河中O 点出发，分别沿直线游到A 点和B 点后，立即沿原路线返回到O 点，OA 、OB 分别与水流方向平行和垂直，且OA ＝OB .若水流速度不变，两人在静水中游速相等，则他们所用时间t 甲、t 乙的大小关系为 ( ) A ．t 甲<t 乙 B ．t 甲＝t 乙
C ．t 甲>t 乙
D ．无法确定 答案 C
解析 设两人在静水中游速为v 0，水速为v ，则 t 甲＝
x OA v 0＋v ＋x OA
v 0－v ＝2v 0x OA v 20－v
2 t 乙＝2x OB
v 20－v
2
＝
2x OA
v 20－v 2<2v 0x OA
v 20－v 2 故A 、B 、D 错，C 对．
5、甲、乙两船在同一条河流中同时开始渡河，河宽为H ，河水流速为v 0，划船速度均为v ，出发时两船相距2
33H ，甲、乙两船船头均与河岸成60°角，如图所示．已知乙船恰好能垂
直到达对岸A 点，则下列判断正确的是
( )
A ．甲、乙两船到达对岸的时间不同
B ．v ＝2v 0
C ．两船可能在未到达对岸前相遇
D ．甲船也在A 点靠岸 答案 BD
解析 渡河时间均为H
v sin 60°，乙能垂直于河岸渡河，对乙船由v cos 60°＝v 0得v ＝2v 0，
甲船在该时间内沿水流方向的位移为(v cos 60°＋v 0)H v sin 60°＝2
33H ，刚好到达A 点，综
上所述，A 、C 错误，B 、D 正确．
6、一快艇要从岸边某处到达河中离岸100 m 远的浮标处，已知快艇在静水中的速度图象如图甲所示，流水的速度图象如图乙所示，假设行驶中快艇在静水中航行的分速度方向选定后就不再改变，则
( )
A ．快艇的运动轨迹可能是直线
B ．快艇的运动轨迹只能是曲线
C ．最快到达浮标处通过的位移为100 m
D ．最快到达浮标处所用时间为20 s 解析 快艇的实际速度为快艇在静水中的速度与水速的合速度．由图象可知快艇在静水中为匀加速直线运动，水为匀速直线运动，两速度不在同一条直线上，故快艇必做曲线运动，A 错误，B 正确；当快艇与河岸垂直时，到达浮标处时间最短，而此时快艇做曲线运动，故位移大于100 m ，C 错误；由题图甲可知快艇的加速度为a ＝Δv
Δt ＝0.5 m/s 2，
最短位移
为x ＝100 m ，对快艇由x ＝1
2at 2得：t ＝
2x a ＝ 2×100
0.5
s ＝20 s ，即最快到达浮标处
所用时间为20 s ，D 正确． 答案 BD。