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【高考调研】2017届高考理科数学一轮课时作业78套(32—37)

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【真题】2017年高考全国1卷数学理科试题含答案(Word版)

【真题】2017年高考全国1卷数学理科试题含答案(Word版)

2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国I 卷）理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合{}{}131x A x x B x =<=<，，则（） A ．{}0=<A B x x B ．A B =R C ．{}1=>A B x xD ．A B =∅I【答案】A【解析】{}1A x x =<，{}{}310xB x x x =<=<∴{}0A B x x =<，{}1AB x x =<，选A2. 如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分位于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A ．14B ．π8C ．12D ．π4【答案】B【解析】设正方形边长为2，则圆半径为1则正方形的面积为224⨯=，圆的面积为2π1π⨯=，图中黑色部分的概率为π2则此点取自黑色部分的概率为ππ248=故选B3. 设有下面四个命题（）1p ：若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R ；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；3p ：若复数12z z ，满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R ．A ．13p p ，B ．14p p ，C ．23p p ，D ．24p p ，【答案】B【解析】1:p 设z a bi =+，则2211a bi z a bi a b -==∈++R ，得到0b =，所以z ∈R .故1P 正确； 2:p 若z =-21，满足2z ∈R ，而z i =，不满足2z ∈R ，故2p 不正确；3:p 若1z 1=，2z 2=，则12z z 2=，满足12z z ∈R ，而它们实部不相等，不是共轭复数，故3p 不正确；4:p 实数没有虚部，所以它的共轭复数是它本身，也属于实数，故4p 正确；4. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若4562448a a S +==，，则{}n a 的公差为（） A ．1 B ．2C ．4D ．8【答案】C【解析】45113424a a a d a d +=+++=61656482S a d ⨯=+= 联立求得11272461548a d a d +=⎧⎪⎨+=⎪⎩①②3⨯-①②得()211524-=d624d =4d =∴ 选C5. 函数()f x 在()-∞+∞，单调递减，且为奇函数．若()11f =-，则满足()121f x --≤≤的x 的取值范围是（） A ．[]22-， B ．[]11-， C ．[]04， D ．[]13，【答案】D【解析】因为()f x 为奇函数，所以()()111f f -=-=，于是()121f x --≤≤等价于()()()121f f x f --≤≤| 又()f x 在()-∞+∞，单调递减121x ∴--≤≤3x ∴1≤≤ 故选D6.()62111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为 A ．15 B ．20 C ．30 D ．35【答案】C.【解析】()()()66622111+1111x x x x x ⎛⎫+=⋅++⋅+ ⎪⎝⎭对()61x +的2x 项系数为2665C 152⨯== 对()6211x x⋅+的2x 项系数为46C =15， ∴2x 的系数为151530+= 故选C7. 某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形、该多面体的各个面中有若干是梯形，这些梯形的面积之和为A ．10B ．12C ．14D ．16【答案】B【解析】由三视图可画出立体图该立体图平面内只有两个相同的梯形的面 ()24226S =+⨯÷=梯6212S =⨯=全梯 故选B8. 右面程序框图是为了求出满足321000n n ->的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入A ．1000A >和1n n =+B ．1000A >和2n n =+C ．1000A ≤和1n n =+D ．1000A ≤和2n n =+ 【答案】D【答案】因为要求A 大于1000时输出，且框图中在“否”时输出∴“”中不能输入A 1000> 排除A 、B又要求n 为偶数，且n 初始值为0， “”中n 依次加2可保证其为偶 故选D9. 已知曲线1:cos C y x =，22π:sin 23C y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下面结论正确的是（）A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CB ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2CC ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CD ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2C 【答案】D【解析】1:cos C y x =，22π:sin 23⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C y x首先曲线1C 、2C 统一为一三角函数名，可将1:cos C y x =用诱导公式处理．πππcos cos sin 222⎛⎫⎛⎫==+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x x ．横坐标变换需将1=ω变成2=ω，即112πππsin sin 2sin 2224⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+−−−−−−−−−→=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C 上各坐短它原y x y x x 点横标缩来 2ππsin 2sin 233⎛⎫⎛⎫−−→=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x ．注意ω的系数，在右平移需将2=ω提到括号外面，这时π4+x 平移至π3+x ， 根据“左加右减”原则，“π4+x ”到“π3+x ”需加上π12，即再向左平移π12．10. 已知F 为抛物线C ：24y x =的交点，过F 作两条互相垂直1l ，2l ，直线1l 与C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点，AB DE +的最小值为（） A ．16B ．14C ．12D ．10【答案】A 【解析】设AB 倾斜角为θ．作1AK 垂直准线，2AK 垂直x 轴 易知11cos 22⎧⎪⋅+=⎪⎪=⎨⎪⎛⎫⎪=--= ⎪⎪⎝⎭⎩AF GF AK AK AF P P GP Pθ（几何关系）（抛物线特性）cos AF P AF θ⋅+=∴ 同理1cos P AF θ=-，1cos PBF θ=+∴22221cos sin P PAB θθ==- 又DE 与AB 垂直，即DE 的倾斜角为π2θ+2222πcos sin 2P PDE θθ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭而24y x =，即2P =．∴22112sin cos AB DE P θθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭2222sin cos 4sin cos θθθθ+=224sin cos θθ=241sin 24=θ 21616sin 2θ=≥，当π4θ=取等号 即AB DE +最小值为16，故选A11. 设x ，y ，z 为正数，且235x y z ==，则（）A ．235x y z <<B ．523z x y <<C ．352y z x <<D ．325y x z <<【答案】D【答案】取对数：ln 2ln3ln5x y ==.ln33ln 22x y => ∴23x y > ln2ln5x z = 则ln55ln 22x z =< ∴25x z <∴325y x z <<，故选D12. 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项是02，接下来的两项是02，12，在接下来的三项式62，12，22，依次类推，求满足如下条件的最小整数N ：100N >且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（ ） A ．440 B ．330 C ．220 D ．110 【答案】A【解析】设首项为第1组，接下来两项为第2组，再接下来三项为第3组，以此类推．设第n 组的项数为n ，则n 组的项数和为()12n n +由题，100N >，令()11002n n +>→14n ≥且*n ∈N ，即N 出现在第13组之后第n 组的和为122112nn -=--n 组总共的和为()2122212n nn n --=---若要使前N 项和为2的整数幂，则()12n n N +-项的和21k -应与2n --互为相反数即()*21214k n k n -=+∈N ，≥ ()2log 3k n =+→295n k ==，则()2912954402N ⨯+=+=故选A二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

【高考调研】2017届高考理科数学一轮课时作业78套(14—17)

【高考调研】2017届高考理科数学一轮课时作业78套(14—17)

【高考调研】2017届高考理科数学一轮课时作业（14—17）第三章 导数及应用课时作业(14)1．y ＝ln 1x 的导函数为( )A ．y ′＝－1xB ．y ′＝1xC ．y ′＝lnxD ．y ′＝－ln(－x) 答案 A解析 y ＝ln 1x ＝－lnx ，∴y ′＝－1x.2．(2016·东北师大附中摸底)曲线y ＝5x ＋lnx 在点(1，5)处的切线方程为( ) A ．4x －y ＋1＝0 B ．4x －y －1＝0 C ．6x －y ＋1＝0 D ．6x －y －1＝0 答案 D解析 将点(1，5)代入y ＝5x ＋lnx 成立，即点(1，5)为切点．因为y ′＝5＋1x，所以y ′|x ＝1＝5＋11＝6.所以切线方程为y －5＝6(x －1)，即6x －y －1＝0.故选D.3．若曲线y ＝x 3在点P 处的切线的斜率为3，则点P 的坐标为( ) A ．(－1，1) B ．(－1，－1) C ．(1，1)或(－1，－1) D ．(1，－1) 答案 C解析 y ′＝3x 2，∴3x 2＝3.∴x ＝±1.当x ＝1时，y ＝1，当x ＝－1时，y ＝－1. 4．(2016·衡水调研卷)设f(x)＝xlnx ，若f ′(x 0)＝2，则x 0的值为( )A ．e 2B ．e C.ln22D ．ln2 答案 B解析 由f(x)＝xlnx ，得f ′(x)＝lnx ＋1.根据题意知lnx 0＋1＝2，所以lnx 0＝1，因此x 0＝e.5．设正弦函数y ＝sinx 在x ＝0和x ＝π2附近的平均变化率为k 1，k 2，则k 1，k 2的大小关系为( ) A ．k 1>k 2 B ．k 1<k 2 C ．k 1＝k 2 D ．不确定 答案 A解析 ∵y ＝sinx ，∴y ′＝(sinx)′＝cosx.k 1＝cos0＝1，k 2＝cos π2＝0，∴k 1>k 2.6．(2016·云南师大附中适应性考试)曲线y ＝a x 在x ＝0处的切线方程是xln2＋y －1＝0，则a ＝( ) A.12B ．2C ．ln2D ．ln 12答案 A解析 由题知，y ′＝a x lna ，y ′|x ＝0＝lna ，又切点为(0，1)，故切线方程为xlna －y ＋1＝0，∴a ＝12，故选A.7. (2016·浙江十二校联考)函数f(x)的导函数f ′(x)的图像是如图所示的一条直线l ，l 与x 轴的交点坐标为(1，0)，则f(0)与f(3)的大小关系为( )A ．f(0)<f(3)B ．f(0)>f(3)C ．f(0)＝f(3)D ．无法确定答案 B解析 由题意知f(x)的图像是以x ＝1为对称轴，且开口向下的抛物线，所以f(0)＝f(2)>f(3)．选B.8．若函数f(x)＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( ) A ．－1 B ．－2 C ．2 D ．0 答案 B解析 f ′(x)＝4ax 3＋2bx ，∵f ′(x)为奇函数且f ′(1)＝2，∴f ′(－1)＝－2. 9．f(x)与g(x)是定义在R 上的两个可导函数，若f(x)，g(x)满足f ′(x)＝g ′(x)，则f(x)与g(x)满足( ) A ．f(x)＝g(x) B ．f(x)＝g(x)＝0 C ．f(x)－g(x)为常数函数 D ．f(x)＋g(x)为常数函数 答案 C 10．(2016·《高考调研》原创题)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(e x )＝x ＋e x ，则f ′(2 016)＝( ) A ．1 B ．2C.12 016D.2 0172 016 答案 D解析 令e x ＝t ，则x ＝lnt ，所以f(t)＝lnt ＋t ，故f(x)＝lnx ＋x.求导得f ′(x)＝1x ＋1，故f ′(2 016)＝12 016＋1＝2 0172 016.故选D.11．(2015·广东文)若曲线y ＝ax 2－lnx 在点(1，a)处的切线平行于x 轴，则a ＝________．答案 12解析 因为y ′＝2ax －1x ，依题意得y ′|x ＝1＝2a －1＝0，所以a ＝12.12．已知y ＝13x 3－x －1＋1，则其导函数的值域为________．答案 [2，＋∞)13．(2013·江西文)若曲线y ＝x α＋1(α∈R )在点(1，2)处的切线经过坐标原点，则α＝________． 答案 2解析 由题意y ′＝αx α－1，在点(1，2)处的切线的斜率为k ＝α，又切线过坐标原点，所以α＝2－01－0＝2.14．已知函数f(x)＝f ′(π4)cosx ＋sinx ，所以f(π4)的值为________．答案 1解析 因为f ′(x)＝－f ′(π4)sinx ＋cosx ，所以f ′(π4)＝－f ′(π4)sin π4＋cos π4，所以f ′(π4)＝2－1.故f(π4)＝f ′(π4)cos π4＋sin π4＝1.15．(2016·广东肇庆一模)曲线f(x)＝e xx －1在x ＝0处的切线方程为________．答案 2x ＋y ＋1＝0解析 根据题意可知切点坐标为(0，－1)，f ′(x)＝（x －1）（e x ）′－e x （x －1）′（x －1）2＝（x －2）e x （x －1）2，故切线的斜率为k ＝f ′(0)＝（0－2）e 0（0－1）2＝－2，则直线的方程为y －(－1)＝(－2)(x －0)⇒2x ＋y ＋1＝0，故填2x ＋y ＋1＝0. 16．(2016·河北邯郸二模)曲线y ＝log 2x 在点(1，0)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积等于________．答案 12log 2e解析 ∵y ′＝1xln2，∴k ＝1ln2.∴切线方程为y ＝1ln2(x －1)．∴三角形面积为S △＝12×1×1ln2＝12ln2＝12log 2e.17．若抛物线y ＝x 2－x ＋c 上的一点P 的横坐标是－2，抛物线过点P 的切线恰好过坐标原点，则实数c 的值为________． 答案 4解析 ∵y ′＝2x －1，∴y ′|x ＝－2＝－5.又P(－2，6＋c)，∴6＋c－2＝－5.∴c ＝4.18．设f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f(x)＝2x 2. (1)求x<0时，f(x)的表达式；(2)令g(x)＝lnx ，问是否存在x 0，使得f(x)，g(x)在x ＝x 0处的切线互相平行？若存在，求出x 0的值；若不存在，请说明理由．答案 (1)f(x)＝－2x 2(x<0) (2)存在，x 0＝12解析 (1)当x<0时，－x>0， f(x)＝－f(－x)＝－2(－x)2＝－2x 2.∴当x<0时，f(x)的表达式为f(x)＝－2x 2.(2)若f(x)，g(x)在x 0处的切线互相平行，则f ′(x 0)＝g ′(x 0)，当x>0时，f ′(x 0)＝4x 0＝g ′(x 0)＝1x 0，解得，x 0＝±12.故存在x 0＝12满足条件．1．(2016·济宁模拟)已知f(x)＝x(2 014＋lnx)，f ′(x 0)＝2 015，则x 0＝( )A ．e 2B ．1C ．ln2D ．e 答案 B解析 由题意可知f ′(x)＝2 014＋lnx ＋x·1x＝2 015＋lnx.由f ′(x 0)＝2 015，得lnx 0＝0，解得x 0＝1.2．(2014·大纲全国理)曲线y ＝xe x －1在点(1，1)处切线的斜率等于( ) A ．2e B ．e C ．2 D ．1 答案 C解析 y ′＝e x －1＋xe x －1＝(x ＋1)e x －1，故曲线在点(1，1)处的切线斜率为y ′|x ＝1＝2.3．(2016·衡水调研卷)曲线y ＝xx －2在点(1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝x －2B ．y ＝－3x ＋2C ．y ＝2x －3D ．y ＝－2x ＋1 答案 D解析 由题意得y ＝1＋2x －2，所以y ′＝－2（x －2）2，所以所求曲线在点(1，－1)处的切线的斜率为－2，故由点斜式得所求切线方程为y ＝－2x ＋1.4．(2016·江西九江模拟)已知直线y ＝－x ＋1是函数f(x)＝－1a·e x 图像的切线，则实数a ＝________． 答案 e 2解析 设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝－1a ·ex 0＝－1，∴ex 0＝a ，又－1a·ex 0＝－x 0＋1，∴x 0＝2，∴a ＝e 2.5．(2016·安徽毛坦厂中学月考)设曲线y ＝x n ＋1(x ∈R *)在点(1，1)处的切线与x 轴的交点横坐标为x n ，令a n ＝lgx n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99的值为________． 答案 －2解析 由题意可得，y ′|x ＝1＝n ＋1，则所求切线方程为y ＝(n ＋1)x －n ，令y ＝0，得x n ＝nn ＋1.由对数运算法则可知a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 99＝lg(x 1·x 2·x 3·…·x 99)＝lg 1100＝－2.6．已知曲线C ：y ＝x 3－3x 2＋2x ，直线l ：y ＝kx ，且直线l 与曲线C 相切于点(x 0，y 0)(x 0≠0)，求直线l 的方程及切点坐标．解析 ∵直线过原点，则k ＝y 0x 0(x 0≠0)．由点(x 0，y 0)在曲线C 上，则y 0＝x 03－3x 02＋2x 0， ∴y 0x 0＝x 02－3x 0＋2. 又y ′＝3x 2－6x ＋2，∴在(x 0，y 0)处曲线C 的切线斜率应为k ＝f ′(x 0)＝3x 02－6x 0＋2. ∴x 02－3x 0＋2＝3x 02－6x 0＋2. 整理得2x 02－3x 0＝0.解得x 0＝32(x 0≠0)．这时，y 0＝－38，k ＝－14.因此，直线l 的方程为y ＝－14x ，切点坐标是(32，－38)．课时作业(15)1．当x>0时，f(x)＝x ＋4x的单调减区间是( )A ．(2，＋∞)B ．(0，2)C ．(2，＋∞)D ．(0，2) 答案 B解析 f ′(x)＝1－4x 2＝（x －2）（x ＋2）x 2<0，又∵x>0，∴x ∈(0，2)，∴选B.2．函数f(x)＝1＋x －sinx 在(0，2π)上是( ) A ．增函数 B ．减函数 C ．在(0，π)上增，在(π，2π)上减 D ．在(0，π)上减，在(π，2π)上增 答案 A解析 ∵f ′(x)＝1－cosx>0，∴f(x)在(0，2π)上递增．3．已知e 为自然对数的底数，则函数y ＝xe x 的单调递增区间是( ) A ．[－1，＋∞) B ．(－∞，－1] C ．[1，＋∞) D ．(－∞，1] 答案 A解析 令y ′＝(1＋x)e x ≥0.∵e x >0，∴1＋x ≥0，∴x ≥－1，选A.4．(2016·长沙雅礼中学模拟)已知函数f(x)＝12x 3＋ax ＋4，则“a>0”是“f(x)在R 上单调递增”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 f ′(x)＝32x 2＋a ，当a ≥0时，f ′(x)≥0恒成立，故“a>0”是“f(x)在R 上单调递增”的充分不必要条件．5．若函数y ＝a(x 3－x)的递减区间为(－33，33)，则a 的取值范围是( )A ．a ＞0B ．－1＜a ＜0C ．a ＞1D ．0＜a ＜1 答案 A解析 y ′＝a(3x 2－1)，解3x 2－1＜0，得－33＜x ＜33.∴f(x)＝x 3－x 在(－33，33)上为减函数．又y ＝a·(x 3－x)的递减区间为(－33，33)．∴a ＞0.6．函数f(x)＝lnx －ax(a>0)的单调递增区间为( )A ．(0，1a )B ．(1a ，＋∞)C ．(－∞，1a) D ．(－∞，a)答案 A解析 由f ′(x)＝1x －a>0，得0<x<1a.∴f(x)的单调递增区间为(0，1a)．7．如果函数f(x)的导函数f ′(x)的图像如图所示，那么函数f(x)的图像最有可能的是( )答案 A 8．(2016·合肥一中模拟)函数f(x)在定义域R 内可导，若f(x)＝f(2－x)，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x)<0，设a ＝f(0)，b ＝f(12)，c ＝f(3)，则( )A ．a<b<cB ．c<a<bC ．c<b<aD ．b<c<a 答案 B解析 由f(x)＝f(2－x)可得对称轴为x ＝1，故f(3)＝f(1＋2)＝f(1－2)＝f(－1)． 又x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x)<0，可知f ′(x)>0.即f(x)在(－∞，1)上单调递增，f(－1)<f(0)<f(12)，即c<a<b.9．(2016·南京市金陵中学月考)已知函数f(x)(x ∈R )的图像上任一点(x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝(x 0－2)(x 02－1)(x －x 0)，那么函数f(x)的单调减区间是( ) A ．[－1，＋∞) B ．(－∞，2] C ．(－∞，－1)和(1，2) D ．[2，＋∞) 答案 C解析 根据函数f(x)(x ∈R )的图像上任一点(x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝(x 0－2)(x 02－1)(x －x 0)，可知其导数f ′(x)＝(x －2)(x 2－1)＝(x ＋1)(x －1)(x －2)，令f ′(x)<0，得x<－1或1<x<2.因此f(x)的单调减区间是(－∞，－1)和(1，2)． 10．(2013·浙江文)已知函数y ＝f(x)的图像是下列四个图像之一，且其导函数y ＝f ′(x)的图像如图所示，则该函数的图像是( )答案 B解析 由函数f(x)的导函数y ＝f ′(x)的图像自左至右是先上升后下降，可知函数y ＝f(x)图像的切线的斜率自左向右先增大后减小，故选B. 11．(2015·新课标全国Ⅱ)设函数f ′(x)是奇函数f(x)(x ∈R )的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf ′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(0，1) B ．(－1，0)∪(1，＋∞) C ．(－∞，－1)∪(－1，0) D ．(0，1)∪(1，＋∞) 答案 A解析 令F(x)＝f （x ）x，因为f(x)为奇函数，所以F(x)为偶函数，由于F ′(x)＝xf ′（x ）－f （x ）x 2，当x>0时，xf ′(x)－f(x)<0，所以F(x)＝f （x ）x在(0，＋∞)上单调递减，根据对称性，F(x)＝f （x ）x在(－∞，0)上单调递增，又f(－1)＝0，f(1)＝0，数形结合可知，使得f(x)>0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1)．故选A.12．若函数f(x)的导函数为f ′(x)＝x 2－4x ＋3，则函数f(x ＋1)的单调递减区间是________． 答案 (0，2) 13．(2016·保定模拟)已知函数f(x)的导函数为f ′(x)＝5＋cosx ，x ∈(－1，1)，且f(0)＝0，若f(1－x)＋f(1－x 2)<0，则实数x 的取值范围为________． 答案 (1，2)解析 ∵导函数是偶函数，∴原函数f(x)是奇函数，且定义域为(－1，1)．又导函数值恒大于0，∴原函数在定义域上单调递增，∴所求不等式变形为f(1－x)<f(x 2－1)，∴－1<1－x<x 2－1<1，解得1<x<2，∴实数x 的取值范围是(1，2)．14．若函数f(x)的定义域为R ，且满足f(2)＝2，f ′(x)>1，则不等式f(x)－x>0的解集为________．答案 (2，＋∞)解析 令g(x)＝f(x)－x ，∴g ′(x)＝f ′(x)－1.由题意知g ′(x)>0，∴g(x)为增函数． ∵g(2)＝f(2)－2＝0，∴g(x)>0的解集为(2，＋∞)．15．已知函数f(x)＝kx 3＋3(k －1)x 2－k 2＋1(k>0)的单调递减区间是(0，4)． (1)实数k 的值为________；(2)若在(0，4)上为减函数，则实数k 的取值范围是________．答案 (1)13 (2)0<k ≤13解析 (1)f ′(x)＝3kx 2＋6(k －1)x ，由题意知f ′(4)＝0，解得k ＝13.(2)由f ′(x)＝3kx 2＋6(k －1)x ≤0并结合导函数的图像可知，必有－2（k －1）k ≥4，解得k ≤13.又k>0，故0<k ≤13.16．已知函数f(x)＝x －2x＋1－alnx ，a>0.讨论f(x)的单调性．答案 当0<a ≤22时，单调递增区间为(0，＋∞)；当a>22时，单调递减区间为(a －a 2－82，a ＋a 2－82)，单调递增区间为(0，a －a 2－82)，(a ＋a 2－82，＋∞) 解析 由题意知，f(x)的定义域是(0，＋∞)，导函数f ′(x)＝1＋2x 2－a x ＝x 2－ax ＋2x 2.设g(x)＝x 2－ax ＋2，二次方程g(x)＝0的判别式Δ＝a 2－8. ①当Δ<0，即0<a<22时，对一切x>0都有f ′(x)>0. 此时f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数．②当Δ＝0，即a ＝22时，仅对x ＝2有f ′(x)＝0，对其余的x>0都有f ′(x)>0.此时f(x)是(0，＋∞)上的单调递增函数．③当Δ>0，即a>22时，方程g(x)＝0有两个不同的实根x 1＝a －a 2－82，x 2＝a ＋a 2－82，0<x 1<x 2.＋∞)上单调递增．17．(2015·重庆)已知函数f(x)＝ax 3＋x 2(a ∈R )在x ＝－43处取得极值．(1)确定a 的值；(2)若g(x)＝f(x)e x ，讨论g(x)的单调性．答案 (1)a ＝12(2)g(x)在(－∞，－4]和[－1，0]上为减函数，在[－4，－1]和[0，＋∞)上为增函数解析 (1)对f(x)求导得f ′(x)＝3ax 2＋2x ，因为f(x)在x ＝－43处取得极值，所以f ′(－43)＝0，即3a ×169＋2×(－43)＝16a 3－83＝0，解得a ＝12.(2)由(1)得g(x)＝(12x 3＋x 2)e x .g ′(x)＝(12x 3＋52x 2＋2x)e x ＝12x(x ＋1)(x ＋4)e x .令g ′(x)＝0，解得x ＝0，x ＝－1或x ＝－4. 当x<－4时，g ′(x)<0，故g(x)为减函数； 当－4<x<－1时，g ′(x)>0，故g(x)为增函数； 当－1<x<0时，g ′(x)<0，故g(x)为减函数； 当x>0时，g ′(x)>0，故g(x)为增函数．综上，知g(x)在(－∞，－4]和[－1，0]上为减函数，在[－4，－1]和[0，＋∞)上为增函数．1．(2014·陕西理)如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为( )A ．y ＝1125x 3－35x B ．y ＝2125x 3－45x C ．y ＝3125x 3－x D ．y ＝－3125x 3＋15x答案 A解析 设所求函数解析式为y ＝f(x)，由题意知f(5)＝－2，f(－5)＝2，且f ′(±5)＝0，代入验证易得y ＝1125x 3－35x 符合题意，故选A.2．(2016·湖南十三校第二次联考)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f(x)＝sin2x B ．f(x)＝xe x C ．f(x)＝x 3－x D ．f(x)＝－x ＋lnx 答案 B解析 f(x)＝xe x 的导函数为f ′(x)＝(1＋x)e x ，易知f ′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，所以该函数在区间(0，＋∞)上为增函数．故选B.3．(2016·山西太原质量检测)已知函数f(x)＝x(e x －1ex )，若f(x 1)<f(x 2)，则( )A ．x 1>x 2B ．x 1＋x 2＝0C ．x 1<x 2D ．x 12<x 22 答案 D解析 因为f(－x)＝－x(e －x －1ex )＝x(e x－1e x )＝f(x)，且易知f(x)的定义域为R ，所以f(x)为偶函数．由f(x 1)<f(x 2)，得f(|x 1|)<f(|x 2|)(*)．由已知可得，f ′(x)＝e x －1e x ＋x(e x ＋1ex )＝e 2x（x ＋1）＋x －1ex.当x ≥0时，e 2x (x ＋1)＋x －1≥e 0(0＋1)＋0－1＝0，此时f ′(x)≥0，所以f(x)在[0，＋∞)上为增函数，由(*)式得|x 1|<|x 2|，即x 12<x 22，故选D. 4．(2016·河北唐山一模)直线y ＝a 分别与曲线y ＝2(x ＋1)，y ＝x ＋lnx 交于点A ，B ，则|AB|的最小值为( ) A ．3 B ．2 C.324 D.32 答案 D解析 令2(x ＋1)＝a ，解得x ＝a 2－1.设方程x ＋lnx ＝a 的根为t ，即t ＋lnt ＝a ，则|AB|＝|t －a2＋1|＝|t －t ＋lnt 2＋1|＝|t 2－lnt 2＋1|.设g(t)＝t 2－lnt 2＋1(t>0)，则g ′(t)＝12－12t ＝t －12t，令g ′(t)＝0，得t ＝1，当t ∈(0，1)时，g ′(t)<0；当t ∈(1，＋∞)时，g ′(t)>0，所以g(t)min ＝g(1)＝32，所以|AB|≥32，所以|AB|的最小值为32. 5．(2015·四川)已知函数f(x)＝－2xlnx ＋x 2－2ax ＋a 2，其中a>0. (1)设g(x)是f(x)的导函数，讨论g(x)的单调性；(2)证明：存在a ∈(0，1)，使得f(x)≥0恒成立，且f(x)＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解． 解析 (1)由已知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， g(x)＝f ′(x)＝2(x －1－lnx －a)，所以g ′(x)＝2－2x ＝2（x －1）x.当x ∈(0，1)时，g ′(x)<0，g(x)单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x)>0，g(x)单调递增．(2)由f ′(x)＝2(x －1－lnx －a)＝0，解得a ＝x －1－lnx.令φ(x)＝－2xlnx ＋x 2－2x(x －1－lnx)＋(x －1－lnx)2＝(1＋lnx)2－2xlnx ， 则φ(1)＝1>0，φ(e)＝2(2－e)<0. 于是存在x 0∈(1，e)，使得φ(x 0)＝0.令a 0＝x 0－1－lnx 0＝u(x 0)，其中u(x)＝x －1－lnx(x ≥1)．由u ′(x)＝1－1x≥0知，函数u(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，故0＝u(1)<a 0＝u(x 0)<u(e)＝e －2<1，即a 0∈(0，1)． 当a ＝a 0时，有f ′(x 0)＝0，f(x 0)＝φ(x 0)＝0. 再由(1)知，f ′(x)在区间(1，＋∞)上单调递增， 当x ∈(1，x 0)时，f ′(x)<0，从而f(x)>f(x 0)＝0； 当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x)>0，从而f(x)>f(x 0)＝0； 又当x ∈(0，1]时，f(x)＝(x －a 0)2－2xlnx>0. 故x ∈(0，＋∞)时，f(x)≥0.综上所述，存在a ∈(0，1)，使得f(x)≥0恒成立，且f(x)＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解．6．(2016·山东师大附中)已知函数f(x)＝x －ax－lnx ，a>0.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若f(x)>x －x 2在(1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围．答案 (1)0<a<14时，单调递增区间为(0，1－1－4a 2)，(1＋1－4a 2，＋∞)，单调递减区间为(1－1－4a 2，1＋1－4a 2)；a ≥14时，单调递增区间为(0，＋∞)(2)0<a ≤1解析 (1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，由于f ′(x)＝1＋a x 2－1x ＝x 2－x ＋ax 2，令m(x)＝x 2－x ＋a ，①当Δ＝1－4a ≤0，即a ≥14时，f ′(x)≥0恒成立，所以函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数；②当Δ＝1－4a>0，即0<a<14时，由x 2－x ＋a>0，得0<x<1－1－4a 2或x>1＋1－4a 2.所以f(x)在(0，1－1－4a 2)，(1＋1－4a 2，＋∞)上是增函数，在(1－1－4a 2，1＋1－4a2)上是减函数．综上知，当0<a<14时，f(x)在(0，1－1－4a 2)，(1＋1－4a 2，＋∞)上是增函数，在(1－1－4a 2，1＋1－4a2)上是减函数． 当a ≥14时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数．(2)f(x)>x －x 2，即x 2－ax－lnx>0，因为x ∈(1，＋∞)，所以a<x 3－xlnx.令g(x)＝x 3－xlnx ，h(x)＝g ′(x)＝3x 2－lnx －1，h ′(x)＝6x －1x ＝6x 2－1x，在(1，＋∞)上h ′(x)>0，得h(x)>h(1)＝2，即g ′(x)>0，故g(x)＝x 3－xlnx 在(1，＋∞)上为增函数，g(x)>g(1)＝1，所以0<a ≤1. 7．(2016·郑州一中月考)已知函数f(x)＝e x sinx. (1)求函数f(x)的单调区间；(2)当x ∈[0，π2]时，f(x)≥kx ，求实数k 的取值范围．解析 (1)f ′(x)＝e x sinx ＋e x cosx ＝e x (sinx ＋cosx)．令y ＝sinx ＋cosx ＝2sin(x ＋π4)．当x ∈(2k π－π4，2k π＋3π4)，k ∈Z ，f ′(x)>0，f(x)单调递增；当x ∈(2k π＋3π4，2k π＋7π4)，k ∈Z ，f ′(x)<0，f(x)单调递减．函数f(x)的单调递增区间为(2k π－π4，2k π＋3π4)，k ∈Z ；函数f(x)的单调递减区间为(2k π＋3π4，2k π＋7π4)，k ∈Z .(2)令g(x)＝f(x)－kx ＝e x sinx －kx ，即g(x)≥0恒成立， 而g ′(x)＝e x (sinx ＋cosx)－k ，令h(x)＝e x (sinx ＋cosx)，∴h ′(x)＝e x (sinx ＋cosx)＋e x (cosx －sinx)＝2e x cosx.∵x ∈[0，π2]，h ′(x)≥0，∴h(x)在[0，π2]上单调递增，1≤h(x)≤e π2.结合(1)，得当k ≤1时，g ′(x)≥0，g(x)在[0，π2]上单调递增，g(x)≥g(0)＝0，符合题意；当k ≤e π2时，g ′(x)≤0，g(x)在[0，π2]上单调递减，g(x)≤g(0)＝0，与题意不符；当1<k<e π2时，g ′(x)为一个单调递增函数，而g ′(0)＝1－k<0，g ′(π2)＝e π2－k>0，由零点存在性定理，必存在一个零点x 0，使得g ′(x 0)＝0，当x ∈[0，x 0)时，g ′(x)≤0，从而g(x)在x ∈[0，x 0)上单调递减，从而g(x 0)≤g(0)＝0，与题意不符， 综上所述，k 的取值范围为(－∞，1]． 8．设函数f(x)＝x(e x －1)－ax 2.(1)若a ＝12，求f(x)的单调区间；(2)若当x ≥0时f(x)≥0，求a 的取值范围．答案 (1)增区间(－∞，－1]，[0，＋∞)，减区间[－1，0] (2)(－∞，1]解析 (1)当a ＝12时，f(x)＝x(e x －1)－12x 2，f ′(x)＝e x －1＋xe x －x ＝(e x －1)(x ＋1)．当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x)＞0；当x ∈(－1，0)时，f ′(x)＜0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x)＞0.故f(x)在(－∞，－1]，[0，＋∞)上单调递增，在[－1，0]上单调递减． (2)f(x)＝x(e x －1－ax)．令g(x)＝e x －1－ax ，则g ′(x)＝e x －a. 若a ≤1，则当x ∈(0，＋∞)时，g ′(x)＞0，g(x)为增函数，而g(0)＝0，从而当x ≥0时g(x)≥0，即f(x)≥0.若a ＞1，则当x ∈(0，ln a)时，g ′(x)＜0，g(x)为减函数，而g(0)＝0，从而当x ∈(0，lna)时g(x)<0，即f(x)<0.综上得a 的取值范围为(－∞，1]．9．设a 为实数，函数f(x)＝(x －a)2＋|x －a|－a(a －1)．当a ≥2时，讨论f(x)＋4x在区间(0，＋∞)内的零点个数．解析 令F(x)＝f(x)＋4x＝⎩⎨⎧x[x －（2a －1）]＋4x，x ≥a ，（x －1）（x －2a ）＋4x ，0<x<a ，则F(x)在(0，＋∞)上的图像是连续不断的一条曲线．当a ＝2时，此时f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ，x ≥2，x 2－5x ＋4，0<x<2.当x ≥2时，因为F ′(x)＝2x －3－4x 2＝2(x －2)＋(1－4x2)≥0，所以F(x)在[2，＋∞)上单调递增． 又F(2)＝0，故有唯一零点x ＝2.当0<x<2时，由于f(x)>－2，4x>2，因此F(x)>0，从而F(x)没有零点．当a>2时，①当0<x<a 时，因为F ′(x)＝2x －(2a ＋1)－4x 2＝2(x －a)－(x 2＋4x2)<0，所以F(x)在(0，a)上为减函数．又F(1)＝4>0，F(a)＝a ＋4a－a 2<a ＋2－a 2<2a －a 2<0，所以由函数零点的存在性定理，知F(x)在(0，a)上有唯一零点．②当x ≥a 时，因为F ′(x)＝2x －(2a －1)－4x 2＝2(x －a)＋(x 2－4x2)>0，所以F(x)在[a ，＋∞)上为增函数．由①知，F(a)<0，又F(2a －1)＝42a －1>0，所以由函数零点的存在性定理，知F(x)在[a ，＋∞)内有唯一零点；综上，可得当a ＝2时，f(x)＋4x在区间(0，＋∞)内有唯一零点；当a>2时，f(x)＋4x在区间(0，＋∞)内有2个零点．课时作业(16)1．函数y ＝x 3－3x 2－9x(－2<x<2)有( ) A ．极大值为5，极小值为－27 B ．极大值为5，极小值为－11 C ．极大值为5，无极小值 D ．极大值为－27，无极小值 答案 C解析 y ′＝3x 2－6x －9＝3(x 2－2x －3)＝3(x －3)(x ＋1)， ∴y ′＝0时，x ＝3或x ＝－1. ∵－2<x<2，∴x ＝－1时，y ＝5.x ＝－1为极大值点，极大值为5，无极小值． 2．当函数y ＝x·2x 取极小值时，x ＝( ) A.1ln2 B ．－1ln2 C ．－ln2 D ．ln2 答案 B解析 由y ＝x·2x ，得y ′＝2x ＋x·2x ·ln2.令y ′＝0，得2x (1＋x·ln2)＝0.∵2x ＞0，∴x ＝－1ln2.3．函数f(x)＝(x －1)(x －2)2在[0，3]上的最小值为( ) A ．－8 B ．－4C ．0 D.427答案 B解析 f ′(x)＝(x －2)2＋2(x －1)(x －2)＝(x －2)(3x －4)．令f ′(x)＝0⇒x 1＝43，x 2＝2，结合单调性，只要比较f(0)与f(2)即可．f(0)＝－4，f(2)＝0.故f(x)在[0，3]上的最小值为f(0)＝－4.故选B.4．已知f(x)＝2x 3－6x 2＋m(m 为常数)在[－2，2]上有最大值3，那么此函数在[－2，2]上的最小值是( ) A ．－37 B ．－29 C ．－5 D ．以上都不对 答案 A解析 f ′(x)＝6x 2－12x ＝6x(x －2)，∴f(x)在(－2，0)上单调递增，在(0，2)上单调递减． ∴x ＝0为极大值点，也为最大值点． ∴f(0)＝m ＝3，∴m ＝3.∴f(－2)＝－37，f(2)＝－5. ∴最小值是－37，选A.5．若函数y ＝e x ＋mx 有极值，则实数m 的取值范围( ) A ．m>0 B ．m<0 C ．m>1 D ．m<1 答案 B解析 y ′＝e x ＋m ，则e x ＋m ＝0必有根，∴m ＝－e x <0.6．设函数f(x)在R 上可导，其导函数为f ′(x)，且函数f(x)在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x)的图像可能是( )答案 C解析 由f(x)在x ＝－2处取得极小值可知，当x<－2时，f ′(x)<0，则xf ′(x)>0； 当－2<x<0时，f ′(x)>0，则xf ′(x)<0； 当x>0时，xf ′(x)>0.7．若函数f(x)＝x 3－3bx ＋3b 在(0，1)内有极小值，则( ) A ．0＜b ＜1 B ．b ＜1C ．b ＞0D ．b ＜12答案 A解析 f(x)在(0，1)内有极小值，则f ′(x)＝3x 2－3b 在(0，1)上先负后正，∴f ′(0)＝－3b ＜0.∴b ＞0.f ′(1)＝3－3b ＞0，∴b ＜1. 综上，b 的取值范围为0＜b ＜1. 8．(2016·苏锡常镇一调)f(x)＝e x －x(e 为自然对数的底数)在区间[－1，1]上的最大值是( )A ．1＋1eB ．1C ．e ＋1D ．e －1 答案 D解析 f ′(x)＝e x －1，令f ′(x)＝0，得x ＝0.令f ′(x)>0，得x>0，令f ′(x)<0，得x<0，则函数f(x)在(－1，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增，f(－1)＝e －1＋1，f(1)＝e －1，f(－1)－f(1)＝1e ＋2－e<12＋2－e<0，所以f(1)>f(－1)．故选D.9．已知f(x)＝x 3＋px 2＋qx 的图像与x 轴相切于非原点的一点，且f(x)极小值＝－4，那么p ，q 值分别为( ) A ．6，9 B ．9，6 C ．4，2 D ．8，6 答案 A解析 设图像与x 轴的切点为(t ，0)(t ≠0)，设⎩⎪⎨⎪⎧f （t ）＝t 3＋pt 2＋qt ＝0，f ′（t ）＝3t 2＋2pt ＋q ＝0，注意t ≠0， 可得出p ＝－2t ，q ＝t 2.∴p 2＝4q ，只有A 满足这个等式(亦可直接计算出t ＝－3)．10．(2016·昌平一模)若函数f(x)＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取得极值，则a ＝________．答案 3解析 f ′(x)＝x 2＋2x －a（x ＋1）2，由f(x)在x ＝1处取得极值知f ′(1)＝0，∴a ＝3.11．下列关于函数f(x)＝(2x －x 2)e x 的判断正确的是________． ①f(x)>0的解集是{x|0<x<2}；②f(－2)是极小值，f(2)是极大值； ③f(x)既没有最小值，也没有最大值． 答案 ①②③解析 若f(x)＝(2x －x 2)e x >0，则0<x<2，①正确；∵f ′(x)＝－e x (x ＋2)(x －2)，∴f(x)在(－∞，－2)和(2，＋∞)上单调递减，在(－2，2)上单调递增．∴f(－2)是极小值，f(2)是极大值，②正确；易知③也正确．12．若f(x)＝x(x －c)2在x ＝2处有极大值，则常数c 的值为________． 答案 6解析 f ′(x)＝3x 2－4cx ＋c 2， ∵f(x)在x ＝2处有极大值， ∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′（2）＝0，f ′（x ）<0 （x>2），f ′（x ）>0 （x<2）.解得c ＝6. 13．设m ∈R ，若函数y ＝e x ＋2mx(x ∈R )有大于零的极值点，则m 的取值范围是________．答案 m<－12解析 因为函数y ＝e x ＋2mx(x ∈R )有大于零的极值点，所以y ′＝e x ＋2m ＝0有大于0的实根．令y 1＝e x ，y 2＝－2m ，则两曲线的交点必在第一象限．由图像可得－2m>1，即m<－12.14．若函数y ＝x 3－2ax ＋a 在(0，1)内有极小值，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫0，32 解析 令y ′＝3x 2－2a ＝0，得x ＝± 2a3(a>0，否则函数y 为单调增函数)．若函数y ＝x 3－2ax ＋a 在(0，1)内有极小值，则 2a 3<1，∴0<a<32.15．函数f(x)＝xlnx(x>0)的最小值是________．答案 －1e解析 对函数f(x)＝xlnx 求导，得f ′(x)＝lnx ＋1.当0<x<1e时，f ′(x)<0，即f(x)＝xlnx 在(0，1e )上单调递减；当x>1e 时，f ′(x)>0，即f(x)＝xlnx 在(1e，＋∞)上单调递增，因此函数f(x)＝xlnx 在x ＝1e 处取得最小值，即f(1e )＝1e ln 1e ＝－1e.16．已知函数f(x)＝1＋lnxx.(1)若函数f(x)在区间(a ，a ＋23)(其中a>0)上存在极值，求实数a 的取值范围；(2)如果当x ≥1时，不等式f(x)≥mx ＋1恒成立，求实数m 的取值范围．答案 (1)13<a<1 (2)m ≤2解析 (1)因为函数f(x)＝1＋lnx x ，且定义域为{x|x>0}，所以f ′(x)＝－lnxx2.当0<x<1时，f ′(x)>0；当x>1时，f ′(x)<0，∴f(x)在(0，1)上单调递增；在(1，＋∞)上单调递减，∴函数f(x)在x ＝1处取得极大值1.∵函数f(x)在区间(a ，a ＋23)(其中a>0)上存在极值，∴⎩⎪⎨⎪⎧a<1，a ＋23>1，解得13<a<1.(2)当x ≥1时，不等式f(x)≥mx ＋1，即为（x ＋1）（1＋lnx ）x ≥m.记g(x)＝（x ＋1）（1＋lnx ）x ，∴g ′(x)＝[（x ＋1）（1＋lnx ）]′x －（x ＋1）（1＋lnx ）x 2＝x －lnx x 2.令h(x)＝x －lnx ，则h ′(x)＝1－1x，∵x ≥1，∴h ′(x)≥0， ∴h(x)在[1，＋∞)上单调递增，∴h(x)min ＝h(1)＝1>0，从而g ′(x)>0，故g(x)在[1，＋∞)上也是单调递增，∴g(x)min ＝g(1)＝2，∴m ≤2. 17．(2014·江西文)已知函数f(x)＝(4x 2＋4ax ＋a 2)x ，其中a<0. (1)当a ＝－4时，求f(x)的单调递增区间；(2)若f(x)在区间[1，4]上的最小值为8，求a 的值．答案 (1)单调递增区间为(0，25)，(2，＋∞) (2)a ＝－10解析 (1)当a ＝－4时，由f ′(x)＝2（5x －2）（x －2）x＝0，得x ＝25或x ＝2.由f ′(x)>0，得x ∈⎝⎛⎭⎫0，25或x ∈(2，＋∞)． 故函数f(x)的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，25和(2，＋∞)． (2)f ′(x)＝（10x ＋a ）（2x ＋a ）2x，a<0，由f ′(x)＝0，得x ＝－a 10或x ＝－a2.当x ∈⎝⎛⎭⎫0，－a10时，f(x)单调递增； 当x ∈⎝⎛⎭⎫－a 10，－a2时，f(x)单调递减； 当x ∈⎝⎛⎭⎫－a2，＋∞时，f(x)单调递增． 易知f(x)＝(2x ＋a)2x ≥0，且f ⎝⎛⎭⎫－a2＝0. ①当－a2≤1，即－2≤a<0时，f(x)在[1，4]上的最小值为f(1)，由f(1)＝4＋4a ＋a 2＝8，得a＝±22－2，均不符合题意．②当1<－a2≤4，即－8≤a<－2时，f(x)在[1，4]上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝0，不符合题意． ③当－a2>4，即a<－8时，f(x)在[1，4]上的最小值可能在x ＝1或x ＝4处取得，而f(1)≠8，由f(4)＝2(64＋16a ＋a 2)＝8，得a ＝－10或a ＝－6(舍去)．当a ＝－10时，f(x)在(1，4)上单调递减，f(x)在[1，4]上的最小值为f(4)＝8，符合题意． 综上有a ＝－10.1．函数f(x)＝xe x ，x ∈[0，4]的最大值是( )A ．0B.1eC.4e4 D.2e2 答案 B2．(2016·上海徐汇区诊断)已知函数f(x)＝12x 3－x 2－72x ，则f(－a 2)与f(－1)的大小关系为( )A ．f(－a 2)≤f(－1)B ．f(－a 2)<f(－1)C ．f(－a 2)≥f(－1)D ．f(－a 2)与f(－1)的大小关系不确定 答案 A解析 由题意可得f ′(x)＝32x 2－2x －72.由f ′(x)＝12(3x －7)(x ＋1)＝0，得x ＝－1或x ＝73.当x<－1时，f(x)为增函数；当－1<x<73时，f(x)为减函数．所以f(－1)是函数f(x)在(－∞，0]上的最大值，又因为－a 2≤0，故f(－a 2)≤f(－1)．3．若函数f(x)＝e －x ·x ，则( )A ．仅有极小值12eB ．仅有极大值12eC ．有极小值0，极大值12eD ．以上皆不正确答案 B解析 f ′(x)＝－e －x ·x ＋12x ·e －x ＝e －x (－x ＋12x )＝e －x ·1－2x 2x.令f ′(x)＝0，得x ＝12.当x>12时，f ′(x)<0；当x<12时，f ′(x)>0.∴x ＝12时取极大值，f(12)＝1e ·12＝12e.4．函数f(x)＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f(x)在x ＝－3时取得极值，则a ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案 D解析 f ′(x)＝3x 2＋2ax ＋3，令f ′(－3)＝0，得a ＝5.5．设a ∈R ，若函数y ＝e ax ＋3x ，x ∈R 有大于零的极值点，则( )A ．a<－13B ．a>－13C ．a<－3D ．a>－3 答案 C解析 ∵y ′＝ae ax ＋3，由y ′＝0，得x ＝1a ln(－3a)．∴－3a>0，∴a<0.又∵y ＝e ax ＋3x ＝0有正根，∴必有⎩⎪⎨⎪⎧a<0，0<－3a <1，得a<－3.故选C. 6．若y ＝alnx ＋bx 2＋x 在x ＝1和x ＝2处有极值，则a ＝________，b ＝________．答案 －23 －16解析 y ′＝ax＋2bx ＋1.由已知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋1＝0，a 2＋4b ＋1＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－23，b ＝－16.7．已知函数f(x)＝4lnx ＋ax 2－6x ＋b(a ，b 为常数)，且x ＝2为f(x)的一个极值点，则实数a的值为________． 答案 1解析 由题意知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．∵f ′(x)＝4x＋2ax －6，∴f ′(2)＝2＋4a －6＝0，即a ＝1.8．(2016·保定调研卷)设函数f(x)＝x ＋ax 2＋blnx ，曲线y ＝f(x)过P(1，0)，且在P 点处的切线斜率为2.(1)求a ，b 的值；(2)令g(x)＝f(x)－2x ＋2，求g(x)在定义域上的最值． 答案 (1)a ＝－1，b ＝3 (2)最大值为0，无最小值解析 (1)f ′(x)＝1＋2ax ＋bx(x>0)，又f(x)过点P(1，0)，且在点P 处的切线斜率为2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝0，f ′（1）＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＝0，1＋2a ＋b ＝2.解得a ＝－1，b ＝3. (2)由(1)知，f(x)＝x －x 2＋3lnx ，其定义域为(0，＋∞)， ∴g(x)＝2－x －x 2＋3lnx ，x>0.则g ′(x)＝－1－2x ＋3x ＝－（x －1）（2x ＋3）x.当0<x<1时，g ′(x)>0；当x>1时，g ′(x)<0.所以g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． ∴g(x)的最大值为g(1)＝0，g(x)没有最小值．9．设f(x)＝e x1＋ax 2，其中a 为正实数．(1)当a ＝43时，求f(x)的极值点；(2)若f(x)为R 上的单调函数，求实数a 的取值范围．答案 (1)极小值点为x 1＝32，极大值点为x 2＝12(2)(0，1]解析 对f(x)求导得f ′(x)＝e x ·1＋ax 2－2ax（1＋ax 2）2.(1)当a ＝43时，若f ′(x)＝0，则4x 2－8x ＋3＝0，解得x 1＝32，x 2＝12.又当x ∴x 1＝32是极小值点，x 2＝12是极大值点．(2)若f(x)为R 上的单调函数，则f ′(x)在R 上不变号．结合(1)与条件a>0，知ax 2－2ax ＋1≥0在R 上恒成立，由Δ＝4a 2－4a ＝4a(a －1)≤0，得0<a ≤1. 即实数a 的取值范围是(0，1]．10．已知函数f(x)＝－x 2＋ax ＋1－lnx.(1)若f(x)在(0，12)上是减函数，求实数a 的取值范围；(2)函数f(x)是否既有极大值又有极小值？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．答案 (1)a ≤3 (2)a>2 2解析 (1)f ′(x)＝－2x ＋a －1x，∵f(x)在(0，12)上为减函数，∴x ∈(0，12)时，－2x ＋a －1x ≤0恒成立，即a ≤2x ＋1x恒成立．设g(x)＝2x ＋1x ，则g ′(x)＝2－1x 2.∵x ∈(0，12)时，1x 2>4，∴g ′(x)<0，∴g(x)在(0，12)上单调递减，g(x)>g(12)＝3，∴a ≤3.(2)若f(x)既有极大值又有极小值，则f ′(x)＝0必须有两个不等的正实数根x 1，x 2，即2x 2－ax ＋1＝0有两个不等的正实数根．故a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，a 2>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2－8>0，a>0⇒a>2 2.∴当a>22时，f ′(x)＝0有两个不等的实数根． 不妨设x 1<x 2，由f ′(x)＝－1x (2x 2－ax ＋1)＝－2x(x －x 1)(x －x 2)知，0<x<x 1时f ′(x)<0，x 1<x<x 2时f ′(x)>0，x>x 2时f ′(x)<0，∴当a>22时f(x)既有极大值f(x 2)又有极小值f(x 1)．课时作业(17)1.⎠⎛24(x 2＋x 3－30)dx ＝( )A ．56B ．28 C.563D ．14答案 C解析 ⎠⎛24(x 2＋x 3－30)dx ＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋14x 4－30x K |42＝13(43－23)＋14(44－24)－30(4－2)＝563.故选C.2．⎠⎜⎛-π2 π2 (1＋cosx)dx 等于( )A ．πB ．2C ．π－2D ．π＋2答案 D 解析 ⎠⎜⎛-π2π2 (1＋cosx)dx ＝2⎠⎛0π2(1＋cosx)dx ＝2(x ＋sinx)|π20＝2(π2＋1)＝π＋2. 3．(2014·陕西理)定积分⎠⎛01(2x ＋e x )dx 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1答案 C解析⎠⎛01(2x ＋e x)dx ＝(x 2＋e x )|10＝(1＋e)－(0＋e 0)＝e ，因此选C. 4．求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( )A ．S ＝⎠⎛01(x 2－x)dxB ．S ＝⎠⎛01(x －x 2)dxC ．S ＝⎠⎛01(y 2－y)dyD ．S ＝⎠⎛01(y －y)dy答案 B5．若函数f(x)＝x 2＋2x ＋m(m ，x ∈R )的最小值为－1，则⎠⎛12f(x)dx 等于( ) A ．2B.163 C ．6 D ．7答案 B解析 f(x)＝(x ＋1)2＋m －1，∵f(x)的最小值为－1，∴m －1＝－1，即m ＝0.∴f(x)＝x 2＋2x.∴⎠⎛12f(x)dx ＝⎠⎛12(x 2＋2x)dx ＝(13x 3＋x 2)|21＝13×23＋22－13－1＝163.6．若⎠⎛01(2x ＋k)dx ＝2，则k 等于( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 B7．若F ′(x)＝x 2，则F(x)的解析式不正确的是( )A ．F(x)＝13x 3 B ．F(x)＝x 3C ．F(x)＝13x 3＋1D ．F(x)＝13x 3＋c(c 为常数)答案 B8.⎠⎛35x 2＋1xdx 等于( ) A ．8－ln 53 B ．8＋ln 53C ．16－ln 53D ．16＋ln 53答案 B解析 ⎠⎛35x 2＋1x dx ＝⎠⎛35xdx ＋⎠⎛351x dx ＝12x 2 |Ｋ53＋lnx |Ｋ53＝12(52－32)＋ln5－ln3＝8＋ln 53，故选B. 9．m ＝⎠⎛01e x dx 与n ＝⎠⎛1e 1xdx 的大小关系是( )A ．m>nB ．m<nC ．m ＝nD ．无法确定答案 A解析 m ＝⎠⎛01e xdx ＝e xK|10＝e －1，n ＝⎠⎛1e 1xdx ＝lnx K |e 1＝1，则m>n.10.⎠⎛－22e |x|dx 值等于( ) A ．e 2－e －2 B ．2e 2C ．2e 2－2D ．e 2＋e －2－2答案 C11．(2016·南昌一模)若⎠⎛1a (2x ＋1x )dx ＝3＋ln2(a>1)，则a 的值是( )A ．2B ．3C ．4D ．6答案 A解析 由题意可知⎠⎛1a (2x ＋1x )dx ＝(x 2＋lnx)|a1＝a 2＋lna －1＝3＋ln2，解得a ＝2. 12．如图所示，由函数f(x)＝e x －e 的图像，直线x ＝2及x 轴所围成阴影部分的面积等于( )A ．e 2－2e －1B ．e 2－2e C.e 2－e 2D ．e 2－2e ＋1答案 B解析 f(x)＝e x －e ＝0时，x ＝1，∴S ＝⎠⎛12(e x －e)dx ＝(e x －ex)|12＝e 2－2e.13．(2013·江西)若S 1＝⎠⎛12x 2dx ，S 2＝⎠⎛121x dx ，S 3＝⎠⎛12e x dx ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1 答案 B解析 S 1＝13x 3|21＝83－13＝73，S 2＝lnx |21＝ln2<lne ＝1，S 3＝e x|21＝e 2－e ≈2.72－2.7＝4.59，所以S 2<S 1<S 3.14．设a>0.若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a ，则a ＝________．答案 94解析 S ＝⎠⎛0a xdx ＝23x32|a 0＝23a 32＝a ，解得a ＝94.15．(2016·安徽六校联考)已知a ＝⎠⎛0πsinxdx ，则二项式(1－a x )5的展开式中x －3的系数为________．答案 －80 解析 由a ＝⎠⎛πsinxdx ＝－cosx |π0＝－(cos π－cos0)＝2，则x －3的系数为C 53(－a)3＝10×(－2)3＝－80. 16. (2015·福建)如图，点A 的坐标为(1，0)，点C 的坐标为(2，4)，函数f(x)＝x 2，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于____________．答案512解析 由已知得阴影部分面积为4－⎠⎛12x 2dx ＝4－73＝53.所以此点取自阴影部分的概率等于534＝512.1．设f(x)＝x 3＋x ，则⎠⎛－22f(x)dx 的值等于( )A ．0B ．8C ．2⎠⎛02f(x)dxD.⎠⎛02f(x)dx答案 A解析 ⎠⎛－22f(x)dx ＝(14x 4＋12x 2)|2－2＝0.2．下列值等于1的是( )A.⎠⎛01xdxB.⎠⎛01(x ＋1)dxC.⎠⎛011dxD.⎠⎛0112dx 答案 C解析 ⎠⎛011dx ＝x |10＝1.3．(2015·福建莆田一中期末)曲线y ＝sinx ，y ＝cosx 与直线x ＝0，x ＝π2所围成的平面区域的面积为( )A ．⎠⎛0π2(sinx －cosx)dx B ．2⎠⎛0π4(sinx －cosx)dx C ．⎠⎛0π2(cosx －sinx)dx D ．2⎠⎛0π4(cosx －sinx)dx 答案 D解析 当x ∈[0，π2]时，y ＝sinx 与y ＝cosx 的图像的交点坐标为(π4，22)，作图可知曲线y＝sinx ，y ＝cosx 与直线x ＝0，x ＝π2所围成的平面区域的面积可分为两部分：一部分是曲线y ＝sinx ，y ＝cosx 与直线x ＝0，x ＝π4所围成的平面区域的面积；另一部分是曲线y ＝sinx ，y ＝cosx 与直线x ＝π4，x ＝π2所围成的平面区域的面积．且这两部分的面积相等，结合定积分定义可知选D. 4．(2015·山东淄博一模)如图所示，曲线y ＝x 2－1，x ＝2，x ＝0，y ＝0围成的阴影部分的面积为( )A.⎠⎛02|x 2－1|dx B ．|⎠⎛02(x 2－1)dx|C.⎠⎛02(x 2－1)dxD.⎠⎛01(x 2－1)dx ＋⎠⎛12(1－x 2)dx答案 A解析 由曲线y ＝|x 2－1|的对称性，所求阴影部分的面积与如下图形的面积相等，即⎠⎛02|x 2－1|dx ，选A.5．(2016·陕西五校二联)定积分⎠⎛－11(|x|－1)dx 的值为________．答案 －1解析 ⎠⎛－11(|x|－1)dx ＝⎠⎛01(x －1)dx ＋⎠⎛－1(－x －1)dx ＝(12x 2－x)|10＋(－12x 2－x)|－1＝－1.。

【高考调研】2017届高考理科数学一轮课时作业78套(25—28)

【高考调研】2017届高考理科数学一轮课时作业78套(25—28)

【高考调研】2017届高考理科数学一轮课时作业（25—28）第五章 平面向量与复数课时作业(25)1．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，所以a ∥b ；若a ∥b ，则a ＝λb ，a ＋b ＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．2．设a 是任一向量，e 是单位向量，且a ∥e ，则下列表示形式中正确的是( )A ．e ＝a|a |B ．a ＝|a |eC ．a ＝－|a |eD ．a ＝±|a |e 答案 D解析 对于A ，当a ＝0时，a|a |没有意义，错误；对于B ，C ，D 当a ＝0时，选项B ，C ，D 都对； 当a ≠0时，由a ∥e 可知，a 与e 同向或反向，选D.3．(2014·新课标全国Ⅰ文)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( )A.AD →B.12AD →C.BC →D.12BC →答案 A解析 EB →＋FC →＝12(AB →＋CB →)＋12(AC →＋BC →)＝12(AB →＋AC →)＝AD →，故选A.4．如图所示，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是( )A.AB →＝DC →B.AD →＋AB →＝AC →C.AB →－AD →＝BD →D.AD →＋CB →＝0答案 C解析 由AB →－AD →＝DB →＝－BD →，故C 错误．5．若a ，b ，a ＋b 为非零向量，且a ＋b 平分a 与b 的夹角，则( ) A ．a ＝b B ．a ＝－b C ．|a |＝|b | D ．以上都不对 答案 C6．(2016·武汉调研测试)如图所示的方格纸中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则OP →＋OQ →＝( )A.OH →B.OG →C.EO →D.FO →答案 D解析 在方格纸上作出OP →＋OQ →，如图所示，则容易看出OP →＋OQ →＝FO →，故选D.7．(2014·福建文)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于( ) A.OM → B ．2OM →C ．3OM →D ．4OM → 答案 D解析 利用平面向量的平行四边形法则进行加法运算．因为点M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，所以点M 是AC 和BD 的中点．由平行四边形法则知OA →＋OC →＝2OM →，OB →＋OD →＝2OM →，故OA →＋OC →＋OB →＋OD →＝4OM →.8．在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB.若CB →＝a ，CA →＝b ，|a |＝1，|b |＝2，则CD →＝( ) A.13a ＋23b B.23a ＋13b C.35a ＋45b D.45a ＋35b 答案 B解析 由内角平分线定理，得|CA||CB|＝|AD||DB|＝2.∴CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝23CB →＋13CA →＝23a ＋13b .故B 正确．9．已知向量i 与j 不共线，且AB →＝i ＋m j ，AD →＝n i ＋j ，若A ，B ，D 三点共线，则实数m ，n 应该满足的条件是( ) A ．m ＋n ＝1 B ．m ＋n ＝－1 C ．mn ＝1 D ．mn ＝－1 答案 C解析 由A ，B ，D 共线可设AB →＝λAD →，于是有i ＋m j ＝λ(n i ＋j )＝λn i ＋λj .又i ，j 不共线，因此⎩⎪⎨⎪⎧λn -1， λ=m ，即有mn ＝1.10．O 是平面上一定点，A ，B ，C 是该平面上不共线的三个点，一动点P 满足：OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈(0，＋∞)，则直线AP 一定通过△ABC 的( ) A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心 答案 C解析 取BC 中点D.OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，OP →－OA →＝λ(AB →＋AC →)，AP →＝2λAD →. ∴A ，P ，D 三点共线，∴AP 一定通过△ABC 的重心，C 正确．11．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形状是( ) A ．矩形 B ．平行四边形 C ．梯形 D ．以上都不对 答案 C解析 由已知AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC →. ∴AD →∥BC →.又AB →与CD →不平行，∴四边形ABCD 是梯形．12．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C)的充要条件是AP →＝λ(AB →＋AD →)，则λ的取值范围是( ) A ．λ∈(0，1) B ．λ∈(－1，0)C ．λ∈(0，22)D ．λ∈(－22，0)答案 A解析 如图所示，∵点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C)，∴AP →＝λAC →＝λ(AB →＋AD →)．由AP →与AC →同向知，λ>0.又|AP →|<|AC →|， ∴|AP →||AC →|＝λ<1，∴λ∈(0，1)．反之亦然． 13．如图所示，下列结论不正确的是________．①PQ →＝32a ＋32b ；②PT →＝－32a －32b ；③PS →＝32a －12b ； ④PR →＝32a ＋b .答案 ②④解析 由a ＋b ＝23PQ →，知PQ →＝32a ＋32b ，①正确；由PT →＝32a －32b ，从而②错误；PS →＝PT →＋b ，故PS →＝32a －12b ，③正确；PR →＝PT →＋2b ＝32a ＋12b ，④错误．故正确的为①③.14.如图所示，已知∠B ＝30°，∠AOB ＝90°，点C 在AB 上，OC ⊥AB ，用OA →和OB →来表示向量OC →，则OC →等于________．答案 34OA →＋14OB →解析 OC →＝OA →＋AC →＝OA →＋14AB →＝OA →＋14(OB →－OA →)＝34OA →＋14OB →.15．设a 和b 是两个不共线的向量，若AB →＝2a ＋k b ，CB →＝a ＋b ，CD →＝2a －b ，且A ，B ，D 三点共线，则实数k 的值等于________． 答案 －4解析 ∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →∥BD →.∵AB →＝2a ＋k b ，BD →＝BC →＋CD →＝a －2b ，∴k ＝－4.故填－4.16．已知O 为△ABC 内一点，且OA →＋OC →＋2OB →＝0，则△AOC 与△ABC 的面积之比是________． 答案 1∶2解析 如图所示，取AC 中点D.∴OA →＋OC →＝2OD →. ∴OD →＝BO →.∴O 为BD 中点，∴面积比为高之比．17．如图所示，已知点G 是△ABO 的重心．(1)求GA →＋GB →＋GO →；(2)若PQ 过△ABO 的重心G ，且OA →＝a ，OB →＝b ，OP →＝m a ，OQ →＝n b ，求证：1m ＋1n＝3.答案 (1)GA →＋GB →＋GO →＝0 (2)略解析 (1)如图所示，延长OG 交AB 于M 点，则M 是AB 的中点． ∴GA →＋GB →＝2GM →.∵G 是△ABO 的重心， ∴GO →＝－2GM →. ∴GA →＋GB →＋GO →＝0.(2)∵M 是AB 边的中点，∴OM →＝12(OA →＋OB →)＝12(a ＋b )．又∵G 是△ABO 的重心，∴OG →＝23OM →＝13(a ＋b )．∴PG →＝OG →－OP →＝13(a ＋b )－m a ＝(13－m)a ＋13b .而PQ →＝OQ →－OP →＝n b －m a ， ∵P ，G ，Q 三点共线，∴有且只有一个实数λ，使得PG →＝λPQ →. ∴(13－m)a ＋13b ＝λn b －λm a . ∴(13－m ＋λm)a ＋(13－λn)b ＝0. ∵a 与b 不共线，∴⎩⎨⎧13-m+λm=0， 13-λn=0.消去λ，得1m ＋1n ＝3.1．(2016·安徽合肥一模)在梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点．若AB →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ＝________．答案 45解析 连接MN 并延长交AB 的延长线于T ，由已知易得AB ＝45AT ，∴45AT →＝AB →＝λAM →＋μAN →， ∵T ，M ，N 三点共线，∴λ＋μ＝45.2．(2015·新课标全国Ⅱ理)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________．答案 12解析 由于λa ＋b 与a ＋2b 平行，所以存在μ∈R ，使得λa ＋b ＝μ(a ＋2b )，即(λ－μ)a ＋(1－2μ)b ＝0，因为向量a ，b 不平行，所以λ－μ＝0，1－2μ＝0，解得λ＝μ＝12.课时作业(26)1．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且MP →＝12MN →，则P 点的坐标为( )A ．(－8，1)B ．(－1，－32)C ．(1，32) D ．(8，－1)答案 B解析 设P(x ，y)，则MP →＝(x －3，y ＋2)．而12MN →＝12(－8，1)＝(－4，12)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3=－4，y+2=12，解得⎩⎪⎨⎪⎧x=－1， y=－32， ∴P(－1，－32)．故选B.2．已知点A(－1，1)，B(2，y)，向量a ＝(1，2)，若AB →∥a ，则实数y 的值为( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 答案 C解析 AB →＝(3，y －1)，a ＝(1，2)，AB →∥a ，则2³3＝1³(y －1)，解得y ＝7，故选C. 3．与直线3x ＋4y ＋5＝0的方向向量共线的一个单位向量是( ) A ．(3，4) B ．(4，－3)C ．(35，45)D ．(45，－35)答案 D 4．(2015·福建)设a ＝(1，2)，b ＝(1，1)，c ＝a ＋k b .若b ⊥c ，则实数k 的值等于( )A ．－32B ．－53C.53D.32 答案 A解析 因为c ＝(1＋k ，2＋k)，b ·c ＝0，所以1＋k ＋2＋k ＝0，解得k ＝－32，故选A.5．在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，DE 交AF 于H ，记AB →，BC →分别为a ，b ，则AH →＝( ) A.25a －45b B.25a ＋45b C ．－25a ＋45b D ．－25a －45b答案 B解析 设AH →＝λAF →，DH →＝μDE →.而DH →＝DA →＋AH →＝－b ＋λAF →＝－b ＋λ(b ＋12a )，DH →＝μDE →＝μ(a －12b )．因此，μ(a －12b )＝－b ＋λ(b ＋12a )．由于a ，b 不共线，因此由平面向量的基本定理，得⎩⎨⎧μ＝12λ，－12μ＝－1＋λ.解之得λ＝45，μ＝25. 故AH →＝λAF →＝λ(b ＋12a )＝25a ＋45b .故选B.6．(2016·湖北襄樊一模)已知OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点不能构成三角形，则实数k 应满足的条件是( )A ．k ＝－2B ．k ＝12C ．k ＝1D ．k ＝－1 答案 C解析 若点A ，B ，C 不能构成三角形，则向量AB →与AC →共线. 因为AB →＝OB →－OA →＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，AC →＝OC →－OA →＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)．所以1³(k ＋1)－2k ＝0，解得k ＝1，故选C.7．已知命题：“若k 1a ＋k 2b ＝0，则k 1＝k 2＝0”是真命题，则下面对a ，b 的判断正确的是( )A ．a 与b 一定共线B ．a 与b 一定不共线C ．a 与b 一定垂直D ．a 与b 中至少有一个为0 答案 B解析 由向量共线基本定理易知．8．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2，4)，若表示向量4a ，3b －2a ，c 的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c 为( ) A ．(1，－1) B ．(－1，1) C ．(－4，6) D ．(4，－6) 答案 D解析 由题知4a ＝(4，－12)，3b －2a ＝(－6，12)－(2，－6)＝(－8，18)，由4a ＋(3b －2a )＋c ＝0，知c ＝(4，－6)，选D.9．(2014·陕西卷理改编)已知向量a ＝(cos α，－2)，b ＝(sin α，1)，且a ∥b ，则tan (α－π4)等于( ) A ．3 B ．－3 C.13 D ．－13 答案 B解析 ∵a ＝(cos α，－2)，b ＝(sin α，1)，且a ∥b ， ∴sin αcos α＝1－2，∴tan α＝－12.∴tan (α－π4)＝tan α－11＋tan α＝－12－11－12＝－3.10．如图所示，A ，B 分别是射线OM ，ON 上的两点，且OA →＝12OM →，OB →＝14ON →，给出下列向量：①OA →＋2OB →；②12OA →＋13OB →； ③34OA →＋13OB →； ④34OA →＋15OB →； ⑤34OA →－15OB →. 这些向量中以O 为起点，终点在阴影区域内的是( ) A ．①② B ．①④ C ．①③ D ．⑤ 答案 C解析 由向量的平行四边形法则利用尺规作图，可得：终点在阴影区域内的是①③.11．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设向量OA →＝a ，OB →＝b ，其中a ＝(3，1)，b ＝(1，3)．若OC →＝λa ＋μb ，且0≤λ≤μ≤1，则C 点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是( )答案 A解析 由题意知OC →＝(3λ＋μ，λ＋3μ)，取特殊值，λ＝0，μ＝0，知所求区域包含原点，取λ＝0，μ＝1，知所求区域包含(1，3)，从而选A.12．已知A(－3，0)，B(0，3)，O 为坐标原点，C 在第二象限，且∠AOC ＝30°，OC →＝λOA →＋OB →，则实数λ的值为________． 答案 1解析 由题意知OA →＝(－3，0)，OB →＝(0，3)，则OC →＝(－3λ，3)．由∠AOC ＝30°知以x 轴的非负半轴为始边，OC 为终边的一个角为150°，∴tan150°＝3－3λ，即－33＝－33λ，∴λ＝1.13．若平面向量a ，b 满足|a ＋b |＝1，a ＋b 平行于y 轴，a ＝(2，－1)，则b ＝________． 答案 (－2，0)或(－2，2)解析 设b ＝(x ，y)，则a ＋b ＝(x ＋2，y －1)． ∵|a ＋b |＝1，∴(x ＋2)2＋(y －1)2＝1.又∵a ＋b 平行于y 轴，∴x ＝－2，代入上式，得y ＝0或2. ∴b ＝(－2，0)或b ＝(－2，2)．14．已知|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →²OB →＝0，点C 在∠AOB 内，且∠AOC ＝30°.设OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m n＝________．答案 3解析 方法一：如图所示，∵OA →·OB →＝0，∴OB →⊥OA →.不妨设|OC →|＝2，过C 作CD →⊥OA →于D ，CE →⊥OB →于E ，则四边形ODCE 是矩形． OC →＝OD →＋DC →＝OD →＋OE →. ∵|OC →|＝2，∠COD ＝30°，∴|DC →|＝1，|OD →|＝ 3.又∵|OB →|＝3，|OA →|＝1，故OD →＝ 3 OA →，OE →＝33OB →.∴OC →＝ 3 OA →＋33OB →，此时m ＝3，n ＝33.∴m n ＝333＝3. 方法二：由OA →·OB →＝0知△AOB 为直角三角形，以OA ，OB 所在直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系，则可知OA →＝(1，0)，OB →＝(0，3)．又由OC →＝mOA →＋nOB →，可知OC →＝(m ，3n)，故由tan30°＝3n m ＝33，可知m n＝3.15．已知A ，B ，C 三点的坐标分别为(－1，0)，(3，－1)，(1，2)，并且AE →＝13AC →，BF →＝13BC →.(1)求E ，F 的坐标；(2)求证：EF →∥AB →.答案 (1)E(－13，23)，F(73，0) (2)略解析 (1)设E ，F 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则依题意，得AC →＝(2，2)，BC →＝(－2，3)，AB →＝(4，－1)．∴AE →＝13AC →＝(23，23)，BF →＝13BC →＝(－23，1)．∴AE →＝(x 1，y 1)－(－1，0)＝(23，23)，BF →＝(x 2，y 2)－(3，－1)＝(－23，1)．∴(x 1，y 1)＝(23，23)＋(－1，0)＝(－13，23)，(x 2，y 2)＝(－23，1)＋(3，－1)＝(73，0)．∴E 的坐标为(－13，23)，F 的坐标为(73，0)．(2)由(1)知(x 1，y 1)＝(－13，23)，(x 2，y 2)＝(73，0)．∴EF →＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1)＝(83，－23)．又4³(－23)－(－1)³83＝0，∴EF →∥AB →.16．已知向量m ＝(0，－1)，n ＝(cosA ，2cos 2C2)，其中A 、B 、C 是△ABC 的内角，且A 、B 、C 依次成等差数列，求|m ＋n |的取值范围．答案 [22，52)解析 2B ＝A ＋C ，B ＝π3，A ＋C ＝2π3，∴0<A<2π3.m ＋n ＝(cosA ，2cos 2C2－1)＝(cosA ，cosC)，|m ＋n |＝cos 2A ＋cos 2C ＝1＋cos2A 2＋1＋cos2C2＝1＋12[cos2A ＋cos （4π3－2A ）]＝1＋12cos （2A ＋π3），∵π3<2A ＋π3<5π3，∴－1≤cos(2A ＋π3)<12. ∴|m ＋n |∈[22，52)．17．已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1，2)． (1)若a ∥b ，求tan θ的值；(2)若|a |＝|b |，0<θ<π，求θ的值．答案 (1)14 (2)π2或3π4解析 (1)因为a ∥b ，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ，于是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝14.(2)由|a |＝|b |知，sin 2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5，所以 1－2sin2θ＋4sin 2θ＝5.从而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，即sin2θ＋cos2θ＝－1，于是sin (2θ＋π4)＝－22.又由0<θ<π知，π4<2θ＋π4<9π4，所以2θ＋π4＝5π4或2θ＋π4＝7π4.因此θ＝π2或θ＝3π4.1．设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2，1)，则“a ＝(4，2)”是“a ∥b ”成立的是( ) A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 若a ＝(4，2)，则|a |＝25，且a ∥b 都成立； 因a ∥b ，设a ＝λb ＝(2λ，λ)，由|a |＝25，得4λ2＋λ2＝20. ∴λ2＝4，∴λ＝±2.∴a ＝(4，2)或a ＝(－4，－2)．因此“a ＝(4，2)”是“a ∥b ”成立的充分不必要条件．2．在平面直角坐标系中，点O(0，0)，P(6，8)，将向量OP →绕点O 按逆时针方向旋转3π4后得向量OQ →，则点Q 的坐标是( ) A ．(－72，－2) B ．(－72，2) C ．(－46，－2) D ．(－46，2) 答案 A解析 设OP →与x 轴正半轴的夹角为θ，则cos θ＝35，sin θ＝45，则由三角函数定义，可得OQ→＝(|OP →|cos (θ＋3π4)，|OP →|sin (θ＋3π4))．∵|OP →|cos (θ＋3π4)＝62＋82³(cos θcos 3π4－sin θsin 3π4)＝10³[35³(－22)－45³22]＝－72，|OP →|sin (θ＋3π4)＝62＋82³(sin θcos 3π4＋cos θsin 3π4)＝10³[45³(－22)＋35³22]＝－2，∴OQ →＝(－72，－2)，即点Q 的坐标为(－72，－2)．3．在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，AN →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为 ( ) A.12 B.13 C.14D ．1 答案 A解析 ∵M 为边BC 上任意一点，∴可设AM →＝xAB →＋yAC →(x ＋y ＝1)．∵N 为AM 中点， ∴AN →＝12AM →＝12xAB →＋12yAC →＝λAB →＋μAC →.∴λ＋μ＝12(x ＋y)＝12.4．已知a ＝(6，1)，b ＝(－2，2)，若单位向量c 与2a ＋3b 共线，则向量c 的坐标为________．答案 ±(35，45)解析 2a ＋3b ＝2(6，1)＋3(－2，2)＝(6，8)， ∵单位向量c 与(6，8)共线，∴c ＝±（6，8）36＋64＝±(35，45)．5．若平面向量a ，b 满足|a ＋b |＝1，a ＋b 平行于x 轴，b ＝(2，－1)，则a ＝________． 答案 (－1，1)或(－3，1)解析 设a ＝(x ，y)，∵b ＝(2，－1)，则a ＋b ＝(x ＋2，y －1)，∵a ＋b 平行于x 轴，∴y －1＝0，y ＝1，故a ＋b ＝(x ＋2，0)，又∵|a ＋b |＝1，∴|x ＋2|＝1，∴x ＝－1或x ＝－3， ∴a ＝(－1，1)或a ＝(－3，1)．6．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)．若a －2b 与c 共线，则k ＝________．答案 1解析 a －2b ＝(3，3)，根据a －2b 与c 共线，得方程3k ＝3·3，解得k ＝1.7．如图所示，|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝3，∠AOB ＝60°，OB →⊥OC →，设OC →＝xOA →＋yOB →.求实数x ，y 的值．答案 x ＝－2，y ＝1解析 过C 作CD ∥OB ，交OA 的反向延长线于点D ，连接BC ，由|OB →|＝1，|OC →|＝3， OB →⊥OC →，得∠OCB ＝30°.又∠COD ＝30°，∴BC ∥OD ，∴OC →＝OD →＋OB →＝－2OA →＋OB →.∴x ＝－2，y ＝1.课时作业(27)1．(2016·山东威海质检)已知a ＝(1，2)，2a －b ＝(3，1)，则a ·b ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案 D解析 ∵a ＝(1，2)，2a －b ＝(3，1)，∴b ＝2a －(3，1)＝2(1，2)－(3，1)＝(－1，3)． ∴a ·b ＝(1，2)·(－1，3)＝－1＋2³3＝5. 2．(2016·长沙雅礼中学月考)已知a ，b 为单位向量，其夹角为60°，则(2a －b )·b ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 答案 B解析 由已知得|a |＝|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°，∴(2a －b )·b ＝2a ·b －b 2＝2|a ||b |cos 〈a ，b 〉－|b |2＝2³1³1³cos60°－12＝0，故选B.3．已知点A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( )A.322B.3152C ．－322D ．－3152答案 A解析 AB →＝(2，1)，CD →＝(5，5)，|CD →|＝52，故AB →在CD →上的投影为AB →·CD →|CD →|＝1552＝32 2.4．(2014·新课标全国Ⅱ)设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a·b ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．5 答案 A解析 由条件可得(a ＋b )2 ＝10，(a －b )2＝6，两式相减，得4a·b ＝4，所以a·b ＝1.5．(2016·珠海质检)已知a ，b 均为单位向量，(2a ＋b )·(a －2b )＝－332，则向量a ，b 的夹角为( ) A.π6 B.π4 C.3π4 D.5π6 答案 A解析 因为a ，b 均为单位向量，所以(2a ＋b )·(a －2b )＝2－2－3a ·b ＝－332 ，解得a ·b ＝32，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝32，又〈a ，b 〉∈[0，π]，所以〈a ，b 〉＝π6.6．(2015·广东文)在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB →＝(1，－2)，AD →＝(2，1)，则AD →²AC →＝( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 答案 A解析 由AC →＝AB →＋AD →＝(1，－2)＋(2，1)＝(3，－1)，得AD →·AC →＝(2，1)·(3，－1)＝5，故选A. 7．(2014·大纲全国理)若向量a ，b 满足：|a |＝1，(a ＋b )⊥a ，(2a ＋b )⊥b ，则|b|＝( ) A ．2 B. 2C ．1 D.22答案 B解析 利用向量的运算列式求解．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧（a ＋b ）·a ＝0， （2a ＋b ）·b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b ·a ＝0，①2a ²b ＋b 2＝0，② 将①³2－②，得2a 2－b 2＝0.∴b 2＝|b |2＝2a 2＝2|a |2＝2，故|b |＝ 2.8．(2013·福建)在四边形ABCD 中，AC →＝(1，2)，BD →＝(－4，2)，则该四边形的面积为( )A. 5 B ．2 5 C ．5 D ．10 答案 C解析 AC →·BD →＝(1，2)·(－4，2)＝0，故AC →⊥BD →.故四边形ABCD 的对角线互相垂直，面积S ＝12·|AC →|·|BD →|＝12³5³25＝5，选C.9．已知a ，b 是非零向量，且向量a ，b 的夹角为π3，若向量p ＝a |a |＋b|b |，则|p |＝( )A ．2＋ 3B.2＋ 3 C ．3 D. 3答案 D解析 ∵|p |2＝1＋1＋2cos π3，∴|p |＝ 3.10．已知两个非零向量a ，b ，满足|a ＋b |＝|a －b |，则下面结论正确的是( ) A ．a ∥b B ．a ⊥b C ．|a |＝|b | D ．a ＋b ＝a －b 答案 B解析 由|a ＋b |＝|a －b |，两边平方并化简，得a ·b ＝0.又a ，b 都是非零向量，所以a ⊥b . 11．已知向量a ＝(1，2)，a ²b ＝5，|a －b |＝25，则|b |等于( ) A. 5 B ．2 5 C ．5 D ．25 答案 C解析 由a ＝(1，2)，可得a 2＝|a |2＝12＋22＝5. ∵|a －b |＝25，∴a 2－2a ·b ＋b 2＝20.∴5－2³5＋b 2＝20.∴b 2＝25.∴|b |＝5，故选C.12．如图所示，已知正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6，则下列向量的数量积中最大的是( )A.P 1P 2→²P 1P 3→B.P 1P 2→²P 1P 4→C.P 1P 2→²P 1P 5→D.P 1P 2→²P 1P 6→ 答案 A解析 由于P 1P 2→⊥P 1P 5→，故其数量积是0，可排除C ；P 1P 2→与P 1P 6→的夹角为23π，故其数量积小于0，可排除D ；设正六边形的边长是a ，则P 1P 2→·P 1P 3→＝|P 1P 2→||P 1P 3→|cos30°＝32a 2，P 1P 2→·P 1P 4→＝|P 1P 2→||P 1P 4→|cos60°＝a 2.故选A.13．(2014·陕西文)设0<θ<π2，向量a ＝(sin2θ，cos θ)，b ＝(1，－cos θ)，若a·b ＝0，则tan θ＝________．答案 12解析 利用向量的数量积列出关于θ的三角等式并利用倍角公式、同角三角函数的基本关系式变形求解． 因为a·b ＝0，所以sin2θ－cos 2θ＝0，2sin θcos θ＝cos 2θ.因为0<θ<π2，所以cos θ>0，得2sin θ＝cos θ，tan θ＝12.14．(2013·江西理)设e 1，e 2为单位向量，且e 1，e 2的夹角为π3，若a ＝e 1＋3e 2，b ＝2e 1，则向量a 在b 方向上的投影为________．答案 52解析 向量a 在b 方向上的投影为|a |·cos 〈a ，b 〉＝a·b|b|，又a·b ＝(e 1＋3e 2)·2e 1＝2e 12＋6e 1·e 2＝2＋6³12＝5，|b |＝|2e 1|＝2，∴|a |·cos 〈a ，b 〉＝52.15．若平面向量a ，b 满足|2a －b |≤3，则a ·b 的最小值是________．答案 －98解析 由|2a －b |≤3可知，4a 2＋b 2－4a ·b ≤9，所以4a 2＋b 2≤9＋4a ·b .而4a 2＋b 2＝|2a |2＋|b |2≥2|2a |·|b |≥－4a ·b ，所以a ·b ≥－98，当且仅当2a ＝－b 时取等号．16．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →²CB →的值为________；DE →·DC →的最大值为________． 答案 1，1解析 以D 为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示．则D(0，0)，A(1，0)，B(1，1)，C(0，1)．设E(1，a)(0≤a ≤1)，所以DE →·CB →＝(1，a)·(1，0)＝1，DE →·DC →＝(1，a)·(0，1)＝a ≤1.故DE →·DC →的最大值为1.17．设两个向量e 1，e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1与e 2的夹角为π3，若向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．答案 (－7，－142)∪(－142，－12)解析 由向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角，得（2t e 1＋7e 2）·（e 1＋t e 2）|2t e 1＋7e 2||e 1＋t e 2|<0，即(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0，化简即得2t 2＋15t ＋7<0，解得－7<t<－12.当夹角为π时，也有(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0， 但此时夹角不是钝角．设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)，λ<0，可求得⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝λ， 7＝λt ，λ<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－14，t =－142.∴所求实数t 的范围是(－7，－142)∪(－142，－12)． 18．(2016·浙江余杭高中期中)已知向量m ＝(1，1)，向量n 与向量m 的夹角为34π，且m·n＝－1.(1)求向量n ；(2)若向量n 与向量q ＝(1，0)的夹角为π2，向量p ＝(2sinA ，4cos 2A2)，求|2n ＋p |的值．答案 (1)n ＝(－1，0)或n ＝(0，－1) (2)2 解析 (1)设n ＝(x ，y)， 由m·n ＝－1，有x ＋y ＝－1. ①∵m ·n ＝|m|·|n|cos 34π＝－1，∴|n |＝1，则x 2＋y 2＝1. ②由①②得⎩⎨⎧x=-1， y=0或⎩⎪⎨⎪⎧x=0， y=-1，即n ＝(－1，0)或n ＝(0，－1)．(2)由n 与q 垂直，得n ＝(0，－1)．∴2n ＋p ＝(2sinA ，4cos 2A2－2)＝(2sinA ，2cosA)．∴|2n ＋p |＝4sin 2A ＋4cos 2A ＝2.1．(2014·重庆理)已知向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( )A ．－92B ．0C ．3 D.152答案 C解析 因为2a －3b ＝(2k －3，－6)，(2a －3b )⊥c ，所以(2a －3b )·c ＝2(2k －3)－6＝0，解得k ＝3，选C.2．(2014·天津)已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2.设点P ，Q 满足AP →＝λAB →，AQ →＝(1－λ)AC →，λ∈R ，若BQ →²CP →＝－32，则λ＝( )A.12B.1±22C.1±102 D.－3±222答案 A解析 以点A 为坐标原点，AB 所以直线为x 轴建立平面直角坐标系，则B(2，0)，C(1，3)，由AP →＝λAB →，得P(2λ，0)，由AQ →＝(1－λ)AC →，得Q(1－λ，3(1－λ))，所以BQ →·CP →＝(－λ－1，3(1－λ))·(2λ－1，－3)＝－(λ＋1)(2λ－1)－3³3(1－λ)＝－32，解得λ＝12.3．已知a ，b 都是单位向量，a ·b ＝－12，则|a －b |＝( )A. 3 B ．3 C ．2 D ．1 答案 A解析 ∵|a －b |2＝(a －b )2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2＝3，∴|a －b |＝ 3. 4．设a ，b ，c 是单位向量，且a ＋b ＝c ，则a ·c 的值为( )A ．2 B.12C ．3 D.13答案 B解析 由|a|＝|b|＝|c|＝1，|b|＝|c |－|a|，两边平方得b 2＝(c －a )2，∴1＝1＋1－2a ·c ，∴a ·c ＝12.5．(2016·海淀区期末)设向量a ＝(1，0)，b ＝(12，12)，则下列结论中正确的是( )A ．|a |＝|b |B ．a ²b ＝22C ．a ∥bD ．a －b 与b 垂直 答案 D6．已知|a |＝1，|b |＝3，a ＋b ＝(3，1)，则a ＋b 与a －b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6 答案 C解析 由a ＋b ＝(3，1)得|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝4，又|a |＝1，|b |＝3，所以|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝1＋2a ·b ＋3＝4，解得2a ·b ＝0，所以|a －b |＝|a －b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2＝2，设a ＋b 与a －b 的夹角为θ，则由夹角公式可得cos θ＝（a ＋b ）·（a －b ）|a ＋b ||a －b |＝|a |2－|b |22³2＝－12，且θ∈[0，π]，所以θ＝23π，即a ＋b 与a －b 的夹角为23π.7．在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →²BE →＝1，则AB 的长为________．答案 12解析 如图所示，在平行四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，BE →＝BC →＋CE →＝－12AB →＋AD →.所以AC →·BE →＝(AB →＋AD →)·(－12AB →＋AD →)＝－12|AB →|2＋|AD →|2＋12AB →·AD →＝－12|AB →|2＋14|AB →|＋1＝1，解方程得|AB →|＝12(舍去|AB →|＝0)，所以线段AB 的长为12.8．在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，若AB ＝3，BD ＝1，则AB →²CD →＝________．答案 152解析 如图所示，AB →·AD →＝AB →·(AB →＋BD →)＝9＋3³cos120°＝152，故填152.9．(2015·天津文)在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝23BC →，DF →＝16DC →，则AE →²AF →的值为________．答案 2918解析 方法一：作CO ⊥AB 于O ，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(－32，0)，B(12，0)，C(0，32)，D(－1，32)，所以E(16，33)，F(－56，32)，所以AE →·AF→＝(53，33)·(23，32)＝109＋12＝2918. 方法二：也可利用向量的线性运算解． 10．(2014·江苏)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →²AF →＝2，则AE →²BF →的值是________．答案 2解析 以A 为坐标原点，AB ，AD 所在的直线分别为x ，y 轴建立直角坐标系，则B(2，0)，E(2，1)，D(0，2)，C(2，2)．设F(x ，2)(0≤x ≤2)，由AB →·AF →＝2⇒2x ＝2⇒x＝1，所以F(1，2)，AE →·BF →＝(2，1)·(1－2，2)＝ 2.11．已知a ＝(2，－3)，b ＝(－3，4)，则a －b 在a ＋b 方向上的投影为________． 答案 －6 2解析 因为a －b ＝(5，－7)，a ＋b ＝(－1，1)，所以(a －b )·(a ＋b )＝－5－7＝－12，|a ＋b |＝（－1）2＋12＝2，所以a －b 在a ＋b 方向上的投影为－122＝－6 2.12．若向量OA →＝(1，－3)，|OA →|＝|OB →|，OA →²OB →＝0，则|AB →|＝________． 答案 2 5解析 方法一：设OB →＝(x ，y)，由|OA →|＝|OB →|，知x 2＋y 2＝10.又OA →·OB →＝x －3y ＝0，所以x ＝3，y ＝1，或x ＝－3，y ＝－1.当x ＝3，y ＝1时，|AB →|＝25；当x ＝－3，y ＝－1时，|AB →|＝25，则|AB →|＝2 5.方法二：由几何意义知，|AB →|就是以OA →，OB →为邻边的正方形的对角线长，所以|AB →|＝2 5.13．(2014·新课标全国Ⅰ理)已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC →的夹角为________． 答案 90°解析 ∵AO →＝12(AB →＋AC →)，∴点O 是△ABC 中边BC 的中点．∴BC 为直径，根据圆的几何性质有〈AB →，AC →〉＝90°.课时作业(28)1．若(x ＋i)2是纯虚数(其中i 为虚数单位)，则x ＝( ) A ．±1 B ．2 C ．－1 D ．1 答案 A解析 (x ＋i)2＝x 2－1＋2xi ，因为(x ＋i)2是纯虚数，所以x ＝±1.2．(2016·河北辛集中学月考)若复数2－bi1＋2i(b ∈R )的实部与虚部互为相反数，则b 等于( )A. 2B.23C ．－23D ．2答案 C解析2－bi 1＋2i ＝（2－bi ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝2－2b －（4＋b ）i5，由题意得2－2b 5－4＋b 5＝0，得b ＝－23.3．(2015·湖北理)i 为虚数单位，i 607的共轭复数为( ) A ．i B ．－i C ．1 D ．－1 答案 A解析 i 607＝i 4³151·i 3＝－i ，又－i 的共轭复数为i ，选A.4．(2015·山东)若复数z 满足z－1－i＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( )A ．1－iB ．1＋iC ．－1－iD ．－1＋i 答案 A解析 由已知z －＝i(1－i)＝i －i 2＝i ＋1，所以z ＝1－i.故选A.5．(2015·新课标全国Ⅰ理)设复数z 满足1＋z1－z＝i ，则|z|＝( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．2 答案 A解析 由题意知1＋z ＝i －zi ，所以z ＝i －1i ＋1＝（i －1）2（i ＋1）（i －1）＝i ，所以|z|＝1.6．在复平面内，复数z ＝cos3＋isin3(i 是虚数单位)对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案 B解析 因为π2<3<π，所以cos3<0，sin3>0，故点(cos3，sin3)在第二象限，即复数z ＝cos3＋isin3对应的点位于第二象限．7．(2016·湖北武汉二中模拟)已知复数z ＝（tan θ－3）i －1i ，则“θ＝π3”是“z 是纯虚数”的( )A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 当θ＝π3时，z 是纯虚数；反之不成立．故“θ＝π3”是“z 是纯虚数”的充分不必要条件．8．已知x ，y ∈R ，i 为虚数单位，且(x －2)i －y ＝－1＋i ，则(1＋i)x ＋y 的值为( ) A ．4 B ．－4 C ．4＋4i D ．2i 答案 B解析 由x －2＝1，y ＝1，得(1＋i)4＝(2i)2＝－4.9．下面是关于复数z ＝2－1＋i的四个命题：p 1：|z|＝2, p 2：z 2＝2i ，p 3：z 的共轭复数为1＋i, p 4：z 的虚部为－1. 其中的真命题为( ) A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 2 C ．p 2，p 4 D ．p 3，p 4答案 C解析 ∵z ＝2－1＋i＝－1－i ，∴|z|＝2，z 2＝(－1－i)2＝(1＋i)2＝2i ，z 的共轭复数为－1＋i ，z 的虚部为－1，综上可知p 2，p 4是真命题．10．已知函数f(x)＝x 2，i 是虚数单位，则在复平面中复数f （1－i ）2＋i对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 C解析 f （1－i ）2＋i ＝（1－i ）2（2－i ）（2＋i ）（2－i ）＝－2i （2－i ）（2＋i ）（2－i ）＝－2－4i5，在复平面内对应的点(－25，－45)位于第三象限，故选C. 11．(2016·沧州七校联考)i 为虚数单位，1i ＋1i 3＋1i 5＋1i7＝( )A ．0B ．2iC ．－2iD ．4i 答案 A解析 ∵i 2＝－1，∴1i ＋1i 3＋1i 5＋1i 7＝1i －1i ＋1i －1i＝0.12．(2016·西安八校联考)已知i 是虚数单位，则i 2 0151＋i＝( )A.1－i 2B.1＋i 2C.－1－i 2D.－1＋i 2答案 C解析 i 2 0151＋i ＝－i 1＋i＝－i （1－i ）2＝－1－i 2，故选C.13．设z 是复数，α(z)表示满足z n ＝1的最小正整数n ，则对虚数单位i ，α(i)＝( ) A ．8 B ．6 C ．4 D ．2 答案 C解析 ∵α(z)表示满足z n ＝1的最小正整数n ，∴α(i)表示满足i n ＝1的最小正整数n.∵i 2＝－1，∴i 4＝1，∴α(i)＝4.14．设z 的共轭复数是z －，若z ＋z －＝4，z ²z －＝8，则z －z＝( )A ．iB ．－iC ．±1D ．±i 答案 D解析 设z ＝a ＋bi(a ，b ∈R )，则⎩⎪⎨⎪⎧2a=4，a 2 +b 2 =8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a=2，b=±2.当z ＝2＋2i 时，z －z ＝－i ，当z ＝2－2i 时，z－z＝i.15．(2016·南京模拟)若复数z ＝(1＋i)(3－ai)(i 为虚数单位)为纯虚数，则实数a ＝________． 答案 －3解析 因为z ＝(1＋i)(3－ai)＝(3＋a)＋(3－a)i 为纯虚数，所以a ＋3＝0且3－a ≠0，即a ＝－3. 16．(2016·福建厦门质检)若复数z 满足(1＋2i)z ＝|3＋4i|(i 为虚数单位)，则复数z 等于_____．答案 1－2i解析 ∵(1＋2i)z ＝|3＋4i|＝5，∴z ＝51＋2i ＝5（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝1－2i. 17．i 是虚数单位，(21－i )2 014＋(1＋i 1－i)6＝________． 答案 －1－i解析 原式＝[(21－i )2]1 007＋(1＋i 1－i )6＝(2－2i)1 007＋i 6＝i 1 007＋i 6＝i 4³251＋3＋i 4＋2＝i 3＋i 2＝－1－i. 18．已知i 为虚数单位，复数z 满足1＋i ＝z(－1＋i)，则复数z 2 016等于________． 答案 1解析 ∵z ＝1＋i －1＋i ＝1＋i i 2＋i ＝1i＝－i ，∴z 2 016＝1. 19．已知实数m ，n 满足m 1＋i＝1－ni(其中i 是虚数单位)，求双曲线mx 2－ny 2＝1的离心率． 答案 3解析 m ＝(1＋i)(1－ni)＝(1＋n)＋(1－n)i ，则⎩⎨⎧m=1+n ，1-n=0， ∴n ＝1，m ＝2，从而e ＝ 3.20．已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1z 2是实数，求z 2.答案 z 2＝4＋2i解析 (z 1－2)(1＋i)＝1－i ⇒z 1＝2－i ，设z 2＝a ＋2i ，a ∈R ，则z 1z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a)i.∵z 1z 2∈R ，∴a ＝4，∴z 2＝4＋2i.1．若复数z 1，z 2在复平面内的对应点分别为(1，1)，(0，－2)，则复数z ＝z －1²z 2在复平面内的对应点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 C解析 由题意，z 1＝1＋i ，z 2＝－2i ，则z －1＝1－i ，z －1·z 2＝(1－i)·(－2i)＝－2i ＋2i 2＝－2－2i ，即z ＝－2－2i ，因而对应点位于第三象限，故选C.2. (2016·唐山一中)若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z 1＋i的点是 ( )A ．EB ．FC ．GD ．H答案 D 解析 依题意得z ＝3＋i ，z 1＋i ＝3＋i 1＋i ＝（3＋i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝4－2i 2＝2－i ， 该复数对应的点的坐标是(2，－1)，选D.3．(2012·天津)i 是虚数单位，复数7－i 3＋i＝( ) A ．2＋i B ．2－iC ．－2＋iD ．－2－i答案 B解析 7－i 3＋i ＝（7－i ）（3－i ）（3＋i ）（3－i ）＝20－10i 10＝2－i. 4．设复数z 的共轭复数是z －，若复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1²2是实数，则实数t 等于( )A.34B.43C ．－43D ．－34答案 A解析 z 1·z 2＝(3＋4i)(t －i)＝(3t ＋4)＋(4t －3)i 是实数，则4t －3＝0，∴t ＝34. 5．(2016·长春质量监测)复数1－i 2－i的共轭复数对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 A解析 1－i 2－i ＝35－15i ，所以其共轭复数为35＋15i.故选A. 6．(2015·山东青岛一模)已知a ＋2i i＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b ＝______． 答案 1解析 因为a ＋2i i＝b ＋i ，所以2－ai ＝b ＋i.由复数相等的充要条件得b ＝2，a ＝－1，故a ＋b ＝1.7．(2015·重庆理)设复数a ＋bi(a ，b ∈R )的模为3，则(a ＋bi)(a －bi)＝________． 答案 3解析 设z ＝a ＋bi ，则(a ＋bi)(a －bi)＝z z －＝|z|2＝3.。

【高考调研】2017届高考理科数学一轮课时作业78套(69—72)

【高考调研】2017届高考理科数学一轮课时作业78套(69—72)

【高考调研】2017届高考理科数学一轮课时作业（69—72）第十章 算法初步与统计课时作业(69)1. (2015·陕西理)根据下面的图，当输入x 为2 006时，输出的y ＝( )A ．28B ．10C ．4D ．2答案 B解析 初始条件：x ＝2 006；第1次运行：x ＝2 004；第2次运行：x ＝2 002；第3次运行：x ＝2 000；……；第1 003次运行：x ＝0；第1 004次运行：x ＝－2.不满足条件x ≥0，停止运行，所以输出的y ＝32＋1＝10，故选B 项． 2．(2015·四川)执行如图所示的程序框图，输出S 的值是( )A ．－32 B.32 C ．－12 D.12答案 D解析 这是一个循环结构，每次循环的结果依次为：k ＝2；k ＝3；k ＝4；k ＝5，大于4，所以输出的S ＝sin 5π6＝12，选D 项．3．(2015·北京)执行如图所示的程序框图，输出的结果为( )A ．(－2，2)B ．(－4，0)C ．(－4，－4)D ．(0，－8)答案 B解析 初始值x ＝1，y ＝1，k ＝0，执行程序框图，则s ＝0，t ＝2，x ＝0，y ＝2，k ＝1；s ＝－2，t ＝2，x ＝－2，y ＝2，k ＝2；s ＝－4，t ＝0，x ＝－4，y ＝0，k ＝3，此时输出(x ，y)，则输出的结果为(－4，0)，选B. 4．(2013·福建理)阅读如图所示的程序框图，若输入的k ＝10，则该算法的功能是( )A ．计算数列{2n －1}的前10项和 B ．计算数列{2n －1}的前9项和 C ．计算数列{2n －1}的前10项和 D ．计算数列{2n －1}的前9项和答案 A解析 i ＝1，S ＝1；i ＝2，S ＝1＋2；i ＝3，S ＝1＋2×(1＋2)＝1＋2＋22；i ＝4，S ＝1＋2×(1＋2＋22)＝1＋2＋22＋23；…，故i ＝10时，S ＝1＋2＋22＋…＋29，故选A.5．如图是计算函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ln （－x ），x ≤－2，0，－2<x ≤3，2x ，x>3的值的程序框图，在①，②，③处应分别填入的是( )A ．y ＝ln(－x)，y ＝0，y ＝2xB ．y ＝ln(－x)，y ＝2x ，y ＝0C ．y ＝0，y ＝2x ，y ＝ln(－x)D ．y ＝0，y ＝ln(－x)，y ＝2x 答案 B解析 依题意得，当x ≤－2时，y ＝ln(－x)，因此①处应填y ＝ln(－x)；当－2<x ≤3时，y ＝0，因此③处应填y ＝0；当x>3时，y ＝2x ，因此②处应填y ＝2x .综上所述，选B. 6．如图是计算13＋23＋…＋103的程序框图，图中的①，②分别为( )A ．s ＝s ＋i ，i ＝i ＋1B ．s ＝s ＋i 3，i ＝i ＋1C ．i ＝i ＋1，s ＝s ＋iD ．i ＝i ＋1，s ＝s ＋i 3答案 B解析 ①是循环变量s ＝s ＋i 3；②是计数变量i ＝i ＋1.7．(2016·山东师大附中模拟)一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是163，则判断框内应填入的条件是( )A ．i<4?B ．i>4?C ．i<5?D ．i>5?答案 B解析 i ＝1进入循环，i ＝2，T ＝1，P ＝151＋2＝5；再循环，i ＝3，T ＝2，P ＝52＋3＝1；再循环，i ＝4，T ＝3，P ＝13＋4＝17；再循环，i ＝5，T ＝4，P ＝174＋5＝163.此时应满足判断条件，所以判断框内条件应为i>4？. 8．(2016·河南漯河调研)随机抽取某产品n 件，测得其长度分别是a 1，a 2，…，a n ，如下图所示的程序框图输出样本的平均值s ，则在处理框①中应填入的式子是()A ．s ＝s ＋a iiB ．s ＝is ＋a ii ＋1C ．s ＝s ＋a iD ．s ＝（i －1）s ＋a ii答案 D 9．(2014·四川理)执行如图所示的程序框图，如果输入的x ，y ∈R ，那么输出的S 的最大值为()A ．0B ．1C ．2D ．3答案 C解析 根据程序框图给出的流程求解．当条件x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1不成立时输出S 的值为1，当条件x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1成立时S ＝2x ＋y ，下面用线性规划的方法求此时S 的最大值．作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1表示的平面区域如图中阴影部分，由图可知当直线S ＝2x ＋y 经过点M(1，0)时S 最大，其最大值为2×1＋0＝2，故输出S 的最大值为2.10．运行如图所示的程序，若结束时输出的结果不小于3，则t 的取值范围为( )A ．t ≥14B ．t ≥18C ．t ≤14D ．t ≤18答案 B解析 依次执行循环体得，第一次执行：n ＝2，x ＝2t ，a ＝1；第二次执行：n ＝4，x ＝4t ，a＝3；第三次执行：n ＝6，x ＝8t ，a ＝3，此时输出的值为38t .若38t ≥3，则8t ≥1，t ≥18，故选B 项． 11．(2013·湖北理)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i ＝________．答案 5解析 从程序框图知，a ＝10，i ＝1；a ＝5，i ＝2；a ＝16，i ＝3；a ＝8，i ＝4；a ＝4，i ＝5.故输出i ＝5. 12．(2016·北京昌平质量抽测)执行如图所示的程序框图，当①是i<6时，输出的S 值为________；当①是i<2 013时，输出的S 值为________．答案 5，2 013解析 当①是i<6时，当i ＝1时，a 1＝cos π2＋1＝1，S ＝1；当i ＝2时，a 2＝cos 2π2＋1＝0，S ＝1；当i ＝3时，a 3＝cos 3π2＋1＝1，S ＝1＋1＝2；当i ＝4时，a 4＝cos 4π2＋1＝2，S ＝2＋2＝4；当i ＝5时，a 5＝cos 5π2＋1＝1，S ＝4＋1＝5；当i ＝6时，a 6＝cos 6π2＋1＝0，S ＝5＋0＝5.此时不满足条件，输出S ＝5.当①是i<2 013时，因为a i ＝cos i π2＋1的周期为4，所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝4，所以S ＝a 1＋a 2＋…＋a 2 013＝503(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋a 2 013＝503×4＋a 1＝2 013. 13．(2014·湖北理)设a 是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数，将组成a 的3个数字按从小到大排成的三位数记为I(a)，按从大到小排成的三位数记为D(a)(例如a ＝815，则I(a)＝158，D(a)＝851)．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a ，输出的结果b ＝________．答案 495解析 当a ＝123时，b ＝321－123＝198≠123； 当a ＝198时，b ＝981－189＝792≠198； 当a ＝792时，b ＝972－279＝693≠792； 当a ＝693时，b ＝963－369＝594≠693； 当a ＝594时，b ＝954－459＝495≠594；当a ＝495时，b ＝954－459＝495＝495＝a ，终止循环，输出b ＝495.14．某工厂2009年初有资金1 000万元，技术革新后，该厂资金的年增长率为20%，下面是计算该厂2015年年底的资金的算法的两种程序框图，图中的空白处应填①________；②________．程序框图，当型循环程序框图： 直到型循环程序框图：答案 ①i ≤7？；②i>7?1. (2013·新课标全国Ⅱ理)执行如图所示的程序框图，如果输入的N ＝10，那么输出的S ＝( )A ．1＋12＋13＋…＋110B ．1＋12！＋13！＋…＋110！C ．1＋12＋13＋…＋111D ．1＋12！＋13！＋…＋111！答案 B解析 由程序框图知，当k ＝1，S ＝0，k ＝1时，T ＝1，S ＝1；当k ＝2时，T ＝12，S ＝1＋12；当k ＝3时，T ＝12×3，S ＝1＋12＋12×3；当k ＝4时，T ＝12×3×4，S ＝1＋12＋12×3＋12×3×4；…；当k ＝10时，T ＝12×3×4×…×10，S ＝1＋12！＋13！＋…＋110！，k 增加1变为11，满足k>N ，输出S ，所以B 正确．2．已知某流程图如图所示，现分别输入选项所述的四个函数，则可以输出的函数是( )A ．f(x)＝2x 4＋3x 2B ．f(x)＝x 3C ．f(x)＝x 2＋1xD ．f(x)＝x 2＋1答案 C解析 对于选项A ，因为f(－x)＝2(－x)4＋3(－x)2＝2x 4＋3x 2＝f(x)，不合题意；对于选项D ，f(－x)＝(－x)2＋1＝x 2＋1＝f(x)，不合题意；对于选项B ，f(－x)＝(－x)3＝－x 3＝－f(x)，故f(x)为奇函数．又f ′(x)＝3x 2≥0，故函数f(x)在R 上单调递增，无极值，不合题意；对于选项C ，f(－x)＝（－x ）2＋1－x＝－x 2＋1x ＝－f(x)，故f(x)为奇函数．由f ′(x)＝1－1x 2＝x 2－1x 2可知，当x>1或x<－1时，f ′(x)>0，当－1<x<0，0<x<1时，f ′(x)<0.故函数f(x)＝x 2＋1x在x ＝1与x ＝－1处取得极值．故选C.3．(2015·福建)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为( )A ．2B ．1C ．0D ．－1答案 C解析 程序在执行过程中S ，i 的值依次为：S ＝0，i ＝1；S ＝0，i ＝2；S ＝－1，i ＝3；S ＝－1，i ＝4；S ＝0，i ＝5；S ＝0，i ＝6，程序结束，输出S ＝0，故选C. 4．(2015·天津文)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出i 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 C解析 第一次执行，i ＝1，S ＝10－1＝9；第二次执行，i ＝2，S ＝9－2＝7；第三次执行，i ＝3，S ＝7－3＝4；第四次执行，i ＝4，S ＝4－4＝0，满足条件，则退出循环，所以输出i 的值为4.故选C.5．(2015·湖南)执行如图所示的程序框图，如果输入n ＝3，则输出的S ＝( )A.67B.37C.89D.49答案 B解析 第一次循环，S ＝11×3，此时i ＝2，不满足条件，继续第二次循环，S ＝11×3＋13×5，此时i ＝3，不满足条件，继续第三次循环，S ＝11×3＋13×5＋15×7＝12[(1－13)＋(13－15)＋(15－17)]＝37，此时i ＝4>3，退出循环，输出S 的值为37，选B. 6．(2015·陕西文)根据如图所示的框图，当输入x 为6时，输出的y ＝( )A ．1B ．2C ．5D ．10答案 D解析 当输入的x ＝6时，执行x ＝6－3＝3，依次有x ＝3－3＝0，x ＝0－3＝－3<0，则y ＝(－3)2＋1＝10，输出的y ＝10，故选D. 7．(2014·江西理)阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为( )A ．7B ．9C ．10D ．11 答案 B解析 先读出程序框图的功能，再结合对数运算求解．i ＝1，S ＝0，S ＝0＋lg 11＋2＝lg 13＞－1；i ＝3，S ＝lg 13＋lg 33＋2＝lg 15＞－1；i ＝5，S ＝lg 15＋lg 55＋2＝lg 17＞－1；i ＝7，S ＝lg 17＋lg 77＋2＝lg 19＞－1；i ＝9，S ＝lg 19＋lg 99＋2＝lg 111＜－1，满足条件，输出i ＝9.8．下图是计算某年级500名学生期末考试(满分为100分)及格率q 的程序框图，则图中空白框内应填入( )A ．q ＝NMB ．q ＝MNC ．q ＝N M ＋ND ．q ＝M M ＋N答案 D解析 程序执行的过程是如果输入的成绩不小于60分即及格，就把变量M 的值增加1，即变量M 为成绩及格的人数，否则，由变量N 统计不及格的人数，但总人数由变量i 进行统计，不超过500就继续输入成绩，直到输入完500个成绩停止循环，输出变量q ，变量q 代表的含义为及格率，也就是及格人数总人数＝M M ＋N，故选D.9．执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为( )A ．144B ．36C ．49D ．169答案 B解析 从S ＝0，i ＝1，开始S ＝1，i ＝3，S ＝4，i ＝5，S ＝9，i ＝7，S ＝16，i ＝9，S ＝25，i ＝11，S ＝36，i ＝13，输出结果．10．(2015·山东文)执行如图的程序框图，若输入的x 的值为1，则输出的y 的值是________．答案 13解析 由程序框图，知x ＝1，1<2，x ＝2；2<2不成立，y ＝3×22＋1＝13，故输出的y 的值为13.11．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果为56，则判断框中应填入的条件是________．答案 i<6 解析 第一次循环后sum ＝12，i ＝2，第二次循环sum ＝12＋12×3＝23，i ＝3，第三次循环sum ＝23＋13×4＝34，i ＝4，第四次循环sum ＝34＋14×5＝45，i ＝5，第五次循环sum ＝45＋15×6＝56，i ＝6，此时，i ＝6不满足条件，输出结果，所以应填i<6.课时作业(70)1．2016年1月6日～8日衡水重点中学在毕业班进行了一次模拟考试，为了了解全年级1 000名学生的考试成绩，从中随机抽取了100名学生的成绩单，下面说法正确的是( )A ．1 000名学生是总体B ．每个学生是个体C ．1 000名学生的成绩是一个个体D ．样本的容量是100答案 D解析 1 000名学生的成绩是统计中的总体，每个学生的成绩是个体，被抽取的100名学生的成绩是一个样本，其样本的容量是100.2．(2014·湖南理)对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p 1，p 2，p 3，则( )A ．p 1＝p 2<p 3B ．p 2＝p 3<p 1C ．p 1＝p 3<p 2D ．p 1＝p 2＝p 3答案 D解析 根据抽样方法的概念可知，简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种抽样方法，每个个体被抽到的概率都是n N，故p 1＝p 2＝p 3，故选D. 3．中央电视台为了调查近三年的春晚节目中各类节目的受欢迎程度，用分层抽样的方法，从2014年至2016年春晚的50个歌舞类节目，40个戏曲类节目，30个小品类节目中抽取样本进行调查，若样本中的歌舞类和戏曲类节目共有27个，则样本容量为( )A ．36B ．35C ．32D ．30答案 A解析 设从30个小品类节目中抽取x 个，则有x 30＝2750＋40，解得x ＝9.则27＋9＝36，所以样本容量为36.4．(2016·《高考调研》原创题)某连队身高符合建国60周年国庆阅兵标准的士兵共有45人，其中18岁～21岁的士兵有15人，22岁～25岁的士兵有20人，26岁～29岁的士兵有10人，若该连队有9个参加国庆阅兵的名额，如果按年龄分层选派士兵，那么，该连队年龄在26岁～29岁的士兵参加国庆阅兵的人数为( )A ．5B ．4C ．3D ．2答案 D解析 身高符合国庆阅兵标准的士兵共有45人，抽取容量为9的样本，抽样比为945＝15，故抽取年龄在26岁～29岁的士兵人数为10 15＝2，故选D. 5．(2016·四川资阳)某班有男生36人，女生18人，用分层抽样的方法从该班全体学生中抽取一个容量为9的样本，则抽取的女生人数为( )A ．6B ．4C ．3D ．2答案 C解析 936＋18×18＝3，故选C. 6．(2016·安徽马鞍山第一次质检)高三(1)班有学生52人，现将所有学生随机编号，用系统抽样方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号，31号，44号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号是( )A ．8B ．13C ．15D ．18答案 D解析 因为系统抽样是等距抽样，由于44－31＝13，所以5＋13＝18.7．总体容量为524，若采用系统抽样法抽样，当抽样间隔为多少时不需要剔除个体( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 B解析 显然524能被4整除，不能被3，5，6整除．8．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为( )A ．11B ．12C ．13D ．14答案 B解析 方法一：按照系统抽样的规则，将840名职工分成42组，每组抽取1人，其中编号481在第25组，编号720在第36组，其中共有12组．因而编号落入区间[481，720]的人数为12.方法二：840÷42＝20，把1，2，…，840分成42段，不妨设第1段抽取的号码为l ，则第k段抽取的号码为l ＋(k －1)·20，1≤l ≤20，1≤k<42.令481≤l ＋(k －1)·20≤720，得25＋1－l 20≤k ≤37－l 20.由1≤l ≤20，则25≤k ≤36.满足条件的k 共有12个． 9．(2014·广东理)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )A ．200，20B ．100，20C ．200，10D ．100，10答案 A解析 在扇形统计图中，根据抽取的比例计算样本容量，根据条形统计图计算抽取的高中生近视人数．该地区中小学生总人数为3 500＋2 000＋4 500＝10 000，则样本容量为10 000×2%＝200，其中抽取的高中生近视人数为2 000×2%×50%＝20，故选A.10．将参加夏令营的600名学生编号为001，002，…，600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300住在第Ⅰ营区，从301到495住在第Ⅱ营区，从496到600住在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为( )A ．26，16，8B ．25，17，8C ．25，16，9D ．24，17，9答案 B解析 从600人中抽取容量为50的样本，采取的是系统抽样，因此每12人里抽取一个，且它们的序号成等差数列，第1个是003，第2个一定是015，第3个是027，…，第50个是591.这些号码构成的等差数列的通项公式为a n ＝12n －9，1≤n ≤50，n ∈N *，可计算出这个数列的项在第1营区的有25个，在第Ⅱ营区的有17个，在第Ⅲ营区的有8个，故选B.11．衡水中学为了提高学生的数学素养，开设了《数学史选讲》、《对称与群》、《球面上的几何》三门选修课程，供高二学生选修，已知高二年级共有学生600人，他们每人都参加且只参加一门课程的选修．为了了解学生对选修课的学习情况，现用分层抽样的方法从中抽取30名学生进行座谈．据统计，参加《数学史选讲》、《对称与群》、《球面上的几何》的人数依次组成一个公差为－40的等差数列，则应抽取参加《数学史选讲》的学生的人数为________．答案 12解析 根据题意可得，参加《数学史选讲》的学生人数为240人．抽取比例是30600＝120，故应该抽取240×120＝12人． 12．(2016·江苏南通二调)从编号为0，1，2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是5的样本，若编号为28的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为________． 答案 76解析 根据系统抽样的特点，共有80个产品，抽取5个样品，则可得组距为805＝16，又其中有1个为28，则与之相邻的为12和44，故所取5个依次为12，28，44，60，76，即最大的为76.13．(2016·浙江五校)某报社做了一次关于“什么是新时代的雷锋精神”的调查，在A ，B ，C ，D 四个单位回收的问卷数依次成等差数列，且共回收1 000份，因报道需要，再从回收的问卷中按单位分层抽取容量为150的样本，若在B 单位抽30份，则在D 单位抽取的问卷是________份．答案 60解析 由题意依次设在A ，B ，C ，D 四个单位回收的问卷数分别为a 1，a 2，a 3，a 4，则30a 2＝1501 000，∴a 2＝200.又a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1 000，即3a 2＋a 4＝1 000，∴a 4＝400.设在D 单位抽取的问卷数为n ，∴n 400＝1501 000，解得n ＝60. 14．某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析．①列出所有可能的抽取结果；②求抽取的2所学校均为小学的概率．答案 (1)3，2，1 (2)①15种，②15解析 (1)从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3，2，1.(2)①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A 1，A 2，A 3，2所中学分别记为A 4，A 5，大学记为A 6，则抽取2所学校的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共15种．②从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B)的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}，共3种．所以P(B)＝315＝15. 15．某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度(学历)的调查，其结果(人数分布)如下表：(1)5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人学历为研究生的概率；(2)在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N 个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这N 个人中随机抽取1人，此人的年龄为50岁以上的概率为539，求x ，y 的值． 答案 (1)710(2)x ＝40，y ＝5 解析 (1)用分层抽样的方法在35～50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本，设抽取学历为本科的，人数为m ，所以3050＝m 5，解得m ＝3.抽取的样本中有研究生2人，本科生3人，分别记作S 1，S 2；B 1，B 2，B 3.从中任取2人的所有等可能基本事件共有10个：(S 1，B 1)，(S 1，B 2)，(S 1，B 3)，(S 2，B 1)，(S 2，B 2)，(S 2，B 3)，(S 1，S 2)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)．其中至少有1人的学历为研究生的基本事件有7个：(S 1，B 1)，(S 1，B 2)，(S 1，B 3)，(S 2，B 1)，(S 2，B 2)，(S 2，B 3)，(S 1，S 2)．所以从中任取2人，至少有1人学历为研究生的概率为710. (2)由题意，得10N ＝539，解得N ＝78. 所以35～50岁中被抽取的人数为78－48－10＝20，所以4880＋x ＝2050＝1020＋y， 解得x ＝40，y ＝5.即x ，y 的值分别为40，5.16．在某市今年的公务员考试成绩中随机抽取500名考生的笔试成绩，按成绩分组，得到频率分布表如下：(1)12名考生进行第二轮选拔，分别求第3，4，5组每组进入第二轮选拔的考生人数；(2)在(1)的前提下，政府的3个下属机关决定在12名考生中随机抽取2名考生接受考官的面试，记抽取到第5组的A 考生面试的下属机关的个数为X ，求X 的分布列和数学期望E(X)．答案 (1)6，4，2 (2)12解析 (1)由题意可知，第2组的频数为500×0.350＝175，所以第3，4，5组共有考生500－25－175＝300名，则第4组有100名考生，所以第3组抽取的人数：150300×12＝6， 第4组抽取的人数：100300×12＝4， 第5组抽取的人数：50300×12＝2. (2)从12名考生中随机抽取2人，抽取到第5组的A 考生面试的概率为P ＝C 11C 111C 122＝16. 由题意可知，X 的取值范围为0，1，2，3.P(X ＝0)＝C 30×(16)0×(56)3＝125216， P(X ＝1)＝C 31×(16)1×(56)2＝2572， P(X ＝2)＝C 32×(16)2×(56)1＝572，P(X ＝3)＝C 33×(16)3×(56)0＝1216. 故X 所以E(X)＝0×125216＋1×2572＋2×572＋3×1216＝12.1．某工厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，数量分别为120件、80件、60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n ＝( )A ．9B ．10C ．12D ．13答案 D解析 因为n ＝3÷60120＋80＋60＝13，所以选D. 2．某林场有树苗3 000棵，其中松树苗400棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的棵数为________．答案 20解析 由分层抽样的方法知样本中松树苗的棵数应为150×4003 000＝20. 3．为了了解某市工人开展体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A ，B ，C 三个区中抽取7个工厂进行调查，已知A ，B ，C 区中分别有18，27，18个工厂．(1)求从A ，B ，C 区中分别抽取的工厂个数；(2)若从抽取的7个工厂中随机抽取2个进行调查结果的对比，计算这2个工厂中至少有1个来自A 区的概率．答案 (1)2，3，2 (2)1121解析 (1)工厂总数为18＋27＋18＝63，样本容量与总体中的个体数比为763＝19， 所以从A ，B ，C 三个区中应分别抽取的工厂个数为18×19＝2，27×19＝3，18×19＝2. (2)设A 1，A 2为在A 区中抽得的2个工厂，B 1，B 2，B 3为在B 区中抽得的3个工厂，C 1，C 2为在C 区中抽得的2个工厂．从这7个工厂中随机的抽取2个，全部的可能结果有(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，C 1)，(A 1，C 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，C 1)，(A 2，C 2)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 1，C 1)，(B 1，C 2)，(B 2，B 3)，(B 2，C 1)，(B 2，C 2)，(B 3，C 1)，(B 3，C 2)，(C 1，C 2)，共21种．随机抽取的2个工厂至少有一个来自A 区的结果有(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，C 1)，(A 1，C 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，C 1)，(A 2，C 2)，共11种．所以所求的概率为P ＝1121.课时作业(71)1.商场在2015年国庆黄金周的促销活动中，对10月2日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时至12时的销售额为( )A ．6万元B ．8万元C ．10万元D ．12万元答案 C解析 由0.40.1＝x 2.5，得10万元，故选C. 2．如图是2015年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和众数依次为( )7 98 4 4 6 4 79 3A.85，84 B ．84，85C ．86，84D ．84，86答案 A解析 由图可知去掉一最高分和一个最低分后，所剩数据为84，84，86，84，87，则平均数为85，众数为84.3．为调查学生身高的情况，随机抽测了高三两个班120名学生的身高(单位：cm)，所得数据均在区间[140，190]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的120名学生中，身高位于区间[160，180)上的人数为( )A ．70B ．71C ．72D ．73答案 C解析 根据频率分布直方图，得学生的身高位于区间[160，180)上的频率为(0.040＋0.020)×10＝0.6，∴对应的人数为120×0.6＝72.故选C.4．(2014·山东理)为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为( )A ．6B ．8C ．12D ．18答案 C解析 第一组和第二组的频率之和为0.4，故样本容量为200.4＝50，第三组的频率为0.36，故第三组的人数为50×0.36＝18，故第三组中有疗效的人数为18－6＝12.5．(2016·荆州市质检)已知一组数据按从小到大的顺序排列，得到－1，0，4，x ，7，14，中位数为5，则这组数据的平均数和方差分别为( )A ．5，2423B ．5，2413C ．4，2513D ．4，2523答案 A6．如图所示，样本A 和B 分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为x －A 和x －B ，样本标准差分别为S A 和S B ，则( )A.x －A >x －B ，S A >S BB.x －A <x －B ，S A >S BC.x －A >x －B ，S A <S BD.x －A <x －B ，S A <S B答案 B解析 由图可知A 组的6个数为2.5，10，5，7.5，2.5，10，B 组的6个数为15，10，12.5，10，12.5，10，所以x －A ＝2.5＋10＋5＋7.5＋2.5＋106＝37.56， x －B ＝15＋10＋12.5＋10＋12.5＋106＝706. 显然x －A <x －B ，又由图形可知，B 组的数据分布比A 均匀，变化幅度不大，故B 组数据比较稳定，方差较小，从而标准差较小，所以S A >S B ，故选B.7．(2013·四川文)某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示．以组距为5将数据分组成[0，5)，[5，10)，…，[30，35)，[35，40]时，所作的频率分布直方图是( )答案 A8．(2015·山东文)为比较甲、乙两地某月14时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位：℃)制成如图所示的茎叶图．考虑以下结论：①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差．其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④答案 B解析 由茎叶图中的数据通过计算求得x －甲＝26＋28＋29＋31＋315＝29， s 甲＝15[（26－29）2＋（28－29）2＋（29－29）2＋（31－29）2＋（31－29）2]＝3105； x －乙＝28＋29＋30＋31＋325＝30， s 乙＝15[（28－30）2＋（29－30）2＋（30－30）2＋（31－30）2＋（32－30）2]＝ 2. ∴x －甲<x －乙，s 甲>s 乙，故①④正确．选B.9．(2015·江苏)已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________． 答案 6解析 由平均数公式可得这组数据的平均数为4＋6＋5＋8＋7＋66＝6. 10．下面茎叶图是甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为________．答案 45解析 设被污损的数字为a(0≤a ≤9且a ∈N )，则由甲的平均成绩超过乙的平均成绩得88＋89＋90＋91＋92>83＋83＋87＋99＋90＋a ，解得8>a ，即得0≤a ≤7且a ∈N ，∴甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为P ＝810＝45. 11．某高校在2016年的自主招生考试成绩中随机抽取50名学生的笔试成绩，绘制成频率分布直方图如图所示，由图中数据可知a ＝________；若要从成绩在[85，90)，[90，95)，[95，100]三组内的学生中，用分层抽样的方法抽取12名学生参加面试，则成绩在[95，100]内的学生中，学生甲被抽取的概率为________．答案 0.040 25解析 由频率分布直方图知，(0.016＋0.064＋0.060＋a ＋0.020)×5＝1，解得a ＝0.040.第3组的人数为0.060×5×50＝15，第4组的人数为0.040×5×50＝10，第5组的人数为0.020×5×50＝5，则第3，4，5组共30名学生．利用分层抽样的方法在这30名学生中抽取12名学生，因为1530×12＝6，1030×12＝4，530×12＝2，所以第3，4，5组分别抽取6名学生，4名学生，2名学生，则从成绩在[95，100]内的5名学生中抽取2名，学生甲被抽取的概率为25. 12．从某地高中男生中随机抽取100名同学，将他们的体重(单位：kg)数据绘制成频率分布直方图(如图所示)．由图中数据可知体重的平均值为________kg ；若要从体重在[60，70)，[70，80)，[80，90]三组内的男生中，用分层抽样的方法选取12人参加一项活动，再从这12人中选两人当正副队长，则这两人身高不在同一组内的频率为________．答案 64.5 23解析 由频率分布直方图可知，体重在[40，50)内的男生人数为0.005×10×100＝5，同理，体重在[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90]内的人数分别为35，30，20，10，所以体重的平均值为45×5＋55×35＋65×30＋75×20＋85×10100＝64.5.利用分层抽样的方法选取12人，则从体重在[60，70)，[70，80)，[80，90]组内选取的人数分别为12×3060＝6，12×2060＝4，12×1060＝2，则两人身高不在同一组内的概率为C 61C 61＋C 41C 81－C 41C 61C 122＝23.图表示如图所示．(1)试根据上面的统计数据，判断甲、乙两个城市的空气质量指数的方差的大小关系(只需写出结果)；(2)试根据上面的统计数据，估计甲城市某一天空气质量等级为2级良的概率；(3)分别从甲城市和乙城市的统计数据中任取一个，试求这两个城市空气质量等级相同的概率．答案 (1)甲城市比乙城市的空气质量指数的方差大 (2)35 (3)1125解析 (1)甲城市的空气质量指数的方差大于乙城市的空气质量指数的方差．(2)根据统计数据，可得在这五天中甲城市空气质量等级为2级良的频率为35，则估计甲城市某一天的空气质量等级为2级良的概率为35. (3)设事件A 为从甲城市和乙城市的数据中分别任取一个，这两个城市的空气质量等级相同．由题意可知，从甲城市和乙城市的监测数据中分别任取一个，共有25个结果，分别记为：(29，43)，(29，41)，(29，55)，(29，58)，(29，78)，(53，43)，(53，41)，(53，55)，(53，58)，(53，78)，(57，43)，(57，41)，(57，55)，(57，58)，(57，78)，(75，43)，(75，41)，(75，55)，(75，58)，(75，78)，(106，43)，(106，41)，(106，55)，(106，58)，(106，78)，则空气质量等级相同的为：(29，41)，(29，43)，(53，55)，(53，58)，(53，78)，(57，55)，(57，58)，(57，78)，(75，55)，(75，58)，(75，78)，共11个结果．则P(A)＝1125，所以这两个城市空气质量等级相同的概率为1125. 14．对某校高一年级学生参加“社区志愿者”活动次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加“社区志愿者”活动的次数．据此作出频数和频率统计表及频率分布直方图如下：(1)求出表中M ，p 及图中a 的值；(2)若该校高一学生有720人，试估计他们参加“社区志愿者”活动的次数在[15，20)内的人数；(3)若参加“社区志愿者”活动的次数不少于20的学生可被评为“优秀志愿者”，试估计每位志愿者被评为“优秀志愿者”的概率．答案 (1)M ＝20，p ＝0.1，a ＝0.12 (2)432 (3)0.15解析 (1)根据频率分布表，得5M＝0.25，∴样本容量M ＝20. ∴m ＝20－5－12－1＝2，∴对应的频率为p ＝220＝0.1，n ＝1220＝0.6，∴a ＝0.620－15＝0.12. (2)参加“社区志愿者”活动的次数在[15，20)内的频率为0.6，∴估计参加“社区志愿者”活动的次数在[15，20)内的人数为720×0.6＝432.(3)参加“社区志愿者”活动的次数在20以上的频率为0.1＋0.05＝0.15.∴样本中每位志愿者可被评为“优秀志愿者”的频率为0.15，∴估计每位志愿者被评为“优秀志愿者”的概率为0.15.15．(2016·东北师大附中模拟)为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月(30天)的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，整理如下：甲公司员工A 乙公司员工B3 9 6 5 8 3 3 2 34 6 6 6 7 70 1 4 4 2 2 2每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件4.5元；乙公司规定每天35件以内(含35件)的部分每件4元，超出35件的部分每件7元．(1)根据题中数据写出甲公司员工A 在这10天投递的快递件数的平均数和众数；(2)为了解乙公司员工B 每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为X(单位：元)，求X 的分布列和数学期望；(3)根据题中数据估算两公司被抽取员工在该月所得的劳务费．答案 (1)平均数为36，众数为33(2)E(x)＝165.5元(3)甲公司劳务费为4 860元，乙公司劳务费为4 965元解析 (1)甲公司员工A 投递快递件数的平均数为36，众数为33.(2)设a 为乙公司员工B1天的投递件数，则当a ＝34时，X ＝136，当a ≥35时，X ＝35×4＋(a －35)×7＝7a －105，由题意知X 的所有可能取值为136，147，154，189，203.X 的分布列为E(X)＝136×110＋147×310＋154×15＋189×310＋203×110＝1 65510＝165.5(元).(3)估计甲公司被抽取员工在该月所得的劳务费为4 860元，乙公司被抽取员工在该月所得的劳务费为4 965元．1．(2013·辽宁)某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( )A ．45B ．50C ．55D ．60答案 B解析 由频率分布直方图，得低于60分的同学所占频率为(0.005＋0.01)×20＝0.3，故该班的学生人数为150.3＝50.故选B. 2．某学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[40，50]元的同学有39人，则n 的值为( )A ．100B ．120C ．130D ．390答案 C 解析 样本数据落在[40，50]上的频率为1－(0.010＋0.023＋0.037)×10＝0.30，则39n＝0.30，解得n ＝130.3．(2015·陕西)某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为( )A ．93B ．123C ．137D ．167答案 C解析 由扇形统计图可知，该校女教师人数为110×70%＋150×(1－60%)＝137.故选C.4．在如图所示的茎叶图表示的数据中，设众数为a ，中位数为b ，则b a的值为________． 1 2 42 03 5 63 0 1 14 1 2。

深圳市2017届高三年级第一次调研考试(理数)

深圳市2017届高三年级第一次调研考试(理数)

深圳市2017届高三年级第一次调研考试数学（理科）本试卷共23小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、 不污损．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上．3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合{}{}22,4,,6,8,B |9180A x x x ==-+≤，则A B =（ ）A ． {}2,4B ．{}4,6C ．{}6,8D ．{}2,82．若复数()12a i a R i+∈+为纯虚数，其中i 为虚数单位，则a = （ ） A ． 2 B ． 3 C ．-2 D ．-33．袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“2”，“3”，“4”，“6”.现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是（ ）A ．14 B ．12 C ．13 D ． 234．等比数列{}n a 的前n 项和为,31b a S n n +⋅=-则a b = （ ） A ．-3 B ． -1 C. 1 D ．35．直线():40l kx y k R ++=∈是圆22:4460C x y x y ++-+=的一条对称轴，过点()0,A k 作斜率为1的直线m ，则直线m 被圆C 所截得的弦长为 （ ）A ．22B ．2 C. 6 D ．266．祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是，如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等.此即祖暅原理.利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行相距为()02h h <<的平面截该几何体，则截面面积为 （ ）A ．4πB ．2h πC. ()22h π- D ．()24h π- 7．函数x x f x x cos 1212)(⋅-+=的图象大致是（ ）8．已知0,0a b c >><，下列不等关系中正确的是 （ ）A ．ac bc >B ．c c a b >C. ()()log log a b a c b c ->- D ．a b a c b c>-- 9．执行如图所示的程序框图，若输入2017p =，则输出i 的值为（ ）A ． 335B ．336 C. 337 D ．33810．已知F 是双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的右焦点，过点F 作E 的一条渐近线的垂线，垂足为P ，线段PF 与E 相交于点Q ，记点Q 到E 的两条渐近线的距离之积为2d ，若2FP d =，则该双曲线的离心率是（ ）A 2B ．2 C. 3 D ．411．已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，球O 与该正方体的各个面相切，则平面1ACB 截此球所得的截面的面积为（ ）A ．83π B ．53π C. 43π D ．23π 12．已知函数()2,0,x x f x x e e=≠为自然对数的底数，关于x 的方程()()20f x f x λ+=有四个相异实根，则实数λ的取值范围是（ ） A ．），（e 20 B ．),22(+∞ C.),2(+∞+ee D ．),42(22+∞+e e第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。

2017年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ)答案

2017年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ)答案

2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}，则（）A．A∩B={x|x＜0}B．A∪B=R C．A∪B={x|x＞1}D．A∩B=∅【解答】解：∵集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}={x|x＜0}，∴A∩B={x|x＜0}，故A正确，D错误；A∪B={x|x＜1}，故B和C都错误．故选：A．2．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形的边长为2，则黑色部分的面积S=，则对应概率P==，故选：B．3．（5分）设有下面四个命题p1：若复数z满足∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p 3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1=；p4：若复数z∈R，则∈R．其中的真命题为（）A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4【解答】解：若复数z满足∈R，则z∈R，故命题p1为真命题；p2：复数z=i满足z2=﹣1∈R，则z∉R，故命题p2为假命题；p 3：若复数z1=i，z2=2i满足z1z2∈R，但z1≠，故命题p3为假命题；p4：若复数z∈R，则=z∈R，故命题p4为真命题．故选：B．4．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{a n}的公差为（）A．1 B．2 C．4 D．8【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，a4+a5=24，S6=48，∴，解得a1=﹣2，d=4，∴{a n}的公差为4．故选：C．5．（5分）函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）=﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．[﹣1，1]C．[0，4]D．[1，3]【解答】解：∵函数f（x）为奇函数．若f（1）=﹣1，则f（﹣1）=1，又∵函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，﹣1≤f（x﹣2）≤1，∴f（1）≤f（x﹣2）≤f（﹣1），∴﹣1≤x﹣2≤1，解得：x∈[1，3]，故选：D．6．（5分）（1+）（1+x）6展开式中x2的系数为（）A．15 B．20 C．30 D．35【解答】解：（1+）（1+x）6展开式中：若（1+）=（1+x﹣2）提供常数项1，则（1+x）6提供含有x2的项，可得展开式中x2的系数：若（1+）提供x﹣2项，则（1+x）6提供含有x4的项，可得展开式中x2的系数：由（1+x）6通项公式可得．可知r=2时，可得展开式中x2的系数为．可知r=4时，可得展开式中x2的系数为．（1+）（1+x）6展开式中x2的系数为：15+15=30．故选：C．7．（5分）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（）A．10 B．12 C．14 D．16【解答】解：由三视图可画出直观图，该立体图中只有两个相同的梯形的面，S梯形=×2×（2+4）=6，∴这些梯形的面积之和为6×2=12，故选：B．8．（5分）如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n＞1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（）A．A＞1000和n=n+1 B．A＞1000和n=n+2C．A≤1000和n=n+1 D．A≤1000和n=n+2【解答】解：因为要求A＞1000时输出，且框图中在“否”时输出，所以“”内不能输入“A＞1000”，又要求n为偶数，且n的初始值为0，所以“”中n依次加2可保证其为偶数，所以D选项满足要求，故选：D．9．（5分）已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+），则下面结论正确的是（）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2【解答】解：把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数y=cos2（x+）=cos（2x+）=sin（2x+）的图象，即曲线C2，故选：D．10．（5分）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（）A．16 B．14 C．12 D．10【解答】解：如图，l1⊥l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，要使|AB|+|DE|最小，则A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，又直线l2过点（1，0），则直线l2的方程为y=x﹣1，联立方程组，则y2﹣4y﹣4=0，∴y1+y2=4，y1y2=﹣4，∴|DE|=•|y1﹣y2|=×=8，∴|AB|+|DE|的最小值为2|DE|=16，方法二：设直线l1的倾斜角为θ，则l2的倾斜角为+θ，根据焦点弦长公式可得|AB|==|DE|===∴|AB|+|DE|=+==，∵0＜sin22θ≤1，∴当θ=45°时，|AB|+|DE|的最小，最小为16，故选：A．11．（5分）设x、y、z为正数，且2x=3y=5z，则（）A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z 【解答】解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．则x=，y=，z=．∴3y=，2x=，5z=．∵==，＞=．∴＞lg＞＞0．∴3y＜2x＜5z．另解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．则x=，y=，z=．∴==＞1，可得2x＞3y，==＞1．可得5z＞2x．综上可得：5z＞2x＞3y．解法三：对k取特殊值，也可以比较出大小关系．故选：D．12．（5分）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（）A．440 B．330 C．220 D．110【解答】解：设该数列为{a n}，设b n=+…+=2n+1﹣1，（n∈N+），则=a i，由题意可设数列{a n}的前N项和为S N，数列{b n}的前n项和为T n，则T n=21﹣1+22﹣1+…+2n+1﹣1=2n+1﹣n﹣2，），数列{a n}的前N项和为数列{b n}的前n项和，可知当N为时（n∈N+即为2n+1﹣n﹣2，容易得到N＞100时，n≥14，A项，由=435，440=435+5，可知S440=T29+b5=230﹣29﹣2+25﹣1=230，故A 项符合题意．B项，仿上可知=325，可知S330=T25+b5=226﹣25﹣2+25﹣1=226+4，显然不为2的整数幂，故B项不符合题意．C项，仿上可知=210，可知S220=T20+b10=221﹣20﹣2+210﹣1=221+210﹣23，显然不为2的整数幂，故C项不符合题意．D项，仿上可知=105，可知S110=T14+b5=215﹣14﹣2+25﹣1=215+15，显然不为2的整数幂，故D项不符合题意．故选A．方法二：由题意可知：，，，…，根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：21﹣1，22﹣1，23﹣1， (2)﹣1，每项含有的项数为：1，2，3，…，n，总共的项数为N=1+2+3+…+n=，所有项数的和为S n：21﹣1+22﹣1+23﹣1+…+2n﹣1=（21+22+23+…+2n）﹣n=﹣n=2n+1﹣2﹣n，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，则①1+2+（﹣2﹣n）=0，解得：n=1，总共有+2=3，不满足N＞100，②1+2+4+（﹣2﹣n）=0，解得：n=5，总共有+3=18，不满足N＞100，③1+2+4+8+（﹣2﹣n）=0，解得：n=13，总共有+4=95，不满足N＞100，④1+2+4+8+16+（﹣2﹣n）=0，解得：n=29，总共有+5=440，满足N ＞100，∴该款软件的激活码440．故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量，的夹角为60°，||=2，||=1，则|+2|=2．【解答】解：【解法一】向量，的夹角为60°，且||=2，||=1，∴=+4•+4=22+4×2×1×cos60°+4×12=12，∴|+2|=2．【解法二】根据题意画出图形，如图所示；结合图形=+=+2；在△OAC中，由余弦定理得||==2，即|+2|=2．故答案为：2．14．（5分）设x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值为﹣5．【解答】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，由图可知，目标函数的最优解为A，联立，解得A（﹣1，1）．∴z=3x﹣2y的最小值为﹣3×1﹣2×1=﹣5．故答案为：﹣5．15．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为．【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A（a，0），以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，可得A到渐近线bx+ay=0的距离为：bcos30°=，可得：=，即，可得离心率为：e=．故答案为：．16．（5分）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O．D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为4cm3．【解答】解法一：由题意，连接OD，交BC于点G，由题意得OD⊥BC，OG= BC，即OG的长度与BC的长度成正比，设OG=x，则BC=2x，DG=5﹣x，三棱锥的高h===，=3，则V===，令f（x）=25x4﹣10x5，x∈（0，），f′（x）=100x3﹣50x4，令f′（x）≥0，即x4﹣2x3≤0，解得x≤2，则f（x）≤f（2）=80，∴V≤=4cm3，∴体积最大值为4cm3．故答案为：4cm3．解法二：如图，设正三角形的边长为x，则OG=，∴FG=SG=5﹣，SO=h===，∴三棱锥的体积V===，令b（x）=5x4﹣，则，令b'（x）=0，则4x3﹣=0，解得x=4，∴（cm3）．故答案为：4cm3．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．=acsinB=，【解答】解：（1）由三角形的面积公式可得S△ABC∴3csinBsinA=2a，由正弦定理可得3sinCsinBsinA=2sinA，∵sinA≠0，∴sinBsinC=；（2）∵6cosBcosC=1，∴cosBcosC=，∴cosBcosC﹣sinBsinC=﹣=﹣，∴cos（B+C）=﹣，∴cosA=，∵0＜A＜π，∴A=，∵===2R==2，∴sinBsinC=•===，∴bc=8，∵a2=b2+c2﹣2bccosA，∴b2+c2﹣bc=9，∴（b+c）2=9+3cb=9+24=33，∴b+c=∴周长a+b+c=3+．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【解答】（1）证明：∵∠BAP=∠CDP=90°，∴PA⊥AB，PD⊥CD，∵AB∥CD，∴AB⊥PD，又∵PA∩PD=P，且PA⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD，又AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD；（2）解：∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD为平行四边形，由（1）知AB⊥平面PAD，∴AB⊥AD，则四边形ABCD为矩形，在△APD中，由PA=PD，∠APD=90°，可得△PAD为等腰直角三角形，设PA=AB=2a，则AD=．取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则：D（），B（），P（0，0，），C（）．，，．设平面PBC的一个法向量为，由，得，取y=1，得．∵AB⊥平面PAD，AD⊂平面PAD，∴AB⊥PD，又PD⊥PA，PA∩AB=A，∴PD⊥平面PAB，则为平面PAB的一个法向量，．∴cos＜＞==．由图可知，二面角A﹣PB﹣C为钝角，∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值为．19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）．（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：经计算得==9.97，s==≈0.212，其中x i为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2， (16)用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（﹣3+3）之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.997416≈0.9592，≈0.09．【解答】解：（1）由题可知尺寸落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之内的概率为0.9974，则落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的概率为1﹣0.9974=0.0026，因为P（X=0）=×（1﹣0.9974）0×0.997416≈0.9592，所以P（X≥1）=1﹣P（X=0）=0.0408，又因为X～B（16，0.0026），所以E（X）=16×0.0026=0.0416；（2）（ⅰ）如果生产状态正常，一个零件尺寸在（﹣3+3）之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在（﹣3+3）之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种状况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．（ⅱ）由=9.97，s≈0.212，得μ的估计值为=9.97，σ的估计值为=0.212，由样本数据可以看出一个零件的尺寸在（﹣3+3）之外，因此需对当天的生产过程进行检查．剔除（﹣3+3）之外的数据9.22，剩下的数据的平均数为（16×9.97﹣9.22）=10.02，因此μ的估计值为10.02．2=16×0.2122+16×9.972≈1591.134，剔除（﹣3+3）之外的数据9.22，剩下的数据的样本方差为（1591.134﹣9.222﹣15×10.022）≈0.008，因此σ的估计值为≈0.09．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上．（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．【解答】解：（1）根据椭圆的对称性，P3（﹣1，），P4（1，）两点必在椭圆C上，又P4的横坐标为1，∴椭圆必不过P1（1，1），∴P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）三点在椭圆C上．把P2（0，1），P3（﹣1，）代入椭圆C，得：，解得a2=4，b2=1，∴椭圆C的方程为=1．证明：（2）①当斜率不存在时，设l：x=m，A（m，y A），B（m，﹣y A），∵直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，∴===﹣1，解得m=2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．②当斜率存在时，设l：y=kx+t，（t≠1），A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理，得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4=0，，x1x2=，则=====﹣1，又t≠1，∴t=﹣2k﹣1，此时△=﹣64k，存在k，使得△＞0成立，∴直线l的方程为y=kx﹣2k﹣1，当x=2时，y=﹣1，∴l过定点（2，﹣1）．21．（12分）已知函数f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x，求导f′（x）=2ae2x+（a﹣2）e x ﹣1，当a=0时，f′（x）=﹣2e x﹣1＜0，∴当x∈R，f（x）单调递减，当a＞0时，f′（x）=（2e x+1）（ae x﹣1）=2a（e x+）（e x﹣），令f′（x）=0，解得：x=ln，当f′（x）＞0，解得：x＞ln，当f′（x）＜0，解得：x＜ln，∴x∈（﹣∞，ln）时，f（x）单调递减，x∈（ln，+∞）单调递增；当a＜0时，f′（x）=2a（e x+）（e x﹣）＜0，恒成立，∴当x∈R，f（x）单调递减，综上可知：当a≤0时，f（x）在R单调减函数，当a＞0时，f（x）在（﹣∞，ln）是减函数，在（ln，+∞）是增函数；（2）①若a≤0时，由（1）可知：f（x）最多有一个零点，当a＞0时，f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x，当x→﹣∞时，e2x→0，e x→0，∴当x→﹣∞时，f（x）→+∞，当x→∞，e2x→+∞，且远远大于e x和x，∴当x→∞，f（x）→+∞，∴函数有两个零点，f（x）的最小值小于0即可，由f（x）在（﹣∞，ln）是减函数，在（ln，+∞）是增函数，∴f（x）min=f（ln）=a×（）+（a﹣2）×﹣ln＜0，∴1﹣﹣ln＜0，即ln+﹣1＞0，设t=，则g（t）=lnt+t﹣1，（t＞0），求导g′（t）=+1，由g（1）=0，∴t=＞1，解得：0＜a＜1，∴a的取值范围（0，1）．方法二：（1）由f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x，求导f′（x）=2ae2x+（a﹣2）e x﹣1，当a=0时，f′（x）=﹣2e x﹣1＜0，∴当x∈R，f（x）单调递减，当a＞0时，f′（x）=（2e x+1）（ae x﹣1）=2a（e x+）（e x﹣），令f′（x）=0，解得：x=﹣lna，当f′（x）＞0，解得：x＞﹣lna，当f′（x）＜0，解得：x＜﹣lna，∴x∈（﹣∞，﹣lna）时，f（x）单调递减，x∈（﹣lna，+∞）单调递增；当a＜0时，f′（x）=2a（e x+）（e x﹣）＜0，恒成立，∴当x∈R，f（x）单调递减，综上可知：当a≤0时，f（x）在R单调减函数，当a＞0时，f（x）在（﹣∞，﹣lna）是减函数，在（﹣lna，+∞）是增函数；（2）①若a≤0时，由（1）可知：f（x）最多有一个零点，②当a＞0时，由（1）可知：当x=﹣lna时，f（x）取得最小值，f（x）min=f（﹣lna）=1﹣﹣ln，当a=1，时，f（﹣lna）=0，故f（x）只有一个零点，当a∈（1，+∞）时，由1﹣﹣ln＞0，即f（﹣lna）＞0，故f（x）没有零点，当a∈（0，1）时，1﹣﹣ln＜0，f（﹣lna）＜0，由f（﹣2）=ae﹣4+（a﹣2）e﹣2+2＞﹣2e﹣2+2＞0，故f（x）在（﹣∞，﹣lna）有一个零点，假设存在正整数n0，满足n0＞ln（﹣1），则f（n0）=（a+a﹣2）﹣n0＞﹣n0＞﹣n0＞0，由ln（﹣1）＞﹣lna，因此在（﹣lna，+∞）有一个零点．∴a的取值范围（0，1）．[选修4-4，坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）．（1）若a=﹣1，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l距离的最大值为，求a．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），化为标准方程是：+y2=1；a=﹣1时，直线l的参数方程化为一般方程是：x+4y﹣3=0；联立方程，解得或，所以椭圆C和直线l的交点为（3，0）和（﹣，）．（2）l的参数方程（t为参数）化为一般方程是：x+4y﹣a﹣4=0，椭圆C上的任一点P可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），所以点P到直线l的距离d为：d==，φ满足tanφ=，且的d的最大值为．①当﹣a﹣4≤0时，即a≥﹣4时，|5sin（θ+4）﹣a﹣4|≤|﹣5﹣a﹣4|=5+a+4=17解得a=8≥﹣4，符合题意．②当﹣a﹣4＞0时，即a＜﹣4时|5sin（θ+4）﹣a﹣4|≤|5﹣a﹣4|=5﹣a﹣4=1﹣a=17解得a=﹣16＜﹣4，符合题意．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=﹣x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x﹣1|．（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=﹣x2+x+4，是开口向下，对称轴为x=的二次函数，g（x）=|x+1|+|x﹣1|=，当x∈（1，+∞）时，令﹣x2+x+4=2x，解得x=，g（x）在（1，+∞）上单调递增，f（x）在（1，+∞）上单调递减，∴此时f（x）≥g（x）的解集为（1，]；当x∈[﹣1，1]时，g（x）=2，f（x）≥f（﹣1）=2．当x∈（﹣∞，﹣1）时，g（x）单调递减，f（x）单调递增，且g（﹣1）=f（﹣1）=2．综上所述，f（x）≥g（x）的解集为[﹣1，]；（2）依题意得：﹣x2+ax+4≥2在[﹣1，1]恒成立，即x2﹣ax﹣2≤0在[﹣1，1]恒成立，则只需，解得﹣1≤a≤1，故a的取值范围是[﹣1，1]．。

【高考调研】2017届高考理科数学一轮课时作业78套(73—78)

【高考调研】2017届高考理科数学一轮课时作业78套(73—78)

【高考调研】2017届高考理科数学一轮课时作业（73—78）第十一章 选修部分课时作业(73)1.如图，在△ABC 中，∠AED ＝∠B ，DE ＝6，AB ＝10，AE ＝8，则BC 的长为( )A.154 B ．7 C.152D.245答案 C解析 由已知条件∠AED ＝∠B ，∠A 为公共角，所以△ADE ∽△ACB ，则有DE BC ＝AEAB，从而BC ＝6×108＝152.选C.2.如图，E 是▱ABCD 的边AB 延长线上的一点，且DC ∶BE ＝3∶2，则AD ∶BF ＝( )A ．5∶3B ．5∶2C ．3∶2D ．2∶1答案 B解析 由题可得△BEF ∽△CDF ，∴DC BE ＝DF EF ＝32，∴AD BF ＝DE EF ＝DF EF ＋1＝52. 3.如图，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AD ＝4 cm ，BD ＝8 cm ，DE ＝5 cm ，则线段BF 的长为( )A ．5 cmB ．8 cmC ．9 cmD ．10 cm答案 D解析 ∵DE ∥BC ，DF ∥AC ， ∴四边形DECF 是平行四边形．∴FC ＝DE ＝5 cm.∵DF ∥AC ，∴BF FC ＝BDDA.即BF 5＝84，∴BF ＝10 cm. 4.如图，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，以BD 为直径的圆与BC 交于点E ，则( )A ．CE ·CB ＝AD·DB B ．CE ·CB ＝AD·ABC ．AD ·AB ＝CD 2 D ．CE ·EB ＝CD 2 答案 A解析 在直角三角形ABC 中，根据直角三角形射影定理可得CD 2＝AD·DB ，再根据切割线定理可得CD 2＝CE·CB.所以CE·CB ＝AD·DB.5．Rt △ABC 中，∠CAB ＝90°，AD ⊥BC 于D ，AB ∶AC ＝3∶2，则CD ∶BD ＝( ) A ．3∶2 B ．2∶3 C ．9∶4 D ．4∶9 答案 D解析 由△ABD ∽△CBA ，得AB 2＝BD·BC. 由△ADC ∽△BAC ，得AC 2＝DC·BC.∴CD·BC BD·BC ＝AC 2AB 2＝49，即CD ∶BD ＝4∶9. 6.如图所示，在▱ABCD 中，BC ＝24，E ，F 为BD 的三等分点，则BM －DN ＝( )A ．6B ．3C ．2D ．4答案 A解析 ∵E ，F 为BD 的三等分点，四边形ABCD 为平行四边形，∴M 为BC 的中点．连CF 交AD 于P ，则P 为AD 的中点，由△BCF ∽△DPF 及M 为BC 中点知，N 为DP 的中点，∴BM －DN ＝12－6＝6，故选A.7.如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝12，AD ＝10，将此矩形折叠使点B 落在AD 边的中点E 处，则折痕FG 的长为( )A ．13B.635 C.656D.212答案 C解析 过A 作AH ∥FG 交DG 于H ， 则四边形AFGH 为平行四边形． ∴AH ＝FG.∵折叠后B 点与E 点重合，折痕为FG ，∴B 与E 关于FG 对称． ∴BE ⊥FG ，∴BE ⊥AH.∴∠ABE ＝∠DAH ，∴Rt △ABE ∽Rt △DAH. ∴BE AB ＝AH AD. ∵AB ＝12，AD ＝10，AE ＝12AD ＝5，∴BE ＝122＋52＝13.∴FG ＝AH ＝BE·AD AB ＝656.8.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥CD ，若BC ＝3，DE ＝2，DF ＝1，则AB 的长为________．答案 92解析 AD AB ＝DE BC ＝23，DF AD ＝CE AC ＝13.∵BC ＝3，DE ＝2，DF ＝1，解得AB ＝92.9.如图，在Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，CD ＝6，且AD ∶BD ＝3∶2，则斜边AB 上的中线CE 的长为________．答案562解析 ∵CD 2＝BD·AD ，设BD ＝2k ，则AD ＝3k ，∴36＝6k 2，∴k ＝6，∴AB ＝5k ＝5 6.∴CE ＝12AB ＝562.10. (2016·广东梅州联考)如图，在△ABC 中，BC ＝4，∠BAC ＝120°，AD ⊥BC ，过B 作CA 的垂线，交CA 的延长线于E ，交DA 的延长线于F ，则AF ＝________．答案433解析 设AE ＝x ，∵∠BAC ＝120°，∴∠EAB ＝60°. 又AE BE ＝x 3x ＝13， 在Rt △AEF 与Rt △BEC 中，∠F ＝90°－∠EAF ＝90°－∠DAC ＝∠C ，∴△AEF ∽△BEC ，∴AF BC ＝AEBE.∴AF ＝4×13＝433.11．(2015·江苏)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，△ABC 的外接圆⊙O 的弦AE 交BC 于点D.求证：△ABD ∽△AEB.答案 略证明 因为AB ＝AC ，所以∠ABD ＝∠C.又因为∠C ＝∠E ，所以∠ABD ＝∠E ， 又∠BAE 为公共角，可知△ABD ∽△AEB.12.如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，DF ⊥AC 于F ，DE ⊥AB 于E ，求证：AD 3＝BC·BE·CF.答案 略证明 在Rt △ABC 中，因为AD ⊥BC ， 所以AD 2＝BD·DC ，且AD·BC ＝AB·AC. 在Rt △ABD 和Rt △ADC 中， 因为DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， 由射影定理，得BD 2＝BE·BA ，DC 2＝CF·AC.所以BD 2·DC 2＝BE·BA·CF·AC＝BE·CF·AD·BC ＝AD 4. 所以AD 3＝BC·BE·CF. 13. (2016·甘肃河西三校第一次联考)如图，△ABC 的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点E.(1)证明：△ABE ∽△ADC ；(2)若△ABC 的面积S ＝12AD ·AE ，求∠BAC 的大小．答案 (1)略 (2)90°解析 (1)证明：由已知条件，可得∠BAE ＝∠CAD.因为∠AEB 与∠ACB 是同弧所对的圆周角，所以∠AEB ＝∠ACD. 故△ABE ∽△ADC.(2)因为△ABE ∽△ADC ，所以AB AE ＝ADAC，即AB·AC ＝AD·AE.又S ＝12AB ·ACsin ∠BAC ，且S ＝12AD ·AE ，故AB·ACsin ∠BAC ＝AD·AE.则sin ∠BAC ＝1，又∠BAC 为三角形内角，所以∠BAC ＝90°. 14. (2016·沧州七校联考)如图，点A 为圆外一点，过点A 作圆的两条切线，切点分别为B ，C ，ADE 是圆的割线，连接CD ，BD ，BE ，CE.(1)求证：BE·CD ＝BD·CE ；(2)延长CD ，交AB 于点F ，若CE ∥AB ，证明：F 为线段AB 的中点． 答案 (1)略 (2)略证明 (1)如图，由题意可得∠ACD ＝∠AEC ，∠CAD ＝∠EAC ，∴△ADC ∽△ACE ，∴CD CE ＝ACAE .同理△ADB ∽△ABE ，BD BE ＝ABAE.又∵AB ＝AC ，∴CD CE ＝BDBE，∴BE ·CD ＝BD·CE. (2)如图，由切割线定理，得FB 2＝FD·FC. ∵CE ∥AB ，∴∠FAD ＝∠AEC.又∵AC 切圆于C ，∴∠ACD ＝∠AEC ，∴∠FAD ＝∠FCA ，又∠F ＝∠F ，∴△AFD ∽△CFA ，∴AF CF ＝FDAF，即AF 2＝FD·FC.∵FB 2＝AF 2，即FB ＝FA ，∴F 为线段AB 的中点．1.如图， 在△ABC 中，AE ＝ED ＝DC ，FE ∥MD ∥BC ，FD 的延长线交BC 的延长线于点N ，且EF ＝1，则BN ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．6答案 C解析 ∵FE ∥MD ∥BC ，AE ＝ED ＝DC ， ∴EF BC ＝AE AC ＝13，EF CN ＝ED DC ＝11. ∴EF ＝CN ，∴EF BN ＝EF BC ＋CN ＝14.∴BN ＝4EF ＝4.(或由△FDE ≌△NDC ⇒EF ＝CN)．2．如图，在直角梯形ABCD 中，上底AD ＝3，下底BC ＝33，与两底垂直的腰AB ＝6，在AB 上选取一点P ，使△PAD 和△PBC 相似，则这样的点P( ) A ．有1个 B ．有2个 C ．有3个 D ．不存在答案 B解析 设AP ＝x.(1)若△ADP ∽△BPC ，则AD BP ＝APBC，即36－x ＝x 33，所以x 2－6x ＋9＝0，解得x ＝3. (2)若△ADP ∽△BCP ，则AD BC ＝APBP，即333＝x 6－x，解得x ＝32.∴符合条件的点P 有两个．故选B.3．如图，AC 为⊙O 的直径，BD ⊥AC 于P ，PC ＝2，PA ＝8，则CD 的长为________，cos ∠ACB ＝________．答案 25，55解析 由射影定理，得 CD 2＝CP·CA ＝2×10. ∴CD ＝2 5. cos ∠ACB ＝sin ∠A ＝sin ∠D ＝CP CD ＝225＝55.4.如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点，DE ∥BC ，且ADDB＝2，那么△ADE 与四边形DBCE 的面积比是________．答案 45解析 ∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ， ∵AD DB ＝2，∴AD AB ＝23. 故S △ADE S △ABC ＝49，∴S △ADE S 四边形DBCE ＝45. 5.如图，等边三角形DEF 内接于△ABC ，且DE ∥BC ，已知AH ⊥BC 于点H ，BC ＝4，AH ＝3，则△DEF 的边长为________．答案 43解析 设DE ＝x ，AH 交DE 于点M ，显然MH 的长度与等边三角形DEF 的高相等，又DE ∥BC ，则DE BC ＝AM AH ＝AH －MH AH ，所以x 4＝3－32x3＝2－x 2，解得x ＝43.6．(2016·贵阳市高三适应性监测考试)如图，已知圆O 两弦AB 与CD 交于点E ，EF ∥AD ，EF 与CB 延长线交于点F ，FG 切圆O 于点G.(1)求证：△BEF ∽△ECF ； (2)求证：FG ＝EF.证明 (1)因为EF ∥AD ，所以∠FEA ＝∠DAB.又∠DAB ＝∠BCD ，所以∠FEB ＝∠FCD. 又∠BFE ＝∠BFE ，所以△BEF ∽△ECF.(2)由(1)得EF FC ＝FBFE，所以EF 2＝FC·FB.又因为FG 2＝FB·FC ，所以EF 2＝FG 2. 所以FG ＝EF.课时作业(74)1. (2016·天津和平区模拟)如图，AB 是半圆的直径，点D 是弧AC 的中点，∠ABC ＝50°，则∠DAB 等于( )A ．55°B ．60°C ．65°D ．70°答案 C解析 如图，连接BD ，∵AB 是半圆的直径，∴∠ADB ＝90°，∵点D 是AC ︵的中点，∴∠ABD ＝∠CBD.∵∠ABC ＝50°，∴∠ABD ＝25°.∴∠DAB ＝90°－25°＝65°.故选C.2.如图所示，在半径为2的⊙O 中，∠AOB ＝90°，D 为OB 的中点，AD 的延长线交⊙O 于点E ，则线段DE 的长为( )A.55 B.255C.355D.32 答案 C解析 延长BO 交圆O 于点F ，由D 为OB 的中点，知DF ＝3，DB ＝1.又∠AOB ＝90°，所以AD ＝ 5.由相交弦定理知AD·DE ＝DF·DB ，即5DE ＝3×1，解得DE ＝355.3.如图所示，E ，C 分别是∠A 两边上的点，以CE 为直径的⊙O 交∠A 的两边于D ，B ，若∠A ＝45°，则△AEC 与△ABD 的面积比为( )A ．2∶1B ．1∶2 C.2∶1 D.3∶1答案 A解析 连接BE ，易知△ABD ∽△AEC ，求△AEC 与△ABD 的面积比即求AE 2∶AB 2的值，设AB ＝a ，∵∠A ＝45°，CE 为⊙O 的直径， ∴∠CBE ＝∠ABE ＝90°. ∴BE ＝AB ＝a ，∴AE ＝2a. ∴AE 2∶AB 2＝2a 2∶a 2.∴AE 2∶AB 2＝2∶1，∴S △AEC ∶S △ABD ＝2∶1. 4．(2014·天津)如图，△ABC 是圆的内接三角形，∠BAC 的平分线交圆于点D ，交BC 于点E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F.在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分∠CBF ；②FB 2＝FD·FA ；③AE·CE ＝BE·DE ；④AF·BD ＝AB·BF.则所有正确结论的序号是( ) A ．①② B ．③④ C ．①②③ D ．①②④ 答案 D解析 因为∠BAD ＝∠FBD ，∠DBC ＝∠DAC ，又AE 平分∠BAC ，所以∠BAD ＝∠DAC ，所以∠FBD ＝∠DBC ，所以BD 平分∠CBF ，结论①正确；易证△ABF ∽△BDF ，所以ABAF＝BD BF ，所以AB·BF ＝AF·BD ，结论④正确；由AF BF ＝BF DF ，得BF 2＝AF·DF ，结论②正确，选D.5．(2015·重庆)如图，圆O 的弦AB ，CD 相交于点E ，过点A 作圆O 的切线与DC 的延长线交于点P ，若PA ＝6，AE ＝9，PC ＝3，CE ∶ED ＝2∶1，则BE ＝________．答案 2解析 由切割线定理，知PA 2＝PC·PD ，即62＝3PD ，解得PD ＝12，所以CD ＝PD －PC ＝9，所以CE ＝6，ED ＝3.由相交弦定理，知AE·BE ＝CE·ED ，即9BE ＝6×3，解得BE ＝2.6．(2015·湖北)如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且BC ＝3PB ，则ABAC＝________．答案 12解析 因为PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，由切割线定理，知PA 2＝PB·PC＝PB(PB ＋BC)．因为BC ＝3PB ，所以PA 2＝4PB 2，即PA ＝2PB.由△PAB ∽△PCA ，所以ABAC＝PB PA ＝12. 7．(2015·广东)如图，已知AB 是圆O 的直径，AB ＝4，EC 是圆O 的切线，切点为C ，BC ＝1.过圆心O 作BC 的平行线，分别交EC 和AC 于点D 和点P ，则OD ＝________．答案 8解析 由题意得OP ＝12BC ＝12，OA ＝2，于是PA ＝CP ＝22－（12）2＝152.因为∠DCP ＝∠B ＝∠POA ，又∠DPC ＝∠APO ，所以△DCP ∽△AOP ，故PD PA ＝PCPO，即PD＝15212×152＝152，所以OD ＝152＋12＝8.8.如图，PT 是圆O 的切线，PAB 是圆O 的割线，若PT ＝2，PA ＝1，∠P ＝60°，则圆O 的半径为________．答案3解析 连接AT ，BT.在△APT 中，∠P ＝60°，PT ＝2，PA ＝1，则由余弦定理得AT＝3，∴∠TAP ＝90°，∴∠BA T ＝90°，∴BT 是圆O 的直径，∵PT是圆O 的切线，PAB 是圆O的割线，∴PT 2＝PA·PB ，∴PT PB ＝PA PT .又∠P 为公共角，∴△PA T ∽△PTB ，∴PT PA ＝BTAT，得BT ＝23，因此圆的半径为 3.9．如图，PAB ，PCD 为圆O 的两条割线，若PA ＝5，AB ＝7，CD ＝11，AC ＝2，则BD ＝________．答案 6解析 因为PAB ，PCD 为圆O 的两条割线，所以PA·PB ＝PC·PD.因为PA ＝5，AB ＝7，CD ＝11，所以PB ＝5＋7＝12，PD ＝PC ＋CD ＝PC ＋11，所以5×12＝PC(PC ＋11)，PC 2＋11PC －60＝0，(PC ＋15)(PC －4)＝0.因为PC 大于0，所以PC ＋15≠0，所以PC －4＝0，PC ＝4.因为∠PAC ＝∠D(圆内接四边形的任一外角等于它的内对角)，又∠P ＝∠P ，所以△PAC ∽△PDB ，所以BD AC ＝PB PC .因为AC ＝2，PB ＝12，PC ＝4，所以BD 2＝124，所以BD ＝6.10.如图，圆O 的直径AB 与弦CD 交于点P ，CP ＝75，PD ＝5，AP ＝1，则∠DCB ＝________．答案 45°解析 由相交弦定理可得CP·PD ＝AP·PB ，∴PB ＝CP·PD AP ＝75×51＝7.∴直径2R ＝AP ＋PB ＝1＋7＝8，∴半径R ＝4. ∴OP ＝OA －AP ＝4－1＝3. 连接DO ，在△ODP 中，OP 2＋OD 2＝32＋42＝52＝PD 2，∴∠POD ＝90°.连接BD ，由△DOB 为等腰直角三角形可得DB ＝2R.由正弦定理可得DB sin ∠DCB ＝DBsin ∠A ＝2R ，∴sin ∠DCB ＝DB 2R ＝22，由图可知，∠DCB 为锐角，∴∠DCB ＝45°.11.如图，BD 是半圆O 的直径，A 在BD 的延长线上，AC 与半圆相切于点E ，AC ⊥BC ，若AD ＝23，AE ＝6，则EC ＝________．答案 3解析 如图，连接OE.由切割线定理得AE 2＝AD·AB ，∴AB ＝6223＝63，∴OE ＝OD ＝OB ＝12(AB －AD)＝23，由于E 是切点，∴OE ⊥AC ，又AC ⊥BC ，∴OE ∥BC ，∴AE EC ＝AO OB ，即6EC ＝23＋2323，EC ＝3.12.如图，BD 是⊙O 的直径，E 是⊙O 上的一点，直线CE 交BD 的延长线于A 点，BC ⊥AE 于C 点，且∠CBE ＝∠DBE.求证：AC 是⊙O 的切线． 答案 略证明 连接OE ，由OE ＝OB ，得∠OEB ＝∠OBE.∵∠CBE ＝∠DBE ，∴∠CBE ＝∠OEB. ∴OE ∥BC.又BC ⊥AE ，∴OE ⊥AC. ∴AC 是⊙O 的切线． 13．(2016·内蒙古赤峰宁城月考)如图，已知AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，∠BAC 的平分线AD 交⊙O 于D ，过点D 作DE ⊥AC 交AC 的延长线于点E ，OE 交AD 于点F.若ACAB＝35.(1)求证：OD ∥AE ；(2)求AFFD的值．答案 (1)略 (2)85解析 (1)证明：连接BC ，设BC 交OD 于点M. 因为OA ＝OD ，所以∠OAD ＝∠ODA.又因为∠OAD ＝∠DAE ，所以∠ODA ＝∠DAE ，所以OD ∥AE. (2)因为AC ⊥BC ，且AC ⊥DE ，所以BC ∥DE. 所以四边形CMDE 为平行四边形，所以CE ＝MD. 由AC AB ＝35，设AC ＝3x ，AB ＝5x ，则OM ＝32x.又OD ＝52x ，所以MD ＝52x －32x ＝x ，所以AE ＝AC ＋CE ＝4x.因为OD ∥AE ，所以AF FD ＝AE OD ＝4x 52x ＝85.14．(2016·江西六校第二次联考)如图，AB 是圆O 的直径，C ，D 是圆O 上两点，AC 与BD 相交于点E ，GC ，GD 是圆O 的切线，点F 在DG 的延长线上，且DG ＝GF.求证：(1)D ，E ，C ，F 四点共圆； (2)GE ⊥AB. 答案 略证明 (1)如图，连接OC ，OD ，则OC ⊥CG ，OD ⊥DG ，设∠CAB ＝∠1，∠DBA ＝∠2，∠ACO ＝∠3， ∠COB ＝2∠1，∠DOA ＝2∠2.所以∠DGC ＝180°－∠DOC ＝2(∠1＋∠2)． 因为∠DGC ＝2∠F ，所以∠F ＝∠1＋∠2.又因为∠DEC ＝∠AEB ＝180°－(∠1＋∠2)，所以∠DEC ＋∠F ＝180°，所以D ，E ，C ，F 四点共圆． (2)延长GE 交AB 于H.因为GD ＝GC ＝GF ，所以点G 是经过D ，E ，C ，F 四点的圆的圆心．所以GE ＝GC ，所以∠GCE ＝∠GEC.又因为∠GCE ＋∠3＝90°，∠1＝∠3，所以∠GEC ＋∠1＝90°，所以∠AEH ＋∠1＝90°，所以∠EHA ＝90°，即GE ⊥AB.15．如图，四边形ABDC 内接于圆，BD ＝CD ，过C 点的圆的切线与AB 的延长线交于E 点．(1)求证：∠EAC ＝2∠DCE ；(2)若BD ⊥AB ，BC ＝BE ，AE ＝2，求AB 的长． 答案 (1)略 (2)AB ＝5－1解析 (1)证明：因为BD ＝CD ，所以∠BCD ＝∠CBD. 因为CE 是圆的切线所以∠ECD ＝∠CBD. 所以∠ECD ＝∠BCD ，所以∠BCE ＝2∠ECD.因为∠EAC ＝∠BCE ，所以∠EAC ＝2∠ECD. (2)因为BD ⊥AB ，所以AC ⊥CD ，AC ＝AB.因为BC ＝BE ，所以∠BEC ＝∠BCE ＝∠EAC ，所以AC ＝EC. 由切割线定理得EC 2＝AE·BE ，即AB 2＝AE·(AE －AB)，即AB 2＋2AB －4＝0，解得AB ＝5－1.16. (2015·陕西)如图，AB 切⊙O 于点B ，直线AO 交⊙O 于D ，E 两点，BC ⊥DE ，垂足为C.(1)证明：∠CBD ＝∠DBA ；(2)若AD ＝3DC ，BC ＝2，求⊙O 的直径． 答案 (1)略 (2)3解析 (1)证明：因为DE 为⊙O 的直径， 则∠BED ＋∠EDB ＝90°，又BC ⊥DE ，所以∠CBD ＋∠EDB ＝90°， 从而∠CBD ＝∠BED.又AB 切⊙O 于点B ，得∠DBA ＝∠BED ， 所以∠CBD ＝∠DBA.(2)由(1)知BD 平分∠CBA ， 则BA BC ＝ADCD ＝3，又BC ＝2，从而AB ＝3 2. 所以AC ＝AB 2－BC 2＝4，所以AD ＝3.由切割线定理得AB 2＝AD·AE ，即AE ＝AB 2AD＝6，故DE ＝AE －AD ＝3，即⊙O 的直径为3.1. 如图，若AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ABD ＝58°，则∠BCD ＝________．答案 32°解析 根据直径所对的圆周角为直角可得∠ADB ＝90°，根据∠ABD ＝58°可得∠A ＝ 32°，根据同弧所对的圆周角相等可得∠BCD ＝∠A ＝32°.2．如图，BC 是圆O 的一条弦，延长BC 至点E ，使得BC ＝2CE ＝2，过E 作圆O 的切线，A 为切点，∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，则DE 的长为________．答案 3解析 由切割线定理得AE 2＝EC·EB ＝1×3＝3，所以AE ＝ 3.因为AD 是∠BAC 的平分线，所以∠BAD ＝∠CAD.因为AE 是圆O 的切线，所以∠EAC ＝∠ABC.因为∠ADC ＝∠BAD ＋∠ABC ，所以∠ADC ＝∠BAD ＋∠EAC ＝∠EAD ，所以DE ＝AE ＝ 3.3.如图所示，已知AB ，BC 是⊙O 的两条弦，AO ⊥BC ，AB ＝3，BC ＝22，则⊙O 的半径等于________．答案 1.5解析 设⊙O 的半径为r ，BC 与AO 交于点D ，因为AB ，BC 是⊙O 的两条弦，AO ⊥BC ，AB ＝3，BC ＝22，所以AD ＝1，所以r 2＝2＋(r －1)2，解得r ＝1.5.4.如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且PB BC ＝12，则PABC＝________．答案32解析 由题意，可设PB ＝x ，则BC ＝2x ，根据切割线定理，可得PA 2＝PB·PC ＝3x 2，PA ＝3x ，所以PA BC ＝32.5.如图，过点P 作圆O 的割线PAB 与切线PE ，E 为切点，连接AE ，BE ，∠APE 的平分线与AE ，BE 分别交于点C ，D ，若∠AEB ＝30°，则∠PCE ＝________．答案 75°解析 ∵PE 是圆的切线，∴∠PEB ＝∠PAC.∵PC 是∠APE 是平分线，∴∠EPC ＝∠APC ，根据三角形的外角与内角关系有∠EDC ＝∠PEB ＋∠EPC ，∠ECD ＝∠PAC ＋∠APC ，∴∠EDC ＝∠ECD ，∴△EDC 为等腰三角形．又∠AEB ＝30°，∴∠EDC ＝∠ECD ＝75°，即∠PCE ＝75°. 6.如图，PB 为△ABC 外接圆O 的切线，BD 平分∠PBC ，交圆O 于D ，点C ，D ，P 共线．若AB ⊥BD ，PC ⊥PB ，PD ＝1，则圆O 的半径是________．答案 2解析 如图所示，连接AD ，∵PB 为圆O 的切线，∴∠PBD ＝∠BCD ＝∠BAD.∵BD 为∠PBC 的平分线，∴∠PBD ＝∠CBD ，∴∠PDB ＝∠CBD ＋∠BCD ＝∠PBD ＋∠PBD ＝2∠PBD. 又∵PC ⊥PB ，∴∠PBD ＝∠BCD ＝∠CBD ＝∠BAD ＝30°，∠PDB ＝60°.由PD ＝1，得BD ＝2PD ＝2.在△ABD 中，∵AB ⊥BD ，∴AD 是圆O 的直径，且直径AD ＝2BD ＝4，∴圆O 的半径为2.7.如图，已知⊙O 的割线PAB 交⊙O 于A ，B 两点，割线PCD 经过圆心，若PA ＝3，AB ＝4，PO ＝5，则⊙O 的半径为________．答案 2解析 设圆的半径为r ，PA ＝3，PB ＝7，PC ＝5－r ，PD ＝5＋r ，由割线定理PA·PB ＝PC·PD ，得3×7＝(5＋r)(5－r)，解得r ＝2.8.已知⊙O 1和⊙O 2交于点C 和点D ，⊙O 1上的点P 处的切线交⊙O 2于A ，B 两点，交直线CD 于点E ，M 是⊙O 2上的一点，若PE ＝2，EA ＝1，∠AMB ＝45°，那么⊙O 2的半径为________．答案322解析 由切线定理和割线定理可知，PE 2＝EC·ED ＝EA·(EA ＋AB)，将PE ＝2，EA ＝1代入，得AB ＝3.连接AO 2，BO 2，由∠AMB ＝45°可得△ABO 2为等腰直角三角形，所以⊙O 2的半径r ＝22AB ＝322.9.如图所示，圆O 的两条弦AB 和CD 交于点E ，EF ∥CB ，EF 交AD 的延长线于点F ，FG 切圆O 于点G .(1)求证：△DEF ∽△EAF ； (2)如果FG ＝1，求EF 的长． 答案 (1)略 (2)1 解析 (1)证明：因为EF ∥BC ，所以∠DEF ＝∠ECB.又因为∠ECB ＝∠A ，所以∠DEF ＝∠A ，又∠DFE 为公共角，所以△DEF ∽△EAF.(2)由(1)知△DEF ∽△EAF ，所以EF AF ＝DFEF，即EF 2＝AF·DF.又因为FG 为切线，所以FG 2＝FD·FA ，所以EF ＝FG ＝1.10.如图，AB 是⊙O 的一条切线，切点为B ，直线ADE ，CFD ，CGE 都是⊙O 的割线，已知AC ＝AB.(1)求证：FG ∥AC ；(2)若CG ＝1，CD ＝4，求DEGF的值．答案 (1)略 (2)4解析 (1)证明：因为AB 为切线，AE 为割线，所以AB 2＝AD·AE.又因为AC ＝AB ，所以AD·AE ＝AC 2，所以AD AC ＝ACAE.又因为∠EAC ＝∠DAC ，所以△ADC ∽△ACE ，所以∠ADC ＝∠ACE. 又因为∠ADC ＝∠EGF ，所以∠EGF ＝∠ACE ，所以FG ∥AC. (2)由题意可得G ，E ，D ，F 四点共圆， 所以∠CGF ＝∠CDE ，∠CFG ＝∠CED.所以△CGF ∽△CDE ，所以ED GF ＝CDCG .又因为CG ＝1，CD ＝4，所以DEGF＝4.课时作业(75)1．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝5x ，y ′＝3y 后，曲线C 变为曲线x ′2＋y ′2＝1，则曲线C 的方程为( )A ．25x 2＋9y 2＝1B ．9x 2＋25y 2＝1C ．25x ＋9y ＝1D.x 225＋y 29＝1 答案 A2．极坐标方程ρ＝cos θ化为直角坐标方程为( )A ．(x ＋12)2＋y 2＝14B ．x 2＋(y ＋12)2＝14C ．x 2＋(y －12)2＝14D ．(x －12)2＋y 2＝14答案 D解析 由ρ＝cos θ，得ρ2＝ρcos θ，∴x 2＋y 2＝x.选D.3．设点M 的直角坐标为(－1，－3，3)，则它的柱坐标为( )A ．(2，π3，3)B ．(2，2π3，3)C ．(2，4π3，3)D ．(2，5π3，3)答案 C4．极坐标方程ρcos θ＝2sin2θ表示的曲线为( ) A ．一条射线和一个圆 B ．两条直线 C ．一条直线和一个圆 D ．一个圆 答案 C 5．(2016·北京海淀期末练习)下列极坐标方程表示圆的是( )A ．ρ＝1B ．θ＝π2C ．ρsin θ＝1D ．ρ(sin θ＋cos θ)＝1答案 A解析 ρ＝1化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝1，表示圆心在原点，半径为1的圆，故A 正确；θ＝π2化为直角坐标方程为x ＝0(y ≥0)，表示射线，故B 不正确；ρsin θ＝1化为直角坐标方程为y ＝1，表示直线，故C 不正确；ρ(sin θ＋cos θ)＝1化为直角坐标方程为x ＋y ＝1，表示直线，故D 不正确．6．在极坐标系中，过点(2，π2)且与极轴平行的直线方程是( )A ．ρ＝0B ．θ＝π2C ．ρcos θ＝2D ．ρsin θ＝2 答案 D解析 极坐标为(2，π2)的点的直角坐标为(0，2)，过该点且与极轴平行的直线的方程为y ＝2，其极坐标方程为ρsin θ＝2，故选D.7．在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( )A ．(1，π2)B ．(1，－π2)C ．(1，0)D ．(1，π) 答案 B解析 由ρ＝－2sin θ得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2y ，化成标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为(1，－π2)．8．在极坐标系中，点(2，－π3)到圆ρ＝－2cos θ的圆心的距离为( )A ．2 B.4＋π29C.9＋π29D.7答案 D解析 在直角坐标系中，点(2，－π3)的直角坐标为(1，－3)，圆ρ＝－2cos θ的直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2x ，即(x ＋1)2＋y 2＝1，圆心为(－1，0)，所以所求距离为（1＋1）2＋（－3－0）2＝7.故选D. 9．(2016·皖北协作区联考)在极坐标系中，直线ρ(3cos θ－sin θ)＝2与圆ρ＝4sin θ的交点的极坐标为( )A ．(2，π6)B ．(2，π3)C ．(4，π6)D ．(4，π3)答案 A解析 ρ(3cos θ－sin θ)＝2可化为直角坐标方程3x －y ＝2，即y ＝3x －2.ρ＝4sin θ可化为x 2＋y 2＝4y ，把y ＝3x －2代入x 2＋y 2＝4y ，得4x 2－83x ＋12＝0，即x 2－23x ＋3＝0，所以x ＝3，y ＝1.所以直线与圆的交点坐标为(3，1)，化为极坐标为(2，π6)，故选A.10．在极坐标系中，与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线的方程是( )A ．ρsin θ＝2B ．ρcos θ＝2C ．ρcos θ＝4D ．ρcos θ＝－4 答案 B解析 方法一：圆的极坐标方程ρ＝4sin θ即ρ2＝4ρsin θ，所以直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝0.选项A ，直线ρsin θ＝2的直角坐标方程为y ＝2，代入圆的方程，得x 2＝4，∴x ＝±2，不符合题意；选项B ，直线ρcos θ＝2的直角坐标方程为x ＝2，代入圆的方程，得(y －2)2＝0，∴y ＝2，符合题意．同理，以后选项都不符合题意． 方法二：如图，⊙C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ，CO ⊥Ox ，OA 为直径，|OA|＝4，直线l 和圆相切， l 交极轴于点B(2，0)，点P(ρ，θ)为l 上任意一点，则有cos θ＝|OB||OP|＝2ρ，得ρcos θ＝2.11．(2015·湖南)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，则曲线C 的直角坐标方程为________． 答案 x 2＋y 2－2y ＝0解析 两边同乘以ρ，得ρ2＝2ρsin θ，即x 2＋y 2＝2y ，故曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0.12．(2015·北京)在极坐标系中，点(2，π3)到直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝6的距离为________．答案 1解析 点(2，π3)的直角坐标为(1，3)，直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝6的直角坐标方程为x ＋3y －6＝0，所以点(1，3)到直线的距离d ＝|1＋3×3－6|1＋3＝1.13．在极坐标系中，设曲线C 1：ρ＝2sin θ与C 2：ρ＝2cos θ的交点分别为A ，B ，则线段AB 的垂直平分线的极坐标方程为________．答案 ρsin θ＋ρcos θ＝1(或ρsin (θ＋π4)＝22)解析 曲线C 1：ρ＝2sin θ的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 2：ρ＝2cos θ的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，所以AB 的方程为－x ＋y ＝0.又易知AB 的垂直平分线斜率为－1，经过圆C 1的圆心(0，1)，所以AB 的垂直平分线的方程为x ＋y －1＝0，化为极坐标方程为ρsinθ＋ρcos θ＝1，或化成ρsin (θ＋π4)＝22.14．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的圆心的极坐标为(2，π4)，半径r ＝2，点P 的极坐标为(2，π)，过P 作直线l 交圆C 于A ，B 两点．(1)求圆C 的直角坐标方程； (2)求|PA|·|PB|的值．答案 (1)(x －1)2＋(y －1)2＝2 (2)8解析 (1)圆C 的圆心的极坐标C(2，π4)，∴x ＝2cos π4＝1，y ＝2sin π4＝1，∴圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.(2)点P 的极坐标为(2，π)，化为直角坐标为P(－2，0)． 当直线l 与圆C 相切于点D 时，则|PD|2＝|PC|2－r 2＝(－2－1)2＋(0－1)2－(2)2＝8. ∴|PA|·|PB|＝|PD|2＝8. 15．(2016·河北唐山三模)在极坐标系Ox 中，直线C 1的极坐标方程为ρsin θ＝2，M 是C 1上任意一点，点P 在射线OM 上，且满足|OP|·|OM|＝4，记点P 的轨迹为C 2. (1)求曲线C 2的极坐标方程；(2)求曲线C 2上的点到直线C 3：ρcos (θ＋π4)＝2距离的最大值．答案 (1)ρ＝2sin θ(ρ≠0) (2)1＋322解析 (1)设P(ρ，θ)，M (ρ1，θ)，依题意有 ρ1sin θ＝2，ρρ1＝4.消去ρ1，得曲线C 2的极坐标方程为 ρ＝2sin θ(ρ≠0)．(2)将C 2，C 3的极坐标方程化为直角坐标方程，得C 2：x 2＋(y －1)2＝1，C 3：x －y ＝2.C 2是以点(0，1)为圆心，以1为半径的圆，圆心到直线C 3的距离d ＝322，故曲线C 2上的点到直线C 3距离的最大值为1＋322.16．(2014·辽宁)将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.(1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．答案 (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cost ，y ＝2sint ，(t 为参数) (2)ρ＝34sin θ－2cos θ解析 (1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为C 上点(x ，y)，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1，由x 12＋y 12＝1得x 2＋(y 2)2＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y24＝1.故C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cost ，y ＝2sint ，(t 为参数)(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.不妨设P 1(1，0)，P 2(0，2)，则线段P 1P 2的中点坐标为(12，1)，所求直线斜率为k ＝12，于是所求直线方程为y －1＝12(x －12)，化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，即ρ＝34sin θ－2cos θ.1．(2016·广东肇庆一模)已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2(ρ>0，0≤θ<2π)，曲线C 在点(2，π4)处的切线为l ，以极点为坐标原点，以极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则l 的直角坐标方程为________． 答案 x ＋y －22＝0解析 根据极坐标与直角坐标的转化公式可以得到曲线ρ＝2⇒x 2＋y 2＝4，点(2，π4)⇒(2，2)．因为点(2，2)在圆x 2＋y 2＝4上，故圆在点(2，2)处的切线方程为2x ＋2y ＝4⇒x ＋y －22＝0，故填x ＋y －22＝0.2．在极坐标系中，直线l 的方程为ρcos θ＝5，则点(4，π3)到直线l 的距离为________．答案 3解析 在直角坐标系中，直线l 的方程为x ＝5.在直角坐标系中，x ＝4cos π3＝2，y ＝4sin π3＝23，故点(4，π3)的直角坐标为(2，23)，到直线x ＝5的距离为5－2＝3.3．在极坐标系中，直线ρsin (θ＋π4)＝2被圆ρ＝2截得的弦长为________．答案 4 3解析 直线ρsin (θ＋π4)＝2的直角坐标方程为x ＋y －22＝0，圆ρ＝4的直角坐标方程为x 2＋y 2＝16.圆心的坐标是(0，0)，半径是4，圆心到直线的距离d ＝|－22|12＋12＝2，所以直线ρsin (θ＋π4)＝2被圆ρ＝4截得的弦长是242－22＝4 3. 4．在极坐标系中，曲线C 1：ρ＝2与曲线C 2：ρ＝4sin θ(π2<θ<π)交点的极坐标是________．答案 (2，5π6)解析 由题意分析可得，曲线C 1是圆心为(0，0)，半径为2的圆，曲线C 1的方程为x 2＋y 2＝4.对ρ＝4sin θ变形得ρ2＝4ρsin θ，所以曲线C 2的方程为x 2＋y 2＝4y.联立两个方程，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1，或⎩⎨⎧x ＝－3，y ＝1.又∵π2<θ<π，∴交点为(－3，1)，转化为极坐标ρ＝2，tan θ＝1－3，由题意θ＝5π6，所以交点的极坐标为(2，5π6)．5．(2014·陕西)在极坐标系中，点(2，π6)到直线ρsin (θ－π6)＝1的距离是________．答案 1解析 ρsin (θ－π6)＝ρ(sin θcos π6－sin π6cos θ)＝1，因为在极坐标系中，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ， 所以直线可化为x －3y ＋2＝0.同理点(2，π6)可化为(3，1)，所以点到直线距离d ＝|3－3＋2|3＋1＝1.6．(2016·唐山模拟)已知圆C ：x 2＋y 2＝4，直线l ：x ＋y ＝2.以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．(1)将圆C 和直线l 的方程化为极坐标方程；(2)P 是l 上的点，射线OP 交圆C 于点R ，又点Q 在OP 上且满足|OQ|·|OP|＝|OR|2，当点P 在l 上移动时，求点Q 轨迹的极坐标方程．答案 (1)C ：ρ＝2 l ：ρ(cos θ＋sin θ)＝2 (2)ρ＝2(cos θ＋sin θ)(ρ≠0)解析 (1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入圆C 和直线l 的直角坐标方程得其极坐标方程为 C ：ρ＝2，l ：ρ(cos θ＋sin θ)＝2.(2)设P ，Q ，R 的极坐标分别为(ρ1，θ)，(ρ，θ)，(ρ2，θ)，则由|OQ|·|OP|＝|OR|2得ρρ1＝ρ22.又ρ2＝2，ρ1＝2cos θ＋sin θ，所以2ρcos θ＋sin θ＝4，故点Q 轨迹的极坐标方程为ρ＝2(cos θ＋sin θ)(ρ≠0)．7．已知极坐标方程C 1：ρ＝10，C 2：ρsin (θ－π3)＝6.(1)化C 1，C 2的极坐标方程为直角坐标方程，并分别判断曲线形状； (2)求C 1，C 2交点间的距离．答案 (1)C 1：x 2＋y 2＝100，C 2：3x －y ＋12＝0 (2)16 解析 (1)由C 1：ρ＝10，得ρ2＝100.∴x 2＋y 2＝100. 所以C 1为圆心在(0，0)，半径等于10的圆．由C 2：ρsin (θ－π3)＝6，得ρ(12sin θ－32cos θ)＝6.∴y －3x ＝12，即3x －y ＋12＝0. 所以C 2表示直线．(2)由于圆心(0，0)到直线3x －y ＋12＝0的距离为d ＝|12|（3）2＋（－1）2＝6<10，所以直线C 2被圆截得的弦长等于2102－62＝16.8．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos (θ－π3)＝1，M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点．(1)写出C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．答案 (1)x ＋3y －2＝0，M(2，0)，N(233，π2)(2)θ＝π6，ρ∈R解析 (1)由ρcos (θ－π3)＝1，得ρ(12cos θ＋32sin θ)＝1. 从而C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2.当θ＝0时，ρ＝2，所以M(2，0)；当θ＝π2时，ρ＝233，所以N(233，π2)．(2)M 点的直角坐标为(2，0)，N 点的直角坐标为(0，233)．所以P 点的直角坐标为(1，33)，则P 点的极坐标为(233，π6)．所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6，ρ∈(－∞，＋∞)．课时作业(76)1．若直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2－3t (t 为参数)，则直线的斜率为( )A.23 B ．－23 C.32 D ．－32 答案 D2．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋tsin70°，y ＝2＋tcos70°(t 为参数)的倾斜角为( )A ．70°B ．20°C ．160°D ．110° 答案 B解析 将直线参数方程化为标准形式：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋tcos20°，y ＝2＋tsin20°(t 为参数)，则倾斜角为20°，故选B.3．下列参数方程与方程y 2＝x 表示同一曲线的是( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 2(t 为参数) B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin 2t ，y ＝sint (t 为参数) C.⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝|t|(t 为参数) D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－cos2t 1＋cos2t ，y ＝tant (t 为参数)答案 D解析 考查四个选项：对于A ，消去t 后所得方程为x 2＝y ，不符合y 2＝x ； 对于B ，消去t 后所得方程为y 2＝x ，但要求0≤x ≤1，也不符合y 2＝x ； 对于C ，消去t 得方程为y 2＝|x|，且要求y ≥0，x ∈R ，也不符合y 2＝x ；对于D ，x ＝1－cos2t 1＋cos2t ＝2sin 2t 2cos 2t＝tan 2t ＝y 2即符合y 2＝x.因此D 是正确的，故选D.4．与参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝21－t(t 为参数)等价的普通方程为( )A ．x 2＋y 24＝1B ．x 2＋y 24＝1(0≤x ≤1)C ．x 2＋y 24＝1(0≤y ≤2) D ．x 2＋y 24＝1(0≤x ≤1，0≤y ≤2)答案 D解析 x 2＝t ，y 24＝1－t ＝1－x 2，x 2＋y 24＝1，而t ≥0，0≤1－t ≤1，得0≤y ≤2. 5．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋2cos θ，y ＝4＋2sin θ(θ为参数)表示的曲线上的点到坐标轴的最近距离为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 A解析 参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋2cos θ，y ＝4＋2sin θ(θ为参数)表示的曲线的普通方程为(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，这是圆心为(－3，4)，半径为2的圆，故圆上的点到坐标轴的最近距离为1.6．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)和极坐标方程ρ＝－6cos θ所表示的图形分别是( )A ．圆和直线B ．直线和直线C ．椭圆和直线D ．椭圆和圆 答案 D解析 参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)的普通方程为x 24＋y 2＝1，表示椭圆．极坐标方程ρ＝－6cos θ的直角坐标方程为(x ＋3)2＋y 2＝9，表示圆．7．已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t ＋1(t 为参数)，圆C ：ρ＝2cos θ，则圆心C 到直线l 的距离是( )A ．2 B. 3 C. 2 D ．1 答案 C解析 直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t ＋1(t 为参数)的普通方程为x －y ＋1＝0，圆C ：ρ＝2cos θ的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，即(x －1)2＋y 2＝1，则圆心C(1，0)到直线l 的距离d ＝|1－0＋1|2＝ 2.8．(2014·安徽理)以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，则直线l 被圆C 截得的弦长为( ) A.14 B ．214 C. 2 D ．2 2 答案 D解析 由题意得直线l 的方程为x －y －4＝0，圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4.则圆心到直线的距离d ＝2，故弦长＝2r 2－d 2＝2 2.9．(2016·皖南八校联考)若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝1－4t (t 为参数)与曲线C ：⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝m ＋5sin θ(θ为参数)相切，则实数m 为( ) A ．－4或6 B ．－6或4 C ．－1或9 D ．－9或1 答案 A解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝1－4t (t 为参数)，得直线l ：2x ＋y －1＝0，由⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝m ＋5sin θ(θ为参数)，得曲线C ：x 2＋(y －m)2＝5，因为直线与曲线相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即|m －1|22＋1＝5，解得m ＝－4或m ＝6.10．(2016·北京朝阳二模)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝4＋t (t 为参数)．以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝42·sin (θ＋π4)，则直线l 和曲线C 的公共点有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．无数个 答案 B解析 直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝4＋t (t 为参数)化为普通方程得x －y ＋4＝0；曲线C ：ρ＝42sin (θ＋π4)化成普通方程得(x －2)2＋(y －2)2＝8，∴圆心C(2，2)到直线l 的距离为d ＝|2－2＋4|2＝22＝r.∴直线l 与圆C 只有一个公共点，故选B. 11．(2015·湖北)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的极坐标方程为ρ(sin θ－3cos θ)＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t －1t，y ＝t ＋1t(t 为参数)，l 与C 相交于A ，B 两点，则|AB|＝________． 答案 2 5解析 因为ρ(sin θ－3cos θ)＝0，所以ρsin θ＝3ρcos θ，所以y －3x ＝0，即y ＝3x.由⎩⎨⎧x ＝t －1t ，y ＝t ＋1t ，消去t 得y 2－x 2＝4.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，y 2－x 2＝4，解得⎩⎨⎧x ＝22，y ＝322，或⎩⎨⎧x ＝－22，y ＝－322，不妨令A(22，322)，B(－22，－322)，由两点间的距离公式得 |AB|＝（22＋22）2＋（322＋322）2＝2 5. 12．已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋2t ，y ＝2t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是ρ＝sin θ1－sin 2θ.(1)写出直线l 的极坐标方程与曲线C 的普通方程；(2)若点P 是曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最小值，并求出此时点P 的坐标．答案 (1)2ρcos (θ＋π4)＝1，y ＝x 2 (2)328解析 (1)由⎩⎨⎧x ＝1＋2t ，y ＝2t 得x －y ＝1，∴直线l 的极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ＝1，即2ρ(cos θcos π4－sin θsin π4)＝1，即2ρcos (θ＋π4)＝1.∵ρ＝sin θ1－sin 2θ∴ρ＝sin θcos 2θ，∴ρcos 2θ＝sin θ，∴(ρcos θ)2＝ρsin θ，即曲线C 的普通方程为y ＝x 2.(2)设P(x 0，y 0)，则y 0＝x 02， 直线l 的普通方程为x －y －1＝0.∴点P 到直线l 的距离d ＝|x 0－y 0－1|2＝|x 0－x 02－1|2＝|－（x 0－12）2－34|2＝（x 0－12）2＋342， ∴当x 0＝12时，d min ＝328，此时P(12，14)，∴当点P 为(12，14)时，点P 到直线l 距离最小，最小值为328.13．(2015·陕西)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数)．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ. (1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标． 答案 (1)x 2＋(y －3)2＝3 (2)(3，0)解析 (1)由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23ρsin θ， 从而有x 2＋y 2＝23y ，所以x 2＋(y －3)2＝3.(2)设P(3＋12t ，32t)，又C(0，3)，则|PC|＝（3＋12t ）2＋（32t －3）2＝t 2＋12，故当t ＝0时，|PC|取得最小值， 此时，P 点的直角坐标为(3，0)．14．(2015·湖南)已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ. (1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点M 的直角坐标为(5，3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA|·|MB|的值．答案 (1)x 2＋y 2－2x ＝0 (2)18解析 (1)ρ＝2cos θ等价于ρ2＝2ρcos θ. ①将ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x 代入①即得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0. ②(2)将⎩⎨⎧x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t代入②，得t 2＋53t ＋18＝0，设这个方程的两个实根分别为t 1，t 2，则由参数t 的几何意义即知，|MA|·|MB|＝|t 1t 2|＝18.15．(2016·衡水调研卷)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋tcos α，y ＝tsin α(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ－2cos θ. (1)求曲线C 的参数方程；(2)当α＝π4时，求直线l 与曲线C 交点的极坐标．答案 (1)C ：⎩⎨⎧x ＝－1＋2cos φ，y ＝1＋2sin φ(φ为参数)(2)(2，π2)，(2，π)解析 (1)由ρ＝2sin θ－2cos θ，可得ρ2＝2ρsin θ－2ρcos θ. 所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y －2x ， 标准方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2.曲线C 的极坐标方程化为参数方程为 ⎩⎨⎧x ＝－1＋2cos φ，y ＝1＋2sin φ(φ为参数)．(2)当α＝π4时，直线l 的方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋22t ，y ＝22t ，化成普通方程为y ＝x ＋2.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝2y －2x ，y ＝x ＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝0. 所以直线l 与曲线C 交点的极坐标分别为(2，π2)，(2，π)．1．(2016·天津一中月考)在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t (t 为参数)与曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝asin θ，y ＝3cos θ(θ为参数，a>0)有一个公共点在x 轴上，则a ＝________．答案 32解析 曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t 化为普通方程为2x ＋y －3＝0，令y ＝0，可得x ＝32.曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝asin θy ＝3cos θ(θ为参数，a>0)，化为普通方程为x 2a 2＋y 29＝1，∵两曲线有一个公共点在x 轴上，∴94a 2＝1，∴a ＝32.2．在直角坐标系中，已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋s ，y ＝2－s (s 为参数)与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋3，y ＝t2(t 为参数)相交于A ，B 两点，则|AB|＝________． 答案 2解析 曲线C 可化为y ＝(x －3)2，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋s ，y ＝2－s 代入y ＝(x －3)2，化简解得s 1＝1，s 2＝2，所以|AB|＝12＋12|s 1－s 2|＝ 2.3．设P ，Q 分别为直线⎩⎨⎧x ＝1＋45t ，y ＝1＋35t(t 为参数)和曲线C ：ρ＝2cos (θ＋π4)上的点，则|PQ|的最小值为________．答案 9－5210解析 由直线⎩⎨⎧x ＝1＋45t ，y ＝1＋35t(t 为参数)，消去参数可得3x －4y ＋1＝0.由曲线C ：ρ＝2cos (θ＋π4)，可得(x －12)2＋(y ＋12)2＝12，所以|PQ|的最小值为|3×12－4×（－12）＋1|5－22＝9－5210. 4．已知在直角坐标系中曲线C 1的参数方程为。

【高考调研】2017届高考理科数学一轮课时作业78套(58—68)

【高考调研】2017届高考理科数学一轮课时作业78套(58—68)

【高考调研】2017届高考理科数学一轮课时作业（58—68）第十章计数原理和概率课时作业(58)1．有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有()A．21种B．315种C．143种D．153种答案 C解析可分三类：一类：语文、数学各1本，共有9³7＝63种；二类：语文、英语各1本，共有9³5＝45种；三类：数学、英语各1本，共有7³5＝35种；∴共有63＋45＋35＝143种不同选法．2．(2016·武汉市二中月考)从1到10的正整数中，任意抽取两个相加所得和为奇数的不同情形的种数是()A．10 B．15C．20 D．25答案 D解析当且仅当偶数加上奇数后和为奇数，从而不同情形有5³5＝25(种)．3．5名应届毕业生报考3所高校，每人报且仅报1所院校，则不同的报名方法的种数是() A．35B．53C．A32D．C53答案 A4．现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有()A．24种B．30种C．36种D．48种答案 D解析共有4³3³2³2＝48(种)，故选D.5．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目．如要将这2个节目插入原节目单中，那么不同插法的种类为()A．42 B．30C．20 D．12答案 A解析将新增的2个节目分别插入原定的5个节目中，插入第一个有6种插法，插入第2个时有7个空，共7种插法，所以共6³7＝42(种)．6．高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有()A．16种B．18种C．37种D．48种答案 C解析 自由选择去四个工厂有43种方法，甲工厂不去，自由选择去乙、丙、丁三个工厂有33种方法，故不同的分配方案有43－33＝37种．7．某大楼安装了5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁．在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒．如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是( )A ．1 205秒B ．1 200秒C ．1 195秒D ．1 190秒答案 C解析 要实现所有不同的闪烁且需要的时间最少，只要所有闪烁连续地、不重复地依次闪烁一遍．而所有的闪烁共有A 55＝120个；因为在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，即每个闪烁的时长为5秒，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒，所以要实现所有不同的闪烁，需要的时间至少是120³(5＋5)－5＝1 195秒．8．(2016·邯郸一中模拟)我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2 013是“六合数”)，则“六合数”中首位为2的“六合数”共有( )A ．18个B ．15个C ．12个D ．9个答案 B解析 依题意知，这四个位数的百位数、十位数、个位数之和为4.由4，0，0组成有3个数，分别为400，040，004；由3，1，0组成有6个数，分别为310，301，130，103，013，031；由2，2，0组成有3个数，分别为220，202，022；由2，1，1组成有3个数，分别为211，121，112，共3＋6＋3＋3＝15个．9．(2016·江南十校)已知I ＝{1，2，3}，A ，B 是集合I 的两个非空子集，且A 中所有数的和大于B 中所有数的和，则集合A ，B 共有( )A ．12对B ．15对C ．18对D ．20对答案 D解析 依题意，当A ，B 均有一个元素时，有3对；当B 有一个元素，A 有两个元素时，有8对；当B 有一个元素，A 有三个元素时，有3对；当B 有两个元素，A 有三个元素时，有3对；当A ，B 均有两个元素时，有3对；共20对，选择D.10．由1到200的自然数中，各数位上都不含8的有________个．答案 162解析 一位数8个，两位数8³9＝72个．3位数有9³9＝81个，另外1个(即200)，共有8＋72＋81＋1＝162个．11．直线方程Ax ＋By ＝0，若从0，1，2，3，5，7这6个数字中任取两个不同的数作为A ，B 的值，则可表示________条不同的直线．答案 22解析 分成三类：A ＝0，B ≠0；A ≠0，B ＝0和A ≠0，B ≠0，前两类各表示1条直线；第三类先取A 有5种取法，再取B 有4种取法，故5³4＝20种．所以可以表示22条不同的直线．12.如图，用6种不同的颜色把图中A ，B ，C ，D 四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则涂色方法共________种．(用数字作答)1 ³ ³2 ³ ³答案 480 思路 A ，B ，C ，D 四块区域→按顺序依次涂色，明确各区域的涂色方法数→利用分步乘法计数原理求涂法种类 解析 从A 开始涂色，A 有6种涂色方法，B 有5种涂色方法，C 有4种涂色方法，D 有4种涂色方法．由分步乘法计数原理可知，共有6³5³4³4＝480(种)涂色方法．13．标号为A ，B ，C 的三个口袋，A 袋中有1个红色小球，B 袋中有2个不同的白色小球，C 袋中有3个不同的黄色小球，现从中取出2个小球．(1)若取出的两个球颜色不同，有多少种取法？(2)若取出的两个球颜色相同，有多少种取法？答案 (1)11 (2)4解析 (1)若两个球颜色不同，则应在A ，B 袋中各取一个或A ，C 袋中各取一个，或B ，C 袋中各取一个．∴应有1³2＋1³3＋2³3＝11种．(2)若两个球颜色相同，则应在B 或C 袋中取出2个．∴应有1＋3＝4种．14．某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法？答案 20种解析 由题意得有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会日语．第一类：从只会英语的6人中选1人说英语，共有6种方法，则说日语的有2＋1＝3(种)，此时共有6³3＝18(种)；第二类：不从只会英语的6人中选1人说英语，则只有1种方法，则选会日语的有2种，此时共有1³2＝2(种)；所以根据分类加法计数原理知共有18＋2＝20(种)选法．15．三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数是多少？答案 36个解析 设较小的两边长为x 、y 且x ≤y ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ≤y ≤11，x ＋y>11，x 、y ∈N *.当x ＝1时，y ＝11；当x ＝2时，y ＝10，11；当x ＝3时，y ＝9，10，11；当x ＝4时，y ＝8，9，10，11；当x ＝5时，y ＝7，8，9，10，11；当x ＝6时，y ＝6，7，8，9，10，11；当x ＝7时，y ＝7，8，9，10，11；……当x ＝11时，y ＝11.所以不同三角形的个数为1＋2＋3＋4＋5＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36个．1．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( )A ．12种B ．10种C．9种D．8种答案 A解析2名教师各在1个小组，给其中1名教师选2名学生，有C42种选法，另2名学生分配给另1名教师，然后将2个小组安排到甲、乙两地，有A22种方案，故不同的安排方案共有C42A22＝12种，故选A.2．有A，B两种类型的车床各一台，现有甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都会操作两种车床，丙只会操作A种车床，若从三名工人中选2名分别去操作以上车床，则不同的选派方法有()A．6种B．5种C．4种D．3种答案 C解析若选甲、乙2人，则包括甲操作A车床，乙操作B车床或甲操作B车床，乙操作A 车床，共有2种选派方法；若选甲、丙2人，则只有甲操作B车床，丙操作A车床这1种选派方法；若选乙、丙2人，则只有乙操作B车床，丙操作A车床这1种选派方法．∴共有2＋1＋1＝4种不同的选派方法．3．在某校举行的羽毛球两人决赛中，采用5局3胜制的比赛规则，先赢3局者获胜，直到决出胜负为止．若甲、乙两名同学参加比赛，则所有可能出现的情形(个人输赢局次的不同视为不同情形)共有()A．6种B．12种C．18种D．20种答案 D解析分三种情况：恰好打3局(一人赢3局)，有2种情形；恰好打4局(一人前3局中赢2局，输1局，第4局赢)，共有2C32＝6种情形；恰好打5局(一个前4局中赢2局，输2局，第5局输)，共有2C42＝12种情形．所有可能出现的情形共有2＋6＋12＝20种．4．若m，n均非负整数，在做m＋n的加法时各位均不进位(例如：134＋3 802＝3936)，则称(m，n)为“简单的”有序对，而m＋n称为有序对(m，n)的值，那么值为1 942的“简单的”有序对的个数是________．答案300解析第1步，1＝1＋0，1＝0＋1，共2种组合方式；第2步，9＝0＋9，9＝1＋8，9＝2＋7，9＝3＋6，…，9＝9＋0，共10种组合方式；第3步，4＝0＋4，4＝1＋3，4＝2＋2，4＝3＋1，4＝4＋0，共5种组合方式；第4步，2＝0＋2，2＝1＋1，2＝2＋0，共3种组合方式．根据分步乘法计数原理，值为1 942的“简单的”有序对的个数为2³10³5³3＝300. 5．在一宝宝“抓周”的仪式上，他面前摆着2件学习用品，2件生活用品，1件娱乐用品，若他可抓其中的两件物品，则他抓的结果有________种．答案10解析设学习用品为a1，a2；生活用品为b1，b2，娱乐用品为c，则结果有：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，c)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，c)，(b1，b2)，(b1，c)，(b2，c)，共10种．6．已知集合M＝{1，－2，3}，N＝{－4，5，6，－7}，从M，N这两个集合中各选一个元素分别作为点的横坐标、纵坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、第二象限内不同的点的个数是________．答案 67．(2016·湖南十二校联考)用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1，2，…，9的9个小正方形(如图)，使得任意相邻(有公共边)的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为1，5，9的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有________种．1 2 34 5 67 8 9答案108解析把区域分为三部分，第一部分1，5，9，有3种涂法．第二部分4，7，8，当5，7同色时，4，8各有2种涂法，共4种涂法，当5，7异色时，7有2种涂法，4、8均只有1种涂法，故第二部分共4＋2＝6种涂法，第三部分与第二部分一样，共6种涂法．由分步乘法计数原理，可得共有3³6³6＝108种涂法．8．如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数．解析方法一：可分为两大步进行，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用分步乘法原理即可得出结论．由题设，四棱锥S－ABCD的顶点S，A，B 所染的颜色互不相同，它们共有5³4³3＝60种染色方法．当S，A，B染好时，不妨设其颜色分别为1，2，3，若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4，则D可染3或5，有2种染色；若C染5，则D可染3或4，有2种染法．可见，当S，A，B已染好时，C，D还有7种染法，故不同的染色方法有60³7＝420种．方法二：以S，A，B，C，D顺序分步染色．第一步，S点染色，有5种方法；第二步，A点染色，与S在同一条棱上，有4种方法；第三步，B点染色，与S，A分别在同一条棱上，有3种方法；第四步，C点染色，也有3种方法，但考虑到D点与S，A，C相邻，需要针对A与C是否同色进行分类，当A与C同色时，D点有3种染色方法；当A与C不同色时，因为C与S，B也不同色，所以C点有2种染色方法，D点也有2种染色方法．由分步乘法、分类加法计数原理得不同的染色方法共有5³4³3(1³3＋2³2)＝420种．方法三：按所用颜色种数分类．第一类，5种颜色全用，共有A55种不同的方法；第二类，只有4种颜色，则必有某两个顶点同色(A与C，或B与D)，共有2³A54种不同的方法；第三类，只有3种颜色，则A与C，B与D必定同色，共有A53种不同的方法．由分类加法计数原理，得不同的染色方法总数为A55＋2³A54＋A53＝420种．课时作业(59)1．若A2n3＝10A n3，则n＝()A．1B．8C．9 D．10答案 B解析原式等价于2n(2n－1)(2n－2)＝10n(n－1)(n－2)，整理得n＝8.2．(2016·沈阳调研)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为() A．144 B．120C．72 ` D．24答案 D解析利用排列和排列数的概念直接求解．剩余的3个座位共有4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A43＝4³3³2＝24.3．若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A．60种B．63种C．65种D．66种答案 D解析共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数2个偶数，故不同的取法有C54＋C44＋C52C42＝66种．4．(2016·合肥调研)某滨海城市原计划沿一条滨海大道修建7个海边主题公园，现由于资金的原因，打算减少2个海边主题公园，若两端的海边主题公园不在调整计划之列，相邻的两个海边主题公园不能同时调整，则调整方案的种数是()A．12 B．8C．6 D．4答案 C答题模板本题考查排列组合中的插空法，考查了等价转化思想．本题若按常规思路求解比较麻烦，将问题进行巧妙转化则可使本题大大简化．解析从7个海边主题公园中抽走2个与在5个中插入2个是等价的，故本题可转化为在原有5个海边主题公园的基础上插入2个海边主题公园，要求不能插入两端，也不能把两个海边主题公园同时插入一处，即就是在5个海边主题公园的4个空中选2个插入，则有C42＝6种．5．在一次晚会上，原有8个节目排好的一个节目单，后有两个节目要插入节目单，但原有8个节目顺序不变，则不同的插入方案的种数共有()A．90 B．72C．81 D．54答案 A解析共有10个节目，原有8个节目顺序不变，故有A102种插入方法，故选A. 6．(2016·广东汕头模拟)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有()A．4种B．10种C．18种D．20种答案 B解析分两类：第一类是取出1本画册，3本邮册，此时赠送方法有C41＝4种；第二类是取出2本画册，2本集邮册，此时赠送方法有C42＝6种，故赠送方法共有4＋6＝10种．7．(2016·北京顺义一模)将4名学生分配到甲、乙、丙3个实验室准备实验，每个实验室至少分配1名学生的不同分配方案共有()A．12种B．24种C．36种D．48种答案 C解析先将4名学生分成三组，人数分别为2，1，1，共有C42＝6种，再将这三组分配到3个实验室，有A33＝6种，由分步乘法计数原理，不同分配方案共有6³6＝36种．8．(2016·沧州七校联考)身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法种数共有() A．24 B．28C．36 D．48答案 D解析分类计数原理，按红红之间有蓝无蓝两类来分．(1)当红红之间有蓝时，则有A22A42＝24种；(2)当红红之间无蓝时，则有C21A22C21C31＝24种．因此，这五个人排成一行，穿相同颜色衣服的人不能相邻，则有48种排法．故选D. 9．(2016·山东日照一模)从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为()A．224 B．112C．56 D．28答案 B解析根据分层抽样，从12个人中抽取男生1人，女生2人，所以取2个女生1个男生的方法有C82C41＝112种，故选B.10．(2016·济南一模)某展室有9个展台，现有3件展品需要展出，要求每件展品独自占用1个展台，并且3件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，则不同的展出方法有________种；若进一步要求3件展品所选用的展台之间间隔不超过2个展台，则不同的展出方法有________种．答案60，48解析依题意得，某展室有9个展台，现有3件展品需要展出，要求每件展品独自占用1个展台，并且3件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，则不同的展出方法有A53＝60种(注：从六个空展台所形成的五个间隔中任选三个间隔将3件展品进行排列即可)；其中3件展品所选用的展台之间间隔超过两个展位的展出方法有2A33＝12种，因此要求3件展品所选用的展台之间间隔不超过两个展位的不同的展出方法有60－12＝48种．11．用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成________个没有重复数字且能被5整除的五位数(结果用数字表示)．答案216解析若末尾为0，则可以组成没有重复数字且能被5整除的五位数为A54个；若末尾为5，则可以组成没有重复数字且能被5整除的五位数为C41A43个，所以一共有A54＋C41A43＝216(个)．12．三位老师分配到4个贫困村调查义务教育实施情况，若每个村最多去2个人，则不同的分配方法有________种．答案60解析若每个村去一个人，则有A43＝24(种)分配方法；若有一个村去两个人，另一个村去一个人，则有C31A42＝36(种)分配方法，所以共有60种不同分配方法．13．(名师原创)“整治裸官”“小官巨贪”“拍蝇打虎”“境外追逃”“回马枪”成为2015年中国反腐的5个焦点．某大学新闻系学生用2016年元旦的时间调查社会对这些热点的关注度，若准备按顺序分别调查其中的4个热点，则“整治裸官”作为其中的一个调查热点，但不作为第一个调查热点的种数为________．答案72解析先从“小官巨贪”“拍蝇打虎”“境外追逃”“回马枪”这4个热点中选出3个，有C43种不同的选法；在调查时，“整治裸官”安排的顺序有A31种可能情况，其余三个热点顺序有A33种，故不同调查顺序的总数为C43A31A33＝72.14．甲、乙两人从4门课程中各选2门，求(1)甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有多少种？(2)甲、乙所选的课程中至少有一门不同的选法有多少种？答案(1)24(2)30解析(1)甲、乙两人从4门课程中各选2门，且甲、乙所选课程中恰有1门相同的选法种数共有C42C21C21＝24种．(2)甲、乙两人从4门课程中各选两门不同的选法种数为C42C42，又甲乙两人所选的两门课程都相同的选法种数为C42种，因此满足条件的不同选法种数为C42C42－C42＝30种．15．7名师生站成一排照相留念．其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况中，各有不同站法多少种．(1)2名女生必须相邻；(2)4名男生互不相邻；(3)若4名男生身高都不相等，按从高到低的一种顺序站；(4)老师不站中间，女生不站两端．答案(1)1 440(2)144(3)420(4)2 112解析(1)2名女生站在一起有A22种站法，视为一个元素与其余5人全排，有A66种排法，∴有不同站法A22A66＝1 440种．(2)先站老师和女生，有A33种站法，再在老师和女生站位的间隔(含两端)处插男生，每空一人，有插入方法A44种，∴共有不同站法A33A44＝144种．(3)7人全排列中，4名男生不考虑身高顺序的站法有A44种，而由高到低有从左到右，或从右到左的不同．∴共有不同站法2·A 77A 44＝420种． (4)中间和两侧是特殊位置可分类求解：①老师站两侧之一，另一侧由男生站，有A 21A 41A 55种站法．②两侧全由男生站，老师站除两侧和正中间之外的另外4个位置之一，有A 42A 41A 44种站法．∴共有不同站法A 21A 41A 55＋A 42A 41A 44＝960＋1 152＝2 112种．16．从1到9的9个数字中取3个偶数4个奇数，试问：(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有几个？(3)(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？答案 (1)100 800个 (2)14 400个 (3)5 760个解析 (1)分三步完成：第一步，在4个偶数中取3个，有C 43种情况；第二步，在5个奇数中取4个，有C 54种情况；第三步，3个偶数和4个奇数进行排列，有A 77种情况．所以符合题意的七位数有C 43C 54A 77＝100 800个．(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有C 43C 54A 55A 33＝14 400个．(3)上述七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的有C 43C 54A 33A 44A 22＝5 760个．1．下列结论正确的打“√”，错误的打“³”．(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．(3)若组合式C n r ＝C n m ，则x ＝m 成立．(4)(n ＋1)！－n ！＝n·n ！.(5)A n m ＝nA n －1m －1.(6)kC n k ＝nC n －1k －1.答案 (1)³ (2)√ (3)³ (4)√ (5)√ (6)√2．从6名学生中选3名分别担任数学、物理、化学科代表，若甲、乙2人至少有一人入选，则不同的选法有( )A ．40种B ．60种C ．96种D ．120种答案 C解析 从6名学生中选3名分别担任数学、物理、化学科代表，没有限制条件时有A 63＝120(种)．甲、乙都没入选相当于从4人中选3人，有A 43＝24(种)，故甲、乙2人至少有一人入选，不同的方法有120－24＝96(种)．故选C.3．某班级要从4名男生，2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为( )A ．14B ．24C ．28D ．48答案 A解析 共有C 21C 43＋C 22C 42＝8＋6＝14种．4．从1，2，3，4，5，6六个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有( )A ．9个B ．24个C ．36个D ．54个答案 D解析 选出符合题意的三个数有C 31C 32＝9种方法，每三个数可排成A 33＝6个三位数， ∴共有9³6＝54个符合题意的三位数．5．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是( )A．54 B．90C．126 D．152答案 C解析分两类：一类是安排两人开车，一类是安排一人开车，不同的安排方案为C32A33＋C31C42A33＝126种．6．(2016·河北五校联考)如果小明在某一周的第一天和第七天分别吃了3个水果，且从这周的第二天开始，每天所吃水果的个数与前一天相比，仅存在三种可能：“多一个”“持平”或“少一个”，那么，小明在这一周中每天所吃水果个数的不同选择方案共有() A．50种B．51种C．140种D．141种答案 D解析因为小明第一天和第七天吃的水果个数相同，所以从这周的第二天开始后六天中“多一个”和“少一个”的天数必须相同，所以后六天所吃水果个数“多一个”或“少一个”的天数可能是0，1，2，3.共四种情况，所以共有C60＋C61C51＋C62C42＋C63C33＝141种，故选D.7．有5列火车分别准备停在某车站并行的5条轨道上，若快车A不能停在第3道上，货车B不能停在第1道上，则5列火车不同的停靠方法数为()A．56 B．63C．72 D．78答案 D解析若没有限制，5列火车可以随便停，则有A55种不同的停靠方法；快车A停在第3道上，则5列火车不同的停靠方法为A44种；货车B停在第1道上，则5列火车不同的停靠方法为A44种；快车A停在第3道上，且货车B停在第1道上，则5列火车不同的停靠方法为A33种．故符合要求的5列火车不同的停靠方法数为A55－2A44＋A33＝120－48＋6＝78.8.如图，用四种不同颜色给图中A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法种数有________．(用数字作答)答案2649．(2013·北京)将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张．如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________．答案96解析5张参观券分成4份，1份2张，另外3份各1张，且2张参观券连号，则有4种分法，把这4份参观券分给4人，则不同的分法种数是4A44＝96.10．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为________．答案472解析分两种情况：①不取红色卡片，有C123－3C43种或C41C41C41＋C31C42C21C41种．②取红色卡片1张，有C41C122种或C41(3C42＋C32C41C41)种．所以不同的取法有C123－3C43＋C41C122＝472种．11．安排7位工作人员在10月1日到10月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在10月1日和10月2日的不同的安排方法共有________种．答案 2 400解析共有A52A55＝2 400种不同的安排方法．课时作业(60)1．(2016·湖北武汉二中)(12x －2y)5的展开式中，x 2y 3的系数是( ) A ．－20 B ．－5C ．6D ．20答案 A解析 T r ＋1＝C 5r (12x)5－r (－2y)r ＝(－2)r C 5r (12)5－r x 5－r y r . ∵r ＝3，∴(－2)3C 53(12)5－3＝－20. 2．(1x－2x 2)5的展开式中常数项是( ) A ．5 B ．－5C ．10D ．－10答案 D解析 常数项为C 51(1x)4(－2x 2)＝－10. 3．(2015·湖北理)已知(1＋x)n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )A ．212B ．211C ．210D ．29答案 D解析 因为(1＋x)n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以C n 3＝C n 7，解得n＝10，所以二项式(1＋x)10的展开式中奇数项的二项式系数和为12³210＝29. 4．在(x ＋1)(2x ＋1)…(nx ＋1)(n ∈N *)的展开式中一次项系数为( )A ．C n 2B ．C n ＋12C ．C n n －1 D.12C n ＋13 答案 B解析 1＋2＋3＋…＋n ＝n·（n ＋1）2＝C n ＋12. 5．(2016·杭州学军中学)二项式(ax ＋36)6的展开式的第二项的系数为－3，则⎠⎛－2a x 2dx 的值为( )A.73B ．3C ．3或73D ．3或－103 答案 A解析 二项展开式的第二项为T 2＝C 61(ax)5³36，则由题意有36³C 61a 5＝－3，解得a ＝－1，所以⎠⎛－2－1x 2dx ＝13x 3|－1－2＝－13－(－83)＝73. 6．(x 2－x ＋1)10展开式中x 3项的系数为( )A ．－210B ．210C ．30D ．－30答案 A解析 (x 2－x ＋1)10＝[x 2－(x －1)]10＝C 100(x 2)10－C 101(x 2)9(x －1)＋…－C 109x 2(x －1)9＋C 1010(x －1)10，所以含x 3项的系数为－C 109C 98＋C 1010(－C 107)＝－210，故选A.7．(2016·山东师大附中月考)设复数x ＝2i1－i(i 为虚数单位)，则C 2 0171x ＋C 2 0172x 2＋C 2 0173x 3＋…＋C 2 0172 017x 2 017＝( ) A ．i B ．－i C ．－1＋i D ．1＋i 答案 C解析 x ＝2i1－i＝－1＋i ，C 2 0171x ＋C 2 0172x 2＋…＋C 2 0172 017x 2 017＝(1＋x)2 017－1＝i 2 017－1＝i－1，故选C.8．若(x ＋a x )(2x －1x)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式的常数项为( )A ．－40B ．－20C ．20D ．40 答案 D解析 令x ＝1，得(1＋a)(2－1)5＝2，∴a ＝1.∴(2x －1x )5的通项为T r ＋1＝C 5r ·(2x)5－r ·(－1x)r ＝(－1)r ·25－r ·C 5r ·x 5－2r .令5－2r ＝1，得r ＝2.令5－2r ＝－1，得r ＝3.∴展开式的常数项为(－1)2³23·C 52＋(－1)3·22·C 53＝80－40＝40. 9．(2016·天津河西区二模)已知(1＋x)10＝a 0＋a 1(1－x)＋a 2(1－x)2＋…＋a 10(1－x)10，则a 8＝( )A ．－180B ．180C ．45D ．－45 答案 B解析 因为(1＋x)10＝a 0＋a 1(1－x)＋a 2(1－x)2＋…＋a 10(1－x)10，所以[2－(1－x)]10＝a 0＋a 1(1－x)＋a 2(1－x)2＋…＋a 10(1－x)10，所以a 8＝C 10822(－1)8＝180.10．若(1－2x)2 016＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 016x 2 016(x ∈R )，则a 12＋a 222＋a 323＋…＋a 2 01622 016的值为( )A ．2B ．0C ．－1D ．－2 答案 C解析 由二项式定理得通项为T r ＋1＝C 2 016r (－2x)r ＝(－1)r 2r C 2 016r x r ，则a n ＝(－1)n 2n C 2 016n ，∴a n2n ＝(－1)n C 2 016n .则a 12＋a 222＋a 323＋…＋a 2 01622 016＝(1－1)2 016－C 2 0160＝－1.故选C. 11．若(x －a2x)8的展开式中常数项为1 120，则展开式中各项系数之和为________．答案 1解析 (x －a 2x)8的展开式的通项为T r ＋1＝C 8r x 8－r (－a 2)r x －r ＝C 8r (－a 2)r x 8－2r ，令8－2r ＝0，解得r ＝4，所以C 84(－a 2)4＝1 120，所以a 2＝2，故(x －a 2x )8＝(x －2x)8.令x ＝1，得展开式中各项系数之和为(1－2)8＝1.12．设(x －1)21＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 21x 21，则a 10＋a 11＝________． 答案 0解析 T r ＋1＝C 21r x 21－r (－1)r ，∴a 10＝C 2111(－1)11，a 11＝C 2110(－1)10，∴a 10＋a 11＝0.13．已知(xcos θ＋1)5的展开式中x 2的系数与(x ＋54)4的展开式中x 3的系数相等，则cos θ＝________．答案 ±22解析 由二项式定理知(xcos θ＋1)5的展开式中x 2的系数为C 53cos 2θ，(x ＋54)4的展开式中x 3的系数为C 4154，于是有C 53cos 2θ＝C 4154，解得cos 2θ＝12，所以可得cos θ＝±22.14．已知(x －2x2)n (n ∈N *)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1.(1)求展开式中各项系数的和； (2)求展开式中含x 32的项．答案 (1)1 (2)－16x 32解析 由题意知，第五项系数为C n 4·(－2)4.第三项的系数为C n 2·(－2)2，则有C n 4·（－2）4C n 2·（－2）2＝101，化简得n 2－5n －24＝0，解得n ＝8或n ＝－3(舍去)． (1)令x ＝1得各项系数的和为(1－2)8＝1.(2)通项公式T r ＋1＝C 8r (x)8－r (－2x2)r ＝C 8r (－2)rx 8－r2－2r.令8－r 2－2r ＝32，得r ＝1，故展开式中含x 32的项为T 2＝－16x 32.15．已知二项式(12＋2x)n ，(1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项． 答案 (1)3 432 (2)16 896 x 10解析 (1)∵C n 4＋C n 6＝2C n 5，∴n 2－21n ＋98＝0， ∴n ＝7或n ＝14，当n ＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5，∴T 4的系数为C 73(12)423＝352，T 5的系数为C 74(12)324＝70.当n ＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T 8，∴T 8的系数为C 147(12)727＝3 432.(2)∵C n 0＋C n 1＋C n 2＝79，∴n 2＋n －156＝0. ∴n ＝12或n ＝－13(舍去)． 设T k ＋1项的系数最大， ∵(12＋2x)12＝(12)12(1＋4x)12， ∴⎩⎪⎨⎪⎧C 12k 4k ≥C 12k －14k －1，C 12k 4k ≥C 12k ＋14k ＋1. ∴9.4≤k ≤10.4，∴k ＝10.∴展开式中系数最大的项为T 11，T 11＝C 1210·(12)2·210·x 10＝16 896x 10.16．设函数f(x ，n)＝(1＋x)n (n ∈N *)． (1)求f(x ，6)的展开式中系数最大的项；(2)若f(i ，n)＝32i(i 为虚数单位)，求C n 1－C n 3＋C n 5－C n 7＋C n 9. 答案 (1)20x 3 (2)32解析 (1)展开式中系数最大的项是第4项T 4＝C 63x 3＝20x 3. (2)由已知(1＋i)n ＝32i ，两边取模，得(2)n ＝32，所以n ＝10.所以C n 1－C n 3＋C n 5－C n 7＋C n 9＝C 101－C 103＋C 105－C 107＋C 109，而(1＋i)10＝C 100＋C 101i ＋C 102i 2＋…＋C 109i 9＋C 1010i 10＝(C 100－C 102＋C 104－C 106＋C 108－C 1010)＋(C 101－C 103＋C 105－C 107＋C 109)i ＝32i ，所以C 101－C 103＋C 105－C 107＋C 109＝32.1．(x ＋3y)6的二项展开式中，x 2y 4项的系数是( ) A ．45 B ．90 C ．135 D ．270 答案 C解析T r ＋1＝C 6r x 6－r (3y)r＝3r2C 6r x 6－r y r ，令r ＝4，得x 2y 4项的系数是32C 64＝135，故选C.2．已知关于(x ＋a 3x)n 的展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a 的值为( )A ．1B ．±1C ．2D ．±2答案 C解析 由题意可知二项式系数和为2n ＝32，n ＝5，二项展开式的通项为T r ＋1，C 5r (x)5－r (a3x)r＝a rC 5rx15－5r6，令15－5r6＝0，得r ＝3，所以T 4＝a 3C 53＝80，解得a ＝2. 3．已知(1－2x)n 展开式中，奇数项的二项式系数之和为64，则(1－2x)n (1＋x)的展开式中含x 2项的系数为( ) A ．71 B ．70 C ．21 D ．49 答案 B解析 因为奇数项的二项式系数之和为2n －1，所以2n －1＝64，n ＝7，因此(1－2x)n (1＋x)的展开式中含x 2项的系数为C 72(－2)2＋C 71(－2)＝70，故选B.4．若多项式x 10＝a 0＋a 1(x ＋1)＋…＋a 8(x ＋1)8＋a 9(x ＋1)9＋a 10(x ＋1)10，则a 8＝( ) A ．45 B ．9 C ．－45 D ．－9 答案 A解析 a 8为x 10＝[－1＋(x ＋1)]10的展开式中第九项(x ＋1)8的系数，∴a 8＝C 102＝45，故选A.5．在(3x ＋1x)20的展开式中，x 的有理项共有________项．答案 4解析 由二项式定理知T r ＋1＝C n r a n －r b r ，所以(3x ＋1x)20的展开式的通项为T r ＋1＝C 20r (3x)20－r (1x )r ＝C 20r·x 40－5r6，当r ＝2，8，14，20时，展开式中x 为有理数，共4项．1x dx ，那么(x －3x)n 展开式中含x 2项的系数为________． 6．已知n ＝答案 1351x dx ＝lnx |e61＝6，则(x －3x)6中，由二项式定理得通项公式为 解析 根据题意，n ＝T r ＋1＝C 6r (－3)r x 6－2r ，令6－2r ＝2，得r ＝2，所以系数为C 62³9＝135.7．已知(3x ＋x 2)2n 的展开式的二项式系数和比(3x －1)n 的展开式的二项式系数和大992.求在。

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【高考调研】2017届高考理科数学一轮课时作业（32—37）第七章 不等式及推理与证明课时作业(32)1．若a ，b ∈R ，下列命题中 ①若|a|＞b ，则a 2＞b 2； ②若a 2＞b 2，则|a|＞b ； ③若a ＞|b|，则a 2＞b 2； ④若a 2＞b 2，则a ＞|b|. 其中正确的是( )A ．①和③B ．①和④C ．②和③D ．②和④ 答案 C解析 条件|a|＞b ，不能保证b 是正数，条件a ＞|b|可保证a 是正数，故①不正确，③正确． a 2＞b 2⇒|a|＞|b|≥b ，故②正确，④不正确．2．下面四个条件中，使a>b 成立的充分而不必要的条件是( ) A ．a>b ＋1 B ．a>b －1C ．a 2>b 2D ．a 3>b 3 答案 A解析 由a>b ＋1，得a>b ＋1>b ，即a>b.而由a>b 不能得出a>b ＋1，因此，使a>b 成立的充分不必要条件是a>b ＋1，选A.3．已知四个条件，①b>0>a ；②0>a>b ；③a>0>b ；④a>b>0，能推出1a <1b成立的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 答案 C解析 运用倒数法则，a>b ，ab>0⇒1a <1b，②，④正确．又正数大于负数，所以①正确．故选C.4．设a>b>0，下列各数小于1的是( )A ．2a －bB ．(a b)12C ．(a b )a －bD ．(b a )a －b答案 D解析 方法一：(特殊值法) 取a ＝2，b ＝1，代入验证． 方法二：y ＝a x (a>0且a ≠1)．当a>1，x>0时，y>1；当0<a<1，x>0时，0<y<1.∵a>b>0，∴a －b>0，a b >1，0<ba<1.由指数函数性质知，D 成立．5．已知0<a<b ，且a ＋b ＝1，下列不等式成立的是( )A ．log 2a>0B ．2a －b >1 C ．2ab >2 D ．log 2(ab)<－2 答案 D解析 由已知，0<a<1，0<b<1，a －b<0，0<ab<14，log 2(ab)<－2，故选D.6．如果a ，b ，c 满足c<b<a ，且ac<0，那么下列选项中不一定成立的是( ) A ．ab>ac B ．c(b －a)>0 C ．cb 2<ab 2 D ．ac(c －a)>0答案 C解析 由题意知c<0，a>0，则A ，B ，D 一定正确，若b ＝0，则cb 2＝ab 2.故选C.7．(2016·武汉二中段考)设a ，b ∈(－∞，0)，则“a>b”是“a －1a >b －1b”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 ∵(a －1a )－(b －1b )＝(a －b)(1＋1ab )，又1＋1ab >0，若a>b ，则(a －b)(1＋1ab)>0，所以a－1a >b －1b 成立；反之，若(a －b)(1＋1ab)>0，则a>b 成立．故选C. 8．设0<b<a<1，则下列不等式成立的是( ) A ．ab<b 2<1 B ．log 12b<log 12a<0C ．2b <2a<2 D ．a 2<ab<1答案 C解析 方法一：特值法．取b ＝14，a ＝12.方法二：0<b<a ⇒b 2<ab ，A 不对；y ＝log 12x 在(0，＋∞)上为减函数，∴log 12b>log 12a ，B 不对；a>b>0⇒a 2>ab ，D 不对，故选C.9．设a ，b 为实数，则“0<ab<1”是“b<1a”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 D解析 一方面，若0<ab<1，则当a<0时，0>b>1a ，∴b<1a 不成立；另一方面，若b<1a，则当a<0时，ab>1，∴0<ab<1不成立，故选D.10．若a ＝ln22，b ＝ln33，c ＝ln55，则( )A ．a<b<cB ．c<b<aC ．c<a<bD ．b<a<c 答案 C解析 a －b ＝ln23－ln326<0⇒a<b ，a －c ＝ln25－ln5210>0⇒a>c ，∴c<a<b.11．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，若两人步行速度、跑步速度均相同，则( ) A ．甲先到教室 B ．乙先到教室 C ．两人同时到教室 D ．谁先到教室不确定 答案 B解析 设步行速度与跑步速度分别为v 1和v 2显然0<v 1<v 2，总路程为2s ，则甲用时间为sv 1＋s v 2，乙用时间为4s v 1＋v 2，而s v 1＋s v 2－4sv 1＋v 2＝s （v 1＋v 2）2－4sv 1v 2v 1v 2（v 1＋v 2）＝s （v 1－v 2）2v 1v 2（v 1＋v 2）>0， 故s v 1＋s v 2>4s v 1＋v 2，故乙先到教室． 12．若1<α<3，－4<β<2，则α－|β|的取值范围是______． 答案 (－3，3)解析 －4<β<2⇒－4<－|β|≤0，－3<α－|β|<3.13．若log a (a 2＋1)<log a 2a<0，则a 的取值范围是______．答案 12<a<1解析 ∵a 2＋1>2a ，log a (a 2＋1)<log a 2a ，∴0<a<1.∵log a (2a)<log a 1，∴2a>1，∴a>12，∴12<a<1.14．已知a<0，－1<b<0，则a ，ab ，ab 2的大小关系是________． 答案 a<ab 2<ab解析 ∵a －ab ＝a(1－b)<0，∴a<ab.∵ab －ab 2＝ab(1－b)>0，∴ab>ab 2.∵a －ab 2＝a(1－b 2)<0，∴a<ab 2.综上，a<ab 2<ab.故填a<ab 2<ab.15．设a>b>c>0，x ＝a 2＋（b ＋c ）2，y ＝b 2＋（c ＋a ）2，z ＝c 2＋（a ＋b ）2，则x ，y ，z 的大小顺序是________． 答案 z>y>x解析 ∵a>b>c>0，∴y 2－x 2＝b 2＋(c ＋a)2－a 2－(b ＋c)2＝2c(a －b)>0，∴y 2>x 2，即y>x. z 2－y 2＝c 2＋(a ＋b)2－b 2－(c ＋a)2＝2a(b －c)>0， 故z 2>y 2，即z>y ，故z>y>x.16．若a>1，b<1，则下列两式的大小关系为ab ＋1____a ＋b. 答案 <解析 (ab ＋1)－(a ＋b)，＝1－a －b ＋ab ＝(1－a)(1－b)，∵a>1，b<1，∴1－a<0，1－b>0，∴(1－a)(1－b)<0，∴ab ＋1<a ＋b.17．已知a ＋b>0，比较a b 2＋b a 2与1a ＋1b的大小．答案 a b 2＋b a 2≥1a ＋1b解析 a b 2＋b a 2－⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a 2＝(a －b)⎝⎛⎭⎫1b 2－1a 2＝（a ＋b ）（a －b ）2a 2b 2. ∵a ＋b>0，(a －b)2≥0，∴（a ＋b ）（a －b ）2a 2b 2≥0.∴a b 2＋b a 2≥1a ＋1b. 18．已知a>0且a ≠1，比较log a (a 3＋1)和log a (a 2＋1)的大小． 答案 log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)解析 当a>1时，a 3>a 2，a 3＋1>a 2＋1. 又y ＝log a x 为增函数，所以log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)； 当0<a<1时，a 3<a 2，a 3＋1<a 2＋1.又y ＝log a x 为减函数，所以log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)． 综上，对a>0且a ≠1，总有log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)．1．若a>b>c ，a ＋2b ＋3c ＝0，则( ) A ．ab>ac B ．ac>bc C ．ab>bc D ．a|b|>c|b|答案 A 2．(2016·北京大兴期末)若a<5，则一定有( )A ．aln 23<5ln 23B ．|a|ln 23<5ln 23C ．|aln 23|<|5ln 23|D ．a|ln 23|<5|ln 23|答案 D3．已知实数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝0，且xyz>0，设M ＝1x ＋1y ＋1z，则( )A ．M>0B ．M<0C ．M ＝0D ．M 不确定 答案 B解析 ∵xyz>0，∴x ≠0，y ≠0，z ≠0.又∵x ＋y ＋z ＝0，∴x ＝－(y ＋z)，M ＝1x ＋1y ＋1z＝yz ＋xz ＋xy xyz ＝yz ＋x （y ＋z ）xyz ＝yz －（y ＋z ）（y ＋z ）xyz ＝－y 2－z 2－yzxyz .∵－y 2－z 2－yz ＝－[(y ＋12z)2＋34z 2]<0，xyz>0，∴M<0.故选B.4．(2015·浙江文)有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m 2)分别为x ，y ，z ，且x<y<z ，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m 2)分别为a ，b ，c ，且a<b<c.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是( ) A ．ax ＋by ＋cz B ．az ＋by ＋cx C ．ay ＋bz ＋cx D ．ay ＋bx ＋cz 答案 B解析 采用特值法进行求解验证即可，若x ＝1，y ＝2，z ＝3，a ＝1，b ＝2，c ＝3，则ax ＋by ＋cz ＝14，az ＋by ＋cx ＝10，ay ＋bz ＋cx ＝11，ay ＋bx ＋cz ＝13.由此可知最低的总费用是az ＋by ＋cx. 5．(2013·天津文)设a ，b ∈R ，则“(a －b)·a 2<0”是“a<b”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 若(a －b)·a 2<0，则a ≠0，且a<b ，所以充分性成立；若a<b ，则a －b<0，当a ＝0时，(a －b)·a 2＝0，所以必要性不成立．故“(a －b)·a 2<0”是“a<b ”的充分而不必要条件．6．如果一辆汽车每天行驶的路程比原计划多19 km ，那么在8天内它的行程s 就超过2 200 km ，如果它每天行驶的路程比原计划少12 km ，那么它行驶同样的路程s 得花9天多的时间，这辆汽车原计划每天行驶的路程(km)范围是________． 答案 (256，260)解析 这辆汽车原计划每天行驶的路程为x km ，则⎩⎪⎨⎪⎧8（x ＋19）>2 200，9（x －12）<8（x ＋19），解之得256<x<260.7．设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的________条件． 答案 充分不必要解析 因为x ≥2且y ≥2⇒x 2＋y 2≥4易证，所以充分性满足；反之，不成立，如x ＝y ＝74，满足x 2＋y 2≥4，但不满足x ≥2且y ≥2，所以x ≥2且y ≥2是x 2＋y 2≥4的充分而不必要条件．课时作业(33)1．下列不等式中解集为R 的是( ) A ．－x 2＋2x ＋1≥0 B ．x 2－25x ＋5>0 C ．x 2＋6x ＋10>0 D ．2x 2－3x ＋4<0 答案 C解析 在C 项中，Δ＝36－40＝－4<0，所以不等式解集为R . 2．(2016·衡水调研卷)已知A ＝{x|x 2－3x －4≤0，x ∈Z }，B ＝{x|2x 2－x －6＞0，x ∈Z }，则A ∩B 的真子集个数为( ) A ．2 B ．3 C ．7 D ．8 答案 B解析 A ＝{x|(x －4)(x ＋1)≤0，x ∈Z }＝{－1，0，1，2，3，4}，B ＝{x|(2x ＋3)(x －2)>0，x ∈Z }＝{x|x<－32或x>2，x ∈Z }，∴A ∩B ＝{3，4}，其真子集个数为22－1＝3.3．函数y ＝ln （x ＋1）－x 2－3x ＋4的定义域为( )A ．(－4，－1)B ．(－4，1)C ．(－1，1)D ．(－1，1] 答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，－x 2－3x ＋4>0，解得－1<x<1.4．(2015·天津理)设x ∈R ，则“|x －2|<1”是“x 2＋x －2>0”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 |x －2|<1⇔－1<x －2<1⇔1<x<3，x 2＋x －2>0⇔x<－2或x>1，所以“|x －2|<1”是“x 2＋x －2>0”充分而不必要条件． 5．(2013·重庆文)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a>0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( ) A.52 B.72 C.154 D.152 答案 A解析 由条件知x 1，x 2为方程x 2－2ax －8a 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－8a 2.故(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(2a)2－4×(－8a 2)＝36a 2＝152，得a ＝52，故选A.6．已知不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x|－1<x<2}，则不等式2x 2＋bx ＋a<0的解集为( )A ．{x|－1<x<12}B ．{x|x<－1或x>12}C ．{x|－2<x<1}D ．{x|x<－2或x>1} 答案 A解析 由题意知x ＝－1，x ＝2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的根．由韦达定理⎩⎨⎧－1＋2＝－ba ，（－1）×2＝2a⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.∴不等式2x 2＋bx ＋a<0，即2x 2＋x －1<0.可知x ＝－1，x ＝12是对应方程的根，∴选A.7．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x －1)<f(|x|)的x 的取值范围是( )A ．(13，23)B ．(13，1)C ．(12，23)D ．(12，1)答案 B解析 由于f(x)是偶函数，故f(x)＝f(|x|)，故f(|2x －1|)<f(|x|)．再根据f(x)的单调性得|2x －1|<|x|⇒(2x －1)2<x 2⇔3x 2－4x ＋1<0⇔(3x －1)(x －1)<0⇔13<x<1.8．(2016·郑州质检)不等式f(x)＝ax 2－x －c>0的解集为{x|－2<x<1}，则函数y ＝f(－x)的图像为( )答案 C解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a<0，－2＋1＝1a ，－2×1＝－c a，解得a ＝－1，c ＝－2. 则函数y ＝f(－x)＝－x 2＋x ＋2.9．已知a 1>a 2>a 3>0，则使得(1－a i x)2<1(i ＝1，2，3)都成立的x 的取值范围是( )A ．(0，1a 1)B ．(0，2a 1)C ．(0，1a 3)D ．(0，2a 3)答案 B10．(2013·安徽理)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为{x|x<－1或x>12}，则f(10x )>0的解集为( )A ．{x|x<－1或x>lg2}B ．{x|－1<x<lg2}C ．{x|x>－lg2}D ．{x|x<－lg2} 答案 D解析 方法一：由题意可知f(x)>0的解集为{x|－1<x<12}，故f(10x )>0等价于－1<10x <12.由指数函数的值域为(0，＋∞)，知一定有10x >－1.而10x <12可化为10x <10lg 12，即10x <10－lg2.由指数函数的单调性可知x<－lg2，故选D.方法二：当x ＝1时，f(10)<0，排除A ，C 选项．当x ＝－1时，f(110)>0，排除选项B ，选D.11．已知不等式|x －m|<1成立的充分非必要条件是13<x<12，则实数m 的取值范围是( )A ．[－43，12]B ．[－12，43]C ．(－∞，－12)D ．[43，＋∞)答案 B解析 |x －m|<1⇔A ＝(m －1，m ＋1)，令B ＝{x|13<x<12}，依题意可知B A ，∴⎩⎨⎧m －1≤13，m ＋1≥12.∴－12≤m ≤43.12．不等式2x 2－3|x|－35>0的解集为________． 答案 {x|x<－5或x>5}解析 2x 2－3|x|－35>0⇔2|x|2－3|x|－35>0⇔(|x|－5)(2|x|＋7)>0⇔|x|>5或|x|<－72(舍)⇔x>5或x<－5.13．已知－12<1x<2，则实数x 的取值范围是________．答案 x<－2或x>12解析 当x>0时，x>12；当x<0时，x<－2.所以x 的取值范围是x<－2或x>12.14．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(x ∈R )的部分对应值如表：x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y 6 0 －4 －6 －6 －40 6 则不等式ax 2＋bx ＋c>0的解集是________． 答案 (－∞，－2)∪(3，＋∞)解析 方程的根是对应不等式解集的端点，画草图即可． 15．(2013·四川理)已知f(x)是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f(x)＝x 2－4x.那么，不等式f(x ＋2)<5的解集是________． 答案 (－7，3)解析 当x ≥0时，f(x)＝x 2－4x<5的解集为[0，5)，又f(x)为偶函数，所以f(x)<5的解集为(－5，5)．所以f(x ＋2)<5的解集为(－7，3)． 16．若不等式a·4x －2x ＋1>0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 a>14解析 不等式可变形为a>2x －14x ＝(12)x －(14)x ，令(12)x ＝t ，则t>0.∴y ＝(12)x －(14)x ＝t －t 2＝－(t －12)2＋14，因此当t ＝12时，y 取最大值14，故实数a 的取值范围是a>14. 17．已知(ax －1)(x －1)≥0的解集为R ，则实数a 的值为________． 答案 1解析 原不等式为ax 2－(a ＋1)x ＋1≥0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a>0，Δ＝（a ＋1）2－4a ≤0⇒a ＝1. 18．(2016·衡水中学调研卷)已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3＜0x 2－6x ＋8＜0的解集是不等式2x 2－9x ＋a ＜0的解集的子集，求实数a 的取值范围． 答案 (－∞，9]解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3<0x 2－6x ＋8<0的解集为(2，3)令g(x)＝2x 2－9x ＋a ，其对称轴为x ＝94，∴只须g(3)＝－9＋a ≤0, ∴a ≤9.1．不等式(2x －1)(1－|x|)<0成立的充要条件是( )A ．x>1或x<12B ．x>1或－1<x<12C ．－1<x<12D ．x<－1或x>12答案 B解析 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧2x －1>0，1－|x|<0或⎩⎪⎨⎪⎧2x －1<0，1－|x|>0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x>12，x>1或x<－1或⎩⎪⎨⎪⎧x<12，－1<x<1.∴x>1或－1<x<12，故选B.2．不等式log 2(x ＋1x＋6)≤3的解集为________．答案 (－3－22，－3＋22)∪{1}解析 原不等式⇔0<x ＋1x＋6≤8⇔①⎩⎪⎨⎪⎧x>0，x 2＋6x ＋1>0，x 2－2x ＋1≤0或②⎩⎪⎨⎪⎧x<0，x 2＋6x ＋1<0，x 2－2x ＋1≥0.解①得x ＝1，解②得－3－22<x<－3＋2 2.∴原不等式的解集为(－3－22，－3＋22)∪{1}． 3．解关于x 的不等式log a 2x －log a x 2－3>0.答案 a>1时，不等式解集为(0，1a )∪(a 3，＋∞)；0<a<1时，不等式解集为(0，a 3)∪(1a，＋∞)解析 原不等式化为log a 2x －2log a x －3>0(a ≠1)， 令log a x ＝t ，则原不等式变为t 2－2t －3>0， 得t<－1或t>3.∴log a x<－1或log a x>3.当a>1时，0<x<1a或x>a 3；当0<a<1时，0<x<a 3或x>1a .∴a>1时，不等式解集为(0，1a)∪(a 3，＋∞)；0<a<1时，不等式解集为(0，a 3)∪(1a，＋∞)．4．解关于x 的不等式：a （x －1）x －2>1(a<1)．答案 0<a<1时，{x|2<x<a －2a －1}；a ＝0时，∅；a<0时，{x|a －2a －1<x<2}解析 (x －2)[(a －1)x ＋2－a]>0，当a<1时有(x －2)(x －a －2a －1)<0，若a －2a －1>2，即0<a<1时，解集为{x|2<x<a －2a －1}． 若a －2a －1＝2，即a ＝0时，解集为∅. 若a －2a －1<2，即a<0时，解集为{x|a －2a －1<x<2}．课时作业(34)1．不等式(x ＋2y ＋1)(x －y ＋4)≤0表示的平面区域为( )答案 B解析 方法一：可转化为①⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋1≥0，x －y ＋4≤0或②⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋1≤0，x －y ＋4≥0. 由于(－2，0)满足②，所以排除A ，C ，D 选项． 方法二：原不等式可转化为③⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋1≥0，－x ＋y －4≥0或④⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋1≤0，－x ＋y －4≤0.两条直线相交产生四个区域，分别为上下左右区域，③表示上面的区域，④表示下面的区域，故选B.2．下面给出的四个点中，到直线x －y ＋1＝0的距离为22，且位于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1<0，x －y ＋1>0表示的平面区域内的点是( )A ．(1，1)B ．(－1，1)C ．(－1，－1)D ．(1，－1)答案 C解析 经验证(1，1)，(－1，1)不在⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1<0，x －y ＋1>0所表示的平面区域内，而(－1，－1)，(1，－1)满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1<0，x －y ＋1>0，又点(－1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝|－1＋1＋1|2＝22，(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝|1－（－1）＋1|2＝322，∴(－1，－1)满足条件．3．(2015·湖南文)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，y －x ≤1，x ≤1，则z ＝2x －y 的最小值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2 答案 A解析 画出可行域，如图中阴影部分所示，平移参照直线2x －y ＝0，当直线2x －y ＝z 经过x ＋y ＝1与y －x ＝1的交点(0，1)时，z 取最小值为z min ＝2×0－1＝－1，选A.4．(2015·广东)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≥8，1≤x ≤3，0≤y ≤2，则z ＝3x ＋2y 的最小值为( )A.315 B ．6 C.235D ．4答案 C解析 不等式组所表示的可行域如图所示，由z ＝3x ＋2y ，得y ＝－32x ＋z 2.依题当目标函数直线l ：y ＝－32x ＋z 2经过A(1，45)时，z 取得最小值即z min ＝3×1＋2×45＝235，故选C.5．(2015·福建)变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －2y ＋2≥0，mx －y ≤0.若z ＝2x －y 的最大值为2，则实数m 等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2答案 C解析 如图所示，目标函数z ＝2x －y 取最大值2即y ＝2x －2时，画出⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －2y ＋2≥0，表示的区域，由于mx －y ≤0过定点(0，0)，要使z ＝2x －y 取最大值2，则目标函数必过两直线x －2y ＋2＝0与y ＝2x －2的交点A(2，2)，因此直线mx －y ＝0过点A(2，2)，故有2m －2＝0，解得m ＝1.6．(2016·贵阳监测)已知实数x ，y 满足：⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x<2，x ＋y －1≥0，则z ＝2x －2y －1的取值范围是( )A ．[53，5] B ．[0，5]C ．[53，5)D ．[－53，5)答案 D解析 画出不等式组所表示的区域，如图中阴影部分所示，作直线l ：2x －2y －1＝0，平移l 可知2×13－2×23－1≤z<2×2－2×(－1)－1，即z 的取值范围是[－53，5)．7．(2016·郑州第一次质量预测)已知点P(x ，y)的坐标满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥x －1，x ＋3y －5≤0，那么点P 到直线3x －4y －13＝0的距离的最小值为( )A.115 B ．2 C.95D ．1 答案 B解析 在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线3x －4y －13＝0，结合图形可知，在该平面区域内所有的点中，到直线3x －4y －13＝0的距离最近的点是(1，0)．又点(1，0)到直线3x －4y －13＝0的距离等于|3×1－4×0－13|5＝2，即点P 到直线3x －4y －13＝0的距离的最小值为2，选B.8．(2016·南昌调研)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋3y ≤4，x ≥－2，则z ＝|x －3y|的最大值为( )A ．10B ．8C ．6D ．4答案 B解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋3y ≤4，x ≥－2，所表示的平面区域如图中阴影部分所示．当平移直线x －3y ＝0过点A 时，m ＝x －3y 取最大值； 当平移直线x －3y ＝0过点C 时，m ＝x －3y 取最小值．由题意可得A(－2，－2)，C(－2，2)，所以m max ＝－2－3×(－2)＝4，m min ＝－2－3×2＝－8，所以－8≤m ≤4，所以|m|≤8，即z max ＝8.9．(2016·沈阳质检)在满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，y ≥0，的平面点集中随机取一点M(x 0，y 0)，设事件A 为“y 0<2x 0”，那么事件A 发生的概率是( )A.14B.34C.13D.23 答案 B解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，y ≥0，表示的平面区域的面积为12×(1＋3)×2＝4；不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，y ≥0，y ≤2x ，表示的平面区域的面积为12×3×2＝3，因此所求的概率等于34，选B. 10．(2016·东北三校一联)变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥－1，x －y ≥2，3x ＋y ≤14，若使z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有无数个，则实数a 的取值集合是( )A ．{－3，0}B ．{3，－1}C ．{0，1}D ．{－3，0，1}答案 B解析 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥－1，x －y ≥2，3x ＋y ≤14表示的区域如下图所示，由z ＝ax ＋y ，得y ＝－ax ＋z.当－a>0时，平行直线的倾斜角为锐角，从第一个图可看出，当a ＝－1时，线段AC 上的所有点都是最优解；当－a<0时，平行直线的倾斜角为钝角，从第二个图可看出，当a ＝3时，线段BC 上的所有点都是最优解．故选B 项．11．已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧（x －3）2＋（y －2）2≤1，x －y －1≥0，则z ＝yx －2的最小值为( )A ．3＋ 2B ．2＋ 2 C.34D.43答案 C解析 不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．目标函数z ＝yx －2＝y －0x －2表示在可行域取一点与点(2，0)连线的斜率，可知过点(2，0)作半圆的切线，切线的斜率为z ＝yx －2的最小值，设切线方程为y ＝k(x －2)，则A 到切线的距离为1，故1＝|k －2|1＋k2.解得k ＝34.12．(2015·陕西)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料．已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )甲 乙 原料限额 A(吨) 3 2 12 B(吨)128A.12万元 B ．16万元 C ．17万元 D ．18万元 答案D解析 设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为x ，y 吨，则利润z ＝3x ＋4y.由题意可列⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，其表示如图阴影部分区域：.当直线3x ＋4y －z ＝0过点A(2，3)时，z 取得最大值，所以z max ＝3×2＋4×3＝18，故选D 项．13．(2015·四川文)设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤10，x ＋2y ≤14，x ＋y ≥6，则xy 的最大值为( )A.252B.492 C ．12 D．16 答案 A解析 根据不等式组作出可行域，如图中阴影部分所示．在△ABC 区域中结合图象可知，当动点在线段AC 上时xy 取得最大值，此时2x ＋y ＝10，xy ＝12(2x·y)≤12(2x ＋y 2)2＝252，当且仅当x ＝52，y ＝5时取等号，对应点(52，5)落在线段AC 上，故xy 的最大值为252，选A.14. (2015·北京文)如图，△ABC 及其内部的点组成的集合记为D ，P(x ，y)为D 中任意一点，则z ＝2x ＋3y 的最大值为________．答案 7解析 由题意，目标函数z ＝2x ＋3y 的可行域为△ABC 边界及其内部(如图所示)．令z ＝0，即2x ＋3y ＝0，平移直线2x ＋3y ＝0至目标函数于可行域内，可知当2x ＋3y ＝z 过点A(2，1)时，z 取得最大值，即z max ＝2×2＋3×1＝7.15．已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0，目标函数z ＝y －ax(a ∈R )．若z 取最大值时的唯一最优解是(1，3)，则实数a 的取值范围是________．答案 (1，＋∞) 解析 作出可行域，可行域为三条直线所围成的区域，则它的最大值在三条直线的交点处取得，三个交点分别为(1，3)，(7，9)，(3，1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－a>9－7a ，3－a>1－3a.所以a>1.16．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，e x－y ≥0，0≤x ≤2，则M(x ，y)所在平面区域的面积为________．答案 e 2－2解析 画出平面区域，如图所示．M(x ，y)所在平面区域的面积为⎠⎛02e x dx －S △AOB ＝e x |20－12×2×1＝e 2－e 0－1＝e 2－2.1．(2014·广东文)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤8，0≤x ≤4，0≤y ≤3，则z ＝2x ＋y 的最大值等于( )A ．7B ．8C ．10D ．11 答案 C解析 作出约束条件下的可行域如图(阴影部分)，当直线y ＝－2x ＋z 经过点A(4，2)时，z 取最大值为10.2．(2014·新课标全国Ⅱ理)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为( )A ．10B ．8C ．3D ．2 答案 B解析 作出可行域如图中阴影部分所示，由z ＝2x －y 得y ＝2x －z ，作出直线y ＝2x ，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点B(5，2)时，对应的z 值最大．故z max ＝2×5－2＝8.3．(2014·福建文)已知圆C ：(x －a)2＋(y －b)2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( )A ．5B ．29C ．37D ．49 答案 C解析 利用目标函数的几何意义转化为求距离的平方的最大值．作出可行域，如图，由题意知，圆心为C(a ，b)，半径r ＝1，且圆C 与x 轴相切，所以b ＝1.而直线y ＝1与可行域的交点为A(6，1)，B(－2，1)，目标函数z ＝a 2＋b 2表示点C 到原点距离的平方，所以当点C 与点A 重合时，z 取到最大值，z max ＝37.4．(2016·衡水调研卷)设变量x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥2，x ＋y ≥4，x ≤5，则点P(x ＋y ，x －y)所在区域的面积为( )A ．4B ．6C ．8D ．10 答案 C解析 作出不等式组表示的线性区域如图①所示．可知x ＋y ∈[4，8]，x －y ∈[2，6]，且当x ＋y ＝4时，x －y 可以取到[2，6]内的所有值；当x ＋y ＝8时，x －y ＝2，即△ABC 所表示的区域如图②所示，则S △ABC ＝12×4×4＝8，故C正确．5．(2014·北京理)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( )A ．2B ．－2C.12 D ．－12 答案 D解析 作出可行域，平移直线y ＝x ，由z 的最小值为－4求参数k 的值．作出可行域，如图中阴影部分所示，直线kx －y ＋2＝0与x 轴的交点为A ⎝⎛⎭⎫－2k ，0. ∵z ＝y －x 的最小值为－4，∴2k ＝－4，解得k ＝－12，故选D 项．6．(2016·贵州七校联考)一个平行四边形的三个顶点的坐标分别为(－1，2)，(3，4)，(4，－2)，点(x ，y)在这个平行四边形的内部或边上，则z ＝2x －5y 的最大值是( ) A ．16 B ．18 C ．20 D ．36 答案 C解析 平行四边形的对角线互相平分，如图，当以AC 为对角线时，由中点坐标公式得AC的中点为(32，0)，也是BD 的中点，可知顶点D 1的坐标为(0，－4)．同理，当以BC 为对角线时，得D 2的坐标为(8，0)，当以AB 为对角线时，得D 3的坐标为(－2，8)，由此作出(x ，y)所在的平面区域，如图中阴影部分所示，由图可知当目标函数z ＝2x －5y 经过点D 1(0，－4)时，取得最大值，最大值为2×0－5×(－4)＝20，故选C.7．变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，(1)设z ＝yx，求z 的最小值；(2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围；(3)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围．答案 (1)25(2)[2，29] (3)[16，64]解析 由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，作出(x ，y)的可行域如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，3x ＋5y －25＝0，解得A(1，225)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0，解得C(1，1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B(5，2)． (1)因为z ＝y x ＝y －0x －0，故z 的值即是可行域中的点与原点O 连线的斜率．观察图形可知z min ＝k OB ＝25.(2)z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方． 结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中， d min ＝|OC|＝2，d max ＝|OB|＝29. 则2≤z ≤29.(3)z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3，2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到(－3，2)的距离中， d min ＝1－(－3)＝4，d max ＝（－3－5）2＋（2－2）2＝8， 则16≤z ≤64.课时作业(35)1．已知a ，b ∈(0，1)且a ≠b ，下列各式中最大的是( ) A ．a 2＋b 2 B ．2ab C ．2ab D ．a ＋b 答案 D解析 只需比较a 2＋b 2与a ＋b.由于a ，b ∈(0，1)，∴a 2<a ，b 2<b ，∴a 2＋b 2<a ＋b. 2．下列命题中正确的是( )A ．函数y ＝x ＋1x 的最小值为2B ．函数y ＝x 2＋3x 2＋2的最小值为2C ．函数y ＝2－3x －4x (x>0)的最小值为2－4 3D ．函数y ＝2－3x －4x(x>0)的最大值为2－4 3答案 D解析 y ＝x ＋1x的定义域为{x|x ≠0}，当x>0时，有最小值2，当x<0时，有最大值－2，故A 项不正确；y ＝x 2＋3x 2＋2＝x 2＋2＋1x 2＋2≥2，∵x 2＋2≥2，∴取不到“＝”，故B 项不正确；∵x>0时，3x ＋4x ≥2·3x·4x ＝43，当且仅当3x ＝4x ，即x ＝233时取“＝”，∴y ＝2－(3x ＋4x )有最大值2－43，故C 项不正确，D 项正确．3．若0<x<32，则y ＝x(3－2x)的最大值是( )A.916B.94C ．2 D.98答案 D4．(2016·江苏常州第一次质检)已知f(x)＝x ＋1x－2(x<0)，则f(x)有( )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－4 答案 C解析 ∵x<0，∴－x>0，∴x ＋1x －2＝－(－x ＋1－x )－2≤－2（－x ）·1－x－2＝－4，当且仅当－x ＝1－x，即x ＝－1时，等号成立．5．已知函数g(x)＝2x ，且有g(a)g(b)＝2，若a>0且b>0，则ab 的最大值为( ) A.12 B.14 C ．2 D ．4 答案 B解析 ∵2a 2b ＝2a ＋b ＝2，∴a ＋b ＝1，ab ≤(a ＋b 2)2＝14，故选B.6．(2015·湖南文)若实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，则ab 的最小值为( )A. 2 B ．2 C ．2 2 D ．4 答案 C解析 解法一：由已知得1a ＋2b ＝b ＋2aab＝ab ，且a>0，b>0，∴ab ab ＝b ＋2a ≥22ab ，∴ab ≥2 2.解法二：由题设易知a>0，b<0，∴ab ＝1a ＋2b ≥22ab，即ab ≥22，选C.7．(2013·重庆理)（3－a ）（a ＋6）(－6≤a ≤3)的最大值为( )A ．9 B.92C ．3 D.322答案 B解析 方法一：因为－6≤a ≤3，所以3－a ≥0，a ＋6≥0.由基本不等式，可知（3－a ）（a ＋6）≤（3－a ）＋（a ＋6）2＝92，当且仅当a ＝－32时等号成立．方法二：（3－a ）（a ＋6）＝－（a ＋32）2＋814≤92，当且仅当a ＝－32时等号成立．8．函数y ＝x 2＋2x ＋2x ＋1(x>－1)的图像最低点的坐标是( )A ．(1，2)B ．(1，－2)C ．(1，1)D ．(0，2) 答案 D解析 y ＝（x ＋1）2＋1x ＋1＝(x ＋1)＋1x ＋1≥2.当且仅当x ＝0时等号成立． 9．(2013·福建文)若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0，2] B ．[－2，0] C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2] 答案 D解析 ∵2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y (当且仅当2x ＝2y 时等号成立)，∴2x ＋y ≤12，∴2x ＋y ≤14，得x ＋y ≤－2，故选D.10．已知不等式(x ＋y)(1x ＋ay)≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8 答案 B解析 (x ＋y)(1x ＋a y )＝1＋a·x y ＋yx ＋a ≥1＋a ＋2a ＝(a ＋1)2，当且仅当a·x y ＝yx ，即ax 2＝y 2时“＝”成立．∴(x ＋y)(1x ＋ay)的最小值为(a ＋1)2≥9.∴a ≥4.11．设实数x ，y ，m ，n 满足x 2＋y 2＝1，m 2＋n 2＝3，那么mx ＋ny 的最大值是( ) A. 3 B ．2C. 5D.102答案 A解析 方法一：设x ＝sin α，y ＝cos α，m ＝3sin β，n ＝3cos β，其中α，β∈R . ∴mx ＋ny ＝3sin βsin α＋3cos βcos α＝3cos (α－β)．故选A. 方法二：由已知(x 2＋y 2)·(m 2＋n 2)＝3，即m 2x 2＋n 2y 2＋n 2x 2＋m 2y 2＝3，∴m 2x 2＋n 2y 2＋2(nx)·(my)≤3，即(mx ＋ny)2≤3，∴mx ＋ny ≤ 3.12．若x ，y 是正数，则(x ＋12y )2＋(y ＋12x)2的最小值是( )A ．3 B.72C ．4 D.92答案 C解析 原式＝x 2＋x y ＋14y 2＋y 2＋y x ＋14x 2≥4.当且仅当x ＝y ＝12时取“＝”号．13．已知x ，y ，z ∈(0，＋∞)，且满足x －2y ＋3z ＝0，则y 2xz的最小值为( )A ．3B ．6C ．9D ．12 答案 A14．(1)当x>1时，x ＋4x －1的最小值为________；(2)当x ≥4时，x ＋4x －1的最小值为________．答案 (1)5 (2)163解析 (1)∵x>1，∴x －1>0.∴x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥24＋1＝5.(当且仅当x －1＝4x －1.即x ＝3时“＝”号成立)∴x ＋4x －1的最小值为5.(2)∵x ≥4，∴x －1≥3.∵函数y ＝x ＋4x在[3，＋∞)上为增函数，∴当x －1＝3时，y ＝(x －1)＋4x －1＋1有最小值163.15．若a>0，b>0，a ＋b ＝1，则ab ＋1ab的最小值为________．答案 174解析 ab ≤(a ＋b 2)2＝14，当且仅当a ＝b ＝12时取等号．y ＝x ＋1x 在x ∈(0，14]上为减函数．∴ab ＋1ab 的最小值为14＋4＝174.16．设x ＞0，y ＞0，且(x －1)(y －1)≥2，则xy 的取值范围为__________． 答案 [3＋22，＋∞)解析 (x －1)(y －1)＝xy －(x ＋y)＋1 ≤xy －2xy ＋1，又(x －1)(y －1)≥2，即xy －2xy ＋1≥2， ∴xy ≥2＋1，∴xy ≥3＋2 2.17．已知a>b>0，求a 2＋16b （a －b ）的最小值．答案 16思路 由b(a －b)求出最大值，从而去掉b ，再由a 2＋64a2，求出最小值．解析 ∵a>b>0，∴a －b>0.∴b(a －b)≤[b ＋（a －b ）2]2＝a 24.∴a 2＋16b （a －b ）≥a 2＋64a 2≥2a 2·64a 2＝16.当a 2＝64a 2且b ＝a －b ，即a ＝22，b ＝2时等号成立．∴a 2＋16b （a －b ）的最小值为16.18．已知lg(3x)＋lgy ＝lg(x ＋y ＋1)， (1)求xy 的最小值； (2)求x ＋y 的最小值． 答案 (1)1 (2)2解析 由lg(3x)＋lgy ＝lg(x ＋y ＋1)，得⎩⎪⎨⎪⎧x>0，y>0，3xy ＝x ＋y ＋1.(1)∵x>0，y>0，∴3xy ＝x ＋y ＋1≥2xy ＋1.∴3xy －2xy －1≥0，即3(xy)2－2xy －1≥0. ∴(3xy ＋1)(xy －1)≥0. ∴xy ≥1.∴xy ≥1.当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立． ∴xy 的最小值为1.(2)∵x>0，y>0，∴x ＋y ＋1＝3xy ≤3·(x ＋y 2)2.∴3(x ＋y)2－4(x ＋y)－4≥0. ∴[3(x ＋y)＋2][(x ＋y)－2]≥0.∴x ＋y ≥2.当且仅当x ＝y ＝1时取等号． ∴x ＋y 的最小值为2.1．“a ＝18”是“对任意的正数x ，2x ＋ax≥1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 令p ：“a ＝18”，q ：“对任意的正数x ，2x ＋ax≥1”．若p 成立，则a ＝18，则2x ＋a x ＝2x ＋18x≥22x·18x ＝1，即q 成立，p ⇒q ； 若q 成立，则2x 2－x ＋a ≥0恒成立，解得a ≥18，∴q ⇒/ p.∴p 是q 的充分不必要条件．2．(2013·山东文)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当zxy取得最小值时，x ＋2y－z 的最大值为( )A ．0 B.98C ．2 D.94答案 C解析 z xy ＝x 2－3xy ＋4y 2xy ＝x y ＋4y x －3≥2x y ·4yx－3＝1，当且仅当x ＝2y 时等号成立，因此z ＝4y 2－6y 2＋4y 2＝2y 2，所以x ＋2y －z ＝4y －2y 2＝－2(y －1)2＋2≤2. 3．(2016·成都一诊)已知正数a ，b 满足a ＋b ＝ab ，a ＋b ＋c ＝abc ，则c 的取值范围是( )A ．(0，43]B ．(12，43]C ．(13，43]D ．(1，43]答案 D解析 ∵正数a ，b 满足a ＋b ＝ab ，∵ab ≥2ab ⇒(ab)2－2ab ≥0⇒ab ≥2⇒ab ≥4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，由a ＋b ＝ab ，a ＋b ＋c ＝abc ，得c ＝ab ab －1＝ab －1＋1ab －1＝1＋1ab －1，∵ab ≥4，∴ab －1≥3，∴0<1ab －1≤13，∴1<1＋1ab －1≤43，故选D.4．已知x ＞0，y ＞0，2x ＋y ＝1，则xy 的最大值为________．答案 18解析 ∵2xy ≤(2x ＋y 2)2＝14，∴xy ≤18.(当且仅当2x ＝y 即x ＝14，y ＝12时取“＝”号．)∴xy 的最大值为18.5．若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________．答案 233解析 ∵xy ≤14(x ＋y)2，∴1＝x 2＋y 2＋xy ＝(x ＋y)2－xy ≥(x ＋y)2－14(x ＋y)2＝34(x ＋y)2，∴(x＋y)2≤43.∴－233≤x ＋y ≤233，当x ＝y ＝33时，x ＋y 取得最大值233.6．某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，每次购买面粉需支付运费900元． (1)该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？(2)若提供面粉的公司规定：当一次性购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠(即原价的90%)，该厂是否应考虑接受此优惠条件？请说明理由． 答案 (1)10天 (2)应该接受此优惠条件解析 (1)设该厂应每隔x 天购买一次面粉，则其购买量为6x 吨．由题意知，面粉的保管等其他费用为3[6x ＋6(x －1)＋…＋6×2＋6×1]＝9x(x ＋1)． 设每天所支付的总费用为y 1元，则y 1＝1x [9x(x ＋1)＋900]＋6×1 800＝900x ＋9x ＋10 809≥2900x·9x ＋10 809＝10 989， 当且仅当9x ＝900x，即x ＝10时取等号．所以该厂每隔10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少．(2)若该厂家接受此优惠条件，则至少每隔35天购买一次面粉．设该厂接受此优惠条件后，每隔x(x ≥35)天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y 2，则y 2＝1x [9x(x ＋1)＋900]＋6×1 800×0.90＝900x＋9x ＋9 729(x ≥35)． 令f(x)＝x ＋100x(x ≥35)，x 2>x 1≥35，则f(x 1)－f(x 2)＝(x 1＋100x 1)－(x 2＋100x 2)＝（x 1－x 2）（x 1x 2－100）x 1x 2.因为x 2>x 1≥35，所以x 1－x 2<0，x 1·x 2>100，即x 1x 2－100>0. 所以f(x 1)－f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)．所以f(x)＝x ＋100x在[35，＋∞)上为增函数．所以当x ＝35时，y 2有最小值，约为10 069.7. 此时y 2<10 989，所以该厂应该接受此优惠条件．7．某商店预备在一个月内分批购入每张价值为20元的书桌共36张，每批都购入x 张(x 是正整数)，且每批均需付运费4元，储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值(不含运费)成正比，若每批购入4张，则该月需用去运费和保管费共52元，现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费． (1)求该月需用去的运费和保管费的总费用f(x)；(2)能否恰当地安排每批进货的数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由．答案 (1)f(x)＝4x ＋144x(0<x ≤36，x ∈N *)(2)每批购入6张解析 (1)设题中比例系数为k ，若每批购入x 张，则共需分36x批，每批价值为20x 元．由题意，知f(x)＝36x·4＋k·20x.由x ＝4时，f(4)＝52，得k ＝1680＝15.∴f(x)＝144x＋4x(0<x ≤36，x ∈N *)．(2)由(1)知f(x)＝144x ＋4x(0<x ≤36，x ∈N *)，∴f(x)≥2144x ×4x ＝48(元)．当且仅当144x＝4x ，即x ＝6时，上式等号成立．故只需每批购入6张书桌，可以使资金够用．课时作业(36)1．(2016·衡水调研卷)两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位如图所示，则下列座位号码符合要求的应当是( )窗 口 1 2 过 道 3窗 口 6 7 8 11 1213 … … …A.48，49 B ．62，63 C ．75，76 D ．84，85 答案 D解析 由已知图中座位的排序规律可知，被5除余1的数和能被5整除的座位号靠窗，由于两旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗，分析答案中的4组座位号知，只有D 项符合条件．2．如图所示，是某小朋友在用火柴拼图时呈现的图形，其中第1个图形用了3根火柴，第2个图形用了9根火柴，第3个图形用了18根火柴，……，则第2 016个图形用的火柴根数为( )A ．2 014×2 017B ．2 015×2 016C ．2 015×2 017D ．3 024×2 017答案 D解析 由题意，第1个图形需要火柴的根数为3×1； 第2个图形需要火柴的根数为3×(1＋2)； 第3个图形需要火柴的根数为3×(1＋2＋3)； ……由此，可以推出，第n 个图形需要火柴的根数为3×(1＋2＋3＋…＋n)．所以第2 016个图形所需火柴的根数为3×(1＋2＋3＋…＋2 016)＝3×2 016×（1＋2 016）2＝3 024×2 017，故选D.3．已知a 1＝3，a 2＝6，且a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 2 016＝( ) A ．3 B ．－3 C ．6 D ．－6 答案 B解析 ∵a 1＝3，a 2＝6，∴a 3＝3，a 4＝－3，a 5＝－6，a 6＝－3，a 7＝3，…，∴{a n }是以6为周期的周期数列．又2 016＝6×335＋6，∴a 2 016＝a 6＝－3.选B. 4．定义一种运算“*”：对于自然数n 满足以下运算性质： ①1*1＝1，②(n ＋1)*1＝n*1＋1，则n*1等于( ) A ．n B ．n ＋1 C ．n －1 D ．n 2 答案 A解析 由(n ＋1)*1＝n*1＋1，得n*1＝(n －1)*1＋1＝(n －2)*1＋2＝…＝1*1＋(n －1)．又∵1*1＝1，∴n*1＝n.5．给出下面类比推理命题(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)①“若a ，b ∈R ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”． ②“若a ，b ∈R ，则a －b>0⇒a>b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b>0⇒a>b ”．③“若a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a ＋bi ＝c ＋di ⇒a ＝c ，b ＝d ”类比推出“若a ，b ，c ，d ∈Q ，则a ＋b 2＝c ＋d 2⇒a ＝c ，b ＝d ”． 其中类比得到的结论正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 C解析 提示：①③正确． 6．(2016·济宁模拟)在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P －ABC 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝( )A.18B.19C.164D.127 答案 D解析 正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，故体积之比为V 1V 2＝127.7．已知x ∈(0，＋∞)，观察下列各式： x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3，x ＋27x 3＝x 3＋x 3＋x 3＋27x3≥4，…， 类比有x ＋axn ≥n ＋1(n ∈N *)，则a ＝( )A ．nB ．2nC ．n 2D ．n n 答案 D解析 第一个式子是n ＝1的情况，此时a ＝1，第二个式子是n ＝2的情况，此时a ＝4，第三个式子是n ＝3的情况，此时a ＝33，归纳可以知道a ＝n n .8．已知a n ＝(13)n ，把数列{a n }的各项排成如下的三角形：a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9……记A(s ，t)表示第s 行的第t 个数，则A(11，12)＝( )A ．(13)67B ．(13)68C ．(13)111D ．(13)112答案 D解析 该三角形所对应元素的个数为1，3，5，…， 那么第10行的最后一个数为a 100，第11行的第12个数为a 112，即A(11，12)＝(13)112.9．已知函数f(x)＝e x e x ＋1，且数列{a n }满足f(lna n )＝a n ＋1，a 1＝14，则a 2 015＝( )A.12 015B.12 016C.12 017D.12 018 答案 D解析 解法一：由f(lna n )＝a n ＋1，得a n a n ＋1＝a n ＋1，即1a n ＋1－1a n＝1，所以{1a n }是以1a 1＝4为首项，。

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