概率第七次作业答案
概率练习册第七章答案
概率练习册第七章答案在概率论的学习过程中，练习题是帮助学生巩固理论知识和提高解题技巧的重要工具。
以下是第七章概率练习册的一些答案，供参考：问题1：假设有两个骰子，每个骰子有6个面，分别掷一次。
求掷出的两个骰子点数之和为7的概率。
答案：掷出点数之和为7的情况有(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)共6种。
每个骰子有6种可能的结果，所以总共有6*6=36种可能的组合。
因此，点数之和为7的概率是6/36 = 1/6。
问题2：一个袋子里有5个红球和3个蓝球。
随机抽取2个球，求至少有一个红球的概率。
答案：至少有一个红球的情况包括：1红1蓝和2红。
1红1蓝的概率是(5/8)*(3/7)，2红的概率是(5/8)*(4/7)。
所以，至少有一个红球的概率是(5/8)*(3/7) + (5/8)*(4/7) = 15/56。
问题3：一个班级有30个学生，其中15个是男生，15个是女生。
随机选择5个学生，求至少有3个男生的概率。
答案：我们可以使用组合来解决这个问题。
至少有3个男生的情况有：3男2女，4男1女，5男0女。
计算每种情况的概率并相加即可得到最终答案。
问题4：一个工厂每天生产100个零件，其中大约有2%是次品。
求至少有3个次品的概率。
答案：这是一个二项分布问题，其中n=100，p=0.02。
至少有3个次品的概率可以通过1 - P(X=0) - P(X=1) - P(X=2)来计算，其中P(X=k)是恰好有k个次品的概率。
问题5：一个随机变量X服从正态分布，其均值为μ=50，标准差为σ=10。
求P(40 < X < 60)。
答案：首先，我们需要将区间(40, 60)标准化。
计算Z值：Z1 =(40-50)/10 = -1，Z2 = (60-50)/10 = 1。
然后，使用标准正态分布表查找Z值对应的累积概率，最后相减得到P(40 < X < 60)。
概率论习题答案 第7章答案
p
X
(3)
∫ ∫ E(X )
=
∞
xf (x,θ )dx
=
∞
2xe−2(x−θ ) dx
=
1
+θ
−∞
θ
2
令 1 + θ = X ，解得θ 矩估计量为 2
θˆ = X − 1 2
∫ ∫ ∞
1
（4） E( X ) = xf (x,θ )dx = θ x θ dx =
θ ，令
θ =X，
−∞
0
θ +1
θ +1
n
令
∑ d ln L =
n
+
ln xi
i =1
= 0 ，解得θ 的极大似然估计值为
θˆ =
n2
dθ 2θ 2 θ
∑⎡ n
⎤2
⎣⎢ i=1 ln xi ⎦⎥
第 7 章习题答案 总 11 页第 3 页
θ 的极大似然估计量为
θˆ =
n2
∑⎡ n
⎤2
⎢⎣ i=1 ln X i ⎥⎦
(5) 设 x1, x2 ,", xn 是相应于 X 1, X 2 ,", X n 的样本，则似然函数为
=
(θ1
+ θ2 )2
+
θ
2 2
令
∑ ⎧
⎪ ⎪⎩⎨(θ1
θ1 + θ2 = X
+ θ2 )2
+
θ
2 2
=
1 n
n i =1
X
2 i
解得参数θ1,θ 2 的矩估计量为:
θˆ1 = X − θˆ2 ,
∑ θˆ2 =
1 n
概率论与数理统计习题7参考答案
概率论与数理统计习题7参考答案习题7参考答案7.1解：因为:是抽自二项分布B （m ，p ）的样本，所以总体的期望为mp X E =)(，用样本均值X 代替总体均值()E X ，得p 的矩估计为m Xp=ˆ。
似然函数为1111()()(1)(1)()(1)mmii m mi i x m x x m x x m x p p p m mmmL p C p p C p p C pp ==---∑∑=--=-，对它们两边求对数可得11ln(())ln()ln ()ln(1),m mp miii i L p m C x p m x p ===++--∑∑对p 求导并令其为0得11ln(())/()/(1)0mmi i i i L p x p m x p p ==∂=---=∂∑∑，得p 的极大似然估计为1ˆnii xXm pm m ===∑7.2解：01()xE X xdx eλλλ+∞-=•=⎰，令()X E X =，则λ的矩估计为λˆ11()E x X== 由概率密度函数可知似然函数为：e e e x x x L n λλλλλλλ---••••=21)(eni i x n∑==-1λλ对它们两边求对数可得∑-=∑==-=ni inx en x L ni i 1ln )ln())(ln(1λλλλλ对λ求导并令其为0得0))(ln(1=∑-=∂∂=ni i x n L λλλ 即可得λ的似然估计值为x n n i i x 111ˆ1=∑==λ7.3解:记随机变量x 服从总体为[0,]上的均匀分布，则220)(θθ=+=X E ， 令()X E X =，故的矩估计为X 2ˆ=θ。
X 的密度函数为θ1)(=x p 故它的似然函数为IIX X L n inni n}{1}0{)(11)(θθθθθ≤=≤<==∏要使)(θL 达到最大，首先一点是示性函数的取值应该为1，其次是θn1尽可能大。
由于θn1是的单调减函数，所以的取值应该尽可能小，但示性函数为1决定了不能小于,因此给出的最大似然估计=θˆ（示性函数I=，=min{} ,=max{}）7.4解:记随机变量x 服从总体为[,]上的均匀分布，则2322)(θθθ=+=X E , 令()X E X =,所以的矩估计为X 32ˆ=θX 的密度函数为θ1)(=x p 故它的是似然函数为()(1)()(1){2}{2}{}21111()x xx x n in nnnni L X I I Iθθθθθθθθθ≤≤≤<≤≤≤====∏要使)(θL 达到最大，首先一点是示性函数的取值应该为1，其次是θn1尽可能大。
概率论与数理统计(中山大学版)第七章答案
第七章参数估计课后习题详解：1.解：2.解：3.解：4.解：求的极大似然估计量 (1)20122222230111(,)(3,),,9327..()(1)..()(1)2,..()(12)(,2)(2)(()(,2))22{}{}0.012(0.001)(0.01)5n n n E D c f t i t tc f t i nn c f t it n n n n nMP M P nMααααξαβξαβξαβξϕβξϕβξηηϕβηαχαχξηβχχβ---Γ=Γ=====-=-=-∴Γ==Γ⇒>=>==== 总体的子样的记＝则的0.891150.8950.890.565442109M nβ⇒=⋅=⋅⋅=000(),0,0,0(){}()1,0()()y mmy m y y e y m y dye dy P m F m e m y dy e dyE αβαββαβηαβξηξηξβ---∞∞-=>>≥<<====->⎰⎰⎰⎰震级的概率即 14(,1),{0}0.7()20(0,1)(0)()()1()0.7()0.30.2544.N a P a N P p a a a a a aξξξξξφφφ<==-∴<=-<-=-=-==⇒=- 用频率估计概率θ||1(;),||,0,2x f x e x x θθθθ--=>-∞<<-∞<<∞1||11211(;)2,,,||ni i nx i n i nn i i f x ex x x x θθθθ=--==∑=-∏∑ 当取的中位数时，取到最小值。
(2)的似然发函数为(3) 的似然函数为(4) 的似然函数为5.解：θ() 111111(;)()ln (;)(ln 1ln )ln 0ln 1ln nni i ni i ni ni ii nii L x x L x n x nnx xnθθθθθθθθθθθξξ-======∂∂=+-∂∂-=+=∴=-∴==-∏∑∑∑∑对数似然方程为θ ()()()111(;)(0),22n n nn mle n L x x x E θθθθξθξθξθ=≤<≤∴==⇒=又是的矩法估计量(不同于极大似然估计量)。
浙第七次课概率22,23
习题一
习题33.设根据以往记录的数据 分析,某船只运输的某种物品 损坏的情况共有三种 : 损坏2%(这一事件记为 A1 ),损坏10%(事件A2 ),损坏90%(事件A3 ),且知P( A1 ) 0.8, P( A2 ) 0.15, P( A3 ) 0.05.现在从已被运输的物品 中随机地取 3件,发现这3件都是好的 (这一事件记为 B).试求P( A1 B),P( A2 B),P( A3 B).(这里设物品件数很多 ,取出一件后不影 响取后一件是否为好品 的概率.)
地震
火山爆发
特大洪水
泊松分布可以作为大量试验中，小概率事件出现次数 的概率分布的一个近似数学模型。如： 某医院一天中的急症病人的人数； 一天中某地区拨错号的电话呼唤次数； 汽车站某段时间内到来的等车人数； 布匹上疵点的个数； 纱绽的纱线被拉断的次数；
一批铸件上砂眼的个数; 大量螺丝钉中不合格品出现的个数； 容器内细菌的个数；昆虫产卵的个数； 一本书一页中印刷的错误数等等都服从泊松分布 或相当近似地服从泊松分布。
与分析放射性物质放出的 粒子个数的情况时,
他们做了2608次观察(每次时间为7.5秒)发现放 射性物质在规定的一段时间内,其放射的粒子数 X服从泊松分布.
(3)泊松分布的应用
在生物学、医学、工业统计、保险科学及 公用事业的排队等问题中, 泊松分布是常见的. 例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电 话呼唤次数等,都服从泊松分布.
解 : X ~ ()时, X的分布律 P( X k) k e k 0,1,2,
k!
3, X ~ (3), P( X k) 3k e3 k 0,1,2,
k!
(1)一分钟内恰好收到4次寻呼的概率 =3， k=4，
概率论与数理统计第七章习题答案
解：(1)已知ξ ～N (µ, σ 2 ),取统计量U = ξ − µ ,则有U ~ N (0,1),于给定的置信概率1−α ,
n
σ/ n
可求出uα
+ (4 − 0.8)2 ×1] = 0.831.
14.设ξ1,ξ2,……,ξn是取自总体ξ的一个样本，n ≥ 2,ξ ~ B(1, p),其中p为未知，0 < p < 1, 求证：
（1）ξ12是p的无偏估计； （2）ξ12不是p2的无偏估计;
(3) ξ1ξ2是p2的无偏估计。
证明：（1）Eξ
2 1
tα /2 (4) = 2.78, S = 11.937, n = 5代入(*),求得µ的置信区间为（1244.185，1273.815）.
20.假定到某地旅游的一个游客的消费额ξ～N (µ,σ 2 ),且σ = 500元，今要对 该地每一个游客的平均消费额µ进行估计，为了能以不小于95%的置信概率 确信这估计的绝对误差小于50元，问至少需要随机调查多少个游客？
乐山师范学院化学学院
1.设总体ξ 有分布律
第七章 参数估计部分习题答案
ξ
−1
0
2
p
2θ
θ
1-3θ
其中 0 < θ < 1 为待估参数，求θ 的矩估计。 3
解：总体一阶矩为Eξ = (−1) × 2θ + 0×θ + 2× (1− 3θ ) = −8θ + 2.
用样本一阶矩代替总体一阶矩得ξ = -8θˆ + 2，则θˆ = 1 (2 − ξ ). 8
概率统计-习题及答案(7)
TX0n3.252 3.2550.3430。
S*0.013038
对0.05，查t分布表可得t1(n 1) t0.975(4)2.7764。
因为T0.3430 2.7764，接受H0：3.25。
7.3 问题相当于要检验H0：20。
n
25，S*2
404.77，S2n 1S*2388.58，n
2nS225388.58
24.286。
2
0
202
对
0.05，查
2
分布表可得
22(n 1)
2
02.025(24) 12.401,
122(n
2
1)02.975(24)39.364，
因为12.401
224.286 39.364
， 接受
H0：20。
S*11(m/s)，求
2和
的水平为 95% 的置信区间。
7.15 设总体～N(
2
1,12)，～N(2,
2
22)，其中
1，2都未知， 但已知1
2，
(X1,X2, , Xm)，(Y1, Y2, ,Yn)分别是， 的样本，两个样本相互独立，请根
据 6.7 节的定理 6.8 ，推导出一个在本题条件下，求1 2的水平为1的置信区间 的公式。
7.16设用原料A和原料B生产的两种电子管的使用寿命(单位：小时)分别为～22
N(1,12)和～N(2,22)，其中1，2都未知，但已知1 2。现对这两种 电子管的使用寿命进行测试，测得结果如下：
原料A
1460，1550，1640， 1600，1620，1660，1740，1820
概率练习册第七章答案
7-2 单正态总体的假设检验1．已知某炼铁厂铁水含碳量服从正态分布 N (4.55,0.108 2) , 现在测定了 9炉铁水 ,其平均 含碳量为 4.484, 如果估 计方差没有变化,可否认为现 在生产的铁 水平均含碳量为 4.55 ( 0.05) ?解 提出检验假设H 0 : 4.55, H 1 : 4.55以 H 0成立为前提，确定检验 H 0 的统计量及其分布说明小概率事件没有发生，因此接受 H 0 .即认为 现在生产的铁水平均含碳量为 4.55.2. 机器包装食盐， 每袋净重量 X (单位： g )服从正态分布， 规定每袋净重量为 500g )，标准差不能超过 10( g )。
某天开工后，为检验机器工作是否正常，从包装好的食盐中随机抽取 9 袋，测得其净重量为：497 507 510 475 484 488 524 491 515以显著性水平解.作假设 0.05检验这天包装机工作是否正常？H 0 : 2 102, H 1: 2 102选取统计量2 n 1 2 8 2 22 2 S 2 2 S 2 ~ 2(n 1) 02 102/nX 4.550.108/ 9对给定的显著性水平 =0.05，由上~ N(0,1)分位点可知P{U u }2查标准正态分布表可得 u2即Pu0 .025x 4.55 0.108/ 9X 4.550.108 / 91.96，而 4.484 4.550.108/ 9u 0.0521.83 1.962n 1 2 2S 0对给定的显著性水平 =0.05， 查 2分布表得 : 由已知计算得 s 2 12 (n 1) 228.44 2 n 1 2 2s 0 02.95 (8) 2.733，于是拒绝域为 2 2.733 82 s 2 18.2752 102因此接受 H 0 ，即可以认为 这天包装机工作不正常。
2.733 X: N( , 2)，已知64斤，测得折断力(单位：斤)为 578，570，572，570， 572，596，584。
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39. 设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=, , 0b , 1)(其它x a a b x f 则概率=+=}2
{b a X p 0 , 概率
=+>}2{b
a X p 5.0 .
40. 设随机变量) , (~2σμN X , 且}{}{c X p c X p >=≤, 则c 的值为
A. μ.
B. 0.
C. μ-.
D. σ. [ A ]
41. 设随机变量) , (~2σμN X , 则概率}{μ≤X p 的值
A. 与μ有关, 但与σ无关.
B. 与μ无关, 但与σ有关.
C. 与μ和σ均有关.
D. 与μ和σ均无关. [ D ]
42. 设随机变量)1 , 0(~N X , 对于给定的)1 , 0(∈α, 数αμ满足αμα=>}{X p . 若α=<}{x X p ,
则x 等于 A. 2αμ. B. 2
1αμ-. C. 2
1αμ-. D. αμ-1. [ B ]
43. 设随机变量) , 2(~2σU X , 且3.0}42{=<<X p . 求}0{<X p .
解: 由于) , 2(~2σU X , 所以)1 , 0(~2N X σ-. 设其分布函数为)(x Φ.
}24222{}42{σσσ-<-<-=<<X p X p
)0()24(Φ--Φ=σ
5.0)24(--Φ=,
由于3.0}42{=<<X p , 所以3.05.0)24(=--Φσ, 解得8.0)24(=-Φσ.
}22{}0{σσ-<-=<X p X p
)2(σ-Φ=
)2(1σΦ-=
2.0=.
44. 设随机变量X 服从指数分布, 且01.0}1000{=>X p . 求概率}500{<X p .
解: 由于X 服从指数分布. 所以其分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>-=-
. 00 1)( 其它，，x e x F x
θ
)1000(1}1000{F X p -=>
θ1000
-=e .
由于01.0}1000{=>X p , 所以01.01000 =-θe
.
)500(}500{F X p =<
θ500 1--=e
θ1000 1--=e
9.0=. 45. 设随机变量)2 , 0(~U X , 现对X 进行5次独立观测, 设Y 表示: 在5次观测中, X 的值大于1的次数. 试求Y 的分布律.
解: 由于)2 , 0(~U X , 所以其分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤<= . 2 120 20 , 0)(x x x x x F ，
， }1{>=X p p
)1(1F -=
5.0= .
随机变量Y 是服从5=n ,5.0=p 的二项分布:
55)5.0(}{k C k Y p == )5 , 4 , 3 , 2 , 1(=k。