如何只用直尺作矩形一边的中点
无刻度直尺作图(一)
中考数学试题研究之无刻度直尺作图（一）一、分割线段问题○1求作点P，使得AP:PB=1:2○2求作点P，使得AP○3作点P，使得AP：PB=15：8：S△PBC=1：2④如下图，在△ABC边上找一点P，使S△PAB：S△QBC=1：2⑤在△ABC内找一点Q，使S△QAB：S△GBC：S△GAC=1：2：3⑥在△ABC内找一点G，使S△GAB⑦AC交网格于点P，BC边上找一点Q，使PQ平分△ABC的面积二、垂直处理策略1、A ,B ,C 为边长为1的正方形网格的格点，○1过点C 作AB 的垂线○2作△ABC 的高AD ;○3作线段AB 的垂直平分线○4BC 边上找一点P ，使tan ∠CAP =252、如图在由边长为1的小正方形组成的网格图中，有一个格点三角形ABC ，若P 、Q 分别为线段AB 、BC 上的动点，当PC +PQ 取得最小值时，①在网格中用无刻度的直尺，画出线段PC 、PQ ．（请保留作图痕迹．）②直接写出PC +PQ 的最小值________：三、平行处理1、如图，边长为1的正方形网格中，格点△ABC ，BC 交网格线于D○1P 为△ABC 内一格点，M ,N 为AB ,BC 边上的点，使四边形PMBN 为平行四边形○2过点D 作AB 的平行线交AC 于E2、平行四边形ABCD ，E 为AB 中点○3求作CD 中点F ，○4作AD 边中点G3、已知边长为1的正七边形ABCDEFG○5画一个以AB 为边的平行四边形○6画一个以AF 为边的菱形○7画一条长为12的线段四、对称策略1、如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D○1P为边AB上一点，用无刻度直尺在AC上找一点P‘，使AP’=AP○2P为BD上任意一点，在CD上找一点P’，使CP’=BP2、正方形ABCD，M是边BC上一点○3AB边上找一点N，使CN=AM○4AD边上找一点Q，使CQ∥AM五、旋转策略○1请用无刻度的直尺将矩形ABCD绕点A顺时针旋转得矩形'''AB C D,其中点C的对应点'C 落在AD的延长线上。
七上数学中点问题解题技巧和方法
七上数学中点问题解题技巧和方法一、认识中点1、什么是中点在平面几何中，中点指的是线段的中心点，也就是将一条直线段平均分成两段的点。
在坐标系中，中点的坐标可以通过相应线段的两个端点的坐标来求得。
2、中点的特点中点具有以下特点：- 与两端点距离相等- 与两端点连线构成的线段长度是全线段长度的一半- 坐标为两端点坐标的算术平均值二、中点问题解题技巧和方法1、求直线段中点的坐标求直线段中点的坐标，可以通过端点坐标的平均值来求得。
假设直线段的两个端点分别为A（x1，y1）和B（x2，y2），则中点的坐标为：\[M(\frac{x1+x2}{2},\frac{y1+y2}{2} )\]2、中点问题解题步骤求解中点问题一般需要经过以下步骤：- 确定问题：明确问题中需要求解的中点的具体内容，确定问题中所给条件以及未知数。
- 分析问题：通过问题分析，理清思路，确定解题的方法和步骤。
- 求解过程：根据问题需求，使用公式或者坐标的求解方法求得中点坐标。
- 检验答案：求得中点坐标后，通过计算或者图示方法对答案进行检验，确保结果的准确性。
三、实例分析下面通过实例对中点问题的解题技巧和方法进行具体分析。
例题：已知直线段AB的端点坐标分别为A（2，3）和B（6，8），求直线段AB的中点坐标M。
分析解题步骤：1. 确定问题：根据题目要求，需要求解直线段AB的中点坐标M。
2. 分析问题：根据中点的定义和公式，可以通过端点坐标的平均值求得中点坐标。
3. 求解过程：根据公式\[M(\frac{x1+x2}{2},\frac{y1+y2}{2} )\]，带入端点坐标得到：\[M(\frac{2+6}{2},\frac{3+8}{2} )\]，计算得中点坐标M为：\[M(4,5)\]。
4. 检验答案：通过计算得到的中点坐标进行检验，发现满足与端点距离相等的特点，因此得出结论，中点坐标M为(4,5)。
四、总结与思考中点问题是数学中的基础问题，其求解过程涉及到坐标系的运用、平均值的计算等数学知识。
例谈中点问题的几种辅助线的作法
二、 作平行线 。 构造全等三角形 已知 三角形一边 的中点 ， 我们 可以经 过其 中一 个顶 点作对边 的平行线 ， 构造“ 型 图， ” 从而可 以得 到全等三角形 。 Ａ Ｄ 例 ２ 已知 ： 图 ２ Ａ Ｃ 如 ， Ｂ
＝
又 Ｅ 是△Ｂ Ｃ的 中位线 ， Ｍ Ａ Ｅ Ｍ∥Ａ 即 Ｅ Ｃ， ＭＢ＝ Ｃ 。
・ ． ． ‘ ． ‘
Ｍ Ｄ＝ Ｂ Ｄ一 Ｅ Ｄ＝ Ｂ一÷ Ｂ＝ Ｅ Ｅ Ｍ
二
忸 ＝９＊ Ａ ＋ Ｂ ＝ Ｃ ， ０， Ｄ Ｃ Ｄ
Ｃ，
’ ． ．
为佃 的中点 ， 求证 ： Ｄ Ｃ＝ Ｅ
９ 。
仍 ＝ Ｍ ＥＤ ，
证明 ： 长 Ｄ 交 Ｃ 延 Ｅ， Ｂ的延 长线 于点 Ｆ 。
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思路方法
３ ７
例 谈 中点 问题 的几 种 辅 助 线 的作 法
■ 娄
在研究几何图形时 ， 若有涉及 中点的问题 ， 我们 常需要添加一些适 当的辅助线来解 答 问题 ， 果能 如 够把这一类问题的一般 方法作 出全面 的归纳 ， 那将 对我们思考问题是很有益处的。 作等腰 三角形底边上的 中线 在等腰三角形中 ， 作它底边上的中线 ， 我们可利 用等腰三角形“ 三线合一” 的性质来解答 问题 。 例 １ 已知 ： 图 １点 Ｄ、 如 ， Ｅ
‘
．
．
的中点问题 ， 了构造 全 等 （ 除 即作 Ｂ Ｍ∥ Ｃ ， Ａ Ｆ交 Ｄ 的延 长线 于点 ） ， 外 也可 以过 中点 Ｄ作平 行线 ， 构
造中位线 。 证明 ： Ｄ 作 Ｇ∥ｃ 交 Ｂ Ｆ， Ｆ于 ｃ，
则 Ａ Ｅ Ｅ： Ｄ＝Ａ 彤 。 Ｆ：
又 ＢＤ＝Ａ ． Ｂ ０，‘ Ｄ：Ａ ． Ｇ。
人教版九年级数学下册专题复习：只用直尺的中考作图题赏析课件(16张ppt)
直尺作图题赏析
引申一： 已知线段BD的中点C及直线BD外一点P，只用直尺 过P作BD的平行线. 引申二：一道题的讨论 下列轴对称图形中，只用一把无刻度的直尺不能画出 对称轴的是( )
A.菱形 B.矩形 C.等腰梯形 D.正五边形
思考1：正A五B边是形的其顶点中与对一边中个点所小在的长直线方为对形称轴的。 对角线，请在大长方形中完成下列画图，
拓展：矩形和正方形的结合，平行四边形和圆的结合。
功能，发要挥“求转化：”的1威、力。仅用无刻度直尺，2、保留必要的画图痕迹.
思考2：轴对称图形的对称线段（或延长线）相交，交点必在对
思考2：在已(作1出)在的图图1中，(1P点)中是三画角形一中什个么线4段5的°交点角？ ，使点A或点B是这个角的顶点，且AB
2、作图题的思考原则：假设图已作出，再分析图形应具备 的特征。
直尺作图题赏析
(2004,江西)如图，己知方格纸中的每个小方格都是相同 的正方形. AOB画在方格纸上，请在小方格的格点上 标出一个点P，使点P落在 AO的B平分线上.
思考：由于CA=CB，所以可考虑全等三角形、等腰三 角形三线合一、菱形。
就需要深入挖掘图形自身性质，用好直接的或潜在的固有
(1)在图(1)中画一个45°角，使点A或点B是这个角的顶点，且AB （2015、南昌市）.
直尺作图题赏析
(2012，江西)如图12，已知正五边形ABCDF，仅用无刻度的直 尺准确作出其一条对称轴.(保留作图痕迹)
思考1：正五边形的顶点与对边中点所在的直线为对称轴。 思考2：轴对称图形的对称线段（或延长线）相交，交点必在对 称轴上。 思考3：正多边形的对称轴都仅用直尺能作吗？
中考数学教学指导：聚焦“只用直尺”类作图题
聚焦“只用直尺”类作图题只用直尺(无刻度) 作图问题，具有趣味性、探索性、创造性，它注重数学思维的考查．由于少了圆规的相助，直尺只能用来画直线、射线或线段，以及由它们组合成的图形．解答此类问题时，在动手操作探索作图思路的过程中，我们会感受到数学创造的乐趣．下面举例说明．一、作三角形的高例1知AB是半圆的直径，图1中，点C在半圆外，图2中，点C在半圆内，请仅用无刻度的直尺，(1) 在图1中，画出△ABC的三条高的交点：(2) 在图2中，画出△ABC中AB边上的高．分析(1) 画△ABC三条高的交点，实际上只要画出两条高即可．作高就是要画出90°角，已知AB是半圆的直径，容易联想到“直径所对的圆周角是直角”．记图1中AC与半圆交点为E，BC交半圆于点D，连结AD、BE交于点P，则点P即为所求．(2) 受第(1) 题的启发，先分别作出AC、BC边上的高得到它们的交点，再过这两条高的交点及点C作射线与AB相交即可．具体画法是：如图2，延长AC交半圆于点D，延长BC交半圆于点E，连结BD、AE并延长交于点P，作射线PC交AB于点F，则PF即为所求．解(1) 如图1，点P即为所求．(2) 如图2，线段PF即为所求．二、画对称轴例2已知正五边形ABCDE，请用无刻度的直尺，准确画出它的一条对称轴(保留画图痕迹)．分析正五边形是轴对称图形，它的每一条对称轴都经过一个顶点．考虑过点A画对称轴，此时BC、DE是一对对称线段．由于BC与DE不平行，因此它们的交点在过点A的对称轴上，如图3 (1)；或者点B、E及点C、D是两对对称点，连结BD、CE，它们的交点在过点A的对称轴上，如图3 (2)．解直线AF即为所求．例3如图4，△ABC与△DEF关于直线l对称，请用无刻度的直尺作出直线l．分析成轴对称的两个图形中，不平行的对称线段的交点在对称轴上．图4中AB与DE、BC与EF、AC与DF是对称线段且都不平行，只要画出其中两对对称线段的交点即可画出对称轴．解直线l即为所求．三、画角平分线例4 如图5，已知∠AOB，OA=OB，点E在OB边上，四边形AEBF是矩形．请你只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线(请保留画图痕迹)．分析因为OA=OB，连结AB，则△AOB是等腰三角形．因此要画∠AOB的角平分线，根据“三线合一”可知，只需画出底边AB上的高或AB的中点即可．注意到AB是矩形AEBF 的对角线，容易想到连结EF，EF与AB的交点就是AB的中点，记为点G，作射线OG即为∠AOB的平分线．解射线OG即为所求．四、画中点例5 已知矩形ABCD，请你只用无刻度的直尺画出BC边的中点．分析本题难度较大，让人有无从下手的感觉．注意到矩形ABCD的对边互相平行，考虑利用平行线分线段成比例定理来求解，这需要有较扎实的数学基础知识．如图6，在AD的上方任取一点O，连接OB、OC分别交AD于点E、F，连结BF、CE交于点G，连结OG并延长交BC于点H，则点H就是BC边的中点．证明如图6，记OH交AD于点M．∵四边形ABCD是矩形，∴A D∥BC，∴EMBH=OEOB，OEOB=EFBC，EFBC=EGGC，EGGC=EMHC，∴EMBH=EMHC∴BH=CH，即点H为BC为的中点．说明只用直尺作图，可作出矩形一边的4等分点、8等分点、16等分点…求解几何作图题的思维方式与求解几何证明题不同，它需要较强的构造和设计能力．由于同学们对此类问题接触较少，一开始可能会觉得比较困难．相信同学人多学习多训练，一定会积累经验，取得成功．。
中考数学压轴题之无刻度直尺作图技巧分类详解
中考数学压轴题之无刻度直尺作图、网格点作图技巧详解仅用无刻度直尺作图和网格点作图问题已成为各地中考热门考点，近年来在江西、武汉、天津等地中考中均以压轴题出现，其难度一般会超过单纯的证明题或计算题。
这类题型主要考察同学们对几何图形性质的熟悉程度，还有同学们平时方法和技巧的掌握。
常见的考察点有：特殊点问题、特殊角问题、垂直问题、平行问题、角平分线问题、与圆有关的问题等。
无刻度直尺的作用只有一个：将已知的两点连线。
我们要充分利用格点的作用：取点、平行等。
下面对各类常见题型的技巧进行了分类总结。
一、特殊点问题例1：在下面网格图中用无刻度直尺作出线段AB的中点。
分析与解：利用“8”字型平行线分线段成比例、平行四边形对角线互相平分等性质，图中不同颜色的线均可将AB平分。
例2：在下面网格图中用无刻度直尺作出线段AB的中点，其中A为格点，B为任意点。
分析与解：如图，取格点C，连接CB并延长交网格线于E,取AC、AE与网线的交点D、F（即中点），连接DF交AB于G，则G即为所求作点。
这儿我们利用了中位线和平行线分线段成比例等性质。
例3：在下面网格图中，在线段AB 上找一点C ，使AB AC 31=。
方法1方法2 方法3分析与解：方法1和方法2都利用了网格线平行的性质，通过“8”字型模型，构造1：2的相似比例，从而将线段AB 分为1：2两段。
方法3利用了重心的性质，AB 和EF 为BED ∆的两条中线，所以C 为BED ∆的重心。
二、特殊角问题例4：在下面网格图中找格点C ，使O BAC 45=∠。
分析与解：利用“12345”模型，即若βα、均为锐角，且31tan ,21tan ==βα，则O 45=+βα。
例5：如下图，利用无刻度直尺在线段MN 上找一点Q ，使O AQB 45=∠。
分析与解：O AQB 45=∠，典型定弦定角问题。
注意到O AMB 90=∠，所以点Q 在以M 为圆心，MA 长为半径的圆上，故2=MQ 。
仅用无刻度直尺创新作(画)图题的解题技巧
C C
答:△ABC为所求作的三角形；
当堂检测
——利用图形的性质画图
O
解:(1)AC为所作的线； 【点评】 (1)利用等腰三角形的性质及平行四边形 (2)EO为所作线． 的对边平行的性质进行推理；(2)由(1)可知 △AEC是等腰三角形，所以要找出AC的中点．
当堂检测
——在网格中画图
2、如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在所给的网格 中按下列要求画出图形。 (1)画一条线段AB,使它的另一个端点B落在格点(即小正方形的顶点)上,且长度为 (2)以(1)中的AB为边，画一个等腰△ABC，使点C在格点上，且另两边的长都是 无理数； (3)以(1)中的AB为边，画一个平行四边形，使另外两个顶点都在格点上，各边长 都是无理数且画出所有符合条件的平行四边形。
当堂检测
——利用图形的性质画图
1、请你只用无刻度的直尺按要求作图. (1)如图1，AF、BE是△ABC的角平分线，且相交于点 O，请你作出∠C的平分线. (2)如图2，AC与BD相交于O，且 ∠DAO=∠BAO=∠CBO=∠ABO,请你作出∠AOB的平 分线.
E
答:(1)CO为所求作的线；(2)EO为所求作的线．
仅用无刻度的直尺
——1、根据图形的性质画图
例1．（2012江西样卷）如图，四边形ABCD是 一个等腰梯形，请直接在图中仅用直，准确画 出它的对称轴．
F
【分析】要画等腰梯形的对称轴， 应找出两点，而直尺只能连线， 所以应尝试找出这两点。 ①线与线交于一点，连AC、BD得 点E； ②延长BA、CD交于点F； ③连结EF，即得对称轴．
专题讲座
仅用无刻度的直尺
创新作（画）图题 ——解题技巧
试题立意
矩形的中心点的定义-概述说明以及解释
矩形的中心点的定义-概述说明以及解释1.引言1.1 概述引言部分是文章开头的重要部分，它需要引起读者的兴趣并提供背景信息。
以下是关于矩形中心点定义的概述部分的示例内容：概述矩形是我们日常生活中最基本的几何形状之一，它有着广泛的应用，在建筑、工程、计算机图形学等领域都扮演着重要的角色。
矩形的中心点作为矩形的一个重要属性，对于矩形的定位和分析具有重要的意义。
本文旨在探讨矩形中心点的定义及其在不同领域中的应用。
首先，我们将介绍矩形的定义，明确矩形这一几何形状的特征和性质，为后续对矩形中心点的讨论奠定基础。
接着，我们会详细探讨矩形的中心点的重要性，包括在几何分析、图形计算和图像处理中的应用。
最后，我们将总结矩形中心点的定义，并强调其应用价值，并对未来研究方向进行展望。
通过对矩形中心点的定义和应用进行深入的研究，我们可以更好地理解和利用矩形这一几何形状，在各个领域中提供更加准确和高效的解决方案。
无论是在建筑设计中精确定位矩形的位置，还是在计算机图形学中进行图像处理和重构，矩形中心点的定义都具有重要的意义。
因此，研究和探索矩形中心点的定义和应用是一个具有挑战性并且具有广泛应用前景的课题。
在接下来的篇章中，我们将一步步地探索矩形中心点的定义和应用，希望读者通过本文的学习，对矩形的中心点有更加深入的理解，同时也为未来的研究工作提供一定的参考和借鉴。
让我们一起展开关于矩形中心点定义的精彩探索吧！1.2文章结构文章结构部分的内容可以包括以下内容：文章结构部分的主要目的是为读者提供对整篇文章的清晰概述，帮助读者更好地理解文章的内容与组织结构。
本部分将介绍本文的整体结构，包括各个章节的主要内容和目标。
具体来说，本文将包括以下几个部分：1. 引言部分：在引言部分中，将对矩形的中心点的定义进行简要介绍，并说明本文将讨论有关矩形中心点的重要概念和属性。
2. 正文部分：正文部分将详细探讨矩形的定义、属性以及中心点的重要性。
在2.1节中，将给出矩形的几种常见定义，并探讨它们的优缺点。
「初中数学」中点相关的几何解法探究
「初中数学」中点相关的几何解法探究中点是几何中的一个重要概念，体现了对称、和谐之美，是中考的核心考察对象之一，在命题中占着重要的一席之地.本文拟从与中点有关的基本定理、基本图形等入手，以学生检测中的一道中考真题为例，对中点问题展开解法探究.一、基本图形先谈谈与中点有关的基本定理与基本图形，如图1所示：1.线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；2.等腰三角形底边上的中线、底边上的高线以及顶角的平分线重合，简称“三线合一”；3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；4.三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半；5.平行四边形的对角线互相平分；由这些基本定理及其相关逆定理衍生出的基本图形，是我们处理中点问题的常见策略，如倍长中线等方法.结合面积问题，还会有“三角形的中线平分其面积”等结论.二、例题呈现（2015年辽宁省抚顺市中考题）如图2，四边形ABCD为矩形，E为边BC的中点，连接AE，以AD为直径的⊙O交AE于点F，连接CF.(1)求证：CF与⊙O相切；(2)若AD=2，F为AE的中点，求AB的长.三、解法探究首先解决第(1)小问：思路一：如图3，要证CF与⊙O相切，必定要连接半径OF，只要证出OF⊥CF即可.由题易知OD⊥CD，连接OC，若能证明△OCD≌△OCF便可解决问题.要证△OCD≌△OCF，已经有OD=OF，OC=OC，还缺一个条件，如何寻找呢？注意到在矩形ABCD中，点O、E分别为AD、BC的中点，易证四边形AOCE为平行四边形，从而有OC∥AE.故∠COF=∠OFA=∠OAF=∠COD，即∠COF=∠COD.因此△OCD≌△OCF （SAS），问题得解.思路一构造平行四边形，通过导角，寻找到了所需的最后一组有关角的条件.除此之外，还可以考虑证明CD=CF，再利用“SSS”得到全等.下面提供“倍长中线”的思路来证明CD=CF.思路二：如图4，延长AE交DC的延长线于点G，由E为边BC 的中点，易证△ABE≌△GCE（ASA），从而有AB=GC=DC；由直径AD联想到连接DF，则∠AFD=∠DFG=90°；识别到“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”基本型，可得FC=DC；至此，除了全等法之外，还可以简化过程如下：由OF=OD得∠OFD=∠ODF，再由FC=DC得∠CFD=∠CDF，从而有∠OFC=∠ODC=90°，则OF⊥CF，故CF与⊙O相切，问题得解.课堂上笔者介绍了这两种思路，学生直呼过瘾.就这样结束了吗？不！爱动脑筋，总会有意想不到的收获！下课铃声一响，班里一学生兴高采烈的堵住我：“老师，我还有一种解法，……”.思路三：如图5，连接OF、DF、OE、OC、DE，设OC与DE交于点M，再连接FM.易证四边形ODCE为矩形，且∠AFD=∠DFE=90°，则FM=1/2DE=1/2OC=OM=CM.由FM =OM=CM，可推出∠OFC=90°，则OF⊥CF，故CF与⊙O相切，问题得解.此解法看似复杂，但构图充满美感，不自觉间形成了一个极其有趣的“★”结构，让人不禁感叹几何构造之神奇！而解法来源于学生，又不禁让教者惊叹于学生无限的创造力!若用共圆的眼光来看，此解法将更有趣.如图6，易知O、D、C、E、F五点共圆，再借助圆中相关知识，此图中还会有非常多的等角.四、解后反思“学而不思则罔，思而不学则殆”，解题后反思是是一种意识，一种习惯，更是一种能力.几何的学习重在基本图形的识别与构造，学会联想，将残缺的图形补成已学过或已解决的基本图形，这就是所谓常见辅助线的构造.反思解题过程，重在反思基本图形.1.“铁三角结构”思路一中可抽离一个基本图形：如图6，由OA=OF及OC∥AF可推出∠1=∠2，即“等腰三角形＋平行角平分线”.事实上，对于条件①：OA=OF；条件②：OC∥AF；条件③：∠1=∠2，其中任意两个成立，第三个一定成立，两两组合，共三个真命题.笔者称其为“铁三角结构”，它经常会出现在中考题里，应予以广泛的关注.2.“倍长中线法”思路二中，由中点E联想到倍长AE至点G，如图7，构造出一组“平行8字型”全等，此法即为“倍长中线法”，是解决与中点相关问题的重要方法，需引起高度重视.此外，倍长中线之后，思路二还结合了一个重要的定理，即直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，如图8所示.这条中线了不得，它将直角三角形分割成了两个等腰三角形，实现了两种特殊三角形之间的相互转化.值得一提的是，该定理还有一些重要的逆定理，比如“若FC=CD=CG，则∠DFG=90°”，再比如“若∠DFG=90°且FC=CD，则CD=CG”，也经常会在中考题里出现.3.几个有趣的结论(1)如图9，在矩形ABCD中，E为边BC的中点，DF⊥AE，则CF=CD.简析：该结论就是从例题图中抽离出来的，其中圆被隐去了.其证明，从例题来看，至少有两种证法：一是取AD的中点，采取全等法；二是延长AE，采取倍长中线法.此外，还可以建立平面直角坐标系，设出点坐标，利用解析法，经过一番“惨无人道”的计算，验证出CF=CD成立.这既是解析法的优势，也是其劣势之所在.它不需要联想到几何构造的“天马行空”，仅仅只要实施暴力计算的“脚踏实地”.几何法是证明，而解析法就是验算.通过证明不难发现，矩形条件实属多余，只需要四边形ABCD为平行四边形，其余条件不变，如图10所示，依然有CF=CD成立.(2)如图11，在正方形ABCD中，E、M分别为边BC、AB的中点，则CF=CD.简析：易证Rt△ADM≌Rt△BAE（SAS），导角可得DM⊥AE，转化为结论(1)，下略.图11中，两个中点可导出：DM⊥AE，DM=AE，CF=CD.这是一个极其有趣的结构，可称为正方形中“十字架”模型，借助相似，该模型也可以推广到矩形中，是一个经典的几何图形，常出现在考题中.(3)如图12，在正方形ABCD中，F为边AB的中点，CF与以AB 为直径的半圆交于点G，连接AG并延长交BC于点E，则E必为边BC的一个黄金分割点.简析：如图13，由直径AB联想到连接BG，则BG⊥AE；联想到正方形中“十字架”模型，延长BG交边CD于点M，则易得Rt△ABE≌Rt△BCM（AAS）；又由边AB的中点F知，GF=AF=BF，导角易得∠1=∠3=∠4=∠2，∠5=∠8=∠7=∠6；由∠1=∠2知△CGE∽CBG，从而易得CG2=CE×CB；又由∠5=∠6，易得CG=CM=BE，因此有BE2=CE×CB，即点E必为边BC的一个黄金分割点，问题得解.此结论脱胎于2017年安徽省中考压轴题，是一个极其有趣的结果，它提供了一种用尺规作图寻找线段黄金分割点的趣法，值得大家用心揣摩.五、类题巩固（2017年黑龙江省鹤岗市中考题）已知：△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°．连接AD，BC，点H为BC中点，连接OH．(1)如图14所示，求证：OH＝1/2AD且OH⊥AD；(2)将△COD绕点O旋转到图15，图16所示位置时，线段OH与AD又有怎样的关系，并选择一个图形证明你的结论．简析：(1)如图17，易证Rt△AOD≌Rt△BOC（SAS），则AD=BC，∠1=∠2；又由H为BC的中点，易得OH=1/2BC=BH，从而∠1=∠3；故OH＝1/2AD，再由∠2=∠3导角可得OH⊥AD；对于第(2)小问，下面给出几种方法，供大家参考：方法一：如图18，延长BO至点B′，使OB′=BO，连接B′C.由点H为BC中点，得OH∥B′C且OH=1/2B′C.又易证△AOD≌△B′OC （SAS），则有AD=B′C，于是有OH＝1/2AD.另外，由△AOD≌△B′OC还可得∠OAD=∠OB′C，导角易得B′C⊥AD，从而有OH⊥AD，问题得解.方法一通过倍长BO的手段，将目标线段OH变为中位线，从而转化为B′C，只要证明B′C与AD的关系即可.既然可以倍长BO，同理可以倍长CO，如图19所示，“它们是一伙的”，不再赘述.方法二：如图20，延长AO至点E，使OE=AO，连接DE，再取DE的中点F，连接OF，则OF∥AD且OF=1/2AD.又易证△BOC≌△EOD（SAS），其中△EOD可看成由△BOC绕着点O按逆时针方向旋转90°而来.由点H为BC中点，易知点H与点F是对应点，再结合旋转的性质，可得OF=OH且OF⊥OH，从而有OH=1/2AD且OH⊥AD，问题得解.方法二通过倍长AO的手段，再取一个中点，将目标线段AD转化为中位线OF，只要证明OF与OH的关系即可.既然可以倍长AO，同理可以倍长DO，如图21所示，“它们也是一伙的”，不再赘述.上面两种方法都用到了一个重要的基本图形，如图22及图23所示，可直观地称其为“共直角顶点的双等腰直角三角形模型”.在该模型中，易得△BOD≌△AOC（SAS），这个全等往往是解题的关键之所在，还可以用旋转的眼光来看待，从而易得AC=BD且AC⊥BD.方法三：如图24，延长中线OH至点E，使HE=OH，连接BE，则有△COH≌△BEH（SAS），从而易知BE=CO=DO，且易得BE∥CO，故∠EBO+∠COB=180°.又因为∠AOD+∠COB=（∠AOB+∠DOB）+∠COB=∠AOB +(∠DOB +∠COB）=∠AOB+∠DOC=180°，所以有∠EBO=∠AOD.于是有△EBO≌△DOA（SAS），则OE=AD且∠EOB=∠DAO.再导角可得OE⊥AD，因此有OH=1/2AD且OH⊥AD，问题得解.该解法巧施“倍长中线”策略，通过全等，结合导角等方法解决问题.如图25，倍长中线OH至点E，再连接CE，也可解决问题。
“仅用无刻度直尺作图”课堂实践例展与分析
２０２３年９月下半月㊀案例赏析㊀㊀㊀㊀仅用无刻度直尺作图 课堂实践例展与分析◉甘肃省庆阳市正宁县第四中学㊀李志明㊀㊀摘要:无刻度直尺作图一直是中考命题的热点,也是初中生数学活动实践中的一大薄弱点．从学生的作图情况来看,利用无刻度直尺作图仍存在着诸多问题,如错误地直接取中点㊁错画垂直或平行等．本文中通过一节课堂教学片段,呈现如何帮助学生学会仅用无刻度直尺作图的方法．关键词:无刻度直尺;作图;实例㊀㊀无刻度直尺作图是尺规作图中的一种,有些省市的中考命题者对此十分青睐．然而,这一内容恰巧是学生的薄弱项,表现出了诸多不足,导致利用无刻度直尺作图题的得分率整体偏低．为此,本文中首先呈现例题及其错误画法,并在分析之后简要说明无刻度直尺的工具属性,最后通过呈现课堂教学片段的方式,和学生探究无刻度直尺作图的方法．１例题及其错误画法呈现例题呈现如下:图１如图１所示,四边形A O C B 是☉O 内一菱形,且A ,B ,C 都在圆上,请仅用无刻度直尺作出线段O A的中点．本题图形简单,条件不多,要求也比较明确,难度较小,笔者预估学生完成的质量较高．但从学生的作图来看,存在很多错误之处,下面展示几种错误画法(如图２):图２２错解分析图２中的四种错解具有代表性．下面对这四种错解进行分析．图２(１)虽关注到了可用无刻度直尺连接菱形A O C B 的对角线构造出点D ,但之后直接取O A 的中点并连接D E ,这正是错误之处．因为仅用无刻度直尺作图时,无法直接且准确地取一条线段的中点,所以违背了无刻度直尺的工具属性．图２(２)的画法虽然简单,但同样违背了无刻度直尺的工具属性．体现在两个方面:首先,直接取B C 的中点;其次,直接取O A 的中点．图２(３)连接B O 并延长与☉O 相交于点D ,连接D A ,作øB D A 的角平分线D E ,与O A 交于点F ,与☉O 相交于点E ．这种作法虽部分尊重了无刻度直尺的工具属性,如 连接O B 并延长与☉O 相交于点D连接D A ,但仅用无刻度直尺难以直接㊁准确地画出一个角的角平分线．图２(４)延长C O 与☉O 相交于点D ,连接D A ,连接B D ,与O A 相交于点E ．这种作法虽然准确找到了O A 的中点E ,每一步操作也符合无刻度直尺的工具属性,但存在多余的线段,应将D A 删除．３仅用无刻度直尺作图的工具属性说明从上述四种错解分析中可以看出,违反无刻度直尺的工具属性最常见．那么,无刻度直尺的工具属性有哪些呢?首先,用无刻度直尺可连接点,如图２(１)中连接C A ,O B 和图２(４)中连接B D 的操作步骤都利用了这一点．９４Copyright ©博看网. All Rights Reserved.案例赏析２０２３年９月下半月㊀㊀㊀其次,用无刻度直尺可将线段延长,如图２(３)中 连接B O 并延长与☉O 相交于点D 和图２(４)中 延长C O 与☉O 相交于点D 的操作步骤都利用了这一点．也就是说,在仅用无刻度直尺作图的情况下,只能进行连接点㊁延长等操作,不能直接利用无刻度直尺取线段中点㊁作角平分线㊁作平行线㊁作垂线等[１]．４仅用无刻度直尺作图课堂实践虽然当前的尺规作图题无需写出作图步骤及证明过程,但这类题处处体现着数学学科特有的逻辑思维[２]．那么,该如何引导学生去解决这类问题?下面,展示教学片段:师:请同学们取出一张白纸,将之折叠再折叠使之成为一把 无刻度直尺 ．学生折纸．设计意图:长期以来,有刻度的直尺作图给学生留下了极其深刻的印象．用白纸折出 无刻度直尺 ,帮助学生脱离有刻度直尺的束缚,是正确利用无刻度直尺作图的关键．师:请问这样的 直尺 有刻度吗?生:没有．师:利用它能否画出一条直线或线段呢?请和同桌交流．学生交流并分享．生１:可以画出直线,也可以画出线段,还可以画出射线．师:请用你的 无刻度直尺 给所画线段找出中点,可以吗?学生寻找并讨论．教师巡视并收集错解,在白板上展示．师:请看白板上展示的两种作法,你认为它们正确吗学生观察并思考．生２:我认为图３的作法不正确．因为仅用无刻度直尺 找 不到它的中点．线段是由无数个点组成的,你怎么知道点O 正好就是线段A B 的中点呢?所以,我认为这种画法不正确．图３㊀㊀㊀图４生３:我觉得图４的作法也有问题．因为用无刻度直尺画中间直线时,如何知道该直线恰好与线段A B 互相垂直呢?设计意图:收集错解并向学生展示,有利于学生发现问题㊁分析问题．借助错解让学生反思,更有利于学生形成批判性思维,甚至创造性思维．师:分析得非常有道理．那么仅用无刻度直尺作图时,到底能做什么呢?生４:我认为可以连接点．生５:我认为可以把线段向两端延长．师:非常好．那么对于图１,应如何利用无刻度直尺作图呢请思考．生:(思考)生６:首先可以把能连接的点用无刻度直尺连接起来,还可以延长线段．如图２(１)中连接O B ,C A ,如图２(３)中连接O B 后延长B O 与☉O 交于点D ．生７:线段延长后会产生新的点,这些新的点又可以连接．如图２(４),延长C O ,与☉O 交于点D ,这个点D 就是新产生的点,可以将这个点与其他点连接起来．生８:我认为还有非常重要的一点,就是把多余的线段去掉,如图２(４)中应该去掉线段A D．图５师:大家说得非常好,生８补充得更好．所以,图１中O A 的中点可如图５所示作图．综上所述,在仅用无刻度直尺作图时,一定要摒弃习惯思维对学生的影响,在明确无刻度直尺的工具属性后,才能正确作图．否则,极易出现文中展示的几种错误．参考文献:[１]张洁．造境 串问 灵动:从中考题谈情境教学 以 直尺作图 为演示案例[J ]．中学数学研究(华南师范大学版),２０２０(２２):１６Ｇ１７,１５．[２]吕科利,郑旭常．浅析 无刻度直尺 作图的作法探讨与应用[J ]．理科考试研究,２０１８,２５(８):２１Ｇ２４．Z０５Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。