2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)-文科数学
2013年江西高考文科数学
2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)文科数学注意事项：1. 本考试卷分为两部分，第一卷为选择题，第二卷为非选择题。
2. 考生领到试卷后，须按规定在试卷上填写姓名，准考证号，并在答题卡上填涂上对应的试卷类型信息3. 所有解答必须填写在答题卡上的指定区域内。
考试结束后将本卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 复数)2(i i z --=（i 为虚数单位）在复平面内所对应的点在.A 第一象限 .B 第二象限 .C 第三象限 .D 第四象限2. 若集合}01{2=++∈=ax ax R x A 中只有一个元素，则=a.A 4 .B 3 .C 0 .D 0或4 3. 若332sin =α，则=αcos .A 32-.B 31- .C 31 .D 324. 集合}3,2{=A ，}3,2,1{=B ，从B A ,中各任取一个数，在这两个数之和等于4的概率是 .A 32 .B 21 .C 31 .D 615. 总体由编号为20,19,,02,01的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第5个个体的编号为7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 .A 08 .B 07 .C 02 .D 01 6. 下列选项中，不等式21x xx <<成立的x 的取值范围 .A )1,(--∞ .B )0,1(- .C )1,0( .D ),1(+∞ 7. 阅读如下程序框图，如果输入4=i ，那么在空白矩形框中应填入的语句为 .A 8<S .B 9<S.C 10<S .D 11<S8.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为.A π9200+ .B π18200+ .C π9140+ .D π18140+9.已知点)0,2(A ，抛物线:C y x 42=的焦点为,F 射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则MN FM :.A 5:2 .B 2:1 .C 5:1 .D 3:110.如图，已知21l l ⊥，圆心在1l 上，半径为m 1的圆在0=t 时与2l 相切于点A ,圆O 沿1l 以s m /1的速度匀速向上移动，圆被直线2l 所截上方圆弧长记为x ，令x y cos =，则y 与时间t （10≤≤t ，单位：s ）的函数)(t f y =的图像大致为第Ⅱ卷二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
2013年江西省高考数学试卷(文科)
2013年江西省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数z=i（﹣2﹣i）（i为虚数单位）在复平面内所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）若集合A={x∈R|ax2+ax+1=0}其中只有一个元素，则a=（）A．4 B．2 C．0 D．0或43．（5分）若sin=，则cosα=（）A．﹣ B．﹣ C．D．4．（5分）集合A={2，3}，B={1，2，3}，从A，B中各取任意一个数，则这两数之和等于4的概率是（）A．B．C．D．5．（5分）总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）A．08 B．07 C．02 D．016．（5分）下列选项中，使不等式x＜＜x2成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（1，+∞）7．（5分）阅读如图所示的程序框图，如果输出i=4，那么空白的判断框中应填入的条件是（）A．S＜8 B．S＜9 C．S＜10 D．S＜118．（5分）一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．200+9πB．200+18π C．140+9πD．140+18π9．（5分）已知点A（2，0），抛物线C：x2=4y的焦点为F，射线FA与抛物线C 相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|：|MN|=（）A．2：B．1：2 C．1：D．1：310．（5分）如图．已知l1⊥l2，圆心在l1上、半径为1m的圆O在t=0时与l2相切于点A，圆O沿l1以1m/s的速度匀速向上移动，圆被直线l2所截上方圆弧长记为x，令y=cosx，则y与时间t（0≤t≤1，单位：s）的函数y=f（t）的图象大致为（）A．B．C．D．二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）若曲线y=x a+1（a∈R）在点（1，2）处的切线经过坐标原点，则a=．12．（5分）某班植树小组今年春天计划植树不少于100棵，若第一天植树2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n（n∈N*）等于．13．（5分）设f（x）=sin3x+cos3x，若对任意实数x都有|f（x）|≤a，则实数a的取值范围是．14．（5分）若圆C经过坐标原点和点（4，0），且与直线y=1相切，则圆C的方程是．15．（5分）如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为．三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）正项数列{a n}满足：a n2﹣（2n﹣1）a n﹣2n=0．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）令b n=，求数列{b n}的前n项和T n．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1．（1）求证：a，b，c成等差数列；（2）若C=，求的值．18．（12分）小波已游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为以O 为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6（如图）这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记住这两个向量的数量积为X，若X＞0就去打球，若X=0就去唱歌，若X＜0就去下棋（1）写出数量积X的所有可能取值（2）分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．19．（12分）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB=2，AD=，AA1=3，E为CD上一点，DE=1，EC=3（1）证明：BE⊥平面BB1C1C；（2）求点B1到平面EA1C1的距离．20．（13分）椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率，a+b=3．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明2m﹣k为定值．21．（14分）设函数常数且a∈（0，1）．（1）当a=时，求f（f（））；（2）若x0满足f（f（x0））=x0，但f（x0）≠x0，则称x0为f（x）的二阶周期点，试确定函数有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点x1，x2；（3）对于（2）中x1，x2，设A（x1，f（f（x1））），B（x2，f（f（x2））），C（a2，0），记△ABC的面积为s（a），求s（a）在区间[，]上的最大值和最小值．2013年江西省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数z=i（﹣2﹣i）（i为虚数单位）在复平面内所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】化简可得复数z=i（﹣2﹣i）=﹣2i﹣i2=1﹣2i，由复数的几何意义可得答案．【解答】解：化简可得复数z=i（﹣2﹣i）=﹣2i﹣i2=1﹣2i，故复数在复平面内所对应的点的坐标为（1，﹣2）在第四象限，故选：D．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，属基础题．2．（5分）若集合A={x∈R|ax2+ax+1=0}其中只有一个元素，则a=（）A．4 B．2 C．0 D．0或4【分析】当a为零时，方程不成立，不符合题意，当a不等于零时，方程是一元二次方程只需判别式为零即可．【解答】解：当a=0时，方程为1=0不成立，不满足条件当a≠0时，△=a2﹣4a=0，解得a=4故选：A．【点评】本题主要考查了元素与集合关系的判定，以及根的个数与判别式的关系，属于基础题．3．（5分）若sin=，则cosα=（）A．﹣ B．﹣ C．D．【分析】由二倍角的余弦公式可得cosα=1﹣2sin2，代入已知化简即可．【解答】解：由二倍角的余弦公式可得cosa=1﹣2sin2=1﹣2×=1﹣=故选：C．【点评】本题考查二倍角的余弦公式，把α看做的二倍角是解决问题的关键，属基础题．4．（5分）集合A={2，3}，B={1，2，3}，从A，B中各取任意一个数，则这两数之和等于4的概率是（）A．B．C．D．【分析】由分步计数原理可得总的方法种数为2×3=6，由列举法可得符合条件的有2种，由古典概型的概率公式可得答案．【解答】解：从A，B中各取任意一个数共有2×3=6种分法，而两数之和为4的有：（2，2），（3，1）两种方法，故所求的概率为：=．故选：C．【点评】本题考查古典概型及其概率公式，属基础题．5．（5分）总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）A．08 B．07 C．02 D．01【分析】从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字开始向右读，依次为65，72，08，02，63，14，07，02，43，69，97，28，01，98，…，其中08，02，14，07，01符合条件，故可得结论．【解答】解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字开始向右读，第一个数为65，不符合条件，第二个数为72，不符合条件，第三个数为08，符合条件，以下符合条件依次为：08，02，14，07，01，故第5个数为01．故选：D．【点评】本题主要考查简单随机抽样．在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，所以每个数被抽到的概率是一样的．6．（5分）下列选项中，使不等式x＜＜x2成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（1，+∞）【分析】通过x=，，2验证不等式是否成立，排除选项B、C、D．即可得到正确选项．【解答】解：利用特殊值排除选项，不妨令x=时，代入x＜＜x2，得到＜，显然不成立，选项B不正确；当x=时，代入x＜＜x2，得到，显然不正确，排除C；当x=2时，代入x＜＜x2，得到，显然不正确，排除D．故选：A．【点评】本题考查分式不等式的解法，由于本题是选择题，利用特殊值验证法是快速解答选择题的一种技巧．当然可以直接解答，过程比较复杂．7．（5分）阅读如图所示的程序框图，如果输出i=4，那么空白的判断框中应填入的条件是（）A．S＜8 B．S＜9 C．S＜10 D．S＜11【分析】由框图给出的赋值，先执行一次运算i=i+1，然后判断得到的i的奇偶性，是奇数执行S=2*i+2，是偶数执行S=2*i+1，然后判断S的值是否满足判断框中的条件，满足继续从i=i+1执行，不满足跳出循环，输出i的值．【解答】解：框图首先给变量S和i赋值S=0，i=1，执行i=1+1=2，判断2是奇数不成立，执行S=2×2+1=5；判断框内条件成立，执行i=2+1=3，判断3是奇数成立，执行S=2×3+2=8；判断框内条件成立，执行i=3+1=4，判断4是奇数不成立，执行S=2×4+1=9；此时在判断时判断框中的条件应该不成立，输出i=4．而此时的S的值是9，故判断框中的条件应S＜9．若是S＜8，输出的i值等于3，与题意不符．故选：B．【点评】本题考查了程序框图，考查了循环结构，内含条件结构，整体属于当型循环，解答此题的关键是思路清晰，分清路径，属基础题．8．（5分）一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．200+9πB．200+18π C．140+9πD．140+18π【分析】根据题意，该几何体是下部是长方体、上部是半圆柱所组成．根据所给出的数据可求出体积．【解答】解：根据图中三视图可得出其体积=长方体的体积与半圆柱体积的和长方体的三度为：10、4、5；圆柱的底面半径为3，高为2，所以几何体的体积=10×4×5+32π×2=200+9π．故选：A．【点评】本题主要考查三视图的相关知识：主视图主要确定物体的长和高，左视图确定物体的宽和高，俯视图确定物体的长和宽．9．（5分）已知点A（2，0），抛物线C：x2=4y的焦点为F，射线FA与抛物线C 相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|：|MN|=（）A．2：B．1：2 C．1：D．1：3【分析】求出抛物线C的焦点F的坐标，从而得到AF的斜率k=﹣．过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|．Rt△MPN中，根据tan∠MNP=，从而得到|PN|=2|PM|，进而算出|MN|=|PM|，由此即可得到|FM|：|MN|的值．【解答】解：∵抛物线C：x2=4y的焦点为F（0，1），点A坐标为（2，0）∴抛物线的准线方程为l：y=﹣1，直线AF的斜率为k==﹣，过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|∵Rt△MPN中，tan∠MNP=﹣k=，∴=，可得|PN|=2|PM|，得|MN|==|PM|因此，，可得|FM|：|MN|=|PM|：|MN|=1：故选：C．【点评】本题给出抛物线方程和射线FA，求线段的比值．着重考查了直线的斜率、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．10．（5分）如图．已知l1⊥l2，圆心在l1上、半径为1m的圆O在t=0时与l2相切于点A，圆O沿l1以1m/s的速度匀速向上移动，圆被直线l2所截上方圆弧长记为x，令y=cosx，则y与时间t（0≤t≤1，单位：s）的函数y=f（t）的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】通过t的增加，排除选项A、D，利用x的增加的变化率，说明余弦函数的变化率，得到选项即可．【解答】解：因为当t=0时，x=0，对应y=1，所以选项A，D不合题意，当t由0增加时，x的变化率由大变小，又y=cosx是减函数，所以函数y=f（t）的图象变化先快后慢，所以选项B满足题意，C正好相反．故选：B．【点评】本题考查函数图象的变换快慢，考查学生理解题意以及视图能力．二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）若曲线y=x a+1（a∈R）在点（1，2）处的切线经过坐标原点，则a= 2．【分析】求出函数的导函数，求出x=1时的导数值，写出曲线y=x a+1（a∈R）在点（1，2）处的切线方程，把原点坐标代入即可解得α的值．【解答】解：由y=x a+1，得y′=ax a﹣1．所以y′|x=1=a，则曲线y=x a+1（α∈R）在点（1，2）处的切线方程为：y﹣2=a（x﹣1），即y=ax﹣a+2．把（0，0）代入切线方程得，a=2．故答案为：2．【点评】本题考查了利用导数研究曲线上某点处的导数，考查了直线方程点斜式，是基础题．12．（5分）某班植树小组今年春天计划植树不少于100棵，若第一天植树2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n（n∈N*）等于6．【分析】由题意可得，第n天种树的棵数a n是以2为首项，以2为公比的等比数列，根据等比数列的求和公式求出n天中种树的棵数满足s n≥100，解不等式可求【解答】解：由题意可得，第n天种树的棵数a n是以2为首项，以2为公比的等比数列s n==2n+1﹣2≥100∴2n+1≥102∵n∈N*∴n+1≥7∴n≥6，即n的最小值为6故答案为：6【点评】本题主要考查了等比数列的求和公式在实际问题中的应用，解题的关键是等比数列模型的确定13．（5分）设f（x）=sin3x+cos3x，若对任意实数x都有|f（x）|≤a，则实数a的取值范围是a≥2．【分析】构造函数F（x）=|f（x）|=|sin3x+cos3x|，利用正弦函数的特点求出F（x）max，从而可得答案．【解答】解：∵不等式|f（x）|≤a对任意实数x恒成立，令F（x）=|f（x）|=|sin3x+cos3x|，则a≥F（x）max．∵f（x）=sin3x+cos3x=2sin（3x+）∴﹣2≤f（x）≤2∴0≤F（x）≤2F（x）max=2∴a≥2．即实数a的取值范围是a≥2故答案为：a≥2．【点评】本题考查两角和与差公式及构造函数的思想，考查恒成立问题，属于中档题．14．（5分）若圆C经过坐标原点和点（4，0），且与直线y=1相切，则圆C的方程是．【分析】设出圆的圆心坐标与半径，利用已知条件列出方程组，求出圆的圆心坐标与半径，即可得到圆的方程．【解答】解：设圆的圆心坐标（a，b），半径为r，因为圆C经过坐标原点和点（4，0），且与直线y=1相切，所以，解得，所求圆的方程为：．故答案为：．【点评】本题考查圆的标准方程的求法，列出方程组是解题的关键，考查计算能力．15．（5分）如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4．【分析】判断EF与正方体表面的关系，即可推出正方体的六个面所在的平面与直线EF相交的平面个数即可．【解答】解：由题意可知直线EF与正方体的左右两个侧面平行，与正方体的上下底面相交，前后侧面相交，所以直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4．故答案为：4．【点评】本题考查直线与平面的位置关系，基本知识的应用，考查空间想象能力．三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）正项数列{a n}满足：a n2﹣（2n﹣1）a n﹣2n=0．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）令b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）通过分解因式，利用正项数列{a n}，直接求数列{a n}的通项公式a n；（2）利用数列的通项公式化简b n=，利用裂项法直接求数列{b n}的前n 项和T n．【解答】解：（1）由正项数列{a n}满足：﹣（2n﹣1）a n﹣2n=0，可得（a n﹣2n）（a n+1）=0所以a n=2n．（2）因为a n=2n，b n=，所以b n===，T n===．数列{b n}的前n项和T n为．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，裂项法求解数列的和的基本方法，考查计算能力．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1．（1）求证：a，b，c成等差数列；（2）若C=，求的值．【分析】（1）由条件利用二倍角公式可得sinAsinB+sinBsinC=2 sin2B，再由正弦定理可得ab+bc=2b2，即a+c=2b，由此可得a，b，c成等差数列．（2）若C=，由（1）可得c=2b﹣a，由余弦定理可得（2b﹣a）2=a2+b2﹣2ab•cosC，化简可得5ab=3b2，由此可得的值．【解答】解：（1）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，∵已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1，∴sinAsinB+sinBsinC=2 sin2B．再由正弦定理可得ab+bc=2b2，即a+c=2b，故a，b，c成等差数列．（2）若C=，由（1）可得c=2b﹣a，由余弦定理可得（2b﹣a）2=a2+b2﹣2ab•cosC=a2+b2+ab．化简可得5ab=3b2，∴=．【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质，二倍角公式、余弦定理的应用，属于中档题．18．（12分）小波已游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为以O 为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6（如图）这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记住这两个向量的数量积为X，若X＞0就去打球，若X=0就去唱歌，若X＜0就去下棋（1）写出数量积X的所有可能取值（2）分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．【分析】（1）由题意可得：X的所有可能取值为：﹣2，﹣1，0，1，（2）列举分别可得数量积为﹣2，﹣1，0，1时的情形种数，由古典概型的概率公式可得答案．【解答】解：（1）由题意可得：X的所有可能取值为：﹣2，﹣1，0，1，（2）数量积为﹣2的有，共1种，数量积为﹣1的有，，，，，共6种，数量积为0的有，，，共4种，数量积为1的有，，，共4种，故所有的可能共15种，所以小波去下棋的概率P1=，去唱歌的概率P2=，故不去唱歌的概率为：P=1﹣P2=1﹣=【点评】本题考查古典概型及其概率公式，涉及平面向量的数量积的运算，属中档题．19．（12分）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB=2，AD=，AA1=3，E为CD上一点，DE=1，EC=3（1）证明：BE⊥平面BB1C1C；（2）求点B1到平面EA1C1的距离．【分析】（1）过点B作BF⊥CD于F点，算出BF、EF、FC的长，从而在△BCE中算出BE、BC、CE的长，由勾股定理的逆定理得BE⊥BC，结合BE⊥BB1利用线面垂直的判定定理，可证出BE⊥平面BB1C1C；（2）根据AA1⊥平面A1B1C1，算出三棱锥E﹣A1B1C1的体积V=．根据线面垂直的性质和勾股定理，算出A1C1=EC1=3、A1E=2，从而得到等腰△A1EC1的面积=3，设B 1到平面EA1C1的距离为d，可得三棱锥B1﹣A1C1E的体积V=××d=d，从而得到=d，由此即可解出点B 1到平面EA1C1的距离．【解答】解：（1）过点B作BF⊥CD于F点，则：BF=AD=，EF=AB=DE=1，FC=EC﹣EF=3﹣1=2在Rt△BEF中，BE==；在Rt△BCF中，BC==因此，△BCE中可得BE2+BC2=9=CE2∴∠CBE=90°，可得BE⊥BC，∵BB1⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，∴BE⊥BB1，又∵BC、BB1是平面BB1C1C内的相交直线，∴BE⊥平面BB1C1C；（2）∵AA1⊥平面A1B1C1，得AA1是三棱锥E﹣A1B1C1的高线∴三棱锥E﹣A 1B1C1的体积V=×AA1×=在Rt△A1D1C1中，A1C1==3同理可得EC1==3，A1E==2∴等腰△A1EC1的底边A1C1上的中线等于=，可得=×2×=3设点B 1到平面EA1C1的距离为d，则三棱锥B1﹣A1C1E的体积为V=××d=d，可得=d，解之得d=即点B1到平面EA1C1的距离为．【点评】本题在直四棱柱中求证线面垂直，并求点到平面的距离．着重考查了线面垂直的判定与性质、勾股定理与其逆定理和利用等积转换的方法求点到平面的距离等知识，属于中档题．20．（13分）椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率，a+b=3．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明2m﹣k为定值．【分析】（1）由题目给出的离心率及a+b=3，结合条件a2=b2+c2列式求出a，b，则椭圆方程可求；（2）设出直线方程，和椭圆方程联立后解出P点坐标，两直线方程联立解出M 点坐标，由D，P，N三点共线解出N点坐标，由两点求斜率得到MN的斜率m，代入2m﹣k化简整理即可得到2m﹣k为定值．【解答】（1）解：因为，所以，即a2=4b2，a=2b．又a+b=3，得a=2，b=1．所以椭圆C的方程为；（2）证明：因为B（2，0），P不为椭圆顶点，则可设直线BP的方程为．联立，得（4k2+1）x2﹣16k2x+16k2﹣4=0．所以，．则．所以P（）．又直线AD的方程为．联立，解得M（）．由三点D（0，1），P（），N（x，0）共线，得，所以N（）．所以MN的斜率为=．则．所以2m﹣k为定值．【点评】本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了二次方程中根与系数关系，考查了由两点求斜率的公式，是中高档题．21．（14分）设函数常数且a∈（0，1）．（1）当a=时，求f（f（））；（2）若x0满足f（f（x0））=x0，但f（x0）≠x0，则称x0为f（x）的二阶周期点，试确定函数有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点x1，x2；（3）对于（2）中x1，x2，设A（x1，f（f（x1））），B（x2，f（f（x2））），C（a2，0），记△ABC的面积为s（a），求s（a）在区间[，]上的最大值和最小值．【分析】（1）当a=时，根据所给的函数解析式直接求值即可得出答案；（2）根据二阶周期点的定义，分段进行求解，找出符号定义的根即为所求；（3）由题意，先表示出s（a）的表达式，再借助导数工具研究s（a）在区间[，]上的单调性，确定出最值，即可求解出最值．【解答】解：（1）当a=时，求f（）=，故f（f（））=f（）=2（1﹣）=（2）f （f （x ））=当0≤x ≤a 2时，由=x ，解得x=0，因为f （0）=0，故x=0不是函数的二阶周期点；当a 2＜x ≤a 时，由=x ，解得x= 因为f （）==≠， 故x=是函数的二阶周期点；当a ＜x ≤a 2﹣a +1时，由=x ，解得x=∈（a ，a 2﹣a +1），因为f （）=，故得x=不是函数的二阶周期点；当a 2﹣a +1＜x ≤1时，由，解得x=∈（a 2﹣a +1，1），因为f （）=≠，故x=是函数的二阶周期点； 因此函数有两个二阶周期点，x 1=，x 2=（3）由（2）得A （，），B （，） 则s （a ）=S △OCB ﹣S △OCA =×，所以s′（a ）=×，因为a ∈（），有a 2+a ＜1，所以s′（a ）=×=＞0（或令g （a ）=a 3﹣2a 2﹣2a +2利用导数证明其符号为正亦可）s （a ）在区间[，]上是增函数，故s（a）在区间[，]上的最小值为s（）=，最大值为s（）=【点评】本题考查求函数的值，新定义的理解，利用导数求函数在闭区间上的最值，第二题解答的关键是理解定义，第三题的关键是熟练掌握导数工具判断函数的单调性，本题考查了方程的思想，转化化归的思想及符号运算的能力，难度较大，综合性强，解答时要严谨认真方可避免会而作不对现象的出现．。
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学文(新课标I卷,解析版)
绝密★启封并使用完毕前2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。
2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题。
每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
（1）已知集合{1,2,3,4}A =，2{|,}B x x n n A ==∈,则A B = （ ）（A ）｛0｝ （B ）｛-1，,0｝ （C ）{0，1} （D ）｛-1，,0，1}（2）212(1)i i +=-（ ） （A ）112i -- （B ）112i -+ （C ）112i + （D ）112i -（3）从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（ ）（A ）12 （B ）13 （C ）14 （D ）16（4）已知双曲线2222:1x y C a b -=(0,0)a b >>的离心率为则C 的渐近线方程为（ ） （A ）14y x =± （B ）13y x =± （C ）12y x =± （D ）y x =±（5）已知命题:p x R ∀∈，23x x <；命题:q x R ∃∈，321x x =-，则下列命题中为真命题的是：（ ）（A ）p q ∧ （B ）p q ⌝∧ （C ）p q ∧⌝ （D ）p q ⌝∧⌝（6）设首项为1，公比为23的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ） （A ）21n n S a =- （B ）32n n S a =- （C ）43n n S a =- （D ）32n n S a =-。
2013年高考文科数学江西卷
数学试卷 第1页（共9页） 数学试卷 第2页（共9页） 数学试卷 第3页（共9页）绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷4至6页,满分150分,考试时间120分钟. 考生注意：1.答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答,在试题卷上作答,答案无效.3.考试结束,监考员将试题卷、答题卡一并收回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.复数i)i(z 2--=(i 为虚数单位)在复平面内所对应的点在( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限 2.若集合2{|}10A x ax ax R ++=∈=中只有一个元素,则a =( )A .4B .2C .0D .0或43.若sin2α=,则cos α= ( )A .23-B .13-C .13D .234.集合{2,3}A =,{1,2,3}B =,从A ,B 中各任意取一个数,则这两数之和等于4的概率是( )A .23 B .12C .13D .165.总体由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为( )A .08B .07C .02D .016.下列选项中,使不等式21x x x<<成立的x 的取值范围是 ( )A .(1),--∞B .()1,0-C .(0,1)D .(1,)+∞7.阅读如下程序框图,如果输出4i =,那么空白的判断框中应填入的条件是( )A .8S <B .9S <C .10S<D .11S <8.一几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为( )A .200+9πB .200+18πC .140+9πD .140+18π9.已知点()2,0A ,抛物线24C x y ：=的焦点为F .射线FA 与抛物线C 相交于点M ,与其准线相交于点N ,则||:||=FM MN( )A.2B .1:2C .D .1:310.如图,已知12l l ⊥,圆心在1l 上、半径为1 m 的圆O 在=0t 时与2l 相切于点A ,圆O 沿l 1以1 m/s 的速度匀速向上移动,圆被直线2l 所截上方圆弧长记为x ,令=cos y x ,则y 与时间t （0≤t ≤1,单位：s ）的函数()y f t ＝的图像大致为 ( )--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共9页）数学试卷 第5页（共9页） 数学试卷 第6页（共9页）A .B .C .D .第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷共3页,须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答,在试题卷上作答,答案无效. 二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.若曲线1()y x R αα=∈+在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则α= . 12.某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植树的棵数是前一天的2倍,则需要的最少天数*()n n N ∈等于 . 13.设sin s33c (3o )f x x x =+,若对任意实数x 都有|()|f x a ≤,则实数a 的取值范围是 .14.若圆C 经过坐标原点和点(4,0),且与直线=1y 相切,则圆C 的方程是 . 15.如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB CD ∥,则直线EF 与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为 .三、解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）正项数列{}n a 满足：2210(2)n nn a a n ---=. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ； （Ⅱ）令1(1)n nb n a =+,求数列{}n b 的前n 项和n T .17.（本小题满分12分）在ABC △中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知sin sin sin sin A B B C ++cos21B =.（Ⅰ）求证：a ,b ,c 成等差数列；（Ⅱ）若2π3C =,求ab的值.18.（本小题满分12分）小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋.游戏规则为：以O 为起点,再从1A ,2A ,3A ,4A ,5A ,6A （如图）这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为X ,若0X >就去打球,若=0X 就去唱歌,若0X <就去下棋. （Ⅰ）写出数量积X 的所有可能取值；（Ⅱ）分别求小波去下棋的概率和不．去唱歌的概率.19.（本小题满分12分）如图,直四棱柱1111ABCD A B C D —中,AB CD ∥,AD AB ⊥,=2AB ,=2AD ,1=3AA ,E 为CD 上一点,=1DE ,=3EC .（Ⅰ）证明：BE ⊥平面11BB C C ； （Ⅱ）求点1B 到平面11EA C 的距离.20.（本小题满分13分）椭圆C ：2222=1(0)a x y a bb +>>的离心率3e =,3a b +=.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）如图,A ,B ,D 是椭圆C 的顶点,P 是椭圆C 上除顶点外的任意一点,直线DP 交x 轴于点N ,直线AD 交BP 于点M ,设BP 的斜率为k ,MN 的斜率为m . 证明：2m k -为定值.21.（本小题满分14分）设函数1, 0,11,.)11(=x x a ax a x a f x ≤≤＜≤⎧⎪⎪⎨⎪(-)⎪-⎩a 为常数且(0,1)a ∈.数学试卷 第7页（共9页） 数学试卷 第8页（共9页） 数学试卷 第9页（共9页）（Ⅰ）当12a =时,求1(())3f f ；（Ⅱ）若0x 满足00()=()f f x x ,但00()f x x ≠,则称0x 为()f x 的二阶周期点.证明函数()f x 有且仅有两个二阶周期点,并求二阶周期点1x ,2x ；（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的1x ,2x ,设11()(())A x f f x ，,22()(())B x f f x ，,2(0),C a ,记ABC △的面积为()S a ,求()S a 在区间11[,]32上的最大值和最小值.。
2013年江西省高考数学试卷(文科)答案与解析
2013年江西省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.23．（5分）（2013•江西）若sin=，则cosα=（）﹣2，代入已知化简即可．2×﹣=看做4．（5分）（2013•江西）集合A={2，3}，B={1，2，3}，从A，B中各取任意一个数，则这B故所求的概率为：=5．（5分）（2013•江西）总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一6．（5分）（2013•江西）下列选项中，使不等式x＜＜x2成立的x的取值范围是（）x=，时，代入＜，得到，显时，代入＜，显然不正确，排除＜7．（5分）（2013•江西）阅读如图所示的程序框图，如果输出i=4，那么空白的判断框中应填入的条件是（）8．（5分）（2013•江西）一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）5+9．（5分）（2013•江西）已知点A（2，0），抛物线C：x2=4y的焦点为F，射线FA与抛物：：．过MNP=|MN|=|PM|﹣，=|MN|==：10．（5分）（2013•江西）如图．已知l 1⊥l 2，圆心在l 1上、半径为1m 的圆O 在t=0时与l 2相切于点A ，圆O 沿l 1以1m/s 的速度匀速向上移动，圆被直线l 2所截上方圆弧长记为x ，令y=cosx ，则y 与时间t （0≤t ≤1，单位：s ）的函数y=f （t ）的图象大致为（ ）．二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）（2013•江西）若曲线y=x α+1（α∈R ）在点（1，2）处的切线经过坐标原点，则α= 2 ．12．（5分）（2013•江西）某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵树是前一天的2倍，则需要的最少天数n（n∈N*）等于6．=13．（5分）（2013•江西）设f（x）=sin3x+cos3x，若对任意实数x都有|f（x）|≤a，则实数a的取值范围是a≥2．|=||=|sin3x+cos3x|sin3x+cos3x=2sin3x+14．（5分）（2013•江西）若圆C经过坐标原点和点（4，0），且与直线y=1相切，则圆C的方程是．所求圆的方程为：故答案为：15．（5分）（2013•江西）如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4．三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）（2013•江西）正项数列{a n}满足：a n2﹣（2n﹣1）a n﹣2n=0．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）令b n=，求数列{b n}的前n项和T n．=满足：==．．17．（12分）（2013•江西）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1．（1）求证：a，b，c成等差数列；（2）若C=，求的值．，，由（，∴=18．（12分）（2013•江西）小波已游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6（如图）这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记住这两个向量的数量积为X，若X＞0就去打球，若X=0就去唱歌，若X＜0就去下棋（1）写出数量积X的所有可能取值（2）分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．，共的有，，，，，，，，，，，去唱歌的概率，﹣=19．（12分）（2013•江西）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB=2，AD=，AA1=3，E为CD上一点，DE=1，EC=3（1）证明：BE⊥平面BB1C1C；（2）求点B1到平面EA1C1的距离．V=、E=2=3××d=从而得到=AB=DE=1BE===V=×，=2上的中线等于，=××=3××d==d=的距离为．20．（13分）（2013•江西）椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率，a+b=3．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明2m﹣k为定值．，所以的方程为；，得（，．（的方程为，解得（（的斜率为=．21．（14分）（2013•江西）设函数常数且a∈（0，1）．（1）当a=时，求f（f（））；（2）若x0满足f（f（x0））=x0，但f（x0）≠x0，则称x0为f（x）的二阶周期点，试确定函数有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点x1，x2；（3）对于（2）中x1，x2，设A（x1，f（f（x1））），B（x2，f（f（x2））），C（a2，0），记△ABC 的面积为s（a），求s（a）在区间[，]上的最大值和最小值．时，根据所给的函数解析式直接求值即可得出答案；[，]时，求（=（）﹣时，由=x≠时，由∈），故得x=时，由x=（=x=，（×=×（×[，[，]（=（。
2013年高考真题——文科数学(江西卷)解析版 Word版含答案
2013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科数学解析本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。
全卷满分150分。
考试时间120分钟。
考生注意：1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘帖的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
第Ⅱ卷用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上答题，答案无效。
4. 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。
第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数z=i （-2-i ）（i 为虚数单位）在复平面内所对应的点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限[答案]：D[解析]：Z ＝-2i-i 2 =1-2i 对应点这（1，-2）在第四象限2. 若集合A=｛x ∈R|ax 2+ax+1＝0｝其中只有一个元素，则a= A.4 B.2 C.0 D.0或4 [答案]：A[解析]： 010a =≠∆当时，＝不合，当a 0时，＝0，则a=43. 3sin cos 2αα==若 （ ） A. 23-B. 13-C. 13D.23[答案]：C[解析]：211cos 12sin 12233αα=-=-⨯= 4.集合A={2,3},B={1,2,3},从A,B 中各取任意一个数，则这两数之和等于4的概率是A B. C. D.[答案]：C[解析]：所有情形有六种，满足要求的只有（2，2）和（3，1）故只能选C5.总体编号为01，02，…19，20的20个个体组成。
利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为A.08B.07C.02D.01[答案]：D[解析]：从第5列和第6列选出的两位数依次为65，72，08，02，63，14，07，02，43，69，97，28，01，98，但编号必须不大于20的且不和前面重复的只能是08，02，14，07，01，选D6. 下列选项中，使不等式x＜1x＜2x成立的x的取值范围是（）A.（，-1）B. （-1，0）C.0，1）D.（1，+）[答案]：A[解析]：令x=-2,不等式成立，只能选A。
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2013年江西省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数=i（﹣2﹣i）（i为虚数单位）在复平面内所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）若集合A={∈R|a2+a+1=0}其中只有一个元素，则a=（）A．4 B．2 C．0 D．0或43．（5分）若sin=，则cosα=（）A．﹣B．﹣C．D．4．（5分）集合A={2，3}，B={1，2，3}，从A，B中各取任意一个数，则这两数之和等于4的概率是（）A．B．C．D．5．（5分）总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出的第5个个体的编号为（）6．（5分）下列选项中，使不等式＜＜2成立的的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（1，+∞）7．（5分）阅读如图所示的程序框图，如果输出i=4，那么空白的判断框中应填入的条件是（）A ．S ＜8B ．S ＜9C ．S ＜10D ．S ＜118．（5分）一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．200+9πB ．200+18πC ．140+9πD ．140+18π9．（5分）已知点A （2，0），抛物线C ：2=4y 的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则|FM|：|MN|=（ ） A ．2：B ．1：2C ．1：D ．1：310．（5分）如图．已知l 1⊥l 2，圆心在l 1上、半径为1m 的圆O 在t=0时与l 2相切于点A ，圆O 沿l 1以1m/s 的速度匀速向上移动，圆被直线l 2所截上方圆弧长记为，令y=cos ，则y 与时间t （0≤t ≤1，单位：s ）的函数y=f （t ）的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D．二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）若曲线y=a+1（a∈R）在点（1，2）处的切线经过坐标原点，则a= ．12．（5分）某班植树小组今年春天计划植树不少于100棵，若第一天植树2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n（n∈N*）等于．13．（5分）设f（）=sin3+cos3，若对任意实数都有|f（）|≤a，则实数a 的取值范围是．14．（5分）若圆C经过坐标原点和点（4，0），且与直线y=1相切，则圆C的方程是．15．（5分）如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为．三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）正项数列{an }满足：an2﹣（2n﹣1）an﹣2n=0．（1）求数列{an }的通项公式an；（2）令bn =，求数列{bn}的前n项和Tn．17．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1． （1）求证：a ，b ，c 成等差数列； （2）若C=，求的值．18．（12分）小波已游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为以O 为起点，再从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6（如图）这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记住这两个向量的数量积为，若＞0就去打球，若=0就去唱歌，若＜0就去下棋（1）写出数量积的所有可能取值（2）分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．19．（12分）如图，直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ∥CD ，AD ⊥AB ，AB=2，AD=，AA 1=3，E 为CD 上一点，DE=1，EC=3（1）证明：BE ⊥平面BB 1C 1C ； （2）求点B 1到平面EA 1C 1 的距离．20．（13分）椭圆C ：=1（a ＞b ＞0）的离心率，a+b=3．（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，A ，B ，D 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意点，直线DP 交轴于点N 直线AD 交BP 于点M ，设BP 的斜率为，MN 的斜率为m ，证明2m ﹣为定值．21．（14分）设函数常数且a ∈（0，1）．（1）当a=时，求f （f （））；（2）若0满足f （f （0））=0，但f （0）≠0，则称0为f （）的二阶周期点，试确定函数有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点1，2；（3）对于（2）中1，2，设A （1，f （f （1））），B （2，f （f （2））），C （a 2，0），记△ABC 的面积为s （a ），求s （a ）在区间[，]上的最大值和最小值．2013年江西省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数=i（﹣2﹣i）（i为虚数单位）在复平面内所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】化简可得复数=i（﹣2﹣i）=﹣2i﹣i2=1﹣2i，由复数的几何意义可得答案．【解答】解：化简可得复数=i（﹣2﹣i）=﹣2i﹣i2=1﹣2i，故复数在复平面内所对应的点的坐标为（1，﹣2）在第四象限，故选：D．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，属基础题．2．（5分）若集合A={∈R|a2+a+1=0}其中只有一个元素，则a=（）A．4 B．2 C．0 D．0或4【分析】当a为零时，方程不成立，不符合题意，当a不等于零时，方程是一元二次方程只需判别式为零即可．【解答】解：当a=0时，方程为1=0不成立，不满足条件当a≠0时，△=a2﹣4a=0，解得a=4故选：A．【点评】本题主要考查了元素与集合关系的判定，以及根的个数与判别式的关系，属于基础题．3．（5分）若sin=，则cosα=（）A．﹣B．﹣C．D．【分析】由二倍角的余弦公式可得cosα=1﹣2sin2，代入已知化简即可．【解答】解：由二倍角的余弦公式可得cosa=1﹣2sin2=1﹣2×=1﹣=故选：C．【点评】本题考查二倍角的余弦公式，把α看做的二倍角是解决问题的关键，属基础题．4．（5分）集合A={2，3}，B={1，2，3}，从A，B中各取任意一个数，则这两数之和等于4的概率是（）A．B．C．D．【分析】由分步计数原理可得总的方法种数为2×3=6，由列举法可得符合条件的有2种，由古典概型的概率公式可得答案．【解答】解：从A，B中各取任意一个数共有2×3=6种分法，而两数之和为4的有：（2，2），（3，1）两种方法，故所求的概率为：=．故选：C．【点评】本题考查古典概型及其概率公式，属基础题．5．（5分）总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出的第5个个体的编号为（）A．08 B．07 C．02 D．01【分析】从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字开始向右读，依次为65，72，08，02，63，14，07，02，43，69，97，28，01，98，…，其中08，02，14，07，01符合条件，故可得结论．【解答】解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字开始向右读，第一个数为65，不符合条件，第二个数为72，不符合条件，第三个数为08，符合条件，以下符合条件依次为：08，02，14，07，01，故第5个数为01．故选：D．【点评】本题主要考查简单随机抽样．在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，所以每个数被抽到的概率是一样的．6．（5分）下列选项中，使不等式＜＜2成立的的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（1，+∞）【分析】通过=，，2验证不等式是否成立，排除选项B、C、D．即可得到正确选项．【解答】解：利用特殊值排除选项，不妨令=时，代入＜＜2，得到＜，显然不成立，选项B不正确；当=时，代入＜＜2，得到，显然不正确，排除C；当=2时，代入＜＜2，得到，显然不正确，排除D．故选：A．【点评】本题考查分式不等式的解法，由于本题是选择题，利用特殊值验证法是快速解答选择题的一种技巧．当然可以直接解答，过程比较复杂．7．（5分）阅读如图所示的程序框图，如果输出i=4，那么空白的判断框中应填入的条件是（）A．S＜8 B．S＜9 C．S＜10 D．S＜11【分析】由框图给出的赋值，先执行一次运算i=i+1，然后判断得到的i的奇偶性，是奇数执行S=2*i+2，是偶数执行S=2*i+1，然后判断S的值是否满足判断框中的条件，满足继续从i=i+1执行，不满足跳出循环，输出i的值．【解答】解：框图首先给变量S和i赋值S=0，i=1，执行i=1+1=2，判断2是奇数不成立，执行S=2×2+1=5；判断框内条件成立，执行i=2+1=3，判断3是奇数成立，执行S=2×3+2=8；判断框内条件成立，执行i=3+1=4，判断4是奇数不成立，执行S=2×4+1=9；此时在判断时判断框中的条件应该不成立，输出i=4．而此时的S的值是9，故判断框中的条件应S＜9．若是S＜8，输出的i值等于3，与题意不符．故选：B．【点评】本题考查了程序框图，考查了循环结构，内含条件结构，整体属于当型循环，解答此题的关键是思路清晰，分清路径，属基础题．8．（5分）一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．200+9π B．200+18π C．140+9πD．140+18π【分析】根据题意，该几何体是下部是长方体、上部是半圆柱所组成．根据所给出的数据可求出体积．【解答】解：根据图中三视图可得出其体积=长方体的体积与半圆柱体积的和长方体的三度为：10、4、5；圆柱的底面半径为3，高为2，所以几何体的体积=10×4×5+32π×2=200+9π．故选：A．【点评】本题主要考查三视图的相关知识：主视图主要确定物体的长和高，左视图确定物体的宽和高，俯视图确定物体的长和宽．9．（5分）已知点A（2，0），抛物线C：2=4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|：|MN|=（）A．2：B．1：2 C．1：D．1：3【分析】求出抛物线C的焦点F的坐标，从而得到AF的斜率=﹣．过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|．Rt△MPN中，根据tan∠MNP=，从而得到|PN|=2|PM|，进而算出|MN|=|PM|，由此即可得到|FM|：|MN|的值．【解答】解：∵抛物线C：2=4y的焦点为F（0，1），点A坐标为（2，0）∴抛物线的准线方程为l：y=﹣1，直线AF的斜率为==﹣，过M 作MP ⊥l 于P ，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|∵Rt △MPN 中，tan ∠MNP=﹣=， ∴=，可得|PN|=2|PM|，得|MN|==|PM|因此，，可得|FM|：|MN|=|PM|：|MN|=1：故选：C ．【点评】本题给出抛物线方程和射线FA ，求线段的比值．着重考查了直线的斜率、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．10．（5分）如图．已知l 1⊥l 2，圆心在l 1上、半径为1m 的圆O 在t=0时与l 2相切于点A ，圆O 沿l 1以1m/s 的速度匀速向上移动，圆被直线l 2所截上方圆弧长记为，令y=cos ，则y 与时间t （0≤t ≤1，单位：s ）的函数y=f （t ）的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D．【分析】通过t的增加，排除选项A、D，利用的增加的变化率，说明余弦函数的变化率，得到选项即可．【解答】解：因为当t=0时，=0，对应y=1，所以选项A，D不合题意，当t由0增加时，的变化率由大变小，又y=cos是减函数，所以函数y=f（t）的图象变化先快后慢，所以选项B满足题意，C正好相反．故选：B．【点评】本题考查函数图象的变换快慢，考查学生理解题意以及视图能力．二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）若曲线y=a+1（a∈R）在点（1，2）处的切线经过坐标原点，则a= 2 ．【分析】求出函数的导函数，求出=1时的导数值，写出曲线y=a+1（a∈R）在点（1，2）处的切线方程，把原点坐标代入即可解得α的值．【解答】解：由y=a+1，得y′=a a﹣1．=a，则曲线y=a+1（α∈R）在点（1，2）处的切线方程为：所以y′|=1y﹣2=a（﹣1），即y=a﹣a+2．把（0，0）代入切线方程得，a=2．故答案为：2．【点评】本题考查了利用导数研究曲线上某点处的导数，考查了直线方程点斜式，是基础题．12．（5分）某班植树小组今年春天计划植树不少于100棵，若第一天植树2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n（n∈N*）等于 6 ．是以2为首项，以2为公比的等比【分析】由题意可得，第n天种树的棵数an数列，根据等比数列的求和公式求出n天中种树的棵数满足s≥100，解不等n式可求是以2为首项，以2为公比的【解答】解：由题意可得，第n天种树的棵数an等比数列==2n+1﹣2≥100sn∴2n+1≥102∵n∈N*∴n+1≥7∴n≥6，即n的最小值为6故答案为：6【点评】本题主要考查了等比数列的求和公式在实际问题中的应用，解题的关键是等比数列模型的确定13．（5分）设f（）=sin3+cos3，若对任意实数都有|f（）|≤a，则实数a 的取值范围是a≥2 ．【分析】构造函数F（）=|f（）|=|sin3+cos3|，利用正弦函数的特点求出，从而可得答案．F（）ma【解答】解：∵不等式|f（）|≤a对任意实数恒成立，令F（）=|f（）|=|sin3+cos3|，．则a≥F（）ma∵f（）=sin3+cos3=2sin（3+）∴﹣2≤f（）≤2∴0≤F（）≤2F（）=2ma∴a≥2．即实数a的取值范围是a≥2故答案为：a≥2．【点评】本题考查两角和与差公式及构造函数的思想，考查恒成立问题，属于中档题．14．（5分）若圆C经过坐标原点和点（4，0），且与直线y=1相切，则圆C的方程是．【分析】设出圆的圆心坐标与半径，利用已知条件列出方程组，求出圆的圆心坐标与半径，即可得到圆的方程．【解答】解：设圆的圆心坐标（a，b），半径为r，因为圆C经过坐标原点和点（4，0），且与直线y=1相切，所以，解得，所求圆的方程为：．故答案为：．【点评】本题考查圆的标准方程的求法，列出方程组是解题的关键，考查计算能力．15．（5分）如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为 4 ．【分析】判断EF与正方体表面的关系，即可推出正方体的六个面所在的平面与直线EF相交的平面个数即可．【解答】解：由题意可知直线EF与正方体的左右两个侧面平行，与正方体的上下底面相交，前后侧面相交，所以直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4．故答案为：4．【点评】本题考查直线与平面的位置关系，基本知识的应用，考查空间想象能力．三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）正项数列{an }满足：an2﹣（2n﹣1）an﹣2n=0．（1）求数列{an }的通项公式an；（2）令bn =，求数列{bn}的前n项和Tn．【分析】（1）通过分解因式，利用正项数列{an }，直接求数列{an}的通项公式an ；（2）利用数列的通项公式化简bn =，利用裂项法直接求数列{bn}的前n项和Tn．【解答】解：（1）由正项数列{an }满足：﹣（2n﹣1）an﹣2n=0，可得（an ﹣2n）（an+1）=0所以an=2n．（2）因为an =2n，bn=，所以bn===，Tn===．数列{bn }的前n项和Tn为．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，裂项法求解数列的和的基本方法，考查计算能力．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1．（1）求证：a，b，c成等差数列；（2）若C=，求的值．【分析】（1）由条件利用二倍角公式可得sinAsinB+sinBsinC=2 sin2B，再由正弦定理可得ab+bc=2b2，即a+c=2b，由此可得a，b，c成等差数列．（2）若C=，由（1）可得c=2b﹣a，由余弦定理可得（2b﹣a）2=a2+b2﹣2ab•cosC，化简可得5ab=3b2，由此可得的值．【解答】解：（1）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，∵已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1， ∴sinAsinB+sinBsinC=2 sin 2B ．再由正弦定理可得 ab+bc=2b 2，即 a+c=2b ，故a ，b ，c 成等差数列．（2）若C=，由（1）可得c=2b ﹣a ，由余弦定理可得 （2b ﹣a ）2=a 2+b 2﹣2ab •cosC=a 2+b 2+ab ．化简可得 5ab=3b 2，∴=．【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质，二倍角公式、余弦定理的应用，属于中档题．18．（12分）小波已游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为以O 为起点，再从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6（如图）这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记住这两个向量的数量积为，若＞0就去打球，若=0就去唱歌，若＜0就去下棋（1）写出数量积的所有可能取值（2）分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．【分析】（1）由题意可得：的所有可能取值为：﹣2，﹣1，0，1，（2）列举分别可得数量积为﹣2，﹣1，0，1时的情形种数，由古典概型的概率公式可得答案．【解答】解：（1）由题意可得：的所有可能取值为：﹣2，﹣1，0，1， （2）数量积为﹣2的有，共1种，数量积为﹣1的有，，，，，共6种，数量积为0的有，，，共4种， 数量积为1的有，，，共4种，故所有的可能共15种，所以小波去下棋的概率P 1=，去唱歌的概率P 2=，故不去唱歌的概率为：P=1﹣P 2=1﹣=【点评】本题考查古典概型及其概率公式，涉及平面向量的数量积的运算，属中档题．19．（12分）如图，直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ∥CD ，AD ⊥AB ，AB=2，AD=，AA 1=3，E 为CD 上一点，DE=1，EC=3（1）证明：BE ⊥平面BB 1C 1C ； （2）求点B 1到平面EA 1C 1 的距离．【分析】（1）过点B 作BF ⊥CD 于F 点，算出BF 、EF 、FC 的长，从而在△BCE 中算出BE 、BC 、CE 的长，由勾股定理的逆定理得BE ⊥BC ，结合BE ⊥BB 1利用线面垂直的判定定理，可证出BE ⊥平面BB 1C 1C ； （2）根据AA 1⊥平面A 1B 1C 1，算出三棱锥E ﹣A 1B 1C 1的体积V=．根据线面垂直的性质和勾股定理，算出A 1C 1=EC 1=3、A 1E=2，从而得到等腰△A 1EC 1的面积=3，设B1到平面EA 1C 1 的距离为d ，可得三棱锥B 1﹣A 1C 1E 的体积V=××d=d ，从而得到=d ，由此即可解出点B 1到平面EA 1C 1的距离．【解答】解：（1）过点B 作BF ⊥CD 于F 点，则：BF=AD=，EF=AB=DE=1，FC=EC ﹣EF=3﹣1=2在Rt △BEF 中，BE==；在Rt △BCF 中，BC==因此，△BCE 中可得BE 2+BC 2=9=CE 2 ∴∠CBE=90°，可得BE ⊥BC ， ∵BB 1⊥平面ABCD ，BE ⊂平面ABCD ， ∴BE ⊥BB 1，又∵BC 、BB 1是平面BB 1C 1C 内的相交直线， ∴BE ⊥平面BB 1C 1C ；（2）∵AA 1⊥平面A 1B 1C 1，得AA 1是三棱锥E ﹣A 1B 1C 1的高线 ∴三棱锥E ﹣A 1B 1C 1的体积V=×AA 1×=在Rt △A 1D 1C 1中，A 1C 1==3同理可得EC 1==3，A 1E==2∴等腰△A 1EC 1的底边A 1C 1上的中线等于=，可得=×2×=3设点B 1到平面EA 1C 1的距离为d ，则三棱锥B 1﹣A 1C 1E 的体积为V=××d=d ，可得=d ，解之得d=即点B 1到平面EA 1C 1的距离为．【点评】本题在直四棱柱中求证线面垂直，并求点到平面的距离．着重考查了线面垂直的判定与性质、勾股定理与其逆定理和利用等积转换的方法求点到平面的距离等知识，属于中档题．20．（13分）椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率，a+b=3．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交轴于点N直线AD交BP于点M，设BP的斜率为，MN的斜率为m，证明2m﹣为定值．【分析】（1）由题目给出的离心率及a+b=3，结合条件a2=b2+c2列式求出a，b，则椭圆方程可求；（2）设出直线方程，和椭圆方程联立后解出P点坐标，两直线方程联立解出M点坐标，由D，P，N三点共线解出N点坐标，由两点求斜率得到MN的斜率m，代入2m﹣化简整理即可得到2m﹣为定值．【解答】（1）解：因为，所以，即a2=4b2，a=2b．又a+b=3，得a=2，b=1．所以椭圆C的方程为；（2）证明：因为B（2，0），P不为椭圆顶点，则可设直线BP的方程为．联立，得（42+1）2﹣162+162﹣4=0．所以，．则．所以P（）．又直线AD的方程为．联立，解得M（）．由三点D（0，1），P（），N（，0）共线，得，所以N（）．所以MN的斜率为=．则．所以2m﹣为定值．【点评】本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了二次方程中根与系数关系，考查了由两点求斜率的公式，是中高档题．21．（14分）设函数常数且a ∈（0，1）．（1）当a=时，求f （f （））；（2）若0满足f （f （0））=0，但f （0）≠0，则称0为f （）的二阶周期点，试确定函数有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点1，2；（3）对于（2）中1，2，设A （1，f （f （1））），B （2，f （f （2））），C （a 2，0），记△ABC 的面积为s （a ），求s （a ）在区间[，]上的最大值和最小值．【分析】（1）当a=时，根据所给的函数解析式直接求值即可得出答案；（2）根据二阶周期点的定义，分段进行求解，找出符号定义的根即为所求；（3）由题意，先表示出s （a ）的表达式，再借助导数工具研究s （a ）在区间[，]上的单调性，确定出最值，即可求解出最值．【解答】解：（1）当a=时，求f （）=，故f （f （））=f （）=2（1﹣）=（2）f （f （））=当0≤≤a 2时，由=，解得=0，因为f （0）=0，故=0不是函数的二阶周期点；当a 2＜≤a 时，由=，解得=因为f （）==≠，故=是函数的二阶周期点；当a ＜≤a 2﹣a+1时，由=，解得=∈（a ，a 2﹣a+1），因为f （）=，故得=不是函数的二阶周期点；当a 2﹣a+1＜≤1时，由，解得=∈（a 2﹣a+1，1），因为f （）=≠，故=是函数的二阶周期点；因此函数有两个二阶周期点，1=，2=（3）由（2）得A （，），B （，） 则s （a ）=S △OCB ﹣S △OCA =×，所以s ′（a ）=×，因为a ∈（），有a 2+a ＜1，所以s ′（a ）=×=＞0（或令g （a ）=a 3﹣2a 2﹣2a+2利用导数证明其符号为正亦可）s （a ）在区间[，]上是增函数， 故s （a ）在区间[，]上的最小值为s （）=，最大值为s （）=【点评】本题考查求函数的值，新定义的理解，利用导数求函数在闭区间上的最值，第二题解答的关键是理解定义，第三题的关键是熟练掌握导数工具判断函数的单调性，本题考查了方程的思想，转化化归的思想及符号运算的能力，难度较大，综合性强，解答时要严谨认真方可避免会而作不对现象的出现．。
2013年高考全国Ⅰ文科数学试题及答案(word解析版)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ）数学（文科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2013年全国Ⅰ，文1，5分】已知集合{1,2,3,4}A =，2{|,}B x x n n A ==∈，则A B =（ ）（A ）{}1,4 （B ）{}2,3 （C ）{}9,16 （D ）{}1,2 【答案】A【解析】∵{}21,4,9,}1{|6B x x n n A ∈＝＝，＝，∴{}1,4A B ⋂＝，故选A ．（2）【2013年全国Ⅰ，文2，5分】212i1i +=(-)（ ） （A ）11i 2-- （B ）11i 2-+ （C ）11i 2+ （D ）11i 2-【答案】B【解析】212i 12i 12i i 2i 11+i 1i 2i 222++(+)-+====-(-)-，故选B ． （3）【2013年全国Ⅰ，文3，5分】从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（ ）（A ）12 （B ）13（C ）14 （D ）16【答案】B【解析】由题意知总事件数为6，且分别为()1,2，()1,3，()1,4，()2,3，()2,4，()3,4，满足条件的事件数是2，所以所求的概率为13，故选B ．（4）【2013年全国Ⅰ，文4，5分】已知双曲线C ：()2222=10,0x y a b a b->>，则C 的渐近线方程为（ ）（A ）14y x =± （B ）13y x =± （C ）12y x =± （D ）y x =±【答案】C【解析】∵e =c a =，即2254c a =．∵222c a b ＝＋，∴2214b a =．∴12b a =．∵双曲线的渐近线方程为b y x a =±，∴渐近线方程为12y x =±，故选C ．（5）【2013年全国Ⅰ，文5，5分】已知命题:p x R ∀∈，23x x<；命题:q x R ∃∈，321x x =-，则下列命题中为真命题的是（ ）（A ）p q ∧ （B ）p q ⌝∧ （C ）p q ∧⌝ （D ）p q ⌝∧⌝ 【答案】B【解析】由0023=知，p 为假命题．令()321h x x x =-+，∵()010h =-<，()110h =>，∴3210x x -+=在()0,1 内有解．∴x ∃∈R ，321x x =-，即命题q 为真命题．由此可知只有⌝p ∧q 为真命题，故选B ．（6）【2013年全国Ⅰ，文6，5分】设首项为1，公比为23的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ）（A ）21n n S a =- （B ）32n n S a =- （C ）43n n S a =- （D ）32n n S a =- 【答案】D【解析】1121133221113nnn n na a a q a q S a q q --(-)====----，故选D ． （7）【2013年全国Ⅰ，文7，5分】执行右面的程序框图，如果输入的[1,3]t ∈-，则输出的S 属于（ ）（A ）[3,4]- （B ）[5,2]- （C ）[4,3]- （D ）[2,5]-【答案】A【解析】当11t -≤<时，3s t =，则,3[)3s ∈-．当13t ≤≤时，24s t t =-．∵该函数的对称轴为2t =，∴该函数在[]1,2上单调递增，在[]2,3上单调递减．∴4max s =，3min s =．∴[]3,4s ∈． 综上知,4[]3s ∈-，故选A ．（8）【2013年全国Ⅰ，文8，5分】O 为坐标原点，F为抛物线2:C y =的焦点，P 为C 上一点，若||PF =则POF ∆的面积为（ ） （A ）2 （B） （C） （D ）4 【答案】C【解析】利用P PF x =+=，可得P x．∴P y =±．∴1=2POF P S OF y ∆C ．（9）【2013年全国Ⅰ，文9，5分】函数()(1cos )sin f x x x =-在[,]ππ-的图像大致为（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）【答案】C【解析】由()()1cos sin f x x x =-知其为奇函数．可排除B ．当π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0f x >，排除A ．当0()x π∈,时，()()22sin cos 1cos 2cos cos 1f x x x x x x '=+-=-++．令()0f x '=，得2π3x =．故极值点为23x π=，可排除D ，故选C ．（10）【2013年全国Ⅰ，文10，5分】已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，223cos cos20A A +=，7a =，6c =，则b =（ ）（A ）10 （B ）9 （C ）8 （D ）5 【答案】D【解析】由223cos cos20A A +=，得22c o s 15A =．∵π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴1cos 5A =．∵23649cos 26b A b +-=⨯，∴5b =或135b =-(舍)，故选D ．（11）【2013年全国Ⅰ，文11，5分】某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为（ ）（A ）168π+ （B ）88π+ （C ）1616π+ （D ）816π+ 【答案】A【解析】该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体．212482V ππ=⨯⨯=半圆柱，42216V =⨯⨯=长方体．所以所求体积为168π+，故选A ．（12）【2013年全国Ⅰ，文12，5分】已知函数22,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若|()|f x a x ≥，则a 的取值范围是（ ）（A ）(,0]-∞ （B ）(,1]-∞ （C ）[2,1]- （D ）[2,0]- 【答案】D【解析】可画出()f x 的图象如图所示．当0a >时，y ax =与()y f x =恒有公共点，所以排除B ，C ；当0a ≤时，若0x >，则()f x ax ≥恒成立．若0x ≤，则以y ax =与 22y x x =-+相切为界限，由22y ax y x x=⎧⎨=-⎩得()220x a x -+=．∵()220a ∆=+=， ∴2a =-．∴[]2,0a ∈-，故选D ．第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 （13）【2013年全国Ⅰ，文13，5分】已知两个单位向量a ，b 的夹角为60，(1)=+-c a b t t ，若0⋅=b c ，则t = ． 【答案】2【解析】∵0⋅=b c ，1==a b ，,60=︒a b 〈〉，∴111122⋅=⨯⨯=a b ．∴[](1)0⋅=+-⋅=b c a b b t t ， 即()2·10t t +-=a b b ．∴1102t t +-=．∴2t =． （14）【2013年全国Ⅰ，文14，5分】设,x y 满足约束条件1310x x y ≤≤⎧⎨-≤-≤⎩，则2z x y =-的最大值为 ． 【答案】3【解析】画出可行域如图所示．画出直线20x y -=，并平移，当直线经过点()3,3A 时，z 取最大值，且最大值为2333z =⨯-=．（15）【2013年全国Ⅰ，文15，5分】已知H 是球O 的直径AB 上一点，:1:2AH HB =，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为 ． 【答案】92π【解析】如图，设球O 的半径为R ，则23R AH =，3ROH =．又∵2·EH ππ=，∴1EH =．∵在Rt OEH ∆中，222+13R R ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴298R =．∴2π249S R π==球．（16）【2013年全国Ⅰ，文16，5分】设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ= ．【答案】【解析】∵()()sin 2co s f x x x x ϕ=-=-，其中sin ϕ=cos 5ϕ=．当2)2(x k k πϕπ-=+∈Z 时，()f x 取最大值．即22()k k πθϕπ-=+∈Z ，22()k k πθπϕ=++∈Z．∴πcos =cos sin 2θϕϕ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）【2013年全国Ⅰ，文17，12分】已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足30S =，55S =-．（1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列21211{}n n a a -+的前n 项和．解：（1）设{}n a 的公差为d ，则1(1)2n n n S na d -=+．由已知可得113305105a d a d +=⎧⎨+=⎩解得11a =，1d =-． 故{}n a 的通项公式为2n a n =-．（2）由（1）知212111111321222321n n a a n n n n -+⎛⎫==- ⎪(-)(-)--⎝⎭，从而数列21211n n a a -+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为： 111111121113232112nn n n⎛⎫-+-++-=⎪----⎝⎭． （18）【2013年全国Ⅰ，文18，12分】为了比较两种治疗失眠症的药（分别称为A 药，B 药）的疗效，随机地选取20位患者服用A 药，20位患者服用B 药，这40位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h ），试验的观测结果如下：服用A 药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4服用B 药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5 （1）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？（2）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？ 解：（1）设A 药观测数据的平均数为x ，B 药观测数据的平均数为y ．由观测结果可得()10.6 1.2 1.2 1.5 1.5 1.8 2.2 2.3 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.7 2.8 2.9 3.0 3.1 3.2 3.5 2.320x =+++++++++++++++++++= ()10.50.50.60.80.9 1.1 1.2 1.2 1.3 1.4 1.6 1.7 1.8 1.9 2.1 2.4 2.5 2.6 2.7 3.2 1.620y =+++++++++++++++++++= 由以上计算结果可得x y >，因此可看出A 药的疗效更好． （2）由观测结果可绘制如下茎叶图：从以上茎叶图可以看出，A 药疗效的试验结果有710的叶集中在茎2，3上，而B 药疗效的试验结果有710的叶集中在茎0，1上，由此可看出A 药的疗效更好．（19）【2013年全国Ⅰ，文19，12分】如图，三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，1AB AA =， 160BAA ∠=．（1）证明：1AB AC ⊥； （2）若2AB CB ==，1A C =111ABC A B C -的体积．解：（1）取AB 的中点O ，连结OC ，1OA ，1A B ．因为CA CB =，所以OC AB ⊥．由于1AB AA =，160BAA ∠=︒，故1AA B ∆为等边三角形，所以1OA AB ⊥． 因为1OCOA O =，所以AB ⊥平面1OAC ．又1A C ⊂平面1OAC ，故1AB AC ⊥．（2）由题设知ABC ∆与1AA B ∆都是边长为2的等边三角形，所以1OC OA ==又1A C =，则12212A C OC OA =+，故1OA OC⊥．因为OC AB O =，所以1OA ⊥平面ABC ，1OA 为三棱柱111ABC A B C -的高．又ABC ∆的面积ABC S ∆=故三棱柱111ABC A B C -的体积13ABC V S OA ∆=⨯=．（20）【2013年全国Ⅰ，文20，12分】已知函数2()()4x f x e ax b x x =+--，曲线()y f x =在点(0,(0))f 处切线方程为44y x =+．1（1）求,a b 的值；（2）讨论()f x 的单调性，并求()f x 的极大值．解：（1）()()24x f x e ax a b x '=++--．由已知得()04f =，()04f '=．故4b =，8a b +=．从而4a =，4b =．（2）由（1）知，()()2414x f x e x x x =+--，()()()14e 22442e 2x x f x x x x ⎛⎫'=+--=+⋅- ⎪⎝⎭．令()0f x '=得，ln2x =-或2x =-．从而当()(n2)2l x ∈-∞--+∞，，时，()0f x '>；当l 2(2n )x ∈--，时，()0f x '<．故()f x 在()2-∞-，，ln2()-+∞，上单调递增，在2n2()l --，上单调递减．当2x =-时，函数()f x 取得极大值，极大值为()()2241f e --=-．（21）【2013年全国Ⅰ，文21，12分】已知圆22:(1)1M x y ++=，圆22:(1)9N x y -+=，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ． （1）求C 的方程；（2）l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长是，求||AB ． 解：由已知得圆M 的圆心为()1,0M -，半径11r =；圆N 的圆心为()1,0N ，半径23r =．设圆P 的圆心为()P x y ，，半径为R ．（1）因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以()()12124PM PN R r r R r r +=++-=+=．由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2(左顶点除外)，其方程为()22=1243x y x +≠-．（2）对于曲线C 上任意一点()P x y ，，由于222PM PN R -=-≤，所以2R ≤，当且仅当圆P 的圆心为()2,0时，2R =．所以当圆P 的半径最长时，其方程为()2224x y -+=．若l 的倾斜角为90︒，则l 与y 轴重合，可得AB =．若l 的倾斜角不为90︒，由1r R ≠知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则1||||QP R QM r =，可求得()4,0Q -，所以可设()4l y k x =+：．由l 与圆M1=，解得k =．当k时，将y x 22=143x y +，并整理得27880x x +-=，解得1,2x =，所以21187AB x -=．当k =时，由图形的对称性可知187AB =．综上，AB =或187AB =．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． （22）【2013年全国Ⅰ，文22，10分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，ABC ∠的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于点D ． （1）证明：DB DC =； （2）设圆的半径为1，BC CE 交AB 于点F ，求BCF ∆外接圆的半径． 解：（1）连结DE ，交BC 于点G ．由弦切角定理得，ABE BCE ∠=∠．而ABE CBE ∠=∠，故CBE BCE ∠=∠，BE CE =．又因为DB BE ⊥，所以DE 为直径，90DCE ∠=︒，DB DC =．（2）由（1）知，CDE BDE ∠=∠，DB DC =，故DG 是BC的中垂线，所以BG =设DE 的中点为O ，连结BO ，则60BOG ∠=︒．从而30ABE BCE CBE ∠=∠=∠=︒，所以CF BF ⊥，故Rt BCF ∆．（23）【2013年全国Ⅰ，文23，10分】（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线1C 的参数方程为45cos 55sin x ty t=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=．（1）把1C 的参数方程化为极坐标方程；（2）求1C 与2C 交点的极坐标(0ρ≥，02θπ≤<)．解：（1）将45cos 55sin x t y t =+⎧⎨=+⎩消去参数t ，化为普通方程()()224525x y -+-=，即221810160C x y x y +--+=：．将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入22810160x y x y +--+=得28cos 10sin 160ρρθρθ--+=． 所以1C 的极坐标方程为28cos 10sin 160ρρθρθ--+=．（2）2C 的普通方程为2220x y y +-=．由222281016020x y x y x y y ⎧+--+=⎨+-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=⎩， 所以1C 与2C交点的极坐标分别为π4⎫⎪⎭，π2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．（24）【2013年全国Ⅰ，文24，10分】（选修4-5：不等式选讲）已知函数()212f x x x a =-++，()3g x x =+．（1）当2a =-时，求不等式()()f x g x <的解集；（2）设1a >-，且当1,22a x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，()()f x g x ≤，求a 的取值范围．解：（1）当2a =-时，()()f x g x <化为212230x x x -+---<．设函数21223y x x x =-+---，则y =15,212,1236,1x x y x x x x ⎧-<⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩，其图像如图所示．从图像可知，当且仅当()0,2x ∈时，0y <．所以原不等式的解集是{}2|0x x <<．（2）当1,22x a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭∈时，()1f x a =+．不等式()()f x g x ≤化为13a x +≤+．所以2x a ≥-，对1,22x a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭∈都成立．故22a a -≥-，即43a ≤．从而a 的取值范围是41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦．。
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2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)数学(文科)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2013江西,文1)复数z=i(-2-i)(i为虚数单位)在复平面内所对应的点在().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案:D2.(2013江西,文2)若集合A={x∈R|ax2+ax+1=0}中只有一个元素,则a=().A.4B.2C.0D.0或4答案:A3.(2013江西,文3)若sin ,则cosα=().A.-B.-C.D.答案:C4.(2013江西,文4)集合A={2,3},B={1,2,3},从A,B中各任意取一个数,则这两数之和等于4的概率是().A. B. C. D.答案:C5.(2013江西,文5)总体由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为A.08B.07C.02D.01答案:D6.(2013江西,文6)下列选项中,使不等式x<<x2成立的x的取值范围是().A.(-∞,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,+∞)答案:A7.(2013江西,文7)阅读如下程序框图,如果输出i=4,那么空白的判断框中应填入的条件是().A.S<8B.S<9C.S<10D.S<11答案:B8.(2013江西,文8)一几何体的三视图如下图所示,则该几何体的体积为().A.200+9πB.200+18πC.140+9πD.140+18π答案:A9.(2013江西,文9)已知点A(2,0),抛物线C:x2=4y的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,则|FM|∶|MN|=().A.2∶B.1∶2C.1∶D.1∶3答案:C10.(2013江西,文10)如图,已知l1⊥l2,圆心在l1上、半径为1 m的圆O在t=0时与l2相切于点A,圆O沿l1以1 m/s的速度匀速向上移动,圆被直线l2所截上方圆弧长记为x,令y=cos x,则y与时间t(0≤t≤1,单位:s)的函数y=f(t)的图像大致为().答案:B第Ⅱ卷注意事项:第Ⅱ卷共2页,须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.在试题卷上作答,答案无效.二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.(2013江西,文11)若曲线y=xα+1(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则α=.答案:212.(2013江西,文12)某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植树的棵树是前一天的2倍,则需要的最少天数n(n∈N*)等于.答案:613.(2013江西,文13)设f(x)=sin 3x+cos 3x,若对任意实数x都有|f(x)|≤a,则实数a的取值范围是.答案:[2,+∞)14.(2013江西,文14)若圆C经过坐标原点和点(4,0),且与直线y=1相切,则圆C的方程是.答案:(x-2)2+15.(2013江西,文15)如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB∥CD,则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为.答案:4三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(2013江西,文16)(本小题满分12分)正项数列{a n}满足:-(2n-1)a n-2n=0.(1)求数列{a n}的通项公式a n;(2)令b n=,求数列{b n}的前n项和T n.解:(1)由-(2n-1)a n-2n=0,得(a n-2n)(a n+1)=0.由于{a n}是正项数列,所以a n=2n.(2)由a n=2n,b n=,则b n=,T n=+…+.17.(2013江西,文17)(本小题满分12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin A sin B+sin B sinC+cos 2B=1.(1)求证:a,b,c成等差数列;(2)若C=,求的值.解:(1)由已知得sin A sin B+sin B sin C=2sin2B,因为sin B≠0,所以sin A+sin C=2sin B.由正弦定理,有a+c=2b,即a,b,c成等差数列.(2)由C=,c=2b-a及余弦定理得(2b-a)2=a2+b2+ab,即有5ab-3b2=0,所以.18.(2013江西,文18)(本小题满分12分)小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋.游戏规则为:以O 为起点,再从A1,A2,A3,A4,A5,A6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为X,若X>0就去打球,若X=0就去唱歌,若X<0就去下棋.(1)写出数量积X的所有可能取值;(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率.解:(1)X的所有可能取值为-2,-1,0,1.(2)数量积为-2的有·,共1种;数量积为-1的有······,共6种;数量积为0的有····,共4种;数量积为1的有····,共4种.故所有可能的情况共有15种.所以小波去下棋的概率为p1=;因为去唱歌的概率为p2=,所以小波不去唱歌的概率p=1-p2=1-.19.(2013江西,文19)(本小题满分12分)如图,直四棱柱ABCD AB1C1D1中,AB∥CD,AD⊥AB,AB=2,AD=,AA1=3,E为CD上一点,DE=1,EC=3.(1)证明:BE⊥平面BB1C1C;(2)求点B1到平面EA1C1的距离.(1)证明:过B作CD的垂线交CD于F,则BF=AD=,EF=AB-DE=1,FC=2.在Rt△BFE中,BE=.在Rt△CFB中,BC=.在△BEC中,因为BE2+BC2=9=EC2,故BE⊥BC.由BB1⊥平面ABCD得BE⊥BB1,所以BE⊥平面BB1C1C.(2)解:三棱锥E A 1B1C1的体积V=AA1·.在Rt△A1D1C1中,A1C1==3.同理,EC1==3,A1E==2.故=3.设点B 1到平面EA1C1的距离为d,则三棱锥B1A1C1E的体积V=·d·d,从而d=,d=.20.(2013江西,文20)(本小题满分13分)椭圆C:=1(a>b>0)的离心率e=,a+b=3.(1)求椭圆C的方程;(2)如图,A,B,D是椭圆C的顶点,P是椭圆C上除顶点外的任意一点,直线DP交x轴于点N,直线AD交BP 于点M,设BP的斜率为k,MN的斜率为m.证明:2m-k为定值.解:(1)因为e=,所以a=c,b=c.代入a+b=3,得c=,a=2,b=1.故椭圆C的方程为+y2=1.(2)解：:因为B(2,0),P不为椭圆顶点,则直线BP的方程为y=k(x-2),①①代入+y2=1,解得P.直线AD的方程为:y=x+1.②①与②联立解得M.由D(0,1),P,N(x,0)三点共线知,解得N.所以MN的斜率为m=,则2m-k=-k=(定值).21.(2013江西,文21)(本小题满分14分)设函数f(x)=a为常数且a∈(0,1).(1)当a=时,求f;(2)若x0满足f(f(x0))=x0,但f(x0)≠x0,则称x0为f(x)的二阶周期点.证明函数f(x)有且仅有两个二阶周期点,并求二阶周期点x1,x2;(3)对于(2)中的x1,x2,设A(x1,f(f(x1))),B(x2,f(f(x2))),C(a2,0),记△ABC的面积为S(a),求S(a)在区间上的最大值和最小值.解:(1)当a=时,f,f=f=2.(2)f(f(x))=当0≤x≤a2时,由x=x解得x=0,因为f(0)=0,故x=0不是f(x)的二阶周期点;当a2<x≤a时,由(a-x)=x解得x=∈(a2,a),因f·,故x=为f(x)的二阶周期点:当a<x<a2-a+1时,由(x-a)=x解得x=∈(a,a2-a+1),因f·,故x=不是f(x)的二阶周期点;当a2-a+1≤x≤1时,由(1-x)=x解得x=∈(a2-a+1,1),因f·,故x=为f(x)的二阶周期点.因此,函数f(x)有且仅有两个二阶周期点,x1=,x2=.(3)由(2)得A,B,则S(a)=·,S'(a)=·,因为a∈,有a2+a<1,所以S'(a)=·=·>0.(或令g(a)=a3-2a2-2a+2,g'(a)=3a2-4a-2=3,因a∈(0,1),g'(a)<0,则g(a)在区间上的最小值为g>0,故对于任意a∈,g(a)=a3-2a2-2a+2>0,S'(a)=·>0),则S(a)在区间上单调递增,故S(a)在区间上的最小值为S,最大值为S.。