九年级数学上册第二章一元二次方程6应用一元二次方程如何列一元二次方程求数字问题？北师大版
茶陵县五中九年级数学上册第二章一元二次方程6应用一元二次方程第1课时利用一元二次方程解决几何问题教案
6 应用一元二次方程第1课时利用一元二次方程解决几何问题【知识与技能】使学生会用一元二次方程解应用题.【过程与方法】进一步培养学生将实际问题转化为数学问题的能力和分析问题、解决问题的能力，培养学生运用数学的意识.【情感态度】通过列方程解应用题，进一步体会运用代数中方程的思想方法解应用题的优越性.【教学重点】实际问题中的等量关系如何找.【教学难点】根据等量关系设未知数列方程.一、情境导入，初步认识列方程解应用题的步骤是什么？①审题，②设未知数，③列方程，④解方程，⑤答.【教学说明】初一学过一元一次方程的应用，实际上是据实际题意，设未知数，列出一元一次方程求解，从而得到问题的解决.但有的实际问题，列出的方程不是一元一次方程，是一元二次方程，这就是我们本节课所研究的问题，一元二次方程的应用.二、思考探究，获取新知问题：有一张长6尺，宽3尺的长方形桌子，现用一块长方形台布铺在桌面上，如果台布的面积是桌面面积的2倍，且四周垂下的长度相同，试求这块台布的长和宽各是多少？（精确到0.1尺）分析：设四周垂下的宽度为x尺时，可知台布的长为(2x+6)尺，宽为（2x+3）尺，利用台布的面积是桌面面积的2倍构建方程可获得结论.解：设四周垂下的宽度为x尺时，依题意可列方程为（6+2x）(3+2x)=2×6×3.整理方程，得2x2+9x-9=0.解得x1≈0.84，x2≈-5.3(不合题意，舍去).即这块台布的长约为7.7尺，宽约为4.7尺.【教学说明】注意引导学生分析、理清题目中的数量关系，挖掘已知条件与要解决问题，激发学生解决问题的欲望，体会数形结合思想的应用.三、运用新知，深化理解1.见教材P52例1.2.直角三角形的两条直角边的和为7，面积是6，则斜边长为（ B ）A.37B.5C.38D.73.从正方形铁皮的一边切去一个2cm宽的长方形，若余下的长方形的面积为48cm2，则原来正方形的铁皮的面积为64cm2.4.如图，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的花边，地毯中间的矩形图案的长为6m，宽为3m，若整个地毯的面积为40m2，求花边的宽.解：设花边的宽为x m，依题意有（6+2x）（3+2x）=40，解得x1=1，x2=112-（不合题意应舍去）.即花边的宽度为1m.5.如右图是长方形鸡场的平面示意图，一边靠墙，另外三边用竹篱笆围成，且竹篱笆总长为35m.（1）若所围的面积为150m2，试求此长方形鸡场的长和宽；（2）如果墙长为18m，则（1）中长方形鸡场的长和宽分别是多少？（3）能围成面积为160m2的长方形鸡场吗？说说你的理由.分析:如图，若设BC = x m，则AB的长为352x-m，若设AB = x m，则BC=(35-2x)m，再利用题设中的等量关系，可求出（1）的解；在（2）中墙长a = 18m意味着BC边长应小于或等于18m，从而对（1）的结论进行甄别即可；（3）中可借助（1）的解题思路构建方程，依据方程的根的情况可得到结论.解:（1）设BC=xm，则AB=CD=352x-m，依题意可列方程为x·352x-=150，解这个方程，得x1=20，x2=15.（2）当墙长为18m时，显然BC=20m时，所围成的鸡场会在靠墙处留下一个缺口，不合题意，应舍去，此时所围成的长方形鸡场的长与宽只能是15m和10m;（3）不能围成面积为160m2的长方形鸡场，理由如下：设BC = x m，由（1）知AB=352x-m，从而有x·352x-=160，方程整理为x2-35x+320=0.此时Δ=352-4×1×320=1225-1280＜0，原方程没有实数根，从而知用35m的篱笆按图示方式不可能围成面积为160m2的鸡场.6.如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动.当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动.（1）如果P，Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8cm2？（2）点P，Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半？分析：（1）如果P，Q同时出发，x s后，AP=xcm，PC=（6-x）cm，CQ=2xcm，此时△PCQ的面积为12×2x（6-x），令该式=8，由此等量关系列出方程求出符合题意值；（2）△ABC的面积的一半等于12×12AC·BC=12（cm2），令12×2x（6-x）=12，判断该方程是否有解，若有解则存在，否则不存在.解：（1）设xs后，可使△PCQ的面积为8cm2.由题意得AP=xcm，PC=（6-x）cm，CQ=2xcm，则12·（6-x）·2x=8.整理，得x2-6x+8=0，解得x1=2，x2=4.所以P，Q同时出发2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2.（2）由题意，得S△AB C=12AC·BC=12×6×8=24（cm2），令12×2x×（6-x）=12×24，x2-6x+12=0，b2-4ac=62-4×12=-12<0，该方程无实数解，所以不存在使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半的时刻.四、师生互动、课堂小结1.回顾、整理并总结，让学生在活动中积累实践经验，理解建立数学模型的重要性.2.独立完成以上例题.1.布置作业：教材“习题2.9”中第2、3、4题.2.完成练习册中相应练习.本课时无论是例题的分析还是练习的分析，尽可能地鼓励学生动脑、动手、动口，为学生提供展示自己的机会，在此过程中发现并总结学生存在的思维误区，便于今后的教学.课堂上注意激发学生的学习热情，帮助学生形成积极主动的求知态度.实际问题与二次函数一、知识点1、实物抛物线一般步骤①据题意，结合函数图象求出函数解析式；②确定自变量的取值范围；②据图象，结合所求解析式解决问题.2、实际问题中求最值①分析问题中的数量关系，列出函数关系式；②研究自变量的取值范围；③确定所得的函数；④检验x的值是否在自变量的取值范围内，并求相关的值；④解决提出的实际问题.3、结合几何图形①根据几何图形的性质，探求图形中的关系式；③根据几何图形的关系式确定二次函数解析式；④利用配方法等确定二次函数的最值，解决问题二、标准例题：例1：如图，斜坡AB长10米，按图中的直角坐标系可用y=33-x+5表示，点A，B分别在x轴和y轴上．在坡上的A处有喷灌设备，喷出的水柱呈抛物线形落到B处，抛物线可用y=13-x2+bx+c表示．（1）求抛物线的函数关系式（不必写自变量取值范围）；（2）求水柱离坡面AB的最大高度；（3）在斜坡上距离A点2米的C处有一颗3.5米高的树，水柱能否越过这棵树？【答案】（1）y=-1 3x2+433x+5；（2）当x=532时，水柱离坡面的距离最大，最大距离为254；（3）水柱能越过树，理由见解析【解析】（1）∵AB=10、∠OAB=30°，∴OB=12AB=5、OA =10×32=53，则A（53，0）、B（0，5），将A、B坐标代入y=-13x2+bx+c，得：17553035b cc⎧-⨯++=⎪⎨⎪=⎩，解得：4335bc⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线解析式为y=-13x2+433x+5；（2）水柱离坡面的距离d=-13x2+433x+5-（-33x+5）=-13x2+533x=-13（x2-53x）=-13（x-532）2+254，∴当x=532时，水柱离坡面的距离最大，最大距离为254；（3）如图，过点C作CD⊥OA于点D，∵AC =2、∠OAB =30°， ∴CD =1、AD =3， 则OD =43，当x =43时，y =-13×（43）2+433×43+5=5＞1+3.5， 所以水柱能越过树．总结：本题考查了二次函数的应用，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．例2：某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用20m 长的篱笆围成一个矩形ABCD （篱笆只围,AB BC 两边），设AB x =m .（1）若花园的面积为962m ，求x 的值；（2）若在P 处有一棵树与墙,CD AD 的距离分别是11m 和5m ，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S 的最大值.【答案】（1）x 的值为8或12；（2）当9x =时，S 的值最大，最大值为99【解析】解：（1）(20)96x x -=，18x =，212x =x 的值为8或12（2）依题意得52011x x ≥⎧⎨-≥⎩，得59x ≤≤ 2(20)(10)100S x x x =-=--+当59x ≤≤时，S 随x 的增大而增大，所以，当9x =时，S 的值最大，最大值为99总结：此题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系与不等关系进行求解. 例3：一家商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件（1）若降价3元，则平均每天销售数量为件；（2）求每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？（3）求每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润的最大值是多少元？【答案】（1）26；（2）每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元；（3）当每件商品降价1 5元时，该商店每天销售利润最大值为1250元．【解析】（1）若降价3元，则平均每天销售数量为20+2×3＝26件．故答案为：26；（2）设每件商品应降价x元时，该商店每天销售利润为1200元，根据题意，得（40﹣x）（20+2x）＝1200 整理，得x2﹣30x+200＝0，解得：x1＝10，x2＝20要求每件盈利不少于25元∴x2＝20应舍去，解得x＝10答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．（3）设每件商品降价n元时，该商店每天销售利润为y元则：y＝（40﹣n）（20+2n）y＝﹣2n2+60n+800n＝﹣2＜0∴y有最大值当n＝15时，y有最大值＝1250元，此时每件利润为25元，符合题意即当每件商品降价15元时，该商店每天销售利润最大值为1250元．总结：本题主要考查一元二次方程的应用问题，特别注意函数的取值范围，再求最大值是要先分析函数的取值范围，在计算函数值的最大值.例4：随着5G技术的发展，人们对各类5G产品的使用充满期待.某公司计划在某地区销售第一款5G产品，根据市场分析，该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化.设该产品在第x（x为正整数）个销售周期每台的销售价格为y元，y与x之间满足如图所示的一次函数关系.（1）求y与x之间的关系式；（2）设该产品在第x个销售周期的销售数量为p（万台），p与x的关系可用1122p x=+来描述。
九年级数学一元二次方程与实际问题题型归纳
九年级数学一元二次方程与实际问题题型归纳实际问题与一元二次方程题型归纳总结一、列一元二次方程解应用题的一般步骤：列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应用题的步骤类似，可归纳为七个步骤：“审、找、设、列、解、验、答”。
1）审：审清题意，弄清已知量与未知量；2）找：找出等量关系；3）设：设未知数，有直接和间接两种设法，因题而异；4）列：列出一元二次方程；5）解：求出所列方程的解；6）验：检验方程的解是否正确，是否符合题意；7）答：作答。
二、典型题型1.数字问题例1：有两个连续整数，它们的平方和为25，求这两个数。
例2：有一个两位数，它的个位上的数字与十位上的数字的和是6，如果把它的个位上的数字与十位上的数字调换位置，所得的两位数乘以原来的两位数所得的积就等于1008，求调换位置后得到的两位数。
练：1、两个连续的整数的积是156，求这两个数。
2、一个两位数等于它个位上数字的平方，个位上的数字比十位上的数字大3，则这个两位数为（）A。
25.B。
36.C。
25或36.D。
-25或-362.传播问题公式：(a+x)n=M，其中a为传染源（一般a=1），n为传染轮数，M为最后得病总人数。
例3：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？例4：有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，每轮传染中平均一个人传染的人数为（）A。
8.B。
9.C。
10.D。
11练：有一个人患了流感，经过两轮传染后共有196人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感？3.相互问题（循环、握手、互赠礼品等）问题1.循环问题：又可分为单循环问题n(n-1)和双循环问题n(n-1)。
例5：参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有多少个队参加比赛？例6：参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有多少个队参加比赛？例7：一次会上，每两个参加会议的人都相互握手一次，一共握手66，请问参加会议的人数共有多少人？例8：生物兴趣小组的同学，将自己收集的标本向本组其他同学各赠送1件，全组共互赠了182件，设全组有x个同学，则根据题意列出的方程是（）A。
九年级数学上册第二章一元二次方程6应用一元二次方程
x 2 1 0 0 2 (3 0 0 2 x )2 ,
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自主 探究 (zìzhǔ)
1.现有(xiàn yǒu)长方形塑料片一块，长19cm,宽15cm,给你锋利 小刀一把，粘胶、直尺、你能做一个底面积为77cm2的无
盖的长方体水槽吗？说说你是怎样做的？
（四个角裁掉边长为4cm的正方形） 第九页，共十五页。
2.如图，一个院子长10m，宽8m，要 在它的里面沿三边辟出宽度相等的花 圃(huāpǔ)，使花圃(huāpǔ)的面积等于院子 面积的30%，试求这花圃的宽度.
解:设这花圃的宽度(kuāndù)为x，依题意，得
( 1 2 0 x ) ( 8 x ) 1 8 0 ( 1 3 % 0
（花圃(huāpǔ)的宽度为1m）
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增长率问题
问题2：阳江市市政府考虑在两年后实现市财政净收入翻一番， 那么(nàme)这两年中财政净收入的平均年增长率应为多少？
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12/11/2021
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例 2新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，调查 发现，当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当 销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台.商场要想 使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的 定价应为多少元？
分析：本题的主要等量关系是： 每台冰箱的销售利润平均每天销售冰箱的数量5000元.
应用 一元二次方程 6
北师大版九年级数学上册第二章 一元二次方程1一元二次方程的应用——几何问题
−
的长为b,则S能形ABCD= ×b.
知识点 2：动态几何问题(难点)
1.关键：“以静代动”，把动的点进行转换，用时间表示长度.
2.方法：时间变路程.
3.求“动点的运动时间”可以转化为求“动点的运动路程”，也
就是求线段的长度.
4.常找的数量关系——面积、勾股定理等.
九年级北师上册
6 应用一元二次方程
第1课时 一元二次方程的应用——几何问题
1.通过阅读课本可以根据实际面积问题中的等量关系
列出方程，提高学生的应用意识
2.通过归类面积问题的题型，构建解决面积问题的数
学模型，发展学生的建模能力.
3.经历分析具体问题中的数量关系、建立方程模型并
解决问题的过程，进一步体会方程是刻画现实世界
AB 边向点 B 以 1厘米/秒的速度移动，点 Q从点 B 开始沿BC 边向
点C 以2 厘米/秒的速度移动，如果 P、Q分别从A、B同时出发，其
中一点到达终点后两点均停止运动.
(1)经过几秒，△PBQ的面积等于8平方厘米?
解：(1)设运动时间为t秒( ≤ ≤ ,由题意得， = ሺ
准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900 平方米的一块
矩形绿地，并且长比宽多10 米，那么绿地的长和宽各
为多少？
栽种鲜花(如图中阴影部分),原空地一边减少了1 m,另一边减少了2
m,剩余空地的面积为18 m²,求原正方形空地的边长.设原正方形空
地的边长为x m,则可列方程为(
A
)
A.(x-1)(x-2)=18
B.x²-3x+16=0
C.(x+1)(x+2)=18
2.6 应用一元二次方程(第2课时)北师大版九年级数学上册教学详案
第二章一元二次方程6 应用一元二次方程第2课时 销售及变化率问题教学目标教学反思1.会用列一元二次方程的方法解决营销问题及平均变化率问题.2.进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题、解决问题的能力，培养学生应用数学的意识.教学重难点重点：会用列一元二次方程的方法解决营销问题及平均变化率问题.难点：如何找出等量关系.教学过程导入新课某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元？探究新知一、温故知新1.某商人将进价为每件8元的某种商品按每件10元出售,则1件的利润是_____;若每天可售出100件,则1天的总利润是_________.2.利润问题的两个主要等量关系:1件的利润＝1件的售价-1件的进价；总利润＝每件的利润×销售总件数.二、知识讲解1.销售问题与一元二次方程例1 新华商场销售某种冰箱,每台进货价为2 500元.调查发现，当销售价为2 900元时,平均每天能售出8台;而当销售价每降低50元时,平均每天就能多售出4台.商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5 000元,每台冰箱的定价应为多少元?分析：本题的主要等量关系是：每台冰箱的销售利润×平均每天销售冰箱的数量＝5 000元.如果设每台冰箱降价x元，那么每台冰箱的定价就是（2 900-x）元，每台冰箱的销售利润为（2 900-x-2 500）元，平均每天销售冰箱的数量为台.这样就可以列出一个方程，从而使问题得到解决.解：设每台冰箱降价x元. 根据题意,得.整理,得x2- 300x + 22 500 ＝0.解这个方程,得x1＝x2＝150.教学反思2 900-150 ＝2 750.所以，每台冰箱应定价为2 750元.总结：利润问题常见关系式：(1)利润＝售价－________；(2)利润率；(3)总利润＝____________×销量.2.平均变化率问题与一元二次方程例2 某公司1 月份的生产成本是400 万元，由于改进生产技术，生产成本逐月下降，3 月份的生产成本是361 万元. 假设该公司2，3，4 月每个月生产成本的下降率都相同.(1)求每个月生产成本的下降率.(2)请你预测4 月份该公司的生产成本.解:(1)设该公司每个月生产成本的下降率为x，根据题意，得400(1-x)2＝ 361.解得x1＝5%，x2＝1.95＞1（不合题意，舍去）.答：每个月生产成本的下降率为5%.(2)361×（1-5%）＝ 342.95（万元）.答：预测4 月份该公司的生产成本为342.95 万元.总结：若平均增长(或降低)的百分率为x,增长(或降低)前的量是a,增长(或降低)n次后的量是b,则它们的数量关系可表示为a(1±x)n＝b(其中增长取“＋”,降低取“－”).三、练习巩固，拓展提高1.某超市将进价为40元的商品按定价50元出售时，能卖500件.已知该商品每涨价1元，销售量就会减少10件，为获得8 000元的利润，且尽量减少库存，售价应为多少？分析：销售利润＝（每件售价－每件进价）×销售件数，若设每件涨价x元，则售价为（50＋x）元，销售量为（500－10x）件，根据等量关系列方程即可.解：设每件商品涨价x元，根据题意，得（50＋x－40）（500－10x）＝8 000，即x2－40x＋300＝0.解得x1＝10，x2＝30.经检验，x1＝10，x2＝30都是原方程的解.当x＝10时，售价为10＋50＝60（元），销售量为500－10×10＝400（件）.当x＝30时，售价为30＋50＝80（元），销售量为500－10×30＝200（件）.∵要尽量减少库存，∴售价应为60元.2.某商场今年1月份的销售额为60万元，2月份的销售额下降10%，改进经营管理后月销售额大幅度上升，到4月份销售额已达到121.5万元，求3，4月份销售额的月平均增长率.分析：设3，4月份销售额的月平均增长率为x ，那么2月份的销售额为60（1－10%）万元，3月份的销售额为60（1－10%）（1＋x ）万元，4月份的销售额为60（1－10%）（1＋x ）2万元.解：设3，4月份销售额的月平均增长率为x .根据题意，得60（1－10%）（1＋x ）2＝121.5，则（1＋x ）2＝2.25，解得x 1＝0.5，x 2＝－2.5（不合题意，舍去）.答：3，4月份销售额的月平均增长率为50%.课堂练习1.某地一月份发生禽流感的养鸡场有100家，后来二、 三月份新发生禽流感的养鸡场共250家，设二、三月份平均每月发生禽流感的养鸡场的增长率为x ，依题意列出的方程是（ ）A.100（1+x ）2＝250B.100（1+x ）+100（1+x ）2＝250C.100（1-x ）2＝250D.100（1+x ）2+100＝2502.某商店将进价为每件8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高0.5元其销售量就减少10件，若设每件售价为x 元，销售量可表示为（ ）A.×10 B. 200-×10 C. 200-×10 D. 200-0.5（x -10）×103.西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克.为了促销，该经营户决定降价销售.经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元，每天可多售出40千克.另外，每天的房租等固定成本共24元，为了减少库存，该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低（ ）元.A. 0.2或0.3B. 0.4C. 0.3D. 0.24.一件上衣原价为每件500元，第一次降价后，销售甚慢，第二次大幅度降价的百分率是第一次的2倍，结果以每件240元的价格迅速出售，求每次降价的百分率是多少？参考答案1.B2.B3.C4.解：设第一次降价的百分率为x ，则第二次降价的百分率为2x ，根据题意得500(1-x )(1-2x )＝240,解得x 1＝0.2＝20%,x 2＝1.3＝130%（舍去）.答：第一次降价的百分率为20%，第二次降价的百分率为40%.课堂小结(学生总结，老师点评)营销问题中的数量关系：(1)单件商品利润＝单件商品售价－单件商品进价；教学反思(2)利润率＝利润进价＝售价―进价进价；(3)售价＝进价×(1＋利润率)；(4)总利润＝每件商品的利润×商品的销量.布置作业课本习题2.10板书设计6 应用一元二次方程第2课时 销售及变化率问题。
数学九年级上册一元二次方程的应用--知识讲解(基础)
一元二次方程的应用--知识讲解（基础）【学习目标】1. 通过分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决实际问题，总结运用方程解决实际问题的一 般步骤；2. 通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.【要点梳理】要点一、列一元二次方程解应用题的一般步骤1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.2.解决应用题的一般步骤：审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；列(根据题目中的等量关系，列出方程)；解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）答(写出答案，切忌答非所问).要点诠释：列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性.要点二、一元二次方程应用题的主要类型1.数字问题(1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、 千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用 其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位 数.如：一个三位数，个位上数为a ，十位上数为b ，百位上数为c ，则这个三位数可表示为： 100c+10b+a.(2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1.如：三个连续整数，设中间一个数为x ，则另两个数分别为x-1，x+1.几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2.如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x ，则另两个数分别为x-2，x+2.2.平均变化率问题列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.(1)增长率问题：平均增长率公式为(1)na xb += (a 为原来数，x 为平均增长率，n 为增长次数，b 为增长后的量.)(2)降低率问题：平均降低率公式为(1)na xb -= (a 为原来数，x 为平均降低率，n 为降低次数，b 为降低后的量.)3.利息问题(1)概念：本金：顾客存入银行的钱叫本金.利息：银行付给顾客的酬金叫利息.本息和：本金和利息的和叫本息和.期数：存入银行的时间叫期数.利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率.(2)公式:利息=本金×利率×期数利息税=利息×税率本金×(1+利率×期数)=本息和本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时)4.利润(销售)问题利润(销售)问题中常用的等量关系：利润=售价-进价(成本)总利润=每件的利润×总件数5.形积问题此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程.要点诠释：列一元二次方程解应用题是把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.这是在解决实际问题时常用到的数学思想—方程思想.【典型例题】类型一、数字问题1．已知两个数的和等于12，积等于32，求这两个数是多少．【答案与解析】设其中一个数为x ，那么另一个数可表示为(12-x)，依题意得x(12-x)＝32，整理得x 2-12x+32＝0解得 x 1＝4，x 2＝8，当x ＝4时12-x ＝8；当x ＝8时12-x ＝4．所以这两个数是4和8．【总结升华】 数的和、差、倍、分等关系，如果设一个数为x ，那么另一个数便可以用x 表示出来，然后根据题目条件建立方程求解．举一反三：【高清ID 号：388525 关联的位置名称（播放点名称）：数字问题 例1】【变式】有一个两位数等于其数字之积的3倍，其十位数字比个位数字少2，求这个两位数.【答案】设个位数字为x ，则十位数字为(2)x -.由题意，得： 10(2)+3(2)x xx x -=- 整理，得：2317200x x -+=解方程，得：(35)(4)0x x --=∴ 15,3x = 24x = 经检验，53x =不合题意,舍去（注意根的实际意义的检验） ∴当4x =时, 2x -=2∴10(2)102424x x -+=⨯+=答：这个两位数为24.类型二、平均变化率问题2． 2010年5月中央召开了新疆工作座谈会，为实现新疆跨越式发展和长治久安，作出了重要战略决策部署．为此我市抓住机遇，加快发展，决定今年投入5亿元用于城市基础设施维护和建设，以后逐年增加，计划到2012年当年用于城市基础设施维护与建设资金达到8.45亿元．(1)求从2010年至2012年我市每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率；(2)若2010年至2012年我市每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率相同，预计我市这三年用于城市基础设施维护和建设资金共多少亿元?【答案与解析】(1)设从2010年至2012年我市每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率为x ，由题意得5(1+x)2＝8.45．解得x 1＝30%，x 2＝-2.3(不合题意，舍去)．答：从2010年至2012年我市每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率为30%．(2)这三年共投资5+5(1+x)+8.45＝5+5(1+0.3)+8.45＝19.95(亿元)答：预计我市这三年用于城市基础设施维护和建设资金共19.95亿元．【总结升华】本题是常见的增长率问题，要理解a(1+x)n ＝b(其中a 是原来的量，x 是平均增长率，n 是增长的次数，b 是增长到的量)的含义．原来的量经过一次增长后达到a(1+x)；在这个基础上，再增长一次即经过第二次增长后达到a(1+x)(1+x)＝a(1+x)2；在这个基础上，再增长一次即经过三次增长后达到a(1+x)(1+x)(1+x)＝a(1+x)3；…；依次类推．举一反三：【高清ID 号：388525 关联的位置名称（播放点名称）：增长率问题例3】【变式】某产品原来每件是600元，由于连续两次降价，现价为384元，如果两次降价的百分数相同，求平均每次降价率.【答案】设平均每次降价率为x ，则第一次降价为600x ，降价后价格为：600600600(1)x x -=-，第二次降价为：600(1)x x -⋅，降价后价格为： 600(1)x --600(1)x x -⋅2600(1)x =-.根据题意列方程，得：2600(1)384x -=216(1)25x -= 415x -=± ∴115x =， 295x = 295x =不合题意，舍去（注意根的实际意义的检验） ∴0011205x == 答：平均每次下降率为0020.类型三、利润（销售）问题3．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价，若每件商品售价为a 元，则可卖出(350-10a)件，但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%，商店计划要赚400元，需要卖出多少件商品?每件商品售价多少元?【答案与解析】设每件商品的售价为a 元．根据题意，得(a-21)(350-10a)＝400．∴ a 2-56a+775＝0，∴ (a-25)(a-31)＝0，∴ a-25＝0或a-31＝0，∴ a 1＝25，a 2＝31．当a ＝31时，加价31-21＝10，不合题意，舍去．∴ 350-10a ＝350-10×25＝100．答：每件商品售价为25元，需要卖出100件商品．【总结升华】列一元二次方程解应用题往往求出两解，有的解不合实际意义或不合题意．应舍去，必须进行检验．类型四、形积问题4．如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD，求该矩形草坪BC边的长．【答案与解析】设草坪ABCD的BC边长x米，则宽AB为根据题意，得整理得：x2-32x+240＝0，∴ (x-12)(x-20)＝0．解得：x1＝12，x2＝20又由题意知：BC≤16．∴ x＝20(不合题意，舍去)．∴该矩形草坪BC边的长为12米．【总结升华】1．结合图形分析数量关系是解决面积等几何问题的关键；2．注意检验一元二次方程的两个解是否符合题意．。
北师大版九年级上册数学第二章一元二次方程第六节 用一元二次方程解几何应用问题
第二章
一元二次方程
2.2. 应用一元二次方程 用 6一 元 二 次 方 程 解 几 何 应 用 问 题
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答案呈现
1 【教材P38习题T2变式】【2020·济南】如图，在一块 长15 m，宽10 m的矩形空地上，修建两条同样宽的相 互垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使绿化面积为 126 m2，则修建的路宽应为_____1___m.
根据题意，得2a（ ＋x2＋ x＝b） 10＝ ，12， ab＝24，
∴a＝10－2x，b＝6－x.
代入 ab＝24，得(10－2x)(6－x)＝24，
解得 x＝2 或 x＝9(舍去)．故剪去的正方形的边长为 2 cm. 【答案】 2
4 【教材P45习题T2变式】【2020·西藏】列方程(组)解 应用题． 某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚 成效，决定在该村山脚下，围一个面积为600 m2的矩 形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图，茶园一 面靠墙，墙长35 m，另外三面用69 m长的篱笆围成， 其中一边开有一扇1 m宽的门(不包括篱笆)． 求这个茶园的长和宽．
3 【2020·山西】如图是一张长12 cm，宽10 cm的矩形 铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形， 剩余部分(阴影部分)可制成底面积是24 cm2的有盖的 长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为________ cm.
【点拨】 设底面长为 a cm，宽为 b cm，正方形的边长为 x cm.
由 题 意 得 S△DPQ ＝ S 矩 形 ABCD － S△ADP － S△CDQ － S△BPQ ＝ AB·BC－12AD·AP－12CD·CQ－12BP·BQ＝6×12－12×12x－12 ×6(12－2x)－12(6－x)·2x＝x2－6x＋36＝31， 解得 x1＝1，x2＝5. ∴当△ DPQ 的面积为 31 cm2 时，x＝1 或 5.
北师大版九年级数学上册2.6应用一元二次方程 教 案
第二章一元二次方程2. 6 应用一元二次方程本节课的主题是发展学生的应用意识，这也是方程教学的重要任务.但学生应用意识和能力的发展不是自发的，需要通过大量的应用实例，在实际问题的解决中让学生感受到其广泛应用，并在具体应用中增强学生的应用能力.因此，本节教学中需要选用大量的实际问题，通过列方程解决问题，并且在问题解决过程中，促进学生分析问题、解决问题意识和能力的提高以及方程观的初步形成.显然，这个任务并非某个教学活动所能达成的，而应在教学活动中创设大量的问题解决的情境，在具体情境中发展学生的有关能力.1.通过分析问题中的数量关系，建立方程解决问题，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的一般过程.2.经历分析和建模的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效的数学模型；能够利用一元二次方程解决有关实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力；3.在问题解决中，经历一定的合作交流活动，进一步发展学生合作交流的意识和能力.【教学重点】能够利用一元二次方程解决有关实际问题.【教学难点】分析和建模的过程.课件.一、复习回顾（一）回忆：用配方法解一元二次方程的步骤:1. 化1:把二次项系数化为1（方程两边都除以二次项系数）;2. 移项:把常数项移到方程的右边;3. 配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方;◆教学重难点◆◆教学目标◆教材分析◆课前准备◆◆教学过程4. 变形:方程左边配方,右边合并同类项;5. 开方:根据平方根意义,方程两边开平方;6. 求解:解一元一次方程;7. 定解:写出原方程的解.（二）一般地,对于一元二次方程 ax 2+bx+c=0（a≠0）240,:b ac -≥当时它的根是)2402b x b ac a -±=-≥。
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式.用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法.二、合作交流，探究新知（一）认识黄金分割如图,点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果,AC BC AB AC=那么称线段AB 被点C 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,AC 与AB 的比称为黄金比.其实,黄金分割就是三条能构成比例线段的特殊线段AB,AC 和BC.其中线段AC 是线段AB 和线段BC 的比例中项,也可写成AC 2=AB ·BC.,20.6181AC BC AB AC ==≈学习一元二次方程之后我们可以求得如何求得黄金分割？2:,AC CB AC AB CB AB AC==⋅解由得 1,,1AB AC x CB x ===-设则()211,x x ∴=⨯-210x x +-=即,解这个方程得12x -±∴=1215215(,)x x -+∴=--=不合题意舍去 150.618AC AB -+∴=≈黄金比。