《线段的比较与作法》典型例题

《线段的比较与作法》典型例题
例1 如图，图中有几条射线？能用字母表示出来的有几条？将它们分别表示出来。

分析：直线上的一点将直线分成两条射线，因此以A为端点的射线有两条，同样道理以B、C为端点的射线也分别有两条．因此共有6条射线，能用图中字母表示出来的有4条．
解：图中共有6条射线，能用图中字母表示出来的有4条，分别为：射线AB、射线BC、射线BA、射线CA．
说明：要抓住直线上一点将直线分成两条射线，数射线时不能重复或遗漏，抓住端点和方向，表示射线时，要将端点的字母写在前面．
例2 如图所示，你知道图中共有几条直线、几条射线？（不添加字母，直接可以读出．）几条线段？它们分别是什么？
解：图中有2条直线，分别是直线BC、直线DC．图中有6条可以直接读出的射线，分别是射线CD、DC、CB、BC、AB、DB．
图中有6条线段，分别是线段AD、BD、AB、CA、CD、CB．
说明：（1）直线是最基本、简单、抽象的几何图形．直线到底是什么形状呢？可以借助“孙悟空的金箍棒”想象一下，直线没有端点，可以向两方无限延伸；“手电筒发出的光”给我们以射线的形象，射线有一个端点，它可以向一方无限延伸；“一枝铅笔”可以抽象成一条线段，线段有两个端点，它不可延伸，直线和射线都没有长度，线段有长度；（2）直线有两种表示方法（如图1），可以先在直线上任取两个点A、B，这条直线可记作直线AB（或直线BA），也可以用一个小写字母表示，如直线l；射线的两种表示方法分别为射线AB、射线l（如图
2），要注意射线AB与射线BA表示不同的射线；线段的两种表示方法分别为线段AB（或线段BA）、线段a（如图3）；（3）数直线时应注意直线BC与直线CB 是同一条直线；数射线时要注意射线的两个特征：端点与方向，所以射线AD与射线AB是相同的射线，射线AB与射线DB是不同的射线，因为它们的端点不同，射线DA与射线DB也是不同的射线，因为它们的方向不同；数线段时注意寻求规律，做到不重不漏．如线段CA、CD、CB属不同直线上的三条线段，而线段AD、BD、AB属同一条直线上的三条线段，同一条直线上的线段的数法有两种：①以始点计：AD、AB、DB；②以组成计：单个线段：AB、BC；两条线段组成的：AC．
图1 图2 图3 另外在同一条直线上的线段总条数s与直线上点的个数n之间有如下关系：
2)1
(
)1
(
)2
(
3
2
1-
=
-
+
-
+
+
+
+
=
n n
n
n
S ．
例3如图，以点A、B、C、D、E、F为端点的线段共有几条？分别把它们写出来．
分析：在一个三角形中，由于交点众多，为做到不遗漏，不重复，可以按字母的先后顺序找出图中的线段．
解：图中共有14条线段，分别为线段AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、BF、CD、CE、CF、DE、DF、EF．
说明：当点众多时，可以以字母的顺序寻找线段，可以避免出错．
例4如图，比较线段AB与AC、AD与AE，AE与AC的大小．
分析：比较线段的长度可用度量法和重合法．
解法1：用度量法，用直尺测量各线段的长度．
比较得：AB ＞AC ，AD ＜AE ，AE ＝AC ．
解法2：用叠合法，可用圆规截取比较得：
AB ＞AC 、AD ＜AE ，AE ＝AC ．
说明：比较线段的大小，就是用度量法和叠合法，但是可以根据题目的的特点选择合适的方法．
例5 如图，已知点C 、D 在线段AB 上，线段AC =10 cm ，BC =4 cm ，取线段AC 、BC 的中点D 、E ．（1）请你计算线段DE 的长是多少？（2）观察DE 的大小与线段AB 的关系，你能用一句简洁的话将这种关系表述出来吗？（3）若点C 为直线AB 上的一点，其他条件不变，线段DE 的长会改变吗？如果改变，请你求出新的结果．
解：（1）∵AC =10，BC =4，
∴AB =AC +BC =14
又∵点D 是AC 中点，点E 是BC 中点， ∴BC EC AC DC 2
1,21==
， ∴72
1)(212121==+=+=+=AB BC AC BC AC CE DC DE （cm ）． （2）由（1）知AB DE 21=，即：线段上任一点把线段分成两部分，这两部分中点间的距离等于原线段长度的一半．
（3）DE 的长会改变．
可分两种情形考虑：
当点C 在线段AB 上时72
1==AB DE （cm ）． 当点C 在线段AB 外时（如图），
3)410(2
1)(212121=-=-=-=-=BC AC BC AC CE DC DE （cm ）． ∴DE 的长为7 cm 或3 cm ．
说明：（1）本题先通过特殊的数值求出线段DE 的长，在求解过程中通过观察、猜测，发现了一般性的结论，我们称之为规律．在学知识或是解题时，不要局限于问题表面，而是要多思考、多总结，从而在更深层次上认识所学内容．（2）此题通过C 点的位置由特殊到一般，由在线段上运动到在直线上运动的变化过程，只要抓住不变量，即CE DC DE ±=，就可以以不变应万变．另外随着条件的逐步开放，结论也发生了变化，有时由于C 点的位置考虑不全面，导致丢解．如果遇到没给出图形的问题，解答时一定要先画图，并全面考虑到所有可能情形．（3）利用中点的性质进行线段长度的计算是解题的关键，若C 是AB 的中点，则它的表达式为AC AB 2=或AB AC BC AB 21,2=
=或BC AC AB BC ==,2
1，不同情况下选择不同的表达式，可使书写简洁．
例6 已知AB ＝16cm ，C 是AB 上一点，且AC ＝10cm ，D 为AC 的中点，E 是BC 的中点，求线段DE 的长．
分析：根据线段中点的特点，BD CE AC DC 21,21==
，而CE DC DE +=，故可根据题设解出DE 的长．
解：因为D 是AC 的中点，而E 是BC 的中点，因此有：.21,21BC CE AC DC ==而AB BC AC CE DC DE =++=,． 即).cm (8162
121)(212121=⨯==+=+=+=AB BC AC BC AC CE DC DE 说明：充分利用线段中点的特点，将所求线段转移到线段长度上去．
例7 （1）过一个已知点可以画多少条直线？
（2）过两个已知点可以画多少条直线？
（3）过平面上三点A 、B 、C 中的任意两点可以画多少条直线？
（4）试猜想过平面上四点A 、B 、C 、D 中的任意两点可以画多少条直线？
解：（1）过一点可以画无数条直线；（2）过两点可以画一条直线；（3）当A、B、C三点不共线时可以画三条直线，当A、B、C三点共线时只能画一条直线；（4）当A、B、C、D四个点在同一条直线上时，只能画一条直线（如图1）；当A、B、C、D四个点中有三个点在同一条直线上时，可以画四条直线（如图2）；当A、B、C、D四个点中任意三点都不在同一条直线上时，可以画六条直线（如图3）．
图1 图2 图3 说明：题（1）（3）和（4）中没有明确平面上三点、四点是否在一条直线上，解答时要分各种情况，即分类讨论；（2）由此题可知，过平面上三个点中的任意两点最多可以画三条直线，过平面上四个点中的任意两点最多可以画六条直线，如果过平面上n个点中的任意两点，最多可以画多少条直线呢？
分析：根据连接两点的线中，线段最短，只需在A、B间作一条线段、与l 的交点，便是它到A、B两点距离和最小的点．
例8 如图，A、B是两个车站，若要在公路l上修建一个加油站，如何使它到车站A、B的离和最小，请在公路l上标出点P的位置，并说明理由．
解：连接A、B作线段，与l的交点P为所求建加油站的点．因为两点之间，线段最短．
A
B
l
l
说明：利用线段公理，两点之间，线段最短．。