排序不等式 的应用
第44讲 排序不等式
第四讲 排序不等式与琴生不等式本节主要内容有排序不等式、琴生不等式、幂平均不等式、切比雪夫不等式及应用．排序不等式（又称排序定理）：给定两组实数a 1，a 2，……，a n ；b 1，b 2，……，b n ．如果a 1≤a 2≤……≤a n ；b 1≤b 2≤……≤b n ．那么a 1b n ＋a 2b n －1＋……＋a n b 1（反序和）≤a 11i b ＋a 22i b ＋……＋a n n i b （乱序和）≤a 1b 1＋a 2b 2＋……＋a n b n （同序和）， 其中i 1，i 2，……，i n 是1，2，……，n 的一个排列．该不等式所表达的意义是和式∑=nj i j jba 1在同序和反序时分别取得最大值和最小值．切比雪夫不等式：设有两个有序数组a 1≤a 2≤……≤a n ；b 1≤b 2≤……≤b n ．则1n(a 1b n＋a 2b n －1＋……＋a n b 1)≤a 1＋a 2＋……＋a n n ·b 1＋b 2＋……＋b n n ≤1n(a 1b 1＋a 2b 2＋……＋a nb n )， 其中等号仅当a 1＝a 2＝……＝a n 或b 1＝b 2＝……＝b n 时取得．琴生不等式又称凸函数不等式，它建立在凸函数的基础上．定义 设连续函数f (x )的定义域是[a ，b ](开区间(a ，b )或(－∞，＋∞)上均可)，如果对于区间[a ，b ]内的任意两点x 1，x 2有f (x 1＋x 22 )≤12 [f (x 1)＋f (x 2)]，则称f (x )为[a ，b ]上的下凸函数．如图(１)定理一．若f (x )是下凸函数，则对其定义域中的任意几个点x 1，x 2，……，x n ，恒有f (x 1＋x 2＋……＋x n n )≤1n[f (x 1)＋f (x 2)＋……＋f (x n )]．定义 设连续函数f (x )的定义域是[a ，b ](开区间(a ，b )或(－∞，＋∞)上均可)，如果对于区间[a ，b ]内的任意两点x 1，x 2有f (x 1＋x 22 )≥12 [f (x 1)＋f (x 2)]，则称f (x )为[a ，b ]上的下凸函数．如图(2)x 1x 2M (1)P Q x 1x 2M P Q定理二：若)(x f 是上凸函数，则对其定义域中的任意n 个点n x x x ,...,,21恒有)](...)()([1)...(2121n n x f x f x f n n x x x f +++≥+++，容易验证x x x f 21log ,tan )(=分别是),0(),2,0(+∞π上的下凸函数。
人教B版高中数学选修4-5课件：第二章柯西不等式与排序不等式及其应用
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2
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5
专题一
专题二
专题三
专题四
知识建构
综合应用
真题放送
又由柯西不等式,得������+1 1
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1 ������+2
+
⋯
+
1 2������
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(n + 1)2 + (n + 2)2 + … + (2n)2
≤
n
1 n
-
1 2n
= 22.
4
111
112
故 7 < 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ + 2n-1 − 2n < 2 .
6
知识建构
综合应用
真题放送
专题一
专题二
专题三
专题四
专题二 排序不等式的应用
应用排序不等式可以简捷地证明一类不等式,其证明的关键是找
出两组有序数组,通常可以根据函数的单调性去寻找.
·1
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+
������22
·1
������2
+
⋯
+
���������2���
·1
������������
=x1+x2+…+xn=P(定值),
高中数学第2章柯西不等式与排序不等式及其应用章末复习课讲义新人教B版选修4_5
第2章 柯西不等式与排序不等式及其应用[自我校对]①向量 ②代数可证明一些简单不等式．【例1】 已知a ，b ，c 是实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1≤4 3. [精彩点拨] 设m ＝(13a ＋1，13b ＋1，13c ＋1)，n ＝(1,1,1)，利用柯西不等式的向量形式证明，或把式子左边补上系数1，直接利用柯西不等式求解．[规范解答] 法一：因为a ，b ，c 是实数，且a ＋b ＋c ＝1，令m ＝(13a ＋1，13b ＋1，13c ＋1)，n ＝(1,1,1)．则|m ·n |2＝(13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1)2， |m |2·|n |2＝3[(13a ＋1)＋(13b ＋1)＋(13c ＋1)] ＝3[13(a ＋b ＋c )＋3]＝48. ∵|m ·n |2≤|m |2·|n |2，∴(13a ＋1)＋13b ＋1＋13c ＋1)2≤48， ∴13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1≤4 3.法二：由柯西不等式得(13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1)2≤(12＋12＋12)[(13a ＋1)＋(13b ＋1)＋(13c ＋1)]＝3[13(a ＋b ＋c )＋3]＝48，∴13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1≤4 3.1．设正数a ，b ，c 满足abc ＝a ＋b ＋c ，求证：ab ＋4bc ＋9ac ≥36，并给出等号成立的条件．[证明] 由abc ＝a ＋b ＋c ，得1ab ＋1bc ＋1ca＝1.由柯西不等式，得(ab ＋4bc ＋9ac )⎝⎛⎭⎪⎫1ab ＋1bc ＋1ca ≥(1＋2＋3)2，所以ab ＋4bc ＋9ac ≥36，当且仅当a ＝2，b ＝3，c ＝1时，等号成立.应从所要证的式子的结构观察分析，再给出适当的数组．【例2】 已知a ，b ，c 为正数，求证：a ＋b ＋c ≤a 2＋b 22c ＋b 2＋c 22a ＋c 2＋a 22b.[精彩点拨] 不妨设a ≥b ≥c ＞0，则a 2≥b 2≥c 2，1c ≥1b ≥1a，根据不等式的特点，利用排序不等式证明．[规范解答] 由于不等式关于a ，b ，c 对称， 可设a ≥b ≥c >0.于是a 2≥b 2≥c 2，1c ≥1b ≥1a.由排序不等式，得反序和≤乱序和，即a 2·1a ＋b 2·1b ＋c 2·1c ≤a 2·1b ＋b 2·1c ＋c 2·1a，及a 2·1a ＋b 2·1b ＋c 2·1c ≤a 2·1c ＋b 2·1a ＋c 2·1b.以上两个同向不等式相加再除以2，即得原不等式．2．在△ABC 中，h a ，h b ，h c 为边长a ，b ，c 的高， 求证：a sin A ＋b sin B ＋c sin C ≥h a ＋h b ＋h c . [证明] 不妨设a ＞b ＞c ，则对应的角A ＞B ＞C ，A ，B ，C ∈(0，π)，∴sin A ＞sin B ＞sin C . 由排序原理得a sin A ＋b sin B ＋c sin C ≥a sin B ＋b sin C ＋c sin A .在△ABC 中，a sin B ＝h c ，b sin C ＝h a ，c sin A ＝h b ， ∴a sin A ＋b sin B ＋c sin C ≥h a ＋h b ＋h c .们通过不等式求最值提供了新的有力工具，但一定要注意取等号的条件能否满足．【例3】 已知实数x ，y ，z 满足x 2＋4y 2＋9z 2＝a (a >0)，且x ＋y ＋z 的最大值是7，求a 的值．[精彩点拨] 由x 2＋4y 2＋9z 2＝x 2＋(2y )2＋(3z )2，x ＋y ＋z ＝x ＋12·2y ＋13·3z ，联想到柯西不等式求解．[规范解答] 由柯西不等式： [x 2＋(2y )2＋(3z )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12×2y ＋13×3z 2.因为x 2＋4y 2＋9z 2＝a (a >0)，所以4936a ≥(x ＋y ＋z )2，即－7a 6≤x ＋y ＋z ≤7a 6.因为x ＋y ＋z 的最大值是7， 所以7a 6＝7，得a ＝36.当x ＝367，y ＝97，z ＝47时，x ＋y ＋z 取最大值，所以a ＝36.3．求实数x ，y 的值，使得(y －1)2＋(x ＋y －3)2＋(2x ＋y －6)2达到最小值． [解] 由柯西不等式，得(12＋22＋12)×[(y －1)2＋(3－x －y )2＋(2x ＋y －6)2] ≥[1×(y －1)＋2×(3－x －y )＋1×(2x ＋y －6)]2＝1， 即(y －1)2＋(x ＋y －3)2＋(2x ＋y －6)2≥16，当且仅当y －11＝3－x －y 2＝2x ＋y －61，即x ＝52，y ＝56时，上式取等号．故x ＝52，y ＝56时，(y －1)2＋(x ＋y －3)2＋(2x ＋y －6)2达到最小值．【例4】 已知正实数x 1，x 2，…，x n 满足x 1＋x 2＋…＋x n ＝P ，P 为定值，求F ＝x 21x 2＋x 22x 3＋…＋x 2n －1x n ＋x 2n x 1的最小值． [精彩点拨] 不妨设0＜x 1≤x 2≤…≤x n ，利用排序不等式求解． [规范解答] 不妨设0<x 1≤x 2≤…≤x n ， 则1x 1≥1x 2≥…≥1x n>0，且0<x 21≤x 22≤…≤x 2n .∵1x 2，1x 3，…，1x n ，1x 1为序列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x i (i ＝1,2,3，…，n )的一个排列，根据排序不等式，得F＝x21x2＋x22x3＋…＋x2n－1x n＋x2nx1≥x21·1x1＋x22·1x2＋…＋x2n·1x n＝x1＋x2＋…＋x n＝P(定值)，当且仅当x1＝x2＝…＝x n时等号成立，∴F＝x21x2＋x22x3＋…＋x2n－1x n＋x2nx1的最小值为P.4．设x1，x2，…，x n取不同的正整数，则m＝x112＋x222＋…＋x nn2的最小值是( ) A．1B．2C．1＋12＋13＋…＋1nD．1＋122＋132＋…＋1n2[解析]设a1，a2，…，a n是x1，x2，…，x n的一个排列，且满足a1<a2<…<a n，故a1≥1，a2≥2，…，a n≥n.又因为1>122>132>…>1n2，所以x11＋x222＋x332＋…＋x nn2≥a1＋a222＋a332＋…＋a nn2≥1×1＋2×122＋3×132＋…＋n×1n2＝1＋12＋13＋…＋1n.[答案] C在利用平均值不等式求函数最值时．一定要满足下列三个条件：(1)各项均为正数．(2)“和”或“积”为定值．(3)等号一定能取到，这三个条件缺一不可．2．解决实际问题由于受算术平均与几何平均定理求最值的约束条件的限制，在求最值时常常需要对解析式进行合理的变形．对于一些分式结构的函数，当分子中变量的次数不小于分母中变量的次数时，通常采用分离变量(或常数)的方法，拼凑出和的形式，若积为定值则可用平均值不等式求解．【例5】某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元．公司拟投入16(x 2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．[精彩点拨] (1)设每件定价为t 元，表示总收入，根据题意列不等式求解．(2)利用销售收入≥原收入＋总投入，列出不等式，由题意x ＞25，此时不等式求解．[规范解答] (1)设每件定价为t 元， 依题意，有⎝⎛⎭⎪⎫8－t －25t ×0.2t ≥25×8， 整理得t 2－65t ＋1 000≤0， 解得25≤t ≤40.∴要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元． (2)依题意，x ＞25时，不等式ax ≥25×8＋50＋16(x 2－600)＋15x 有解，等价于x ＞25时，a ≥150x ＋16x ＋15有解．∵150x ＋16x ≥2150x ×16x ＝10(当且仅当x ＝30时，等号成立)，∴a ≥10.2. 当该商品明年的销售量a 至少达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．5．若a ＞b ＞0，则a 2＋1b (a －b )的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 [解析] 依题意得a －b ＞0，所以a 2＋1b (a －b )≥a 2＋1⎣⎢⎡⎦⎥⎤b ＋(a －b )22＝a 2＋4a2≥2a 2·4a2＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧b ＝a －b ＞0，a 2＝4a 2，即a ＝2，b ＝22时取等号，因此a 2＋1b (a －b )的最小值是4，选C.[答案] C思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题．本章常把要证明的不等式通过换元或配凑等整体应用，把命题转化为柯西不等式或排序不等式的形式加以解决．【例6】 已知a ，b ，c 为正数，求证：a b ＋c ＋b c ＋a ＋ca ＋b ≥32.[精彩点拨] 将不等式的左边进行变形，再利用柯西不等式证明． [规范解答] 左端变形ab ＋c＋1＋bc ＋a＋1＋ca ＋b＋1＝(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎪⎫1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b ，∴只需证此式≥92即可．∵ab ＋c ＋bc ＋a ＋ca ＋b＋3＝⎝⎛⎭⎪⎫a b ＋c ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋c ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋b ＋1＝(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎪⎫1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b＝12[(b ＋c )＋(c ＋a )＋(a ＋b )]⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b≥12(1＋1＋1)2＝92， ∴ab ＋c ＋ba ＋c＋ca ＋b ≥92－3＝32.6．已知a ，b ，c 为正数，求证：2(a 3＋b 3＋c 3)≥a 2(b ＋c )＋b 2(a ＋c )＋c 2(a ＋b )． [证明] 不妨设0≤a ≤b ≤c ，则a 2≤b 2≤c 2， 由排序不等式，得a 2a ＋b 2b ＋c 2c ≥a 2b ＋b 2c ＋c 2a ，a 2a ＋b 2b ＋c 2c ≥a 2c ＋b 2a ＋c 2b .以上两式相加，得2(a 3＋b 3＋c 3)≥a 2(b ＋c )＋b 2(a ＋c )＋c 2(a ＋b )．1．若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p >0，q >0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9[解析] 不妨设a >b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝p >0，ab ＝q >0，∴a >0，b >0，则a ，－2，b 成等比数列，a ，b ，－2成等差数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝(－2)2，a －2＝2b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1，∴p ＝5，q ＝4，∴p ＋q ＝9.[答案] D2．设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2＋b 2＝5，ma ＋nb ＝5，则 m 2＋n 2的最小值为________． [解析] 根据柯西不等式(ma ＋nb )2≤(a 2＋b 2)(m 2＋n 2)，得25≤5(m 2＋n 2)，m 2＋n 2≥5，m 2＋n 2的最小值为 5.[答案]53．已知x >0，y >0，证明：(1＋x ＋y 2)·(1＋x 2＋y )≥9xy .[证明] 因为x >0，y >0，所以1＋x ＋y 2≥33xy 2>0,1＋x 2＋y ≥33x 2y >0， 故(1＋x ＋y 2)(1＋x 2＋y )≥33xy 2·33x 2y ＝9xy . 4．若a >0，b >0，且1a ＋1b＝ab .(1)求a 3＋b 3的最小值；(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由．[解] (1)由ab ＝1a ＋1b≥2ab，得ab ≥2，且当a ＝b ＝2时等号成立．故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥42，且当a ＝b ＝2时等号成立． 所以a 3＋b 3的最小值为4 2.(2)由(1)知，2a ＋3b ≥26ab ≥4 3.由于43>6，从而不存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6.5．已知a >0，b >0，c >0，函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c 的最小值为4. (1)求a ＋b ＋c 的值； (2)求14a 2＋19b 2＋c 2的最小值．[解] (1)因为f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c ≥|(x ＋a )－(x －b )|＋c ＝|a ＋b |＋c ， 当且仅当－a ≤x ≤b 时，等号成立． 又a >0，b >0，所以|a ＋b |＝a ＋b ， 所以f (x )的最小值为a ＋b ＋c .又已知f (x )的最小值为4，所以a ＋b ＋c ＝4. (2)由(1)知a ＋b ＋c ＝4，由柯西不等式，得⎝ ⎛⎭⎪⎫14a 2＋19b 2＋c 2(4＋9＋1)≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2×2＋b 3×3＋c ×12＝(a ＋b ＋c )2＝16， 即14a 2＋19b 2＋c 2≥87. 当且仅当12a 2＝13b 3＝c 1，即a ＝87，b ＝187，c ＝27时等号成立，故14a 2＋19b 2＋c 2的最小值是87.。
2019年最新-人教版高中数学选修《柯西不等式、排序不等式及应用》ppt课件
解析：(1)f(x)＝|x－2|＋|x－4|≥|(x－2)－(x－4)|＝2， 当且仅当 2≤x≤4 时，等号成立，故 m＝2. (2)证明：[(na2)2＋(pb2)2＋(qc2)2]·(a2＋b2＋c2)
≥(na2·a＋pb2·b＋qc2·c)2， 即(na42＋pb42＋qc24)×2≥(n2＋p2＋q2)2＝4， 故na42＋pb42＋qc24≥2.
【拓展演练 2】 (2012·江苏省南京市、盐城市第一次模拟)已知 x，y，z 均为正数．求证：
33(1x ＋1y ＋1z )≤
x12＋y12＋z12.
证明：由柯西不等式得，
(12＋12＋12)(x12＋y12＋z12)≥(1x ＋1y ＋1z )2，
则 3× x12＋y12＋z12≥1x＋1y＋1z，
＝(x·1＋ 2y· 2＋ 3z· 3)2
≤[x2＋( 2y)2＋( 3z)2]·[12＋( 2)2＋( 3)2] ＝(x2＋2y2＋3z2)(1＋2＋3)
＝18.
当且仅当1x＝
2y＝ 2
3z，即 3
x＝y＝z
时，等号成立．
所以－3 2≤x＋2y＋3z≤3 2，
即 u 的最小值为－3 2，最大值为 3 2.
即 33(1x＋1y＋1z)≤
x12＋y12＋z12.
三 排序不等式的应用
【例 3】设 a，b，c∈R*，利用排序不等式证明： a3＋b3＋c3≤b52＋a2c5＋c52＋b2a5＋a52＋c2b5.
证明：不妨设 0＜a≤b≤c， 则 a5≤b5≤c5，c12≤b12≤a12， a3＋b3＋c3＝aa52＋bb52＋cc52(逆序和)≤ac25＋ba52＋bc52， a3＋b3＋c3＝aa52＋bb52＋cc52(逆序和)≤ab52＋bc25＋ac52， 所以 a3＋b3＋c3≤b52＋a2c5＋c52＋b2a5＋a52＋c2b5.
排序不等式 课件
(a＋2b＋3c)3＋1＋13＝[( a)2＋( 2b)2＋( 3c)2]
3 2＋12＋ 132
≥
3·
a＋1·
2b＋
1 3·
3c2＝(
3a＋
2b＋
c)2，
∴( 3a＋ 2b＋ c)2≤1332，
即
3a＋
2b＋
13 c≤ 3
3，当且仅当
a3＝
12b＝
13c时取等号．
3
又 a＋2b＋3c＝13，∴当 a＝9，b＝23，c＝13时，
2．设 a，b，c∈R＋，求证：a5＋b5＋c5≥a3bc＋b3ac＋c3ab. 【证明】 不妨设 a≥b≥c＞0，则 a4≥b4≥c4， 运用排序不等式有： a5＋b5＋c5＝a×a4＋b×b4＋c×c4≥ac4＋ba4＋cb4. 又 a3≥b3≥c3＞0，且 ab≥ac≥bc＞0， 所以 a4b＋b4c＋c4a＝a3ab＋b3bc＋c3ca≥a3bc＋b3ac＋c3ab， 即 a5＋b5＋c5≥a3bc＋b3ac＋c3ab.
题型三、利用柯西不等式、排序不等式求最值
有关不等式的问题往往要涉及到对式子或量的范围的限制，柯西不等式、 排序不等式为我们通过不等式求最值提供了新的有力工具，但一定要注意 取等号的条件能否满足． 例 3 设 a，b，c 为正实数，且 a＋2b＋3c＝13，求 3a＋ 2b＋ c的最大值．
【规范解答】 由于 a，b，c 为正实数，根据柯西不等式，知
题型一、利用柯西不等式证明简单不等式
柯西不等式形式优美、结构易记，因此在解题时，根据题目特征灵活运用 柯西不等式，可证明一些简单不等式． 例 1 已知 a，b，c 是实数，且 a＋b＋c＝1，求证： 13a＋1＋ 13b＋1＋ 13c＋1≤4 3.
排序不等式的应用
精心整理排序不等式的应用新课程将排序不等式作为高中数学选修内容之一与柯西不等式一道放在选修4-5不等式专题中，成为高中数学新增内容。
排序不等式作为基础而重要的不等式，它结构优美、思想简单明了，便于记忆和理解。
但在如何运用它来解决问题，同学们却常显束手无策，不得要领。
其实，应用排序不等式解题的关键在于构造出它所需要的两组数列，然而构造数列的过程却奥妙无穷，需要不断分析探讨，才能积累经验运用得法。
一． 排序不等式的另一种表述形式设n n b b b a a a ≤≤≤≤≤≤ 2121,为两组实数，n c c c ,,,21 是n b b b 21,的任一排列，则三个矩阵A ： ⎝⎛≤≤b a 11我们称A 找数列b ,1二．1. 例1⑵y x +22A ： ⎝⎛b a b a A 的列积和；22b a +B 的列积和：ab ab +顺序和≥乱序和，即ab b a 222≥+。
⑵不妨设z y x ≤≤，构造两个矩阵：A ：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛z y x z y x （顺序矩阵）B ：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x z y z y x （乱序矩阵）A 的列积和：222z y x ++B 的列积和：xz yz xy ++顺序和≥乱序和：即有xz yz xy z y x ++≥++222在构造矩阵时，关键在于合理选择矩阵的每一行数字的排列顺序，特别是乱序矩阵的第二行数字的排列更为关键。
构造时我们可以不断调整它们的次序以达到证明的目的。
例2（教材P45页第4题）设n a a a ,,,21 为正数，证明证明：不妨设n a a a ≤≤≤ 21，构造矩阵A ：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-13222122211111a a a a a a a a n n n （乱序矩阵）B ：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n a a a a a a 1112122221 （反序矩阵） A例3不妨设a A ；A 顺序和≥即：2+a 2.例4若0,,>c b a ，则证明：不妨设0≥≥≥c b a ,构造矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛b c a bc ca ab （乱序）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c a b bc ca ab （乱序）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤≥≥a b c bc ca ab （反序）乱序和≥反序和，abc c b a c b a 3222≥++两式相加可得：abc a c ca c b bc b a ab 6)()()(≥+++++例5．已知c b a 均为正数，求证：)(21222c b a b a c a c b c b a ++≥+++++ 证明：由不等式的对称性，不妨设0≥≥≥c b a ，构造矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++b a a c c b c b a 111222（顺序矩阵）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++c b b a a c c b a 111222（乱序矩阵） ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++a c cb b ac b a 111222（乱序矩阵）3不妨设c b a ≤≤≤0则,c b c a b a +≤+≤+cb c a b a +≥+≥+∴构造矩阵： ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++c b c a b a a b c 111222（同序矩阵）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++c a c b a c a b c 111222（乱序矩阵） 由同序和≥乱序和得ac c c b b b a a c b a c a b b a c +++++≥+++++222222即原不等式得证 例7在ABC ∆中，求证（第六届国际数学竞赛题）证明：由于三角形三边存在“二边之和大于第三边”的要求，我们不能将三边当成任意正数对待，为了将几何问题代数化，设三角形的内切圆的三个切点将三边分为：原式可化为xyz y x z x z y z y x 6)()()(222≥+++++设z y x ≤≤，则xy xz yz ≥≥，构造矩阵：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛xy xz yz x z y 和⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛xy xz yz y x z （乱序矩阵）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛xy xz yz z y x （反序矩阵） 反序和最小，则有：xyz y x x z z y 3222≥++和xyz x y z x y z 3222≥++在ABC ∆(2-b a b a 心。
排列不等式应用案例
排列不等式应用案例
排列不等式是数学中常见的一个概念，用于比较和描述数值的
大小关系。
在实际应用中，排列不等式可以被广泛运用于各个领域。
本文将介绍一些排列不等式的应用案例。
1. 经济学
在经济学中，排列不等式可以用于衡量和比较不同国家或地区
的经济发展水平。
例如，可以使用国内生产总值（GDP）作为评价
指标，并将不同国家的GDP进行排列。
通过排列不等式，我们可
以了解各国之间的经济发展水平差异。
2. 数学竞赛
排列不等式也是数学竞赛中常见的考点之一。
比如，给定一组
正整数，要求证明它们的平均值大于等于它们的几何平均值。
通过
使用排列不等式，我们可以很容易地得到证明结果。
3. 数据分析
在大数据分析中，排列不等式可以用于排序和筛选数据。
例如，在进行市场营销活动时，我们可以根据顾客的消费金额对顾客进行
排列，从而选择出消费最高的顾客进行个性化推荐。
排列不等式在
这种场景中可以起到非常重要的作用。
4. 社会科学
在社会科学研究中，排列不等式可以用于比较和研究不同社会
群体之间的收入差距。
通过排列不等式，我们可以对不同收入层次
的人群进行排列，并分析各个收入层次之间的差异和趋势。
以上仅是排列不等式应用的一些案例，实际上排列不等式在数
学和其他学科中都有着广泛的应用。
无论是经济学、数学竞赛还是
数据分析，排列不等式都可以帮助我们更好地理解和研究问题，提
供更有效的解决方案。
排序不等式的矩阵证明及其应用
，
从而 ： ￣ ／ 一 １ ＋２ ｙ ３ ： ３．
０ ） ’ 一 ｌ ＜ １ ・
本文将拓展 ３ 加强为下面的结果：
注 意 到 ３ （ 一 ） ＞ ０ ， 故
一
拓展４ 已知 ３ 。 一２ ｙ ３ ＝１ （ 、Ｙ∈Ｒ， Ｙ≠
啕ｆ （ 一 ） ≤ 詈 ，
方法评析：
初 等数 学证 法 的逐 步调 整 思路 确 实非 常 巧妙， 是 不等式证 明 的一 个重要 思路．矩 阵证
法 则 巧妙运 用 ＴＢ ｉ ｎ ｅ ｔ — Ｃ ａ ｕ ｃ ｈ ｙ 定 理实现 恒 等 变 形， 整个 计算 过程 比较 简洁 ， 方 法 具有很 强 的创造性 ， 不等关 系的明确是此题求解 的关键 ，
～
３ ｏ
数学教学
２ ０ １ ３ 年第 ７ 期
排 序 不等 式 的矩 阵证 明及其 应用
２ ０ １ ２ ０ ３ 华东 师范大 学第二附属 中学 施洪亮
不等式证 明是 中学数 学中的常见 问题， 在 数学 中占有重 要的地位， 由于其证 明的困难 性 和方法的多样性， 成为竞赛数学 中的热 门题型． 矩阵 的引入极 大简化 了数值运算 ， 因此基 于矩 阵表示 的代数 证 明也进入我们 的视野． 本文 以 运用Ｂ ｉ ｎ ｅ ｔ — Ｃ ａ ｕ ｃ ｈ ｙ （ 比内一 柯西） 定理证 明不等
￣ ｔ ｔ Ｎ ： ｂ ２ Ｄ 十 ＋ ｃ Ｃ ２ ≥ 丢 （ ６ ＋ ｃ ） ， ｃ ２ Ｃ ＂ 十 ４ － ａ ０ ２ ≥
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７ － ３ ２
数 学教学
２ ０ １ ３ 年第７ 期
一
道 复 旦大 学 自主招 生数 学试 题 的再拓 展
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排序不等式排序不等式（sequence inequality ），又称排序原理设12n a a a ≤≤≤，12n b b b ≤≤≤为两组实数，12n c c c 、、、是12n b b b 、、、的任一排列，则121111221122n n n n n n na b a b a b a c a c a c a b a b a b -+++≤+++≤+++（反序和≤乱序和≤顺序和），当且仅当12n a a a ===或12n b b b ===时，反序和等于顺序和。
排序不等式也是基本且重要的不等式，它的思想简单明了，便于记忆和使用，许多重要的不等式都可以借助排序不等式得到证明。
一、排序不等式的基本应用排序不等式的结构规律简明，易于记忆，借助它可以简捷地证明一些重要的不等式，尤其是对于具有大小顺序关系且个数相同的两列数，在考虑他们的对应项乘积之和的大小关系时，排序不等式是一个极其有用的工具。
应用排序不等式，必须取两组个数相同、便于大小排序的数，此时有两种情形：一是知道各数的大小顺序，二是不知道各数的大小顺序，但由于不等式是对称不等式，可以在不失一般性的情况下，假定各数的大小顺序。
例1 设12n a a a 、、、是n 个互不相同的正整数，求证：32122211112323na a a a n n ++++≤++++ 分析：由于12n a a a 、、、是n 个互不相同的正整数，因此它们可以进行排序；同时，观察需要证明的不等式，可以联想到12n a a a 、、、对应的另一列数是1、212、213、…、21n ，由此可以联想到应用排序不等式。
值得注意的是不能直接假设12n a a a ≤≤≤，会影响两列数的乘积之和是顺序和、乱序和还是反序和，所以需要定义12n a a a 、、、的大小关系。
证明：设12n b b b 、、、是12n a a a 、、、的一个排列，且满足1b ＜2b ＜…＜n b . 因为12n b b b 、、、是互不相同的正整数，所以11b ≥，22b ≥，…，n b n ≥. 又因为1＞212＞213＞…＞21n，故由排序不等式：乱序和≥反序和，得：123222111123na a a a n ⋅+⋅+⋅++⋅ 123222111123n b b b b n ≥⋅+⋅+⋅++⋅ 222111111112312323n n n≥⋅+⋅+⋅++⋅=++++ ∴原不等式成立.例2 设123a a a 、、都是正数，求证：233112123312a a a a a a a a a a a a ++≥++ 分析：观察需要证明的不等式，我们需要构造两组数，并且这两组的乘积可以出现123a a a 、、，满足不等式的右端；观察不等式的左端，我们可以不妨设123a a a ≤≤，构造121323a a a a a a ≤≤和321111a a a ≤≤，应用排序不等式证明不等式。
证明：不妨设123a a a ≤≤，则121323a a a a a a ≤≤，321111a a a ≤≤ 由排序不等式：顺序和≥乱序和，得：233123311212123312231a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++≥++=++ ∴原不等式成立.例3 设12n a a a 、、、是1,2n ，，的一个排列，求证：1122312123n na a a n n a a a --+++≤+++ 分析：通过观察，把121n a a a -、、、与23n a a a 、、、分别看作两组有大小顺序的数组，联想应用排序不等式进行证明。
证明：设121n b b b -、、、是121n a a a -、、、的一个排列，且121n b b b -<<<；121n c c c -、、、是23n a a a 、、、的一个排列，且121n c c c -<<<，则121111n c c c ->>>，且11b ≥，22b ≥，…，11n b n -≥-，12c ≤，23c ≤，…，1n c n -≤. 由排序不等式：乱序和≥反序和，得：1112122312112123n n n n a b a a b b n a a a c c c n----+++≥+++≥+++∴原不等式成立.总结：应用排序不等式证明不等式，必须构造出两列个数相等的数组，并且要利用数组的大小关系进行解题。
因此，比较数组的大小关系是解题的基础。
灵活构造两列数组，也是解题的关键所在。
并且需要注意，在未给出数组大小关系的时候，要不失一般性的对数组进行大小顺序的排列。
二、经过是当变形后，在运用排序不等式解决问题有些需要证明的不等式并不是直接给出排序不等式的乘积之和的形式，这时就需要我们对不等式从结构上观察进行适当的变形，为使用排序不等式创造条件。
例1 设a b c 、、为正数，求证：2222220c b a b b c a b b c c a---++≥+++ 分析：本题通过观察发现，我们可以将不等式转化为222222c a b a b c a b b c c a a b b c c a++≥++++++++的形式，进而应用排序不等式进行解题。
证明：原不等式等价于222222c a b a b c a b b c c a a b b c c a++≥++++++++ 不妨设a b c ≤≤，则222a b c ≤≤，a b a c b c +≤+≤+，111a b a c b c≥≥+++ 由排序不等式：顺序和≥乱序和，得：222222c a b a b c a b b c c aa b b c ca++≥++++++++ 即2222220c b a b b c a b b c c a---++≥+++例2 设120n a a a <≤≤≤，120n b b b ≤≤≤≤，12n c c c 、、、是12n b b b 、、、的任一排列，求证：112121121212n n n n b c b b b b c c b n n n a a a a a a a a a -⋅⋅⋅≥⋅⋅⋅≥⋅⋅⋅分析：通过观察发现，将结论中的指数形式转化为对数形式后，便可应用排序不等式，结合对数函数的单调性进而解决问题。
证明：120n a a a <≤≤≤，12ln ln ln n a a a ∴≤≤≤又120n b b b ≤≤≤≤，由排序不等式：顺序和≥乱序和≥反序和，得：112211221121l n l n l n l n l n l n l n l n l n n n n n n nnb a b a b ac a c a c a b a b ab a-+++≥+++≥+++()()()112121121212l n l n l nnnnn b c b b b b c c b n n n a a a a a a aa a -∴⋅⋅⋅≥⋅⋅⋅≥⋅⋅⋅()()l n 0f x x x +>为单调递增函数，所以112121121212nnnn b c b b b b c c b nn n a a a a a a a a a -⋅⋅⋅≥⋅⋅⋅≥⋅⋅⋅例3 设a b c 、、为正实数，求证：333a b c a b c bc ac ba++≥++ 分析：通过前面几道题的训练，我们很容易构造两个数组，应用排序不等式；但通过计算我们发现，应用一次排序不等式后，形式进行了转化，需再次运用排序不等式并结合不等式的性质解决问题。
证明：不妨设0a b c <≤≤，则ab ac bc ≤≤，333a b c ≤≤，111ab ac bc≥≥ 由排序不等式：顺序和≥乱序和，得：333333222a b c a b c a b c b c a c b a a c a b b c c a b ++≥++=++ 又222a b c ≤≤，111a b c≥≥ 由排序不等式：顺序和≥乱序和，得：333222222a b c a b c a b c a b c bc ac ba c a b a b c++≥++≥++=++ ∴原不等式成立.三、两次或多次运用排序不等式，通过累加法解决问题根据排序不等式：顺序和≥乱序和≥反序和，我们可以发现乱序和的形式不止一种，所以我们经常利用这一点构造多个不等式进行累加，从而得到所需要的不等式，这是运用排序不等式的常用策略。
例1 在ABC ∆中，求证：3aA bB cC a b c π++≥++ 分析：根据三角形边和角之间的关系，并注意到aA bB cC ++的形式，我们很容易联想到应用排序不等式；若注意到A B C π=++，则问题迎刃而解。
证明：不妨设a b c ≤≤，则A B C ≤≤由排序不等式：顺序和≥乱序和，得：a Ab Bc C a A b B ++=++ a A b Bc C a C b A ++≥++a Ab Bc C a B b C ++≥++以上三式相加，得：()()()()3a A b B c C a b c A B C a b cπ++≥++++=++即3aA bB cC a b c π++≥++例2 设a b c 、、都是正数，求证：()22212a b c a b c b c c a a b ++≥+++++ 分析：通过观察发现，我们可以构造两个数组0a b c <≤≤和0a b c b c a c a b<≤≤+++，但它们的乘积没有出现不等式右端a b c 、、的形式，我们便可通过累加法来约去每一项分母。
证明：不妨设0a b c <≤≤，0a b c b c a c a b<≤≤+++ 由排序不等式：顺序和≥乱序和，得：222a b c abcb c a b c c a a b b c a c a b++≥⋅+⋅+⋅++++++222a b c abc c a b b c c aa b bca cab++≥⋅+⋅+⋅++++++ 两式相加，得：()()()2222a b c a b c b c a c a b a b cb c c a a b b c a c a b ⎛⎫++≥+⋅++⋅++⋅=++ ⎪++++++⎝⎭ ∴原不等式成立.例3 （切比雪夫不等式）设12n a a a 、、、，12n b b b 、、、为任意两组实数，如果12na a a ≤≤≤且12nb b b ≤≤≤，求证：11221212n nn n na b a b a b a a ann n n-++++++++⎛⎫⎛⎫≥≥⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当12n a a a ===或12n b b b ===时，等号成立。