2012高一数学竞赛辅导(一)一元二次不等式与集合

2012高一数学竞赛辅导（一） 一元二次不等式与集合姓名_______ 班别________一．知识点：1.实数a 绝对值：|a |=⎪⎩⎪⎨⎧<=>.0___,;0___,;0___,a a a2.当a>0时有：2222.x a x a x a x a x a x a a x a >⇔>⇔><-<⇔<⇔-<<或3.二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：判别式24b ac ∆=-0∆>0∆=0∆<二次函数2y ax bx c =++()0a >的图象一元二次方程20ax bx c ++=()0a >的根有两个相异实数根1,22b x a-±∆=()12x x <有两个相等实数根122bx x a==-没有实数根一元二次不等式的解集20ax bx c ++>()0a >20ax bx c ++<()0a >二. 例题：例1 解下列不等式(1)(x －1)(3－x)＜5－2x ; (2)x(x ＋11)≥3(x ＋1)2;(3)例解不等式≥．8 237232x x x -+- ; (4)例不等式＋＞的解集为5 1x 11-x ; （5）|x 2－3x|＞4.例2 若ax 2＋bx －1＜0的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ＝______，b ＝_______．例3 已知全集U ＝R ， A={x | x ＞6或x ≤3}，B={x |5＜x ≤9}，求(1) (U A ) ∪B ； (2)( U A ) ∩(U B )。

例4已知集合A ＝{x|x 2－5x ＋4≤0}与B ＝{x|x 2－2ax ＋a ＋2≤，若，求的范围．0}B A a ⊆例5 某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有 人。

例6.在集合{}d c b a ,,,上定义两种运算○+和○*如下○+ a b c d aabcdb bb bb ccb cb ddbbd那么d ○*a (○+=)c __________。

三. 巩固练习：1、不等式()()120x x --≥的解集是（ ）A ．{}12x x ≤≤B ．{}12x x x ≥≤或C ．{}12x x <<D ．{}12x x x ><或2、不等式222693191122x x x x -+++⎛⎫⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的解集是（ ）A ．[]1,10-B ．()[),110,-∞-+∞C ．RD ．(][),110,-∞-+∞ 3、若不等式210x mx ++>的解集为R ，则m 的取值范围是（ ） A ．RB ．()2,2-C ．()(),22,-∞-+∞D ．[]2,2-4、设一元二次不等式210ax bx ++>的解集为113x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则ab 的值是（ ）A ．6-B ．5-C ．6D ．55、不等式()200ax bx c a ++<≠的解集为∅，那么（ ） A ．0a <，0∆>B ．0a <，0∆≤C ．0a >，0∆≤D ．0a >，0∆≥ 6、设()21f x x bx =++，且()()13f f -=，则()0f x >的解集是（ ） A ．()(),13,-∞-+∞ B ．R C ．{}1x x ≠D ．{}1x x =7、已知全集U R =，集合{212}M x x =-≤-≤和{21,1,2,}N x x k k ==-= 的关系的韦恩（Venn ）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有( )A. 3个B. 2个C. 1个D. 无穷多个 8、集合{}1,2M =的真子集个数是 个.9、设,a b R ∈，集合{1,,}{0,,}ba b a b a+=，则b a -= .○* a bc daaaaaba bc dca cc adadad10、若集合{}21|21|3,0,3x A x x B x x ⎧+⎫=-<=<⎨⎬-⎩⎭则A ∩B = .11、集合A={－1，0，1}，B={A x x y y ∈=,cos |}，则A B= （ ）(A) {0} (B) {1} (C){0，1} (D){－1，0，1}12、已知集合M ＝{（x ，y ）|x ＋y ＝3}，N ＝{（x ，y ）|x －y ＝5}，那么集合 M ∩N 为 （ ） A ．x ＝4，y ＝－1 B ．（4，－1） C ．{4，－1} D ．{（4，－1）}13、已知集合P ＝{（x ，y ）|y ＝m}，Q ＝{（x ，y ）|y ＝1+xa ，a ＞0，a ≠1}，如果P Q 有且只有一个元素，那么实数m 的取值范围是________．14、设集合A ＝{x|－1<x ≤3}，B ＝{y|y ∈A}，则A 、B 之间的关系为 （ ）A ．B ∈AB ．A ⊆BC ． A ∈BD ．B ⊆A 。

15、设集合{}{}A x||x-a|<1,x R ,|15,.A B B x x x R =∈=<<∈⋂=∅若，则实数a 的取值范围是 _。

16、设1a >，集合103x A x x -⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，(){}210B x x a x a =-++<。

若A B ⊆，则a 的取值范围是 _。

17、某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 _。

18、设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果1k A -∉且1k A +∉，那么k 是A 的一个“孤立元”，给定{1,2,3,4,5,6,7,8,}S =，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个. 19、定义集合运算:{},,.A B z z xy x A y B *==∈∈设{}1,2A =, {}0,2B =,则集合A B *的所有元素之和为（ ）A ．0B ．2C ．3D ．620、若P=｛1、2、3、4、5｝，Q=｛0、2、3｝，且定义A B -=｛|x A x ∈且B x ∉｝，那么()()P Q Q P --= 。

答案一．知识点：1.实数a 绝对值：|a |=⎪⎩⎪⎨⎧<-=>.0,;0,0;0,a a a a a2.当a>0时有：2222.x a x a x a x a x a x a a x a >⇔>⇔><-<⇔<⇔-<<或3.二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：判别式24b ac ∆=-0∆> 0∆= 0∆<二次函数2y ax bx c =++()0a >的图象一元二次方程20ax bx c ++=()0a >的根有两个相异实数根1,22b x a-±∆=()12x x <有两个相等实数根122b x x a==-没有实数根一元二次不等式的解集20ax bx c ++>()0a >{}12x x x x x <>或2b x x a ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭R20ax bx c ++<()0a >{}12x xx x <<∅ ∅二. 例题：例1 解下列不等式(1) (x －1)(3－x)＜5－2x (2) x(x ＋11)≥3(x ＋1)2(3)例解不等式≥．8 237232x x x -+- (4)例不等式＋＞的解集为5 1x 11-x（5）|x 2－3x|＞4答 (1){x|x ＜2或x ＞4}(2){x|1x }≤≤32(3) 先将原不等式转化为3723202x x x -+--≥ 即≥，所以≤．由于＋＋＝＋＋＞，---+-+++-2123212314782222x x x x x x x x 002x x 12(x )022∴不等式进一步转化为同解不等式x 2＋2x －3＜0，即(x ＋3)(x －1)＜0，解之得－3＜x ＜1．解集为{x|－3＜x ＜1｝． 说明：解不等式就是逐步转化，将陌生问题化归为熟悉问题．(4) 分析 直接去分母需要考虑分母的符号，所以通常是采用移项后通分．解不等式化为＋－＞，通分得＞，即＞，1x 000111122----xx x xx ∵x 2＞0，∴x －1＞0，即x ＞1．说明：本题也可以通过对分母的符号进行讨论求解．（5）分析 可转化为(1)x 2－3x ＞4或(2)x 2－3x ＜－4两个一元二次不等式．由可解得＜－或＞，．(1)x 1x 4(2)∅答 填{x|x ＜－1或x ＞4}．例2 若ax 2＋bx －1＜0的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ＝________，b ＝________．分析 根据一元二次不等式的解公式可知，－1和2是方程ax 2＋bx －1＝0的两个根，考虑韦达定理．解 根据题意，－1，2应为方程ax 2＋bx －1＝0的两根，则由韦达定理知-=-+=-=-=-⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪baa()()1211122×得a b ==-1212，． 说明：不能使用解公式的时候要先变形成标准形式．例3 已知全集U ＝R ， A={x | x ＞6或x ≤3}，B={x |5＜x ≤9}，求(1) ( U A ) ∪B ；(2)( U A )∩(U B )。

解（1）∵U A={x |3＜x ≤6} ∴( U A )∪B={x |3＜x ≤9}（2）∵U B={x | x ＞9或x ≤5}∴(U A )∩(U B )= {x | 3＜x ≤5}。

例4已知集合A ＝{x|x 2－5x ＋4≤0}与B ＝{x|x 2－2ax ＋a ＋2≤0}，若，求的范围．0}B A a ⊆分析 先确定A 集合，然后根据一元二次不等式和二次函数图像关系，结合，利用数形结合，建立关于的不等式．B A a ⊆解 易得A ＝{x|1≤x ≤4} 设y ＝x 2－2ax ＋a ＋2(*)(1)B B A 0若＝，则显然，由Δ＜得∅⊆4a 2－4(a ＋2)＜0，解得－1＜a ＜2．(2)B (*)116若≠，则抛物线的图像必须具有图－特征：∅ 应有≤≤≤≤从而{x|x x x }{x|1x 4}12⊆12a 12042a 4a 201412a 22－·＋＋≥－·＋＋≥≤≤解得≤≤a a--⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪22187△≥0综上所述得的范围为－＜≤．a 1a 187例5某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有 人。