寿光一模数学试题

寿光一模试题一、选择题1. 下列运算中，正确的是( )A. x2⋅x3=x6B. (a−1)2=a2−1C. (a+b)(−a−b)=a2−b2D. (−2a2)2=4a43. 如图是一个用相同的小立方体搭成的几何体的三视图，则组成这个几何体的小立方体的数是( )A. 2B. 3C. 4D. 54. 若干名工人某天生产同一种零件，生产的零件数整理成条形图（如图所示）．设他们生产零件的平均数为a，中位数为b，众数为c，则有( )A. b>a>cB. c>a>bC. a>b>cD. b>c>a5. 某单位向一所希望小学赠送1080件文具，现用A，B 两种不同的包装箱进行包装，已知每个B 型包装箱比A 型包装箱多装15件文具，单独使用B 型包装箱比单独使用A 型包装箱可少用12个．设B 型包装箱每个可以装x件文具，根据题意列方程式为( )A. 1080x =1080x−15+12B. 1080x=1080x−15−12C. 1080x =1080x+15−12D. 1080x=1080x+15+126. 已知a，b是方程x2+2013x+1=0的两个根，则(1+2015a+a2)(1+2015b+b2)的值为( )A. 1B. 2C. 3D. 49. 如图是某公园的一角，∠AOB=90∘，弧AB的半径OA长是6米，C是OA的中点，点D在弧AB上，CD∥OB，则图中休闲区（阴影部分）的面积是( )A. (10π−92√3)米2B. (π−92√3)米2C. (6π−92√3)米2D. (6π−9√3)米210. 如图，△AOB是直角三角形，∠AOB=90∘，OB=2OA，点A在反比例函数y=1x的图象上．若点B在反比例函数y=kx的图象上，则k的值为A. −4B. 4C. −2D. 211. 如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA=OC．则下列结论：①abc<0；②b2−4ac4a>0；③ac−b+1=0；④OA⋅OB=−ca．其中正确结论的个数是( )A. 4B. 3C. 2D. 112. 如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90∘，BM是AC边中线，点D，E分别在边AC和BC上，DB=DE，EF⊥AC于点F，以下结论：（1）∠DBM=∠CDE；（2）S△BDE<S四边形BMFE；（3）CD⋅EN=BN⋅BD；（4）AC=2DF．其中正确结论的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题13. 因式分解：x3+6x2y−27xy2=．14. 若关于x的不等式组{2x>3x−3,3x−a>5有实数解，则a的取值范围是．15. 如图是一个底面直径为 10，母线 OE 长也为 10 的圆锥，A 是母线 OF 上的一点，FA =2，从点 E 沿圆锥侧面到点 A 的最短路径长是 ．16. 二次函数 y =x 2+2x +m 与坐标轴有两个不同的交点，则 m 的值为 ．17. 为了测量路灯 (OS ) 的高度，把一根长 1.5 米的竹竿(AB ) 竖直立在水平地面上，测得竹竿的影子 (BC ) 长为 1 米，然后拿竹竿向远离路灯方向走了 4 米 (BBʹ)，再把竹竿竖立在地面上，测得竹竿的影长 (BʹCʹ) 为 1.8 米，则路灯离地面的高度 ．18. 阅读以下材料：对于三个数 a ，b ，c 用 M {a,b,c }表示这三个数的平均数，用 min {a,b,c } 表示这三个数中最小的数，例如：M {−1,2,3}=−1+2+33=43；min {−1,2,3}=−1；min {−1,2,a }={a,a ≤1−1,a >−1；如果 M {2,x +1,2x }=min {2,x +1,2x }，则 x = ． 三、解答题19. 2017 年 1 月，市教育局在全市中小学中选取了 63所学校从学生的思想品德、学业水平、学业负担、身心发展和兴趣特长五个维度进行了综合评价．评价小组在选取的某中学七年级全体学生中随机抽取了若干名学生进行问卷调查，了解他们每天在课外用于学习的时间，并绘制成如下不完整的统计图．根据上述信息，解答下列问题：（1）本次抽取的学生人数是 ；扇形统计图中的圆心角 α 等于 ．补全统计直方图；（2）被抽取的学生还要进行一次 50 米跑测试，每5 人一组进行．在随机分组时，小红、小花两名女生被分到同一个小组，请用列表法或画树状图求出她俩在抽道次时抽在相邻两道的概率．20. 在 Rt △POQ 中，OP =OQ =4，M 是 PQ 的中点，把一三角尺的直角顶点放在点 M 处，以 M 为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与 △POQ 的两直角边分别交于点 A ，B ．（1）求证：MA =MB ；（2）连接 AB ，探究：在旋转三角尺的过程中，△AOB 的周长是否存在最小值?若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．21. 如图，已知 ED ∥BC ，∠EAB =∠BCF ，（1）四边形 ABCD 为平行四边形； （2）求证：OB 2=OE ⋅OF ；（3）连接 OD ，若 ∠OBC =∠ODC ，求证：四边形ABCD 为菱形．22. 某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降．今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价 1000 元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为 10 万元，今年销售额只有 8 万元． （1）今年三月份甲种电脑每台售价多少元? （2）为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价为 3500 元，乙种电脑每台进价为 3000 元，公司预计用不多于 5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台，有几种进货方案?（3）如果乙种电脑每台售价为3800元，为打开乙种电脑的销路，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金a元，要使（2）中所有方案获利相同，a值应是多少?此时，哪种方案对公司更有利?23. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A(0,3)，C(−1,0)．将矩形OABC绕原点O顺时针方向旋转90∘，得到矩形OAʹBʹCʹ．设直线BBʹ与x轴交于点M、与y轴交于点N，抛物线经过点C，M，N．解答下列问题：（1）求直线BBʹ的函数解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上求出使S△PBʹCʹ=92S矩形OABC的所有点P的坐标.24. 如图，点P是⊙O外一点，PA切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，连接OP，过点B作BC∥OP 交⊙O于点C，连接AC交OP于点D．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若PD=163cm，AC=8cm，点E是AB⏜的中点，连接CE，求CE的长．4. 下列水平放置的几何体中，主视图是矩形的有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5. 某次知识竞赛中，10名学生的成绩统计如下：分数(分)60708090100人数(人)11521则下列说法正确的是( )A. 学生成绩的极差是4B. 学生成绩的众数是5C. 学生成绩的中位数是80分D. 学生成绩平均数是80分6. 正方形ABCD在坐标系中的位置如图所示，将正方形ABCD绕C点顺时针方向旋转90∘后，A点的坐标为( )A. (√26,0)B. (0,7)C. (√26,1)D. (7,0)7. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，∠B=30∘，BC=4cm，以点C为圆心，以2cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是( )A. 相离B. 相切C. 相交D. 相切或相交8. 已知一次函数y1=kx+b与反比例函数y2=kx在同一直角坐标系中的图象如图所示，则当y1<y2时，x的取值范围是( )A. x<−1或0<x<3B. −1<x<0或x>3C. −1<x<0D. x>3二、填空题（共6小题；共30分）9. 计算：−2−1+√20÷√5=．10. 如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，∠ACD=52∘，则∠BAD=．11. 某市为治理污水，需要铺设一条全长为550米的污水排放管道，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天的工效比原计划增加10%，结果提前5天完成这一任务．假设原计划每天铺设x米，根据题意可列方程为．12. 如图，圆内接正六边形ABCDEF的周长为12cm，则该正六边形的边心距为cm．13. 如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第6个图案需要枚棋子，摆第个图案需要1141枚棋子．14. 如图，在锐角△ABC中，AB=4，∠BAC=45∘．∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点．则BM+MN的最小值是．三、解答题（共11小题；共143分）18. 小明和小亮是一对双胞胎，他们的爸爸买了两套不同品牌的运动服送给他们，小明和小亮都想先挑选．于是小明设计了如下游戏来决定谁先挑选．游戏规则是：在一个不透明的袋子里装有除数字以外其它均相同的4个小球，上面分别标有数字1，2，3，4．一人先从袋中随机摸出一个小球，另一人再从袋中随机摸出一个小球．若摸出的两个小球上的数字之积为3的倍数，则小明先挑选；否则小亮先挑选．这个游戏公平吗?请说明理由．22. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：AF=DC．（2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．23. 一家蔬菜公司收购到某种绿色蔬菜140吨，准备加工后进行销售，销售后获利的情况如下表所示：销售方式粗加工后销售精加工后销售每吨获利(元)10002000已知该公司的加工能力是：每天能精加工5吨或粗加工15吨，但两种加工不能同时进行．受季节等条件的限制，公司必须在一定时间内将这批蔬菜全部加工后销售完．（1）如果要求12天刚好加工完140吨蔬菜，则公司应安排几天精加工，几天粗加工?（2）如果先进行精加工，然后进行粗加工．①试求出销售利润W元与精加工的蔬菜吨数m之间的函数关系式；②若要求在不超过10天的时间内，将140吨蔬菜全部加工完后进行销售，则加工这批蔬菜最多获得多少利润?此时如何分配加工时间?答案第一部分1. D2. B3. C4. A5. B6. D7. A8. D 9. C 10. A 11. B 12. C 第二部分13. x(x−3y)(x+9y)14. a<4 15. 2√4116. 0或1 17. 9米 18. 1第三部分19. （1）30；144∘补全统计图如图所示：【解析】6÷20%=30，(30−3−7−6−2)÷30×360=12÷30×26=144∘，答：本次抽取的学生人数是30人；扇形统计图中的圆心角α等于144∘．（2）根据题意列表如下：设竖列为小红抽取的跑道，横排为小花抽取的跑道，小红小花123451(2,1)(3,1)(4,1)(5,1)2(1,2)(3,2)(4,2)(5,2)3(1,3)(2,3)(4,3)(5,3)4(1,4)(2,4)(3,4)(5,4)5(1,5)(2,5)(3,5)(4,5)记小红和小花抽在相邻两道这个事件为A，∴P(A)=820=25．20. （1）如图，过点M作ME⊥OP于点E，作MF⊥OQ于点F，因为∠O=90∘，∠MEO=90∘，∠OFM=90∘所以四边形OEMF是矩形，因为M是PQ的中点，OP=OQ=4，∠O=90∘，所以ME=12OQ=2，MF=12OP=2，所以ME=MF，所以四边形OEMF是正方形，因为∠AME+∠AMF=90∘，∠BMF+∠AMF=90∘，所以∠AME=∠BMF，在△AME和△BMF中，{∠AME=∠BMF,ME=MF,∠AEM=∠BFM=90∘,所以△AME≌△BMF(ASA)，所以MA=MB．（2）有最小值，最小值为4+2√2．理由如下：根据（1）△AME≌△BMF，所以AE=BF，设OA=x，则AE=2−x，所以OB=OF+BF=2+(2−x)=4−x，在Rt△AME中，AM=√AE2+ME2=√(2−x)2+22，因为∠AMB=90∘，MA=MB，所以AB=√2AM=√2⋅√(2−x)2+22=√2(2−x)2+8，△AOB的周长=OA+OB+AB=x+(4−x)+√2(2−x)2+8=4+√2(2−x)2+8，所以，当x=2，即点A为OP的中点时，△AOB的周长有最小值，最小值为4+√8，即4+2√2．21. （1）∵DE∥BC，∴∠D=∠BCF，∵∠EAB=∠BCF，∴∠EAB=∠D，∴AB∥CD，∵DE∥BC，∴四边形ABCD为平行四边形．（2）∵DE∥BC，∴OBOE=OCOA，∵AB∥CD，∴OCOA=OFOB，∴OBOE=OFOB，∴OB2=OE⋅OF．（3）连接BD，交AC于点H，∵DE∥BC，∴∠OBC=∠E，∵∠OBC=∠ODC，∴∠ODC=∠E，∵∠DOF=∠DOE，∴△ODF∽△OED，∴ODOE =OFOD，∴OD2=OE⋅OF，∵OB2=OF⋅OE，∴OB=OD，∵平行四边形ABCD中BH=DH，∴OH⊥BD，∴四边形ABCD为菱形．22. （1）设今年三月份甲种电脑每台售价m元．则：100000 m+1000= 80000m.解得：m=4000.经检验，m=4000是原方程的根且符合题意．所以甲种电脑今年每台售价4000元；（2）设购进甲种电脑x台．则：48000≤3500x+3000(15−x)≤50000.解得：6≤x≤10.因为x的正整数解为6，7，8，9，10，所以共有5种进货方案；（3）设总获利为W元．则：W=(4000−3500)x+(3800−3000−a)(15−x)=(a−300)x+12000−15a.当a=300时，（2）中所有方案获利相同．此时，购买甲种电脑6台，乙种电脑9台时对公司更有利．23. （1）∵四边形OABC是矩形，∴B(−1,3)，根据题意，得Bʹ(3,1)，把B(−1,3)，Bʹ(3,1)代入y=mx+n中，{−m+n=3,3m+n=1.解得{m=−12,n=52.∴y=−12x+52；（2）由（1）得，N(0,52)，M(5,0)，设二次函数解析式为y=ax2+bx+c，把C(−1,0)，M(5,0)，N(0,52)代入得{c=52,a−b+52=0,25a+5b+52=0.解得：{a=−12,b=2,c=52.∴二次函数解析式为y=−12x2+2x+52；（3）∵S矩形OABC=3×1=3，∴S△PBʹCʹ=272，又∵BʹCʹ=3，∵Bʹ(3,1)，∴点P到BʹCʹ的距离为9，则P点的纵坐标为10或−8．∵抛物线的顶点坐标为(2,92)，∴P的纵坐标是10，不符合题意，舍去，∴P的纵坐标是−8，当y=−8时，−8=−12x2+2x+52，即x2−4x−21=0，解得x1=−3，x2=7，∴P1(−3,−8)，P2(7,−8)，∴满足条件的点P的坐标是(−3,−8)和(7,−8)．24. （1）如图，连接OC，∵PA切⊙O于A，∴OA ⊥PA ， ∴∠PAO =90∘， ∵OP ∥BC ，∴∠AOP =∠OBC ，∠COP =∠OCB ， ∵OC =OB ， ∴∠OBC =∠OCB ， ∴∠AOP =∠COP ， 在 △PAO 和 △PCO 中， {OA =OC,∠AOP =∠COP,OP =OP.∴△PAO ≌△PCO (SAS )， ∴∠PAO =∠PCO =90∘， ∴OC ⊥PC ，∴PC 是 ⊙O 的切线；（2） 连接 EA ，EB ，作 BH ⊥CE 于 H ，如图，∵AB 是 ⊙O 的直径， ∴∠ACB =∠AEB =90∘， ∵OP ∥BC ， ∴PO ⊥AC ，∴AD =CD =12AC =4，在 Rt △PAD 中，PA =√PD 2+AD 2=√(163)2+42=203，∵∠APO =∠DPA ， ∴Rt △PAD ∽Rt △POA ， ∴PA:PO =PD:PA ，即 203:PO =163:203，解得 PO =253，∴OD =PO −PD =3， ∵AO =BO ，OD ∥BC ， ∴BC =2OD =6，在 Rt △ACB 中，AB =√62+82=10， ∵ 点 E 是 AB⏜ 的中点， ∴∠BCE =∠ACE =12∠ACB =45∘， ∴AE =BE ，∴△BCH 和 △ABE 都是等腰直角三角形， ∴CH =BH =√22BC =3√2，BE =√22AB =5√2，在 Rt △BEH 中，EH =√(5√2)2−(3√2)2=4√2， ∴CE =CH +EH =3√2+4√2=7√2． 第一部分 1. C 【解析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念判断. 2. C3. D4. C5. C6. D7. B8. B第二部分 9. 3210. 38∘11. 550x−550(1+10%)x =512. √3 13. 127，19 14. 2√2第三部分15. Rt △ABC ，即为所求 【解析】如图所示：Rt △ABC ，即为所求．16.原式=6x 2−9−x+3x 2−9=−x+3x 2−9=−1x+3.17. （1） 被查出的总人数 =40÷40%=100 名， 阅读的人数：100−25−40−15=20 名， 补全统计图如图所示；（2）运动所对应的扇形圆心角的度数=360∘×25100= 90∘；（3）课余时间喜欢阅读的人数：1500×20100=300名．18. 根据题意可列表如下：第一次第二次12341(1,2)(1,3)(1,4)2(2,1)(2,3)(2,4)3(3,1)(3,2)(3,4)4(4,1)(4,2)(4,3)从表可以看出所有可能结果共有12种，且每种结果发生的可能性相同，符合条件的结果有6种，P(两个小球上的数字之积为3的倍数)=612=12；则这个游戏公平．19. 作AE⊥CD于点E．则CE=AB=15（米）．∵在直角△ACE中，tan∠EAC=CEAE，∴AE=CEtan∠EAC =150.80=18.75（米）．∵直角△ADE中，cos∠DAE=AEAD，∴AD=AEcos52∘=18.750.62≈30（米）．答：楼顶A对塔顶D的距离是30米．20. （1）如图1，由题意得：最高点C(4,6)，B(8,2)，设抛物线的函数表达式：y=a(x−4)2+6，把(8,2)代入得：a(8−4)2+6=2，a=−14，∴y=−14(x−4)2+6．（2）如图2，当DE=2时，AD=AE−DE=4−2=2，当x=2时，y=−14(2−4)2+6=5>4，∴这辆货车能安全通过．21. 解第一个不等式去括号得2x+5≤3x+6.解得x≥−1.解第二个不等式去分母得3x−3<2x.解得x<3.所以不等式组的解集是−1≤x≤3.22. （1）∵E是AD的中点，∴AE=ED．∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DBE，∠FAE=∠BDE．∴△AFE≌△DBE．∴AF=DB．∵AD是BC边上的中线，∴DB=DC，∴AF=DC．（2）四边形ADCF是菱形．由（1）知，AF=DC .∵AF∥CD，∴四边形ADCF是平行四边形．又AB⊥AC，∴△ABC是直角三角形．∵AD是BC边上的中线，∴ AD =12BC =DC ．∴ 平行四边形 ADCF 是菱形．23. （1） 设应安排 x 天进行精加工，y 天进行粗加工， 根据题意得{x +y =12,5x +15y =140,解得{x =4,y =8,答：应安排 4 天进行精加工，8 天进行粗加工． （2） ①精加工 m 吨，则粗加工 (140−m ) 吨， 根据题意得W =2000m +1000(140−m )=1000m +140000,② ∵ 要求在不超过 10 天的时间内将所有蔬菜加工完， ∴ m5+140−m 15≤10，解得 m ≤5 . ∴ 0≤m ≤5，又 ∵ 在一次函数 W =1000m +140000 中，k =1000>0， ∴ W 随 m 的增大而增大，∴ 当 m =5 时， W 最大=1000×5+140000=145000.∴ 精加工天数为 5÷5=1，粗加工天数为 (140−5)÷15=9．∴ 安排 1 天进行精加工，9 天进行粗加工，可以获得最多利润为 145000 元。