弯曲正应力
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建筑结构识图弯曲正应力
在中和轴上剪应力(最大、最小）？
max
3Q 2bh
1.5
Q A
C B A
D
一矩形截面钢筋混凝土梁如图所示，A、B、C、D剪应力从 小到大如何排列？
5/20/2019
中和轴
受弯构件截面有两个内力—弯矩和剪力； 上下边缘主要承担（弯矩/剪力)； 中和轴附近主要承担（弯矩/剪力）；
钢结构：“工”字型截面梁
5/20/2019
课后作业
1. 一简支梁受力如图所示，已知梁截面尺寸为 200mm×400mm，求梁的最大正应力。
本节小结
• 1.正截面受弯的实验结果 • 2.梁横截面正应力计算公式 • 3.梁横截面正应力计算公式应用
本节内容完毕！ 谢谢！
I Z 为截面惯性矩，对矩形截面梁为
bh3 12
y 为截面某点到中图所示，已知梁截面尺寸为
200mm×400mm ， 3材60料Mp许a 用正应力
，找出该梁的
危险点，校核梁的安全性。
，
（1）绘出梁的弯矩图，并根据弯矩图找出最大弯矩。 M max 7.5kN m
仅仅知道内力不能解决强度问题 必须研究梁横截面上的内力分布规律
实验
中性层
拉/压? 中性层把变形后的梁沿高度分 成两个不同的区域——拉伸区和 压缩区
拉/压? 离中性轴越远，拉力或压力就 越大/小?
拉力和压力最终形成弯矩
纯弯曲时梁横截面上任意一点的正应力计算公式
M y
IZ
y
中和轴
。
M为截面弯矩
模块一 建筑力学
模块一 建筑力学
1 建筑力学基础知识 2 轴向拉伸和压缩 3 弯曲内力与弯曲应力 4 受扭构件
2
工程力学第17讲 弯曲应力：正应力 惯性矩(完整)
第 11 章 弯曲应力
本章主要研究：
单辉祖:工程力学
对称弯曲正应力 对称弯曲切应力 梁的强度分析与设计 非对称弯曲应力
1
§1 §2 §3 §4 §5 §6 §7
引言 对称弯曲正应力 惯性矩与平行轴定理 对称弯曲切应力 梁的强度条件 梁的合理强度设计 双对称截面梁的非对称弯曲
单辉祖:工程力学
Ai yCi AyC
yC
i 1
n
A y
i 1
n
i Ci
21
A
A1 yC 1 A2 yCb 2 2
bd db
0.045 m
3. 惯性矩计算
I z I z1 I z 2
2
bd 3 d 3.0210 -6 m4 I z1 bd yC 12 2
d b3 b I z2 db d yC 5.8210 -6 m4 12 2
I z I z 1 I z 2 8.8410 6 m 4
2
4. 最大弯曲正应力
M B yC 30.5 MPa Iz M ( b d yC ) s c,max B 64.5 MPa Iz
dA 0 (b) F x 0 , s A M z 0, A ysdA M (c)
10
物理方面:
s ( y ) E ( y )
单辉祖:工程力学
s E
y
(a)
sdA 0 A
(b)
A ysdA M
yC y dA A 0 A
(c)
(a)(b)
A ydA 0
2
§1 引 言
弯曲应力与对称弯曲 本章内容
本章主要研究：
单辉祖:工程力学
对称弯曲正应力 对称弯曲切应力 梁的强度分析与设计 非对称弯曲应力
1
§1 §2 §3 §4 §5 §6 §7
引言 对称弯曲正应力 惯性矩与平行轴定理 对称弯曲切应力 梁的强度条件 梁的合理强度设计 双对称截面梁的非对称弯曲
单辉祖:工程力学
Ai yCi AyC
yC
i 1
n
A y
i 1
n
i Ci
21
A
A1 yC 1 A2 yCb 2 2
bd db
0.045 m
3. 惯性矩计算
I z I z1 I z 2
2
bd 3 d 3.0210 -6 m4 I z1 bd yC 12 2
d b3 b I z2 db d yC 5.8210 -6 m4 12 2
I z I z 1 I z 2 8.8410 6 m 4
2
4. 最大弯曲正应力
M B yC 30.5 MPa Iz M ( b d yC ) s c,max B 64.5 MPa Iz
dA 0 (b) F x 0 , s A M z 0, A ysdA M (c)
10
物理方面:
s ( y ) E ( y )
单辉祖:工程力学
s E
y
(a)
sdA 0 A
(b)
A ysdA M
yC y dA A 0 A
(c)
(a)(b)
A ydA 0
2
§1 引 言
弯曲应力与对称弯曲 本章内容
第6章 弯曲应力
称为抗弯截面系数
只有一根对称轴的横截面形状: yt，max yc，max O y
O y
z
t,max
My t ,max Iz
c,max
Myc,max Iz
z
简单截面的弯曲截面系数 b h ⑴ 矩形截面
z
bh3 Iz 12 b3h Iy 12
⑵ 圆形截面
y d
Iz bh2 Wz h/2 6 Iy b2h Wy 源自/2 63()
Ⅱ .纯弯曲理论的推广 对于细长梁（ l/h > 5 ），纯弯曲时的正应力计算 公式用于横力弯曲情况，其结果仍足够精确。 F
l
M ( x) y Iz
Fl
4
max
M ( x) Wz
解：
由弯曲曲率公式 可得：
M EIz
M EI z
1
代入弯曲正应力公式：
M EIZ Ed 533.3MPa WZ WZ 2
3.正应力的正负号与弯矩 及点的坐标 y的正负号有关。实际计算中，可根 据截面上弯矩的方向，直接判断中性 轴的哪一侧产生拉应力，哪一侧产生 压应力，而不必计及M和y的正负。
三、最大弯曲正应力 有两根对称轴的横截面形状: b h
z
y y
z
max
M M Mymax I z Wz Iz y max
基本假设2:
梁内各纵向纤维无挤压 假设，纵向纤维间无正应 力。
中性层与中性轴
纵向对称面 中性层 Z 中性轴
中性层 根据变形的连续性 可知，梁弯曲时从其凹 入一侧的纵向线缩短区 到其凸出一侧的纵向线 伸长区，中间必有一层 纵向无长度改变的过渡 层，称为中性层 。 中性轴: 中性层与横截面的交 线就是中性轴。
弯矩M正应力σ
常用截面的抗弯截面系数分别为
bh3
b
z
Wz
Iz ymax
12 h
bh2 6
y
2
z
d
y
Wz
Iz ymax
d 4 / 64
d/2
d 3
32
d
z
a
d
D
D
y
Wz
Iz ymax
D3
32
(1a 4)
[例7.1] 图示悬臂梁，横截面为矩形。梁自由端B受 集中荷载F=3.5kN作用，试计算梁的最大弯曲正应力 和危险截面上K点的弯曲正应力。
s max
M max WZ
WZ
IZ ymax
IZ h
2
特点：最大拉应力=最大压应力
s max
s max
②T形截面梁的正应力
s max
M W1
W1
IZ y1
s max
M W2
W2
IZ y2
特点： 最大拉应力≠最大压应力
s max
s max
7.2 梁的弯曲正应力及强度条件
σdA x
σt,max y
横截面上任一点处的正应力与该点到中性轴的距离成正比
正应力的大小沿截面高度呈线性变化，截面上下边缘处的 正应力绝对值最大，中性轴的正应力为零。
2、纯弯曲梁正应力
（二）正应力公式
变形几何关系 y
物理关系 s E
静力学关系
1 M
EIZ
s E y
s My
在拉区s为正,压区s为负
12第十二讲(弯曲正应力)
材料力学教案
M z y d A
A
第十二讲：弯曲正应力计算
E
r
A
y dA
2
EI z
r
M
(c)
由式(c)可知，直梁纯弯曲时中性层的曲率为
M r EI z 上式中的EIz称为梁的弯曲刚度。显然，由于纯弯曲时，
梁横截面上的弯矩M 不随截面位置变化。故对于等截面的
1
直梁，包含在中性层内的那根轴线将弯成圆弧。
3、纵向线应变在横截面范围内的变化规律
图c为由相距d x的两横截面取出的梁段在梁弯曲后的情
况，两个原来平行的横截面绕中性轴相对转动了角d。梁的 横截面上距中性轴 z为任意距离 y 处的纵向线应变由图c可知 为
B1B B1 B y d AB1 O1O2 dx
令中性层的曲率半径为r(如图c)，则根 1 d 据曲率的定义 有 r dx
材料力学教案
第十二讲：弯曲正应力计算
根据表面变形情况，并设想梁的侧面上的横向线mm和nn是
梁的横截面与侧表面的交线（由表及里），可作出如下推论
(假设)：
平面假设
梁在纯弯曲时，其原来的横截面仍保持为平面，
只是绕垂直于弯曲平面(纵向平面)的某一轴转动，转动后 的横截面与梁弯曲后的轴线保持正交。 此假设已为弹性力学的理论分析结果所证实。 三峡大学 工程力学系
将 E 代入，即得弯曲正应力计算公式：
r
y
My Iz
三峡大学 工程力学系
材料力学教案
第十二讲：弯曲正应力计算
二. 纯弯曲理论的推广－横力弯曲中正应力的计算
工程中实际的梁大多发生横力弯曲，此时，对于梁在
纯弯曲时所作的假设不再成立。
材料力学：弯曲正应力
Z
dA
M Z A y (dA)
y
FN dA
A
0
dA
1 dA
M y A z (dA) 0
M
Z
M Z A y (dA) M
y
O
ห้องสมุดไป่ตู้
x
dA
dA Z
因为该梁段是纯弯曲，因此 FN 和 My 均等于零， 而 Mz 就是 上横截面的弯矩 M 。
y
E E
变弯后的曲率半径。
在横截面上取距中性轴为 y 处 的纵向线 AB。 作 O2B1 与 O1A 平行。 O2B1 的长度为 y 。
O1
dx
y
O2
d
y
A
B
B1
d
AB1 为变形前 AB 的长度 B1B 为 AB1 的伸长量 AB1 为 A 点的纵向线应变。
l AB1 B1 B AB1 O1 O2 l
b m n
b
梁在加力前先在其侧面上画上一系列的横向线（如 mm ，nn 等） 以及横向线相垂直的一系列的纵向线 （如 aa ，bb 等） 。
m a
n a
m
m
b m n
b
梁变形后观察到的现象 （1）变形前相互平行的纵向直线（aa ，bb 等），变形后均为 圆弧线（a’a’ ，b’b’等 )，且靠上部的缩短靠下部的伸长。
=E
y
E
y E E
上式为横截面上 正应力 变化规律的表达式。
y E E
上式说明，横截面上任一点处
的正应力与该点到中性轴的距
Z
O
离 y 成正比 ； 在距中性轴为 y 的同一横线上
dA
M Z A y (dA)
y
FN dA
A
0
dA
1 dA
M y A z (dA) 0
M
Z
M Z A y (dA) M
y
O
ห้องสมุดไป่ตู้
x
dA
dA Z
因为该梁段是纯弯曲，因此 FN 和 My 均等于零， 而 Mz 就是 上横截面的弯矩 M 。
y
E E
变弯后的曲率半径。
在横截面上取距中性轴为 y 处 的纵向线 AB。 作 O2B1 与 O1A 平行。 O2B1 的长度为 y 。
O1
dx
y
O2
d
y
A
B
B1
d
AB1 为变形前 AB 的长度 B1B 为 AB1 的伸长量 AB1 为 A 点的纵向线应变。
l AB1 B1 B AB1 O1 O2 l
b m n
b
梁在加力前先在其侧面上画上一系列的横向线（如 mm ，nn 等） 以及横向线相垂直的一系列的纵向线 （如 aa ，bb 等） 。
m a
n a
m
m
b m n
b
梁变形后观察到的现象 （1）变形前相互平行的纵向直线（aa ，bb 等），变形后均为 圆弧线（a’a’ ，b’b’等 )，且靠上部的缩短靠下部的伸长。
=E
y
E
y E E
上式为横截面上 正应力 变化规律的表达式。
y E E
上式说明，横截面上任一点处
的正应力与该点到中性轴的距
Z
O
离 y 成正比 ； 在距中性轴为 y 的同一横线上
材料力学第五章 弯曲应力
x
F F d F 0 N 2 N 1 S
将FN2、FN1和dFS′的表达式带入上式，可得
* M M d M * S S b d x 0 z z
I z I z
简化后可得
dM S z* dx I z b
dM F S ，代入上式得 由公式（4－2）， dx
* 式中 S z
A1
y1dA ，是横截面距中性轴为 y 的横线 pq 以下的面积对中性轴的静矩。同理，
可以求得左侧面 rn 上的内力系的合力 FN 1 为
M * FN 1 S z Iz
在顶面rp上，与顶面相切的内力系的合力是
d F b d x S
根据水平方向的静平衡方程
F 0 ，可得
综上所述，对于各横截面剪力相同的梁和剪力不相同的
细长梁（l>5h），在纯弯曲情况下推导的弯曲正应力公式 （5－2）仍然适用。
例5－1
图5－10(a)所示悬臂梁，受集中力F与集中力
偶Me作用，其中F＝5kN，Me＝7.5kN· m，试求梁上B点左邻 面1－1上的最大弯曲正应力、该截面K点处正应力及全梁的 最大弯曲正应力。
第五章 弯曲应力
5.1 弯曲正应力 5.2 弯曲切应力简介 5.3 弯曲强度条件及其应用 5.4 提高梁弯曲强度的主要措施
5.1 弯曲正应力
上一章研究表明，一般情况下，梁横截面上同时存在
剪力FS和弯矩M。由于只有切向微内力τ dA才可能构成剪力， 也只有法向微内力σdA才可能构成弯矩，如图5－1（a)所示。 因此，在梁的横截面上将同时存在正应力σ和切应力τ（见图 5－1(b)）。梁弯曲时横截面上的正应力与切应力分别称为 弯曲正应力与弯曲切应力。
F F d F 0 N 2 N 1 S
将FN2、FN1和dFS′的表达式带入上式，可得
* M M d M * S S b d x 0 z z
I z I z
简化后可得
dM S z* dx I z b
dM F S ，代入上式得 由公式（4－2）， dx
* 式中 S z
A1
y1dA ，是横截面距中性轴为 y 的横线 pq 以下的面积对中性轴的静矩。同理，
可以求得左侧面 rn 上的内力系的合力 FN 1 为
M * FN 1 S z Iz
在顶面rp上，与顶面相切的内力系的合力是
d F b d x S
根据水平方向的静平衡方程
F 0 ，可得
综上所述，对于各横截面剪力相同的梁和剪力不相同的
细长梁（l>5h），在纯弯曲情况下推导的弯曲正应力公式 （5－2）仍然适用。
例5－1
图5－10(a)所示悬臂梁，受集中力F与集中力
偶Me作用，其中F＝5kN，Me＝7.5kN· m，试求梁上B点左邻 面1－1上的最大弯曲正应力、该截面K点处正应力及全梁的 最大弯曲正应力。
第五章 弯曲应力
5.1 弯曲正应力 5.2 弯曲切应力简介 5.3 弯曲强度条件及其应用 5.4 提高梁弯曲强度的主要措施
5.1 弯曲正应力
上一章研究表明，一般情况下，梁横截面上同时存在
剪力FS和弯矩M。由于只有切向微内力τ dA才可能构成剪力， 也只有法向微内力σdA才可能构成弯矩，如图5－1（a)所示。 因此，在梁的横截面上将同时存在正应力σ和切应力τ（见图 5－1(b)）。梁弯曲时横截面上的正应力与切应力分别称为 弯曲正应力与弯曲切应力。
材料力学--弯曲正应力及其强度条件
C
E
15 106 200 109
7.5 105
q 40 kN / m
A
C
1.5 m
1.5 m
B 300 200
例21：图示木梁，已知下边缘纵向总伸
长为 10 mm，E=10GPa，求载荷P的大小。
P
300
A
C
B 200
2m
2m
解： AC
l/2
(x) dx
0
l/2 (x) d x l/2 M ( x) d x
1m
例20：简支梁受均布荷载，在其Ｃ截面
的下边缘贴一应变片，已知材料的 E=200GPa，试问该应变片所测得的应变 值应为多大？
q 40 kN / m
A
C
1.5 m
1.5 m
B 300 200
解：C截面的弯矩
ql2 MC 8 45kN m
C截面下边缘的应力 C
MC Wz
15MPa
应变值
P
y1
y2
Cz
解：
max
M max y1 Iz
[ ]
(1)
max
M max y2 Iz
[ ]
(2)
(1) 得： y1 [ ]
(2)
y2 [ ]
例16：图示外伸梁，受均布载荷作用，
材料的许用应力［σ］=160 MPa，校核 该梁的强度。
10 kN / m
2m
4m
200 100
10 kN / m
变形几何关系 从三方面考虑： 物理关系
静力学关系
1、变形几何关系
m
mn
m
aa
bb
mn
m
m
观察到以下变形现象: (1)aa、bb弯成弧线，aa缩短，bb伸长 (2)mm、nn变形后仍保持为直线，且仍与变为
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z y
Iz d Wz d / 2 32 3 Iz d 4 Wz (1 ) d / 2 32
3
梁的弯曲正应力强度条件
等直梁的最大正应力通常发生在距中性轴 最远的各点处(梁的上下边缘处) 。 通常可将横截面上最大正应力所在各点处 的应力状态看作单轴应力状态 。 梁的正应力强度条件为：
t,max 28.8MPa [ t ] c,max 46.2 MPa [ c]
所以梁是安全的。
M图
4 kN•m
120
在截面C上, 有可能发生比截 面B 还要大的拉应力。
y1
C y2
z
20
习题分析 5-9
F F F
B
FA = FB = 112.5 kN
梁的最大弯矩在中 间截面
A
2.5 m 2.5 m 2.5 m 2.5 m
375kN•m
281kN•m
M
m ax
375 kN m
梁所必需的抗弯截面系数为
M max 375 10 3 6 3 Wz 2460 10 m 6 [ ] 152 10
t, max c, max
且两者有时并不发生在同一横截面上，要求分 别不超过材料的许用拉应力和 许用压应力。
t ,m ax [ t ], c, m ax [ c ]
例1 试计算图示简支矩形截面木梁平放与竖放时 的最大正应力，并加以比较。
q 2 kN m
200 100
80
t,max
2500 0.088 763 10 8 Iz 28.8 MPa [ t ] M C y2
2500 0.052 763 10 8 Iz 17.0 MPa [ c] M C y1
FA A
y
20
c,max
F1＝9 kN FBF2＝4 kN B D C 1m 1m 1m 2.5 kN•m
没有超过5%, 故可选用56b号工字钢 。
例4 T形截面铸铁梁的载荷和截面尺寸如图所示。 铸铁的抗拉许用应力为[t]＝30 MPa, 抗压许用 应力为[c]＝160 MPa。已知截面对形心轴z的Iz ＝763 cm4, y1＝52 mm。校核梁的强度。
80
y
20
120
y2
F1＝9 kN F2＝4 kN B A D C 1m 1m 1m
5.2 梁的弯曲正应力强度条件 最大正应力的分析********* 1 当中性轴为横截面的对称轴时 以 ymax表示最大应力点到中性 轴的距离, 则横截面上的最大 正应力为： M y
C ymax
z
ymax
y
max
max
max
Iz
c ,max
M
矩形截面梁横截面上正应力 分布如图所示
c ,max t ,max max
5.1.2 横力弯曲时横截面上的正应力
一般梁的横截面上既有弯矩又有剪力。 梁在此种情况下的弯曲称为横力弯曲 。
横力弯曲时, 梁的横截面上一般既有正应 力，又有切应力 。
纯弯曲时的平面假设和各纵向纤维层之 间互不挤压的假设将不再成立 。
5.1.2 横力弯曲时横截面上的正应力
对于跨度与截面高度之比l/h大于5的 横力弯曲梁，横截面上的最大正应力按 纯弯曲正应力公式计算，误差不超过1%， 所得结果略偏低。但完全可以满足工程 上对精度的要求。梁的跨高比l/h越大， 误差就越小。
M图
4 kN•m
[t]＝30MPa, [c]＝160MPa, Iz ＝ 763 cm4, y1＝52 mm。
80 y1 20 C z 120 y 20
t,max
4000 0.052 763 10 8 Iz FA 27.2 MPa [ t ] M B y1
A
y 2 120 20 52 88 m m
由型钢表查得56b号工字钢的
W z 2450 cm
W z 2460 10
3
F A
F
F B
此值小于所必需的
6
m
3
2.5 m 2.5 m 2.5 m 2.5 m
但不到1%, 采用此工字 钢时最大正应力
375kN•m
281kN•m
M max 153.1 MPa [ ] 152MPa max Wz
m ax [ ]
最大正应力的分析
2 对于中性轴不是横截面对称轴的情况
压边
yc ,max
应分别以横截面上受拉 和受压部分距中性轴最 远 的 距 离 yt,max 和 yc,max 直 接代入公式
z
My Iz
求得相应的最大正应力。
yt ,max
拉 边y此时，最大正应力源自不一定发生在最大弯矩所 在的截面上。
t, max
max
M max ymax Iz
C
ymax
z
Iz 令 Wz ymax
得
ymax y
max
M max Wz
W称为抗弯截面系数，是截面的几何性质之一, 其值与横截面的形状和尺寸有关，单位是m3。
b
z
矩形截面的抗弯截面系数
h
y
d
Iz bh Wz h/2 6
2
圆(环)形截面的抗弯截面系数
(2) 点a的正应力 点a到中性轴的距离为 560 ya 21 259 mm 2 所以点a的正应力为
M max ya a Iz 375 10 259 10 8 65600 10 148.1 MPa
3 3
例3 图示梁由工字钢制成。许用弯曲正应力[] ＝152 MPa, F＝75 kN，试选择工字钢的型号 。 解: 求约束反力, 作弯矩图
c,max
4000 0.088 8 763 10 Iz 46.2 MPa [ c ] M B y2
F1＝9 kN FBF2＝4 kN B D C 1m 1m 1m
2.5 kN•m
M图 4 kN•m
y2
B截面
[t]＝30MPa, [c]＝160MPa, Iz＝763 cm4, y1＝52 mm。
y1
C
z
20
80 y1 20 C y2 z 120
解：求约束反力
FA＝2.5 kN, FB＝10.5 kN
作梁的弯矩图, 如下图。
最大正弯矩在截面C上
MC＝2.5 kN· m
FA A
F1＝9 kN FBF2＝4 kN B D C 1m 1m 1m 2.5 kN•m
y
20
最大负弯矩在截面B上 MB＝4 kN· m
最大正应力的分析
t ,max
M 1 yt, max Iz
yc ,max
压边
c, max
Iz
yt, max
c,max
M 2 yc, max
z
拉边
y
t, max
梁的正应力强度条件
对于铸铁等脆性材料制成的梁，由于材料的抗 拉强度与抗压强度不同
[ t ] [ c ]
且梁横截面的中性轴一般也不是对称轴，所 以梁的
F
A
5m
C
B
10 m
解: 分析梁的受力, 作弯矩图。 C 截面为危险截面。 最大弯矩为
FA A
F= 150 kN
F
FB
B
M max 375 kN m
查型钢表，56a 工字钢
5m
C
10 m
I z 65600 cm
W z 2340 cm
max
3
4
(1) 梁的最大正应力
M max 375 10 3 160.3 MPa 6 Wz 2340 10
4m
200
M
ql 8
2
100
竖放
max
x
l/2
横放 max
M max WZ
qL2 82 hb 6
M max WZ
12M Pa
qL2 82 bh 6
6M Pa
例2 简支梁由56a工字钢制成, 其横截面见图, F= 150 kN。求: (1) 梁上的最大正应力max; (2) 同一截面上翼缘与腹板交界处点a的正应力。