高中数学柯西不等式与排序不等式

3.13.2柯西不等式
1.二元均值不等式有哪几种形式？
答案：(0,0)2
a b a b +≥
>>及几种变式.
2.已知a 、b 、c 、d 为实数，求证22222()()()a b c d ac bd ++≥+
证法：（比较法）22222()()()a b c d ac bd ++-+=….=2()0ad bc -≥ 定理：若a 、b 、c 、d 为实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+.
||ac bd +
||||ac bd ≥+
ac bd ≥+.
定理：设1212,,,,,,,n n a a a b b b R ∈L L ，则 （当且仅当12
1
2
n n
a a a
b b b ===
L 时取等号，假设0i b ≠）
变式：222212121
()n n a a a a a a n
++≥++⋅⋅⋅+L
.
定理：设,αβu r u r 是两个向量，则||||||αβαβ≤u r u r u r u r
g .
等号成立？（βu r 是零向量，或者,αβu r u r
共线）
练习：已知a 、b 、c 、d
. 证法：（分析法）平方→应用柯西不等式→讨论：其几何意义？（构造三角形）
三角不等式： ① 定理：设1122,,,x y x y R ∈
变式：若112233,,,,,x y x y x y R ∈，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？
例1
：求函数y = 分析：如何变形？→构造柯西不等式的形式
变式：y =
,,,,,)y a b c d e f R +=∈ 例2：若,x y R +∈，2x y +=，求证：112x
y
+≥.
分析：如何变形后利用柯西不等式？（注意对比→构造）
要点：
2222111111()()]22x y x y x y +=++=++≥… 讨论：其它证法（利用基本不等式）
练习：已知321x y +=，求22x y +的最小值. 解答要点：（凑配法）2222222111()(32)(32)131313
x y x y x y +=
++≥+=. 讨论：其它方法（数形结合法）
练习：已知a 、b R +∈，求证：11()()4a b a
b
++≥.
例1：已知321x y z ++=，求222x y z ++的最小值. 练习：若,,x y z R +∈，且1111x
y
z
++=，求23
y z x ++的最小值.
变式：若,,x y z R +∈，且1x y z ++=，求222x y z ++的最小值.
变式：若
,,x y z R +∈，且1x y z ++=的最大值. 例2：若a >b >c ，求证：c
a c
b b a -≥
-+-4
11. 要点：21111()(
)[()()]()(11)4a c a b b c a b b c a b b c
-+=-+-+≥+=---- 例3已知正数,,a b c 满足1a b c ++=证明222
3
3
3
3
a b c a b c ++++≥
证明：利用柯西不等式()
2
313131
2
222222222a b c
a a
b b
c c ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭
又因为222a b c ab bc ca ++≥++在此不等式两边同乘以2，再加上
222a b c ++得：()()2223a b c a b c ++≤++
()
()()2
2
2
23
3
3
2
2
2
3a b c
a b c a b c ++≤++•++Q 故222
3
3
3
3
a b c a b c ++++≥
例4设p 是ABC V 内的一点，,,x y z 是p 到三边,,a b c 的距离，R 是ABC V 外
≤ 证明：由柯西不等式得，
记S 为ABC V 的面积，则2242abc abc
ax by cz S R R
++===g 故不等式成立。

练习：已知实数,,a b c ,d 满足3a b c d +++=，22222365a b c d +++=试求a 的最值
解：由柯西不等式得，有()()2
222111
236236
b c d b c d ⎛⎫++++≥++ ⎪⎝⎭
即()2222236b c d b c d ++≥++由条件可得，()2
253a a -≥-
解得，12a ≤≤
==
时等号成立， 代入1
11,,3
6
b c d ===时，max 2a =2
11,,3
3
b c d ===时min 1a =
3.3排序不等式
排序不等式（即排序原理）：设有两个有序实数
组:12a a ≤≤···n a ≤;12b b ≤≤···n b ≤.12,,c c ···n c 是12,b b ，···,n b 的任一排列,则有
1122a b a b ++···+n n a b (同序和)
1122a c a c ≥++···+n n a c (乱序和) 121n n a b a b -≥++···+1n a b (反序和)
当且仅当12a a ==···=n a 或12b b ==···=n b 时，反序和等于同序和. 排序不等式的应用：
例1：设12,,,n a a a ⋅⋅⋅是n 个互不相同的正整数，求证：
321222
111
12323n a a a a n n +
++⋅⋅⋅+≤+++⋅⋅⋅+.
证明过程：
设12,,,n b b b ⋅⋅⋅是12,,,n a a a ⋅⋅⋅的一个排列，且12n b b b <<⋅⋅⋅<，则121,2,,n b b b n ≥≥⋅⋅⋅≥. 又222
111
123n >
>>⋅⋅⋅>
，由排序不等式，得 33
2211222222
2323n n a a b b a b a b n n
+++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+≥… 小结：分析目标，构造有序排列.
练习：已知,,a b c 为正数，求证：3332222()()()()a b c a b c b a c c a b ++≥+++++. 解答要点：由对称性，假设a b c ≤≤，则222a b c ≤≤，
于是222222a a b b c c a c b a c b ++≥++，222222a a b b c c a b b c c a ++≥++，
两式相加即得.。