音乐是数学的奇迹
探讨音乐与数学的关系
探讨音乐与数学的关系音乐与数学是两个看似毫不相关的学科，但事实上，它们之间却有着非常紧密的联系。
在这篇文章中，我们将探讨音乐与数学之间的关系。
首先，音乐是有规律的，而数学是规则的。
音乐中的旋律、节奏和和声都是由一系列规则和公式构成的。
例如，乐曲中的节拍，通常是以2、3、4、6等数字的组合而成，而这些数字也是数学中常见的因子和倍数。
又例如，和弦的结构和理论，也是以数学公式为基础的。
因此，在音乐领域，掌握数学知识是非常重要的。
其次，数学可以帮助音乐家更好地理解乐理。
在音乐理论中，有一个概念叫做“音程”。
音程是两个不同音高之间的距离。
例如，从C音到G音的距离是“第五音程”。
而数学中的“比例”概念则可以非常精确地描述这些音程之间的关系。
没有数学知识的音乐家，可能只是凭感觉来判断一个音程的大小，而掌握数学知识的音乐家，则可以用精确的数字来描述音程的大小和关系，这样就可以更好地理解乐理。
此外，在音乐制作和数码音乐方面，数学也起着非常重要的作用。
在计算机音乐制作中，数学算法可以非常准确地控制声音的合成、处理和效果。
例如，数字信号处理（DSP）算法，可以非常准确地控制音频信号的变形和增强。
而算法也是数学的重要内容之一。
因此，掌握数学知识也是音乐制作和数码音乐方面的关键。
最后，音乐和数学也可以相互启发和激发。
在音乐中，我们可以感受到节奏、和声、旋律的美感，而这种美感也可以启发我们去思考更深层次的美感，例如美学和数学中的对称美和比例美。
反之，在数学中，我们可以体会到数学的美感和结构美，而这种美感也可以鼓励我们去尝试将数学应用到音乐中。
综上所述，音乐和数学之间是有着非常紧密的联系和关系的。
在音乐学习和音乐制作的过程中，掌握数学知识是非常重要的。
同时，音乐和数学之间也可以相互启发和激发，为我们带来更深层次的美感和思考。
蕴藏在美妙音乐中的数学奥秘
蕴藏在美妙音乐中的数学奥秘数学和音乐一直以来都有着密切的关系。
在美妙的音乐中，蕴藏着许多数学的奥秘。
本文将为大家介绍一些与数学相关的音乐理论和技巧，并且通过具体的例子来展示它们是如何相互作用的。
让我们来谈谈音符和音阶。
在西方音乐中，一共有12个不同的音阶，分别是C、C#、D、D#、E、F、F#、G、G#、A、A#、B。
这些音阶组成了一个八度音阶，从C开始，再到高一个八度的C。
这种音阶的设计是基于数学上的等比数列。
从C到C#的频率比是2^(1/12)，从C到D的频率比是2^(2/12)，依此类推。
我们可以看到，这种音阶的设计是非常精确的，并且符合数学的规律。
接下来，让我们来介绍一下音乐中的节拍和节奏。
在西方音乐中，节拍是以分数的形式表示的，比如4/4拍、3/4拍等。
这是因为节拍是基于数学的分数概念而设计的。
4/4拍意味着每个小节有四个拍子，每个拍子的时长是一分之一。
而3/4拍意味着每个小节有三个拍子，每个拍子的时长是一分之一。
这种设计使得音乐的节奏有了规律和稳定性。
音乐中还有很多与数学相关的技巧和理论。
和弦的构成是基于数学的音程关系。
和弦是由几个音符同时演奏所形成的声音的集合。
常见的和弦有三和弦、七和弦等。
这些和弦的构成是基于数学的音程关系，例如三和弦是由根音、三度音和五度音构成，而七和弦是由根音、三度音、五度音和七度音构成。
这种音程关系的设计使得和弦的演奏具有和谐的感觉。
音乐中的调性也是与数学相关的。
调性是指音乐作品的音高层次和音程的组合。
在西方音乐中，常见的调性有大调和小调。
大调是基于数学上的音程序列来构建的，例如C大调的音程序列是全全半全全全半。
这种调性的设计是基于数学的音程关系，使得不同调性的音乐具有不同的情感和表达方式。
让我们来听听一首美妙的音乐，并通过数学的眼光来欣赏它。
贝多芬的《命运交响曲》中的主题是由四个音符构成的，这四个音符分别是D、D#、A、F。
这个主题的构成正好符合数学的音程关系，即一个纯四度音程。
音乐中的数学之美
音乐中的数学之美摘 要：本文分别从音乐的乐理、乐曲结构、和声、乐器等方面阐述了数学与音乐的联系，以及数学在音乐领域发挥的巨大作用。
提出音乐与数学并非偶然地融合，而是以感性和理性的不同方式共同描述世界。
关键词：律制；黄金分割；频率1 引言音乐是表现心灵和情感的艺术，数学是抽象思维的结晶。
有史以来，音乐和数学一直被联系在一起，相互促进，相辅相成。
在中世纪，算术、几何、天文和音乐都包括在教育课程之中，曾一度认为音乐是数学的一部分。
时至今日，飞速发展的计算机和信息技术正在使数学与音乐之间的联系更加紧密。
2 音乐与数学结合的起源最早将音乐与数学联系起来的研究要追溯至公元前六世纪的毕达哥拉斯学派，他们用比例把二者有机结合起来。
他们发现乐声的协调与所联系的整数之间有着密切的关系，拨动一根弦发出的声音取决于绷紧的弦的长度；他们还发现协和音由长度与原弦长的比为整数比的弦给出。
其实被拨动弦的每一种和谐的结合，都能表示为整数比，由不同的整数比的弦的长度，能够产生全部的音阶。
例如从一根产生音C 的弦开始，接着C 的长度的16/15给出B ，C 的长度的6/5给出A ，C 的4/3给出G ，C 的3/2给出F ，C 的8/5给出E ，C 的16/9给出D ，C 的2/1给出低音C 。
五度相生律也是毕达哥拉斯的首创，故又名毕达哥拉斯律。
它根据第一、二泛音间频率比为2：3的关系进行音的繁衍，以此为纯五度，进行一系列的五度相生，从而得到调中诸音。
纯律的实际应用及乐谱记载在六世纪由我国梁代丘明传谱的《碣石调幽兰》中已有体现，其中古琴的七弦十三徽上均已使用泛音技法。
纯律取泛音列中第一、二泛音之间的纯五度以及第三、四泛音间的大三度这两种音程为繁衍新音的要素，由频率比为4:5:6的几个大三和弦确定诸音高。
直至十六世纪我国在数学运算上有所突破，在算盘上用开两次平方和一次立方的方法求出了十二次方根，这实际就是一百多年后由德国人沃克梅斯特提出的十二平均律，其频率由等比数列通项公式1n 1n -=q a a 确定，公比q =1.05946，是2开12次方的算术根。
蕴藏在美妙音乐中的数学奥秘
蕴藏在美妙音乐中的数学奥秘音乐和数学有着千丝万缕的联系，它们共同构造了一种独特的艺术，这种艺术既是音乐又是数学，而蕴藏在美妙音乐中的数学奥秘则是一种令人迷醉的经验，它让我们深深感受到了艺术的魅力。
在音乐中，数学被用作一种音乐元素的构造方法。
一首音乐作品，可以用数学元素来构造，比如说旋律，和声，节奏等等。
旋律是一种音律的变化形成的，而这个变化中涉及到了音程、音符的时值和频率等数学元素；和声则包括了和弦的构成、和弦进程的安排等，其中涉及到了和弦的音程等数学元素；节奏则是一种音乐节奏的安排，其中包括了拍子、拍号等等，这些元素的安排都是依据数学规则进行的。
在西方音乐中，音高（频率）和时值（持续时间）是基本的音乐元素。
被认为是完美的音乐比例的是二分之一音效，它是自然音程的比例，人类对自然音程的感知与对数学的理解如出一辙。
自然音程是自然界中最强大的音乐声音之一，是定义完全正比关系的比例。
在西方音乐中，它也可以被表示为简单的数学比例关系，例如，一个三度音程的不同音符之间的频率比是4：5。
因此，在音乐中，数学起着非常关键的作用。
数学元素的准确安排和运用，是音乐创作的基础。
一首优秀的音乐作品，往往是通过数学元素精密的组合而成的。
这需要作曲家有严谨的数学眼光和抽象思维能力，以发现不同的数学元素之间的联系，以确保音乐元素之间的平衡和谐，才能达到更美好的效果。
另外，对于那些热爱音乐的人来说，学习音乐也是一种探究数学知识的机会。
在音乐的学习过程中，人们能够接触到一些基本的数学知识，如几何、比例、节奏，这些知识不仅加深了我们对音乐的理解，同时也拓宽了我们的数学知识面。
综上所述，美妙的音乐与数学密不可分，数学为音乐的创作和表演提供了严谨和高效的方法，它让音乐更加深邃而完美。
同时，音乐也提供了一种难得的机会，让人们更深入地了解和探究数学知识，这正是音乐艺术的魅力所在。
数学与音乐学
数学与音乐学数学和音乐，两个 seemingly 截然不同的领域，却在许多方面有着紧密的联系和相互影响。
它们都是人类智慧的结晶，以其严谨的逻辑性和美妙的艺术性闻名于世。
本文将探讨数学与音乐之间的奇妙关系，并解释为什么数学可用于解析和美学音乐。
一、数学的旋律数学是一门以逻辑推理和符号运算为基础的学科。
然而，也有许多数学原理在音乐中得到应用。
其中之一就是数列和级数。
音乐中的旋律往往由一系列音符构成，这些音符按照一定的规律排列和组合形成旋律。
这种音符或音程的高低变化可以用数列的增减规律表示，而旋律的连贯性则类似于数列的级数。
此外，数学中的对称性和周期性也在音乐创作中起到重要作用。
例如，和声学中的对称关系被用来创建和弦的和声效果，而乐曲的周期性则通过重复的乐句或主题来实现。
数学还可用于音乐节奏的标准化和节拍的精确控制。
总而言之，数学能够帮助音乐家分析和构造音乐元素，提高音乐的结构性和美感。
二、音乐的数字之美数学不仅能够解析音乐，还能够赋予音乐以美感。
在音乐中，数字的应用与音乐的表现力息息相关。
例如，音乐的基本单位是拍子，而节拍则由一定数量的拍子组成。
不同拍子数量的组合产生了不同的节奏效果，这是音乐中数字的直观表现。
此外，音乐中的音高也有数字的参与。
音乐中通过将音高划分为不同的音阶来表达不同的音调和音程，这些音阶常常可用数字比例来表示。
例如，西方音乐中的十二平均律体系就是利用等比数列的思想来构建的，而很多古典音乐作品则依据分数和比例的关系来安排音符的上升和下降。
数字的精确性帮助音乐家创作和演奏出准确而感人的音乐。
三、音乐的几何之美在几何学中，形状、比例和图案是研究的主要内容。
而音乐中的旋律、和声和节奏也可以通过几何的思维来进行解析和理解。
例如，有些古典音乐作品中的旋律和和声结构可用几何图形进行模拟和分析。
此外，音乐的声音色彩也常常与几何图形有关，一些乐器的演奏技巧和音色的变化可用具体的几何空间来描述。
另一方面，音乐中的对称性和镜像也与几何的对称关系息息相关。
数学与音乐的联系
数学与音乐的联系在人们的印象中，数学和音乐似乎是两个完全不同的领域。
数学是一门关于逻辑、推理和抽象概念的学科，而音乐则涉及到音调、和谐和情感表达。
然而，深入研究后我们会发现数学和音乐之间存在着紧密的联系。
本文将从数学的角度探讨数学与音乐的关系，并分析它们是如何相互影响的。
首先，数学与音乐的联系可追溯到古代的数学家毕达哥拉斯。
毕达哥拉斯在研究声音和弦的振动时，发现了音乐中的数学规律。
他发现，当乐器发出某种声音时，实际上是由不同频率的振动产生的。
这些频率遵循着特定的数学比例关系，即音程比例。
例如，当两个音符的频率比为2：1时，它们就构成了一个八度音程。
这一发现被称为“毕达哥拉斯音程”，奠定了声学和音乐理论的基础。
除了在声学领域中，数学也在音乐作曲过程中扮演着重要的角色。
作曲家们常常利用数学原理来构建复杂的音乐结构和和谐。
例如，尤利乌斯·约翰森（Johann Sebastian Bach）在其作品中经常运用对位法（Counterpoint）和序列（sequence）等数学概念。
对位法要求不同音部之间旋律和和声上的独立性，而序列则是将一段旋律逐渐上升或下降一个音程进行变化。
这些数学原理为音乐作品增添了深度和复杂度。
此外，数学也与音乐的节奏和节拍密切相关。
音乐中的节奏模式常常遵循着数学的节律。
例如，常见的4/4拍和3/4拍背后都有着数学与分数的关系。
同时，数学也被用于音乐的编码和分析中。
数字信号处理技术（Digital Signal Processing）正是运用了数学的FFT算法（Fast Fourier Transform）来将音乐转换成数字信号进行处理。
此外，数学也广泛应用于现代音乐技术领域。
例如，合成器（Synthesizer）就是基于数学模型和算法来模拟和发生音乐声音的电子设备。
利用数学模型，合成器可以产生各种不同的音色和音效，拓展了音乐创作的可能性。
总而言之，数学与音乐之间存在着紧密的联系。
音乐中的数学 音乐与数学的结合
音乐中的数学音乐与数学的结合音乐中的数学：音乐与数学的结合音乐和数学都是人类文明的重要组成部分。
虽然它们在表面上似乎是两个截然不同的领域，但事实上，音乐与数学之间有着紧密的联系和相互作用。
本文将探讨音乐与数学之间的结合，并分析数学在音乐创作和演奏中的作用。
1. 节奏和拍子音乐中最基本的元素之一是节奏，而数学则是揭示节奏和拍子规律的工具。
节拍的分割、拍子的排列以及时值的比例，都可以通过数学概念来解释和表达。
例如，2/4拍子中，每小节有两个拍子，4/4拍子则是每小节有四个拍子，而3/4拍子则是每小节有三个拍子。
这种对时间的分割和组织正是数学在音乐中的体现。
2. 音高和音程音乐中的音高指音符的高低，而音程则是指不同音高之间的距离。
在西方音乐理论中，有七个基本音符，即Do、Re、Mi、Fa、Sol、La、Si，它们之间的音程是按照数学的比例关系确定的。
例如，两个音符之间的全音程是按照2:3的比例来计算的，半音程则是按照15:16的比例关系。
通过这些数学关系，我们能够准确地计算和表达不同音符之间的音程关系。
3. 和弦和音阶和弦是音乐中的重要元素之一，它由多个音符同时发出构成。
而和弦的构成也是基于数学的音程关系。
例如，三和弦（三个音符同时发出）的构成是根音、三音和五音，它们之间的距离是按照特定的比例来确定的。
同样，音阶也是按照一定的数学关系来构建的，例如，大调音阶的音程关系是2:2:1:2:2:2:1。
4. 谐波和频率音乐中的声音是通过振动产生的，而振动的频率则决定了声音的音调高低。
在音乐和数学的交叉领域中，谐波理论是一个重要的概念。
谐波是指一个声音中频率是整数倍关系的多个振动成分。
通过数学的计算，我们能够了解各个谐波成分之间的关系，进而创造出丰富的音色和和声效果。
5. 花式节奏和复杂拍子音乐创作中常常使用花式节奏和复杂拍子来增强音乐的表现力。
而要精确地演奏这些花式节奏和复杂拍子，需要依赖数学的计算和分析。
数学与音乐创作的奇妙结合
数学与音乐创作的奇妙结合数学和音乐是两个看似截然不同的领域，但事实上它们之间存在着深厚的联系。
数学作为一门学科，涉及到抽象思维、逻辑推理和精确计算，而音乐则是一门艺术，以声音为媒介传达情感与想法。
然而，当数学与音乐相结合时，它们的共同点和相互作用变得明显，给予了音乐创作以一种奇妙的力量。
1. 频率和音程在音乐中，音高是一个至关重要的概念，而音高本质上是由音波的频率所决定的。
这里，数学的概念就起到了重要的作用。
频率与音程之间的关系可以通过一些基本的数学原理来解释。
例如，当两个声音的频率之比是一个简约的整数时（如1：2、2：3等），它们会产生和谐的音程，如八度、纯五度等。
这种关系被称为共鸣。
通过数学的帮助，音乐家可以确定音高之间最和谐的比例，从而创作出旋律令人难以忘怀的作品。
2. 节奏和拍子节奏是音乐中的重要元素之一，而它的表现形式与数学有着密切的联系。
在音乐中，拍子的划分和时值的组合，就像数学中的节拍和拆分数字一样，需要精确的计算和分析。
例如，四分音符等于两个八分音符、八分音符等于两个十六分音符，这种以2的倍数递减的关系，具有数学的规律性。
通过数学的抽象思维，音乐家可以深入探究各种不同的节奏变化，从而创造出充满层次感和创新性的作品。
3. 和声和音乐结构音乐的结构是指音符和和弦之间的关系，而和声是研究这种关系的学科。
在和声学中，数学的概念如数列、递归等都可以被应用于音乐的创作过程中。
例如，音乐中重复的旋律或主题可以通过数学上的循环和递推来实现，从而增强音乐的连贯性和内在的逻辑性。
此外，数学的对称性、平衡性等概念也可以帮助音乐家在和声的安排上做出更加精确和富有创意的选择。
4. 数字音乐合成随着科技的进步，数字音乐合成成为了现代音乐创作中不可或缺的一部分。
在数字音频处理中，数学函数和算法被广泛应用于音频的合成、处理和效果控制等方面。
通过数学模型的建立和运算，音乐家可以完美地控制音频的频谱、谐波和时域特性，精确地实现对音乐的想象和表达。
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前一阵校内上流行一个matlab演奏《卡农》的帖子，写法蛮帅的，用的还是纯律而非平均律。回想起我初中时候在少科站无聊也用Turbo Pascal编过《亚洲雄风》来着，当时就觉得一串数字转化成音乐是件很神奇的事情。来聊聊音乐和数学哈~
音乐之所以和谐美妙，很大程度上得益于两个数学上的约等式同时成立： 1) 2 ^ (7/12) = 1.4983 ≈ 3/2，误差 0.1% 2) 2 ^ (4/12) = 1.2599 ≈ 5/4，误差 0.8%
听起来很邪乎吧？待我慢慢道来…… 【陪音】 唱歌的时候如果唱不上去了我们经常会―唱低八度‖，这时候虽然声音低了许多，但与原唱并不冲突，与伴奏也仍然和谐。那为什么―八度‖那么特殊呢？或者说，为什么差八度的音听着那么像呢？原来差八度的两个音其频率正好差两倍——比如中音do（钢琴正中的C，记作C4或c’）是261.6赫兹，而高音do（记作C5或c’’）是它的两倍523.3赫兹。
那为什么频率差两倍就听起来像呢？这里需要引入陪音（upper partials）的概念，也称为泛音（overtone）。除了一些音色很纯的音（比如机器发出的正弦波）外，多数乐器演奏中除了激活原本频率的声波（基音）之外还会激活这些频率的整数倍，也就是陪音。当你按下钢琴的C4，这时空气中激荡着的不只有261.6赫兹的声波，还有523.3赫兹、784.9赫兹、1046.5赫兹等等（称为泛音列），而泛音列中各个音的不同强度和相位正反映了乐器的音色。注意523.3赫兹是C5，1046.5赫兹是C6，但784.9赫兹并不是一个C音，我们后文会讲到784.9赫兹比较接近G5。也就是说，同一音名的两个音之间肯定有陪音的关系，但反之不成立——陪音不必须是同一音名。回到八度的问题：C5本身就是C4最近的一个陪音，C5的陪音也都是C4
的陪音，所以弹C5时激活的音频弹C4时也会激活（当然强度不同），两个音听起来自然像啦~
【平均律】 搞清楚了啥是八度，那一个八度里的音又是怎么分的呢？大家知道七声调式中一个八度是7个基本音级、12个半音，2个半音等于一个全音。大调是―全全半全全全半‖，小调是―全半全全半全全‖。在巴赫开始提倡、现代普遍采用的十二平均律中，这12个半音是均匀分布的——从物理上讲，也就是半音阶中的音的频率形成一个等比数列。比如说C4是261.6赫兹，C5是523.3赫兹，而两者之间的11个音每个的频率是上一个的2 ^ (1/12) = 1.0595倍——C♯4是261.6 * 1.0595 = 277.2赫兹，D4是277.2 * 1.0595 = 293.7赫兹，依此类推。一个半音又可以分成100个音分（cent），差一个音分相当于频率差2 ^ (1/1200) = 1.00058倍，一个八度也就是1200个音分。普通人对音高的辨别阈大概是20音分（0.2个半音），而音乐家可以达到5音分（0.05个半音），不同音高下的辨别阈还有所不同。
为什么要用平均律，让所有音均匀分布呢？一个重要的原因是方便转调。比如周杰伦的《安静》，开始一直是B♭调，在唱到第二遍副歌―你要我说多难堪‖的时候突然升了一个全音变成了C调——也就是之前的B♭变成C，C变成D，D变成E等等，但尽管音高变了旋律听起来还是一样的，唱也还是一个感觉，区别最多也就是转一下调情绪激动一点。这种转调后的不变性是平均律特有的，在其他一些律制（比如五度相生律、纯律和中庸全音律）中不成立。同时这也意味着除平均律外，其他律制中每个调号的色彩都略有不同。这就是为什么亨德尔会偏好F大调和G小调（当时还没有平均律），而lady gaga就不那么在乎。 【音程的协和】 前菜上完了，下面是主菜：音程的协和。协和（consonant）这个概念，操作定义大致就是听起来和谐、悦耳。在实证研究中一般是给参与者同时播放两个正弦音（这种音不带陪音，只有基音），调整其间的频率间隔，然后让参与者在7点量表上评价这个音程有多悦耳、多优美、多和谐之类。Plomp和Levelt的这篇论文里结合了前人和他们自己的实验结果，得到这样一条曲线来描述两个正弦音的间隔与这个音程不协和程度的关系：
图一：音程不协和度与音程中根音和冠音间隔半音数的关系（图出自《American Scientist》上的这篇文章，是P & L原文Fig.10的重新制作）
怎么样，这条曲线看起来很光滑圆润小正太吧？可如果是这样，难道两个音的间隔越大越协和？那为什么又要分协和音程和不协和音程呢？且慢，记得我们讲这只是两个基音之间的不协和程度，而考虑上两个音各自陪音之间的协和程度之后，这图就变成了下面的样子： 图二：考虑陪音后的音程不协和度（出自《American Scientist》，P & L原文Fig.11的重新制作） 光滑圆润的小正太转眼变成了小刺猬，而且这刺还不是乱长，偏偏长在0、3、4、5、7、9、12这几条线附近，是不是很神奇？我反正觉得挺神奇的。原文中没有给详细的推导过程，于是我就自己尝试推导了一下（蓝字部分）。
首先图一这个小正太，怎么看怎么像一个Gamma分布。我试了几次后发现它和Gamma (2,1)最为接近：
图三：用Excel自制的Gamma (2,1)，和图一长得很像吧 这个曲线大概反映出我们听觉的特点：当两个纯音间隔很小（比如小于0.2个半音）时人耳难以分辨，因此感觉是完全协和的。当刚开始能够分辨出两个音的时候感觉特别刺耳，于是就出现了1-2个半音处不协和的高峰，而之后随着间隔变大刺耳的感觉逐渐减弱，不和谐度也下降了。Gamma (2,1) 模型的具体数值如下表： 表一：根据Gamma (2,1) 算出的不协和度数值（y轴无量纲） 接下来看陪音之间的协和。打个不太恰当的比方，谈恋爱不仅要两个人谈得来，还要讲究门当户对不是？所以说还要拿双方的弟弟妹妹们来配配看是否和谐，最后把所有不和谐的因素加起来看。表二中列出了根音6倍之内陪音和冠音8倍之内陪音的间隔半音数。从图三中看到两个音相差6个半音以上不协和程度就很低了，所以忽略掉陪音频率差别在3:2以上的情况（实际计算的时候我是忽略了2:1以上的情况）。
表二：根音陪音和冠音陪音的间隔半音数 把表二中的数值代入Gamma模型，就得到表三的不和谐度： 表三：根音陪音和冠音陪音的不协和度 把所有陪音的不协和度加起来就得到了图四，和American Scientist上的图（图二）差不多吧：
图四：考虑陪音后的音程不协和度（Excel自制） 以上部分我们用一个Gamma模型推导了考虑陪音后根音-冠音间隔和音程不和谐度的关系。那么图上突然下降的那几根刺是怎么来的呢？
举例来讲，间隔半音数7附近不协和度突然下降，而这个下降主要来自根音的3倍音（橙色线）和6倍音（绿色线）。回到表三，可以看到7个半音（G4）这一栏下黑框中的两个数（0.02）远远小于黑框两边6个半音和8个半音两栏（0.37），使得G4的陪音与C4的3倍音、6倍音上的不和谐度只有两边F♯4和G♯4
的10%不到。类似的情况也出现在0、3、4、5、9、12个半音的栏目中（表三中粗体标出）。 之所以这些位置会出现不协和度突然下降，寻根溯源到表二就很清楚了：表三中标粗的位置在表二中都接近0（绝对值< 0.2）。对照Gamma分布的曲线（图三）和之前的讨论，两个音相差小于0.2个半音时普通人难以分辨其差别，也就不会觉出不协和。而一旦稍高于这个阈限，不协和度就陡然上升。这也就解释了为什么会有―刺‖及其两边的突起形状。
还是以G4（和C4间隔7个半音）为例：G4的2倍音和C4的3倍音太过接近，以致听不出不协和；G4的4倍音和C4的6倍音，G4的6倍音和C4的9倍音等等也都如此。这样叠加的效果使得G4和C4构成的音程总体而言听起来不协和度低，也就解释了7附近的不协和度下降。注意，不管原图还是自制图中都只考虑了根音6倍以内的陪音，加上更高倍数陪音的话―刺‖会更多。
OK，如果还有人follow的话，以上冗长的推导简单来讲就是要证明这样一个结论：当根音和冠音的振动频率成简单整数比时，音程就协和。两者所成整数比越简单、越精确，音程就越协和。
这个结论大体是得到实证数据支持的：我们通常听来协和的音程（图二中―刺‖的位置）都可以近似表示成简单整数比，而不协和音程表示成整数比要么分子分母较大，要么误差较大（表四）。简单整数比也同样能解释一些三和弦的协和：比如同为大三度和小三度的叠加，大三和弦其三个音的比例是4:5:6从而听起来非常―正‖，小三和弦三个音的比例是10:12:15协和程度就略差一些。
表四：协和音程和不协和音程对应的振动频率比 【见证奇迹】 总结一下上面两部分说的：协和音程要求音阶中各个音的频率成简单整数比a/b，而平均律要求音阶在1和2之间构成等比数列，也即各个音的频率比需要表示为2^(m/n)（m为两个音的间隔数，n为一个八度音阶的全部音数）。也就是说，音程如果既要协和又要符合平均律的话，就必须有a/b = 2^(m/n)。但这里就产生了矛盾：a/b 是有理数，而2^(m/n) 在m非n整数倍的情况下是无理数，两者没法相等。
怎么办呢？所幸人耳没那么精确，允许一定误差，也就是可以a/b ≈ 2^(m/n)。两边取以2为底的对数得 m/n ≈ log2 (a/b)，或者写成m/n = log2 (a/b) + ε（标为*式），此处 ε 是平均律情况下音频比偏离简单整数比的误差。这个误差当然不能太大：前文提到一般人对音高的辨别阈大概在20音分左右，我们取15音分（听力稍好的人的辨别阈）作为标准，也就得到 |ε| < 15/1200 = 0.0125。