排序不等式
排序不等式 课件
1．分析待求函数的结构特征，构造两个有序数组． 2．运用排序原理求最值时，一定要验证等号是否成 立，若等号不成立，则取不到最值．
利用排序不等式求解简单的实际 问题
若某网吧的3台电脑同时出现了故障，对其维 修分别需要45 min,25 min和30 min，每台电脑耽误1 min，网 吧就会损失0.05元．在只能逐台维修的条件下，按怎样的顺 序维修，才能使经济损失降到最小？
1．首先，理解题意，实际问题数学化，建立恰当模 型．
2．三台电脑的维修时间3t1＋2t2＋t3就是问题的数学模 型，从而转化为求最小值(运用排序原理)．
【提示】 由排序原理，知顺序和最大，反序和最小． 因此最大值为a1b1＋a2b2＋a3b3＋a4b4＋a5b5＝304. 最小值为a1b5＋a2b4＋a3b3＋a4b2＋a5b1＝212.
用排序不等式证明不等式(字母大小已定)
已知a，b，c为正数，a≥b≥c，求证： (1)b1c≥c1a≥a1b； (2)ba2c22＋cb2a22＋ac2b2 2≥a12＋b12＋c12. 【思路探究】 由于题目条件中已明确a≥b≥c，故可 以直接构造两个数组．
序和 ≤ 乱序和 ≤顺序和．
1．排序原理的本质含义是怎样的？
【提示】 两实数序列同方向单调(同时增或同时减)时 所得两两乘积之和最大，反方向单调(一增一减)时所得两两 乘积之和最小．等号成立的条件是其中至少有一序列为常数 序列．
2．已知两组数a1≤a2≤a3≤a4≤a5， b1≤b2≤b3≤b4≤b5，其中a1＝2，a2＝7，a3＝8，a4＝9，a5 ＝12，b1＝3，b2＝4，b3＝6，b4＝10，b5＝11，将bi(i＝ 1,2,3,4,5)重新排列记为c1，c2，c3，c4，c5.那么a1c1＋a2c2＋… ＋a5c5的最大值和最小值分别是多少？
第44讲 排序不等式
第四讲 排序不等式与琴生不等式本节主要内容有排序不等式、琴生不等式、幂平均不等式、切比雪夫不等式及应用．排序不等式（又称排序定理）：给定两组实数a 1，a 2，……，a n ；b 1，b 2，……，b n ．如果a 1≤a 2≤……≤a n ；b 1≤b 2≤……≤b n ．那么a 1b n ＋a 2b n －1＋……＋a n b 1（反序和）≤a 11i b ＋a 22i b ＋……＋a n n i b （乱序和）≤a 1b 1＋a 2b 2＋……＋a n b n （同序和）， 其中i 1，i 2，……，i n 是1，2，……，n 的一个排列．该不等式所表达的意义是和式∑=nj i j jba 1在同序和反序时分别取得最大值和最小值．切比雪夫不等式：设有两个有序数组a 1≤a 2≤……≤a n ；b 1≤b 2≤……≤b n ．则1n(a 1b n＋a 2b n －1＋……＋a n b 1)≤a 1＋a 2＋……＋a n n ·b 1＋b 2＋……＋b n n ≤1n(a 1b 1＋a 2b 2＋……＋a nb n )， 其中等号仅当a 1＝a 2＝……＝a n 或b 1＝b 2＝……＝b n 时取得．琴生不等式又称凸函数不等式，它建立在凸函数的基础上．定义 设连续函数f (x )的定义域是[a ，b ](开区间(a ，b )或(－∞，＋∞)上均可)，如果对于区间[a ，b ]内的任意两点x 1，x 2有f (x 1＋x 22 )≤12 [f (x 1)＋f (x 2)]，则称f (x )为[a ，b ]上的下凸函数．如图(１)定理一．若f (x )是下凸函数，则对其定义域中的任意几个点x 1，x 2，……，x n ，恒有f (x 1＋x 2＋……＋x n n )≤1n[f (x 1)＋f (x 2)＋……＋f (x n )]．定义 设连续函数f (x )的定义域是[a ，b ](开区间(a ，b )或(－∞，＋∞)上均可)，如果对于区间[a ，b ]内的任意两点x 1，x 2有f (x 1＋x 22 )≥12 [f (x 1)＋f (x 2)]，则称f (x )为[a ，b ]上的下凸函数．如图(2)x 1x 2M (1)P Q x 1x 2M P Q定理二：若)(x f 是上凸函数，则对其定义域中的任意n 个点n x x x ,...,,21恒有)](...)()([1)...(2121n n x f x f x f n n x x x f +++≥+++，容易验证x x x f 21log ,tan )(=分别是),0(),2,0(+∞π上的下凸函数。
经典不等式证明—排序不等式—切比雪夫不等式—平均不等式—柯西不等式
不妨设
a1 a2 ... an
b1 b2 ... bn
由切比雪夫不等式为
1 (a1 a2 ... an )(b1 b2 ... bn ) a1b1 a2b2 ... anbn n
令 ai bi (i 1, 2,..., n) 则有
aibi-ajbi+ajbj-aibj=(ai-aj)(bi-bj)≥0
即顺序和≥乱序和（当且仅当 ai=aj 或 bi＝bj 时等号成立） 当有多个乱序时可由数学归纳法即得结论： a1bn+a2bn-1+…+anb1≤a1bj1+a2bj2+„+anbjn≤a1b1+a2b2+„+anbn (其中 j1,j2,…，jn 是 1,2,…,n 的一个排列) 当且仅当 a1=a2=…=an 或 b1=b2=…=bn 时等号成立 2.切比雪夫不等式 若两个正实数数组{ai} , {bi} 满足 a1≤a2≤„≤an ,b1≤b2≤„ ≤bn,
版权所有，违者乱棍打死
1. 排序不等式 设两个数组{ai} , {bi}满足 a1≤a2≤„≤an,b1≤b2≤„≤bn, 则有 a1bn+a2bn-1+…+anb1≤a1bj1+a2bj2+„+anbjn≤a1b1+a2b2+„+anbn (其中 j1,j2,…，jn 是 1,2,…,n 的一个排列) 当且仅当 a1=a2=…=an 或 b1=b2=…=bn 时等号成立 证明： （先证有一个乱序的情形，其余的可根据结论得证） 设序列{ai}中仅有 ai 与 aj 调换次序 由 a1b1+a2b2+…+ajbi+…+aibj+…+anbn 记为○ 1 式（为乱序） a1b1+a2b2+…+aibi+…+ajbj+…+anbn 2 -○ 1 得 ○ ： 记为○ 2 式（为顺序） 恒成立 .
经典不等式证明—排序不等式—切比雪夫不等式—平均不等式—柯西不等式
最小，因而其乘积和是反序的)
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即
x1 y1 x2 y2 ... xn yn
总是两数组的反序和。
于是由排序不等式的“乱序和 反序和” ，总有
x1 yn x2 y1 ... xn yn1 x1 y1 x2 y2 ... xn yn
n 1 1 1 ... a1 a2 an
n
n a1a2 ...an
证明：○ 1
（此处先利用 由于
a1a2 ...an
a1 a2 ... an n
的结论） 1式 ○
1 1 1 ... a1 a2 an 1 1 1 n ... n a1 a2 an
=n
1 a1a2 ...an
即
a a1 a2 ... n 1 1 ... 1 n c c c
a1 a2 ... an c n a1a2 ...an n
即
n
a1 a2 ... an a1a2 ...an n
（利用切比雪夫不等式证明） ,
2 2 a1 a2 ... an a 2 a2 ... an 1 n n ○ 3
c
c
y1= 1 = c ，y2= 1 =
x1 a1 x2
c2 a1a2
,„,yn= 1 =
xn
cn a1a2 ...an
=1
(其中 c n a1a2 ...an ，因为{xn},{yn}两个数列对应成倒数，所以 无论它们数列的各项的值的大小如何，乘积的和都是 1，且 可视为两个数列反序乘积和的形式， 比如： 若 xn 最大， 则 yn=
（提示：上式从第○ 2 行到最后一行可视为 ai 顺序乘以 bi 的一 个乱序） 根据“顺序和 乱序和” （从第○ 2 行到第○ n 行同时使用） ，可 得
第12讲 排序不等式与切比雪夫不等式
第十二讲 排序不等式与切比雪夫不等式一、 知识概要 1.排序不等式定理1 设12n a a a ≤≤≤L L ，12n b b b ≤≤≤L L ，12,,n i i i L L 与12,,n j j j L L 是1,2,3n L 的任意的两个排列，则:11221122nni j o j i j n n a b a b a b a b a b a b ++≤++L L 11221211nni j o j i j n n n a b a b a b a b a b a b -++≥+++L L可以简单的理解为：反序和≤乱序和≤同序和.2.切比雪夫不等式定理2 设12n a a a ≤≤≤L L ，12n b b b ≤≤≤L L ，则：111()()n nnk kk kk k k a ba bnnn===≤∑∑∑.定理3 设12n a a a ≤≤≤L L ，12n b b b ≥≥≥L L ，则：111()()nnnkkk kk k k a ba bnnn===≥∑∑∑.3.幂平均不等式定理4 设正实数12,,,n a a a L L ,且0αβ<< ,则111212()()n n a a a a a a n nαααββββα++++++≤L L(等号成立当且仅当12n a a a ===L L ).定理5 设正实数12,,,n a a a L L ,且0αβ<< ,则111212()()n n a a a a a a n nαααββββα++++++≥L L(等号成立当且仅当12n a a a ===L L ).二、解题指导例1.设,,,a b c d 满足1ab bc cd da +++=的非负实数， 求证：333313a b c d b c d a c d b a d b a c +++≥++++++++.例2.已知,,a b c R +∈，1abc =,证明:33311132()()()a b c b a c c a b ++≥+++.例3.设123,,,(2)n x x x x n ≥L 都是正实数，且11ni i x ==∑，求证：1nni =≥.例4.设正实数12,,n a a a L 满足121n a a a +++=L ，证明：1212231222223311()()1n n a a a na a a a a a n a a a a a a ++++++≥++++L L .例5.设0(1,2,3,,)i x i n >=L ，求证：12331212312()nnx x x x x x x x nn n x x x x x x x +++⋅≥L L L .三、习题演练1.用排序不等式证明下列不等式： （1）3333a b c abc ++≥； （2）222222b c c a a b abc a b c++≥++；（3）3332222()()()()a b c a b c b a c c a b ++≥+++++.2.设,,0a b c >，1111111a b b c c a ++=++++++，求证：a b c ab bc ac ++≥++.3.设,,0a b c >，求证：888333111a b c a b c a b c ++++≤.4.设,,0x y z >，满足1x y z ++=，≥5.将1,2,3n L 这n 个正整数任意排列可以得到!n 个不同的数列，问其中是否存在4个数列： 123,,,,n a a a a L ，12,,,n b b b L 123,,,n c c c c L K ，23,,,n d d d d L K 使得 11221122332()n n n n a b a b a b c d c d c d c d +++=++++L L .6.设0(1,2,3,)k p a q k n <≤≤=L ，试求：111()()nnk i i kf a a ===∑∑的最大值与最小值.。
排序不等式
2
3
1
2
-1
∵b1≥1,b2≥2,…,bn-1≥n-1,c1≤2,c2≤3,…,cn-1≤n,
1 2
-1 1 2
-1
∴
+
+⋯+
≥ + + ⋯+
,
1 2
-1 2 3
1 2
-1 1 2
-1 1 2
-1
即 + + ⋯+
≤
+
+ ⋯+
≤
+
+⋯+
.
2 3
1 2
-1 2 3
+
+
证明:由对称性,不妨设 a≥b≥c>0.
1
1
1
于是 a+b≥a+c≥b+c,a ≥b ≥c , + ≥ + ≥ +.
2
2
2
2
2
2
由排序原理,知+ + + + + ≥ + + + + +,
2
2
2
2
2
2
2
+
+
+
+
+
2
≥
2
3
+ ⋯+
-1
.
证明:设 b1,b2,…,bn-1 是 a1,a2,…,an-1 的一个排列,且
b1<b2<…<bn-1,c1,c2,…,cn-1 为 a2,a3,…,an 的一个排列,且
高二数学排序不等式
问题探究
猜想： 反序和 乱序和 顺序和
即：S1 S S2
形成结论 定理：（排序不等式）
设a1 a2 an , b1 b2 bn为 两组实数，c1, c2 , cn是b1, b2 , bn 的任一排列，则:
a1bn a2bn1 anb1 a1c1 a2c2 ancn a1b1 a2b2 anbn 当且仅当a1 a2 an或b1 b2 bn 时，反序和等于顺序和.
例1、有10个人各拿一个水桶去接水， 设水龙头注满第i(i 1, 2, ,10)个人的
水桶需要 ti 分，假定这些 ti 各不相
同。问只有一个水龙头时，应如何
安排10人的顺序，使他们等候的总时 间最少？这个最少的总时间等于多少？
例2、设a1, a2, an是n个互不相同 的正整数，求证：
1 1 1 23
1 n
a1
a2 22
a3 32
an n2
作业： P45 1，2，3，4
； / 淘宝优惠券去哪里领 ；
刚好听见这番话,把斗笠解下挂在墙上,“陆陆是少君朋友,她有事,少华作为大哥の当然要关照.听说她最喜欢跟人打官非索赔,你说话谨慎些.”村里の每个人各有原则,不了解便妄下定论容易犯事.佟灵雁也瞅了好友一眼,“可不是,我还听说她认识热点追踪の名记,被她盯上不死也得招来一 身臊.你呀,口无遮拦の早晚惹事.”“嗤,什么名记,一群狗仔嘚瑟什么？被人宰了一个又一个还不懂得收敛反省,迟早要完.”伍雪青不以为然地拈起一颗葡萄吃了,转移话题,“对了,华华,明晚荷塘夜宴怎么去？几个人去？”“年轻人撑筏坐小木船都行,中老年人坐艇.”“哟,”伍雪青来兴 趣了,“又是休闲居买の？”“休闲居和养生馆各一条,怎么,你想坐？”“不
排序不等式
排序不等式说明排序不等式是高中数学竞赛大纲、新课标要求的基本不等式。
设有两组数a_1 , a_2 ,…… a_n; b_1 , b_2 ,…… b_n 满足a_1≤ a_2 ≤……≤ a_n, b_1 ≤ b_2≤……≤ b_n ，则有a_1 b_n + a_2 b_{n-1}+ ... + a_n b_1≤ a_1 b_{t_1} + a_2 b_{t_2} +……+ a_n b_{t_n}≤ a_1 b_1 + a_2 b_2 + ……+a_n b_n.式中t_1，t_2，……，t_n是1，2，……，n的任意一个排列，当且仅当a_1 = a_2 = ... = a_n 或 b_1 = b_2 = ... = b_n 时等号成立。
应用排序不等式常用于与顺序无关的一组数乘积的关系。
可以先令a_1 ≤ a_2 ≤ a_3 ≤ ... ≤ a_n，确定大小关系。
使用时常构造一组数，使其与原数构成乘积关系，以便求解。
适用于分式、乘积式尤其是轮换不等式的证明。
以上排序不等式也可简记为：反序和≤乱序和≤同序和.排序不等式的证明：逐步调整法。
当n=2时，不妨设a_1 ≤ a_2，b_1 ≤ b_2，那么a_1 b_1 + a_2 b_2 - ( a_2 b_1 + a_1 b_2)= ( a_1 - a_2 )( b_1 - b_2 )≥0.因此n=2时成立。
当n>2时，只需分别证明两个不等式即可。
不妨设a_1 ≤ a_2 ≤ ... ≤ a_n，b_1 ≤ b_2 ≤ ... ≤ b_n。
A. 乱序和≤同序和考察a_1 b_{t_1} + a_2 b_{t_2} + ... + a_n b_{t_n}。
如果t_1=1，那么考察t_2。
如果t_i=i，i=1, ..., k，那么考察t_{k +1}。
现不妨设第一个满足t_k>k的项脚标为m，即a_1 b_1 + a_2 b_2 + ... + a_m b_{t_m} + ... + a_n b_{t_n}，t_m>m。
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课题：几个著名的不等式之二：排序不等式
教学重点：应用排序不等式证明不等式.
教学难点：排序不等式的证明思路.
教学设计：
一、引入：
1、问题：若某网吧的3台电脑同时出现了故障，对其维修分别需要45min，25 min和30 min，每台电脑耽误1 min，网吧就会损失0.05元。
在只能逐台维修的条件下，按怎么样的顺序维修，才能使经济损失降到最小？
分析：
二、排序不等式：
1、基本概念：
一般地，设有两组数：
a≤2a≤3a，1b≤2b≤3b，我们考察
1
这两组数两两对应之积的和，利用排列组合的知识，我们知道共有6个不同的和数，它们是：
根据上面的猜想，在这6个不同的和数中，应有结论： 同序和332211b a b a b a ++最大，反序和132231b a b a b a ++最小。
2、对引例的验证：
3、类似的问题：
5个人各拿一只水桶到水龙头接水，如果水龙头注满这5个人的水桶需要的时间分别是4分钟，8分钟，6分钟，10分钟，5分钟。
那么如何安排这5个人接水的顺序，才能使他们等待的总时间最少？
分析：
4、排序不等式的一般情形：
一般地，设有两组实数：
a，2a，3a，…，n a与1b，2b，3b，…，
1
b，且它们满足：
n
a≤2a≤3a≤…≤n a，1b≤2b≤3b≤…≤n b，
1
若
c，2c，3c，…，n c是1b，2b，3b，…，n b的任意一个排列，1。