小船渡河模型(含答案)

运动的合成与分解实例——小船渡河模型
一、基础知识
（一）小船渡河问题分析
(1)船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动．
(2)三种速度：v 1(船在静水中的速度)、v 2(水流速度)、v (船的实际速度)． (3)三种情景
①过河时间最短：船头正对河岸时，渡河时间最短，t 短＝d v 1
(d 为河宽)．
②过河路径最短(v 2<v 1时)：合速度垂直于河岸时，航程最短，s 短＝d .船头指向上游与河岸夹角为α，cos α＝v 2v 1
.
③过河路径最短(v 2>v 1时)：合速度不可能垂直于河岸，无法 垂直渡河．确定方法如下：如图所示，以v 2矢量末端为圆
心，以v 1矢量的大小为半径画弧，从v 2矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向航程最短．由图可知：cos α＝v 1v 2，最短航程：s 短＝d
cos α＝v 2
v 1
d .
（二）求解小船渡河问题的方法
求解小船渡河问题有两类：一是求最短渡河时间，二是求最短渡河位移． 无论哪类都必须明确以下四点：
(1)解决这类问题的关键是：正确区分分运动和合运动，船的航行方向也就是 船头指向，是分运动．船的运动方向也就是船的实际运动方向，是合运动， 一般情况下与船头指向不一致．
(2)运动分解的基本方法，按实际效果分解，一般用平行四边形定则按水流 方向和船头指向分解．
(3)渡河时间只与垂直河岸的船的分速度有关，与水流速度无关．
(4)求最短渡河位移时，根据船速v 船与水流速度v 水的大小情况用三角形法 则求极限的方法处理． 二、练习
1、一小船渡河，河宽d ＝180 m ，水流速度v 1＝2.5 m/s.若船在静水中的速度为v 2＝5 m/s ，则：
(1)欲使船在最短时间渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？ (2)欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？ 解析 (1)欲使船在最短时间渡河，船头应朝垂直河岸方向．
当船头垂直河岸时，如图所示．
合速度为倾斜方向，垂直分速度为v 2＝5 m/s.
t ＝d v 2＝180
5
s ＝36 s v ＝v 21＋v 2
2＝
5
2
5 m/s x ＝vt ＝90 5 m
(2)欲使船渡河的航程最短，应垂直河岸渡河，船头应朝上游与垂直 河岸方向成某一夹角α，如图所示． 有v 2sin α＝v 1， 得α＝30°
所以当船头向上游偏30°时航程最短．
x ′＝d ＝180 m.
t ′＝d v 2cos 30°＝180
5
23
s ＝24 3 s
答案 (1)垂直河岸方向 36 s 90 5 m (2)向上游偏30° 24 3 s 180 m 2、一条船要在最短时间渡过宽为100 m 的河，已知河水的流速v 1与船离河岸的距离x 变化的关系如图甲所示，船在静水中的速度v 2与时间t 的关系如图乙所示，则以下判断中正确的是
( )
A ．船渡河的最短时间是25 s
B ．船运动的轨迹可能是直线
C ．船在河水中的加速度大小为0.4 m/s 2
D ．船在河水中的最大速度是5 m/s 答案 C 解析 船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直时渡河时间最短，即t ＝100
5 s ＝20 s ，A
错误；由于水流速度变化，所以合速度变化，船头始终与河岸垂直时，运动的轨迹不可能是直线，B 错误；船在最短时间渡河t ＝20 s ，则船运动到河的中央时所用时间为10 s ，水的流速在x ＝0到x ＝50 m 之间均匀增加，则a 1＝4－010 m/s 2＝0.4 m/s 2，同理x ＝50 m
到x ＝100 m 之间a 2＝0－410 m/s 2＝－0.4 m/s 2，则船在河水中的加速度大小为0.4 m/s 2
，
C 正确；船在河水中的最大速度为v ＝52
＋42
m/s ＝41 m/s ，D 错误．
3、如5所示，河水流速与距出发点垂直距离的关系如图甲所示，船在静水中的速度与时间的关系如图乙所示，若要使船以最短时间渡河，则
( )
A ．船渡河的最短时间是60 s
B ．船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直
C ．船航行的轨迹是一条直线
D ．船的最大速度是5 m/s 答案 BD 解析 当船头指向垂直于河岸时，船的渡河时间最短，其时间t ＝d v 2＝
300
3
s ＝100 s ，A
错，B 对．因河水流速不均匀，所以船在河水中的航线是一条曲线，当船行驶至河中央时，船速最大，最大速度v ＝42
＋32
m/s ＝5 m/s ，C 错，D 对． 4、(2011··3)如图所示，甲、乙两同学从河中O 点出发，分别沿直线游到A 点和B 点后，立即沿原路线返回到O 点，OA 、OB 分别与水流方向平行和垂直，且OA ＝OB .若水流速度不变，两人在静水中游速相等，则他们所用时间t 甲、t 乙的大小关系为 ( ) A ．t 甲<t 乙 B ．t 甲＝t 乙
C ．t 甲>t 乙
D ．无法确定 答案 C
解析 设两人在静水中游速为v 0，水速为v ，则
t 甲＝x OA v 0＋v ＋x OA v 0－v ＝2v 0x OA v 20－v 2 t 乙＝2x OB v 20－v 2＝2x OA v 20－v 2
<2v 0x OA
v 20
－v 2 故A 、B 、D 错，C 对．
5、甲、乙两船在同一条河流中同时开始渡河，河宽为H ，河水流速为v 0，划船速度均为v ，出发时两船相距2
33H ，甲、乙两船船头均与河岸成60°角，如图所示．已知乙船恰好能垂
直到达对岸A 点，则下列判断正确的是
( )
A ．甲、乙两船到达对岸的时间不同
B ．v ＝2v 0
C ．两船可能在未到达对岸前相遇
D ．甲船也在A 点靠岸 答案 BD
解析 渡河时间均为
H
v sin 60°
，乙能垂直于河岸渡河，对乙船由v cos 60°＝v 0得v ＝
2v 0，甲船在该时间沿水流方向的位移为(v cos 60°＋v 0)
H
v sin 60°＝2
3
3H ，刚好到达A
点，综上所述，A 、C 错误，B 、D 正确．
6、一快艇要从岸边某处到达河中离岸100 m 远的浮标处，已知快艇在静水中的速度图象如图甲所示，流水的速度图象如图乙所示，假设行驶中快艇在静水中航行的分速度方向选定后就不再改变，则
( )
A ．快艇的运动轨迹可能是直线
B ．快艇的运动轨迹只能是曲线
C ．最快到达浮标处通过的位移为100 m
D ．最快到达浮标处所用时间为20 s 解析 快艇的实际速度为快艇在静水中的速度与水速的合速度．由图象可知快艇在静水中为匀加速直线运动，水为匀速直线运动，两速度不在同一条直线上，故快艇必做曲线运动，A 错误，B 正确；当快艇与河岸垂直时，到达浮标处时间最短，而此时快艇做曲线运动，故位移大于100 m ，C 错误；由题图甲可知快艇的加速度为a ＝Δv Δt ＝0.5 m/s 2
，最
短位移
为x ＝100 m ，对快艇由x ＝12at 2
得：t ＝
2x a
＝
2×100
0.5
s ＝20 s ，即最快到达浮标处 所用时间为20 s ，D 正确． 答案 BD。