2017-2018年湖南省永州四中、祁阳一中、宁远一中联考高二上学期数学期中试卷及参考答案(理科)

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2017-2018学年高二(上)期中数学试卷带答案精讲

2017-2018学年高二（上）期中数学试卷一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的．请将答案填涂在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效）1．（5分）用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是（）A．3 B．9 C．17 D．512．（5分）以下赋值语句书写正确的是（）A．2=a B．a=a+1 C．a*b=2 D．a+1=a3．（5分）某学校高中部组织赴美游学活动，其中高一240人，高二260人，高三300人，现需按年级抽样分配参加名额40人，高二参加人数为（）A．12 B．13 C．14 D．154．（5分）有下面的程序，运行该程序，要使输出的结果是30，在处应添加的条件是（）A．i＞12 B．i＞10 C．i=14 D．i=105．（5分）在样本方差的计算公式s2=[（x1﹣20）2+（x2﹣20）2+…+（x10﹣20）2]中，数字10和20分别表示样本的（）A．样本容量，方差 B．平均数，样本容量C．标准差，平均数 D．样本容量，平均数6．（5分）如图所示2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3、4中的任何一个，允许重复，则填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）将某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，剩余5个得分的平均分为91，现场做的7个得分的茎叶图（如图）后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中用x表示，则x的值为（）A．0 B．4 C．5 D．78．（5分）在区间[1，6]上随机取一个实数x，使得2x∈[2，4]的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）从有2个红球和2个黒球的口袋内任取2个球，互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有一个黒球与都是黒球B．至少有一个红球与都是红球C．至少有一个黒球与至少有1个红球D．恰有1个黒球与恰有2个黒球10．（5分）下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据：若根据上表提供的数据用最小二乘法可求得y对x的回归直线方程是=0.7x+0.35，则表中m的值为（）A．4 B．4.5 C．3 D．3.511．（5分）学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次是[20，40），[40，60），[60，80），[80，100），若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数和平均成绩分别是（）A．45，67 B．50，68 C．55，69 D．60，7012．（5分）用秦九韶算法计算多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6在x=﹣4时的值时，V3的值为（）A．﹣845 B．220 C．﹣57 D．34二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置、书写不清，模棱两可均不得分）13．（5分）假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第8行第7列的数开始向右读，请你衣次写出最先检测的5袋牛奶的编号（下面摘取了随机数表第7行至第9行）．84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54．14．（5分）将二进制数101101（2）化为十进制数，结果为；再将结果化为8进制数，结果为．15．（5分）将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图．若第一组至第六组数据的频率之比为2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频数之和等于27，则n等于．16．（5分）某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如表所示：如图是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框应填，输出的s=．三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案填在答题卡上对应题号的指定区域内）17．（10分）如图，在Rt△ABC中，AB=4，BC=3，点P在边BC上沿B→C运动，求△ABP的面积小于4的概率．18．（12分）某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）（Ⅰ）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加一个社团的概率；（Ⅱ）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3．现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．19．（12分）甲、乙两人约定于6时到7时之间在某地会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率．20．（12分）某种产品特约经销商根据以往当地的需求情况，得出如图该种产品日需求量的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中a的值，并估计日需求量的众数；（Ⅱ）某日，经销商购进130件该种产品，根据近期市场行情，当天每售出1件能获利30元，未售出的部分，每件亏损20元．设当天的需求量为x件（100≤x≤150），纯利润为S元．（ⅰ）将S表示为x的函数；（ⅱ）根据直方图估计当天纯利润S不少于3400元的概率．21．（12分）运行如图所示的程序框图，当输入实数x的值为﹣1时，输出的函数值为2；当输入实数x的值为3时，输出的函数值为7．（Ⅰ）求实数a，b的值；并写出函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求满足不等式f（x）＞1的x的取值范围．22．（12分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如表：（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；（2）求出y 关于x 的线性回归方程=x +a ，并在坐标系中画出回归直线；（3）试预测加工10个零件需要多少时间？参考公式：b=，a=﹣b ．参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的．请将答案填涂在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效）1．（5分）用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是（）A．3 B．9 C．17 D．51【分析】用459除以357，得到商是1，余数是102，用357除以102，得到商是3，余数是51，用102除以51得到商是2，没有余数，得到两个数字的最大公约数是51．【解答】解：∵459÷357=1…102，357÷102=3…51，102÷51=2，∴459和357的最大公约数是51，故选D．【点评】本题考查辗转相除计算最大公约数，本题是一个基础题，是在算法案例中出现的一个案例，近几年在新课标中出现，学生掌握的比较好，若出现一定会得分．2．（5分）以下赋值语句书写正确的是（）A．2=a B．a=a+1 C．a*b=2 D．a+1=a【分析】根据赋值语句的格式，逐一进行分析，即可得到答案．【解答】解：由赋值语句的格式我们可知，赋值语句的赋值号左边必须是一个变量，而右边的运算符号与平常书写的运算符号有所不同．A中左侧是常数，不是变量，格式不对；B中满足赋值语句的格式与要求，正确；C与D中左侧是运算式，不对；故选：B．【点评】本题考查赋值语句，通过对赋值语句定义和格式的把握直接进行判断即可，属于基础题．3．（5分）某学校高中部组织赴美游学活动，其中高一240人，高二260人，高三300人，现需按年级抽样分配参加名额40人，高二参加人数为（）A．12 B．13 C．14 D．15【分析】根据分层抽样的定义，即可得到结论．【解答】解：∵高一240人，高二260人，高三300人，∴按年级抽样分配参加名额40人，高二参加人数为×40=13，故选：B．【点评】本题考查了分层抽样的定义和应用问题，是基础题．4．（5分）有下面的程序，运行该程序，要使输出的结果是30，在处应添加的条件是（）A．i＞12 B．i＞10 C．i=14 D．i=10【分析】先根据输出的结果推出循环体执行的次数，再根据s=2+4+6+…+10=30得到程序中UNTIL后面的“条件”．【解答】解：因为输出的结果是30，即s=2+4+6+…+10，需执行5次，则程序中UNTIL后面的“条件”应为i＞10．故选B．【点评】本题主要考查了直到型循环语句，语句的识别问题是一个逆向性思维，一般认为学习是从算法步骤（自然语言）至程序框图，再到算法语言（程序）．如果将程序摆在我们的面前时，从识别逐个语句，整体把握，概括程序的功能．5．（5分）在样本方差的计算公式s2=[（x1﹣20）2+（x2﹣20）2+…+（x10﹣20）2]中，数字10和20分别表示样本的（）A．样本容量，方差 B．平均数，样本容量C．标准差，平均数 D．样本容量，平均数【分析】方差计算公式：S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，n表示样本容量，为平均数，根据此公式即可得到答案．【解答】解：由于S2=[（x1﹣20）2+（x2﹣20）2+…+（x10﹣20）2]，所以样本容量是10，平均数是20．故选：D．【点评】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．6．（5分）如图所示2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3、4中的任何一个，允许重复，则填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，在图中的四个方格中填入数字的方法种数共有43种，对于A、B两个方格，由于其大小有序，则可以在l、2、3、4中的任选2个，大的放进A 方格，小的放进B方格，由组合数公式计算可得其填法数目，对于另外两个方格，每个方格有4种情况，由分步计数原理可得其填法数目，最后由分步计数原理，计算可得填入A方格的数字大于B方格的数字的填法种数，利用古典概型的概率计算公式求概率．【解答】解：根据题意，在图中的四个方格中填入数字的方法种数共有44=256种，对于A、B两个方格，可在l、2、3、4中的任选2个，大的放进A方格，小的放进B方格，有C42=6种情况，对于另外两个方格，每个方格有4种情况，则共有4×4=16种情况，则填入A方格的数字大于B方格的数字的不同的填法共有16×6=96种，则填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为p=．故选D．【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式，考查排列、组合的运用，注意题意中数字可以重复的条件，这是易错点，此题是基础题，也是易错题．7．（5分）将某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，剩余5个得分的平均分为91，现场做的7个得分的茎叶图（如图）后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中用x表示，则x的值为（）A．0 B．4 C．5 D．7【分析】根据茎叶图提供的数据，去掉1个最高分和1个最低分后，利用公式求平均数可得x的值．【解答】解：选手的7个得分中去掉1个最高分96，去掉1个最低分86，剩余5个得分为88，93，90，94，（90+x）；它们的平均分为=91，∴x=0；故选：A．【点评】本题考查了利用茎叶图求平均数的问题，是基础题．8．（5分）在区间[1，6]上随机取一个实数x，使得2x∈[2，4]的概率为（）A．B．C．D．【分析】使2x∈[2，4]的区间为[1，2]，由此能求出使得2x∈[2，4]的概率．【解答】解：∵2=2¹，4=22∴使2x∈[2，4]的区间为[1，2]，∵x∈[1，6]，且[1，6]长为5，[1，2]长为1∴使得2x∈[2，4]的概率p=．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意几何概型的合理运用．9．（5分）从有2个红球和2个黒球的口袋内任取2个球，互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有一个黒球与都是黒球B．至少有一个红球与都是红球C．至少有一个黒球与至少有1个红球D．恰有1个黒球与恰有2个黒球【分析】利用互斥事件和对立事件的概念求解．【解答】解：在A中，至少有一个黒球与都是黒球能同时发生，两个事件不是互斥事件；在B中，至少有一个红球与都是红球能同时发生，两个事件不是互斥事件；在C中，至少有一个黒球与至少有1个红球能同时发生，两个事件不是互斥事件；在D中，恰有1个黒球与恰有2个黒球不能同时发生，可以同时不发生，两个事件是互斥而不对立事件．故选：D．【点评】本题考查互斥而不对立的两个事件的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意互斥事件和对立事件的概念的合理运用．10．（5分）下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据：若根据上表提供的数据用最小二乘法可求得y对x的回归直线方程是=0.7x+0.35，则表中m的值为（）A．4 B．4.5 C．3 D．3.5【分析】先求样本中心点，再代入回归直线方程，即可求得m的值．【解答】解：由题意，，∵y对x的回归直线方程是=0.7x+0.35，∴2.5+0.25m=3.15+0.35，∴m=4．故选A．【点评】本题考查回归直线方程，解题的关键是利用回归直线方程恒过样本中心点，属于基础题．11．（5分）学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次是[20，40），[40，60），[60，80），[80，100），若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数和平均成绩分别是（）A．45，67 B．50，68 C．55，69 D．60，70【分析】根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系，求出该班的学生数，再计算平均成绩．【解答】解：根据频率分布直方图，得；低于60分的频率是（0.005+0.01）×20=0.3，所以该班的学生人数为=50，；所以，该班的平均成绩为：30×0.005×20+50×0.01×20+70×0.02×20+90×0.015×20=68．故选：B．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率=的应用问题，考查了求平均数的计算问题，是基础题目．12．（5分）用秦九韶算法计算多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6在x=﹣4时的值时，V3的值为（）A．﹣845 B．220 C．﹣57 D．34【分析】由于多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6=（（（（（3x+5）x+6）x+79）x﹣8）x+35）x+12，可得当x=﹣4时，v0=3，v1=3×（﹣4）+5=﹣7，v2，v3即可得出．【解答】解：∵多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6=（（（（（3x+5）x+6）x+79）x﹣8）x+35）x+12，当x=﹣4时，∴v0=3，v1=3×（﹣4）+5=﹣7，v2=﹣7×（﹣4）+6=34，v3=34×（﹣4）+79=﹣57．故选：C．【点评】本题考查了秦九韶算法计算多项式的值，考查了计算能力，属于基础题．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置、书写不清，模棱两可均不得分）13．（5分）假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第8行第7列的数开始向右读，请你衣次写出最先检测的5袋牛奶的编号785，667，199，507，175（下面摘取了随机数表第7行至第9行）．84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54．【分析】找到第8行第7列的数开始向右读，第一个符合条件的是785，第二个数916要舍去，第三个数955也要舍去，第四个数667合题意，这样依次读出结果．【解答】解：找到第8行第7列的数开始向右读，第一个符合条件的是785，第二个数916它大于800要舍去，第三个数955也要舍去，第四个数667合题意，这样依次读出结果．故答案为：785、667、199、507、175【点评】抽样方法，随机数表的使用，考生不要忽略．在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，所以每个数被抽到的概率是一样的．14．（5分）将二进制数101101（2）化为十进制数，结果为45；再将结果化为8进制数，结果为55（8）．【分析】根据二进制转化为十进制的方法，分别用每位数字乘以权重，累加后即可得到结果；根据“除8取余法”的方法转化为对应的八进制数即可得到结果．【解答】解：101101（2）=1×20+0×21+1×22+1×23+0×24+1×25=1+4+8+32=45．．又45=8×5+5，∴45=55（8）故答案为：45，55．（8）【点评】本题以进位制的转换为背景考查算法的多样性，解题的关键是熟练掌握进位制的转化规则，属于基础题．15．（5分）将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图．若第一组至第六组数据的频率之比为2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频数之和等于27，则n等于60．【分析】根据比例关系设出各组的频率，在频率分布表中，频数的和等于样本容量，频率的和等于1，求出前三组的频率，再频数和建立等量关系即可．【解答】解：设第一组至第六组数据的频率分别为2x，3x，4x，6x，4x，x，则2x+3x+4x+6x+4x+x=1，解得，所以前三组数据的频率分别是，故前三组数据的频数之和等于=27，解得n=60．故答案为60．【点评】本小题考查频率分布直方图的基础知识，熟练基本公式是解答好本题的关键，属于基础题．16．（5分）某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如表所示：如图是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框应填i＜7（或i≤6），输出的s=51．【分析】由题意该程序框图实际上是求该6名队员在最近三场比赛中投进三分球总数，故循环次数为6，由于第一次进行循环时，循环变量的初值为1，步长为1，故最后一次进入循环的终值应为6，故不难得到判断框中的条件及输出结果．【解答】解：由题意该程序框图实际上是求该6名队员在最近三场比赛中投进三分球总数，故判断框应填i≤6或i＜7，输出s的值为：9+13+11+7+5+6=51．故答案为：i＜7（或i≤6），51．【点评】本题主要考查了当型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案填在答题卡上对应题号的指定区域内）17．（10分）如图，在Rt△ABC中，AB=4，BC=3，点P在边BC上沿B→C运动，求△ABP的面积小于4的概率．【分析】利用线段的长度与面积的关系，直接利用几何概型求解即可．【解答】解：点P在BC边上沿B→C运动，落在BC上的任何一点都是等可能的．全部基本事件可用BC表示．…（2分）设事件M 为“△ABC面积小于4”，则事件M包含的基本事件可用长度为2的线段BP 表示，…（4分）由几何概型可知：即所求事件的概率为．…（10分）【点评】本题主要考查了几何概型．几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关解．18．（12分）某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）（Ⅰ）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加一个社团的概率；（Ⅱ）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3．现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．【分析】（Ⅰ）先判断出这是一个古典概型，所以求出基本事件总数，“至少参加一个社团”事件包含的基本事件个数，从而根据古典概型的概率计算公式计算即可；（Ⅱ）先求基本事件总数，即从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，有多少中选法，这个可利用分步计数原理求解，再求出“A1被选中，而B1未被选中”事件包含的基本事件个数，这个容易求解，然后根据古典概型的概率公式计算即可．【解答】解：（Ⅰ）设“至少参加一个社团”为事件A；从45名同学中任选一名有45种选法，∴基本事件数为45；通过列表可知事件A的基本事件数为8+2+5=15；这是一个古典概型，∴P（A）=；（Ⅱ）从5名男同学中任选一个有5种选法，从3名女同学中任选一名有3种选法；∴从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人的选法有5×3=15，即基本事件总数为15；设“A1被选中，而B1未被选中”为事件B，显然事件B包含的基本事件数为2；这是一个古典概型，∴．【点评】考查古典概型的概念，以及古典概型的概率的求法，分步计数原理的应用．19．（12分）甲、乙两人约定于6时到7时之间在某地会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率．【分析】由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的所有事件对应的集合是Ω={（x，y）|0＜x＜60，0＜y＜60}做出集合对应的面积是边长为60的正方形的面积，写出满足条件的事件A═{（x，y）|0＜x＜60，0＜y＜60，|x﹣y|≤15}对应的集合和面积，根据面积之比得到概率．【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，∵试验发生包含的所有事件对应的集合是Ω={（x，y）|0＜x＜60，0＜y＜60}集合对应的面积是边长为60的正方形的面积SΩ=60×60，而满足条件的事件对应的集合是A={（x，y）|0＜x＜60，0＜y＜60，|x﹣y|≤15}得到S A=60×60﹣（60﹣15）×（60﹣15）∴两人能够会面的概率P==，∴两人能够会面的概率是．【点评】本题的难点是把时间分别用x，y坐标来表示，从而把时间长度这样的一维问题转化为平面图形的二维面积问题，转化成面积型的几何概型问题．20．（12分）某种产品特约经销商根据以往当地的需求情况，得出如图该种产品日需求量的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中a的值，并估计日需求量的众数；（Ⅱ）某日，经销商购进130件该种产品，根据近期市场行情，当天每售出1件能获利30元，未售出的部分，每件亏损20元．设当天的需求量为x件（100≤x≤150），纯利润为S元．（ⅰ）将S表示为x的函数；（ⅱ）根据直方图估计当天纯利润S不少于3400元的概率．【分析】（I）根据所有小矩形的面积之和为1，求得第四组的频率，再根据小矩形的高=求a的值；（II）利用分段函数写出S关于x的函数；根据S≥3400得x的范围，利用频率分布直方图求数据在范围内的频率及可得概率．【解答】解：（Ⅰ）由直方图可知：（0.013+0.015+0.017+a+0.030）×10=1，∴a=0.025，∵，∴估计日需求量的众数为125件；（Ⅱ）（ⅰ）当100≤x＜130时，S=30x﹣20（130﹣x）=50x﹣2600，当130≤x≤150时，S=30×130=3900，∴；（ⅱ）若S≥3400由50x﹣2600≥3400得x≥120，∵100≤x≤150，∴120≤x≤150，∴由直方图可知当120≤x≤150时的频率是（0.030+0.025+0.015）×10=0.7，∴可估计当天纯利润S不少于3400元的概率是0.7．【点评】本题考查了由频率分布直方图求频率与众数，考查了分段函数的值域与定义域，在频率分布直方图中小矩形的高=，所有小矩形的面积之和为1．21．（12分）运行如图所示的程序框图，当输入实数x的值为﹣1时，输出的函数值为2；当输入实数x的值为3时，输出的函数值为7．（Ⅰ）求实数a，b的值；并写出函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求满足不等式f（x）＞1的x的取值范围．【分析】（I）算法的功能是求f（x）=的值，根据输入实数x 的值为﹣1时，输出的函数值为2；当输入实数x的值为3时，输出的函数值为7求得a 、b ；（II ）分别在不同的段上求得函数的值域，再求并集．【解答】解：（Ⅰ）由程序框图知：算法的功能是求f （x ）=的值，∵输入x=﹣1＜0，输出f （﹣1）=﹣b=2，∴b=﹣2．∵输入x=3＞0，输出f （3）=a 3﹣1=7，∴a=2． ∴．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：①当x ＜0时，f （x ）=﹣2x ＞1，∴； ②当x ≥0时，f （x ）=2x ﹣1＞1，∴x ＞1．综上满足不等式f （x ）＞1的x 的取值范围为或x ＞1}．【点评】本题借助考查选择结构程序框图，考查了分段函数求值域，解题的关键是利用程序框图求得分段函数的解析式．22．（12分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如表：（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；（2）求出y 关于x 的线性回归方程=x +a ，并在坐标系中画出回归直线；（3）试预测加工10个零件需要多少时间？参考公式：b=，a=﹣b ．【分析】（1）利用题目条件直接画出散点图即可．（2）利用条件求解回归直线方程的参数，即可．（3）利用回归直线方程求解推出结果即可．【解答】解：（1）散点图如图所示，…（3分）（2）由表中数据得：=52.5，=3.5，=3.5；=54，∴===0.7，，==3.5﹣0.7×3.5=1.05，∴=0.7x+1.05 …（8分）（3）将x=10代入回归直线方程，得=0.7×10+1.05=8.05（小时）预测加工10个零件需要8.05小时．…（12分）【点评】本题考查回归直线方程的求法，散点图的画法，考查计算能力．。

2017-2018学年湖南省永州四中、祁阳一中、宁远一中联考高二上学期数学期中试卷带解析(理科)

2017-2018学年湖南省永州四中、祁阳一中、宁远一中联考高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1．（5分）已知命题p：∀x＞0，总有（x+1）e x＞1，则￢p为（）A．∃x0≤0，使得（x0+1）e≤1 B．∃x0＞0，使得（x0+1）e≤1C．∀x＞0，总有（x+1）e x≤1 D．∀x≤0，总有（x+1）e x≤12．（5分）在命题“若m＞﹣n，则m2＞n2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．0 个3．（5分）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为（）A．3，5 B．5，5 C．3，7 D．5，74．（5分）在区间[0，π]上随机取一个数x，则的概率为（）A．B．C．D．5．（5分）已知双曲线的离心率，则其渐近线方程为（）A．B．C．D．y=±x6．（5分）不等式x2﹣2x﹣3＜0成立的一个必要不充分条件是（）A．﹣1＜x＜3 B．0＜x＜3 C．﹣2＜x＜3 D．﹣2＜x＜17．（5分）已知A（1，2，﹣1），B（5，6，7），则直线AB与平面xOz交点的坐标是（）A．（0，1，1）B．（0，1，﹣3）C．（﹣1，0，3）D．（﹣1，0，﹣5）8．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．39．（5分）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（）A．B．C．D．10．（5分）在空间直角坐标系中，A（2，0，0），B（1，0，1）为直线l1上的点，M（1，0，0），N（1，1，1）为直线l2上的两点，则异面直线l1与l2所成角的大小是（）A．75°B．60°C．45°D．30°11．（5分）已知点F是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABE是钝角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（1，2） C．（1，1+） D．（2，+∞）12．（5分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M是平面A1B1C1D1内一点，且BM∥平面ACD1，则tan∠DMD1的最大值为（）A．B．1 C．2 D．二、填空题（每题5分，共20分）13．（5分）为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如右统计数据表，根据右表可得回归直线方程中=0.76，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为14．（5分）四边形ABCD为矩形，AB=3，BC=1，E、F在线段AB、CD上，EF∥BC且AE=2EB，沿EF将矩形折成一个120°的二面角A﹣EF﹣B，则此时BD的长是．15．（5分）已知过抛物线y2=4x焦点F的直线l与抛物线相交于A，B两点，若|AF|=4，则|BF|=．16．（5分）直线x﹣y﹣=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，函数y=f（x）的图象是该椭圆在第一、三象限两段弧，则不等式：f（x）＜f（﹣x）+x的解集是．三、解答题（第17题10分，18～22题每题12分，共70分）17．（10分）已知命题p：曲线C：（m+2）x2+my2=1表示双曲线，命题q：方程y2=（m2﹣1）x表示的曲线是焦点在x轴的负半轴上的抛物线，若p∨q为真命题，求实数m的取值范围．18．（12分）某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60）…[90，100]后画出如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求第四小组的频率；（2）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；（3）为了了解学生学习情况决定在第1、2、6组中用分层抽样抽取6位学生进行谈话，求第2组应该抽取多少位学生．19．（12分）某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游．（Ⅰ）若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；（Ⅱ）若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率．20．（12分）已知动圆M经过点A（﹣2，0），且与圆B：（x﹣2）2+y2=4相内切（B为圆心）．（1）求动圆的圆心M的轨迹C的方程；（2）过点B且斜率为2的直线与轨迹C交于P，Q两点，求△APQ的周长．21．（12分）四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为边长为2的正方形，PA=2，PB=PD=2，E，F，G，H分别为棱PA，PB，AD，CD的中点．（1）求CD与平面CFG所成角的正弦值；（2）是探究棱PD上是否存在点M，使得平面CFG⊥平面MEH，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．22．（12分）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．2017-2018学年湖南省永州四中、祁阳一中、宁远一中联考高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1．（5分）已知命题p：∀x＞0，总有（x+1）e x＞1，则￢p为（）A．∃x0≤0，使得（x0+1）e≤1 B．∃x0＞0，使得（x0+1）e≤1C．∀x＞0，总有（x+1）e x≤1 D．∀x≤0，总有（x+1）e x≤1【解答】解：根据全称命题的否定为特称命题可知，￢p为∃x0＞0，使得（x0+1）e≤1，故选：B．2．（5分）在命题“若m＞﹣n，则m2＞n2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．0 个【解答】解：命题“若m＞﹣n，则m2＞n2”是假命题，所以它的逆否命题也是假命题；逆命题是“若m2＞n2，则m＞﹣n”，是假命题，所以否命题也是假命题；即它的逆命题、否命题和逆否命题中，假命题有3个．故选：C．3．（5分）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为（）A．3，5 B．5，5 C．3，7 D．5，7【解答】解：由已知中甲组数据的中位数为65，故乙组数据的中位数也为65，即y=5，则乙组数据的平均数为：66，故x=3，故选：A．4．（5分）在区间[0，π]上随机取一个数x，则的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：在区间[0，π]上随机取一个数x，对应事件的集合为区间长度π，而满足的x范围为[0，]∪[，π]，所以所求概率为；故选：C．5．（5分）已知双曲线的离心率，则其渐近线方程为（）A．B．C．D．y=±x【解答】解：根据题意，双曲线的焦点在y轴上，其渐近线方程为y=±x，又由其离心率e=，则有e2===1+=3，解可得：=，则双曲线的渐近线方程为：y=±x；故选：C．6．（5分）不等式x2﹣2x﹣3＜0成立的一个必要不充分条件是（）A．﹣1＜x＜3 B．0＜x＜3 C．﹣2＜x＜3 D．﹣2＜x＜1【解答】解：对于不等式x2﹣2x﹣3＜0，解可得﹣1＜x＜3，即x2﹣2x﹣3＜0的解集为{x|﹣1＜x＜3}，根据题意，分析选项可得，A中，当﹣1＜x＜3时，必有x2﹣2x﹣3＜0成立，反之若有x2﹣2x﹣3＜0成立，则﹣1＜x＜3也成立，即“﹣1＜x＜3”是“x2﹣2x﹣3＜0”成立的充要条件，不合题意；B中，当0＜x＜3时，必有x2﹣2x﹣3＜0成立，反之若有x2﹣2x﹣3＜0成立，则0＜x＜3不一定成立，如x=﹣0.5时，即“﹣1＜x＜3”是“x2﹣2x﹣3＜0”成立的充分不必要条件，不合题意；C中，当﹣2＜x＜3时，x2﹣2x﹣3＜0不一定成立，如x=﹣1.5时，反之若有x2﹣2x﹣3＜0成立，则必有﹣2＜x＜3成立，即“﹣1＜x＜3”是“x2﹣2x﹣3＜0”成立的必要不充分条件，符合题意；D中，当﹣2＜x＜1时，x2﹣2x﹣3＜0不一定成立，如x=﹣1.5时，反之若有x2﹣2x﹣3＜0成立，则﹣2＜x＜3不一定成立，如x=2时，即“﹣1＜x＜3”是“x2﹣2x﹣3＜0”成立的既不充分，又不必要条件，不合题意；故选：C．7．（5分）已知A（1，2，﹣1），B（5，6，7），则直线AB与平面xOz交点的坐标是（）A．（0，1，1）B．（0，1，﹣3）C．（﹣1，0，3）D．（﹣1，0，﹣5）【解答】解：直线AB与平面xoz交点的坐标是M（x，0，z），则=（x﹣1，﹣2，z+1），=（4，4，8）；又与共线，∴=λ；即，解得x=﹣1，z=﹣5；∴点M（﹣1，0，﹣5）．故选：D．8．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．3【解答】解：第一次运行程序时i=1，s=3；第二次运行程序时，i=2，s=4；第三次运行程序时，i=3，s=1；第四次运行程序时，i=4，s=0，此时执行i=i+1后i=5，推出循环输出s=0，故选：B．9．（5分）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件总数n=5×5=25，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），共有m=10个基本事件，∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率p==．故选：D．10．（5分）在空间直角坐标系中，A（2，0，0），B（1，0，1）为直线l1上的点，M（1，0，0），N（1，1，1）为直线l2上的两点，则异面直线l1与l2所成角的大小是（）A．75°B．60°C．45°D．30°【解答】解：∵在空间直角坐标系中，A（2，0，0），B（1，0，1）为直线l1上的点，M（1，0，0），N（1，1，1）为直线l2上的两点，∴=（﹣1，0，1），=（0，1，1），设异面直线l1与l2所成角的大小为θ，则cosθ===，∴θ=60°．∴异面直线l1与l2所成角的大小是60°．故选：B．11．（5分）已知点F是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABE是钝角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（1，2） C．（1，1+） D．（2，+∞）【解答】解：∵双曲线关于x轴对称，且直线AB垂直x轴，∴∠AEF=∠BEF，∵△ABE是钝角三角形，∴∠AEB是钝角，即有|AF|＞|EF|，∵F为左焦点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，∴|AF|=，∵|EF|=a+c，∴＞a+c，即c2﹣ac﹣2a2＞0，由e=，可得e2﹣e﹣2＞0，解得e＞2或e＜﹣1（舍去），则双曲线的离心率的范围是（2，+∞）．故选：D．12．（5分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M是平面A1B1C1D1内一点，且BM∥平面ACD1，则tan∠DMD1的最大值为（）A．B．1 C．2 D．【解答】解：如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，连接A1C1，B1D1，交于点M，则点M满足条件；证明如下，连接BD，交AC于点O，连接BM，OD1，则A1A∥C1C，且A1A=C1C，∴四边形ACC1A1是平行四边形，∴AC∥A1C1，又AC⊂平面ACD1，且A1C1⊄平面ACD1，∴A1C1∥平面ACD1；同理BM∥D1O，BM∥平面ACD1，∴当M在直线A 1C1上时，都满足BM∥ACD1；∴tan∠DMD1===是最大值．故选：D．二、填空题（每题5分，共20分）13．（5分）为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如右统计数据表，根据右表可得回归直线方程中=0.76，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为11.8万元【解答】解：=（8.2+8.6+10.0+11.3+11.9）=10，=（6.2+7.5+8.0+8.5+9.8）=8．∴=8﹣0.76×10=0.4．所以回归方程为：=0.76x+0.4，当x=15时，=0.76×15+0.4=11.8．故答案为：11.8万元14．（5分）四边形ABCD为矩形，AB=3，BC=1，E、F在线段AB、CD上，EF∥BC且AE=2EB，沿EF将矩形折成一个120°的二面角A﹣EF﹣B，则此时BD的长是．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，AB=3，BC=1，E、F在线段AB、CD上，EF ∥BC且AE=2EB，沿EF将矩形折成一个120°的二面角A﹣EF﹣B，∴，∴=（）2=+2=1+1+4+2×1×2×cos60°=8，∴BD的长||=2．故答案为：2．15．（5分）已知过抛物线y2=4x焦点F的直线l与抛物线相交于A，B两点，若|AF|=4，则|BF|=．【解答】解：易知F坐标（1，0）准线方程为x=﹣1．设过F点直线方程为y=k（x﹣1）代入抛物线方程，得k2（x﹣1）2=4x．化简后为：k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）则有x1x2=1根据抛物线性质可知，|AF|=x1+1，|BF|=x2+1∴====1，又由|AF|=4，则|BF|=．故答案为：．16．（5分）直线x﹣y﹣=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，函数y=f（x）的图象是该椭圆在第一、三象限两段弧，则不等式：f（x）＜f（﹣x）+x的解集是．【解答】解：由已知中函数y=f（x）的图象是中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的两段弧，可得函数y=f（x）为奇函数∴f（﹣x）=﹣f（x）．∴原不等式可化为f（x）＜．∵直线x﹣y﹣=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，∴∴椭圆方程为与直线y=联立得+=1，∴x2=，x=±．观察图象知：﹣＜x＜0，或＜x＜2，故答案为：（，0）．三、解答题（第17题10分，18～22题每题12分，共70分）17．（10分）已知命题p：曲线C：（m+2）x2+my2=1表示双曲线，命题q：方程y2=（m2﹣1）x表示的曲线是焦点在x轴的负半轴上的抛物线，若p∨q为真命题，求实数m的取值范围．【解答】解：若（m+2）x2+my2=1表示双曲线，则m（m+2）＜0，解得：﹣2＜m＜0，故p：（﹣2，0），若方程y2=（m2﹣1）x表示的曲线是焦点在x轴的负半轴上的抛物线，则m2﹣1＜0，解得：﹣1＜m＜1，故q：（﹣1，1），若p∨q为真命题，则p真或q真，故﹣2＜m＜0或﹣1＜m＜1，故m∈（﹣2，1）．18．（12分）某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60）…[90，100]后画出如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求第四小组的频率；（2）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；（3）为了了解学生学习情况决定在第1、2、6组中用分层抽样抽取6位学生进行谈话，求第2组应该抽取多少位学生．【解答】解：（1）因为各组的频率和等于1，故第四组的频率：f4=1﹣（0.025+0.015×2+0.01+0.005）×10=0.3…（2分）直方图如图所示…．（4分）（2）依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，频率和为（0.015+0.03+0.025+0.005）×10=0.75所以，抽样学生成绩的合格率是75%…（6分）利用组中值估算抽样学生的平均分45•f1+55•f2+65•f3+75•f4+85•f5+95•f6…．（8分）=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71估计这次考试的平均分是71（分）…．（9分）（3）由已知可得：第1、2、6组的频率分别为：0.1，0.15，0.05，用分层抽样抽取6位学生进行谈话，求第2组应该抽取3学生…．（12分）19．（12分）某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游．（Ⅰ）若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；（Ⅱ）若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，从6个国家里任选两个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有：（A 1，A2），（A1，A3），（A2，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A3，B1），（A3，B2），（A3，B3），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3），共15个，所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：（A 1，A2），（A1，A3），（A 2，A3），共3个，这2个国家都是亚洲国家的概率P==；（Ⅱ）所2从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的基本事件有：（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A3，B1），（A3，B2），（A3，B3），共9个，包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有：（A1，B2），（A1，B3），共2个．所以所求事件的概率为．20．（12分）已知动圆M经过点A（﹣2，0），且与圆B：（x﹣2）2+y2=4相内切（B为圆心）．（1）求动圆的圆心M的轨迹C的方程；（2）过点B且斜率为2的直线与轨迹C交于P，Q两点，求△APQ的周长．【解答】解：（1）动圆M经过点A（﹣2，0），且与圆B：（x﹣2）2+y2=4相内切（B为圆心），可得|MA|=|MT|，|MB|=|MT|﹣|BT|=|MA|﹣2，|MA|﹣|MB|=2＜|AB|=4，由双曲线的定义可得，M的轨迹为以A，B为焦点的双曲线的右支，且c=2，a=1，b=，即有动圆的圆心M的轨迹C的方程为x2﹣=1（x＞0）；（2）过点B且斜率为2的直线方程为y=2x﹣4，代入双曲线的方程x2﹣=1，可得x2﹣16x+19=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），可得x 1+x2=16，x1x2=19，则|PQ|=•=•=30，则△APQ的周长为|AP|+|PB|+|BQ|+|AQ|=2a+2|PB|+2|BQ|+2a=4a+2|PQ|=4+60=64．21．（12分）四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为边长为2的正方形，PA=2，PB=PD=2，E，F，G，H分别为棱PA，PB，AD，CD的中点．（1）求CD与平面CFG所成角的正弦值；（2）是探究棱PD上是否存在点M，使得平面CFG⊥平面MEH，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为边长为2的正方形，PA=2，PB=PD=2，∴PA2+AB2=PB2，PA2+AD2=PD2，∴PA⊥AB，PA⊥AD，∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，∵E，F，G，H分别为棱PA，PB，AD，CD的中点．∴C（2，2，0），D（0，2，0），B（2，0，0），P（0，0，2），F（1，0，1），G（0，1，0），=（﹣2，0，0），=（﹣1，﹣2，1），=（﹣2，﹣1，0），设平面CFG的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣2，﹣3），设CD与平面CFG所成角为θ，则sinθ=|cos＜＞|===．∴CD与平面CFG所成角的正弦值为．（2）假设棱PD上是否存在点M（a，b，c），且，（0≤λ≤1），使得平面CFG⊥平面MEH，则（a，b，c﹣2）=（0，2λ，﹣2λ），∴a=0，b=2λ，c=2﹣2λ，即M（0，2λ，2﹣2λ），E（0，0，1），H（1，2，0），=（1，2，﹣1），=（0，2λ，1﹣2λ），设平面MEH的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（，1，），平面CFG的法向量=（1，﹣2，﹣3），∵平面CFG⊥平面MEH，∴=﹣2﹣=0，解得∈[0，1]．∴棱PD上存在点M，使得平面CFG⊥平面MEH，此时=．22．（12分）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．【解答】（Ⅰ）证明：连接RF，PF，由AP=AF，BQ=BF及AP∥BQ，得∠AFP+∠BFQ=90°，∴∠PFQ=90°，∵R是PQ的中点，∴RF=RP=RQ，∴△PAR≌△FAR，∴∠PAR=∠FAR，∠PRA=∠FRA，∵∠BQF+∠BFQ=180°﹣∠QBF=∠PAF=2∠PAR，∴∠FQB=∠PAR，∴∠PRA=∠PQF，∴AR∥FQ．（Ⅱ）设A（x 1，y1），B（x2，y2），F（，0），准线为x=﹣，S△PQF=|PQ|=|y1﹣y2|，设直线AB与x轴交点为N，∴S=|FN||y1﹣y2|，△ABF∵△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，∴2|FN|=1，∴x N=1，即N（1，0）．设AB中点为M（x，y），由得=2（x1﹣x2），又=，∴=，即y2=x﹣1．∴AB中点轨迹方程为y2=x﹣1．。

湖南省2017—2018学年高二数学上学期期中考试卷(二)

湖南省2017—2018学年高二数学上学期期中考试卷（二）（理科）（考试时间120分钟满分150分）一、单项选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．设集合M={0，1，3}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=（）A．{1}B．{2}C．{0，1}D．{1，2}2．命题∀m∈[0，1]，则的否定形式是（）A．∀m∈[0，1]，则B．∃m∈[0，1]，则C．∃m∈（﹣∞，0）∪（1，+∞），则D．∃m∈[0，1]，则3．已知函数f（x）=﹣log3x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（）A．（0，1） B．（3，9） C．（1，3） D．（9，+∞）4．△ABC的面积是，∠B是钝角，AB=1，BC=，则AC=（）A．5 B．2 C．D．15．已知向量，，其中|=，||=2，且（﹣）⊥，则向量与的夹角是（）A．B．C．D．6．设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．24 B．16+ C．40 D．308．双曲线﹣=1的渐近线方程与圆相切，则此双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．9．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若m＞1，且a m﹣1+a m+1﹣a m2=0，S2m﹣1=38则m等于（）A．38 B．20 C．10 D．910．已知x，y满足约束条件，当目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）在该约束条件下取到最小值2时，a2+b2的最小值为（）A．5 B．4 C．D．211．已知椭圆： +=1（0＜b＜2），左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若||+||的最大值为5，则b的值是（）A．1 B．C．D．12．设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，则当取得最小值时，x+2y﹣z 的最大值为（）A．0 B．C．2 D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．在数列{a n}中，a n﹣1=2a n，若a5=4，则a4a5a6=．14．已知直线x﹣y+a=0与圆心为C的圆x2+y2+2x﹣4y﹣4=0相交于A、B两点，且AC⊥BC，则实数a的值为．15．如图程序运行后，输出的值为．16．抛物线y2=8x的准线与x轴相交于点P，过点P作斜率为k（k＞0）的直线交抛物线于A、B两点，F为抛物线的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或求解演算步骤）17．已知两个命题p：∀x∈R，sinx+cosx＞m恒成立，q：∀x∈R，y=（2m2﹣m）x为增函数．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明：PA⊥BD；（Ⅱ）设PD=AD=1，求直线PC与平面ABCD所成角的正切值．19．在△ABC中，设．（Ⅰ）求B 的值（Ⅱ）求的值．20．设等差数列{a n}的前项和为S n，且a2=2，S5=15，数列{b n}的前项和为T n，且b1=，2nb n+1=（n+1）b n（n∈N*）（Ⅰ）求数列{a n}通项公式a n及前项和S n；（Ⅱ）求数列{b n}通项公式b n及前项和T n．21．某种商品原来每件售价为25元，年销售量8万件．（Ⅰ）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收人不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（Ⅱ）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入（x2﹣600）万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．22．如图，椭圆C1：和圆C2：x2+y2=b2，已知圆C2将椭圆C1的长轴三等分，且圆C2的面积为π．椭圆C1的下顶点为E，过坐标原点O且与坐标轴不重合的任意直线l与圆C2相交于点A，B，直线EA，EB与椭圆C1的另一个交点分别是点P，M．（I）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）求△EPM面积最大时直线l的方程．参考答案一、单项选择题1．A．2．D．3．B．4．C．5．A．6．A．7．D8．B．9．C．10．B．11．D．12．C．二、填空题=2a n，a5=4知，数列{a n}是等比数列，13．解：由a n﹣1故a4a5a6=a53=64．故答案为：64．14．解：圆的标准方程为（x+1）2+（y﹣2）2=9，圆心C（﹣1，2），半径r=3，∵AC⊥BC，∴圆心C到直线AB的距离d=，即d==，即|a﹣3|=3，解得a=0或a=6，故答案为：0或6．15．解：由题意，如图，此循环程序S=1；i=2S=1×2=2；i=3S=2×3=6；i=4S=6×4=24；i=5S=24×5=120；i=6＞5结束．故输出的值为：120．故答案为：120．16．解：设A（x1，y1），B（x2，y2）由已知|FA|=2|FB|，得：x1+2=2（x2+2），即x1=2x2+2，①∵P（﹣2，0），则AB的方程：y=kx+2k，与y2=8x联立，得：k2x2+（4k2﹣8）x+4k2=0，则x1x2 =4，②由①②得x2=1，则A（1，），∴k==．故答案为：．三、解答题17．解：由题意若p∨q为真命题，p∧q为假命题，可得，命题p和命题q一个为真命题，另一个为假命题．若p是真命题，：∀x∈R，sinx+cosx＞m恒成立，可得＞m恒成立，即m＜﹣，故实数m的取值范围为（﹣∞，﹣）．若命题q是真命题，∀x∈R，y=（2m2﹣m）x为增函数，则有2m2﹣m＞1，解得m＞1，或m＜．当p真q假时，实数m的取值范围为：∅；当p假q真时，实数m的取值范围为：[﹣，﹣）∪（1，+∞），综上，所求的实数m的取值范围为：[﹣，﹣）∪（1，+∞），18．（Ⅰ）证明：在△ABD中，∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理可得：BD2=AB2+AD2﹣2AB•AD•cos∠DAB，∴BD2=5AD2﹣2AD2=3AD2，则AB2=AD2+BD2，即BD⊥AD．又PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BD．∵PD∩AD=D，∴BD⊥平面PAD，则PA⊥BD；（Ⅱ）解：∵PD⊥平面ABCD，∴∠PCD为PC与平面ABCD所称的角．在Rt△BAD中，AD=1，∠DAB=60°，∴AB=2，则DC=2，∴tan∠PCD=．19．解：（Ⅰ）∵，∴，，，又sin（A+B）=sinC≠0，∴cosB=，∵0＜B＜π，∴B=；（Ⅱ）∵，∴由正弦定理得，，则，即a2+c2=2ac，化简得，a=c，由余弦定理得，b2=a2+c2﹣2accosB=2a2﹣a2=（2﹣）a2，∴==2．20．解：（Ⅰ）由等差数列{a n}的公差为d，由等差数列的性质可知：S5=5a3=15，则a3=3，d=a3﹣a2=1，首项a1=1，∴数列{a n}通项公式a n=1+（n﹣1）=n，前n项和S n==；=（n+1）b n（n∈N*），（Ⅱ）2nb n+1则=•，∴=•，=•，=×，…=•，∴当n≥2时，=（）n﹣1，即b n=，当n=1时，b1=，符合上式，∴数列{b n}通项公式b n=，∴T n=+++…+，T n=+++…++，两式相减得：T n=+++…+﹣，=﹣，=1﹣﹣，=1﹣，T n=2﹣，数列{b n}前项和T n=2﹣．21．解：（Ⅰ）设每件定价为x元，则提高价格后的销售量为，根据销售的总收人不低于原收入，有，整理得x2﹣65x+1000≤0，解得25≤x≤40．∴要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．（Ⅱ）依题意，x＞25时，不等式有解，等价于x＞25时，有解，∵（当且仅当x=30时，等号成立），∴a≥10.2．此时该商品的每件定价为30元∴当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．22．解：（Ⅰ）由圆C2的面积为π，得：b=1，圆C2将椭圆C1的长轴三等分，可得a=3b=3，所以椭圆方程为： +y2=1；（Ⅱ）由题意得：直线PE，ME的斜率存在且不为0，PE⊥EM，不妨设直线PE的斜率为k（k＞0），则PE：y=kx﹣1，由，得：或，所以P（，），同理得M（，），k PM=，由，得A（，），所以：k AB=，所以，设，则，当且仅当时取等号，所以k﹣=±，则直线AB：y=x=（k﹣）x，所以所求直线l方程为：．。

2017-2018学年湖南省永州市宁远县第一中学等三校高二数学上期中联考(文)试题(含答案)

2017年下期永州四中、祁阳一中、宁远一中高二期中联考文科数学一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．为了解1 000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为( )A ．50B ．40C ．25D ．202．某品牌空调在元旦期间举行促销活动，如图所示的茎叶图表示某专卖店记录的每天销售量情况(单位：台)，则销售量的中位数是( )A ．13B ．14C ．15D ．163．已知变量x ，y 呈线性相关关系，线性回归方程为y ＝2x ＋0.5，则变量x ，y 是( ) A ．线性正相关关系 B ．由回归方程无法判断其正负相关 C ．线性负相关关系 D ．不存在线性相关关系4. 设m ∈R ，命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是( ) A ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m >0 B ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ≤0 C ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m >0 D ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤05．下左边是一个算法的程序框图，当输入的x 值为3时，输出y 的结果恰好是13，则处的关系式是( )I ＝1WHILE I<8S ＝2I ＋3I ＝I ＋2WEND PRINT S ENDA ．y ＝x 3B ．y ＝3－xC ．y ＝3xD ．y ＝x316．上右图的程序语句输出的结果S 为( ) A ．17 B ．19 C ．21 D ．237. 已知命题p ：“1m =-”，命题：“直线0x y -=与直线20x m y +=互相垂直”，则命题p 是命题的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要8.已知命题p ：,x ∃∈R 210x x -+≥;命题q ：若22a b <,则a <b .下列命题为真命题的是（）A ．p q ∧ B.p q ∧⌝ C.p q ⌝∧ D.p q ⌝∧⌝9. 若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的倾斜角为π6，则双曲线C 的离心率为( )A ．2或 3B ．233C ．2或233D ．210．从一批产品(其中正品、次品都多于2件)中任取2件，观察正品件数和次品件数，下列事件是互斥事件的是( )①恰好有1件次品和恰好有两件次品； ②至少有1件次品和全是次品； ③至少有1件正品和至少有1件次品； ④至少1件次品和全是正品． A ．①② B ．①③ C ．③④ D ．①④ 11．在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π2上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到12之间的概率为( )A.13B.2πC.12D.2312．在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )A.π12 B ．1－π12 C.π6 D ．1－π6二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．将十进制数15转换成二进制数所得结果为______________．14．样本中共有五个个体，其值分别为0，1，2，3，m .若该样本的平均值为1，则其样本方差＝________.15.已知抛物线y 2＝4x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点B (3，2)，则|PB |＋|PF |的最小值为________．16．已知F 1、F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1⊥PF 2，若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________．三、解答题（本大题共6小题，共70分。

湖南省永州市2017-2018学年高一数学上学期期中试题(b卷)(含解析).pdf

【解答】解：∵与﹣ 角终边相同的角的集合为 A={ α| α =
}，
取 k=1，得
．
∴与﹣ 角终边相同的角是
．
故选： C．
2．直线 l 与直线 x﹣ y+1=0 垂直，则直线 l 的斜率为（
）
A．
B．﹣
C．
D．﹣
【考点】 I3 ：直线的斜率．【分析】求出已知直线的斜率，结合直线垂直与斜率的关系列式求得直线
）
A． y=sin
B． y=sin
C． y=sin
D． y=sin
11．已知圆（ x ﹣ 1）2+y2=4 内一点 P（ 2， 1），则过 P 点最短弦所在的直线方程是（
）
A． x﹣ y+1=0 B ． x+y﹣ 3=0 C ． x+y+3=0 D． x=2
12．对于一个底边在 x 轴上的三角形，采用斜二测画出作出其直观图，其直观图面积是原三
18．已知点 A（ 1，﹣ 1）， B（5， 1），直线 L 经过 A，且斜率为．
（1）求直线 L 的方程；（2）求以 B 为圆心，并且与直线 L 相切的圆的标准方程．
19．已知函数
的图象如图．
（1）根据函数的图象求该函数的解析式．
（2）求函数 f （ x）在
上的值域．
20．圆 x 2+y2=8 内有一点 P0（﹣ 1， 2）， AB为过点 P0 且倾斜角为 α 的弦；
角形面积的（
）
A． 2 倍 B．倍 C．倍 D．倍
二、填空题：（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答卷卡的相应位置上）
13．经过点 P（ 6， 5）， Q（ 2， 3）的直线的斜率为

湖南省2017—2018学年高二数学上学期期中考试卷题库(共6套)

湖南省2017—2018学年高二数学上学期期中考试卷（一）（文科）（考试时间90分钟满分100分）一、单项选择题（共15小题，每小题3分，共45分）1．已知命题p：若x2+y2=0，则x、y全为0；命题q：若a＞b，则．给出下列四个复合命题：①p且q，②p或q，③¬p④¬q，其中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．42．若A，B为互斥事件，则（）A．P（A）+P（B）＜1 B．P（A）+P（B）＞1 C．P（A）+P（B）=1 D．P（A）+P（B）≤13．已知椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离（）A．2 B．3 C．5 D．74．同时掷3枚硬币，至少有1枚正面向上的概率是（）A．B．C．D．5．变量X与Y相对应的一组数据为（10，1），（11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5），变量U与V相对应的一组数据为（10，5），（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1）．r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则（）A．r2＜r1＜0 B．0＜r2＜r1C．r2＜0＜r1D．r2=r16．双曲线kx2+5y2=5的一个焦点是（0，2），则k等于（）A．B．﹣C． D．﹣7．抛物线y=4x2的准线方程为（）A．y=﹣B．y=C．y=D．y=﹣8．命题“若x2＜4，则﹣2＜x＜2”的逆否命题是（）A．若x2≥4，则x≥2或x≤﹣2 B．若﹣2＜x＜2，则x2＜4C．若x＞2或x＜﹣2，则x2＞4 D．若x≥2，或x≤﹣2，则x2≥49．“a=+2kπ（k∈Z）”是“cos2a=”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件10．点A，B的坐标分别是（﹣5，0），（5，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，则点M的轨迹方程是（）A．B．C．D．11．若在双曲线的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．B．C．e＞2 D．1＜e＜212．ABCD为长方形，AB=2，BC=1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为（）A．B．C．D．13．设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．14．经过双曲线上任一点M作平行于实轴的直线，与渐近线交于P、Q两点，则|MP|•|MQ|为定值，其值为（）A．a2B．b2C．c2D．ab15．曲线C1：y2=2px（p＞0）的焦点F恰好是曲线C2：（a＞0，b＞0）的右焦点，且曲线C1与曲线C2交点连线过点F，则曲线C2的离心率是（）A．B．C．D．二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）16．抛物线y2=4px（p＞0）上一点M到焦点的距离是a（a＞p），则点M的横坐标是．17．给出以下命题：①∀x∈R，有x4＞x2；②∃α∈R，使得sin3α=3sinα；③∃a∈R，对∀x∈R使x2+2x+a＜0．其中真命题的序号是．18．观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图：则新生婴儿体重在（2700，3000）的频率为．19．将参加数学竞赛的1000名学生编号如下：0001，0002，0003，...，1000，打算从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的办法分成50个部分．如果第一部分编号为0001，0002， (0020)从中随机抽取一个号码为0015，则第40个号码为．20．椭圆的焦点为F1，F2，点P是椭圆上的动点，当∠F1PF2为钝角时，点P的横坐标的取值范围是．三、解答题（共5小题，每题8分，共40分）21．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x i（单位：千元）与月储蓄y i（单位：千元）的数据资料，算得，，，．（Ⅰ）求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y=bx+a；（Ⅱ）判断变量x与y之间是正相关还是负相关；（Ⅲ）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：线性回归方程y=bx+a中，，，其中，为样本平均值，线性回归方程也可写为．22．已知p：|1﹣|≤2，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0）．若“非p”是“非q”的必要而不充分条件，求实数m的取值范围．23．已知关于x的一元二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1．（1）设集合P={1，2，3}和Q={﹣1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率；（2）设点（a，b）是区域内的随机点，记A={y=f（x）有两个零点，其中一个大于1，另一个小于1}，求事件A发生的概率．24．如图，已知直线与抛物线y2=2px（p＞0）交于A、B两点，且OA⊥OB，OD⊥AB交AB于点D，点D的坐标为（2，1）．（1）求AB直线方程；（2）求p的值．25．如图，已知中心在原点且焦点在x轴上的椭圆E经过点A（3，1），离心率．（1）求椭圆E的方程；（2）过点A且斜率为1的直线交椭圆E于A、C两点，过原点O与AC垂直的直线交椭圆E于B、D两点，求证A、B、C、D四点在同一个圆上．参考答案一、单项选择题1．B 2．D 3．D．4．A．5．C．6．B．7．D 8．D．9．A．10．C．11．C．12．B．13．D．14．A．15．D．二、填空题16．解：如图，由题意知|MF|=a（a＞p），∵抛物线y2=4px的准线方程为x=﹣p，由抛物线定义得x M+p=a，则x M=a﹣p．故答案为：a﹣p．17．解：当x=1时，x4=x2，故①错误；当α=0时，sin3α=3sinα，故②正确；对于③由于抛物线开口向上，一定有函数值大于0，故③错误故答案为②18．解：频率分布直方图：小长方形的面积=组距×，∴新生婴儿体重在（2700，3000）的频率为0.001×300=0.3故答案为：0.319．解：∵系统抽样是先将总体按样本容量分成k=段，再间隔k取一个．又∵现在总体的个体数为1000，样本容量为50，∴k=20∴若第一个号码为0015，则第40个号码为0015+20×39=0795故答案为079520．解：由椭圆的标准方程可得：a2=13，b=2，∴=3．F1（﹣3，0），F2（3，0）．设P（x，y），则，∴y2=4．∵∠F1PF2为钝角，∴=（x+3，y）•（x﹣3，y）=x2﹣9+y2＜0，∴x2﹣9+4＜0．化为x2，解得＜x＜．∴点P的横坐标的取值范围是，故答案为：．三、解答题21．解：（Ⅰ）由题意可知n=10，===8，===2，故l xx==720﹣10×82=80，l xy==184﹣10×8×2=24，故可得b=═=0.3，a==2﹣0.3×8=﹣0.4，故所求的回归方程为：y=0.3x﹣0.4；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知b=0.3＞0，即变量y随x的增加而增加，故x与y之间是正相关；（Ⅲ）把x=7代入回归方程可预测该家庭的月储蓄为y=0.3×7﹣0.4=1.7（千元）．22．解：解法一：由p：|1﹣|≤2，解得﹣2≤x≤10，∴“非p”：A={x|x＞10或x＜﹣2}、由q：x2﹣2x+1﹣m2≤0，解得1﹣m≤x≤1+m（m＞0）∴“非q”：B={x|x＞1+m或x＜1﹣m，m＞0=由“非p”是“非q”的必要而不充分条件可知：B⊆A.解得m≥9．∴满足条件的m的取值范围为{m|m≥9}．解法二：由“非p”是“非q”的必要而不充分条件．即“非q”⇒“非p”，但“非p”“非q”，可以等价转换为它的逆否命题：“p⇒q，但q p”．即p是q的充分而不必要条件．由|1﹣|≤2，解得﹣2≤x≤10，∴p={x|﹣2≤x≤10}由x2﹣2x+1﹣m2≤0，解得1﹣m≤x≤1+m（m＞0）∴q={x|1﹣m≤x≤1+m，m＞0}由p是q的充分而不必要条件可知：p⊆q⇔解得m≥9．∴满足条件的m的取值范围为{m|m≥9}．23．解：（1）∵函数f（x）=ax2﹣4bx+1的图象的对称轴为，要使f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上为增函数，当且仅当a＞0且…若a=1则b=﹣1，若a=2则b=﹣1，1若a=3则b=﹣1，1…记B={函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数}，则事件B包含基本事件的个数是1+2+2=5，∴…（2）依条件可知试验的全部结果所构成的区域为，其面积…事件A构成的区域：由，得交点坐标为，…∴，∴事件A发生的概率为…24．解：（1）∵点D的坐标为（2，1），∴，又AB⊥OD，且AB过D（2，1），∴AB：y﹣1=﹣2（x﹣2），整理得：2x+y﹣5=0；（2）设点A的坐标（x1，y1），点B的坐标（x2，y2），由OA⊥OB得：x1x2+y1y2=0，由（1）知AB的直线方程为y=﹣2x+5∴y1y2﹣（y1+y2）+5=0，①联立y=﹣2x+5与y2=2px，消去x得：y2+py﹣5p=0，y1+y2=﹣p，y1y2=﹣5p，②把②代入解得，经检验满足△＞0．∴p=．25．（1）解：设椭圆方程为（a＞b＞0），因为离心率，所以a2=3b2，…所以椭圆方程为，又因为经过点A（3，1），则，…所以b2=4，所以a2=12，属于椭圆的方程为．…（2）证明：直线AC的方程为y=x﹣2，与椭圆方程联立，可得x2﹣3x=0，∴x=0或x=3，∴C（0，﹣2）直线BD的方程为y=﹣x，与椭圆方程联立，可得x2=3，∴x=，∴B（），D（）设经过B，C，D三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则有∴D=﹣1，E=﹣1，F=﹣6，∴圆的方程为x2+y2﹣x﹣y﹣6=0，∵点A（3，1）也适合，∴A（3，1）在圆上，∴A、B、C、D四点在同一个圆上．湖南省2017—2018学年高二数学上学期期中考试卷（二）（理科）（考试时间120分钟满分150分）一、单项选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．设集合M={0，1，3}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=（）A．{1}B．{2}C．{0，1}D．{1，2}2．命题∀m∈[0，1]，则的否定形式是（）A．∀m∈[0，1]，则B．∃m∈[0，1]，则C．∃m∈（﹣∞，0）∪（1，+∞），则D．∃m∈[0，1]，则3．已知函数f（x）=﹣log3x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（）A．（0，1） B．（3，9） C．（1，3） D．（9，+∞）4．△ABC的面积是，∠B是钝角，AB=1，BC=，则AC=（）A．5 B．2 C．D．15．已知向量，，其中|=，||=2，且（﹣）⊥，则向量与的夹角是（）A．B．C．D．6．设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．24 B．16+ C．40 D．308．双曲线﹣=1的渐近线方程与圆相切，则此双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．9．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若m＞1，且a m﹣1+a m+1﹣a m2=0，S2m﹣1=38则m等于（）A．38 B．20 C．10 D．910．已知x，y满足约束条件，当目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）在该约束条件下取到最小值2时，a2+b2的最小值为（）A．5 B．4 C．D．211．已知椭圆： +=1（0＜b＜2），左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若||+||的最大值为5，则b的值是（）A．1 B．C．D．12．设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，则当取得最小值时，x+2y﹣z的最大值为（）A．0 B．C．2 D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）=2a n，若a5=4，则a4a5a6=．13．在数列{a n}中，a n﹣114．已知直线x﹣y+a=0与圆心为C的圆x2+y2+2x﹣4y﹣4=0相交于A、B两点，且AC⊥BC，则实数a的值为．15．如图程序运行后，输出的值为．16．抛物线y2=8x的准线与x轴相交于点P，过点P作斜率为k（k＞0）的直线交抛物线于A、B两点，F为抛物线的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或求解演算步骤）17．已知两个命题p：∀x∈R，sinx+cosx＞m恒成立，q：∀x∈R，y=（2m2﹣m）x为增函数．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明：PA⊥BD；（Ⅱ）设PD=AD=1，求直线PC与平面ABCD所成角的正切值．19．在△ABC中，设．（Ⅰ）求B 的值（Ⅱ）求的值．20．设等差数列{a n}的前项和为S n，且a2=2，S5=15，数列{b n}的前项和为T n，且b1=，2nb n=（n+1）b n（n∈N*）+1（Ⅰ）求数列{a n}通项公式a n及前项和S n；（Ⅱ）求数列{b n}通项公式b n及前项和T n．21．某种商品原来每件售价为25元，年销售量8万件．（Ⅰ）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收人不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（Ⅱ）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入（x2﹣600）万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．22．如图，椭圆C1：和圆C2：x2+y2=b2，已知圆C2将椭圆C1的长轴三等分，且圆C2的面积为π．椭圆C1的下顶点为E，过坐标原点O且与坐标轴不重合的任意直线l与圆C2相交于点A，B，直线EA，EB与椭圆C1的另一个交点分别是点P，M．（I）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）求△EPM面积最大时直线l的方程．参考答案一、单项选择题1．A．2．D．3．B．4．C．5．A．6．A．7．D8．B．9．C．10．B．11．D．12．C．二、填空题=2a n，a5=4知，数列{a n}是等比数列，13．解：由a n﹣1故a4a5a6=a53=64．故答案为：64．14．解：圆的标准方程为（x+1）2+（y﹣2）2=9，圆心C（﹣1，2），半径r=3，∵AC⊥BC，∴圆心C到直线AB的距离d=，即d==，即|a﹣3|=3，解得a=0或a=6，故答案为：0或6．15．解：由题意，如图，此循环程序S=1；i=2S=1×2=2；i=3S=2×3=6；i=4S=6×4=24；i=5S=24×5=120；i=6＞5结束．故输出的值为：120．故答案为：120．16．解：设A（x1，y1），B（x2，y2）由已知|FA|=2|FB|，得：x1+2=2（x2+2），即x1=2x2+2，①∵P（﹣2，0），则AB的方程：y=kx+2k，与y2=8x联立，得：k2x2+（4k2﹣8）x+4k2=0，则x1x2 =4，②由①②得x2=1，则A（1，），∴k==．故答案为：．三、解答题17．解：由题意若p∨q为真命题，p∧q为假命题，可得，命题p和命题q一个为真命题，另一个为假命题．若p是真命题，：∀x∈R，sinx+cosx＞m恒成立，可得＞m恒成立，即m ＜﹣，故实数m的取值范围为（﹣∞，﹣）．若命题q是真命题，∀x∈R，y=（2m2﹣m）x为增函数，则有2m2﹣m＞1，解得m＞1，或m＜．当p真q假时，实数m的取值范围为：∅；当p假q真时，实数m的取值范围为：[﹣，﹣）∪（1，+∞），综上，所求的实数m的取值范围为：[﹣，﹣）∪（1，+∞），18．（Ⅰ）证明：在△ABD中，∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理可得：BD2=AB2+AD2﹣2AB•AD•cos∠DAB，∴BD2=5AD2﹣2AD2=3AD2，则AB2=AD2+BD2，即BD⊥AD．又PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BD．∵PD∩AD=D，∴BD⊥平面PAD，则PA⊥BD；（Ⅱ）解：∵PD⊥平面ABCD，∴∠PCD为PC与平面ABCD所称的角．在Rt△BAD中，AD=1，∠DAB=60°，∴AB=2，则DC=2，∴tan∠PCD=．19．解：（Ⅰ）∵，∴，，，又sin（A+B）=sinC≠0，∴cosB=，∵0＜B＜π，∴B=；（Ⅱ）∵，∴由正弦定理得，，则，即a2+c2=2ac，化简得，a=c，由余弦定理得，b2=a2+c2﹣2accosB=2a2﹣a2=（2﹣）a2，∴==2．20．解：（Ⅰ）由等差数列{a n}的公差为d，由等差数列的性质可知：S5=5a3=15，则a3=3，d=a3﹣a2=1，首项a1=1，∴数列{a n}通项公式a n=1+（n﹣1）=n，前n项和S n==；=（n+1）b n（n∈N*），（Ⅱ）2nb n+1则=•，∴=•，=•，=×，…=•，∴当n≥2时，=（）n﹣1，即b n=，当n=1时，b1=，符合上式，∴数列{b n}通项公式b n=，∴T n=+++…+，T n=+++…++，两式相减得：T n=+++…+﹣，=﹣，=1﹣﹣，=1﹣，T n=2﹣，数列{b n}前项和T n=2﹣．21．解：（Ⅰ）设每件定价为x元，则提高价格后的销售量为，根据销售的总收人不低于原收入，有，整理得x2﹣65x+1000≤0，解得25≤x≤40．∴要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．（Ⅱ）依题意，x＞25时，不等式有解，等价于x＞25时，有解，∵（当且仅当x=30时，等号成立），∴a≥10.2．此时该商品的每件定价为30元∴当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．22．解：（Ⅰ）由圆C2的面积为π，得：b=1，圆C2将椭圆C1的长轴三等分，可得a=3b=3，所以椭圆方程为： +y2=1；（Ⅱ）由题意得：直线PE，ME的斜率存在且不为0，PE⊥EM，不妨设直线PE的斜率为k（k＞0），则PE：y=kx﹣1，由，得：或，所以P（，），同理得M（，），k PM=，由，得A（，），所以：k AB=，所以，设，则，当且仅当时取等号，所以k﹣=±，则直线AB：y=x=（k﹣）x，所以所求直线l方程为：．湖南省2017—2018学年高二数学上学期期中考试卷（三）（文科）（考试时间120分钟满分150分）一、单项选择题（共12题，每题5分，满分60分）1．命题“若x=2，则x2﹣3x+2=0”的逆否命题是（）A．若x≠2，则x2﹣3x+2≠0 B．若x2﹣3x+2=0，则x=2C．若x2﹣3x+2≠0，则x≠2 D．若x≠2，则x2﹣3x+2=02．已知a∈R，则“a＞2”是“a2＞2a”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．抛物线y2=8x的准线方程是（）A．x=﹣2 B．x=﹣4 C．y=﹣2 D．y=﹣44．等差数列{a n}中，a7+a9=16，a4=1，则a12=（）A．15 B．30 C．31 D．645．与椭圆+y2=1共焦点且过点P（2，1）的双曲线方程是（）A．﹣y2=1 B．﹣y2=1 C．﹣=1 D．x2﹣3y2=16．已知，则z=2x+y的最大值为（）A．7 B．C．1 D．87．对于实数a，b，c，下列结论中正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b＞0，则C．若a＜b＜0，则D．若a＞b，，则a＞0，b＜08．等比数列x，3x+3，6x+6，…的第四项等于（）A．﹣24 B．0 C．12 D．249．已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为+=1，双曲线C2的方程为﹣=1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为（）A．x±y=0 B．x±y=0 C．x±2y=0 D．2x±y=010．设M为椭圆+=1上的一个点，F1，F2为焦点，∠F1MF2=60°，则△MF1F2的周长和面积分别为（）A．16，B．18，C．16，D．18，11．已知单调递增的等比数列{a n}中，a2•a6=16，a3+a5=10，则数列{a n}的前n项和S n=（）A．B．C．2n﹣1 D．2n+1﹣212．如图，在中△ABC，∠CBA=∠CAB=30°，AC、BC边上的高分别为BD、AE，则以A、B为焦点，且过D、E的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为（）A．B．1 C．2 D．2二、填空题（共4题，每题5分，满分20分）13．在△ABC中，已知b=1，c=，∠C=120°，则a=．14．已知关于x的不等式x2+ax+b＜0的解集为（1，2），则关于x的不等式bx2+ax+1＞0的解集为．15．过抛物线y2=4x的焦点作直线l交抛物线于A、B两点，若|AB|=8，则线段AB中点的横坐标为．16．设x＞0，y＞0．且2x﹣3=（）y，则+的最小值为．三、解答题（共70分）17．△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c．（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，且c=2a，求cosB的值．18．已知命题p：k2﹣8k﹣20≤0，命题q：方程=1表示焦点在x轴上的双曲线．（Ⅰ）命题q为真命题，求实数k的取值范围；（Ⅱ）若命题“p∨q”为真，命题“p∧q”为假，求实数k的取值范围．19．已知数列{a n}（n∈N*）的前n项的S n=n2．（Ⅰ）求数列{a n}，的通项公式；（Ⅱ）若，记数列{b n}，的前n项和为T n，求使成立的最小正整数n的值．20．某厂用甲、乙两种原料生产A、B两种产品，已知生产1t A产品，1t B产品分别需要的甲、乙原料数，可获得的利润数及该厂现有原料数如下表所示．问：在现有原料下，A、B产品应各生产多少才能使利润总额最大？列产品和原料关系表如下：21．已知点A（0，﹣2），B（0，4），动点P（x，y）满足；（1）求动点P的轨迹方程；（2）设（1）中所求轨迹方程与直线y=x+2交于C、D两点；求证OC⊥OD（O为坐标原点）．22．已知椭圆+=1（a＞b＞0）经过点（0，），离心率为，左右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线l：y=﹣x+m与椭圆交于A、B两点，与以F1F2为直径的圆交于C、D两点，且满足=，求直线l的方程．参考答案一、单项选择题1．C．2．A3．A4．A．5．B．6．A．7．D．8．A．9．A．10．D．11．B．12．A二、填空题13．解：根据题意，在△ABC中，b=1，c=，∠C=120°，由余弦定理cosC=可得，﹣=，即a2+a﹣2=0，解可得：a=1或a=﹣2（舍），即a=1，故答案为：1．14．解：∵关于x的不等式x2+ax+b＜0的解集为（1，2），∴函数f（x）=x2+ax+b的图象开口朝上，且有两个零点2和1，∴a=﹣3，b=2，故bx2+ax+1＞0可化为：2x2﹣3x+1＞0，解得：x∈，故答案为：15．解：由抛物线y2=4x，可得焦点F（1，0），若AB⊥x轴，则|AB|=2p=4，不符合条件，舍去．设直线l的方程为：my=（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为y2﹣4my﹣4=0，∴y1+y2=4m，y1y2=﹣4．∴|AB|===8，化为m2=1，解得m=±1，当m=1时，联立，化为x2﹣6x+1=0，∴x1+x2=6，因此=3．同理可得：m=﹣1时，=3．∴线段AB中点的横坐标为3．故答案为：3．16．解：∵2x﹣3=（）y，∴x﹣3=﹣y，即x+y=3．又x＞0，y＞0．则+===3，当且仅当y=2x=2时取等号．∴+的最小值为3．故答案为：3．三、解答题17．解：（Ⅰ）∵a，b，c成等差数列，∴a+c=2b，由正弦定理得：sinA+sinC=2sinB，∵sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C），则sinA+sinC=2sin（A+C）；（Ⅱ）∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac，将c=2a代入得：b2=2a2，即b=a，∴由余弦定理得：cosB===．18．解：（Ⅰ）当命题q为真时，由已知得，解得1＜k＜4∴当命题q为真命题时，实数k的取值范围是1＜k＜4…（Ⅱ）当命题p为真时，由k2﹣8k﹣20≤0解得﹣2≤k≤10…由题意得命题p、q中有一真命题、有一假命题…当命题p为真、命题q为假时，则，解得﹣2≤k≤1或4≤k≤10．…当命题p为假、命题q为真时，则，k无解．…∴实数k的取值范围是﹣2≤k≤1或4≤k≤10．…19．解：（Ⅰ）∵S n=n2=（n﹣1）2当n≥2时，S n﹣1∴相减得：a n=S n﹣S n﹣1=2n﹣1又a1=S1=1符合上式∴数列{a n}，的通项公式a n=2n﹣1（II）由（I）知∴T n=b1+b2+b3++b n==又∵∴∴成立的最小正整数n的值为520．解析：设生产A、B两种产品分别为xt，yt，其利润总额为z万元，根据题意，可得约束条件为…作出可行域如图：…．目标函数z=4x+3y，作直线l0：4x+3y=0，再作一组平行于l0的直线l：4x+3y=z，当直线l经过P点时z=4x+3y 取得最大值，…．由，解得交点P…．所以有…所以生产A产品2.5t，B产品1t时，总利润最大，为13万元．…21．解：（1）∵A（0，﹣2），B（0，4），P（x，y）∴，∵∴﹣x（﹣x）+（4﹣y）（﹣2﹣y）=y2﹣8整理可得，x2=2y（2）联立可得x2﹣2x﹣4=0设C（x1，y1），D（x2，y2），则x1+x2=2，x1x2=﹣4，∴y1y2=（x1+2）（x2+2）=x1x2+2（x1+x2）+4=4∵=x1x2+y1y2=0∴OC⊥OD22．解：（Ⅰ）由题意可得，解得，c=1，a=2．∴椭圆的方程为．（Ⅱ）由题意可得以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1．∴圆心到直线l的距离d=，由d＜1，可得．（*）∴|CD|=2==．设A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为x2﹣mx+m2﹣3=0，可得x1+x2=m，．∴|AB|==．由=，得，解得满足（*）．因此直线l的方程为．湖南省2017—2018学年高二数学上学期期中考试卷（四）（理科）（考试时间100分钟满分120分）一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．设，是向量，命题“若=﹣，则||=||”的逆命题是（）A．若≠，则||≠|| B．若=﹣，则||≠|| C．若||≠||，则≠﹣D．若||=||，则=﹣2．已知a＞b，c＞d，且a，b，c，d均不为0，那么下列不等式成立的是（）A．ac＞bd B．ad＞bc C．a﹣c＞b﹣d D．a+c＞b+d3．若p：∀x∈R，sin x≤1，则（）A．¬p：∃x0∈R，sin x0＞1 B．¬p：∀x∈R，sin x＞1C．¬p：∃x0∈R，sin x0≥1 D．¬p：∀x∈R，sin x≥14．若集合A={x|﹣1≤2x+1≤3}，，则A∩B=（）A．{x|﹣1≤x＜0} B．{x|0＜x≤1} C．{x|0≤x≤2} D．{x|0≤x≤1}5．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是（3，0），则椭圆的标准方程为（）A．=1 B．=1C．=1 D．=16．已知条件p：1≤x≤3，条件q：x2﹣5x+6＜0，则p是q的（）条件．A．充分必要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既非充分也非必要条件7．若不等式ax2+bx﹣2＞0的解集为{x|﹣2＜x＜﹣}则a，b的值分别是（）A．a=﹣8，b=﹣10 B．a=﹣1，b=9 C．a=﹣4，b=﹣9 D．a=﹣1，b=28．设变量x，y满足约束条件，则2x+3y的最大值是（）A．10 B．9 C．8 D．7.5二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．在△ABC中，角A，B，C 的对边分别是a，b，c，若a=3，A=30°，B=45°，则b=．10．已知{a n}是等比数列，，则公比q=．11．双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值=．12．函数的最小值为．13．若数列{a n}满足，则数列{a n}的前n项和S n=．14．已知实数x、y满足，若不等式a（x2+y2）≥（x+y）2恒成立，则实数a的最小值是．三、解答题（共5小题，共50分）15．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2﹣a2=bc．（1）求角A的大小；（2）若a=，b+c=4，求△ABC的面积．16．等差数列{a n}足：a2+a4=6，a6=S3，其中S n为数列{a n}前n项和．（Ⅰ）求数列{a n}通项公式；（Ⅱ）若k∈N*，且a k，a3k，S2k成等比数列，求k值．17．已知c＞0，且c≠1，设p：函数y=c x在R上单调递减；q：函数f（x）=x2﹣2cx+1在（，+∞）上为增函数，若“p且q”为假，“p或q”为真，求实数c的取值范围．18．某开发商用9000万元在市区购买一块土地建一幢写字楼，规划要求写字楼每层建筑面积为2000平方米．已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米4000元，从第二层开始，每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加100元．（1）若该写字楼共x层，总开发费用为y万元，求函数y=f（x）的表达式；（总开发费用=总建筑费用+购地费用）（2）要使整幢写字楼每平方米开发费用最低，该写字楼应建为多少层？19．如图，椭圆C：经过点P（1，），离心率e=，直线l的方程为x=4．（1）求椭圆C的方程；（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．参考答案一、单项选择题1．D．2．D．3．A 4．B 5．B．6．C 7．C．8．B 二、填空题9．解：由正弦定理，，可得，b===3．故答案为：．10．解由题意：∴q=故答案是11．解：∵双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，∴2=，解得m=16．故答案为：16．12．解：∵x＞2，∴x﹣2＞0，∴f（x）=x+=（x﹣2）++2≥2+2=4，当且仅当x﹣2=1，即x=3时取等号∴函数f（x）的最小值为f（3）=4．故答案为：4．13．解：当x=0时，a n=﹣2n，∴数列{a n}的前n项和S n==﹣n2﹣n；当x=1时，a n=1﹣2n，∴数列{a n}的前n项和S n=﹣=﹣n2；当x≠0，1时，S n=﹣n2﹣n．∴数列{a n}的前n项和S n=．故答案为：．14．解：实数x、y满足的可行域是一个三角形，三角形的三个顶点分别为（1，4），（2，4），与原点连线的斜率分别为4，2，∴a（x2+y2）≥（x+y）2等价于a≥1+∵∈[2，4]∴≤+≤4+=∴a≥1+=∴实数a的最小值是故答案为：三、解答题15．解：（1）依题意：，∴（2）由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即：a2=（b+c）2﹣2bc﹣bc，∴3bc=（b+c）2﹣a2=9，bc=3．∴．（另解：算出b=1，c=3或c=1，b=3，没有分情况说明扣．）16．解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由a2+a4=6，a6=S3，得，解得．∴a n=1+1×（n﹣1）=n；（Ⅱ），由a k，a3k，S2k成等比数列，得9k2=k（2k2+k），解得k=4．17．解∵函数y=c x在R上单调递减，∴0＜c＜1．即p：0＜c＜1，∵c＞0且c≠1，∴￢p：c＞1．又∵f（x）=x2﹣2cx+1在（，+∞）上为增函数，∴c≤．即q：0＜c≤，∵c＞0且c≠1，∴￢q：c＞且c≠1．又∵“p或q”为真，“p且q”为假，∴p真q假，或p假q真．①当p真，q假时，{c|0＜c＜1}∩{c|c＞，且c≠1}={c|}．②当p假，q真时，{c|c＞1}∩{c|0＜c}=∅．[]综上所述，实数c的取值范围是{c|}．18．解：（1）由已知，写字楼最下面一层的总建筑费用为：4000×2000=8000000（元）=800（万元），从第二层开始，每层的建筑总费用比其下面一层多：100×2000=200000（元）=20（万元），写字楼从下到上各层的总建筑费用构成以800为首项，20 为公差的等差数列所以函数表达式为：；…（2）由（1）知写字楼每平方米平均开发费用为：…=（元）…当且仅当，即x=30时等号成立．答：该写字楼建为30层时，每平方米平均开发费用最低．…19．解：（1）椭圆C：经过点P （1，），可得①由离心率e=得=，即a=2c，则b2=3c2②，代入①解得c=1，a=2，b=故椭圆的方程为（2）方法一：由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x﹣1）③代入椭圆方程并整理得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0设A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2=，④在方程③中，令x=4得，M的坐标为（4，3k），从而，，=k﹣注意到A，F，B共线，则有k=k AF=k BF，即有==k所以k1+k2=+=+﹣（+）=2k﹣×⑤④代入⑤得k1+k2=2k﹣×=2k﹣1又k3=k﹣，所以k1+k2=2k3故存在常数λ=2符合题意方法二：设B（x0，y0）（x0≠1），则直线FB的方程为令x=4，求得M（4，）从而直线PM的斜率为k3=，联立，得A（，），则直线PA的斜率k1=，直线PB的斜率为k2=所以k1+k2=+=2×=2k3，故存在常数λ=2符合题意湖南省2017—2018学年高二数学上学期期中考试卷（五）（理科）（考试时间120分钟满分150分）一、单项选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.1．已知集合A={x|x=3n+1，n∈N}，B={4，6，8，10，12}，则集合A∩B中的元素个数（）A．1 B．2 C．3 D．42．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．23．已知α为钝角，sinα=，则tan（+α）=（）A．3 B．C．﹣3 D．﹣4．某商品销售量y（件）与销售价格x（元/件）负相关，则其回归方程可能是（）A．=﹣10x+200 B．=10x+200 C．=﹣10x﹣200 D．=10x﹣2005．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为10，则输出S的值是（）A．45 B．46 C．55 D．566．函数y=|sinx|的一个单调增区间是（）A．B．C．D．7．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于（）A．45°B．60°C．90°D．120°8．给出如下四个命题：①若“p∨q”为真命题，则p，q均为真命题；②“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”；③“∀x∈R，x2+x≥1”的否定是“∃x0∈R，x+x0≤1”；④“x＞1”是“x＞0”的充分不必要条件．其中不正确的命题是（）A．①② B．②③ C．①③ D．③④9．已知（a＞2），（x∈R），则p，q的大小关系为（）A．p≥q B．p＞q C．p＜q D．p≤q10．一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（）A．B．21 C．21+D．21+11．设函数f（x）的定义域为D，若f（x）满足条件：存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[，]，则成f（x）为“倍缩函数”，若函数f（x）=log2（2x+t）为“倍缩函数”，则t的范围是（）A．（0，）B．（0，1）C．（0，]D．（，+∞）12．从双曲线=1（a＞0，b＞0）的左焦点F引圆x2+y2=a2的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于点P，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|﹣|MT|与b﹣a的大小关系为（）A．|MO|﹣|MT|＞b﹣a B．|MO|﹣|MT|=b﹣a C．|MP|﹣|MT|＜b﹣a D．不确定二、填空题：本大题共4个小题，共20分。

湖南省永州市数学高二上学期理数期中考试试卷

湖南省永州市数学高二上学期理数期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高一下·黄石期中) 在△ABC中，a=2 ，b=2 ，B= ，则A等于（）A .B .C . 或D . 或2. （2分） (2019高一下·江东月考) 设等比数列的公比，前项和为，则 =（）A .B .C .D .3. （2分）(2014·福建理) 等差数列{an}的前n项和为Sn ，若a1=2，S3=12，则a6等于（）A . 8B . 10C . 12D . 144. （2分）在所在的平面内，点满足，且对于任意实数，恒有，则（）A .B .C .D .5. （2分） (2016高三上·太原期中) 已知等比数列{an}中，公比，则a4=（）A . 1B . 2C . 4D . 86. （2分）首项为-20的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是（）A .B .C .D .7. （2分） (2016高一下·雅安期末) 在△ABC中，角A、B、C所对的边为a，b，c，若a=1，b= ，B=120°，则A等于（）A . 30°B . 45°C . 60°D . 120°8. （2分） (2015高三上·荣昌期中) 函数是（）A . 非奇非偶函数B . 仅有最小值的奇函数C . 仅有最大值的偶函数D . 既有最大值又有最小值的偶函数9. （2分）(2020·汕头模拟) △ABC中，角A，B，C所对应的分别为a，b，c，且（a+b）（sinA﹣sinB）＝（c﹣b）sinC，若a＝2，则△ABC的面积的最大值是（）A . 1B .C . 2D . 210. （2分） (2020高二上·那曲期末) 由 =1， =3确定的等差数列中，当 =298时，序号n等于（）A . 99B . 100C . 96D . 10111. （2分） (2018高三上·荆门月考) 中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学命题：“九百九十斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言.”题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是（）A . 174斤B . 184斤C . 191斤D . 201斤12. （2分） (2017高二上·平顶山期末) 设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且cosA= ，cosB=，b=3，则c=（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2020高一下·杭州月考) 已知平面向量满足，且与的夹角为120°，则的取值范围是________ .14. （1分）(2019·揭阳模拟) 已知数列满足，，则数列中最大项的值为________.15. （1分） (2020高一下·佛山月考) 数列的前49项和为________16. （1分）已知，是函数的两个零点，则 ________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分） (2019高三上·宁德月考) 的内角的对边分别为，已知，.（1）求角C；（2）延长线段到点D，使，求周长的取值范围．18. （5分）(2017·朝阳模拟) 各项均为非负整数的数列{an}同时满足下列条件：①a1=m（m∈N*）；②an≤n﹣1（n≥2）；③n是a1+a2+…+an的因数（n≥1）．（Ⅰ）当m=5时，写出数列{an}的前五项；（Ⅱ）若数列{an}的前三项互不相等，且n≥3时，an为常数，求m的值；（Ⅲ）求证：对任意正整数m，存在正整数M，使得n≥M时，an为常数．19. （10分）(2018·汉中模拟) 在中，角的对边分别是，且.（1）求角的大小；（2）已知公差为的等差数列中，，且成等比数列，记，求数列的前项和 .20. （10分） (2018高二上·南宁期中) 的内角的对边分别为，已知.（1）求角；（2）若， ,求．21. （10分） (2016高一下·江阴期中) 如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB=θ．（1）若a=1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ= ，当a变化时，求x的取值范围．22. （10分）(2020·临沂模拟) 记为数列的前项和，已知，．（1）求数列的通项公式；（2）若，求满足的正整数n的最大值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共55分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。

湖南省永州市数学高二上学期理数期中考试试卷

湖南省永州市数学高二上学期理数期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高二上·锦州期末) 命题“ ，则”的逆否命题是（）A . 若，则B . 若，则C . 若，则D . 若，则2. （2分）已知命题p：∃x0∈R，ex﹣mx=0，q：∀x∈R，x2+mx+1≥0，若p∨（¬q）为假命题，则实数m 的取值范围是（）A . （﹣∞，0）∪（2，+∞）B . [0，2]C . RD . ∅3. （2分） (2019高二上·阜阳月考) 多面体是由底面为的长方体被截面所截得到的，建立下图的空间直角坐标系，已知、、、、、 .若为平行四边形，则点到平面的距离为（）A .B .C .D .4. （2分） (2017高一上·海淀期末) 已知向量 =（1，3）， =（3，t），若∥ ，则实数t的值为（）A . ﹣9B . ﹣1C . 1D . 95. （2分） (2019高二下·上海月考) 如图，在四面体中，，、分别是、的中点，若与所成的角的大小为30°，则和所成的角的大小为（）A . 15°B . 75°C . 30°或60°D . 15°或75°6. （2分）(2017·长春模拟) 若点P为抛物线y=2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为（）A . 2B .C .D .7. （2分）抛物线的焦点为F，已知点A,B为抛物线上的两个动点，且满足.过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为（）A .B .C . 1D .8. （2分） (2018高二下·温州期中) 椭圆与双曲线有相同的焦点坐标，则（）A . 3B .C . 5D .9. （2分） (2018高二上·思南月考) 抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，又已知点是一个定点，则的最小值是（）A .B .C .D .10. （2分） (2016高二上·湖南期中) 平面内，F1 ， F2是两个定点，“动点M满足| |+| |为常数”是“M的轨迹是椭圆”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件11. （2分）(2020·合肥模拟) 己知四棱锥中，四边形为等腰梯形，，，是等边三角形，且；若点在四棱锥的外接球面上运动，记点到平面的距离为，若平面平面，则的最大值为（）A .B .C .D .12. （2分）若椭圆和椭圆的焦点相同且a1>a2.给出如下四个结论：①椭圆C1和椭圆C2一定没有公共点；②；③；④.其中，所有正确结论的序号是（）A . ②③④B . ①③④C . ①②④D . ①②③二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）在平面直角坐标系中，点B与点A（﹣1，1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于，则动点P的轨迹方程________．14. （1分） (2019高二下·蕉岭月考) 抛物线C: 的焦点为 ,设过点的直线交抛物线与两点，且 ,则 ________.15. （1分） (2016高一上·虹口期末) 已知条件p：2k﹣1≤x≤﹣3k，条件q：﹣1＜x≤3，且p是q的必要条件，则实数k的取值范围是________．16. （1分） (2016高二上·大庆期中) 设双曲线的一条渐近线与抛物线y=x2+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分） (2016高三上·晋江期中) 设集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|x2﹣x+（m﹣m2）＜0}．（1）当m＜时，化简集合B；（2） p：x∈A，命题q：x∈B，且命题p是命题q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．18. （5分） (2016高三上·成都期中) 如图，已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），设圆T与椭圆C交于点M与点N．（1）求椭圆C的方程；（2）求的最小值，并求此时圆T的方程；（3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：|OR|•|OS|为定值．19. （15分） (2019高一上·汪清月考) 如图所示，在正方体中，分别是的中点.（1）求证：平面平面；（2）求证：平面平面 .20. （10分） (2019高二上·湖南期中) 已知椭圆：（）的左，右顶点分别为，，长轴长为，且经过点 .（1）求椭圆的标准方程；（2）若为椭圆上异于，的任意一点，证明：直线，的斜率的乘积为定值；（3）已知两条互相垂直的直线，都经过椭圆的右焦点，与椭圆交于，和，四点，求四边形面积的取值范围.21. （10分）(2020·日照模拟) 在平面直角坐标系中，抛物线C：（）的焦点为（1）动直线l过F点且与抛物线C交于M，N两点，点M在y轴的左侧，过点M作抛物线C准线的垂线，垂足为M1 ，点E在上，且满足连接并延长交y轴于点D，的面积为，求抛物线C的方程及D点的纵坐标；（2）点H为抛物线C准线上任一点，过H作抛物线C的两条切线 , ，切点为A，B，证明直线过定点，并求面积的最小值.22. （5分） (2018高二下·普宁月考) 已知焦点在轴上的椭圆，短轴的一个端点与两个焦点构成等腰直角三角形，且椭圆过点 .（1）求椭圆的标准方程；（2）设依次为椭圆的上下顶点，动点满足，且直线与椭圆另一个不同于的交点为 .求证：为定值，并求出这个定值.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分) 17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、22-2、。

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2017-2018学年湖南省永州四中、祁阳一中、宁远一中联考高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1．（5分）已知命题p：∀x＞0，总有（x+1）e x＞1，则￢p为（）A．∃x0≤0，使得（x0+1）e≤1 B．∃x0＞0，使得（x0+1）e≤1C．∀x＞0，总有（x+1）e x≤1 D．∀x≤0，总有（x+1）e x≤12．（5分）在命题“若m＞﹣n，则m2＞n2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．0 个3．（5分）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为（）A．3，5 B．5，5 C．3，7 D．5，74．（5分）在区间[0，π]上随机取一个数x，则的概率为（）A．B．C．D．5．（5分）已知双曲线的离心率，则其渐近线方程为（）A．B．C．D．y=±x6．（5分）不等式x2﹣2x﹣3＜0成立的一个必要不充分条件是（）A．﹣1＜x＜3 B．0＜x＜3 C．﹣2＜x＜3 D．﹣2＜x＜17．（5分）已知A（1，2，﹣1），B（5，6，7），则直线AB与平面xOz交点的坐标是（）A．（0，1，1）B．（0，1，﹣3）C．（﹣1，0，3）D．（﹣1，0，﹣5）8．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．39．（5分）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（）A．B．C．D．10．（5分）在空间直角坐标系中，A（2，0，0），B（1，0，1）为直线l1上的点，M（1，0，0），N（1，1，1）为直线l2上的两点，则异面直线l1与l2所成角的大小是（）A．75°B．60°C．45°D．30°11．（5分）已知点F是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABE是钝角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（1，2） C．（1，1+） D．（2，+∞）12．（5分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M是平面A1B1C1D1内一点，且BM∥平面ACD1，则tan∠DMD1的最大值为（）A．B．1 C．2 D．二、填空题（每题5分，共20分）13．（5分）为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如右统计数据表，根据右表可得回归直线方程中=0.76，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为14．（5分）四边形ABCD为矩形，AB=3，BC=1，E、F在线段AB、CD上，EF∥BC且AE=2EB，沿EF将矩形折成一个120°的二面角A﹣EF﹣B，则此时BD的长是．15．（5分）已知过抛物线y2=4x焦点F的直线l与抛物线相交于A，B两点，若|AF|=4，则|BF|=．16．（5分）直线x﹣y﹣=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，函数y=f（x）的图象是该椭圆在第一、三象限两段弧，则不等式：f（x）＜f（﹣x）+x的解集是．三、解答题（第17题10分，18～22题每题12分，共70分）17．（10分）已知命题p：曲线C：（m+2）x2+my2=1表示双曲线，命题q：方程y2=（m2﹣1）x表示的曲线是焦点在x轴的负半轴上的抛物线，若p∨q为真命题，求实数m的取值范围．18．（12分）某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60）…[90，100]后画出如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求第四小组的频率；（2）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；（3）为了了解学生学习情况决定在第1、2、6组中用分层抽样抽取6位学生进行谈话，求第2组应该抽取多少位学生．19．（12分）某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游．（Ⅰ）若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；（Ⅱ）若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率．20．（12分）已知动圆M经过点A（﹣2，0），且与圆B：（x﹣2）2+y2=4相内切（B为圆心）．（1）求动圆的圆心M的轨迹C的方程；（2）过点B且斜率为2的直线与轨迹C交于P，Q两点，求△APQ的周长．21．（12分）四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为边长为2的正方形，PA=2，PB=PD=2，E，F，G，H分别为棱PA，PB，AD，CD的中点．（1）求CD与平面CFG所成角的正弦值；（2）是探究棱PD上是否存在点M，使得平面CFG⊥平面MEH，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．22．（12分）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．2017-2018学年湖南省永州四中、祁阳一中、宁远一中联考高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1．（5分）已知命题p：∀x＞0，总有（x+1）e x＞1，则￢p为（）A．∃x0≤0，使得（x0+1）e≤1 B．∃x0＞0，使得（x0+1）e≤1C．∀x＞0，总有（x+1）e x≤1 D．∀x≤0，总有（x+1）e x≤1【解答】解：根据全称命题的否定为特称命题可知，￢p为∃x0＞0，使得（x0+1）e≤1，故选：B．2．（5分）在命题“若m＞﹣n，则m2＞n2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．0 个【解答】解：命题“若m＞﹣n，则m2＞n2”是假命题，所以它的逆否命题也是假命题；逆命题是“若m2＞n2，则m＞﹣n”，是假命题，所以否命题也是假命题；即它的逆命题、否命题和逆否命题中，假命题有3个．故选：C．3．（5分）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为（）A．3，5 B．5，5 C．3，7 D．5，7【解答】解：由已知中甲组数据的中位数为65，故乙组数据的中位数也为65，即y=5，则乙组数据的平均数为：66，故x=3，故选：A．4．（5分）在区间[0，π]上随机取一个数x，则的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：在区间[0，π]上随机取一个数x，对应事件的集合为区间长度π，而满足的x范围为[0，]∪[，π]，所以所求概率为；故选：C．5．（5分）已知双曲线的离心率，则其渐近线方程为（）A．B．C．D．y=±x【解答】解：根据题意，双曲线的焦点在y轴上，其渐近线方程为y=±x，又由其离心率e=，则有e2===1+=3，解可得：=，则双曲线的渐近线方程为：y=±x；故选：C．6．（5分）不等式x2﹣2x﹣3＜0成立的一个必要不充分条件是（）A．﹣1＜x＜3 B．0＜x＜3 C．﹣2＜x＜3 D．﹣2＜x＜1【解答】解：对于不等式x2﹣2x﹣3＜0，解可得﹣1＜x＜3，即x2﹣2x﹣3＜0的解集为{x|﹣1＜x＜3}，根据题意，分析选项可得，A中，当﹣1＜x＜3时，必有x2﹣2x﹣3＜0成立，反之若有x2﹣2x﹣3＜0成立，则﹣1＜x＜3也成立，即“﹣1＜x＜3”是“x2﹣2x﹣3＜0”成立的充要条件，不合题意；B中，当0＜x＜3时，必有x2﹣2x﹣3＜0成立，反之若有x2﹣2x﹣3＜0成立，则0＜x＜3不一定成立，如x=﹣0.5时，即“﹣1＜x＜3”是“x2﹣2x﹣3＜0”成立的充分不必要条件，不合题意；C中，当﹣2＜x＜3时，x2﹣2x﹣3＜0不一定成立，如x=﹣1.5时，反之若有x2﹣2x﹣3＜0成立，则必有﹣2＜x＜3成立，即“﹣1＜x＜3”是“x2﹣2x﹣3＜0”成立的必要不充分条件，符合题意；D中，当﹣2＜x＜1时，x2﹣2x﹣3＜0不一定成立，如x=﹣1.5时，反之若有x2﹣2x﹣3＜0成立，则﹣2＜x＜3不一定成立，如x=2时，即“﹣1＜x＜3”是“x2﹣2x﹣3＜0”成立的既不充分，又不必要条件，不合题意；故选：C．7．（5分）已知A（1，2，﹣1），B（5，6，7），则直线AB与平面xOz交点的坐标是（）A．（0，1，1）B．（0，1，﹣3）C．（﹣1，0，3）D．（﹣1，0，﹣5）【解答】解：直线AB与平面xoz交点的坐标是M（x，0，z），则=（x﹣1，﹣2，z+1），=（4，4，8）；又与共线，∴=λ；即，解得x=﹣1，z=﹣5；∴点M（﹣1，0，﹣5）．故选：D．8．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．3【解答】解：第一次运行程序时i=1，s=3；第二次运行程序时，i=2，s=4；第三次运行程序时，i=3，s=1；第四次运行程序时，i=4，s=0，此时执行i=i+1后i=5，推出循环输出s=0，故选：B．9．（5分）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件总数n=5×5=25，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），共有m=10个基本事件，∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率p==．故选：D．10．（5分）在空间直角坐标系中，A（2，0，0），B（1，0，1）为直线l1上的点，M（1，0，0），N（1，1，1）为直线l2上的两点，则异面直线l1与l2所成角的大小是（）A．75°B．60°C．45°D．30°【解答】解：∵在空间直角坐标系中，A（2，0，0），B（1，0，1）为直线l1上的点，M（1，0，0），N（1，1，1）为直线l2上的两点，∴=（﹣1，0，1），=（0，1，1），设异面直线l1与l2所成角的大小为θ，则cosθ===，∴θ=60°．∴异面直线l1与l2所成角的大小是60°．故选：B．11．（5分）已知点F是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABE是钝角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（1，2） C．（1，1+） D．（2，+∞）【解答】解：∵双曲线关于x轴对称，且直线AB垂直x轴，∴∠AEF=∠BEF，∵△ABE是钝角三角形，∴∠AEB是钝角，即有|AF|＞|EF|，∵F为左焦点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，∴|AF|=，∵|EF|=a+c，∴＞a+c，即c2﹣ac﹣2a2＞0，由e=，可得e2﹣e﹣2＞0，解得e＞2或e＜﹣1（舍去），则双曲线的离心率的范围是（2，+∞）．故选：D．12．（5分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M是平面A1B1C1D1内一点，且BM∥平面ACD1，则tan∠DMD1的最大值为（）A．B．1 C．2 D．【解答】解：如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，连接A1C1，B1D1，交于点M，则点M满足条件；证明如下，连接BD，交AC于点O，连接BM，OD1，则A1A∥C1C，且A1A=C1C，∴四边形ACC1A1是平行四边形，∴AC∥A1C1，又AC⊂平面ACD1，且A1C1⊄平面ACD1，∴A1C1∥平面ACD1；同理BM∥D1O，BM∥平面ACD1，∴当M在直线A1C1上时，都满足BM∥ACD1；∴tan∠DMD1===是最大值．故选：D．二、填空题（每题5分，共20分）13．（5分）为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如右统计数据表，根据右表可得回归直线方程中=0.76，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为11.8万元【解答】解：=（8.2+8.6+10.0+11.3+11.9）=10，=（6.2+7.5+8.0+8.5+9.8）=8．∴=8﹣0.76×10=0.4．所以回归方程为：=0.76x+0.4，当x=15时，=0.76×15+0.4=11.8．故答案为：11.8万元14．（5分）四边形ABCD为矩形，AB=3，BC=1，E、F在线段AB、CD上，EF∥BC且AE=2EB，沿EF将矩形折成一个120°的二面角A﹣EF﹣B，则此时BD的长是．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，AB=3，BC=1，E、F在线段AB、CD上，EF ∥BC且AE=2EB，沿EF将矩形折成一个120°的二面角A﹣EF﹣B，∴，∴=（）2=+2=1+1+4+2×1×2×cos60°=8，∴BD的长||=2．故答案为：2．15．（5分）已知过抛物线y2=4x焦点F的直线l与抛物线相交于A，B两点，若|AF|=4，则|BF|=．【解答】解：易知F坐标（1，0）准线方程为x=﹣1．设过F点直线方程为y=k（x﹣1）代入抛物线方程，得k2（x﹣1）2=4x．化简后为：k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）则有x1x2=1根据抛物线性质可知，|AF|=x1+1，|BF|=x2+1∴====1，又由|AF|=4，则|BF|=．故答案为：．16．（5分）直线x﹣y﹣=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，函数y=f（x）的图象是该椭圆在第一、三象限两段弧，则不等式：f（x）＜f（﹣x）+x的解集是．【解答】解：由已知中函数y=f（x）的图象是中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的两段弧，可得函数y=f（x）为奇函数∴f（﹣x）=﹣f（x）．∴原不等式可化为f（x）＜．∵直线x﹣y﹣=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，∴∴椭圆方程为与直线y=联立得+=1，∴x2=，x=±．观察图象知：﹣＜x＜0，或＜x＜2，故答案为：（，0）．三、解答题（第17题10分，18～22题每题12分，共70分）17．（10分）已知命题p：曲线C：（m+2）x2+my2=1表示双曲线，命题q：方程y2=（m2﹣1）x表示的曲线是焦点在x轴的负半轴上的抛物线，若p∨q为真命题，求实数m的取值范围．【解答】解：若（m+2）x2+my2=1表示双曲线，则m（m+2）＜0，解得：﹣2＜m＜0，故p：（﹣2，0），若方程y2=（m2﹣1）x表示的曲线是焦点在x轴的负半轴上的抛物线，则m2﹣1＜0，解得：﹣1＜m＜1，故q：（﹣1，1），若p∨q为真命题，则p真或q真，故﹣2＜m＜0或﹣1＜m＜1，故m∈（﹣2，1）．18．（12分）某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60）…[90，100]后画出如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求第四小组的频率；（2）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；（3）为了了解学生学习情况决定在第1、2、6组中用分层抽样抽取6位学生进行谈话，求第2组应该抽取多少位学生．【解答】解：（1）因为各组的频率和等于1，故第四组的频率：f4=1﹣（0.025+0.015×2+0.01+0.005）×10=0.3…（2分）直方图如图所示…．（4分）（2）依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，频率和为（0.015+0.03+0.025+0.005）×10=0.75所以，抽样学生成绩的合格率是75%…（6分）利用组中值估算抽样学生的平均分45•f1+55•f2+65•f3+75•f4+85•f5+95•f6…．（8分）=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71估计这次考试的平均分是71（分）…．（9分）（3）由已知可得：第1、2、6组的频率分别为：0.1，0.15，0.05，用分层抽样抽取6位学生进行谈话，求第2组应该抽取3学生…．（12分）19．（12分）某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游．（Ⅰ）若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；（Ⅱ）若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，从6个国家里任选两个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有：（A1，A2），（A1，A3），（A2，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A3，B1），（A3，B2），（A3，B3），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3），共15个，所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：（A 1，A2），（A1，A3），（A 2，A3），共3个，这2个国家都是亚洲国家的概率P==；（Ⅱ）所2从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的基本事件有：（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A3，B1），（A3，B2），（A3，B3），共9个，包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有：（A1，B2），（A1，B3），共2个．所以所求事件的概率为．20．（12分）已知动圆M经过点A（﹣2，0），且与圆B：（x﹣2）2+y2=4相内切（B为圆心）．（1）求动圆的圆心M的轨迹C的方程；（2）过点B且斜率为2的直线与轨迹C交于P，Q两点，求△APQ的周长．【解答】解：（1）动圆M经过点A（﹣2，0），且与圆B：（x﹣2）2+y2=4相内切（B为圆心），可得|MA|=|MT|，|MB|=|MT|﹣|BT|=|MA|﹣2，|MA|﹣|MB|=2＜|AB|=4，由双曲线的定义可得，M的轨迹为以A，B为焦点的双曲线的右支，且c=2，a=1，b=，即有动圆的圆心M的轨迹C的方程为x2﹣=1（x＞0）；（2）过点B且斜率为2的直线方程为y=2x﹣4，代入双曲线的方程x2﹣=1，可得x2﹣16x+19=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），可得x1+x2=16，x1x2=19，则|PQ|=•=•=30，则△APQ的周长为|AP|+|PB|+|BQ|+|AQ|=2a+2|PB|+2|BQ|+2a=4a+2|PQ|=4+60=64．21．（12分）四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为边长为2的正方形，PA=2，PB=PD=2，E，F，G，H分别为棱PA，PB，AD，CD的中点．（1）求CD与平面CFG所成角的正弦值；（2）是探究棱PD上是否存在点M，使得平面CFG⊥平面MEH，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为边长为2的正方形，PA=2，PB=PD=2，∴PA2+AB2=PB2，PA2+AD2=PD2，∴PA⊥AB，PA⊥AD，∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，∵E，F，G，H分别为棱PA，PB，AD，CD的中点．∴C（2，2，0），D（0，2，0），B（2，0，0），P（0，0，2），F（1，0，1），G（0，1，0），=（﹣2，0，0），=（﹣1，﹣2，1），=（﹣2，﹣1，0），设平面CFG的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣2，﹣3），设CD与平面CFG所成角为θ，则sinθ=|cos＜＞|===．∴CD与平面CFG所成角的正弦值为．（2）假设棱PD上是否存在点M（a，b，c），且，（0≤λ≤1），使得平面CFG⊥平面MEH，则（a，b，c﹣2）=（0，2λ，﹣2λ），∴a=0，b=2λ，c=2﹣2λ，即M（0，2λ，2﹣2λ），E（0，0，1），H（1，2，0），=（1，2，﹣1），=（0，2λ，1﹣2λ），设平面MEH的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（，1，），平面CFG的法向量=（1，﹣2，﹣3），∵平面CFG⊥平面MEH，∴=﹣2﹣=0，解得∈[0，1]．∴棱PD上存在点M，使得平面CFG⊥平面MEH，此时=．22．（12分）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．【解答】（Ⅰ）证明：连接RF，PF，由AP=AF，BQ=BF及AP∥BQ，得∠AFP+∠BFQ=90°，∴∠PFQ=90°，∵R是PQ的中点，∴RF=RP=RQ，∴△PAR≌△FAR，∴∠PAR=∠FAR，∠PRA=∠FRA，∵∠BQF+∠BFQ=180°﹣∠QBF=∠PAF=2∠PAR，∴∠FQB=∠PAR，∴∠PRA=∠PQF，∴AR∥FQ．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），F（，0），准线为x=﹣，S△PQF=|PQ|=|y1﹣y2|，设直线AB与x轴交点为N，∴S=|FN||y1﹣y2|，△ABF∵△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，∴2|FN|=1，∴x N=1，即N（1，0）．设AB中点为M（x，y），由得=2（x1﹣x2），又=，∴=，即y2=x﹣1．∴AB中点轨迹方程为y2=x﹣1．。