2014高考调研理科数学课时作业讲解_课时作业68
2014高考调研理科数学课时作业讲解_课时作业18
课时作业(十八)1．已知函数f (x )＝x 2－8ln x ，g (x )＝－x 2＋14x . (1)求函数f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若函数f (x )与g (x )在区间(a ，a ＋1)上均为增函数，求a 的取值范围； (3)若方程f (x )＝g (x )＋m 有唯一解，试求实数m 的值． 解析 (1)因为f ′(x )＝2x －8x ，所以切线的斜率k ＝f ′(1)＝－6. 又f (1)＝1，故所求的切线方程为y －1＝－6(x －1)．即y ＝－6x ＋7. (2)因为f ′(x )＝2(x ＋2)(x －2)x，又x >0，所以当x >2时，f ′(x )>0；当0<x <2时，f ′(x )<0. 即f (x )在(2，＋∞)上单调递增，在(0,2)上单调递减．又g (x )＝－(x －7)2＋49，所以g (x )在(－∞，7)上单调递增，在(7，＋∞)上单调递减．欲使函数f (x )与g (x )在区间(a ，a ＋1)上均为增函数，则⎩⎨⎧a ≥2，a ＋1≤7，解得2≤a ≤6.(3)原方程等价于2x 2－8ln x －14x ＝m ，令h (x )＝2x 2－8ln x －14x ，则原方程即为h (x )＝m .因为当x >0时原方程有唯一解，所以函数y ＝h (x )与y ＝m 的图像在y 轴右侧有唯一的交点．又h ′(x )＝4x －8x －14＝2(x －4)(2x ＋1)x ，且x >0，所以当x >4时，h ′(x )>0；当0<x <4时，h ′(x )<0.即h (x )在(4，＋∞)上单调递增，在(0,4)上单调递减，故h (x )在x ＝4处取得最小值，从而当x >0时原方程有唯一解的充要条件是m ＝h (4)＝－16ln2－24.2．(2013·衡水调研)设函数f (x )＝x 2＋2x －2ln(1＋x )． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)当x ∈[1e －1，e －1]时，是否存在整数m ，使不等式m <f (x )≤－m 2＋2m ＋e 2恒成立？若存在，求整数m 的值；若不存在，则说明理由．解析 (1)由1＋x >0，得函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)． f ′(x )＝2x ＋2－2x ＋1＝2x (x ＋2)x ＋1. 由f ′(x )>0，得x >0；由f ′(x )<0，得－1<x <0.∴函数f (x )的单调递增区间是(0，＋∞)，单调减区间是(－1,0)．(2)由(1)知，f (x )在[1e －1,0]上单调递减，在[0，e －1]上单调递增．∴f (x )min ＝f (0)＝0.又f (1e －1)＝1e 2＋1，f (e －1)＝e 2－e ，且e 2－3>1e 2＋1， ∴x ∈[1e －1，e －1]时，f (x )max ＝e 2－e. ∵不等式m <f (x )≤－m 2＋2m ＋e 2恒成立，∴⎩⎨⎧－m 2＋2m ＋e 2≥f (x )max ，m <f (x )min .即⎩⎨⎧－m 2＋2m ＋e 2≥e 2－3，m <0⇒⎩⎨⎧m 2－2m －3≤0，m <0⇒ ⎩⎨⎧－1≤m ≤3，m <0⇒－1≤m <0. ∵m 是整数，∴m ＝－1.∴存在整数m ＝－1，使不等式m <f (x )≤－m 2＋2m ＋e 2恒成立．3．已知函数f (x )＝ax －ln(－x )，x ∈[－e,0)，其中e 是自然对数的底数，a ∈R .(1)当a ＝－1时，确定f (x )的单调性和极值； (2)当a ＝－1时，证明：f (x )＋ln (－x )x >12；(3)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为3，如果存在，求出a 的值；如果不存在，请说明理由．解析 (1)∵f (x )＝－x －ln(－x )，f ′(x )＝－1－1x ＝－x ＋1x ，∴当－e ≤x <－1时，f ′(x )<0，此时f (x )单调递减；当－1<x <0时，f ′(x )>0，此时f (x )单调递增．∴f (x )的极小值为f (－1)＝1.(2)由(1)知f(x)在区间[－e,0)上有唯一的极小值1，即f(x)在区间[－e,0)上的最小值为1，即f(x)min＝1.所证不等式即f(x)>12－ln(－x)x.令h(x)＝12－ln(－x)x，则h′(x)＝ln(－x)－1x2.当－e≤x<0时，h′(x)≤0，故h(x)在[－e,0)上单调递减．∴h(x)max＝h(－e)＝1e＋12<12＋12＝1＝f(x)min.∴当a＝－1时，f(x)＋ln(－x)x>12.(3)假设存在实数a，使f(x)＝ax－ln(－x)的最小值为3.f′(x)＝a－1x(x∈[－e,0))．①若a≥－1e，由于x∈[－e,0)，则f′(x)＝a－1x≥0.∴函数f(x)＝ax－ln(－x)在[－e,0)上是增函数．∴f(x)min＝f(－e)＝－a e－1＝3，解得a＝－4e<－1e，与a≥－1e矛盾，舍去．②若a<－1e，则当－e≤x<1a时，f′(x)＝a－1x<0，此时f(x)＝ax－ln(－x)是减函数．当1a<x<0时，f′(x)＝a－1x>0，此时f(x)＝ax－ln(－x)是增函数．∴f(x)min＝f(1a)＝1－ln(－1a)＝3，解得a＝－e2.由①②知，存在实数a＝－e2，使f(x)的最小值为3.4．(2013·山东济宁一模)已知函数f(x)＝x－ln x，g(x)＝ln x x.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求证：对任意的m，n∈(0，e]，都有f(m)－g(n)>12.(注：e≈2.718 28…是自然对数的底数．)解析 (1)∵f (x )＝x －ln x (x >0)，∴f ′(x )＝1－1x ＝x －1x (x >0)． 由f (x )>0，得x >1，由f (x )<0，得0<x <1.∴f (x )的单调递增区间是(1，＋∞)，单调递减区间是(0,1)．(2)由(1)知，当x ∈(0，e]时，f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，e]上单调递增． ∴当x ＝1时，[f (x )]min ＝f (1)＝1.∵g (x )＝ln xx (x >0)，∴g ′(x )＝1－ln x x 2(x >0)．当x ∈(0，e]时，g (x )≥0，∴g (x )在(0，e]上单调递增． ∴当x ∈(0，e]时，[g (x )]max ＝g (e)＝1e .对任意的m ，n ∈(0，e]，f (m )－g (n )≥[f (m )]min －[g (n )]max ＝1－1e >12. 即证得，对任意的m ，n ∈(0，e]，都有f (m )－g (n )>12.5．(2013·汕头质量测评)设函数f (x )＝－13x 3＋x 2＋(a 2－1)x ，其中a >0. (1)若函数y ＝f (x )在x ＝－1处取得极值，求a 的值；(2)已知函数f (x )有3个不同的零点，分别为0、x 1、x 2，且x 1<x 2，若对任意的x ∈[x 1，x 2]，f (x )>f (1)恒成立，求a 的取值范围．解析 (1)f ′(x )＝－x 2＋2x ＋(a 2－1)，因为y ＝f (x )在x ＝－1处取得极值，所以f ′(－1)＝0. 即－(－1)2＋2(－1)＋(a 2－1)＝0. 解得a ＝±2.经检验得a ＝2.(2)由题意得f (x )＝x (－13x 2＋x ＋a 2－1)＝－13x (x －x 1)(x －x 2)． 所以方程－13x 2＋x ＋a 2－1＝0有两个相异的实根x 1，x 2. 故Δ＝1＋43(a 2－1)>0，解得a <－12(舍去)或a >12 且x 1＋x 2＝3.又因为x 1<x 2，所以2x 2>x 1＋x 2＝3，故x 2>32>1.①若x1≤1<x2，则f(1)＝－13(1－x1)(1－x2)≥0，而f(x1)＝0不符合题意．②若1<x1<x2，对任意的x∈[x1，x2]，有x－x1≥0，x－x2≤0，所以f(x)＝－13x(x－x1)(x－x2)≥0.又f(x1)＝0，所以f(x)在[x1，x2]上的最小值为0.于是对任意的x∈[x1，x2]，f(x)>f(1)恒成立的充要条件为f(1)＝a2－13<0，解得－33<a<33.综上得12<a<33，即a的取值范围为(12，33)．6．(2013·西安市质检)设函数f(x)＝－13x3＋x2＋(m2－1)x(x∈R)，其中m>0.(1)当m＝1时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))点处的切线的方程；(2)求函数f(x)的单调区间与极值；(3)已知函数g(x)＝f(x)＋13有三个互不相同的零点，求m的取值范围．解析(1)当m＝1时，f(x)＝－13x3＋x2，f′(x)＝－x2＋2x，故f′(1)＝1.所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为1.切线方程为3x－3y－1＝0.(2)f′(x)＝－x2＋2x＋m2－1，令f′(x)＝0，得到x＝1－m或x＝1＋m. 因为m>0，所以1＋m>1－m.当x变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如下表：函数f(x)在x＝1＋m处取得极大值f(1＋m)，且f(1＋m)＝23m3＋m2－13.函数f(x)在x＝1－m处取得极小值f(1－m)，且f(1－m)＝－23m3＋m2－13.(3)由(2)知，函数g (x )在x ＝1＋m 处取得极大值g (1＋m )＝f (1＋m )＋13， 且g (1＋m )＝23m 3＋m 2.函数g (x )在x ＝1－m 处取得极小值g (1－m )＝f (1－m )＋13， 且g (1－m )＝－23m 3＋m 2.根据三次函数的图像与性质，函数g (x )＝f (x )＋13有三个互不相同的零点，只需要⎩⎪⎨⎪⎧g (1＋m )＝23m 3＋m 2>0，g (1－m )＝－23m 3＋m 2<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m >0，m >32.所以m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞.7．(2013·沧州七校联考)设a 为实数，函数f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R . (1)求f (x )的单调区间与极值；(2)求证：当a >ln2－1且x >0时，e x >x 2－2ax ＋1.解析 (1)由f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R ，知f ′(x )＝e x －2，x ∈R .令f ′(x )＝0，得x ＝ln2.于是当x 变化时f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：f (x故f f (x )在x ＝ln2处取得极小值，极小值为f (ln2)＝e ln2－2ln2＋2a ＝2(1－ln2＋a )． (2)设g (x )＝e x －x 2＋2ax －1，x ∈R . 于是g ′(x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R .由(1)知当a >ln2－1时，g ′(x )最小值g ′(ln2)＝2(1－ln2＋a )>0. 于是对任意x ∈R ，都有g ′(x )>0，所以g (x )在R 内单调递增． 于是当a >ln2－1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )>g (0)． 而g (0)＝0，从而对任意x ∈(0，＋∞)，g (x )>0. 即e x －x 2＋2ax －1>0，故e x >x 2－2ax ＋1.8．(2013·西北五校)已知函数f (x )＝12ax 2－(2a ＋1)x ＋2ln x (a ∈R )． (1)若曲线y ＝f (x )在x ＝1和x ＝3处的切线互相平行，求a 的值； (2)求f (x )的单调区间；(3)设g (x )＝x 2－2x ，若对任意x 1∈(0,2]，均存在x 2∈(0,2]，使得f (x 1)<g (x 2)，求a 的取值范围．解析 f ′(x )＝ax －(2a ＋1)＋2x (x >0)． (1)由f ′(1)＝f ′(3)，解得a ＝23. (2)f ′(x )＝(ax －1)(x －2)x(x >0)．①当a ≤0时，x >0，ax －1<0，在区间(0,2)上f ′(x )>0；在区间(2，＋∞)上f ′(x )<0. 故f (x )的单调递增区间(0,2)，单调递减区间是(2，＋∞)． ②当0<a <12时，1a >2，在区间(0,2)和⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上f ′(x )>0；在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1a 上f ′(x )<0，故f (x )的单调递增区间是(0,2)和(1a ，＋∞)，单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1a .③当a ＝12时，f ′(x )＝(x －2)22x ， 故f (x )的单调递增区间是(0，＋∞)． ④当a >12时，0<1a <2，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 和(2，＋∞)上f ′(x )>0；在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2上f ′(x )<0，故f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 和(2，＋∞)，单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2.(3)由已知，在(0,2]上有f (x )max <g (x )max . 由已知，g (x )max ＝0，由(2)可知， ①当a ≤12时，f (x )在(0,2]上单调递增，故f (x )max ＝f (2)＝2a －2(2a ＋1)＋2ln2＝－2a －2＋2ln2. 所以，－2a －2＋2ln2<0，解得a >ln2－1. 故ln2－1<a ≤12.②当a >12时，f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1a 上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，2上单调递减，故f (x )max ＝f (1a )＝－2－12a －2ln a .由a >12可知ln a >ln 12>ln 1e ＝－1,2ln a >－2，－2ln a <2. 所以，－2－2ln a <0，f (x )max <0. 综上所述，a >ln2－1.1．(2011·天津文)已知函数f (x )＝4x 3＋3tx 2－6t 2x ＋t －1，x ∈R ，其中t ∈R . (1)当t ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)当t ≠0时，求f (x )的单调区间；(3)证明：对任意t ∈(0，＋∞)，f (x )在区间(0,1)内均存在零点．解析 (1)当t ＝1时，f (x )＝4x 3＋3x 2－6x ，f (0)＝0，f ′(x )＝12x 2＋6x －6，f ′(0)＝－6.所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝－6x .(2)f ′(x )＝12x 2＋6tx －6t 2.令f ′(x )＝0，解得x ＝－t 或x ＝t2.因为t ≠0，以下分两种情况讨论：①若t <0，则t2<－t .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以，f (x )的单调递增区间是(－∞，t2)，(－t ，＋∞)；f (x )的单调递减区间是(t2，－t )．②若t >0，则－t <t2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以，f (x )的单调递增区间是(－∞，－t )，(t2，＋∞)；f (x )的单调递减区间是(－t ，t 2)．(3)由(2)可知，当t >0时，f (x )在(0，t 2)内单调递减，在(t2，＋∞)内单调递增．以下分两种情况讨论：①当t2≥1，即t ≥2时，f (x )在(0,1)内单调递减．f (0)＝t －1>0， f (1)＝－6t 2＋4t ＋3≤－6×4＋4×2＋3<0.所以对任意t ∈[2，＋∞)，f (x )在区间(0,1)内均存在零点．②当0<t 2<1，即0<t <2时，f (x )在(0，t 2)内单调递减，在(t2，1)内单调递增．若t ∈(0,1]，f (t 2)＝－74t 3＋t －1≤－74t 3<0，f (1)＝－6t 2＋4t ＋3≥－6t ＋4t ＋3＝－2t ＋3>0. 所以f (x )在(t2，1)内存在零点．若t ∈(1,2)，f (t 2)＝－74t 3＋(t －1)<－74t 3＋1<0，f (0)＝t －1>0.所以f (x )在(0，t2)内存在零点．所以，对任意t ∈(0,2)，f (x )在区间(0,1)内均存在零点． 综上，对任意t ∈(0，＋∞)，f (x )在区间(0,1)内均存在零点． 2．(2011·江西文)设f (x )＝13x 3＋mx 2＋nx .(1)如果g (x )＝f ′(x )－2x －3在x ＝－2处取得最小值－5，求f (x )的解析式； (2)如果m ＋n <10(m ，n ∈N *)，f (x )的单调递减区间的长度是正整数，试求m 和n 的值．(注：区间(a ，b )的长度为b －a )．解析 (1)由题得g (x )＝x 2＋2(m －1)x ＋(n －3)＝(x ＋m －1)2＋(n －3)－(m －1)2，已知g (x )在x ＝－2处取得最小值－5，所以⎩⎨⎧m －1＝2，(n －3)－(m －1)2＝－5，即m ＝3，n ＝2. 即得所要求的解析式为f (x )＝13x 3＋3x 2＋2x .(2)因为f ′(x )＝x 2＋2mx ＋n ，且f (x )的单调递减区间的长度为正整数，故f ′(x )＝0一定有两个不同的根，从而Δ＝4m 2－4n >0，即m 2>n .不妨设为x 1，x 2，则|x 2－x 1|＝2m 2－n 为正整数． 故m ≥2时才可能有符合条件的m ，n ， 当m ＝2时，只有n ＝3符合要求， 当m ＝3时，只有n ＝5符合要求， 当m ≥4时，没有符合要求的n .综上所述，只有m ＝2，n ＝3或m ＝3，n ＝5满足上述要求． 3．已知函数f (x )＝e x ＋ax ，g (x )＝e x ln x .(e ≈2.718 28…)．(1)设曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线与直线x ＋(e －1)y ＝1垂直，求a 的值； (2)若对于任意实数x ≥0，f (x )>0恒成立，试确定实数a 的取值范围； (3)当a ＝－1时，是否存在实数x 0∈[1，e]，使曲线C ：y ＝g (x )－f (x )在点x ＝x 0处的切线与y 轴垂直？若存在，求出x 0的值；若不存在，请说明理由．解析 (1)由题知，f ′(x )＝e x ＋a .因此曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线l的斜率为e＋a，又直线x＋(e－1)y＝1的斜率为11－e，∴(e＋a)11－e＝－1.∴a＝－1.(2)∵当x≥0时，f(x)＝e x＋ax>0恒成立，∴若x＝0，a为任意实数，f(x)＝e x＋ax>0恒成立．若x>0，f(x)＝e x＋ax>0恒成立，即当x>0时，a>－e xx恒成立．设Q(x)＝－e xx.Q′(x)＝－e x x－e xx2＝(1－x)e xx2.当x∈(0,1)时，Q′(x)>0，则Q(x)在(0,1)上单调递增，当x∈(1，＋∞)时，Q′(x)<0，则Q(x)在(1，＋∞)上单调递减．∴当x＝1时，Q(x)取得最大值．Q(x)max＝Q(1)＝－e.∴要使x≥0时，f(x)>0恒成立，a的取值范围为(－e，＋∞)．(3)依题意，曲线C的方程为y＝e x ln x－e x＋x.令M(x)＝e x ln x－e x＋x，∴M′(x)＝e xx＋ex ln x－e x＋1＝(1x＋ln x－1)ex＋1.设h(x)＝1x＋ln x－1，则h′(x)＝－1x2＋1x＝x－1x2.当x∈[1，e]时，h′(x)≥0.故h(x)在[1，e]上为增函数，因此h(x)在区间[1，e]上的最小值为h(1)＝ln1＝0.所以h(x)＝1x＋ln x－1≥0.当x0∈[1，e]时，.∴.曲线y＝e x ln x－e x＋x在点x＝x0处的切线与y轴垂直等价于方程M′(x0)＝0在x∈[1，e]上有实数解．而M′(x0)>0，即方程M′(x0)＝0无实数解．故不存在实数x0∈[1，e]，使曲线y＝M(x)在点x＝x0处的切线与y轴垂直．4．已知x>12，函数f(x)＝x2，h(x)＝2eln x(e为自然常数)．(1)求证：f(x)≥h(x)；(2)若f(x)≥h(x)且g(x)≤h(x)恒成立，则称函数h(x)的图像为函数f(x)，g(x)的“边界”．已知函数g(x)＝－4x2＋px＋q(p，q∈R)，试判断“函数f(x)，g(x)以函数h(x)的图像为边界”和“函数f(x)，g(x)的图像有且仅有一个公共点”这两个条件能否同时成立？若能同时成立，请求出实数p、q的值；若不能同时成立，请说明理由．解析(1)证明：记u(x)＝f(x)－h(x)＝x2－2eln x，则u′(x)＝2x－2e x，令u′(x)>0，因为x>12，所以x> e.所以函数u(x)在(12，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增．u(x)min＝u(e)＝f(e)－h(e)＝e－e＝0，即u(x)≥0，所以f(x)≥h(x)．(2)由(1)知，f(x)≥h(x)对x>12恒成立，当且仅当x＝e时等号成立．记v(x)＝h(x)－g(x)＝2eln x＋4x2－px－q，则“v(x)≥0恒成立”与“函数f(x)，g(x)的图像有且仅有一个公共点”同时成立，即v(x)≥0对x>12恒成立，当且仅当x＝e时等号成立．所以函数v(x)在x＝e时取极小值．注意到v′(x)＝2ex＋8x－p＝8x2－px＋2ex，由v′(e)＝0，解得p＝10 e.此时v′(x)＝8(x－e)(x－e4)x，由x>12知，函数v(x)在(12，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，即v(x)min＝v(e)＝h(e)－g(e)＝－5e－q＝0，q＝－5e，综上，两个条件能同时成立，此时p＝10e，q＝－5e.5．(2012·山东卷)已知函数f(x)＝ln x＋ke x(k为常数，e＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．(1)求k的值；(2)求f(x)的单调区间；(3)设g(x)＝(x2＋x)f′(x)，其中f′(x)为f(x)的导函数，证明：对任意x>0，g(x)<1＋e－2.解析(1)由f(x)＝ln x＋k e x，得f′(x)＝1－kx－x ln xx e x，x∈(0，＋∞)．由于曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线与x轴平行，所以f′(1)＝0，因此k＝1.(2)由(1)得f′(x)＝1x e x(1－x－x ln x)，x∈(0，＋∞)．令h(x)＝1－x－x ln x，x∈(0，＋∞)，当x∈(0,1)时，h(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，h(x)<0.又e x>0，所以当x∈(0,1)时，f′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0.因此f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．(3)因为g(x)＝(x2＋x)f′(x)，所以g(x)＝x＋1e x(1－x－x ln x)，x∈(0，＋∞)．因此，对任意x>0，g(x)<1＋e－2等价于1－x－x ln x<e xx＋1(1＋e－2)．由(2)中h(x)＝1－x－x ln x，x∈(0，＋∞)，所以h′(x)＝－ln x－2＝－(ln x－ln e－2)，x∈(0，＋∞)．因此，当x∈(0，e－2)时，h′(x)>0，h(x)单调递增；当x∈(e－2，＋∞)时，h′(x)<0，h(x)单调递减．所以h(x)的最大值为h(e－2)＝1＋e－2.故1－x－x ln x≤1＋e－2.设φ(x)＝e x－(x＋1)．因为φ′(x)＝e x－1＝e x－e0，所以当x∈(0，＋∞)时，φ′(x)>0，φ(x)单调递增，φ(x)>φ(0)＝0.故当x∈(0，＋∞)时，φ(x)＝e x－(x＋1)>0，即e xx＋1>1.所以1－x－x ln x≤1＋e－2<e xx＋1(1＋e－2)．因此，对任意x>0，g(x)<1＋e－2.6．(2011·山东文)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为80π3立方米，且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建筑费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元．设该容器的建造费用为y千元．(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的r.解析(1)设容器的容积为V，由题意知V＝πr2l＋43πr3，又V＝80π3，故l＝V－43πr3πr2＝803r2－43r＝43(20r2－r)．由于l≥2r，因此0<r≤2.所以建造费用y＝2πrl×3＋4πr2c＝2πr×43(20r2－r)×3＋4πr2c，因此y＝4π(c－2)r2＋160πr，0<r≤2.(2)由(1)得y′＝8π(c－2)r－160πr2＝8π(c－2)r2(r3－20c－2)，0<r<2.由于c>3，所以c－2>0.当r3－20c－2＝0时，r＝320c－2.令320c－2＝m，则m>0.所以y′＝8π(c－2)r2(r－m)(r2＋rm＋m2)．①当0<m<2即c>92时，当r＝m时，y′＝0；当r∈(0，m)时，y′<0；当r∈(m,2)时，y′>0.所以r＝m是函数y的极小值点，也是最小值点．②当m≥2即3<c≤92时，当r∈(0,2)时，y′<0，函数单调递减，所以r＝2是函数y的最小值点．综上所述，当3<c≤92时，建造费用最小时r＝2；当c>92时，建造费用最小时r＝320c－2.7．(2013·江南十校)设M是满足下列条件的函数f(x)构成的集合：“①方程f(x)－x＝0有实数根；②函数f(x)的导数f′(x)满足0<f′(x)<1.”(1)若函数f(x)为集合M中的任一元素，试证明方程f(x)－x＝0只有一个实根；(2)判断函数g(x)＝x2－ln x2＋3(x>1)是否是集合M中的元素，并说明理由；(3)“对于(2)中函数g(x)定义域内的任一区间[m，n]，都存在x0∈[m，n]，使得g(n)－g(m)＝(n－m)g′(x0)”，请利用函数y＝ln x的图像说明这一结论．解析(1)令h(x)＝f(x)－x，则h′(x)＝f′(x)－1<0，即h(x)在区间(1，＋∞)上单调递减．所以，使h(x)＝0，即f(x)－x＝0成立的x至多有一解．又由题设①知方程f(x)－x ＝0有实数根， 所以，方程f(x)－x ＝0只有一个实数根．(2)由题意知，g ′(x)＝12－12x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12⊂(0,1)，满足条件．令F(x)＝g(x)－x ＝－x 2－ln x2＋3(x>1)，则F(e )＝－e 2＋52>0，F(e 2)＝－e22＋2<0.又F(x)在区间[e ，e 2]上连续，所以F(x)在[e ，e 2]上存在零点x 0，即方程g(x)－x ＝0有实数根x 0∈[e ，e 2]，故g(x)满足条件①.综上可知，g(x)∈M.(3)由(1)知：g(n)－g(m)＝12(n －m)－12(ln n －ln m)， 而(n －m)g ′(x 0)＝(n －m)(12－12x 0)，所以原式等价于ln n －ln m n －m ＝1x 0.该等式说明函数y ＝ln x(x>1)上任意两点A(m ，ln m)和B(n ，ln n)的连线段AB(如图所示)，在曲线y ＝ln x(m ≤x ≤n)上都一定存在一点P(x 0，ln x 0)，使得该点处的切线平行于AB ，根据y ＝ln x(x>1)图像知该等式一定成立．8．(2013·郑州质检)已知函数f(x)＝x －ln (x ＋a)在x ＝1处取得极值． (1)求实数a 的值；(2)若关于x 的方程f(x)＋2x ＝x 2＋b 在[12，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围．答案 (1)0 (2)54＋ln 2≤b<2 解析 (1)对f(x)求导，得f ′(x)＝1－1x ＋a. 由题意，得f ′(1)＝0，即1－11＋a＝0，∴a ＝0. (2)由(1)得f(x)＝x －ln x.∴f(x)＋2x ＝x 2＋b ，即x 2－3x ＋ln x ＋b ＝0.设g(x)＝x 2－3x ＋ln x ＋b(x>0)，则g ′(x)＝2x －3＋1x ＝2x 2－3x ＋1x ＝(2x －1)(x －1)x.令g ′(x)＝0，得x 1＝12，x 2＝1.当x 变化时，g ′(x)、g(x)的变化情况如下表：又g(12)＝b －54－ln 2，g(2)＝b －2＋ln 2.∵方程f(x)＋2x ＝x 2＋b 在[12，2]上恰有两个不相等的实数根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧g (12)≥0，g (1)<0，g (2)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧b －54－ln 2≥0，b －2<0，b －2＋ln 2≥0，解得54＋ln 2≤b<2.9．已知函数f(x)＝ax 2－2x ＋1，g(x)＝ln (x ＋1)． (1)求函数y ＝g(x)－x 在[0,1]上的最小值；(2)当a ≥12时，函数t(x)＝f(x)＋g(x)的图像记为曲线C ，曲线C 在点(0,1)处的切线为l ，是否存在a 使l 与曲线C 有且仅有一个公共点？若存在，求出所有a 的值；否则，说明理由．(3)当x ≥0时，g(x)≥－12f(x)＋12恒成立，求a 的取值范围．解析 (1)y ′＝1x ＋1－1，因为0≤x ≤1，所以y ′≤0. 所以y ＝g(x)－x 在[0,1]上单调递减． 当x ＝1时，y 取最小值为ln 2－1. 故y ＝g(x)－x 在[0,1]的最小值为ln 2－1.(2)函数t(x)的定义域为(－1，＋∞)，t ′(x)＝2ax －2＋1x ＋1，t ′(0)＝－1.所以在切点P(0,1)处的切线l 的斜率为－1. 因此切线方程为y ＝－x ＋1.因此切线l 与曲线C 有唯一的公共点，所以，方程ax 2－x ＋ln (x ＋1)＝0有且只有一个实数解．显然，x ＝0是方程的一个解．令φ(x)＝ax 2－x ＋ln (x ＋1)，则φ′(x)＝2ax －1＋1x ＋1＝2ax ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －1x ＋1.当a ＝12时，φ′(x)＝x 2x ＋1≥0，于是，φ(x)在(－1，＋∞)上单调递增，即x＝0是方程唯一的实数解．当a>12时，由φ′(x)＝0，得x 1＝0，x 2＝12a －1∈(－1,0)． 在区间(－1，x 2)上，φ′(x)>0，在区间(x 2,0)上，φ′(x)<0. 所以，函数φ(x)在x 2处有极大值φ(x 2)，且φ(x 2)>φ(0)＝0.而当x →－1时，φ(x)→－∞，因此，φ(x)＝0在(－1，x 2)内也有一个解，矛盾．综上，得a ＝12.(3)令h(x)＝g(x)－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12f (x )＋12＝ln (x ＋1)＋12ax 2－x ，h ′(x)＝1x ＋1＋ax －1＝ax 2＋(a －1)x x ＋1＝x[ax ＋(a －1)]x ＋1(x>－1)．若a ＝0，当x ∈[0，＋∞)时，h ′(x)≤0，则h(x)在[0，＋∞)上单调递减，故h(x)≤h(0)＝0，不合题意；若a ≥1，当x ∈[0，＋∞)时，h ′(x)≥0，则h(x)在[0，＋∞)上单调递增，故h(x)≥h(0)＝0，符合题意；若0<a<1，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1－a a 时，h ′(x)≤0，则h(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1－a a 单调递减，故h(1－aa )<h(0)＝0，不合题意；若a<0，当x ∈[0，＋∞)时，h ′(x)≤0，则h(x)在[0，＋∞)单调递减，故h(1)<h(0)＝0，不合题意．综上：a的取值范围是a≥1.。
2014高考调研理科数学课时作业讲解_课时作业13
课时作业(十三)1．(2013·绍兴调研卷)函数f(x)＝e x＋3x的零点个数是() A．0B．1C．2 D．3答案 B答案由已知得f′(x)＝e x＋3>0，所以f(x)在R上单调递增，又f(－1)＝e－1－3<0，f(1)＝e＋3>0，因此f(x)的零点个数是1，选B.2．若函数f(x)＝2ax2－x－1在(0,1)内恰有一个零点，则a的取值范围是() A．(－1,1) B．[1，＋∞)C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)答案 C解析当a＝0时，函数的零点是x＝－1.当a≠0时，若Δ>0，f(0)·f(1)<0，则a>1.若Δ＝0，即a＝－18，函数的零点是x＝－2，故选C.3．(2011·陕西文)方程|x|＝cos x在(－∞，＋∞)内() A．没有根B．有且仅有一个根C．有且仅有两个根D．有无穷多个根答案 C解析求解方程|x|＝cos x在(－∞，＋∞)内根的个数问题，可转化为求解函数f(x)＝|x|和g(x)＝cos x在(－∞，＋∞)内的交点个数问题．f(x)＝|x|和g(x)＝cos x的图像如图所示．显然有两交点，即原方程有且仅有两个根．4．下列函数中在区间[1,2]上一定有零点的是() A．f(x)＝3x2－4x＋5 B．f(x)＝x3－5x－5C．f(x)＝mx2－3x＋6 D．f(x)＝e x＋3x－6答案 D解析 对选项D ，∵f (1)＝e －3<0，f (2)＝e 2>0， ∴f (1)f (2)<0.5．若函数f (x )＝x 3－3x ＋a 有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．(－2,2) B ．[－2,2] C ．(－∞，1) D ．(1，＋∞)答案 A解析 只需f (－1)f (1)<0，即(a ＋2)(a －2)<0， 故a ∈(－2,2)．6．设函数f (x )＝13x －ln x (x >0)，则y ＝f (x ) ( )A ．在区间(1e ，1)，(1，e)内均有零点 B ．在区间(1e ，1)，(1，e)内均无零点C ．在区间(1e ，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点 D ．在区间(1e ，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点 答案 D解析 由题意，得f (1e )·f (1)>0且f (1)·f (e)<0，又f ′(x )＝13－1x ，当0<x <3时，f ′(x )<0，f (x )在(0,3)上单调递减．7．函数f (x )＝⎩⎨⎧ln x －x 2＋2x (x >0)，2x ＋1 (x ≤0)的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 D解析 依题意，在考虑x >0时可以画出y ＝ln x 与y ＝x 2－2x 的图像，可知两个函数的图像有两个交点，当x ≤0时，函数f (x )＝2x ＋1与x 轴只有一个交点，所以函数f (x )有3个零点．故选D.8．已知函数f (x )＝(13)x －log 2x ，若实数x 0是方程f (x )＝0的解，且0<x 1<x 0，则f (x 1)( )A ．恒为负值B ．等于0C ．恒为正值D ．不大于0答案 C解析 因为f (x )＝(13)x －log 2x 在其定义域(0，＋∞)上单调递减，而f (x 0)＝0，所以f (x 1)>f (x 0)＝0.9．已知函数f (x )＝x ＋2x ，g (x )＝x ＋ln x ，h (x )＝x －x －1的零点分别为x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是( )A ．x 1<x 2<x 3B ．x 2<x 1<x 3C ．x 1<x 3<x 2D ．x 3<x 2<x 1答案 A解析 令函数f (x )＝x ＋2x ＝0，因为2x 恒大于零，所以要使得x ＋2x ＝0，x 必须小于零，即x 1小于零；令g (x )＝x ＋ln x ＝0，要使得ln x 有意义，则x 必须大于零，又x ＋ln x ＝0，所以ln x <0，解得0<x <1，即0<x 2<1；令h (x )＝x －x －1＝0，得x ＝x ＋1>1，即x 3>1，从而可知x 1<x 2<x 3.10．已知x 0是函数f (x )＝2x＋11－x的一个零点．若x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，则( )A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0答案 B 解析 设g (x )＝11－x ，由于函数g (x )＝11－x ＝－1x －1在(1，＋∞)上单调递增，函数h (x )＝2x 在(1，＋∞)上单调递增，故函数f (x )＝h (x )＋g (x )在(1，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )在(1，＋∞)上只有唯一的零点x 0，且在(1，x 0)上f (x 1)<0，在(x 0，＋∞)上f (x 2)>0，故选B.11．若函数f (x )＝(m －2)x 2＋mx ＋(2m ＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m 的取值范围是( )A ．(－12，14) B ．(－14，12) C ．(14，12)D ．[14，12]答案 C解析 由零点存在定理知⎩⎨⎧f (－1)f (0)<0，f (1)f (2)<0⇒14<m <12.故选C.12．设a ，b ，c 分别是函数f (x )＝(12)x －log 2x ，g (x )＝2x －log 12x ，h (x )＝(12)x －log 12x 的零点，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．b <c <aB ．a <b <cC ．b <a <cD ．c <b <a答案 A解析 在同一坐标系中作出函数y ＝(12)x 、y ＝2x 、y ＝log 12x 、y ＝log 2x 的图像(如图)，则有x A >1>x C >x B ，即b <c <1<a ，故选A.13．如果函数f (x )＝ax ＋b (a ≠0)有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是________．答案 0，－12解析 由已知条件2a ＋b ＝0，即b ＝－2a . g (x )＝－2ax 2－ax ＝－2ax (x ＋12)， 则g (x )的零点是x ＝0，x ＝－12.14．(2011·辽宁文)已知函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是________．答案 (－∞，2ln2－2]解析 由原函数有零点，可将问题转化为方程e x －2x ＋a ＝0有解问题，即方程a ＝2x －e x 有解．令函数g (x )＝2x －e x ，则g ′(x )＝2－e x ，令g ′(x )＝0，得x ＝ln2，所以g (x )在(－∞，ln2)上是增函数，在(ln2，＋∞)上是减函数，所以g (x )的最大值为g (ln2)＝2ln2－2.因此，a 的取值范围就是函数g (x )的值域，所以，a ∈(－∞，2ln2－2]．15．若f (x )＝⎩⎨⎧x 2－x －1，x ≥2或x ≤－1，1， －1<x <2，则函数g (x )＝f (x )－x 的零点为________．答案 1＋2，1解析 求函数g (x )＝f (x )－x 的零点，即求f (x )＝x 的根， ∴⎩⎨⎧ x ≥2或x ≤－1，x 2－x －1＝x 或⎩⎨⎧－1<x <2，1＝x . 解得x ＝1＋2或x ＝1. ∴g (x )的零点为1＋2，1.16．(2013·衡水调研)设f (x )＝⎩⎨⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，2x ＋4，x <0，若存在互异的三个实数x 1，x 2，x 3，使f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)，则x 1＋x 2＋x 3的取值范围是________．答案 (3,4)解析 设x 1<0，x 2、x 3>0， 则由x 2－4x ＋6＝(x －2)2＋2可知 x 2＋x 3＝4，又由2x ＋4>2， 得－1<x 1<0. ∴3<x 1＋x 2＋x 3<4.17．(2011·山东)已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图像在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为________．答案 7解析 当0≤x <2时，令f (x )＝x 3－x ＝0， 得x ＝0或x ＝1，∵f (x ＋2)＝f (x )， ∴y ＝f (x )在[0,6)上有6个零点． 又f (6)＝f (3×2)＝f (0)＝0，∴f (x )在[0,6]上的与x 轴的交点个数为7.18．已知函数f (x )＝4x ＋m ·2x ＋1仅有一个零点，求m 的取值范围，并求出零点．答案 m ＝－2，零点是x ＝0解析 方法一 令2x ＝t ，则t >0，则g (t )＝t 2＋mt ＋1＝0 仅有一正根，而g (0)＝1>0，故⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4＝0，－m2>0.∴m ＝－2.方法二 令2x ＝t ，则t >0.原函数的零点，即方程t 2＋mt ＋1＝0的根． ∴t 2＋1＝－mt .∴－m ＝t 2＋1t ＝t ＋1t (t >0)． 有一个零点，即方程只有一根． ∵t ＋1t ≥2(当且仅当t ＝1t 即t ＝1时)， ∴－m ＝2即m ＝－2时，只有一根．注：方法一侧重二次函数，方法二侧重于分离参数．1．(2012·辽宁)设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 3.又函数g (x )＝|x cos(πx )|，则函数h (x )＝g (x )－f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32上的零点个数为( )A ．5B ．6C ．7D ．8答案 B解析 ∵f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )，∴f (－x )＝f (2－x )，∴f (x )的周期为2.如图画出f (x )与g (x )的图像，它们共有6个交点，故h (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32上的零点个数为6.故选B.2．函数f(x)＝mx2－2x＋1有且仅有一个正实数的零点，则实数m的取值范围是() A．(－∞，1] B．(－∞，0]∪{1}C．(－∞，0)∪(0,1] D．(－∞，1)答案 B思路函数中的二次项系数是个参数，先要对其分类讨论，再结合一次函数、二次函数的图像列不等式解决．解析当m＝0时，x＝12为函数的零点；当m≠0时，若Δ＝0，即m＝1时，x＝1是函数唯一的零点，若Δ≠0，显然函数x＝0不是函数的零点，这样函数有且仅有一个正实数零点等价于方程mx2－2x＋1＝0有一个正根和一个负根，即mf(0)<0，即m<0.故选B.3．已知定义在R上的函数f(x)＝(x2－3x＋2)·g(x)＋3x－4，其中函数y＝g(x)的图像是一条连续曲线，则方程f(x)＝0在下面哪个范围内必有实数根() A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)答案 B解析f(x)＝(x2－3x＋2)·g(x)＋3x－4＝(x－1)(x－2)·g(x)＋3x－4，故f(1)＝－1<0，f(2)＝2>0.故选B.点评根据y＝g(x)图像的连续性可以推知函数f(x)的图像也是连续的，函数零点定理适用的条件是函数的图像必须是连续不断的曲线，一般地，函数图像在其连续不断的定义域上的图像是连续不断的．4．已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log2x＋x，h(x)＝log2x－2的零点依次为a、b、c，则()A．a<b<c B．c<b<aC．c<a<b D．b<a<c答案 A解析 在同一平面直角坐标系中分别画出函数y ＝2x 、y ＝－x 、y ＝log 2x 的图像，结合函数y ＝2x 与y ＝－x 的图像可知其交点横坐标小于0，即a <0；结合函数y ＝log 2x 与y ＝－x 的图像可知其交点横坐标大于0且小于1，即0<b <1；令log 2x －2＝0，得x ＝4，即c ＝4.因此有a <b <c ，选A.5．不论m 取任何实数值，方程|x 2－3x ＋2|＝m (x －32)的实根个数都是 ( )A ．1B ．3C ．2D ．不确定答案 C解析 图像如图，y ＝|x 2－3x ＋2|与y ＝m (x －32)，y ＝m (x －32)恒过(32，0)且有斜率，如图可知有两个交点，则方程|x 2－3x ＋2|＝m (x －32)的实数解有2个，故选C.6．(2013·陕西五校)已知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －log 2x ，实数a 、b 、c 满足f (a )f (b )f (c )<0，且0<a <b <c ，若实数x 0是函数f (x )的一个零点，则下列不等式中，不可能成立的是( )A ．x 0<aB ．x 0>bC ．x 0<cD ．x 0>c答案 D解析 易知f (x )在(0，＋∞)上是减函数，f (x 0)＝0，若x 0>c ，则f (a )>f (b )>f (c )>0，则f (a )·f (b )·f (c )>0，与题意不符．7．(2013·南宁)偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝－x ＋1，则关于x 的方程f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，在x ∈[0,3]上解的个数是________．答案 38．(2013·西城)已知函数f (x )＝其中c >0.那么f (x )的零点是________．若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2，则c 的取值范围是________．答案 －1或0；(0,4]解析 画出函数y ＝f (x )图像如图．令＝0(0≤x ≤c )⇒x ＝0.令x 2＋x ＝0(－2≤x <0)⇒x ＝－1. 故f (x )的零点是－1或0.由图易知若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2，则≤2⇒c ≤4.又c >0，∴0<c ≤4.9．(2013·深圳调研)已知符号函数sgn(x )＝⎩⎨⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，则函数f (x )＝sgn(ln x )－ln x 的零点个数为________．答案 3解析f (x )＝⎩⎨⎧1－ln x ，x >1，0，x ＝1，－1－ln x ，0<x <1.法一 画图；法二 各段分别等于0.10．已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1，(a >1)，判断函数f (x )零点的个数．答案 1个 解析设f1(x)＝a x(a>1)，f2(x)＝－x－2x＋1，则f(x)＝0的解即为f1(x)＝f2(x)的解，即为函数f1(x)与f2(x)图像交点的横坐标．在同一坐标系中，作出函数f1(x)＝a x(a>1)与f2(x)＝－x－2x＋1＝3x＋1－1的图像(如图所示)．两函数图像有且只有一个交点，即方程f(x)＝0有且只有一个根．11．求函数f(x)＝x3－2x2－x＋2的零点，并画出它的大致图像．解析将f(x)＝x3－2x2－x＋2分解因式求出零点．∵f(x)＝x3－2x2－x＋2＝x2(x－2)－(x－2)＝(x－2)(x2－1)＝(x－2)(x－1)(x＋1)，∴f(x)＝x3－2x2－x＋2的零点为－1,1,2.三个零点将x轴分成四个区间：(－∞，－1]，(－1,1)，[1,2]，(2，＋∞)，∵f(0)＝2>0，∴函数f(x)＝x3－2x2－x＋2的大致图像如图所示．。
2014高考调研理科数学课时作业讲解_课时作业89
课时作业(八十九)1.如图，在△ABC 中，∠AED ＝∠B ，DE ＝6，AB ＝10，AE ＝8，则BC 的长为( )A.154 B ．7 C.152 D.245答案 C解析 由已知条件∠AED ＝∠B ，∠A 为公共角，所以△ADE ∽△ACB ，则有DE BC ＝AEAB ，从而BC ＝6×108＝152.选C.2.如图所示，矩形ABCD 中，AB ＝12，AD ＝10，将此矩形折叠使点B 落在AD 边的中点E 处，则折痕FG 的长为( )A ．13 B.635 C.656 D.636答案 C解析 过A 作AH ∥FG 交DG 于H ，则四边形AFGH 为平行四边形． ∴AH ＝FG .∵折叠后B 点与E 点重合，折痕为FG ， ∴B 与E 关于FG 对称． ∴BE ⊥FG ，∴BE ⊥AH .∴∠ABE ＝∠DAH ，∴Rt △ABE ∽Rt △DAH . ∴BE AB ＝AH AD .∵AB ＝12，AD ＝10，AE ＝12AD ＝5， ∴BE ＝122＋52＝13. ∴FG ＝AH ＝BE ·AD AB ＝656.3．Rt △ABC 中，∠CAB ＝90°，AD ⊥BC 于D ，AB ∶AC ＝3∶2，则CD ∶BD ＝( )A ．3∶2B ．2∶3C ．9∶4D ．4∶9答案 D解析 由△ABD ∽△CBA ，得AB 2＝BD ·BC . 由△ADC ∽△BAC ，得AC 2＝DC ·BC . ∴CD ·BC BD ·BC ＝AC 2AB 2＝49，即CD ∶BD ＝4∶9. 4.(2013·佛山)如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥CD ，若BC ＝3，DE ＝2，DF ＝1，则AB 的长为________．答案 92解析 AD AB ＝DE BC ＝23，DF AD ＝CE AC ＝13.∵BC ＝3，DE ＝2，DF ＝1，解得AB ＝92. 5.如图所示，在▱ABCD 中，BC ＝24，E 、F 为BD 的三等分点，则BM ＝________；DN ＝________.答案 12 66．在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 上的点，且DE ∥BC ，△ADE 的面积是2 cm 2，梯形DBCE 的面积为6 cm 2，则DE ∶BC 的值为________．答案 1∶2解析 △ADE ∽△ABC ，利用面积比等于相似比的平方可得答案． 7.如右图，在直角梯形ABCD 中，上底AD ＝3，下底BC ＝33，与两底垂直的腰AB ＝6，在AB 上选取一点P ，使△P AD 和△PBC 相似，这样的点P 有________个．答案 两 解析 设AP ＝x ，(1)若△ADP ∽△BPC ，则AD BP ＝AP BC ，即36－x ＝x33.所以x 2－6x ＋9＝0，解得x ＝3. (2)若△ADP ∽△BCP ，则AD BC ＝APBP . 即333＝x 6－x，解得x ＝32. 所以符合条件的点P 有两个．8．在△ABC 中，点D 在线段BC 上，∠BAC ＝∠ADC ，AC ＝8，BC ＝16，那么BD ＝________.答案 12 9.如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BD 的中点，AE 交BC 于F ，则BFFC ＝________.答案 12解析 过点E 作BC 的平行线交AC 于点M ，如右图，可知M 为DC 的中点， 故EM BC ＝12，EM FC ＝34. ∴FC BC ＝23，BF FC ＝12. 10.如图，在△ABC 和△DBE 中，AB DB ＝BC BE ＝AC DE ＝53.若△ABC 与△DBE 的周长之差为10 cm ，则△ABC 的周长为________；若△ABC 与△DBE 的面积之和为170 cm 2，则△DBE 的面积为______．答案 25 cm 45 cm 2 11.如图所示，已知直线FD 和△ABC 的BC 边交于D ，与AC 边交于E ，与BA 的延长线交于F ，且BD ＝DC ，求证：AE ·FB ＝EC ·F A .证明 过A 作AG ∥BC ，交DF 于G 点． ∴F A FB ＝AG BD .又∵BD ＝DC ，∴F A FB ＝AGDC . ∵AG ∥BC ，∴AG DC ＝AE EC ，∴AE EC ＝F AFB ，即AE ·FB ＝EC ·F A . 12.如图在▱ABCD 中，AM ⊥BC ，AN ⊥CD ，M 、N 分别为垂足． 求证：△AMN ∽△BAC .证明 ∵在▱ABCD 中∠B ＝∠D ，AD ＝BC ，AB ∥CD ， 又∠AMB ＝∠AND ＝90°，∴Rt △AMB ∽Rt △AND ，∴AM AN ＝AB AD ＝AB BC . ∵AB ∥CD ，AN ⊥CD ，∴AN ⊥AB ，∠BAM ＋∠MAN ＝∠BAM ＋∠B ＝90°. ∴∠B ＝∠MAN .∴△AMN ∽△BAC (两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似)． 13.如图，在△ABC 中，D 、F 分别在AC 、BC 上，且AB ⊥AC ，AF ⊥BC ，BD ＝DC ＝FC ＝1，求AC .解析 在△ABC 中，设AC 为x ，∵AB ⊥AC ，AF ⊥BC ，又FC ＝1，根据射影定理，得AC 2＝FC ·BC ，即BC ＝x 2.再由射影定理，得AF 2＝BF ·FC ＝(BC －FC )·FC ，即AF 2＝x 2－1. ∴AF ＝x 2－1.在△BCD 中，过D 作DE ⊥BC 于E . ∵BD ＝DC ＝1，∴BE ＝EC ＝12x 2. 又∵AF ⊥BC ，∴DE ∥AF .∴DE AF ＝DC AC ，∴DE ＝DC ·AFAC ＝x 2－1x . 在Rt △DEC 中，∵DE 2＋EC 2＝DC 2，即(x 2－1x )2＋(12x 2)2＝12，∴x 2－1x 2＋x 44＝1.整理得x 6＝4，∴x ＝32.∴AC ＝32.14．已知在△ABC 中，点D 在BC 边上，过点C 任作一直线与边AB 与AD 分别交于点F 、E .(1)如图(1)，DG ∥CF 交AB 于点G ，当D 是BC 的中点时，求证：AE ED ＝2AFFB ；(2)如图(2)，当BD DC ＝12时，求证：AE ED ＝3AF2FB .证明 (1)∵DG ∥CF ，BD ＝DC ，∴BG ＝FG ＝12BF . ∵FE ∥DG ，∴AE ED ＝AF FG .∴AE ED ＝AF 12BF ＝2AFBF .(2)过点D 作DG ∥CF 交AB 于G 点， ∴AE ED ＝AF FG .又BD DC ＝12，∴DC ＝2BD ＝23BC . ∵DG ∥FC ，∴FG BF ＝DC BC ＝23. ∴FG ＝23BF ，∴AE ED ＝AF 23BF ＝3AF2BF .15.如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，过点C作⊙O的切线，交BD的延长线于点P，交AD的延长线于点E.(1)求证：AB2＝DE·BC；(2)若BD＝9，AB＝6，BC＝9，求切线PC的长．(1)证明∵AD∥BC，∴AB＝CD，∠EDC＝∠BCD.又PC与⊙O相切，∴∠ECD＝∠DBC.∴△CDE∽△BCD.∴DCBC＝DEDC.∴DC2＝DE·BC，即AB2＝DE·BC.(2)解析由(1)知，DE＝AB2BC＝629＝4.∵AD∥BC，∴△PDE∽△PBC.∴PDPB＝DEBC＝49.又∵PB－PD＝9，∴PD＝365，PB＝815.∴PC2＝PD·PB＝365×815＝54252.∴PC＝54 5.1.已知矩形ABCD，R、P分别在边CD、BC上，E、F分别为AP、PR的中点，当P在BC上由B向C运动时，点R在CD上固定不变，设BP＝x，EF＝y，则下列结论中正确的是()A ．y 是x 的增函数B ．y 是x 的减函数C ．y 随x 的增大先增大再减小D ．无论x 怎样变化，y 为常数 答案 D解析 ∵E 、F 分别为AP 、PR 中点，∴EF 是△P AR 的中位线，∴EF ＝12AR .∵R 固定，∴AR 是常数，即y 为常数．2．在Rt △ABC 中，CD 、CE 分别是斜边AB 上的高和中线，设该图中共有x 个三角形与△ABC 相似，则x ＝________.答案 2解析 2个，△ACD 和△CBD .3．如图，正方形ABCD 中，AB ＝2，P 是BC 边上与B 、C 不重合的任意一点，DQ ⊥AP 于Q .(1)试证明△DQA ∽△ABP ；(2)当点P 在BC 上变动时，线段DQ 也随之变化，设P A ＝x ，DQ ＝y ，求y 与x 之间的函数关系式．解析 (1)∵DQ ⊥AP ，∴∠DQA ＝90°，∠DAQ ＋∠ADQ ＝90°. 又∵∠DAQ ＋∠BAP ＝90°，∴∠BAP ＝∠QDA . ∴△DQA ∽△ABP .(2)由(1)可知△DQA ∽△ABP ，∴DQ AB ＝AD AP . ∴y ＝4x . 4.如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，CE交AD于点F，∠ECA＝∠D.求证：AC·BE＝CE·AD.思路由已知条件知CD∥BE，AD∥BC，从而△CDF∽△EAF∽△EBC.待证结论AC·BE＝CE·AD.即ACAD＝CEBE，而CEBE＝FEAE，FEAE＝FCDC，于是只要证△AFC∽△ACD，这由条件∠ECA＝∠D立即可得．证明∵四边形ABCD是平行四边形，∴AF∥BC，∴CEBE＝EFEA.又∵AE∥CD，∴△AFE∽△DFC.∴EACD＝EFCF，即CFCD＝EFEA＝CEBE.又∵∠ECA＝∠D，∠CAF＝∠DAC，∴△AFC∽△ACD，∴ACAD＝CFCD.∴ACAD＝CEBE，∴AC·BE＝CE·AD.5.有一块直角三角形木板，如图所示，∠C＝90°，AB＝5 cm，BC＝3 cm，AC ＝4 cm.根据需要，要把它加工成一个面积最大的正方形木板，设计一个方案，应怎样裁才能使正方形木板面积最大，并求出这个正方形木板的边长．解析如图(1)所示，设正方形DEFG的边长为x cm，过点C作CM⊥AB于M，交DE于N.因为S△ABC ＝12AC·BC＝12AB·CM，所以AC·BC＝AB·CM，即3×4＝5·CM.所以CM＝12 5.因为DE∥AB，所以△CDE∽△CAB.所以CNCM＝DEAB，即125－x125＝x5.所以x＝60 37.如图(2)所示，设正方形CDEF的边长为y cm，因为EF∥AC，所以△BEF∽△BCA.所以BFBC＝EFAC，即3－y3＝y4，所以y＝127.因为x＝6037，y＝127＝6035，所以x<y.所以当按图(2)的方法裁剪时，正方形面积最大，其边长为127cm.。
2014高考调研理科数学课时作业讲解_课时作业45
课时作业(四十五)1．如图是2013年元宵节灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一呈现出来的图形是( )答案 A解析 该五角星对角上的两盏花灯依次按逆时针方向亮一盏，故下一个呈现出来的图形是A.2．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如下图)，试求第七个三角形数是( )A ．27B ．28C ．29D ．30答案 B解析 观察归纳可知第n 个三角形数为1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n (n ＋1)2， ∴第七个三角形数为7×(7＋1)2＝28.3．因为对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)是增函数， 而y ＝log 12x 是对数函数，所以y ＝log 12x 是增函数，上面的推理错误的是( )A ．大前提B ．小前提C ．推理形式D ．以上都是答案 A解析 y ＝log a x 是增函数这个大前提是错误的，从而导致结论错误．选A. 4．(2012·江西)观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝( )A ．28B ．76C ．123D ．199答案 C解析 记a n ＋b n ＝f (n )，则f (3)＝f (1)＋f (2)＝1＋3＝4；f (4)＝f (2)＋f (3)＝3＋4＝7；f (5)＝f (3)＋f (4)＝11.通过观察不难发现f (n )＝f (n －1)＋f (n －2)(n ∈N *，n ≥3)，则f (6)＝f (4)＋f (5)＝18；f (7)＝f (5)＋f (6)＝29；f (8)＝f (6)＋f (7)＝47；f (9)＝f (7)＋f (8)＝76；f (10)＝f (8)＋f (9)＝123.所以a 10＋b 10＝123.5．(2013·衡水调研卷)已知a n ＝(13)n ，把数列{a n }的各项排成如下的三角形：a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9……记A (s ，t )表示第s 行的第t 个数，则A (11,12)＝( )A ．(13)67B ．(13)68C ．(13)111 D ．(13)112答案 D解析 该三角形所对应元素的个数为1,3,5，…， 那么第10行的最后一个数为a 100，第11行的第12个数为a 112，即A (11,12)＝(13)112.6．设f (x )＝1＋x1－x ，又记f 1(x )＝f (x )，f k ＋1(x )＝f (f k (x ))，k ＝1，2，…，则f 2 013(x )等于( )A ．－1xB ．x C.x －1x ＋1D.1＋x 1－x答案 D解析 计算：f 2(x )＝f (1＋x1－x)＝1＋1＋x1－x 1－1＋x 1－x＝－1x ，f 3(x )＝f (－1x )＝1－1x1＋1x ＝x －1x ＋1，f 4(x )＝1＋x －1x ＋11－x －1x ＋1＝x ，f 5(x )＝f 1(x )＝1＋x 1－x ，归纳得f 4k ＋1(x )＝1＋x1－x ，k ∈N *，从而f 2 013(x )＝1＋x 1－x. 7．某纺织厂的一个车间技术工人m 名(m ∈N *)，编号分别为1,2,3，…，m ，有n 台(n ∈N *)织布机，编号分别为1,2,3，…，n ，定义记号a ij ：若第i 名工人操作了第j 号织布机，规定a ij ＝1，否则a ij ＝0，则等式a 41＋a 42＋a 43＋…＋a 4n ＝3的实际意义是( )A ．第4名工人操作了3台织布机B ．第4名工人操作了n 台织布机C ．第3名工人操作了4台织布机D ．第3名工人操作了n 台织布机 答案 A解析 a 41＋a 42＋a 43＋…＋a 4n ＝3中的第一下标4的意义是第四名工人，第二下标1,2，…，n 表示第1号织布机，第2号织布机，……，第n 号织布机，根据规定可知这名工人操作了三台织布机．8．已知x ∈(0，＋∞)，观察下列各式：x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3， x ＋27x 3＝x 3＋x 3＋x 3＋27x 3≥4，…， 类比有x ＋ax n ≥n ＋1(n ∈N *)，则a ＝ ( )A ．nB ．2nC ．n 2D ．n n答案 D解析 第一个式子是n ＝1的情况，此时a ＝1，第二个式子是n ＝2的情况，此时a ＝4，第三个式子是n ＝3的情况，此时a ＝33，归纳可以知道a ＝n n .9．给出下列命题：命题1：点(1,1)是直线y ＝x 与双曲线y ＝1x 的一个交点； 命题2：点(2,4)是直线y ＝2x 与双曲线y ＝8x 的一个交点； 命题3：点(3,9)是直线y ＝3x 与双曲线y ＝27x 的一个交点； ……请观察上面命题，猜想出命题n (n 是正整数)为________． 答案 点(n ，n 2)是直线y ＝nx 与双曲线y ＝n 3x 的一个交点解析 点(n ，n 2)是直线y ＝nx 与双曲线y ＝n 3x 的一个交点，观察题中给出的命题易知，命题n 中交点坐标为(n ，n 2)，直线方程为y ＝nx ，双曲线方程为y ＝n 3x .10．(2011·陕西理)观察下列等式1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49……照此规律，第n 个等式为________．答案 n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2解析 每行最左侧数分别为1、2、3、…，所以第n 行最左侧的数为n ；每行数的个数分别为1、3、5、…，则第n 行的个数为2n －1.所以第n 行数依次是n 、n ＋1、n ＋2、…、3n －2.其和为n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2.11．(2013·九江市联考)已知P (x 0，y 0)是抛物线y 2＝2px (p >0)上的一点，过P 点的切线方程的斜率可通过如下方式求得：在y 2＝2px 两边同时对x 求导，得：2yy ′＝2p ，则y ′＝p y ，所以过P 的切线的斜率：k ＝p y 0.试用上述方法求出双曲线x 2－y 22＝1在P (2，2)处的切线方程为________．答案 2x －y －2＝0解析 用类比的方法对y 22＝x 2－1两边同时对x 求导得，yy ′＝2x ，∴y ′＝2x 0y0＝2×22＝2.∴切线方程为y －2＝2(x －2)，∴2x －y －2＝0.12．观察下列的图形中小正方形的个数，则第6个图中有________个小正方形．答案 28解析 设第n 个图中小正方形个数为a n ，则a 1＝3，a 2＝a 1＋3＝6，a 3＝a 2＋4＝10，a 4＝a 3＋5＝15，a 5＝a 4＋6＝21，a 6＝a 5＋7＝28.答案 a m ＋n ＋b m ＋n >a m b n ＋a n b m (a ，b >0，a ≠b ，m ，n >0)再分析指数间的关系，可得准确的推广形式：a m ＋n ＋b m ＋n >a m b n ＋a n b m (a ，b >0，a ≠b ，m ，n >0)．14．半径为r 的圆的面积S (r )＝πr 2，周长C (r )＝2πr ，若将r 看做(0，＋∞)上的变量，则(πr 2)′＝2πr .①①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径R 的球，若将R 看做(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于①的式子：_______________________________________________________________；②式可用语言叙述为_____________________________________________． 答案 ①(43πR 3)′＝4πR 2②球的体积函数的导数等于球的表面积函数15．已知数列{a n }为等差数列，则有等式a 1－2a 2＋a 3＝0，a 1－3a 2＋3a 3－a 4＝0，a 1－4a 2＋6a 3－4a 4＋a 5＝0.(1)若数列{a n }为等比数列，通过类比，则有等式________．(2)通过归纳，试写出等差数列{a n }的前n ＋1项a 1，a 2，…，a n ，a n ＋1之间的关系为________．答案 (1)a 1a －22a 3＝1，a 1a －32a 33a －14＝1，a 1a －42a 63a －44a 5＝1(2)C 0n a 1－C 1n a 2＋C 2n a 3－…＋(－1)n C n n a n ＋1＝0解析 因等差数列与等比数列之间的区别是前者是加法运算，后者是乘法运算，所以类比规律是有第一级运算转化到高一级运算，从而解出第(1)问；通过观察发现，已知等式的系数与二项式系数相同，解出第(2)问．16．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，______，______，T 16T 12成等比数列．答案 T 8T 4 T 12T 8解析 对于等比数列，通过类比，在等比数列{b n }中前n 项积为T n ，则T 4＝b 1b 2b 3b 4，T 8＝b 1b 2…b 8，T 12＝b 1b 2…b 12，T 16＝b 1b 2…b 16，因此T 8T 4＝b 5b 6b 7b 8，T 12T8＝b 9b 10b 11b 12，T 16T 12＝b 13b 14b 15b 16，而T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12的公比为q 16，因此T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列．17．已知函数f (x )＝aa 2－1(a x －a －x )，其中a >0，且a ≠1. (1)判断函数f (x )在(－∞，＋∞)上的单调性，并加以证明；(2)判断f (2)－2与f (1)－1，f (3)－3与f (2)－2的大小关系，由此归纳出一个更一般的结论，并加以证明．解析 (1)由已知得f ′(x )＝a ln aa 2－1(a x ＋a－x )>0， ∴f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数． (2)f (2)－2>f (1)－1，f (3)－3>f (2)－2.一般的结论为：f (n ＋1)－(n ＋1)>f (n )－n (n ∈N *)． 证明过程如下：事实上，上述不等式等价于f (n ＋1)－f (n )>1⇔a 2n ＋1＋1a n ＋1＋an>1⇔(a n ＋1－1)(a n－1)>0，在a>0且a≠1的条件下，(a n＋1－1)(a n－1)>0显然成立，故f(n＋1)－(n＋1)>f(n)－n(n∈N*)成立．1．自然数按下列的规律排列则上起第2 007行，左起第2 008列的数为() A．2 0072B．2 0082C．2 006×2 007 D．2 007×2 008答案 D解析经观察可得这个自然数表的排列特点：①第一列的每个数都是完全平方数，并且恰好等于它所在行数的平方，即第n行的第1个数为n2；②第一行第n个数为(n－1)2＋1；③第n行从第1个数至第n个数依次递减1；④第n列从第1个数至第n个数依次递增1.故上起第2 007行，左起第2 008列的数，应是第2 008列的第2 007个数，即为[(2 008－1)2＋1]＋2 006＝2 007×2 008.2．已知y与x(x≤100)之间的部分对应关系如下表：则x、y可能满足的一个关系式为________．答案y(108－x)＝2解析将11、12、13、14、15对应的函数值分别写成297、296、295、294、293，观察可得以上函数值的分母依次成等差数列，设所成的等差数列为{a n}，易知分母a n＝a11＋(n－11)·(－1)＝97－n＋11＝108－n，因此y＝2 108－x，即y(108－x)＝2.3.如图，将平面直角坐标系中的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签：原点处标0，点(1,0)处标1，点(1，－1)处标2，点(0，－1)处标3，点(－1，－1)处标4，点(－1,0)处标5，点(－1,1)处标6，点(0,1)处标7，依此类推，则标签2 0132的格点的坐标为________．答案(1 007,1 006)解析∵点(1,0)处标1＝12，点(2,1)处标9＝32点(3,2)处标25＝52，点(4,3)处标49＝72，依此类推得(1 007,1 006)处标2 0132.4．对于大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23＝⎩⎨⎧35，33＝⎩⎨⎧7911，43＝⎩⎪⎨⎪⎧13151719，……仿此，若m3的“分裂数”中有一个数是59，则m的值为________．答案8解析依题意得这些数的立方中的分解数依次是3,5,7,9，…，且相应的加数的个数与对应的底数相同，易知从2开始的前n个正整数的立方共用去数列{2n－1}中的项数是n(n＋1)2－1，数列{2n－1}(n∈N)*中的第n(n＋1)2项是n(n＋1)－1.注意到7×8－1<59<8×9－1，因此m＝8.5．已知任意一个正整数的三次幂均可表示成一些连续奇数的和，如图所示，33可表示为7＋9＋11，我们把7、9、11叫做33的“数因子”，若n3的一个“数因子”为2 013，则n＝________.13＝123＝3＋533＝7＋9＋1143＝13＋15＋17＋19……答案45解析由图可知，n3可表示为n个连续奇数的和，而所有正整数的“数因子”都是按照从小到大的顺序排列的，所以前n个正整数的三次幂的“数因子”共有1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)2个，因为2 013＝2×1 006＋1，故2 013是第1 007个奇数．而44×452＝990<1 007，45×462＝1 035>1 007，所以443的最大“数因子”是第990个奇数，453的最大“数因子”是第1 035个奇数，故第1 007个奇数2 013应是453的一个“数因子”．6．已知扇形的圆心角为2α(定值)，半径为R(定值)，分别按图1、图2作扇形的内接矩形，若按图1作出的矩形的面积的最大值为12R2tan α，则按图2作出的矩形的面积的最大值为________．答案 R 2tan α2解析将图1沿水平边翻折作出如图所示的图形，内接矩形的最大面积S ＝2·12R 2·tan α＝R 2·tan α，所以图2中内接矩形的面积的最大值为R 2tan α2. 7．(2013·哈师大附中)Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，作AD ⊥BC ，D 为垂足，BD 为AB 在BC 上的射影，CD 为AC 在BC 上的射影，则有AB 2＋AC 2＝BC 2，AC 2＝CD ·BC 成立．直角四面体P -ABC (即P A ⊥PB 、PB ⊥PC ，PC ⊥P A )中，O 为P 在△ABC 内的射影，△P AB 、△PBC 、△PCA 的面积分别记为S 1、S 2、S 3，△OAB 、△OBC 、△OCA 的面积分别记为S ′1，S ′2、S ′3，△ABC 的面积记为S .类比直角三角形中的射影结论，在直角四面体P -ABC 中可得到正确结论________．(写出一个正确结论即可)答案 S 21＝S 1′S (或S 2＝S 21＋S 22＋S 23)解析 空间问题与平面问题的类比，通常可抓住几何要素的如下对应关系作对比：多面体↔多边形；面↔边；体积↔面积；二面角↔平面角；面积↔线段长，……由此，可类比得S 21＝S ′1S (或S 2＝S 21＋S 22＋S 23)．8．观察下列等式：12＝1，12－22＝－3，12－22＋32＝6，12－22＋32－42＝－10，…，由以上等式推测到一个一般的结论：对于n ∈N *，12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝________.答案 (－1)n ＋1n 2＋n 2解析 注意到第n 个等式的左边有n 项，右边的结果的绝对值恰好等于左边的各项的所有底数的和，即右边的结果的绝对值等于1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2＝n 2＋n 2，注意到右边的结果的符号的规律是：当n 为奇数时，符号为正；当n为偶数时，符号为负，因此所填的结果是(－1)n ＋1n 2＋n 2.9．设数列{a n }是以d 为公差的等差数列，数列{b n }是以q 为公比的等比数列．将数列{a n }的相关量或关系式输入“LHQ 型类比器”左端的入口处，经过“LHQ 型类比器”后从右端的出口处输出数列{b n }的相关量或关系式，则在右侧的“？”处应该是________．答案 B n ＝b 1×(q )n －1解析 注意类比的对应关系：＋→×，÷→开方，×→乘方，0→1，所以B n ＝b 1×(q )n －1.10．对大于或等于2的正整数的幂运算有如下分解方式：22＝1＋3,32＝1＋3＋5,42＝1＋3＋5＋7，…；23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19，….根据上述分解规律，若m 2＝1＋3＋5＋…＋11，p 3的分解中最小的正整数是21，则m ＋p ＝________.答案 11解析 由22＝1＋3,32＝1＋3＋5,42＝1＋3＋5＋7，…，可知n 2＝1＋3＋5＋…＋(2n－1)．由m2＝1＋3＋5＋…＋11，可知m＝6，易知53＝21＋23＋25＋27＋29，则21是53的分解中最小的正整数，可得p＝5.故m＋p＝11.。
2014高考调研理科数学课时作业讲解_课时作业27
课时作业(二十七)1．(2013·北京西城期末)已知△ABC中，a＝1，b＝2，B＝45°，则A等于() A．150°B．90°C．60°D．30°答案 D解析由正弦定理，得1sin A＝2sin45°，得sin A＝12.又a<b，∴A<B＝45°.∴A＝30°，故选D.2．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A＝π3，a＝3，b＝1，则c等于() A．1 B．2C.3－1D. 3答案 B解析由正弦定理asin A＝bsin B，可得3sinπ3＝1sin B.∴sin B＝12，故∠B＝30°或150°.由a>b，得∠A>∠B，∴∠B＝30°.故∠C＝90°，由勾股定理得c＝2.3．在△ABC中，a2＝b2＋c2＋bc，则∠A＝() A．60°B．45°C．120°D．30°答案 C解析cos A＝b2＋c2－a22bc＝－bc2bc＝－12，∴∠A＝120°.4．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cos B＝()A．－223 B.223C．－63 D.63答案 D解析根据正弦定理asin A＝bsin B，可得15sin60°＝10sin B，解得sin B＝33，又因为b<a，则B<A，故B为锐角，所以cos B＝1－sin2B＝63，故D正确．5．(2012·天津理)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cos C＝()A.725B．－725C．±725 D.24 25答案 A解析因为8b＝5c，则由C＝2B，得sin C＝sin2B＝2sin B cos B，由正弦定理，得cos B＝sin C2sin B＝c2b＝45，所以cos C＝cos2B＝2cos2B－1＝2×(45)2－1＝725，故选A.6．(2012·湖南文)在△ABC中，AC＝7，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于()A.32 B.332C.3＋62 D.3＋394答案 B解析由余弦定理，得(7)2＝22＋AB2－2×2AB cos60°，即AB2－2AB－3＝0，得AB＝3，故BC边上的高是AB sin60°＝332.选B.7．(2012·陕西理)在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若a2＋b2＝2c2，则cos C的最小值为()A.32 B.22C.12D．－12答案 C解析 由余弦定理，得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，又c 2＝12(a 2＋b 2)，得2ab cos C＝12(a 2＋b 2)，即cos C ＝a 2＋b 24ab ≥2ab 4ab ＝12.所以选C.8．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若a 、b 、c 成等比数列，且c ＝2a ，则cos B 等于( )A.14B.34C.24D.23答案 B解析 ∵a 、b 、c 成等比数列，∴b 2＝ac . ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34.9．在△ABC 中，cos2B >cos2A 是a >b 的 ( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 由cos2B >cos2A ，得sin 2A >sin 2B . ∵sin A >0，sin B >0，∴sin A >sin B . ∴a 2R >b2R ，∴a >b . 又上述过程可逆，故选C.10．在△ABC 中，三内角A 、B 、C 分别对三边a 、b 、c ，tan C ＝43，c ＝8，则△ABC 外接圆半径R 为( )A ．10B ．8C ．6D ．5答案 D解析 本题考查解三角形．由题可知应用正弦定理， 由tan C ＝43，得sin C ＝45.则2R ＝c sin C ＝845＝10，故外接圆半径为5.11．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积为( ) A.32 B.34 C.32或 3 D.34或32答案 D解析 如图，由正弦定理，得 sin C ＝c ·sin B b ＝32，而c >b ， ∴C ＝60°或C ＝120°. ∴A ＝90°或A ＝30°. ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝32或34.12．在△ABC 中，若(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab 且sin C ＝2sin A cos B ，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形，但不是等边三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形，但不是等腰三角形 答案 A解析 ∵(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ， 即a 2＋b 2－c 2＝ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴C ＝60°. 又sin C ＝2sin A cos B ，由sin C ＝2sin A ·cos B ，得c ＝2a ·a 2＋c 2－b 22ac .∴a2＝b2，∴a＝b.∴△ABC为等边三角形．13．(2011·北京)在△ABC中，若b＝5，∠B＝π4，tan A＝2，则sin A＝________，a＝________.答案255210解析因为△ABC中，tan A＝2，所以A是锐角，且sin Acos A＝2，sin2A＋cos2A＝1，联立解得sin A＝255，再由正弦定理，得asin A＝bsin B，代入数据解得a＝210.14．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝3bc，sin C＝23sin B，则角A的大小为________．答案π6解析因为sin C＝23sin B，所以c＝23b.于是cos A＝b2＋c2－a22bc＝c2－3bc2bc＝32.又A是三角形的内角，所以A＝π6.15．对于△ABC，有如下命题：①若sin2A＝sin2B，则△ABC为等腰三角形；②若sin A＝cos B，则△ABC为直角三角形；③若sin2A＋sin2B＋cos2C<1，则△ABC 为钝角三角形．其中正确命题的序号是________．(把你认为所有正确的都填上) 答案③解析①sin2A＝sin2B，∴A＝B⇒△ABC是等腰三角形，或2A＋2B＝π⇒A＋B＝π2，即△ABC是直角三角形．故①不对．②sin A＝cos B，∴A－B＝π2或A＋B＝π2.∴△ABC不一定是直角三角形．③sin2A＋sin2B<1－cos2C＝sin2C，∴a2＋b2<c2.∴△ABC为钝角三角形．16．(2012·福建理)已知△ABC的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为________．答案－2 4解析依题意得，△ABC的三边长分别为a，2a,2a(a>0)，则最大边2a所对的角的余弦值为a2＋(2a)2－(2a)22a·2a＝－24.17．(2012·北京理)在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cos B＝－14，则b＝________.答案 4解析由余弦定理，得b2＝4＋(7－b)2－2×2×(7－b)×(－14)，解得b＝4.18．已知△ABC中，∠B＝45°，AC＝10，cos C＝25 5.(1)求BC边的长；(2)记AB的中点为D，求中线CD的长．答案(1)32(2)13解析(1)由cos C＝255，得sin C＝55.sin A＝sin(180°－45°－C)＝22(cos C＋sin C)＝31010.由正弦定理知BC＝ACsin B·sin A＝1022·31010＝3 2.(2)AB＝ACsin B·sin C＝1022·55＝2.BD＝12AB＝1.由余弦定理知CD＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos B＝1＋18－2·1·32·22＝13.讲评 解斜三角形的关键在于灵活地运用正弦定理和余弦定理，熟练掌握用正弦定理和余弦定理解决问题，要注意由正弦定理a sin A ＝bsin B 求B 时，应对解的个数进行讨论；已知a ，b ，A ，求c 时，除用正弦定理a sin A ＝csin C 外，也可用余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2ab cos A 求解．19．(2012·安徽文)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且有2sin B cos A ＝sin A cos C ＋cos A sin C .(1)求角A 的大小；(2)若b ＝2，c ＝1，D 为BC 的中点，求AD 的长．解析 (1)方法一 由题设知，2sin B cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B ， 因为sin B ≠0，所以cos A ＝12. 由于0<A <π，故A ＝π3.方法二 由题设可知，2b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc ，于是b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.由于0<A <π，故A ＝π3.(2)方法一 因为AD →2＝(AB →＋AC →2)2＝14(AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →)＝14(1＋4＋2×1×2×cos π3)＝74，所以|AD→|＝72，从而AD ＝72. 方法二 因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋1－2×2×1×12＝3， 所以a 2＋c 2＝b 2，B ＝π2.因为BD ＝32，AB ＝1，所以AD ＝1＋34＝72.20．(2012·浙江理)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A ＝23，sin B ＝5cos C .(1)求tan C 的值；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积． 解析 (1)因为0<A <π，cos A ＝23，得 sin A ＝1－cos 2A ＝53. 又5cos C ＝sin B ＝sin(A ＋C ) ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝53cos C ＋23sin C ， 所以tan C ＝ 5.(2)由tan C ＝5，得sin C ＝56，cos C ＝16. 于是sin B ＝5cos C ＝56. 由a ＝2及正弦定理a sin A ＝c sin C，得c ＝ 3. 设△ABC 的面积为S ，则S ＝12ac sin B ＝52.1．(2011·安徽理)已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积为________．答案 15 3解析 不妨设角A ＝120°，c <b ，则a ＝b ＋4，c ＝b －4，于是cos120°＝b 2＋(b －4)2－(b ＋4)22b (b －4)＝－12，解得b ＝10，所以S ＝12bc sin120°＝15 3.2．(2012·陕西文)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若a ＝2，B ＝π6，c ＝23，则b ＝________.答案 2解析 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝4＋12－2×2×23×32＝4，解得b ＝2.3．(2012·大纲全国)△ABC 中B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 最大值________． 答案 27解析 ∵2R ＝3sin60°＝332＝2，∴AB ＝2sin C ，BC ＝2sin A .∴AB ＋2BC ＝2sin C ＋4sin A ＝2sin C ＋4sin(2π3－C ) ＝27sin(C ＋φ)． ∴最大值为27.4．(2012·浙江文)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值．解析 (1)由b sin A ＝3a cos B 及正弦定理a sin A ＝bsin B ，得 sin B ＝3cos B ，所以tan B ＝3，所以B ＝π3. (2)由sin C ＝2sin A 及a sin A ＝csin C ，得c ＝2a .由b ＝3及余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得9＝a 2＋c 2－ac . 所以a ＝3，c ＝2 3.5．(2012·天津文)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知a ＝2，c ＝2，cos A ＝－24.(1)求sin C 和b 的值； (2)求cos(2A ＋π3)的值．解析 (1)在△ABC 中，由cos A ＝－24，可得sin A ＝144.又由asin A＝csin C及a＝2，c＝2，可得sin C＝74.由a2＝b2＋c2－2bc cos A，得b2＋b－2＝0. 因为b>0，故解得b＝1.所以sin C＝74，b＝1.(2)由cos A＝－24，sin A＝144，得cos2A＝2cos2A－1＝－34，sin2A＝2sin A cos A＝－7 4.所以cos(2A＋π3)＝cos2A cosπ3－sin2A sinπ3＝－3＋218.6. (2011·江苏)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.(1)若sin(A＋π6)＝2cos A，求A的值；(2)若cos A＝13，b＝3c，求sin C的值．答案(1)π3(2)13解析(1)由题设知sin A cos π6＋cos A sinπ6＝2cos A.从而sin A＝3cos A，所以cos A≠0，tanA＝ 3.因为0<A<π，所以A＝π3.(2)由cos A＝13，b＝3c及a2＝b2＋c2－2bc cos A，得a2＝b2－c2.故△ABC是直角三角形，且B＝π2.所以sin C＝cos A＝13.7．△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2＋c2－a2＋bc＝0.(1)求角A的大小；(2)若a＝3，求S△ABC的最大值；(3)求a sin(30°－C)b－c的值．分析(1)由b2＋c2－a2＋bc＝0的结构形式，可联想余弦定理，求出cos A，从而求出A的值．(2)由a＝3及b2＋c2－a2＋bc＝0，可求出关于b，c的关系式，利用不等式，即可求出bc的最大值，进而求出S△ABC的最大值．(3)由正弦定理可实现将边化为角的功能，从而达到化简求值的目的．答案(1)120°(2)34(3)12解析(1)∵cos A＝b2＋c2－a22bc＝－bc2bc＝－12，∴A＝120°.(2)由a＝3，得b2＋c2＝3－bc.又∵b2＋c2≥2bc(当且仅当c＝b时取等号)，∴3－bc≥2bc(当且仅当c＝b时取等号)．即当且仅当c＝b＝1时，bc取得最大值为1.∴S△ABC ＝12bc sin A≤34.∴S△ABC 的最大值为34.(3)由正弦定理，得asin A＝bsin B＝csin C＝2R.∴a sin(30°－C)b－c＝2R sin A sin(30°－C)2R sin B－2R sin C＝sin A sin(30°－C) sin B－sin C＝32⎝⎛⎭⎪⎫12cos C－32sin Csin(60°－C)－sin C＝34cos C－34sin C32cos C－32sin C＝12.8．(2011·山东理)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cos A－2cos Ccos B＝2c－a b.(1)求sin Csin A的值；(2)若cos B＝14，b＝2，求△ABC的面积S.答案(1)2(2)15 4解析 (1)由正弦定理，设a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝k ，则2c －a b ＝2k sin C －k sin A k sin B ＝2sin C －sin A sin B. 所以cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin A sin B. 即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B ，化简可得sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )．又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝2sin A .因此sin C sin A ＝2.(2)由sin C sin A ＝2，得c ＝2a .由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 及cos B ＝14，b ＝2，得4＝a 2＋4a 2－4a 2×14，解得a ＝1，从而c ＝2.又因为cos B ＝14，且0<B <π，所以sin B ＝154.因此S ＝12ac sin B ＝12×1×2×154＝154.9．在△ABC 中，已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，向量m ＝(2sin B ，－3)，n ＝(cos2B,2cos 2B 2－1)，且m ∥n .(1)求锐角B 的大小；(2)如果b ＝2，求△ABC 的面积S △ABC 的最大值．答案 (1)π3 (2) 3解析 (1)m ∥n ⇒2sin B (2cos 2B 2－1)＝－3cos2B ⇒2sin B cos B ＝－3cos2B ⇒tan2B ＝－ 3.∵0<2B <π，∴2B ＝2π3，∴B ＝π3.(2)已知b ＝2，由余弦定理，得4＝a 2＋c 2－ac ≥2ac －ac ＝ac (当且仅当a ＝c ＝2时等号成立)．∵△ABC 的面积S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ≤3，∴△ABC 的面积S △ABC 的最大值为 3.10．已知函数f (x )＝32sin2x －cos 2x －12，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小值和最小正周期；(2)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且c ＝3，f (C )＝0，若向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线，求a ，b 的值．解析 (1)∵f (x )＝32sin2x －1＋cos2x 2－12＝sin(2x －π6)－1，∴函数f (x )的最小值是－2，最小正周期是T ＝2π2＝π.(2)由题意得f (C )＝sin(2C －π6)－1＝0，则sin(2C －π6)＝1.∵0<C <π，∴0<2C <2π，∴－π6<2C －π6<116π.∴2C －π6＝π2，∴C ＝π3.∵向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线， ∴12＝sin A sin B . 由正弦定理，得a b ＝12.①由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3，即3＝a 2＋b 2－ab .② 由①②，解得a ＝1，b ＝2.11．(2011·大纲全国文)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin B .(1)求B ；(2)若A ＝75°，b ＝2，求a ，c .解析 (1)由正弦定理，得a 2＋c 2－2ac ＝b 2.由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B .故cos B ＝22，因此B ＝45°.(2)sin A＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝2＋6 4.故a＝b×sin Asin B＝2＋62＝1＋3，c＝b×sin Csin B＝2×sin 60°sin 45°＝ 6.12．(2011·辽宁文)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a sin A sin B＋b cos2A＝2a.(1)求b a；(2)若c2＝b2＋3a2，求B.解析(1)由正弦定理，得sin2A sin B＋sin B cos2A＝2sin A．即sin B(sin2A ＋cos2A)＝2sin A.故sin B＝2sin A，所以ba＝ 2.(2)由余弦定理和c2＝b2＋3a2，得cos B＝(1＋3)a2c.由(1)知b2＝2a2，故c2＝(2＋3)a2.可得cos2B＝12，又cos B>0，故cos B＝22，所以B＝45°.13．(2011·江西文)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知3a cos A＝c cos B＋b cos C.(1)求cos A的值；(2)若a＝1，cos B＋cos C＝233，求边c的值．解析(1)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B，c2＝a2＋b2－2ab cos C，有c cos B＋b cos C＝a，代入已知条件得3a cos A＝a，即cos A＝1 3.(2)由cos A＝13，得sin A＝223.则cos B＝－cos(A＋C)＝－13cos C＋223sin C.代入cos B＋cos C＝233，得cos C＋2sin C＝ 3.从而得sin(C＋φ)＝1.其中sinφ＝33，cosφ＝63，0<φ<π2，则C＋φ＝π2.于是sin C＝63，由正弦定理，得c＝a sin Csin A＝32.。
2014高考调研理科数学课时作业讲解_课时作业73
课时作业(七十三)1．由0,1,2,3,4这五个数字组成的无重复数字的四位偶数，按从小到大的顺序排成一个数列{a n}，则a19＝() A．2 014B．2 023C．1 432 D．1 430答案 A2．(2013·衡水调研卷)现有4名同学去听同时进行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是() A．81 B．64C．48 D．24答案 A解析每个同学都有3种选择，所以不同选法共有34＝81(种)，故选A.3. 某单位要邀请10位教师中的6位参加一个会议，其中甲、乙两位教师不能同时参加，则邀请的不同方法有() A．84种B．98种C．112种D．140种答案 D解析由题意分析不同的邀请方法有：C12C58＋C68＝112＋28＝140(种)．4．新学期开始，某校接受6名师大毕业生到校学习．学校要把他们分配到三个年级，每个年级2人，其中甲必须在高一年级，乙和丙均不能在高三年级，则不同的安排种数为() A．18 B．15C．12 D．9答案 D解析先安排高三年级，从除甲、乙、丙的3人中选2人，有C23种选法；再安排高一年级，有C13种方法，最后安排高二年级，有C22种方法，由分步乘法计数原理，得共有C23C13C22＝9种安排方法．5．(2013·海淀区)某校在高二年级开设选修课，其中数学选修课开三个班，选课结束后，有4名同学要求改修数学，但每班至多可再接收2名同学，那么不同的分配方案有() A．72种B．54种C．36种D．18种答案 B解析依题意，就要求改修数学的4名同学实际到三个班的具体人数分类计数：第一类，其中一个班接收2名、另两个班各接收1名，分配方案共有C13·C24·A22＝36(种)；第二类，其中一个班不接收、另两个班各接收2名，分配方案共有C13·C24＝18(种)．因此，满足题意的不同的分配方案有36＋18＝54(种)，选B.6．一生产过程有4道工序，每道工序都需要安排一人照看，现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两名工人中安排一人，第四道工序只能从甲、丙两名工人中安排一人，则不同的安排方案有() A．24种B．36种C．48种D．72种答案 B解析若第一道工序安排甲，则第四道工序只能安排丙，其余两道工序有A24＝12(种)安排方案；若第一道工序安排乙，则第四道工序可以安排甲或丙，其余两道工序有A24＝12(种)安排方案，所以有2A24＝24(种)安排方案．故共有12＋24＝36(种)安排方案．7．在航天员进行的一项太空实验中，先后要实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有() A．24种B．48种C．96种D．144种答案 C解析当A出现在第一步时，再排A，B，C以外的三个程序，有A33种，A 与A，B，C以外的三个程序生成4个可以排列程序B、C的空档，此时共有A33A14 A22种排法；当A出现在最后一步时的排法与此相同，故共有2A33A14A22＝96种编排方法．8．记集合A＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{m|m＝a110＋a2102＋a3103，a1，a2，a3∈A}，将M中的元素按从小到大的顺序排列，则第70个元素是() A．0.264 B．0.265C．0.431 D．0.432答案 A解析先求由1,2,3,4,5,6中的数字组成的三位数，按照从小到大的顺序排列，首位排1的数有A26＋A16＝36个，首位排2的数也有36个，因此第70个数应该是首位排2，从小到大排列的倒数第3个数．首位排2的数的最大值是266，倒数第2个数是265，倒数第3个数是264.所以第70个元素是0.264.9．(2012·山东)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为() A．232 B．252C．472 D．484答案 C解析若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张，若都不同色，则有C14C14C14＝64种，若2张同色，则有C23×C12×C24×C14＝144种；若红色卡片有1张，剩余2张不同色，则有C14×C23×C14×C14＝192种，剩余2张同色，则有C14×C13×C24＝72种，所以共有64＋144＋192＋72＝472种不同的取法．故选C.10．身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法种数共有() A．24 B．28C．36 D．48答案 D解析分类计数原理，按红红之间有蓝无蓝两类来分．(1)当红红之间有蓝时，则有A22A24＝24种；(2)当红红之间无蓝时，则有C12A22C12C13＝24种．因此，这五个人排成一行，穿相同颜色衣服的人不能相邻，则有48种排法．故选D.11．某校开设9门课程供学生选修，其中A、B、C三门由于上课时间相同，至多选一门．学校规定，每位同学选修4门，共有________种不同的选修方案(用数值作答)．答案75解析第一类若从A、B、C三门选一门有C13·C36＝60种，第二类若从其它六门选4门有C46＝15种．∴共有60＋15＝75种不同的方法．12．(2013·西城区一模)某展室有9个展台，现有3件展品需要展出，要求每件展品独自占用1个展台，并且3件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，则不同的展出方法有________种；若进一步要求3件展品所选用的展台之间间隔不超过2个展台，则不同的展出方法有________种．答案6048解析依题意得，某展室有9个展台，现有3件展品需要展出，要求每件展品独自占用1个展台，并且3件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，则不同的展出方法有A35＝60种(注：从六个空展台所形成的五个间隔中任选三个间隔将3件展品进行排列即可)；其中3件展品所选用的展台之间间隔超过两个展位的展出方法有2A33＝12种，因此要求3件展品所选用的展台之间间隔不超过两个展位的不同的展出方法有60－12＝48种．13．甲、乙、丙3 人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是________(用数字作答)．答案336解析若没有一级台阶站了2个人，则共有A37＝7×6×5＝210种；若有一级台阶站了2个人，则共有C13·A27＝7×6×3＝126种．共有210＋126＝336种．14．有编号分别为1、2、3、4的四个盒子和四个不同的小球，把小球全部放入盒子．问：(1)共有多少种放法？(2)恰有一个空盒，有多少种放法？(3)恰有2个盒子内不放球，有多少种放法？解析(1)1号小球可放入任意一个盒子内，有4种放法．同理，2、3、4号小球也各有4种放法，故共有44＝256种放法．(2)恰有一个空盒，则这4个盒子中只有3个盒子内有小球，且小球数只能是1、1、2.先从4个小球中任选2个放在一起，有C24种方法，然后与其余2个小球看成三组，分别放入4个盒子中的3个盒子中，有A34种放法．由分步计数原理，知共有C24A34＝144种不同的放法．(3)恰有2个盒子内不放球，也就是把4个小球只放入2个盒子内，有两类放法：①一个盒子内放1个球，另一个盒子内放3个球，先把小球分为两组，一组1个，另一组3个，有C14种分法，再放到2个盒子内，有A24种放法，共有C14A24种方法；②2个盒子内各放2个小球，先从4个盒子中选出2个盒子．有C24种选法，然后把4个小球平均分成2组，每组2个，放入2个盒子内，也有C24种选法，共有C24C24种方法．由分类计数原理知共有C14A24＋C24C24＝84种不同的放法．15．把1,2,3,4,5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按由小到大的顺序排列成一个数列．(1)43 251是这个数列的第几项？(2)这个数列的第96项是多少？答案(1)88项(2)45 321解析(1)若首位是1,2,3之一，有C13·A44个；若首位是4，第二位为1或2，有C12·A33个；若首位是4，第二位是3，第三位是1，有A22个；若首位是4，第二位是3，第三位是2，有1个．∴43 251的前面共有C13A44＋C12A33＋A22＋1＝87个，故43 251是第88项．(2)由(1)知43 251为第88项．首位为4，第二位为3，第三位为5，有A22＝2个．首位为4，第二位是5，有A33＝6个．因此，第96项是45 321.1．对于各数互不相等的正数数组(i1，i2，…，i n)(n是不小于2的正整数)，如果p<q时有i p<i q，那么称“i p与i q”是该数组的一个“顺序”，一个数组中所有“顺序”的个数称为此数组的“顺序数”．例如，数组(2,4,3,1)中有顺序“2,4”，“2,3”，其“顺序数”等于2.若各数互不相等的正数数组(a1，a2，…，a2 011)的“顺序数”是2 011，则正数数组(a2 011，a2 010，…，a2，a1)的“顺序数”是() A．2 010 B．2 011C．2 019 044 D．2 021 055答案 C解析在正数数组(a1，a2，…，a2 011)中，我们把p<q时i p<i q记为“顺序数”，将p<q时i p>i q记为“逆序数”，则“序数”＝“顺序数”＋“逆序数”，由于各数不相等，故2个数之间必产生1个“序数”，于是正数数组(a1，a2，…，a2011)的“序数”为C22 011＝2 011×2 0102＝1 005×2 011，又正数数组(a1，a2，…，a2 011)的“顺序数”是2 011，故其“逆序数”为1 005×2 011－2 011＝1 004×2 011＝2 019 044，即正数数组(a2 011，a2 010，…，a2，a1)的“顺序数”是2 019 044.2．A、B、C、D、E五人站成一排，如果B必须站在A的右边(A、B可以不相邻)，那么不同的站法有() A．24种B．60种C．90种D．120种答案 B解析利用对称关系(注意到A在B左边与A在B右边的排列情形是对称相同的)，故有A552＝60种，选B.3．5个人站成一排，若甲乙两人之间恰有1人，则不同站法有() A．18种B．24种C．36种D．48种答案 C解析甲乙两人的顺序A22，甲乙两人间的1人是C13，∴N＝A22C13A33＝36(种)．4．设a1，a2，…，a n是1,2，…，n的一个排列，把排在a i的左边且比a i 小的数的个数称为a i的顺序数(i＝1,2，…，n)．如：在排列6,4,5,3,2,1中，5的顺序数为1,3的顺序数为0.则在1至8这八个数字构成的全排列中，同时满足8的顺序数为2,7的顺序数为3,5的顺序数为3的不同排列的种数为() A．48 B．96C．144 D．192答案 C解析依题意，8排在第三位，7排在第五位，5排第六或第七位，当5排在第六位时，6排在后两位，排法种数为C12A44＝48种，当5排在第七位时，6排在5前面，排法种数为C14A44＝96，故不同排列的种数为48＋96＝144，故选C.5．7个人排成一排，甲不在排头，乙不在排尾的排法有________种？答案 3 720解析方法一A16A16A55－5A55＝3 720种排法．方法二A25A55＋2A56－A55＝3 720种排法．方法三A772A56＋A55＝3 720种．6．若m、n均为非负整数，在做m＋n的加法时各位均不进位(例如：134＋3 802＝3 936)，则称(m，n)为“简单的”有序对，而m＋n称为有序对(m，n)的值，那么值为1 942的“简单的”有序对的个数是多少．答案300解析1＝1＋0，或1＝0＋1，共2种组合方式；9＝0＋9，或9＝1＋8，或9＝2＋7，或9＝3＋6，…，9＝9＋0，共10种组合方式；同理4有5种组合方式，2有3种组合方式，所以值为1 942的“简单的”有序对的个数为2×10×5×3＝300.。
2014高考调研理科数学课时作业讲解_课时作业29
课时作业(二十九)1．若a ＋b ＋c ＝0，则a 、b 、c( )A ．都是非零向量时也可能无法构成一个三角形B ．一定不可能构成三角形C ．都是非零向量时能构成三角形D ．一定可构成三角形 答案 A解析 易知A 正确．2．设a 是任一向量，e 是单位向量，且a ∥e ，则下列表示形式中正确的是( ) A ．e ＝a|a | B ．a ＝|a |e C ．a ＝－|a |e D ．a ＝±|a |e答案 D解析 对于A ，当a ＝0时，a|a |没有意义，错误； 对于B 、C 、D 当a ＝0时，选项B 、C 、D 都对； 当a ≠0时，由a ∥e 可知，a 与e 同向或反向，选D. 3．若A 、B 、C 、D 是平面内任意四点，给出下列式子：①AB →＋CD →＝BC →＋DA →；②AC →＋BD →＝BC →＋AD →；③AC →－BD →＝DC →＋AB →.其中正确的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个答案 C解析 ②AC →－BC →＝AD →－BD →⇒AC →＋CB →＝AB →＝AD →＋DB →，正确； ③AC →－AB →＝BD →＋DC →⇒BC →＝BC →.正确． 故C 选项正确．4．设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP →，则 ( )A.P A →＋PB →＝0B.PC →＋P A →＝0C.PB →＋PC →＝0 D.P A →＋PB →＋PC →＝0答案 B解析 画图可知B 正确．5．已知O 、A 、B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，则OC →＝( )A ．2OA →－OB → B ．－OA →＋2OB → C.23OA →－13OB → D ．－13OA →＋23OB →答案 A解析 AC →＝OC →－OA →，CB →＝OB →－OC →. ∵2AC →＋CB →＝0，∴2OC →－2OA →＋OB →－OC →＝0. ∴OC →＝2OA →－OB →.故A 正确．6．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ等于( )A.23B.13 C ．－13 D ．－23答案 A解析 ∵AD →＝CD →－CA →，DB →＝CB →－CD →，AD →＝2DB →， ∴CD →－CA →＝2CB →－2CD →，CD →＝13CA →＋23CB →. ∴λ＝23，故A 正确．7．如图所示，已知AP →＝43AB →，用OA →、OB →表示OP →，则OP →等于( )A ．－13OA →＋43OB → B.13OA →＋43OB → C.13OA →－43OB → D ．－13OA →－43OB →答案 A解析 OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋43AB →＝OA →＋43(OB →－OA →)＝－13OA →＋43OB →. 8．在△ABC 中，点P 是AB 上一点，且CP →＝23CA →＋13CB →，Q 是BC 的中点，AQ 与CP 的交点为M ，又CM →＝tCP →，则t ＝( )A.12B.23C.34D.45答案 C解析 ∵CP →＝23CA →＋13CB →，Q 为BC 中点，∴CB →＝2CQ →.∴CM →＝tCP →＝23tCA →＋13tCB →＝23tCQ →＋23tCA →.∵A 、M 、Q 三点共线，∴23t ＋23t ＝1，∴t ＝34.故C 正确．9．设a 、b 为不共线的非零向量，AB →＝2a ＋3b ，BC →＝－8a －2b ，CD →＝－6a －4b ，那么( )A.AD →与BC →同向，且|AD →|>|BC →|B.AD →与BC →同向，且|AD →|<|BC →|C.AD →与BC →反向，且|AD →|>|BC →|D.AD →∥BD → 答案 A解析 AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝2a ＋3b ＋(－8a －2b )＋(－6a －4b )＝－12a －3b ，BC →＝－8a －2b ，∴AD →＝32BC →.∴AD →与BC →同向，且|AD →|＝32|BC →|. ∴|AD →|>|BC →|.故选A.10．已知P ，A ，B ，C 是平面内四点，且P A →＋PB →＋PC →＝AC →，那么一定有( ) A.PB →＝2CP → B.CP →＝2PB → C.AP →＝2PB → D.PB →＝2AP → 答案 D解析 由题意得P A →＋PB →＋PC →＝PC →－P A →，即PB →＝－2P A →＝2AP →，选D. 11．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形状是( )A ．矩形B ．平行四边形C ．梯形D ．以上都不对答案 C解析 由已知AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC →.∴AD →∥BC →，又AB →与CD →不平行，∴四边形ABCD 是梯形．12．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C )的充要条件是AP →＝λ(AB →＋AD →)，则λ的取值范围是( )A ．λ∈(0,1)B ．λ∈(－1,0)C ．λ∈(0，22) D ．λ∈(－22，0)答案 A解析 如图，∵点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C )， ∴AP →＝λAC →＝λ(AB →＋AD →)，由AP →与AC →同向知，λ>0. 又|AP →|<|AC →|，∴|AP →||AC →|＝λ<1，∴λ∈(0,1)．反之亦然． 13．已知O 为△ABC 内一点，且OA →＋OC →＋2OB →＝0，则△AOC 与△ABC 的面积之比是________．答案 1 2 解析如图，取AC 中点D . ∴OA →＋OC →＝2OD →. ∴OD →＝BO →.∴O 为BD 中点，∴面积比为高之比．14．已知a ，b 是不共线的向量，若AB →＝λ1a ＋b ，AC →＝a ＋λ2b (λ1，λ2∈R )，则A 、B 、C 三点共线的充要条件为________．答案 λ1λ2－1＝0解析 A 、B 、C 三点共线⇔AB →∥AC →⇔λ1λ2－1×1＝0⇔λ1λ2＝1.15．已知△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD →＝2DB →，CD →＝rAB →＋sAC →，则r ＋s 的值是________．答案 0 解析CD →＝AD →－AC →，DB →＝AB →－AD →. ∴CD →＝AB →－DB →－AC →＝AB →－12CD →－AC →. ∴32CD →＝AB →－AC →. ∴CD →＝23AB →－23AC →.又CD →＝rAB →＋sAC →，∴r ＝23，s ＝－23. ∴r ＋s ＝0.16．已知任意四边形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，求证：EF →＝12(AB →＋DC →)．答案 略证明 如图所示，∵E 、F 是AD 与BC 的中点，∴EA →＋ED →＝0，FB →＋FC →＝0.又∵AB →＋BF →＋FE →＋EA →＝0， ∴EF →＝AB →＋BF →＋EA →.① 同理 EF →＝ED →＋DC →＋CF →.②由①＋②，得2EF →＝AB →＋DC →＋(EA →＋ED →)＋(BF →＋CF →)＝AB →＋DC →.∴EF →＝12(AB →＋DC →)．17．已知点G 是△ABO 的重心，M 是AB 边的中点． (1)求GA →＋GB →＋GO →；(2)若PQ 过△ABO 的重心G ，且OA →＝a ，OB →＝b ，OP →＝m a ，OQ →＝n b ，求证：1m ＋1n ＝3.答案 (1)0 (2)略解析 (1)解 ∵GA →＋GB →＝2GM →，又2GM →＝－GO →， ∴GA →＋GB →＋GO →＝－GO →＋GO →＝0. (2)证明 显然OM →＝12(a ＋b )． 因为G 是△ABO 的重心， 所以OG →＝23OM →＝13(a ＋b )． 由P 、G 、Q 三点共线，得PG →∥GQ →. 所以，有且只有一个实数λ，使PG →＝λGQ →. 而PG →＝OG →－OP →＝13(a ＋b )－m a ＝(13－m )a ＋13b ， GQ →＝OQ →－OG →＝n b －13(a ＋b )＝－13a ＋(n －13)b ， 所以(13－m )a ＋13b ＝λ[－13a ＋(n －13)b ]． 又因为a 、b 不共线， 所以⎩⎪⎨⎪⎧13－m ＝－13λ，13＝λ(n －13)，消去λ，整理得3mn ＝m ＋n .故1m ＋1n ＝3.1．如图所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD →等于( )A ．－BC →＋12BA →B ．－BC →－12BA → C.BC →－12BA →D.BC →＋12BA →答案 A解析 ∵D 是AB 的中点，∴BD →＝12BA →. ∴CD →＝CB →＋BD →＝－BC →＋12BA →.2．(2011·上海文)设A 1，A 2，A 3，A 4是平面上给定的4个不同点，则使MA 1→＋MA 2→＋MA 3→＋MA 4→＝0成立的点M 的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．4答案 B3．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝( ) A.23b ＋13c B.53c －23b C.23b －13c D.13b ＋23c 答案 A解析 由BD →＝2DC →，知BD →＝23BC →.又∵BC →＝b －c ，∴BD →＝23(b －c )，∴AD →＝AB →＋BD →＝c ＋23(b －c )＝23b ＋13c .4．已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．A 、B 、D B ．A 、B 、C C ．B 、C 、D D ．A 、C 、D答案 A解析 BD →＝BC →＋CD →＝(－5a ＋6b )＋(7a －2b ) ＝2a ＋4b ＝2(a ＋2b )＝2AB →，∴BD →与AB →共线．又∵有公共点B ，∴A 、B 、D 三点共线．5．(2011·四川理)如图，正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝ ( )A ．0 B.BE → C.AD → D.CF →答案 D解析 由于BA →＝DE →，故BA →＋CD →＋EF →＝CD →＋DE →＋EF →＝CF →.6．设e 是与向量AB →共线的单位向量，AB →＝3e ，又向量BC →＝－5e ，若AB →＝λAC →，则λ＝________.答案 －32解析 AC →＝AB →＋BC →＝3e －5e ＝－2e . 由AB →＝λ·AC →，得3e ＝λ·(－2)·e ，∴λ＝－32.7．在△ABC 中，点D 满足AD →＝3DC →，BD →＝λBA →＋μBC →，则λμ＝________. 答案 316解析 AD →＝BD →－BA →，DC →＝BC →－BD →.∵AD →＝3DC →，∴BD →－BA →＝3BC →－3BD →，∴4BD →＝3BC →＋BA →，BD →＝34BC →＋14BA →，∴λ＝14，μ＝34，故λμ＝316.。
2014高考调研理科数学课时作业讲解_课时作业23
课时作业(二十三)1．(2013·东城区期末)已知cos78°约等于0.20，那么sin66°约等于 ( ) A ．0.92 B ．0.85 C ．0.88 D ．0.95答案 A2．设f (sin x )＝cos2x ，那么f (32)等于 ( )A ．－12B ．－32 C.12 D.32答案 A 3．若cos2αsin (α－π4)＝－22，则sin α＋cos α的值为( )A ．－72 B ．－12 C.12 D.72答案 C解析cos2αsin (α－π4)＝sin (π2－2α)sin (α－π4)＝2sin (π4－α)cos (π4－α)sin (α－π4)＝－2cos(π4－α)＝－2(22sin α＋22cos α)＝－2(sin α＋cos α)＝－22. 所以sin α＋cos α＝12.4．(2013·湖北八校)已知f (x )＝2tan x －2sin 2x 2－1sin x 2cos x 2，则f (π12)的值为 ( )A ．4 3 B.833 C ．4 D ．8答案 D解析 ∵f (x )＝2(tan x ＋cos x sin x )＝2×(sin x cos x ＋cos xsin x ) ＝2×1cos x ·sin x ＝4sin2x ， ∴f (π12)＝4sin π6＝8.5．若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋sin2α的值为( )A.103B.53C.23 D ．－2答案 A解析 由3sin α＋cos α＝0，得cos α＝－3sin α. 则1cos 2α＋sin2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α＋2sin αcos α ＝9sin 2α＋sin 2α9sin 2α－6sin 2α＝103，故选A. 6．(2012·山东)若θ∈[π4，π2]，sin2θ＝378，则sin θ＝ ( )A.35B.45C.74D.34答案 D解析 ∵θ∈[π4，π2]，2θ∈[π2，π]，故cos2θ<0. ∴cos2θ＝－1－sin 22θ＝－1－(378)2＝－18.又cos2θ＝1－2sin 2θ， ∴sin 2θ＝1－cos2θ2＝1－(－18)2＝916.∴sin θ＝34，故选D. 7．(2013·洛阳统考)若cos2αsin (α＋π4)＝12，则sin2α的值为( )A ．－78 B.78 C ．－47 D.47答案 B解析 cos2αsin (α＋π4)＝cos 2α－sin 2αsin αcos π4＋cos αsin π4＝2(cos α－sin α)＝12，即cos α－sin α＝24，等式两边分别平方得cos 2α－2sin αcos α＋sin 2α＝1－sin2α＝18，解得sin2α＝78.8．(2013·衡水调研卷)计算tan (π4＋α)·cos2α2cos 2(π4－α)的值为( )A ．－2B ．2C ．－1D ．1答案 D解析 tan (π4＋α)·cos2α2cos 2(π4－α)＝sin (π4＋α)·cos2α2sin 2(π4＋α)cos (π4＋α)＝cos2α2sin (π4＋α)cos (π4＋α)＝cos2αsin2(π4＋α)＝cos2αsin (π2＋2α)＝cos2αcos2α＝1，选D. 9．(2013·郑州质检)已知tan α＝2，则2sin 2α＋1sin2α＝ ( )A.53B ．－134C.135D.134答案 D解析 2sin 2α＋1sin2α＝3sin 2α＋cos 2α2sin αcos α＝3tan 2α＋12tan α＝134，故选D.10．已知函数f (x )＝sin x －cos x 且f ′(x )＝2f (x )，f ′(x )是f (x )的导函数，则1＋sin 2xcos 2x －sin2x＝( )A ．－195 B.195 C.113 D ．－113答案 A解析 f ′(x )＝cos x ＋sin x ，由f ′(x )＝2f (x )，即cos x ＋sin x ＝2(sin x －cos x )，得tan x ＝3，所以1＋sin 2x cos 2x －sin2x ＝1＋sin 2x cos 2x －2sin x cos x ＝2sin 2x ＋cos 2x cos 2x －2sin x cos x ＝2tan 2x ＋11－2tan x ＝－195.11．若θ∈[0，π)且cos θ(sin θ＋cos θ)＝1，则θ＝________. 答案 0或π412．已知sin x ＝5－12，则sin2(x －π4)＝________. 答案 2－ 5解析 sin2(x －π4)＝sin(2x －π2)＝－cos2x ＝－(1－2sin 2x )＝2sin 2x －1＝2－ 5.13．设α为第四象限的角，若sin3αsin α＝135，则tan2α＝________. 答案 －34解析 sin3αsin α＝sin (2α＋α)sin α ＝sin2αcos α＋cos2αsin αsin α＝135.∴2cos 2α＋cos2α＝135，2cos 2α－1＋cos2α＝85.∴cos2α＝45.∵2k π－π2<α<2k π，∴4k π－π<2α<4k π(k ∈Z )． 又∵cos2α＝45>0，∴2α为第四象限的角． sin2α＝－1－cos 22α＝－35，∴tan2α＝－34.14．已知sin α＝cos2α，α∈(π2，π)，则tan α＝________. 答案 －33解析 sin α＝1－2sin 2α，∴2sin 2α＋sin α－1＝0. ∴(2sin α－1)(sin α＋1)＝0，∵α∈(π2，π)， ∴2sin α－1＝0.∴sin α＝12，cos α＝－32，∴tan α＝－33.15．在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋3＝3tan A ·tan B ，且sin A ·cos A ＝34，则此三角形为________．答案 等边三角形解析 ∵tan A ＋tan B ＋3＝3tan A tan B ， ∴tan(A ＋B )＝－3，得A ＋B ＝120°. 又由sin A cos A ＝34，得sin2A ＝32.∴A ＝60°(A ＝30°舍去)，∴△ABC 为等边三角形．16．(2013·西城区期末)已知tan(π4＋θ)＝3，则sin2θ－2cos 2θ＝__________. 答案 －45解析 方法一 sin2θ－2cos 2θ＝sin2θ－cos2θ－1，sin2θ＝－cos2(θ＋π4)＝－1－tan 2(θ＋π4)1＋tan 2(θ＋π4)＝45， cos2θ＝sin2(θ＋π4)＝2tan (θ＋π4)1＋tan 2(θ＋π4)＝35， ∴原式＝45－35－1＝－45.方法二 tan(π4＋θ)＝3，1＋tan θ1－tan θ＝3，解得tan θ＝12，sin2θ－2cos 2θ＝2sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θ－2tan 2θ＋1＝－45. 17．在△ABC 中，已知A 、B 、C 成等差数列，则tan A 2＋tan C 2＋3tan A 2tan C2的值为________．答案3解析 由已知B ＝60°，A ＋C ＝120°， ∴tan A 2＋tan C 2＋3tan A 2·tan C 2＝tan A ＋C 2(1－tan A 2·tan C 2)＋3tan A 2tan C 2 ＝3(1－tan A 2·tan C 2)＋3tan A 2tan C 2 ＝ 3.18．化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan (π4－x )·sin 2(π4＋x ).答案 12cos2x解析 原式＝2cos 2x (cos 2x －1)＋122tan (π4－x )sin 2(π4＋x )＝12－2cos2x sin2x2sin(π4－x)cos(π4－x)·sin2(π4＋x)＝12－12(sin2x)22cos(π4＋x)sin(π4＋x)·sin2(π4＋x)＝12cos22xsin(π2＋2x)＝12cos2x.19．已知0＜α＜π2，π2＜β＜π且tanα2＝12，sin(α＋β)＝513.(1)分别求cosα与cosβ的值；(2)求tan α－β2的值．答案(1)cosα＝35cosβ＝－1665(2)－1123解析(1)cosα＝cos2α2－sin2α2＝cos2α2－sin2α2cos2α2＋sin2α2＝1－tan2α21＋tan2α2＝35，∵0＜α＜π2，∴sinα＝45.∵α＋β∈(π2，3π2)，sin(α＋β)＝513，∴cos(α＋β)＝－12 13.∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝(－1213)·35＋513·45＝－1665.(2)∵2cos 2β2－1＝cos β＝－1665且β2∈(π4，π2)， ∴cos β2＝7130，∴sin β2＝9130.∴tan β2＝97.∴tan α－β2＝tan α2－tan β21＋tan α2tanβ2＝－1123.1．已知450°<α<540°，则 12＋1212＋12cos2α的值是( )A ．－sin α2B ．cos α2C ．sin α2D ．－cos α2答案 A 解析 原式＝ 12＋121＋cos2α2＝12－12cos α＝|sin α2|.∵450°<α<540°，∴225°<α2<270°. ∴原式＝－sin α2.2．已知sin 22α＋sin2αcos α－cos2α＝1，α∈(0，π2)，则sin α＝________. 答案 12解析 由已知得sin 22α＋sin2αcos α－(2cos 2α－1)＝1. ∴sin 22α＋sin2αcos α－2cos 2α＝0. ∴4sin 2αcos 2α＋2sin α·cos 2α－2cos 2α＝0.∴4sin 2α＋2sin α－2＝0. 解得sin α＝12(负值舍去)．3．已知cos(α＋π6)－sin α＝233，则sin(α－7π6)的值是________． 答案 23解析 ∵cos(α＋π6)－sin α＝32cos α－32sin α＝233， ∴12cos α－32sin α＝23，即cos(α＋π3)＝23. 又sin(α－7π6)＝－sin(7π6－α)＝sin(π6－α) ＝sin[π2－(α＋π3)]＝cos(α＋π3)＝23.4．已知角A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，OM →＝(sin B ＋cos B ，cos C )，ON →＝(sin C ，sin B －cos B )，OM →·ON→＝－15.(1)求tan2A 的值；(2)求2cos 2A2－3sin A －12sin (A ＋π4)的值．解析 (1)∵OM →·ON →＝(sin B ＋cos B )sin C ＋cos C (sin B －cos B )＝sin(B ＋C )－cos(B ＋C )＝－15，∴sin A ＋cos A ＝－15.①两边平方并整理，得2sin A cos A ＝－2425. ∵－2425<0，∴A ∈(π2，π)． ∴sin A －cos A ＝1－2sin A cos A ＝75.②联立①②，得sin A ＝35，cos A ＝－45，∴tan A ＝－34.∴tan2A＝2tan A1－tan2A ＝－321－916＝－247.(2)∵tan A＝－3 4，∴2cos2A2－3sin A－12sin(A＋π4)＝cos A－3sin Acos A＋sin A＝1－3tan A1＋tan A＝1－3×(－34)1＋(－34)＝13.。
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课时作业(六十八)1．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 与双曲线x 212－y24＝1的一个焦点重合，直线y ＝x －4与抛物线交于A ，B 两点，则|AB |等于( )A ．28B ．32C ．20D ．40答案 B解析 双曲线x 212－y 24＝1的焦点坐标为(±4,0)，故抛物线的焦点F 的坐标为(4,0)，因此p ＝8，故抛物线方程为y 2＝16x ，易知直线y ＝x －4过抛物线的焦点．设A ，B 两点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．由⎩⎨⎧y 2＝16x ，y ＝x －4，可得x 2－24x ＋16＝0，故x 1＋x 2＝24. 故|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝24＋8＝32.2．已知AB 为半圆的直径，P 为半圆上一点，以A 、B 为焦点且过点P 做椭圆，当点P 在半圆上移动时，椭圆的离心率有( )A ．最大值12 B ．最小值12 C ．最大值22 D ．最小值22答案 D解析 椭圆的离心率e ＝|AB ||P A |＋|PB |≥|AB |2|P A |2＋|PB |22＝22，故选D. 3．(2012·武汉调研)设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点M (－1,0)的直线在第一象限交抛物线于A 、B ，且满足AF →·BF →＝0，则直线AB 的斜率k ＝( )A. 2B.22 C. 3D.33答案 B解析 依题意，设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，代入抛物线方程y 2＝4x 并整理得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0，因为直线与抛物线有两个不同的交点，所以Δ＝(2k 2－4)2－4k 4>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4－2k 2k 2，x 1x 2＝1.又因为AF →·BF →＝0，所以(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝0，(x 1－1)(x 2－1)＋k 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝0，(1＋k 2)x 1x 2＋(k 2－1)(x 1＋x 2)＋k 2＋1＝0，把⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4－2k 2k 2x 1x 2＝1，代入并整理得k 2＝12，又k >0，所以k ＝22，选B.4．已知抛物线y ＝2x 2上的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于直线y ＝x ＋m 对称，且x 1x 2＝－12，那么m 的值等于( )A.32B.52 C ．2 D ．3答案 A解析 因为点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在抛物线y ＝2x 2上，所以y 1＝2x 21，y 2＝2x 22，两式相减得y 1－y 2＝2(x 1－x 2)(x 1＋x 2)，不妨设x 1<x 2.因为直线AB 与直线y＝x ＋m 互相垂直，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－1，所以x 1＋x 2＝－12，而x 1x 2＝－12，解得x 1＝－1，x 2＝12，设线段AB 的中点为M (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－14，y 0＝y 1＋y 22＝2x 21＋2x 222＝54.因为中点M 在直线y ＝x ＋m 上，所以54＝－14＋m ，解得m ＝32.5．已知双曲线x 2－y 24＝1，过点A (1,1)的直线l 与双曲线只有一个公共点，则l 的条数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1答案 A解析 ①斜率不存在时，方程为x ＝1符合． ②设斜率为k ，y －1＝k (x －1)，kx －y －k ＋1＝0.⎩⎨⎧4x 2－y 2＝4，y ＝kx －k ＋1，(4－k 2)x 2＋(2k 2－2k )x －k 2＋2k －5＝0. 当4－k 2＝0，k ＝±2时符合；当4－k 2≠0，Δ＝0，亦有一个答案，∴共4条．6．已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点与顶点，若双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，则椭圆的离心率为( )A.13 B.12 C.33D.22答案 D解析 根据题意可知双曲线的方程为x 2a 2－b 2－y 2b 2＝1.因为双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，所以双曲线为等轴双曲线，所以a 2－b 2＝b 2，即a ＝2b ，故椭圆的离心率e ＝a 2－b 2a ＝b a ＝b 2b＝22，故选D.7．已知两点A (1,0)，B (b,0)，若抛物线y 2＝4x 上存在点C 使△ABC 为等边三角形，则b ＝________.答案 5或－13解析 A (1,0)，B (b,0)，且△ABC 为等边三角形，则C ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12，±32(b －1)，代入抛物线方程求得b ＝5或－13，故填5或－13.8．抛物线y ＝x 2与直线x －y －2＝0的最短距离________．答案728解析 设与抛物线相切且与直线x －y －2＝0平行的直线为x －y ＋t ＝0，∴⎩⎨⎧y ＝x 2，y ＝x ＋t ，消y 得x 2－x －t ＝0. Δ＝1＋4t ＝0，∴t ＝－14.∴问题转化为x －y －2＝0与x －y －14＝0的距离． ∴d ＝|－2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－14|2＝728.9．椭圆ax 2＋by 2＝1与直线x ＋y ＝1相交于A ，B 两点，C 是AB 的中点，O 为坐标原点，OC 的斜率为22，则ba ＝________.答案 22解析 (点差法)令A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 0，y 0)，⎩⎨⎧ax 21＋by 21＝1，ax 22＋by 22＝1， 作差有 a (x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝－b (y 1－y 2)(y 1＋y 2)， k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝a (x 1＋x 2)－b (y 1＋y 2)＝－1. 又x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，k OC ＝y 0x 0， ∴ax 0by 0＝1，∴a b ＝y 0x 0＝22.10．若抛物线y ＝ax 2－1上恒有关于直线x ＋y ＝0对称的相异两点A 、B ，则a 的取值范围是________．答案 (34，＋∞)解析 设抛物线上的两点为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝x ＋b ，代入抛物线方程y ＝ax 2－1，得ax 2－x －(b ＋1)＝0，设直线AB 的中点为M (x 0，y 0)，则x 0＝12a ，y 0＝x 0＋b＝12a ＋b .由于M (x 0，y 0)在直线x ＋y ＝0上，故x 0＋y 0＝0，由此解得b ＝－1a ，此时ax 2－x －(b ＋1)＝0可变形为ax 2－x －(－1a ＋1)＝0，由Δ＝1＋4a (－1a ＋1)>0，解得a >34.11．如图所示，已知点H (－3,0)，点P 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线PQ 上，且满足HP →·PM →＝0，PM →＝－32MQ →.(1)求点P 在y 轴上移动时，求点M 的轨迹F ；(2)已知圆E ：x 2＋y 2＝2x ，过圆心E 作直线l ，此直线与圆E 和(1)中的轨迹F 共有四个交点，自上而下依次记为A 、B 、C 、D ，如果线段AB 、BC 、CD 的长按此顺序构成一个等差数列，求直线l 的方程．解析 (1)设M (x ，y )，P (0，y ′)，Q (x ′，0)， ∵PM →＝－32MQ →，HP →·PM →＝0，∴(x ，y －y ′)＝－32(x ′－x ，－y )，(3，y ′)·(x ，y －y ′)＝0. ∴x ′＝13x ，y ′＝－12y,3x ＋yy ′－y ′2＝0.又∵点Q 在x 轴的正半轴上，∴x ′>0，x >0.将y ′＝－12y 代入3x ＋yy ′－y ′2＝0，得y 2＝4x (x >0)．∴动点M 的轨迹F 是以O (0,0)为顶点，以(1,0)为焦点的抛物线(除去原点)． (2)由题知，圆E 的方程为(x －1)2＋y 2＝1，则其直径为2，圆心为E (1,0)，如图所示．设l 的方程为my ＝x －1， 即x ＝my ＋1， ①将①式代入抛物线方程y 2＝4x ，得y 2－4my －4＝0. 设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，结合根与系数的关系，得⎩⎨⎧Δ>0，y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.则(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝16(m 2＋1)，|AD |2＝(y 1－y 2)2＋(x 1－x 2)2＝(y 1－y 2)2＋(y 21－y 224)2＝(y 1－y 2)2[1＋(y 1＋y 24)2]＝16(m 2＋1)2.∴|AD |＝4(m 2＋1)．又线段AB 、BC 、CD 的长成等差数列， ∴2|BC |＝|AB |＋|CD |＝|AD |－|BC |.∴|AD |＝3|BC |＝6，∴4(m 2＋1)＝6，m ＝±22， 即直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋y －2＝0.12．已知直线x ＋y －1＝0与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相交于A 、B 两点，M 是线段AB 上的一点，AM →＝－BM →，且点M 在直线l ：y ＝12x 上．(1)求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦点关于直线l 的对称点在单位圆x 2＋y 2＝1上，求椭圆的方程． 解析 (1)由AM →＝－BM →知M 是AB 的中点，设A 、B 两点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x 2a 2＋y 2b2＝1，得(a 2＋b 2)x 2－2a 2x ＋a 2－a 2b 2＝0.x 1＋x 2＝2a 2a 2＋b 2，y 1＋y 2＝－(x 1＋x 2)＋2＝2b 2a 2＋b 2.∴M 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a2a 2＋b 2，b 2a 2＋b 2.又M 点在直线l 上， ∴a 2a 2＋b 2－2b 2a 2＋b 2＝0. ∴a 2＝2b 2＝2(a 2－c 2)，∴a 2＝2c 2. ∴e ＝c a ＝22.(2)由(1)知b ＝c ，不妨设椭圆的一个焦点坐标为F (b,0)，设F (b,0)关于直线l ：y ＝12x 的对称点为(x 0，y 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y 0－0x 0－b ·12＝－1，x 0＋b 2－2×y 02＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝35b ，y 0＝45b .由已知x 20＋y 20＝1.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫35b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫45b 2＝1，∴b 2＝1. ∴所求的椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.13．已知椭圆C ：x 2＋y24＝1，过点M (0,3)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A 、B .(1)若l 与x 轴相交于点N ，且A 是MN 的中点，求直线l 的方程； (2)设P 为椭圆上一点，且OA →＋OB →＝λOP →(O 为坐标原点)．求当|AB |<3时，实数λ的取值范围．解析 (1)设A (x 1，y 1)，因为A 是MN 的中点，且M 的纵坐标为3，N 的纵坐标为0，所以y 1＝32.又因为点A (x 1，y 1)在椭圆C 上， 所以x 21＋y 214＝1，即x 21＋916＝1，解得x 1＝±74， 则点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫74，32或⎝ ⎛⎭⎪⎫－74，32.所以直线l 的方程为67x －7y ＋21＝0或67x ＋7y －21＝0. (2)设直线AB 的方程为y ＝kx ＋3或x ＝0，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 3，y 3)，当AB 的方程为x ＝0时，|AB |＝4>3，与题意不符．当AB 的方程为y ＝kx ＋3时，由题设可得A 、B 的坐标是方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋3，x 2＋y 24＝1的解，消去y 得(4＋k 2)x 2＋6kx ＋5＝0. 所以Δ＝(6k )2－20(4＋k 2)>0，即k 2>5. 则x 1＋x 2＝－6k 4＋k 2，x 1·x 2＝54＋k 2， y 1＋y 2＝(kx 1＋3)＋(kx 2＋3)＝244＋k 2. 因为|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2<3， 所以1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－6k 4＋k 22－204＋k2<3， 解得－1613<k 2<8，所以5<k 2<8.因为OA →＋OB →＝λOP →，即(x 1，y 1)＋(x 2，y 2)＝λ(x 3，y 3)， 所以当λ＝0时，由OA →＋OB →＝0， 得x 1＋x 2＝－6k 4＋k 2＝0，y 1＋y 2＝244＋k 2＝0， 上述方程无解，所以此时符合条件的直线l 不存在；当λ≠0时，x 3＝x 1＋x 2λ＝－6kλ(4＋k 2)， y 3＝y 1＋y 2λ＝24λ(4＋k 2). 因为点P (x 3，y 3)在椭圆上， 所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6k λ(4＋k 2)2＋14⎣⎢⎡⎦⎥⎤24λ(4＋k 2)2＝1， 化简得λ2＝364＋k 2. 因为5<k 2<8，所以3<λ2<4. 则λ∈(－2，－3)∪(3，2)．综上，实数λ的取值范围为(－2，－3)∪(3，2)．1．已知抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的焦点为F ，准线l 与对称轴交于R 点，过已知抛物线上一点P (1,2)作PQ ⊥l 于Q ，则(1)抛物线的焦点坐标是____________；(2)梯形PQRF 的面积是____________．答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18 (2)1916解析 抛物线上一点P (1,2)，求得a ＝2，焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18；梯形PQRF 的面积是1916.故填(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18；(2)1916.2．AB 弦过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的中心，F 为焦点，则S △ABF 的最大值是________．答案 b a 2－b 2解析 如图，S △ABF ＝S △AOF ＋S △BOF ＝12|OF |(|y A |＋|y B |)＝12|OF ||y A －y B | ＝12a 2－b 2|y A －y B |， 而|y A －y B |max ＝2b ， ∴(S △AOF )max ＝b a 2－b 2.3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋6＝0相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)设P (4,0)，A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连接PB 交椭圆C 于另一点E ，证明：直线AE 与x 轴相交于定点Q ；(3)在(2)的条件下，设过点Q 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，求OM →·ON →的取值范围．解析 (1)由题意知e ＝c a ＝12，所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝14，即a 2＝43b 2.因为以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆x 2＋y 2＝b 2，与直线x －y ＋6＝0相切，所以b ＝612＋(－1)2＝3，所以a 2＝4，b 3＝3，故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意知直线PB 的斜率存在且不为0，则可设直线PB 的方程为y ＝k (x －4)，k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －4)，x 24＋y 23＝1，得(4k 2＋3)x 2－32k 2x ＋64k 2－12＝0. ①设点B (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，则A (x 1，－y 1)．由题意知直线AE 的斜率存在，则直线AE 的方程为y －y 2＝y 2＋y 1x 2－x 1(x －x 2)．令y ＝0，得x ＝x 2－y 2(x 2－x 1)y 2＋y 1，将y 1＝k (x 1－4)，y 2＝k (x 2－4)代入整理得x＝2x 1x 2－4(x 1＋x 2)x 1＋x 2－8. ②由①式利用根与系数的关系得x 1＋x 2＝32k 24k 2＋3，x 1x 2＝64k 2－124k 2＋3，代入②式整理得x ＝1.所以直线AE 与x 轴相交于定点Q (1,0)． (3)当过点Q 的直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y ＝m (x －1)，M (x M ，y M )，N (x N ，y N )． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝m (x －1)，x 24＋y 23＝1，得(4m 2＋3)x 2－8m 2x ＋4m 2－12＝0，易知Δ＝(－8m 2)2－4(4m 2＋3)(4m 2－12)＝144(m 2＋1)>0，由根与系数的关系知x M ＋x N ＝8m 24m 2＋3，x M x N ＝4m 2－124m 2＋3，则y M y N ＝m (x M －1)·m (x N －1)＝m 2[x M x N －(x M ＋x N )＋1]＝－9m 24m 2＋3.则OM →·ON →＝x M x N ＋y M y N ＝－5m 2＋124m 2＋3＝－54－334(4m 2＋3).因为m 2≥0，所以－114≤－334(4m 2＋3)<0.所以－4≤－54－334(4m 2＋3)<－54.所以OM →·ON →∈[－4，－54]．当过点Q 的直线MN 的斜率不存在时，其方程为x ＝1，代入椭圆方程得y ＝±32，不妨设M (1，32)，N (1，－32)，此时OM →·ON →＝－54.综上所述，OM →·ON →的取值范围是[－4，－54]．4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与抛物线y 2＝4x 有共同的焦点F ，且两曲线在第一象限的交点为M ，满足|MF |＝53.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线y ＝kx －2与椭圆C 交于A ，B 两点，OP →＝13OA →，ON →＝23OB →，若原点O 在以PN 为直径的圆外，求实数k 的取值范围．解析 (1)由题意知，抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.设M (x M ，y N )(x M >0，y M >0)，因为点M 在抛物线上，且|MF |＝53，所以点M 的横坐标x M ＝53－1＝23，从而y 2M ＝4x M ＝83.又点M 也在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1上，故有⎩⎪⎨⎪⎧49a 2＋83b 2＝1，c 2＝a 2－b 2＝1，解得a 2＝4，b 2＝3.所以所求椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，x 24＋y 23＝1，消去y ，得(4k 2＋3)x 2－16kx ＋4＝0.因为直线与椭圆C 有两个交点A ，B ， 所以Δ＝(－16k )2－16(4k 2＋3)>0，即k 2>14.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝16k 4k 2＋3，x 1x 2＝44k 2＋3.因为原点O 在以PN 为直径的圆外，所以∠PON 为锐角．又因为OP →＝13OA →，ON →＝23OB →，所以∠PON 为锐角，所以OA →·OB →>0， 即OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1－2)(kx 2－2)＝(k 2＋1)·x 1x 2－2k (x 1＋x 2)＋4＝(k 2＋1)·44k 2＋3－2k ·16k 4k 2＋3＋4＝－12k 2＋164k 2＋3>0.解得k 2<43.又k 2>14，所以14<k 2<43， 即－233<k <－12或12<k <233.故实数k 的取值范围是(－233，－12)∪(12，233)．5．(2012·长春调研)已知点A (－1,0)、B (1,0)，动点M 的轨迹曲线C 满足∠AMB ＝2θ，|AM →||BM →|cos 2θ＝3，过点B 的直线交曲线C 于P 、Q 两点．(1)求|AM →|＋|BM →|的值，并写出曲线C 的方程； (2)求△APQ 的面积和最大值．解析 (1)设M (x ，y )，在△MAB 中，|AB →|＝2，∠AMB ＝2θ，根据余弦定理得|AM →|2＋|BM →|2－2|AM →|·|BM →|cos2θ＝|AB →|2＝4，即(|AM →|＋|BM →|)2－2|AM →|·|BM →|(1＋cos2θ)＝4. 所以(|AM →|＋|BM →|)2－4|AM →|·|BM →|cos 2θ＝4.因为|AM →|·|BM →|cos 2θ＝3，所以(|AM →|＋|BM →|)2－4×3＝4， 所以|AM →|＋|BM →|＝4. 又|AM →|＋|BM →|＝4>2＝|AB →|，因此点M 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆(点M 在x 轴上也符合题意)． 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则 a ＝2，c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝3. 所以曲线C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)设直线PQ 的方程为x ＝my ＋1. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 24＋y 23＝1，消去x 并整理得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0. ① 显然方程①的判别式Δ＝36m 2＋36(3m 2＋4)>0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则S △APQ ＝12×2×|y 1－y 2|＝|y 1－y 2|.由根与系数的关系得y 1＋y 2＝－6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4.所以(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝48×3m 2＋3(3m 2＋4)2.令t ＝3m 2＋3，则t ≥3，(y 1－y 2)2＝48t ＋1t ＋2，由于函数φ(t )＝t ＋1t 在[3，＋∞)上是增函数，所以t ＋1t ≥103，当且仅当t ＝3m 2＋3＝3，即m ＝0时取等号． 所以(y 1－y 2)2≤48103＋2＝9，即|y 1－y 2|的最大值为3.所以△APQ 的面积的最大值为3，此时直线PQ 的方程为x ＝1.6．设椭圆ax 2＋by 2＝1与直线x ＋y －1＝0相交于A 、B 两点，点C 是AB 的中点，若|AB |＝22，OC 的斜率为22，求椭圆的方程．解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么A 、B 的坐标是方程组⎩⎨⎧ax 2＋by 2＝1，x ＋y －1＝0的解．由ax 21＋by 21＝1，ax 22＋by 22＝1，两式相减，得a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋b (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. 因为y 1－y 2x 1－x 2＝－1，所以y 1＋y 2x 1＋x 2＝ab， 即2y C 2x C ＝a b ，y C x C＝a b ＝22，所以b ＝2a .①再由方程组消去y ，得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0. 由|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝2(x 1－x 2)2＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝22， 得(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋b 2－4·b －1a ＋b ＝4.②由①、②解得a＝13，b＝23.故所求的椭圆方程为x23＋2y23＝1.。