地理空间数学基础
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第2章 地理空间数学基础-修改
海福特（Hayford） （中国1953年以前采用）
克拉索夫斯基 （Красовбкий） （中国1954年北京坐标系 采用）
1940
6378245
6356863
1:298.3
地球形状与地球椭球
• 在实际建立地理空间坐标系统的时候，还需要指定一个大 地基准面将参考椭球体与大地体联系起来，在大地测量学 中称之为椭球定位 • 定位指依据一定的条件，将具有给定参数的椭球与大地体 的相关位置确定下来
– 高斯投影是具有国际性的一种地图投影，适合于幅员 广大的国家或地区，它按经线分带进行投影，各带坐 标系、经纬网形状、投影公式及变形情况都是相同的， 也利于全球地图拼接
– 高斯投影的不足之处在于长度变形较大，导致面积变 形也较大
– 1:2.5至1:50万比例尺地形图采用经差6˚分带，1:1万比 例尺地形图采用经差3˚分带
常用地图投影概述
• 高斯—克吕格投影
– 6˚带是从0度子午线起，自西向东每隔经差6˚为一投影 带，全球分为60带
– 3˚带是从东经1˚30'分的经线开始，每隔3˚为一带，全 球划分为120个投影带
3º 9º 69º 75º 81º 87º 93º 99º 105º 111º 117º 123º 129º 135º
• 中央经线和中央纬线将坐标系分成4个象限，点的 坐标值有正、负之分，为了避免出现负的坐标值， 将横坐标东移、纵坐标北移形成伪原点，使得所 有点落在东北象限内，坐标值为正
常用地图投影概述
• 高斯—克吕格投影
– 横轴切圆柱等角投影
– 中央经线和赤道为互相垂直的直线，其他经线均为凹 向，并对称于中央经线的曲线，其他纬线均是以赤道 为对称轴的向两极弯曲的曲线，经纬线成直角相交
GIS概论2地理空间数学基础
高斯—克吕格投影（Gauss-Kruger Projection ）
•横轴圆柱投影
•x •y
•高斯-克吕格投影原理图
高斯—克吕格投影（Gauss-Kruger Projection）
•高斯投影特征： ➢ 中央经线和赤道投影为互相垂直的直线，且为投影 的对称轴 ➢ 投影后无角度变形，即保角投影 ➢ 中央经线无长度变形 ➢ 同一条经线上，纬度越低，变形越大，赤道处最大 同一条纬线上，离中央经线越远，变形越大； ➢为了保证地图的精度，采用分带投影方法，即将投 影范围的东西界加以限制，使其变形不超过一定的限 度，这样把许多带结合起来，可成为整个区域的投影 ➢ 在6°带范围内，长度变形线最大不超过0.14%
• （2）80年西安坐标系 78年4月召开“全国天文大地网平差会议”建立80年西安坐标系，
其原点在西安西北的永乐镇，简称西安原点。椭球体参数为75年 国际大地测量与地球物理联合会第16界大会的推荐值。 • （3）新54年北京坐标系
将全国大地网整体平差的结果整体换算到克拉索夫斯基椭球体上 ，形成一个新的坐标系，称为新54年北京坐标系，它与80年国家 大地坐标系的轴定向基准相同，网的点位精度相同。 • （4）WGS84坐标系
•3)、我国大部分省区图以及大多数这一比例尺的地图也多采用 Lambert投影和属于同一投影系统的Albers投影(正轴等面积割 圆锥投影)；
•4)、Lambert投影中，地球表面上两点间的最短距离(即大圆航 线)表现为近于直线，这有利于地理信息系统中空间分析量度的 正确实施。
大中比例尺地图
对于大中比例尺地图，一般来说大多 数都采用地形图的数学基础—高斯－克吕格投 影，尤其是当比例尺为国家基本地形图比例尺 系列时，可直接判定为高斯－克吕格投影。其 原因是，这些比例尺和基本地形图比例尺相一 致，编图时，选用地形图的数学基础，既免去 了重新展绘数学基础的工序，而且能够保持很 高的点位精度。
第二章 地理空间数学基础(1)
设椭球面上有一个角，其两边与主方向交成相等的角；在 变形椭圆上角投影为角'，角投影为'。
以表示角度最大变形：
a b sin( ') ab
a b sin 2 ab
结论：当已知某点的主方向长度比时，即可求得该点的最大角度变形
2.2 空间数据投影
三、地图投影的变形
5. 面积比
若经纬线的方向与 主方向重合，则： P=m·n
2.2 空间数据投影
四、地图投影的分类
1. 按地图投影的构成方法分类
几何投影（方位投影、圆柱投影、圆锥投影） 非几何投影（伪方位、伪圆柱、伪圆锥、多圆锥） 等角投影 等积投影 任意投影
2. 按投影变形性质的分类
2.2 空间数据投影
在地理学研究及地图学的小比例尺 制图中，通常将椭球体当成正球体看 ，采用地心经纬度。
2.1 地球空间参考
二．坐标系统
o
x
I 象限 P（x,y）
2.平面坐标系
平面直角坐标系：笛卡尔坐标系 便于计算 平面极坐标系：某些投影（如圆锥投影、方位投影）往 往用极坐标系表示地图上的点位。
P （ρ，α） ρ α o y
圆柱投影：以圆柱面作为投影面，使圆柱面与球面相切 或相割，将球面上的经纬线投影到圆柱面上，然后将圆 柱面展为平面而成。
2.2 空间数据投影
四、地图投影的分类
1. 按地图投影的构成方法分类
圆锥投影：以圆锥面作为投影面，使圆锥面与球面相切 或相割，将球面上的经纬线投影到圆锥面上，然后将圆 锥面展为平面而成。
sin( ') ab tan 将两式相除，得： cos cos ' a
sin( ') a b sin( ') a b
以表示角度最大变形：
a b sin( ') ab
a b sin 2 ab
结论：当已知某点的主方向长度比时，即可求得该点的最大角度变形
2.2 空间数据投影
三、地图投影的变形
5. 面积比
若经纬线的方向与 主方向重合，则： P=m·n
2.2 空间数据投影
四、地图投影的分类
1. 按地图投影的构成方法分类
几何投影（方位投影、圆柱投影、圆锥投影） 非几何投影（伪方位、伪圆柱、伪圆锥、多圆锥） 等角投影 等积投影 任意投影
2. 按投影变形性质的分类
2.2 空间数据投影
在地理学研究及地图学的小比例尺 制图中，通常将椭球体当成正球体看 ，采用地心经纬度。
2.1 地球空间参考
二．坐标系统
o
x
I 象限 P（x,y）
2.平面坐标系
平面直角坐标系：笛卡尔坐标系 便于计算 平面极坐标系：某些投影（如圆锥投影、方位投影）往 往用极坐标系表示地图上的点位。
P （ρ，α） ρ α o y
圆柱投影：以圆柱面作为投影面，使圆柱面与球面相切 或相割，将球面上的经纬线投影到圆柱面上，然后将圆 柱面展为平面而成。
2.2 空间数据投影
四、地图投影的分类
1. 按地图投影的构成方法分类
圆锥投影：以圆锥面作为投影面，使圆锥面与球面相切 或相割，将球面上的经纬线投影到圆锥面上，然后将圆 锥面展为平面而成。
sin( ') ab tan 将两式相除，得： cos cos ' a
sin( ') a b sin( ') a b
第二章 地理空间数学基础
2、投影的实质
建立地球椭球面上的点的地理坐标（L，B）与平面上对
应点的平面坐标（x，y）之间的函数关系：
x f1 ( L, B) y f 2 ( L, B)
地球椭球面 B,L x， y 地图平面
地图投影
二、地图投影的变形
1、投影变形的性质 观察地球体经纬线的
长度、面积和角度特征。
地图投影的变形具体表现： 长度(距离)变形 角度(形状)变形 面积变形
其优点：
①椭球体参数精度高； ②定位采用的椭球体面与我国大地水准面符合得好； ③大地网精度高；
④坐标统一，精度优良，可以直接满足1:5000甚至更大
比例尺测图的需要。
三角测量
导 线 测 量
支导线
国家平面控制网
O
国家平面控制网含三角点、导线点 共154348个，构成1954北京坐标 系、1980西安坐标系两套系统。
3、我国常用的地图投影
①我国1：100万地形图采用兰勃特Lambert投影(正轴等
角割圆锥) ；
②我国大部分省区图以及大多数这一比例尺的地图也多采用 Lambert投影和属于同一投影系统的Albers投影(正轴等积 割圆锥投影)； ③我国基本比例尺地形图除1：100万外均采用高斯—克吕 格投影为地理基础；
用来代替大地体的椭球体称地球椭球体。
b a a
x2 y2 z2 2 2 1 2 a a b
椭球体三要素:长轴a(赤道半径)、短轴b(极半径)和椭球扁率f。
3、地球体的数学表面——地球椭球体
地球椭球体参数：
• 长半径： a（赤道半径）
b a
• 短半径： b（极半径）
• 扁率： f=(a-b)/a • 第一偏心率： e2=(a2- b2)/ a2 • 第二偏心率： e’2=(a2- b2)/ b2
第2章 地理空间数学基础
空间数据投影
• 面积变形与面积比
– 面积比—地面上微分面积投影后的大小dF’与其相应的 实地面积dF的比称为面积比 – P=dF′/dF – 面积变形指面积比与1的差值。用符号Vp表示，那么 – Vp=P-1
– Vp=0,投影后面积没有变形；Vp<0，投影后面积缩小； Vp>0，投影后面积增加
空间数据投影
球面坐标系统的建立
• 天文地理坐标系
λ
ψ
图2.4天文地理坐标系
球面坐标系统的建立
• 大地地理坐标
– 依托地球椭球用定义原点和轴系以及相应基本参考面 标示较大地域地理空间位置的参照系，简称大地坐标
– 点在大地坐标系中的位置以大地纬度与大地经度表示
球面坐标系统的建立
• 空间直角坐标系
– 参心空间直角坐标系是在参考椭球上建立的三维直角 坐标系O-XYZ – 坐标系的原点位于椭球的中心，Z轴与椭球的短轴重合， X轴位于起始大地子午面与赤道面的交线上，Y轴与XZ 平面正交 – 由于观测范围的限制，不同的国家或地区要求所确定 的参考椭球面与局部大地水准面最密合 – 由于参考椭球不是唯一的，因此参心空间直角坐标系 也不是唯一的
– 第三类是地球椭球面
• 大地体非常接近旋转椭球，而后者的表面是一个是一个规则的 数学曲面，因此选择一个旋转椭球作为地球理想的模型，称为 地球椭球或参考椭球
地球形状与地球椭球
x y z 2 2 1 2 a a b
a为长半径，近似等于地球赤道半径；b为极轴半径， 近似等于南极（北极）到赤道面的距离。
1940
6378245
6356863
1:298.3
地球形状与地球椭球
• 在实际建立地理空间坐标系统的时候，还需要指定一个大 地基准面将参考椭球体与大地体联系起来，在大地测量学 中称之为椭球定位 • 定位指依据一定的条件，将具有给定参数的椭球与大地体 的相关位置确定下来
地理空间数学基础
克拉索夫斯基
1940 6,378,245 1:298.3
苏联
1967年大地坐标系 1967 6,378,160 1:298.247 1971年国际第二个推荐值
1975年大地坐标系 1975 6,378,140 1:298.257 1975年国际第三个推荐值
1980年大地坐标系 1979 6,378,137 1:298.257 1979年国际第四个推荐值
x2 a2
y2 a2
z2 b2
1
主要参数：长轴、短轴、扁率
b a
旋转椭球体是地球表面几何模型中最简单一类模型， 为世界各国普遍采用作为测量工作的基准。
我国目前一般采用克拉索夫斯基椭球体作为地球表面
几何模型。
地理空间数学基础
国际主要的椭球参数
椭球名称
年代
德兰勃（Delambre） 1800
长半径/m 6,375,653
第2章 地理信息系统 §2.2 地理空间数学基础
地理空间数学基础
本章内容：
一 地理空间参考 二 空间数据投影 三 空间坐标转换 四 空间尺度
地理空间数学基础
一 地理空间参考
解决地球的空间定位与数学描述问题。
（一）地球形状与地球椭球 （二）坐标系统 （三）高程基准
地理空间数学基础
一 地理空间参考
地理空间数学基础
平面坐标系统=球面坐标系统+投影规则
地理空间数学基础
一 地理空间参考
（三）高程基准
1 绝对高程。地面点沿垂线方向至大地水准面的 距离称为绝对高程或称海拔。
高程基准是推算国家统一高程控制网的水准原点的 起算依据，它包括一个水准基面和一个永久性水准 原点。
我国高程基准：
第2章 地理空间数学基础
通常情况： 通常所说的高程是以平均海面为起算基准 面，所以高程也称为标高或者海拔高。 高程基准: 高程基准是推算国家统一高程控制网中所 有水准高程的起算依据，包括一个水准基 面和 一个永久性水准原点。 水准基面： 大地水准面，也是重力等位面，平均海 面。
相关概念： 地面点到大地水准面的高程，称为绝对高程。如图所示， P0P0‘为大地水准面，地面点A和B到P0P0’的垂直距离 HA和HB为A、B两点的绝对高程。地面点到任一水准面 的高程，称为相对高程。如图中，A、B两点至任一水准 面P1P1‘的垂直距离HA’和HB‘为A、B两点的相对高程。 地面点之间的高程差值，称为高差。
• 按坐标单位划分：
– 角度单位坐标系统
天文坐标系（大地体） 大地坐标系（参考椭球）
– 线性单位坐标系统
空间直角坐标系（参心、地心）
（1）天文地理坐标系 模型：大地体 坐标原点：地心（地球质量中心） 天文纬度：测站垂线方向与地球平均赤道 面的交角，以φ表示。 • 天文经度：首天文子午面与测站天文子午 面的夹角，以λ表示。 • • • •
实质：
建立地图平面上点的坐标（x, y）与地球椭球面上对应点的坐标 (,)之间的函数关系。准确表示地物的地理位臵。一般通式为：
x f1 ( , ) y f 2 ( , )
• 对于较小区域范围，可以视地表为平面，认为投影没有变 形。 • 对于较大区域范围，由于地球椭球体表面是曲面，而地图 通常是要绘制在平面图纸上，因此制图时首先要把曲面展 为平面，然而球面是个不可展的曲面，即把它直接展为平 面时，不可能不发生破裂或褶皱。若用这种具有破裂或褶 皱的平面绘制地图，显然是不实际的，所以必须采用特殊 的方法将曲面展开，使其成为没有破裂或褶皱的平面。那 么图形必将在某些地方被拉伸，某些地方被压缩，因此投 影变形是不可避免的。
05-GIS_P2地理空间数学基础345小节
2.3.1 空间坐标转换基本概念
不同来源的空间数据一般会存在地图投影与地理坐 标的差异，
为了获得一致的数据，必须进行空间坐标的转换。
空间坐标转换是把空间数据从一种空间参考系映射 到另一种空间参考系中。
空间坐标转换有时也称投影变换。投影变换是地图 制图的基础理论之一，主要用来解决换带计算、地图 转绘、图层叠加、数据集成等问题。
如何从不同视角、从宏观或中观或微观的尺度 来观察、认识自然现象、自然过程或社会经济事件，
获取有关数据、信息， 进而分析评价它们，
为规划决策、解决问题服务， 已成为人们认识自然、认识社会、改造自然，促进社会经
济进步和发展的重要论题。
所谓尺度，在概念上是指研究者选择观察（测）世界的窗口。
选择尺度时必须考虑观察现象或研究问题的具体情况。
①（B，L）84转换为（X，Y，Z）84(大地坐标到直角坐标的转换)； ②（X，Y，Z）84转换为（ X，Y，Z ）80（坐标基准的转换，即参
考椭球转换。该过程可以通过前节所叙述的7参数或简化3参数法实现）；
③ (X,Y,Z ) 80转换为(B,L) 80 (直角坐标到大地坐标的转换）； ④ (B,L) 80转换为(x,y)80 （投影，高斯一克吕格投影公式计算）。
2.3.3 投影解析转换
1. 相同地理坐标基准下的坐标变换 2. 不同地理坐标基准下的坐标变换
1.相同地理坐标基准下的坐标变换
如果参与转换的空间参考系的投影公式存在严密或近似的解 析关系式，就可以
建立两坐标系的解析关系式。 应用建立的解析关系式，直接计算出当前空间参考系
下的空间坐标(x,y,z)在另一种空间参考系中的坐标值（
实现两种投影坐标间的变换（x，y）→（X，Y）。
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有了参考椭球体，在建立地理空间坐标系统的时候，还需
要指定一个大地基准面将这个椭球体与大地体联系起来，在大 地测量学中称为椭球定位。所谓的椭球定位就是根据一定的条 件，将具有给定参数的椭球与大地体的相关位置确定下来。这 里的一定条件，可以理解为两个方面：
一是依据什么要求使大地水准面与椭球面符合；二是轴向的规定
一点所处的位置。 某一个地理坐标系是基于一个地球椭球体和一个大地基准 面来定义。
基准面是利用特定椭球体对特定地区地球表面的逼近，
因此每个国家或地区均有各自的基准面 建国以来，中国于上世纪50年代和80年代分别建立 了1954年北京坐标系和1980西安坐标系。54坐标系采用 的是克拉索夫斯基椭球体。该椭球在计算和定位的过程
采用2000国家大地坐标系将进一步促进遥感技术在我
国的广泛应用，比如汶川大地震发生后，以国内外遥感卫 星等科学手段为抗震救灾分析及救援提供了大量的基础信 息，显示出科技抗震救灾的威力，而这些遥感卫星资料都 是基于地心坐标系。
基准面是利用特定椭球体对特定地区地球表面的逼
近，因此每个国家或地区均有各自的基准面
中，没有采用中国的数据，该系统在中国范围内符合得
不好，不能满足高精度定位以及地球科学、空间科学和 战略武器发展的需要。上世纪70年代，中国大地测量工
作者经过二十多年的艰巨努力，终于完成了全国一、二
等天文大地网的布测。经过整体平差，采用1975年IUGG 第十六届大会推荐的参考椭球参数，中国建立了1980西
（二）高程控制网
高程是指空间某点高于或低于基准面的 垂直距离，主要用来提供地形信息。 高程基准面即大地水准面，是取验潮站 长期观测结果计算出来的平均海面。 我国现在规定的高程基准面为“1985 国家高程基准”，采用青岛验潮站1953到 1979年验潮资料计算确定的，该基准比原 先使用的“黄海平均海平面”高29mm。
2、投影坐标系（Projected Coordinate Systems） 投影坐标系使用基于X,Y值的坐标系统来描 述地球上某个点所处的位置。这个坐标系是从地 球的近似椭球体投影得到的，它对应于某个地理 坐标系。
投影定，比如：北京54、 西安80、WGS84、2000年国家大地坐标系） 投影方法（比如高斯－克吕格、Lambert投影、 Mercator投影）
常用的地图投影
一 地形图
我国的基本比例尺地形图(1:5千，1:1万，1:2.5万，
1:5万，1:10万，1:25万，1:50万，1:100万)中，
大于等于50万的均采用高斯-克吕格投影(GaussKruger)，； 小于50万的地形图采用正轴等角割圆锥投影，又叫兰勃 特投影(Lambert Conformal Conic)； 海上小于50万的地形图多用正轴等角圆柱投影，又叫墨 卡托投影(Mercator) 我国的GIS系统中应该采用与我国基本比例尺地形图系列
参考椭球的短轴与地球旋转轴平行是参考椭球定位的基本要求。
第二节 坐标系统
地理空间坐标系统通常分为球面坐标系统（地理坐标
系统）和平面坐标系统（投影坐标系统）。地理空间坐标
系统的建立必须依托于一定的地球表面几何模型。
1
地理坐标系（Geogrpahic Coordinate System） 地理坐标系使用基于经纬度坐标的坐标系统描述地球上某
地理空间定位框架即大地测量控制，由平面控制网和高 程控制网组成；
铅垂线 水准面
地球表面
大地水准面
地球椭球面
地球模型
地球椭球面是一个规则的数学曲面，因此在大地测量及 GIS应用中，一般都选择一个旋转椭球作为地球的理想模型， 成为地球椭球体。主要的参数包括长轴a，短轴b和偏率α 。主 要的地球椭球体及其参数见表2.1
大中比例尺地图
对于大中比例尺地图，一般来说大多数都 采用地形图的数学基础—高斯－克吕格投影， 尤其是当比例尺为国家基本地形图比例尺系列 时，可直接判定为高斯－克吕格投影。其原因 是，这些比例尺和基本地形图比例尺相一致， 编图时，选用地形图的数学基础，既免去了重 新展绘数学基础的工序，而且能够保持很高的 点位精度。
第二章 地理空间数学基础
———地理空间及其表达
第一节 地球空间参考
地理空间：是人类赖以生存的地球表层具有一定厚度的
连续空间域，又称地理圈（人地关系系统）。可以分为
绝对空间和相对空间。“地理空间”(geo-spatial)，一
般用地理空间定位框架来定位和表达；
※ GIS的任何空间数据都必须纳入一个统一的空间参照 系中，即地理空间定位框架，以实现不同来源数据的融 合、连接与统一；
椭球体 长半轴 a（米） 短半轴b（米）
Krassovsky（北京54采用）
IAG 75（西安80采用） WGS 84
6378245
6378140 6378137
6356863.0188
6356755.2882 6356752.3142
在ArcGIS 9中基于这三个椭球，建立了我国常用的
三个基准面和地理坐标系：
GCS_WGS1984(基于WGS84 基准面)
GCS_BEIJING1954(基于北京1954基准面)
GCS_XIAN1980(基于西安1980基准面)
坐标参考系统—平面系统
直接建立在球体上的地理坐标，用
经度和纬度表达地理对象位置 投 影 规 则
建立在平面上的平面坐标系统，用
（x，y）表达地理对象位置
安坐标系 。
2008年3月，由国土资源部正式上报国务院《关于中
国采用2000国家大地坐标系的请示》，并于2008年4月获
得国务院批准。自2008年7月1日起，中国将全面启用2000 国家大地坐标系，国家测绘局受权组织实施。2000国家大 地坐标系是全球地心坐标系在我国的具体体现，其原点为 包括海洋和大气的整个地球的质量中心。
一致的地图投影系统。
我国规定：对于比例尺小于1:1万 的地形图采用6度带，对于比例尺 大于或等于1:1万的地形图采用3 度带。
我国基本比例尺代码
比例尺 代码 1:50万 1:25万 1:10万 B C D 1:5万 E 1:2.5万 F 1:1万 G 1:5000 H
（564km,2776km）
分省地图
由于我国位于中纬度地区，中国地图和
分省地图经常采用割圆锥投影（Albers 投
影），中国地图的中央经线常位于东经105
度，两条标准纬线分别为北纬25度和北纬
47度，而各省的参数可根据地理位置和轮
廓形状初步加以判定。例如甘肃省的参数
为：中央经线为东经101度，两条标准纬线
分别为北纬34度和41度。