数学建模方法之图与网络模型
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图与网络模型及方法 ppt课件
e1 e8
e4
பைடு நூலகம்v2
e9 e2 v3
{v6, e7 , v1, e8, v4}
不是链
{v5,e4,v4,e9,v2,e2,v3,e3,v4,e8,v1} 简单链
e3
v4
{v6,e5,v5,e7,v1 }
初等链
v1
e6
v6
e7
e1 e8
e5 v5 e4
v2
e9 e2 v3 e3
1
0
当G为无向图时，邻接矩阵为对称矩阵
最短轨道问题
给出了一个连接若干个城镇的铁路网络，在这个 网络的两个指定城镇间，找一条最短铁路线。
以各城镇为图G 的顶点，两城镇间的直通铁路为 图G 相应两顶点间的边，得图G 。对G 的每一边e， 赋以一个实数w(e)—直通铁路的长度，称为e的权， 得到赋权图G 。G 的子图的权是指子图的各边的 权和。
是 G1 中由V2 导出的导出子图。
九、图的矩阵表示 用矩阵表示图对研究图的性质及应用常常是比较方便的．
定义：网络(赋权图)G＝(V，E)，其边(vi,vj)有权ωij,构造矩阵
A=(aij)n×n,其中：
aij 0 ij ( v i ,其v j)它 E
称矩阵A为网络G的权矩阵。
例、写出下图的权矩阵
v2
e3 e4
v4
v3
e5
e4=(v3，v4)≠(v4，v3）
e5=(v4，v3)≠(v3，v4)
e1
e2
v1 e6
v2
e3 e4
无
v4 向
图
v3
e5
e4=(v3，v4）=(v4， v3） e5=(v3，v4）=(v4， v3）
2022年数学建模算法与应用-图与网络模型着色问题和旅行商问题
{'赵','刘','孙'};{'张','王','孙'};{'李','刘','王'}};
n = length(s); w = zeros(n);
for i = 1:n-1
for j =i+1:n
if ~isempty(intersect(s{i},s{j}))
w(i,j)=1;
end
end
end
[ni,nj] = find(w); %边的顶点编号
航空基础学院数学第教8研页室
数学建模算法与应用
第4章 图与网络模型及方法
v1
v5
v6
v3
v2
v4
图 4.14 部门之间关系图
航空基础学院数学第教9研页室
数学建模算法与应用
第4章 图与网络模型及方法
构造图G (V , E)，其中V {v1,v2 , ,v6 }，这里 v1,v2 , ,v6分别表示部门 1，部门 2，…，部门 6； E 为边集，两个顶点之间有一条边当且仅当它们代表的 委员会成员中有共同的人，如图 4.14 所示，该图可以 用 4 种颜色着色，可以看出至少要用 4 种颜色，v1,v2 ,v3 构成一个三角形，必须用 3 种颜色，v6和这 3 个顶点 都相邻，必须再用一种颜色。
w = w + w'; %计算完整的邻接矩阵
deg = sum(w); K = max(deg) %顶点的最大度
prob = optimproblem;
数学建模算法与应用
第4章 图与网络模型及方法
已知图G (V , E)，对图G 的所有顶点进行着色时， 要求相邻的两顶点的颜色不一样，问至少需要几种颜 色？这就是所谓的顶点着色问题。
matlab图与网络分析模型选讲
V ( f ),
若：
f
(v,u)
f
(u,v
)
0,
uV
uV
V ( f ),
则称该网络称为守恒网络。
v vs v vs ,vt
v vt
守恒网络中的流 f 称为可行流。
若存在一个可行流f *，使得对所有可行流 f 都 有V(f *)≥ V(f )成立，则称f *为最大流。
最大流模型：
maxV ( f )
e1 v1
4) 若一对顶点之间有两条以上的边联结，则这些边 称为重边．
5)既没有环也没有重边的图，称为简单图．
6) 若图G的每一条边e 都赋以一个实数w(e)，
称w(e)为边e的权，G连同边上的权称为赋权图 ,
记为：G(V,E,W)， W={w(e)| e∈E}
7) 图G的中顶点的个数，
5
称为图G的阶；图中与某 个顶点相关联的边的数目，
@sum(node(j): f(j,9))=flow;
@for(arc:@bnd(0,f,c));
data: c= 0 2.5 0 5.6 6.1 0 0 0 0 0 0 7.1 0 0 3.6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3.4 0 0 0 0 0 4.9 0 7.4 0 0 0 2.4 0 0 0 7.2 5.7 0 0 0 0 3.8 0 0 0 0 5.3 4.5 0 0 0 0 0 3.8 0 0 6.7 0 0 0 0 0 0 0 0 7.4 0 0 0 0 0 0 0 0 0; enddata
s.t:
v jV
f
(vi
,
v
j
)
v jV
f
(v
j
,
vi
图与网络模型及方法 ppt课件
1
0
当G为无向图时，邻接矩阵为对称矩阵
最短轨道问题
给出了一个连接若干个城镇的铁路网络，在这个 网络的两个指定城镇间，找一条最短铁路线。
以各城镇为图G 的顶点，两城镇间的直通铁路为 图G 相应两顶点间的边，得图G 。对G 的每一边e， 赋以一个实数w(e)—直通铁路的长度，称为e的权， 得到赋权图G 。G 的子图的权是指子图的各边的 权和。
三.次（度）的性质
性质1：在图G=(V,E)中，所有点的次之和是边数m的两倍。 证明：由于每条边均与两个顶点关联，因此在计算顶点的次时
每条边都计算了两遍，所以顶点次数的总和等于边数的二倍。
性质2：在任何图G=(V,E)中，奇点的个数为偶数
证明：设V1，V2分别是图G中奇点和偶点的集合，则V1∪V2=V,
称矩阵A为图G的邻接矩阵。
例、写出下图的邻接矩阵
v2 •
v• 4
v1•
•v6
v3 •
• v5
v1 v2 v3 v4 v5 v6
v1 v2
0 0
1 0
1 1
0 0
0 0
0 0
A vvv 543 000
1 1 1
0 0 0
0 0 1
1 0 0
0 1 1
v6
0
0
0
0
问题就是求赋权图G 中指定的两个顶点u0 ,v0间的 具最小权的轨。这条轨叫做u0 ,v0间的最短路，它 的权叫做u0 ,v0间的距离，亦记作d(u0 ,v0)
最短轨道问题求法 ---Dijkstra算法
基本思想 是按距 u 0从近到远为顺序，依次求得u 0到G 的各顶点的最短路和距离，直至v 0 （或直 至G 的所有顶点），算法结束。为避免重 复并保留每一步的计算信息，采用了标号 算法。
图与网络模型及方法 ppt课件
三.次（度）的性质
性质1：在图G=(V,E)中，所有点的次之和是边数m的两倍。 证明：由于每条边均与两个顶点关联，因此在计算顶点的次时
每条边都计算了两遍，所以顶点次数的总和等于边数的二倍。
性质2：在任何图G=(V,E)中，奇点的个数为偶数
证明：设V1，V2分别是图G中奇点和偶点的集合，则V1∪V2=V,
e1 e8
e4
v2
e9 e2 v3
{v6, e7 , v1, e8, v4}
不是链
{v5,e4,v4,e9,v2,e2,v3,e3,v4,e8,v1} 简单链
e3
v4
{v6,e5,v5,e7,v1 }
初等链
v1
e6
v6
e7
e1 e8
e5 v5 e4
v2
e9 e2 v3 e3
问题就是求赋权图G 中指定的两个顶点u0 ,v0间的 具最小权的轨。这条轨叫做u0 ,v0间的最短路，它 的权叫做u0 ,v0间的距离，亦记作d(u0 ,v0)
最短轨道问题求法 ---Dijkstra算法
基本思想 是按距 u 0从近到远为顺序，依次求得u 0到G 的各顶点的最短路和距离，直至v 0 （或直 至G 的所有顶点），算法结束。为避免重 复并保留每一步的计算信息，采用了标号 算法。
v• 5
7 v1• 4
56 • v4
2
94
8
v2 • 3 v• 3
0 9 2 4 7 9 0 3 4 0 A 2 3 0 8 5 4 4 8 0 6 7 0 5 6 0
定义：对于图G＝(V，E)，|V|=n,构造一个矩阵A=(aij)n×n,其中：
aij 10 ( vi , vj其) 它E
精选数学建模中的图与网络分析资料
基本思想：寻找增广链，改善流量分布；再重复，直到不 存在任何增广链为止。
步骤：
① 给始点标号：（0，+∞） ② 从已标号点i出发，看与其相关联的未标号点j上的弧，
对μ+，若有0fij<cij，则可对j点标号，记（i,ε (j)）， 其中 ε (j)=min{ε (i) ，cij - fij}
对μ-，若有0 < fji cij，也可对j点标号，记（ i,ε (j)）， 其中 ε (j)=min{ε (i) ，fji} （注：若有多个可标号点，可任选其中之一。）
）,
dSD（0）+SdDE（A0） ,BdSE（C0）+ dDEE（0E）, dTST（0）+ dTE（0） } =8 S 0 24 4 98 A 2 0 2 3 7 5 12 B 4 2 0 1 4 3 10
D（1）= C 4 3 1 0 5 4 11 D 9 74 5 0 15 E 8 53 4 1 0 6 T 12 10 11 5 7 0
⑻ 割集：一组弧的集合，割断这些弧，能使流中断。简称割。
2019/7/2
--26--
--第6章 图与网络分析--
(v2,2)
v1
9(4)
(v1,2) v3
(0,+∞)
vs
5(4)
6(1)
(v4,1) vt
(vs,2) v2
9(9)
v4 (v3,1)
2019/7/2
cij
fij
--27--
--第6章 图与网络分析--
其中
dij（3）=
min
r
{
dir（2）+
drj（2）
}
SABCDET
数学建模图论详解—图论与网络规划PPT课件
几何实现图例
在一个图的几何实现中，两条边的交点可能不是
图的顶点。例如图7-4 中，它共有4个顶点，6条
v1
v4
边；而e
e1
3
与e
4 的交点不是这个图的顶点。
v2
e2
e3
e4
e5
v3
e6
v4 v1
v4
e2
e3
e1
v2
e4
e5
v3
e6
v4
平面图
一个图称为平面图，如它有一个平面图形，使得边与边仅在
顶 形点 。相交。图7-5就是一e个4 平v1 面图，因为e1它可以有下v面2 的图
一个图称为简单图，如果
它既没有环也没有多重边。
下图5是简单图。
u 1
本书只限于讨论有限简单图，
即顶点集与边集都是有限集的图。
f1
f5 f2
只有一个顶点的图称为平凡图； 边集是空集的图称为空图。
u3
f3
f4
u2
f6
u4
同构
给定两个图 G (V (G), E(G), G ) 与 H (V (H ), E(H ), H )
称G和H是同构的，记为G H ，
如果存在两个一一对应 ( ,)
:V (G) V (H )
: E(G) E(H )
使的
G (e) uv H ((e)) (u) (v)
同构图例
图G与图H是同构的。
v1 e6
e1 v2
e3
e2
e5
v4
e4
v3
G
u 1
f1
f5 f2
u3
f3
f4
u2
f6
公式（1）是Dijkstra算法的基础。
最新-数学建模中的图与网络分析-PPT课件
问题：一名邮递员从邮局出发，试选择一条最短的投 递路线？
v1
4
v4
4
1
4
v5
5
2
5
v2
2 v6
4
5 v8
4
v7
v3
7
2 4
v9 邮局
v10
2
v11
1
v12
4
v13
--20--
--第6章 图与网络分析---21--
--第6章 图与网络分析--
奇点：图中次为奇数的点称为奇点。 偶点：图中次为偶数的点称为偶点。
--18--
--第6章 图与网络分析--
例：有7个村镇要联合建立一所小学，已知各村镇小学
生的人数大致为S—30人， A—40人，B—20人，C—15人，
D—35人，E—25人， T—50人。问：学校应建在那一个地
点，可使学生总行程最少？
解：
SABCDET
人数
S 0 2 4 4 8 7 13
30
A 2 0 2 3 6 5 11
（7）圈：始点和终点重合的链。
（8）回路：始点和终点重合的路。
（9）连通图：若一个图中，任意两点之间至少存在一条 链，称这样的图为连通图。 （10）子图，部分图：设图G1=｛V1,E1｝, G2={V2,E2}, 如果有V1V2，E1E2，则称G1是G2的一个子图；若 V1=V2，E1E2，则称G1是G2的一个部分图。 （11）次：某点的关联边的个数称为该点的次，以d(vi)表示。
--3--
二、图的模型
--第6章 图与网络分析--
例：有甲、乙、丙、丁、戊、己六名运动员报名参加A、 B、C、D、E、F六个项目的比赛。如表中所示，打“√”的 项目是各运动员报名参加比赛的项目。问：六个项目的比赛 顺序应如何安排，才能做到使每名运动员不连续地参加两项 比赛？
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如果图G的一个生成子图还是一个树，则称这个生成子图为生成树， 在图11-12中，(c)就是(a)的生成树。
最小生成树问题就是指在一个赋权的连通的无向图G中找出一个生成 树，并使得这个生成树的所有边的权数之和为最小。
(a)
图11-12
(b)
(c)
11
§3 最小生成树问题
一、求解最小生成树的破圈算法 算法的步骤： 1、在给定的赋权的连通图上任找一个圈。 2、在所找的圈中去掉一个权数最大的边（如果有两条或两条
1.给出点V1以标号(0,s) 2.找出已标号的点的集合I，没标号的点的集合J以及弧的集合
{(vi , v j ) | vi I , v j J}
3. 如果上述弧的集合是空集，则计算结束。如果vt已标号（lt,kt），则 vs 到vt的距离为lt，而从 vs到vt的最短路径，则可以从kt 反向追踪到起点 vs 而得到。如果vt 未标号，则可以断言不存在从 vs到vt的有向路。如果 上述的弧的集合不是空集，则转下一步。
e2
(v(v3) 李(v4)
周(v5)
图11-2
e5 吴(v6) 陈(v7)
3
如果我们把上面例子中的“相互认识”关系改为“认识”
的关系，那么只用两点之间的联线就很难刻画他们之间的关
系了，这是我们引入一个带箭头的联线，称为弧。图11-3就
是一个反映这七人“认识”关系的图。相互认识用两条反向
的弧表示。
a1 a2
(v2)钱
a7
a8
(赵v1)
a14 a15 a3
(v4) 李
a4
a9
(v3)孙
a5
a6
a12
a11
(v5) 周
a10
(v6)吴 a13
(v7)陈
图11-3
4
▪ 无向图：
由点和边构成的图，记作G=（V，E）。
• 有向图：
由点和弧构成的图，记作D=（V，A）。
• 连通图：
对无向图G，若任何两个不同的点之间，至少存在一条链，则G为 连通图。
17
v2
5
6
15
6 v4
V1
（甲地）
10
3 4
4
2
v5
v6
v3
解：这是一个求无向图的最短路的问题。可以把无向图的每一边
（vi,vj）都用方向相反的两条弧（vi,vj）和（vj,vi）代替，就化为有向 图，即可用Dijkstra算法来求解。也可直接在无向图中用Dijkstra算法 来求解。只要在算法中把从已标号的点到未标号的点的弧的集合改成 已标号的点到未标号的点的边的集合即可。
5
§2 最短路问题
• 最短路问题：对一个赋权的有向图D中的指定的两个点Vs和Vt找到一条 从 Vs 到 Vt 的路，使得这条路上所有弧的权数的总和最小，这条路被称 之为从Vs到Vt的最短路。这条路上所有弧的权数的总和被称为从Vs到Vt 的距离。
一、求解最短路的Dijkstra算法(双标号法）
步骤：
以上的边都是权数最大的边，则任意去掉其中一条）。 3、如果所余下的图已不包含圈，则计算结束，所余下的图即
为最小生成树，否则返回第1步。
12
§3 最小生成树问题
例4 用破圈算法求图（a）中的一个最小生成树
v2 1 v3
v2 1 v3
v1
3
34 7 v7 2
v4
v1
3
34 7 v7 2
v4
10
35 4
8
v6 (a) v5
35
8
4
v6 (b) v5
v2 1 v3
v1
3
34 7 v7 2
v4
35 4
v6 (c) v5
v2 1 v3
v1
3
34 7 v7 2
v4
3
4 v6 (d) v5
v2 1 v3
v1
3
34 7 v7 2
v4
3
v6 (e) v5
图11-13
v2 1 v3
3
7
v1 3
v7 2
v4
3
v6 (f) v5
e4 (v4) 李
e5 (v6)吴
(v7)陈
图11-1
2
当然图论不仅仅是要描述对象之间关系，还要研究特定关 系之间的内在规律，一般情况下图中点的相对位置如何、点与 点之间联线的长短曲直，对于反映对象之间的关系并不是重要 的，如对赵等七人的相互认识关系我们也可以用图11-2来表示， 可见图论中的图与几何图、工程图是不一样的。
4. 对上述弧的集合中的每一条弧，计算 sij=li+cij 。在所有的 sij中，找到其 值为最小的弧。不妨设此弧为（Vc,Vd），则给此弧的终点以双标号 （scd, c）,返回步骤2。
6
§2 最短路问题
例1 求下图中v1到v6的最短路 v2
7
3
v6
v1
5 2 v4 5
21
31
5 v3
v5
解：采用Dijkstra算法，可解得最短路径为v1 v3 v4 v6
8
§2 最短路问题
例2最终解得： 最短路径v1 v3 v5 v6 v7，每点的标号见下图
15 （0,s）
V1 （甲地） 10
(13,3) v2 3 V3
(10,1)
17
5 6
V4
(18,5) 4
2
4
V5
(14,3)
(22,6) V7 （乙地） 6 V(166,5)
9
§3 最小生成树问题
• 树是图论中的重要概念，所谓树就是一个无圈的连通图。
• 回路：
若路的第一个点和最后一个点相同，则该路为回路。
• 赋权图：
为赋权对图一，个w无ij称向为图边G的(v每i,vj一)上条的边权(v。i,vj)，相应地有一个数wij，则称图G
• 网络：
在赋权的有向图D中指定一点，称为发点，指定另一点称为收点， 其它点称为中间点，并把D中的每一条弧的赋权数称为弧的容量，D就 称为网络。
v1
v2
v3
v6
v5
v4
v7
v8
v9
(a)
v1
v2
v3
v4
v5
v6
(b)
v8 v7
图11-11
v1
v2
v8
v3
v4
v9
v5
v7
v6
(c)
图11-11中，(a)就是一个树，而(b)因为图中有圈所以就不 是树， (c)因为不连通所以也不是树。
10
§3 最小生成树问题
给了一个无向图G=(V,E)，我们保留G的所有点，而删掉部分G的边或 者说保留一部分G的边，所获得的图G，称之为G的生成子图。在图11-12中， (b)和(c)都是(a)的生成子图。
各点的标号图如下： (3,1)
v2
7
(8,4) v6
（V01,s)
3 5
2
(3,3) 5 v4
21
31
5
(2,1)
v5
v3
7
§2 最短路问题
例2 电信公司准备在甲、乙两地沿路架设一条光缆线，问如何架 设使其光缆线路最短？下图给出了甲乙两地间的交通图。权数表示两 地间公路的长度（单位：公里）。
V7 （乙地）
13
例4 用破圈算法求图（a）中的一个最小生成树
v2 1 v3
v2 1 v3
v1
3
34 7 v7 2
v4
v1
3
34 7 v7 2
v4
10
35 4
8
v6 (a) v5
35
8
4
v6 (b) v5
v2 1 v3
v1
3
34 7 v7 2
v4
35 4
v6 (c) v5
v2 1 v3
v1
3
34 7 v7 2
v4
3
4 v6 (d) v5
v2 1 v3
v1
3
34 7 v7 2
v4
3
v6 (e) v5
图11-13
v2 1 v3
3
7
v1 3
v7 2
v4
3
v6 (f) v5
14
§3 最小生成树问题
例5、某大学准备对其所属的7个学院办公室计算机联网，这个网络的 可能联通的途径如下图，图中v1,…,v7 表示7个学院办公室，请设计一 个网络能联通7个学院办公室，并使总的线路长度为最短。
图11-14
v2 1 v3
34
7
v1 3
v7 2
v4
10 3
5
8
v6 4
v5
解：此问题实际上是求图11-14的最小生成树，这在例4中已经求得， 也即按照图11-13的(f)设计，可使此网络的总的线路长度为最短，为19 百米。
“管理运筹学软件”有专门的子程序可以解决最小生成树问题。
15
图与网络模型 §1 图与网络的基本概念 §2 最短路问题 §3 最小生成树问题
1
§1 图与网络的基本概念
图论中图是由点和边构成，可以反映一些对象之间的关系。
例如：在一个人群中，对相互认识这个关系我们可以用图 来表示，图11-1就是一个表示这种关系的图。
(赵v1)
e2
(v3)孙
e1
e3
(v2)钱
(v5) 周
最小生成树问题就是指在一个赋权的连通的无向图G中找出一个生成 树，并使得这个生成树的所有边的权数之和为最小。
(a)
图11-12
(b)
(c)
11
§3 最小生成树问题
一、求解最小生成树的破圈算法 算法的步骤： 1、在给定的赋权的连通图上任找一个圈。 2、在所找的圈中去掉一个权数最大的边（如果有两条或两条
1.给出点V1以标号(0,s) 2.找出已标号的点的集合I，没标号的点的集合J以及弧的集合
{(vi , v j ) | vi I , v j J}
3. 如果上述弧的集合是空集，则计算结束。如果vt已标号（lt,kt），则 vs 到vt的距离为lt，而从 vs到vt的最短路径，则可以从kt 反向追踪到起点 vs 而得到。如果vt 未标号，则可以断言不存在从 vs到vt的有向路。如果 上述的弧的集合不是空集，则转下一步。
e2
(v(v3) 李(v4)
周(v5)
图11-2
e5 吴(v6) 陈(v7)
3
如果我们把上面例子中的“相互认识”关系改为“认识”
的关系，那么只用两点之间的联线就很难刻画他们之间的关
系了，这是我们引入一个带箭头的联线，称为弧。图11-3就
是一个反映这七人“认识”关系的图。相互认识用两条反向
的弧表示。
a1 a2
(v2)钱
a7
a8
(赵v1)
a14 a15 a3
(v4) 李
a4
a9
(v3)孙
a5
a6
a12
a11
(v5) 周
a10
(v6)吴 a13
(v7)陈
图11-3
4
▪ 无向图：
由点和边构成的图，记作G=（V，E）。
• 有向图：
由点和弧构成的图，记作D=（V，A）。
• 连通图：
对无向图G，若任何两个不同的点之间，至少存在一条链，则G为 连通图。
17
v2
5
6
15
6 v4
V1
（甲地）
10
3 4
4
2
v5
v6
v3
解：这是一个求无向图的最短路的问题。可以把无向图的每一边
（vi,vj）都用方向相反的两条弧（vi,vj）和（vj,vi）代替，就化为有向 图，即可用Dijkstra算法来求解。也可直接在无向图中用Dijkstra算法 来求解。只要在算法中把从已标号的点到未标号的点的弧的集合改成 已标号的点到未标号的点的边的集合即可。
5
§2 最短路问题
• 最短路问题：对一个赋权的有向图D中的指定的两个点Vs和Vt找到一条 从 Vs 到 Vt 的路，使得这条路上所有弧的权数的总和最小，这条路被称 之为从Vs到Vt的最短路。这条路上所有弧的权数的总和被称为从Vs到Vt 的距离。
一、求解最短路的Dijkstra算法(双标号法）
步骤：
以上的边都是权数最大的边，则任意去掉其中一条）。 3、如果所余下的图已不包含圈，则计算结束，所余下的图即
为最小生成树，否则返回第1步。
12
§3 最小生成树问题
例4 用破圈算法求图（a）中的一个最小生成树
v2 1 v3
v2 1 v3
v1
3
34 7 v7 2
v4
v1
3
34 7 v7 2
v4
10
35 4
8
v6 (a) v5
35
8
4
v6 (b) v5
v2 1 v3
v1
3
34 7 v7 2
v4
35 4
v6 (c) v5
v2 1 v3
v1
3
34 7 v7 2
v4
3
4 v6 (d) v5
v2 1 v3
v1
3
34 7 v7 2
v4
3
v6 (e) v5
图11-13
v2 1 v3
3
7
v1 3
v7 2
v4
3
v6 (f) v5
e4 (v4) 李
e5 (v6)吴
(v7)陈
图11-1
2
当然图论不仅仅是要描述对象之间关系，还要研究特定关 系之间的内在规律，一般情况下图中点的相对位置如何、点与 点之间联线的长短曲直，对于反映对象之间的关系并不是重要 的，如对赵等七人的相互认识关系我们也可以用图11-2来表示， 可见图论中的图与几何图、工程图是不一样的。
4. 对上述弧的集合中的每一条弧，计算 sij=li+cij 。在所有的 sij中，找到其 值为最小的弧。不妨设此弧为（Vc,Vd），则给此弧的终点以双标号 （scd, c）,返回步骤2。
6
§2 最短路问题
例1 求下图中v1到v6的最短路 v2
7
3
v6
v1
5 2 v4 5
21
31
5 v3
v5
解：采用Dijkstra算法，可解得最短路径为v1 v3 v4 v6
8
§2 最短路问题
例2最终解得： 最短路径v1 v3 v5 v6 v7，每点的标号见下图
15 （0,s）
V1 （甲地） 10
(13,3) v2 3 V3
(10,1)
17
5 6
V4
(18,5) 4
2
4
V5
(14,3)
(22,6) V7 （乙地） 6 V(166,5)
9
§3 最小生成树问题
• 树是图论中的重要概念，所谓树就是一个无圈的连通图。
• 回路：
若路的第一个点和最后一个点相同，则该路为回路。
• 赋权图：
为赋权对图一，个w无ij称向为图边G的(v每i,vj一)上条的边权(v。i,vj)，相应地有一个数wij，则称图G
• 网络：
在赋权的有向图D中指定一点，称为发点，指定另一点称为收点， 其它点称为中间点，并把D中的每一条弧的赋权数称为弧的容量，D就 称为网络。
v1
v2
v3
v6
v5
v4
v7
v8
v9
(a)
v1
v2
v3
v4
v5
v6
(b)
v8 v7
图11-11
v1
v2
v8
v3
v4
v9
v5
v7
v6
(c)
图11-11中，(a)就是一个树，而(b)因为图中有圈所以就不 是树， (c)因为不连通所以也不是树。
10
§3 最小生成树问题
给了一个无向图G=(V,E)，我们保留G的所有点，而删掉部分G的边或 者说保留一部分G的边，所获得的图G，称之为G的生成子图。在图11-12中， (b)和(c)都是(a)的生成子图。
各点的标号图如下： (3,1)
v2
7
(8,4) v6
（V01,s)
3 5
2
(3,3) 5 v4
21
31
5
(2,1)
v5
v3
7
§2 最短路问题
例2 电信公司准备在甲、乙两地沿路架设一条光缆线，问如何架 设使其光缆线路最短？下图给出了甲乙两地间的交通图。权数表示两 地间公路的长度（单位：公里）。
V7 （乙地）
13
例4 用破圈算法求图（a）中的一个最小生成树
v2 1 v3
v2 1 v3
v1
3
34 7 v7 2
v4
v1
3
34 7 v7 2
v4
10
35 4
8
v6 (a) v5
35
8
4
v6 (b) v5
v2 1 v3
v1
3
34 7 v7 2
v4
35 4
v6 (c) v5
v2 1 v3
v1
3
34 7 v7 2
v4
3
4 v6 (d) v5
v2 1 v3
v1
3
34 7 v7 2
v4
3
v6 (e) v5
图11-13
v2 1 v3
3
7
v1 3
v7 2
v4
3
v6 (f) v5
14
§3 最小生成树问题
例5、某大学准备对其所属的7个学院办公室计算机联网，这个网络的 可能联通的途径如下图，图中v1,…,v7 表示7个学院办公室，请设计一 个网络能联通7个学院办公室，并使总的线路长度为最短。
图11-14
v2 1 v3
34
7
v1 3
v7 2
v4
10 3
5
8
v6 4
v5
解：此问题实际上是求图11-14的最小生成树，这在例4中已经求得， 也即按照图11-13的(f)设计，可使此网络的总的线路长度为最短，为19 百米。
“管理运筹学软件”有专门的子程序可以解决最小生成树问题。
15
图与网络模型 §1 图与网络的基本概念 §2 最短路问题 §3 最小生成树问题
1
§1 图与网络的基本概念
图论中图是由点和边构成，可以反映一些对象之间的关系。
例如：在一个人群中，对相互认识这个关系我们可以用图 来表示，图11-1就是一个表示这种关系的图。
(赵v1)
e2
(v3)孙
e1
e3
(v2)钱
(v5) 周