高中数学人教A版选修2-3学案：1.3.1二项式定理

1 1.3 二项式定理 1．3.1 二项式定理

1．会证明二项式定理．(难点) 2．掌握二项式定理及其展开式的通项公式．(重点)

[基础·初探] 教材整理 二项式定理 阅读教材P29～P31，完成下列问题． 二项式定理及相关的概念 二项式定理

概念 公式(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋C2nan－2b2＋„＋Cknan－kbk＋„＋Cnnbn(n∈N*)称为二项式定理 二项式系数 各项的系数Ckn(k∈{0,1,2，„，n})叫做二项式系数

二项式通项 Cknan－kbk是展开式中的第k＋1项，可记作Tk＋1＝Cknan－kbk(其中0≤k≤n，k∈N，n∈N*) 二项展开式 C0nan＋C1nan－1b＋C2nan－2b2＋„＋Cknan－kbk＋„＋Cnnbn(n∈N*)

备注 在二项式定理中，如果令a＝1，b＝x，则得到公式(1＋x)n＝C0n＋C1n

x＋C2nx2＋„＋Cknxk＋„＋Cnnxn(n∈N*)

判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)(a＋b)n展开式中共有n项．( ) (2)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响．( ) (3)Cknan－kbk是(a＋b)n展开式中的第k项．( ) 2

(4)(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数相同．( ) 【解析】 (1)× 因为(a＋b)n展开式中共有n＋1项． (2)× 因为二项式的第k＋1项Cknan－kbk和(b＋a)n的展开式的第k＋1项Cknbn－kak是不同的，其中的a，b是不能随便交换的．

(3)× 因为Cknan－kbk是(a＋b)n展开式中的第k＋1项． (4)√ 因为(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数都是Crn. 【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√ [质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑：

疑问3：

解惑：

[小组合作型] 二项式定理的正用、逆用 (1)用二项式定理展开2x－32x25； (2)化简：C0n(x＋1)n－C1n(x＋1)n－1＋C2n(x＋1)n－2－„＋(－1)kCkn(x＋1)n－k＋„＋(－1)nCnn. 【精彩点拨】 (1)二项式的指数为5，且为两项的和，可直接按二项式定理展开；(2)可先把x＋1看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求解．

【自主解答】 (1)2x－32x25＝C05(2x)5＋C15(2x)4·－32x2＋„＋C55－32x25 3

＝32x5－120x2＋180x－135x4＋4058x7－24332x10. (2)原式＝C0n(x＋1)n＋C1n(x＋1)n－1(－1)＋C2n(x＋1)n－2(－1)2＋„＋Ckn(x＋1)n－

k(－1)k＋„＋Cnn(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn.

1．展开二项式可以按照二项式定理进行．展开时注意二项式定理的结构特征，准确理解二项式的特点是展开二项式的前提条件． 2．对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便． 3．对于化简多个式子的和时，可以考虑二项式定理的逆用．对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点，项数，各项幂指数的规律以及各项的系数．

[再练一题] 1．(1)求3x＋1x4的展开式； (2)化简：1＋2C1n＋4C2n＋„＋2nCnn. 【解】 (1)法一：3x＋1x4＝C04(3x)4＋C14(3x)3

·1x＋C24(3x)2·1x2＋C34(3x)1x3＋C441x4 ＝81x2＋108x＋54＋12x＋1x2. 法二：3x＋1x4＝3x＋14x2 ＝1x2(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1) ＝81x2＋108x＋54＋12x＋1x2. (2)原式＝1＋2C1n＋22C2n＋„＋2nCnn＝(1＋2)n＝3n.

二项式系数与项的系数问题 (1)求二项式2x－1x6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系 4

数； (2)求x－1x9的展开式中x3的系数． 【精彩点拨】 利用二项式定理求展开式中的某一项，可以通过二项展开式的通项公式进行求解． 【自主解答】 (1)由已知得二项展开式的通项为Tr＋1

＝Cr6(2x)6－r·－1xr

＝(－1)rCr6·26－r·x3－32r， ∴T6＝－12·x－92. ∴第6项的二项式系数为C56＝6， 第6项的系数为C56·(－1)·2＝－12.

(2)Tr＋1＝Cr9x9－r·－1xr＝(－1)r·Cr9·x9－2r， ∴9－2r＝3，∴r＝3，即展开式中第四项含x3，其系数为(－1)3·C39＝－84.

1．二项式系数都是组合数Ckn(k∈{0,1,2，„，n})，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念． 2．第k＋1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为Ckn.例如，在(1＋2x)7的展开式中，第四项是T4＝C3717－3(2x)3，其二项式系数是C37

＝35，而第四项的系数是C3723＝280.

[再练一题] 2．(1＋2x)n的展开式中第六项与第七项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项． 【解】 T6＝C5n(2x)5，T7＝C6n(2x)6，依题意有C5n25＝C6n26⇒n＝8. ∴(1＋2x)n的展开式中，二项式系数最大的项为T5＝C48(2x)4＝1 120x4. 5

设第k＋1项系数最大，则有 Ck82k≥Ck－182k－1，Ck82k≥Ck＋182k＋1， ∴5≤k≤6. ∴k＝5或k＝6(∵k∈{0,1,2，„，8})． ∴系数最大的项为T6＝1 792x5，T7＝1 792x6. [探究共研型]

求展开式中的特定项 探究1 如何求x＋1x4展开式中的常数项． 【提示】 利用二项展开式的通项Cr4x4－r·1xr＝Cr4x4－2r求解，令4－2r＝0，则r＝2，所以x＋1x4展开式中的常数项为C24＝4×32＝6. 探究2 (a＋b)(c＋d)展开式中的每一项是如何得到的？ 【提示】 (a＋b)(c＋d)展开式中的各项都是由a＋b中的每一项分别乘以c＋d中的每一项而得到．

探究3 如何求x＋1x(2x＋1)3展开式中含x的项？ 【提示】 x＋1x(2x＋1)3展开式中含x的项是由x＋1x中的x与1x分别与(2x＋1)3展开式中常数项C33＝1及x2项C1322x2＝12x2分别相乘再把积相加得x·C33＋1x·C13(2x)2＝x＋12x＝13x.即x＋1x(2x＋1)3展开式中含x的项为13x.

已知在3x－33xn的展开式中，第6项为常数项． (1)求n； (2)求含x2项的系数； (3)求展开式中所有的有理项． 6

【自主解答】 通项公式为： Tr＋1＝Crnxn－r3(－3)rx－r3＝Crn(－3)rxn－2r3. (1)∵第6项为常数项， ∴r＝5时，有n－2r3＝0，即n＝10. (2)令10－2r3＝2，得r＝12(10－6)＝2， ∴所求的系数为C210(－3)2＝405.

(3)由题意得， 10－2r3∈Z，0≤r≤10，r∈Z.令10－2r3＝k(k∈Z)， 则10－2r＝3k，即r＝5－32k. ∵r∈Z，∴k应为偶数， k＝2,0，－2即r＝2,5,8， 所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为405x2，－61 236,295 245x－2.

1．求二项展开式的特定项的常见题型 (1)求第k项，Tk＝Ck－1nan－k＋1bk－1； (2)求含xk的项(或xpyq的项)； (3)求常数项； (4)求有理项． 2．求二项展开式的特定项的常用方法 (1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)； 7

(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解； (3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．

[再练一题] 3．(1)在(1－x3)(1＋x)10的展开式中，x5的系数是________．

(2)若x－ax26展开式的常数项为60，则常数a的值为________. 【导学号：97270021】 【解析】 (1)x5应是(1＋x)10中含x5项、含x2项分别与1，－x3相乘的结果， ∴其系数为C510＋C210(－1)＝207.

(2)x－ax26的展开式的通项是Tk＋1＝Ck6x6－k· (－a)kx－2k＝Ck6x6－3k(－a)k，令6－3k＝0，得k＝2，即当k＝2时，Tk＋1为常数项，即常数项是C26a， 根据已知得C26a＝60，解得a＝4. 【答案】 (1)207 (2)4 [构建·体系]

1．在(x－3)10的展开式中，含x6的项的系数是( )