直线圆的各种插补算法
� 当d>0时，M在L(Q点)上方，取P1为下一个像 素；
� 当d=0时，选P1或P2均可，约定取P1为下一 个像素；
� 若当前像素处于d≥0情况，则取正右方像素 P1(xp+1, yp),要判下一个像素位置，应计算 d1=F(xp+2,yp+0.5)=a(xp+2)+b(yp+0.5)=d+a 增量为a。
� 若d<0时，则取右上方像素P2(xp+1, yp+1)。 要判断再下一像素，则要计算d2= F(xp+2, yp+1.5)=a(xp+2)+b(yp+1.5)+c=d+a+b ，增量 为a＋b。
� 画线从(x0, y0)开始，d的初值 d0=F(x0+1, y0+0.5)=F(x0, y0)+a+0.5b，因 F(x0, y0)=0， 所以d0=a+0.5b。
方向上每走一步计数器减1，直到计数器值为零 则结束算法。
ε � 当MAX{|Xi-XA|，|Yi-YA|}≤ 时结束。
二、中点画线算法
� 假定直线斜率k在0~1之间，当前像素点为 （xp,yp），则下一个像素点有两种可选择 点P1（xp+1,yp）或P2（xp+1,yp+1）。若 P1与P2的中点（xp+1,yp+0.5）为M，Q为 理想直线与x=xp+1垂线的交点。当M在Q 的下方时，则取P2应为下一个像素点；当 M在Q的上方时，则取P1为下一个像素点。 这就是中点画线法的基本原理。
� x y e=d-0.5 d=d+k � 0 0 -0.5 � 1 0 -0.1 � 2 1 -0.7 � 3 1 -0.3 � 4 2 -0.9 � 5 2 -0.5
只包括整数的加法、减法和左移（乘2） 操作，效率高。 适合用硬件实现
五、并行画线算法
方法一：
� 有p个处理器。将线段沿着x方向分为p个区
点、线
一级图形元素
多边形、曲线、 字符串 实心图形 （或称图形填充）
二级图形元素
第一节、扫描转换算法
一、 坐标系
1．用户坐标系 � 在实际世界中用来描述物体的位置、形状等。坐
标单位任意，坐标值是实数、范围不限。 2．笛卡尔坐标系（直角坐标系） � 在计算机图形学中使用用来描述物体。 3．设备坐标系 � 在某一特定设备上用来描述物体，如显示器的屏
�
= yi+k△x
� 当△x =1; yi+1 = yi+k。当x每递增1，y递增k(即直线斜 率)。
� 需要进行浮点数运算； 运行效率低； 不便于用硬件实 现。
� 举例：用DDA方法扫描转换连接两点P0 （0,0）和P1（5,2）的直线段。
� x int(y+0.5) y+0.5 �0 0 0 � 1 0 0.4+0.5 � 2 1 0.8+0.5 � 3 1 1.2+0.5 � 4 2 1.6+0.5
� 在计算机中上述两个公式所示的方法 生成圆周都颇费时 。
圆心在0,0点圆周生成时的对称变换
二、正负法画圆弧
� 将平面上的圆点划分成三个点集， � G- ： f(X,Y)<0 � G0：f(X,Y)=0 � G+ ：f(X,Y)> 0 � 基于这种将平面分成正负区域性质来生
� 举例：用中点画线方法扫描转换连接两点P0 （0,0）和P1（5,2）的直线段。
� a=y0-y1=-2; b=x1-x0=5; d0=2*a+b=1;d1=2*a=-4;d2=2*(a+b)=6 ,
�
� xy d � 00 1 � 1 0 -3 � 21 3 � 3 1 -1 � 42 5
三、数值微分(DDA)法
中点画线法每步迭代涉及的象素和中点示意图
中点画线法的实现
� 过点(x0,y0)、(x1, y1)的直线段L的方程式为F(x, y)=ax+by+c=0，其中，a=y0-y1, b=x1-x0, c=x0y1-x1y0，欲判断中点M在Q点的上方还是下 方，只要把M代入F（x，y），并判断它的符号即可。
� 设过端点P0(x0 ,y0)、P1(x1 ,y1)的直线段为 L(P0 ,P1)，则直线段L的斜率
� L的起点P0的横坐标x0向L的终点P1的横坐标x1步 进，取步长=1(个象素)，用L的直线方程y=kx+b计算相
应的y坐标率，并取象素点(x,round(y))作为当前点的坐标。
因为： yi+1 = kxi+1+b = k1xi+b+k△x
� 对图形的扫描转换分为两部分：先确定像 素，再用图形的颜色或其他属性进行某种 写操作。
绘图元素
� 构成图形的基本元素，主要有点、直线、圆和曲线等。 图形元素包含的信息：
①图元的类型 ②图元的几何信息 ③图元的非几何信息； ④图元的指针信息
1、点 2、位置 3、像素 4、直线 5、曲线 6、填充
图形基元包括：
四、Bresenham算法
� 直线斜率在0~1之间，该方法类似于中点法， 由一个误差项符号决定下一个象素点。
� 算法原理：过各行各列象素中心构造一组虚 拟网格线。按直线从起点到终点的顺序计算 直线与各垂直网格线的交点，然后确定该列 象素中与此交点最近的象素。
� 巧妙之处在于采用增量计算，使得对于每一 列，只要检查一个误差项的符号，就可以确 定该列的所求象素。
� ∴ FM=yMxA-yAxM
在逐点比较法法中要考虑的问题
(1)如何计算偏差和辨别偏差：
设 δ=tgβ-tgα 有 1.δ=0时，点在直线上，走X 方向一步；
2.δ>0时，点在直线上方，也走X 方向一步； 3.δ<0时，点在直线下方，走Y 方向一步。
(2)如何辨别绘制到终点以结束算法。 � 可用计数器，值为MAX(ΔX/△t,ΔY/△t),在计长
� 令e＝d－0.5，e的初值为－0.5，增量为k。当 e≥0时，取当前象素(xi，yi)的右上方象素(xi ＋1，yi＋1)；而当e<0时，取(xi，yi)右方象 素(xi＋1，yi)。
Bresenham算法所用误差项的几何含义
� 举例：用Bresenham方法扫描转换连接两 点P0（0,0）和P1（5,2）的直线段。
第四章、基本图形生成算法
教学目的： 1、知道图形生成中的基本问题； 2、熟练掌握直线的扫描转换、圆与椭圆的
扫描； 3、掌握区域填充； 4、了解线宽与线型的处理。
� 在光栅显示器上显示的任何一种图形，实 际上都是一些具有一种或多种颜色的象素 的集合。
� 生成算法即图形设备生成图形的方法，也 叫光栅化或或图形的扫描转换，是确定一 个象素集合及其颜色，用于显示一个图形 的过程。确定一个象素集合及其颜色，用 于显示一个图形的过程，称为图形的扫描 转换或光栅化。
d=A*x+B*y+C 其中，A=-∆y/linelength
B=∆x/linelength C=(x1∆x-y1∆x)/linelength
并行画线算法（二）
Linelength=(∆x2+∆y2)1/2
d小于某个设定值，该像素就被设置成指 定的线段颜色。
这种并行画线算法特别适合于画具有一定 宽度的线段。
第二节、直线的扫描转换
� 光栅图形显示器显示一条直线时，实际上 是将最逼近于该直线的像素点选中,并赋予 相应的颜色或灰度值。
直线显示图
一、逐点比较法
� 基本思想:在绘制直线过程中，每绘制一个 点就与原直线进行比较，根据比较的结果决 定下一步的走向，这样一步一步逼近直线。
� 该算法执行中要使得每一个绘制点尽可能 靠近直线而不发生远离直线的趋向。由一点 到下一点的走向方法有在X,Y方向上同时走 一步，或只在X方向上走一步，或只向Y方 向走一步。
� 列坐标象素为xi，其行坐标为yi。下一个象素 的列坐标为xi＋1，行坐标要么为yi，要么递增 1为yi＋1。
� 是否增1取决于误差项d的值。误差项d的初值 d0＝0，x坐标每增加1，d的值相应递增直线 的斜率值k，即d＝d＋k。一旦 d≥1，就把它 减去1，这样保证d在0、1之间。当d≥0.5 时，直线与垂线x=xi＋1交点最接近于当前象 素(xi，yi)的右上方象素(xi＋1，yi＋1)；而当 d<0.5时，更接近于正右方象素(xi＋1，yi)。
段，分段水平宽度为 ∆xp= (∆x+np-1)/p
其中∆x为水平宽度
� 再将这p个区段按照从左向右的次序依次编 号为0,1,…,p-1,则编号为p的区段的起点的x 坐标 xp=x0+k* ∆xp
并行画线算法
� 计算编号为p的区段的起点的y坐标yp和判别式fi 的初始值。 区段的高度∆yp=k*∆xp yp=y0+round(i*∆yp) ei=di-0.5 =k*i*∆xp-round(i*∆yp)+k-0.5 fi=2*∆x*ei =2*∆y*i*∆xp-2*∆x*round(i*∆yp)+2* ∆y- ∆x round(i *∆yp)=int(i*∆yp+0.5) =(2*∆y*i*∆xp+∆x) div(2*∆x)
� 像素：像素即图像元素。 像素不是几何意义中的点， 永远存在，只有颜色的变化。均匀地分布在显示表面。 像素的坐标是整数值。
� 画点不是绘制点本身，而是将选择距该点最近的像素， 并赋一个颜色值。
� 注意：点是实数世界中的信息；像素显示世界中的信息。
轮廓插补原理——其他插补方法
第五节 其他插补方法前面已经介绍了几种较常用的插补方法，但数控技术经过数十年的发展，特别是微处理器的应用，在原有的脉冲增量法插补原理基础上又派生出许多改进或新型的插补算法，例如：比较积分法、时差法、矢量判别法、最小偏差法、脉冲增量式的直接函数法等。
针对复杂曲线轮廓或列表曲线轮廓，在数据采样法中又提出了一些新的插补算法，例如：样条插补、螺纹插补等。
为此，下面继续简单介绍比较积分法插补、样条插补以及螺纹插补的基本思路。
一、比较积分法前面己经介绍，逐点比较法速度平稳，调整方便，但不容易实现多坐标轴的联动；而DDA 法便于坐标轴的扩展，但速度控制不太方便。
现若将这两种算法结合在一起，就能够扬长避短，集两者优点于一身，实现各种函数和多坐标轴联动插补，且插补精度较高，运算简单，易于调整，是一种比较理想的脉冲增量式插补方法。
（一）比较积分法直线插补设将要插补的第一象限直线起点在坐标原点O （0，0），终点为E （X e ，Y e ），则直线上的所有动点N （X i ，Y i ）必然满足下面等式i ee i X X Y Y =（3-97） 现对式（3-97）求微分得 ee i i X Y dX dY = （3-98） 如果在此基础上引入时间变量t ，分别对两坐标变量进行积分，就可得到前面介绍的DDA 直线插补算法。
显然，如此处理不是目的，下面必须另辟新径，寻找一种更理想的解决方案。
为此引入比较判别的思想，建立两个被积函数之间的内在联系，将式（3-98）改写为增量形式，即有Y e ∆X i =X e ∆Y i （3-99）由于式中X e 、Y e 均是以脉冲当量为单位的数字量，设∆X i 、∆Y i 均为单位位移增量，在数值上为“1”。
现对式（3-99）两边进行积分，并利用矩形法求其积分值，可得∑∑===ii Y j e X i e X Y 11 或 Y e ＋Y e ＋……＋Y e =X e ＋X e ＋……＋X e （3-100）（X i 项） （Y i 项）在这里要指出的是，式（3-100）等号两边求和的项数不一定相等，等式左边是X i 项，而右边是Y i 项。
插补运动(逐点比较法)
1、概述在机床的实际加工中，被加工工件的轮廓形状千差万别，各式各样。
严格说来，为了满足几何尺寸精度的要求，刀具中心轨迹应该准确地依照工件的轮廓形状来生成。
然而，对于简单的曲线，数控装置易于实现，但对于较复杂的形状，若直接生成，势必会使算法变得很复杂，计算机的工作量也相应地大大增加。
因此，在实际应用中，常常采用一小段直线或圆弧去进行逼近，有些场合也可以用抛物线、椭圆、双曲线和其他高次曲线去逼近（或称为拟合）。
所谓插补是指数据密化的过程。
在对数控系统输入有限坐标点（例如起点、终点）的情况下，计算机根据线段的特征（直线、圆弧、椭圆等），运用一定的算法，自动地在有限坐标点之间生成一系列的坐标数据，即所谓数据密化，从而自动地对各坐标轴进行脉冲分配，完成整个线段的轨迹运行，以满足加工精度的要求。
机床数控系统的轮廓控制主要问题就是怎样控制刀具或工件的运动轨迹。
无论是硬件数控（NC）系统，还是计算机数控（CNC）系统或微机数控（MNC）系统，都必须有完成插补功能的部分，只是采取的方式不同而已。
在CNC或MNC中，以软件（程序）完成插补或软、硬件结合实现插补，而在NC中有一个专门完成脉冲分配计算（即插补计算）的计算装置——插补器。
无论是软件数控还是硬件数控，其插补的运算原理基本相同，其作用都是根据给定的信息进行数字计算，在计算过程中不断向各个坐标发出相互协调的进给脉冲，使被控机械部件按指定的路线移动。
有关插补算法问题，除了要保证插补计算的精度之外，还要求算法简单。
这对于硬件数控来说，可以简化控制电路，采用较简单的运算器。
而对于计算机数控系统来说，则能提高运算速度，使控制系统较快且均匀地输出进给脉冲。
经过多年的发展，插补原理不断成熟，类型众多。
从产生的数学模型来分，有直线插补、二次曲线插补等；从插补计算输出的数值形式来分，有基准脉冲插补（又称脉冲增量插补）和数据采样插补。
在基准脉冲插补中，按基本原理又分为以区域判别为特征的逐点比较法插补，以比例乘法为特征的数字脉冲乘法器插补，以数字积分法进行运算的数字积分插补，以矢量运算为基础的矢量判别法插补，兼备逐点比较和数字积分特征的比较积分法插补，等等。
多轴联动常用插补算法
多轴联动常用插补算法
多轴联动是指在数控加工过程中，多个轴同时协同运动以完成复杂零件的加工。
为了实现精确且高效的多轴联动，需要采用合适的插补算法进行控制。
常见的多轴联动插补算法包括以下几种：
1. 直线插补：直线插补是最基本的插补算法，用于控制轴在直线轨迹上运动。
直线插补算法根据预设的轨迹，通过控制电机转速和加速度，使轴按照指定的速度和加速度曲线运动。
2. 圆弧插补：圆弧插补用于控制轴在圆弧轨迹上运动。
与直线插补类似，圆弧插补算法也需要根据预设的轨迹，控制电机转速和加速度，使轴按照指定的速度和加速度曲线运动。
3. 样条插补：样条插补是一种基于多项式的插补方法，可以实现较为复杂的曲线轨迹。
通过拟合多项式曲线，样条插补可以控制轴在不同坐标系下实现平滑过渡，提高加工精度。
4. 电子凸轮插补：电子凸轮插补是一种基于数字信号处理的插补方法，通过预设的数字信号序列来控制轴的运动。
电子凸轮插补可以实现复杂的轨迹和动作，但相对于其他插补算法，其精度较低。
5. 全闭环运动控制插补：全闭环运动控制插补是一种基于反馈控制的插补方法，通过对各轴实际位置与电机实际位置之间的偏差进行实时调整，实现高精度的多轴联动。
全闭环运动控制插补可以保证多轴联动轮廓精度、定位精度及重复定位精度，同时保证伺服电机稳定运行。
在实际应用中，根据不同的加工需求和设备条件，可以选择合适的插补算法来实现多轴联动。
同时，为了提高插补算法的性能和稳定性，还可以采用诸如优化算法、PID控制等方
法进行优化。
数控技术第3章插补原理
5. 运算举例（第Ⅰ 象限逆圆弧） 运算举例（ 象限逆圆弧） 加工圆弧AE 起点(4,3) AE， (4,3)， 终点(0,5) E=(4-0)+(5加工圆弧AE，起点(4,3)， 终点(0,5) ，E=(4-0)+(53)=6 插补过程演示
三.逐点比较法的进给速度 逐点比较法的进给速度
逐点比较法除能插补直线和圆弧之外，还能插补椭圆、 逐点比较法除能插补直线和圆弧之外，还能插补椭圆、 抛物线和双曲线等二次曲线。此法进给速度平稳， 抛物线和双曲线等二次曲线。此法进给速度平稳， 精度较高。在两坐标联动机床中应用普遍. 精度较高。在两坐标联动机床中应用普遍. 对于某一坐标而言， 对于某一坐标而言，进给脉冲的频率就决定了进给速 度 ：
插补是数控系统最重要的功能； 插补是数控系统最重要的功能； 插补实际是数据密集化的过程； 插补实际是数据密集化的过程； 插补必须是实时的； 插补必须是实时的； 插补运算速度直接影响系统的控制速度； 插补运算速度直接影响系统的控制速度； 插补计算精度影响到整个数控系统的精度。 插补计算精度影响到整个数控系统的精度。 插补器按数学模型分类，可分为一次插补器、 插补器按数学模型分类，可分为一次插补器、二次插补器及高 次曲线插补器； 次曲线插补器； 根据插补所采用的原理和计算方法不同， 根据插补所采用的原理和计算方法不同，分为软件插补和硬件 插补。目前大多采用软件插补或软硬件结合插补。 插补。目前大多采用软件插补或软硬件结合插补。 根据插补原理可分为：脉冲增量插补和数字采样插补。 根据插补原理可分为：脉冲增量插补和数字采样插补。
脉冲当量： 脉冲当量：每一个脉冲使执行件按指令要求方向移动的直线 距离，称为脉冲当量， 表示。一般0.01mm 0.001mm。 0.01mm～ 距离，称为脉冲当量，用δ表示。一般0.01mm～0.001mm。 脉冲当量越小， 脉冲当量越小，则机床精度越高
{实用}直线圆的各种插补算法
第四章、基本图形生成算法教学目的：1、知道图形生成中的基本问题；2、熟练掌握直线的扫描转换、圆与椭圆的扫描；3、掌握区域填充；4、了解线宽与线型的处理。
�在光栅显示器上显示的任何一种图形，实际上都是一些具有一种或多种颜色的象素的集合。
�生成算法即图形设备生成图形的方法，也叫光栅化或或图形的扫描转换，是确定一个象素集合及其颜色，用于显示一个图形的过程。
确定一个象素集合及其颜色，用于显示一个图形的过程，称为图形的扫描转换或光栅化。
�对图形的扫描转换分为两部分：先确定像素，再用图形的颜色或其他属性进行某种写操作。
绘图元素�构成图形的基本元素，主要有点、直线、圆和曲线等。
图形元素包含的信息：①图元的类型②图元的几何信息③图元的非几何信息；④图元的指针信息11、点22、位置33、像素44、直线55、曲线66、填充点、线图形基元包括：多边形、曲线、字符串 实心图形（或称图形填充）一级图形元素二级图形元素第一节、扫描转换算法一、坐标系1．用户坐标系�在实际世界中用来描述物体的位置、形状等。
坐标单位任意，坐标值是实数、范围不限。
2．笛卡尔坐标系（直角坐标系）�在计算机图形学中使用用来描述物体。
3．设备坐标系�在某一特定设备上用来描述物体，如显示器的屏幕坐标系，绘图仪的绘图坐标系。
坐标单位为像素、步长，即设备的分辨率。
坐标值是整数，有固定的取值范围。
4．规范坐标系�在通用图形软件包中使用的用来描述物体数据所采用的坐标系。
�目的是为了使通用图形软件包摆脱对具体物理设备的依赖性，也为了便于在不同应用和不同系统之间交换图形信息。
�坐标单位任意取，坐标取值范围是［０，１］区间。
笛卡儿坐标系与屏幕坐标系的转换�屏幕（x，y）=（x笛卡儿+x最大分辨率/2，y最大分辨率/2- y笛卡儿）二、笛卡尔坐标系和设备坐标系中相关概念的区别（1）像素点�·在几何学中，点没有准数，没有大小，只表示了在坐标系统中的一个位置。
·在图形系统中，点要由数值坐标表示。
数控技术(插补)
xi +1 = xi + 1 yi +1 = yi Fi +1 = xe y i −( xi + 1) ye = ( xe yi − xi ye ) − ye
于是有 Fi+1 = Fi －Ye
E(xe,ye) Pi(Xi,Yi) Pi+1(Xi+1,Yi+1)
0
x
第三章轮廓加工的数学基础
为了逼近曲线的相对位置沿 2）.若Fi<0为了逼近曲线的相对位置沿+y向走 为了逼近曲线的相对位置 一步即 y
y E(xe,ye)
0
x
设动点pi ( xi , yi )的Fi 值为
为便于计算机编程计算, 为便于计算机编程计算,
Fi = xe yi − xi ye
y
的计算予以简化。 将F的计算予以简化。 的计算予以简化 为了逼近曲线的相对位置沿 向走一步 向走一步， 1）.若Fi>0为了逼近曲线的相对位置沿+x向走一步，即 为了逼近曲线的相对位置
第三章轮廓加工的数学基础
3.1.1直线插补原理 3.1.1直线插补原理 1.偏差函数 1.偏差函数
如图所示， 如图所示，设规定轨迹为 直线段OE，起点在原点，终 起点在原点， 点E的坐标A(XeYe) , Pi(xi, yi)为加工点 。
Y
E ( Xe,Ye)
Pi(xi,yi) 0 x
则下式成立。 （1）.若P正好处在 OE 上,则下式成立。
3
F<0 ∆Y F=F+5 5
F计算 计算 -3 终点判别(n-1→n) → 终点判别 7 ≠0 6 ≠0 5 ≠0 4 ≠0 3 ≠0
0
Pi(xi,yi)
直线与圆弧插补实验
实验一工作台直线插补运动1 实验目的1.了解工作台直线插补原理和算法；2.在掌握直线插补原理的基础上实现平面绘图。
2 实验设备1.直线／旋转工作台；2.工作台控制箱一台；3.笔架夹持器、画笔及画板。
3 实验原理本实验利用逐点比较法插补直线，逐点比较法在第一象限的直线插补原理如下图：现加工OE直线。
如果刀具动点在OE直线上方或在该直线上，则令刀具沿X正方向进给一步；若刀具动点在OE直线下方，则令刀具沿Y轴正方向进给一步，如此循环直到加工到E点。
判别刀具动点的位置根据偏差判别公式，第一象限直线插补的偏差判别公式如下：Fi = Xe Y i －Y e X iFi≥0时，偏差判别公式为F i+1=F i -Ye 向X正方向进给Fi<0时，偏差判别公式为F i+1= F i＋Xe，向Y正方向进给逐点比较法插补节拍：逐点比较法插补需要四个节拍，即偏差判别、进给、偏差计算和终点判别。
4.4 实验步骤1.按使用说明书上将工作台组合成二自由度直线工作台，安装好笔架夹持器，放置好画板，并正确连接电缆。
2.安装上笔架夹持器及画笔，在桌面相应位置放好画板，使笔尖接触到画板；3.接通控制箱电源；4.启动计算机，运行工作台控制软件；5.在“工作台组合方式”界面中选择X直线工作台和Y直线工作台；6.单击主界面“工作台复位”按钮，工作台进行回零运动，运动完成后工作台处于零点位置；7.把画笔安装到笔架夹持器上，使笔尖接触到画板；8.单击“直线插补”按钮；9.加速方式选择“梯形”，插补目标X轴填写0，Y轴填写-30，点击“运动”按钮，画出一条直线，10.插补目标X轴填写30，Y轴填写30，点击“运动”，11.插补目标X轴填写30，Y轴填写0，点击“运动”，12.插补目标X轴填写0， Y轴填写0，点击“运动”，13.几条直线在画板上组成一个梯形，14.单击“工作台复位”按钮，使工作台回到零点位置；15.关闭计算机；16.断开控制箱电源。
第四章 插补原理
y L2 F0 F<0 F<0 F0 L3
四象限直线偏差符号和进给方向
L1 F0 F<0 x F<0 F0 L4
由图可见，靠近Y轴区域偏差大等于零，靠近X轴区域偏差小于零。F≥0时，进 给都是沿X轴，不管是＋X向还是－X向，X的绝对值增大；F<0时，进给都是沿Y轴， 不论＋Y向还是－Y向，Y的绝对值增大。
v y 60f y
式中 δ—脉冲当量（mm/脉冲）。合成进给速度为
v v x 2 v y 2 60 f x2 f y2
若fx=0或fy=0时，也就是刀具沿平行于坐标轴的方向切削，这时对 应轴切削速度最大
第四章 插补原理
3.1 数字积分法的基本原理
第 三 节 数 字 积 分 法
F5 F4 2Y4 1 3 F6 F5 2 X 5 1 4
F7 F6 2Y6 1 1
F8 F7 2Y7 1 0
5. 四个象限中圆弧插补 第一象限逆圆弧CD：即Fi≥0时，走—X轴， 动点的偏差函数为
Fi 1＝Fi 2 X i 1
第四章 插补原理
2.3 逐点比较法圆弧插补
第 二 节 逐 点 比 较 法
第一象限圆弧插补 流程图
例3 现欲加工第一象限顺圆弧AB，如图所示，起点A（0，4），终点B（4，0）， 试用逐点比较法进行插补。
Y 4 3 2 1 B(4,0) O 1 2 3 4 X A(0,4)
表3 圆弧插补过程
步数 起点 偏差判别 坐标进给 偏差计算 坐标计算 终点判别
如图4-14所示，从t=0时
刻到t时刻，函数y=f（t） 曲线所包围的面积可表示
Y
Y=f(t)
YO
数控机床的插补原
多项式插补的优缺点
优点
多项式插补能够生成光滑的曲线，适用于复杂形状的加工；可以通过增加控制点来提高插补精度；可以处理多种 类型的插补需求。
缺点
计算量大，需要较高的计算能力；对于某些特殊形状的加工，可能需要特殊的多项式函数形式；需要精确的已知 数据点，否则可能导致插补误差较大。
05
样条插补
样条插补的定义
样条曲线法
样条曲线法是一种更加高级的插补方法，它使用多项式样 条曲线来描述加工路径，能够实现更加复杂的形状加工， 并提高加工精度和表面质量。
插补算法的精度和效率
精度
插补算法的精度是衡量其性能的重要指标之一。高精度的插 补算法能够生成更加精确的路径，从而提高加工精度和表面 质量。
效率
插补算法的效率也是需要考虑的因素之一。高效的插补算法 能够缩短加工时间，从而提高生产效率。在实际应用中，需 要根据具体需求选择精度和效率之间的平衡点。
确定已知数据点
首先需要确定起始点和终止点的坐标位置，以及可能的其他控制点。
构造多项式函数
根据已知数据点，选择合适的多项式函数形式，如线性函数、二次函 数或更高次的多项式。
求解插值方程
通过求解插值方程，得到多项式函数的系数，使得该函数在已知数据 点处的值与实际值相等。
生成加工路径
将多项式函数与机床的坐标系统关联起来，生成加工路径，控制机床 的运动轨迹。
04
多项式插补
多项式插补的定义
多项式插补是一种数学方法，用于在 两个已知数据点之间生成一条光滑曲 线。它通过构造一个多项式函数来逼 近给定的数据点，使得该函数在数据 点处的值与实际值尽可能接近。
VS
在数控机床中，多项式插补被用于生 成零件加工的路径，使得加工过程更 加精确和光滑。
第四部分插补原理与速度控制
（3）迭代法偏差函数F的推导
①设加工点P在圆弧外侧或圆弧上，则加工偏差F≥0， 刀具需向X坐标负方向进给一步，即移动到新的加工点
P（Xi+1，Yi）。新加工点的偏差为： Fi+1，i = (Xi – 1)2 +Yi2 -（X02 + Y02）
=Xi2-2Xi+1-X02+Yi2-Y02 =F-2Xi+1 ②设加工点P在圆弧内侧，则加工偏差F<0，刀具需向
①偏差判别 根据偏差值确定刀具相对加工直线的位置。
②坐标进给 根据偏差判别的结果，决定控制沿哪个坐标 进给一步，以接近直线。
③偏差计算 计算新加工点相对直线的偏差，作为下一步 偏差判别的依据。
④终点判别 判断是否到达终点，未到达终点则返回第一 步，继续插补，到终点，则停止本程序段的插补。终 点判别可采用两种方法：一是每走一步判断Xi-Xe≥0及 Yi-Ye≥0是否成立，如成立，则插补结束否则继续。二 是把每个程序段中的总步数求出来，即n=|Xe | + | Ye | ， 每走一步n-1，直到n=0为止。
线 型 偏差判别
象
1
2
限
3
4
F≥0
-Y
+X
+Y
-X
G02
F<0
+X
+Y
-X
-Y
F≥0
-X
-Y
+X
+Y
G03
F<0
+Y
-X
-Y
+X
（3）圆弧插补自动过象限处理
为了加工二个象限或二个以上象限的圆弧，圆弧插 补程序必须具有自动过象限功能。自动过象限程序包 括象限边界处理、过象限判断及数据处理等模块。