人教版高中数学选修4-5练习：第三讲3.3排序不等式 Word版含解析
人教版高中数学选修4-5《3.3排序不等式》
三、 解决 问题
OAi=ai , a1<a2<••• < an ,
Bn
OBj=bj , b1<b2< ••• < bn
B
Bi
B2 B1 O A1 A2 Ai An A
例1.有10人各拿一只水桶去接水, 设水龙头注满第 i(i=1, 2,… …, 10)个人的水桶需要ti分, 假定这些ti各不 相同, 问只有一个水龙头时, 应如何安排10人的顺序, 使他们等候的总时间最少？这个最小时间等于多少？
（P 45 3． ）课堂练习 a1a2 a2a3 a3a1 设 a1，a2，a3 为正数，求证： ＋ ＋ ≥a1＋a2＋a3. a3 a1 a2 证明：不妨设 0<a1≤a2≤a3，于是
a1a2≤a1a3≤a2a3， 1 1 1 ≤ ≤ ， a3 a2 a1 由排序不等式：顺序积的和≥乱序积的和，得 a1a2 a3a1 a2a3 1 1 1 ＋ ＋ ≥ · a1a2＋ · a1a3＋ · a2a3 a3 a2 a1 a1 a3 a2 ＝a2＋a1＋a3. aa aa aa 即 1 2＋ 2 3＋ 3 1≥a1＋a2＋a3. a3 a1 a2
28 32 最小值是_____. 最大值是_____,
对应关系
（1,2,3） （4,5,6） （1,2,3） （4,6,5） （1,2,3） （5,4,6） （1,2,3） （5,6,4） （1,2,3） （6,4,5） （1,2,3） （6,5,4）
2019/1/24
和
32 31 31 29 29 28
c 如此继续下去，经有限步调整，可知一切和数中，最大和数所对应的情 况只能是数组{ci}由小到大排序的情况，即 S≤S2. 同样可以证明，最小和数是反序积的和，即S1≤S.
人教版高中数学选修4-5教材用书第三讲 柯西不等式与排序不等式 三 排序不等式 Word版含答案
三排序不等式．顺序和、乱序和、反序和为这两＋…＋＋称，的任一排列，…，，是，…，，，为两组实数≤≤…≤，≤≤…≤设反简称(为这两个实数组的反序积之和＋…＋－＋称，)顺序和简称(个实数组的顺序积之和．)乱序和简称(为这两个实数组的乱序积之和＋…＋＋称，)序和．排序不等式(排序原理)定理：(排序不等式，又称为排序原理) 设≤≤…≤，≤≤…≤为两组实数，，，…，)反序和等于顺序和(等号成立，＋…＋＋≤＋…＋＋≤＋…＋－＋则，的任一排列，…，，是⇔＝＝…＝或＝＝…＝.顺序和．≤乱序和≤反序和排序原理可简记作：分析题目中已明确≥≥，所以解答本题时可直接构造两个数组，再用排序不等式证明即可．∵≥>，∴≤. 又>，从而≥. 同理≥，从而≥≥.又由于顺序和不小于乱序和，故可得 ＋＋≥＋＋ ＝＋＋ ≥＋＋＝＋＋ ＝＋＋.∴原不等式成立．利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组．．已知<α<β<γ<，求证：αβ＋βγ＋γα>( α＋β＋γ)．证明：∵<α<β<γ<，且＝在为增函数，＝在为减函数，∴< α< β< γ，α> β> γ>.∴αβ＋βγ＋γα> αα＋β· β＋γγ＝( α＋β＋γ)．．设≥，求证：＋＋＋…＋≥(＋).证明：∵≥，∴≤≤≤…≤.由排序原理，得＋＋＋…＋≥·＋·－＋…＋－·＋·，即＋＋＋…＋≥(＋).①又因为，，…，为，，，…，的一个排列，由排序原理，得·＋·＋…＋－·＋·≥·＋·－＋…＋－·＋·，得＋＋…＋－＋≥(＋).②将①②相加，得＋＋＋…＋≥(＋).可构造△的边和角的有序数列，应用排序不等式来证明．不妨设≤≤，于是≤≤.由排序不等式，得＋＋≥＋＋，＋＋≥＋＋，＋＋≥＋＋.相加，得(＋＋)≥(＋＋)(＋＋)＝π(＋＋)，得≥.在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系，对于没有给出大小关系的情况，要根据各字母在不等式中地位的对称性，限定一种大小关系．．设，，…，为正数组，，…，的某一排列，求证：＋＋…＋≥.证明：不妨设<≤≤…≤，则≥≥…≥.因为，，…，是，，…，的一个排列，由排序原理，得。
高中数学 3.3排序不等式 新人教A版选修4-5
t2，…，t10}，t1<t2<…<t10.Fra bibliotek编辑课件
首先我们来证明m＝5，若不然，即m>5，我们让在第
一水龙头打水的第一人到第二个水龙头的第一位去，
则总的花费时间变为
T′＝(m－1)p2＋…＋pm＋(11－m)p1＋(10－m)q1＋…＋
q10－m.
栏
所以T－T′＝(2m－11)p1>0，即当m>5时，我们让第一
栏
根据排序原理，知
目 链
接
ab2×1b＋ba2×1a≥ab2×1a＋ba2×b1，
即ba2＋ba2≥ab＋ba.
编辑课件
设 a1，a2，…，an 是 1，2，…，n 的一个排列，求证：12＋23＋…
＋n－n 1≤aa12＋aa23＋…＋aan－n1.
分析：构造出数组，利用排序原理证明．
栏
目
证明：设
1．设 a，b，c 都是正数，求证：bac＋abc＋acb≥a＋b＋c.
证明：由题意不妨设 a≥b≥c＞0，
栏
∴ab≥ac≥bc，1c≥1b≥a1.
目 链
接
由排序原理，知
ab×1c＋ac×b1＋bc×a1≥ab×b1＋ac×1a＋bc×1c＝a＋c＋b.
编辑课件
应用题
有十个人各拿一只水桶去打水，设水龙头灌满第i
第三讲 柯西不等式与排序不 等式
3．3 排序不等式
编辑课件
栏 目 链 接
编辑课件
不等式证明
设 a，b 都是正数，求证：
栏 目
ba2＋ba2≥ba＋ba.
链 接
分析：观察不等式找出数组，并比较大小，并用排序原理证明．
编辑课件
高中数学第三讲三排序不等式学案含解析新人教A版选修4_5
三排序不等式考纲定位重难突破1.了解排序不等式的数学思想和背景．2.了解排序不等式的结构与基本原理．3.理解排序不等式的简单应用.重点：排序不等式的结构与基本原理.难点：排序不等式的简单应用.授课提示：对应学生用书第32页[自主梳理]一、顺序和、乱序和、反序和的概念设a1≤a2≤a3≤…≤a n，b1≤b2≤b3≤…≤b n为两组实数，c1，c2，…，c n是b1，b2，…，b n的任一排列，则称a i与b i(i＝1,2，…，n)的相同顺序相乘所得积的和a1b1＋a2b2＋…a n b n为顺序和，和a1c1＋a2c2＋…＋a n c n为乱序和，相反顺序相乘所得积的和a1b n＋a2b n－1＋…＋a n b1为反序和．二、排序不等式(排序原理)设a1≤a2≤…≤a n，b1≤b2≤…≤b n为两组实数，c1，c2，…，c n是b1，b2，…，b n的任一排列，则a1b n＋a2b n－1＋…＋a n b1≤a1c1＋a2c2＋…＋a n c n≤a1b1＋a2b2＋…＋a n b n，当且仅当a1＝a2＝…＝a n或b1＝b2＝…＝b n时，反序和等于顺序和，此不等式简记为反序和≤乱序和≤顺序和．[双基自测]1．已知a，b，c∈R＋，则a5＋b5＋c5与a3b2＋b3c2＋c3a2的大小关系是()A．a5＋b5＋c5>a3b2＋b3c2＋c3a2B．a5＋b5＋c5≥a3b2＋b3c2＋c3a2C．a5＋b5＋c5<a3b2＋b3c2＋c3a2D．a5＋b5＋c5≤a3b2＋b3c2＋c3a2解析：取两组数a3，b3，c3和a2，b2，c2，由排序不等式，得a5＋b5＋c5≥a3b2＋b3c2＋c3a2.答案：B2．设两组数1,2,3,4和4,5,6,7的顺序和为A，反序和为B，则A＝________，B＝________.解析：A＝1×4＋2×5＋3×6＋4×7＝4＋10＋18＋28＝60.B＝1×7＋2×6＋3×5＋4×4＝7＋12＋15＋16＝50.答案：60503．有4人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满每个人的水桶分别需要5 s,4 s,3 s,7 s ，每个人接完水后就离开，则他们等候的总时间最短为________ s.解析：由题意知，等候的时间最短为3×4＋4×3＋5×2＋7＝41. 答案：41授课提示：对应学生用书第32页探究一 利用排序不等式证明不等式[例1] 设a ，b ，c 都是正数，求证：bc a ＋ca b ＋abc ≥a ＋b ＋c .[证明] 由题意不妨设a ≥b ≥c >0，由不等式的单调性，知ab ≥ac ≥bc ，1c ≥1b ≥1a .由排序不等式，知 ab ×1c ＋ac ×1b ＋bc ×1a≥ab ×1b ＋ac ×1a ＋bc ×1c，即所证不等式bc a ＋ca b ＋abc ≥a ＋b ＋c 成立．1．利用排序不等式证明不等式时，若已知条件中已给出两组量的大小关系，则需要分析清楚顺序和、乱序和及反序和．利用排序不等式证明即可．2．若在解答数学问题时，涉及一些可以比较大小的量，它们之间并没有预先规定大小顺序．那么在解答问题时，我们可以利用排序原理将它们按一定顺序排列起来，继而用不等关系来解题．1．设a ，b ，c 为正数，求证：a 12bc ＋b 12ac ＋c 12ab ≥a 10＋b 10＋c 10.证明：不妨设a ≥b ≥c >0，则a 12≥b 12≥c 12， 1bc ≥1ac ≥1ab>0， ∴由顺序和≥乱序和，得a 12bc ＋b 12ac ＋c 12ab ≥a 12ab ＋b 12bc ＋c 12ac ＝a 11b ＋b 11c ＋c 11a .①又∵a 11≥b 11≥c 11，1c ≥1b ≥1a ，∴由乱序和≥反序和，得a 11b ＋b 11c ＋c 11a ≥a 11a ＋b 11b ＋c 11c ＝a 10＋b 10＋c 10，②由①②两式得：a 12bc ＋b 12ac ＋c 12ab≥a 10＋b 10＋c 10.探究二 利用排序不等式求最值[例2] 设a ，b ，c 为任意正数，求a b ＋c ＋b c ＋a ＋ca ＋b 的最小值．[解析] 不妨设a ≥b ≥c ，则a ＋b ≥a ＋c ≥b ＋c ，1b ＋c ≥1c ＋a ≥1a ＋b ，由排序不等式得，ab ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥b b ＋c ＋c c ＋a ＋a a ＋b a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥c b ＋c ＋a c ＋a ＋b a ＋b 上述两式相加得： 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥3， 即ab ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥32. 当且仅当a ＝b ＝c 时， ab ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b 取最小值32.利用排序不等式求最值的方法利用排序不等式求最值时，先要对待证不等式及已知条件仔细分析，观察不等式的结构，明确两个数组的大小顺序，分清顺序和、乱序和及反序和，由于乱序和是不确定的，根据需要写出其中的一个即可．一般最值是顺序和或反序和．2．设0<a ≤b ≤c 且abc ＝1.试求1a 3(b ＋c )＋1b 3(a ＋c )＋1c 3(a ＋b )的最小值．解析：令S ＝1a 3(b ＋c )＋1b 3(a ＋c )＋1c 3(a ＋b )，则S ＝(abc )2a 3(b ＋c )＋(abc )2b 3(a ＋c )＋(abc )2c 3(a ＋b )＝bc a (b ＋c )·bc ＋ac b (a ＋c )·ac ＋abc (a ＋b )·ab .由已知可得：1a (b ＋c )≥1b (a ＋c )≥1c (a ＋b )，ab ≤ac ≤bc .∴S ≥bc a (b ＋c )·ac ＋ac b (a ＋c )·ab ＋abc (a ＋b )·bc＝ca (b ＋c )＋a b (a ＋c )＋bc (a ＋b ).又S ≥bc a (b ＋c )·ab ＋ac b (a ＋c )·bc ＋abc (a ＋b )·ac＝ba (b ＋c )＋c b (a ＋c )＋a c (a ＋b )，两式相加得：2S ≥1a ＋1b ＋1c ≥3·31abc＝3.∴S ≥32，即1a 3(b ＋c )＋1b 3(a ＋c )＋1c 3(a ＋b )的最小值为32.探究三 利用排序不等式解决实际问题[例3] 若某网吧的3台电脑同时出现了故障，对其维修分别需要45 min,25 min 和30 min ，每台电脑耽误1 min ，网吧就会损失0.05元．在只能逐台维修的条件下，按怎么样的顺序维修，才能使经济损失降到最小？[解析] 设t 1，t 2，t 3为25,30,45的任一排列，由排序原理知3t 1＋2t 2＋t 3≥3×25＋2×30＋45＝180(min)，所以按照维修时间由小到大的顺序维修，可使经济损失降到最小．利用排序不等式解决实际问题的关键是将实际问题转化为数学问题，构造排序不等式的模型．3．某座大楼共有n 层，在每层有一个办公室，每个办公室的人员步行上下楼，他们的速度分别为v 1，v 2，…，v n (他们各不相同)，为了能使得办公室的人员上下楼梯所用的时间总和最小，应该如何安排？(假设每两层楼的楼梯长都一样)解析：设两层楼间的楼梯长为s ，则第一层需要走的路程为s ，第二层需要走的路程为2s ，…，第n 层需要走的路程为ns .不妨设v ′1>v ′2>…>v ′n 为v 1，v 2，…，v n 从大到小的排列，显然1v ′1<1v ′2<…<1v ′n ，由排序不等式，可得ns 1v ′1＋(n －1)s 1v ′2＋…＋s 1v ′n的和最小，所以将速度快的放在高层，速度慢的放在低层，可使上下楼的时间最短．在运用排序不等式时不能准确找到相应有序数组致误[典例] 一般地，对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，几何平均数G n ＝na 1a 2…a n ，算术平均数A n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn，利用排序不等式可以判断G n ，A n 的大小关系为________．[解析] 令b i ＝a iG n (i ＝1,2，…，n )，则b 1b 2…b n ＝1，故可取x 1≥x 2≥…≥x n >0，使得b 1＝x 1x 2，b 2＝x 2x 3，…，b n －1＝x n －1x n ，b n ＝x nx 1.由排序不等式有：b 1＋b 2＋…＋b n ＝x 1x 2＋x 2x 3＋…＋x n x 1≥x 1·1x 1＋x 2·1x 2＋…＋x n ·1x n＝n ，当且仅当x 1＝x 2＝…＝x n 时取等号，所以a 1G n ＋a 2G n ＋…＋a nG n ≥n ，即a 1＋a 2＋…＋a n n ≥G n ，即A n ≥G n . [答案] A n ≥G n[规律探究] (1)利用排序不等式的关键是正确地寻找两组有序实数组，构造的恰当是正确解题的前提，如本例中构造的两组数，恰好能够解决反序和为n ，使得问题得以解决．(2)利用排序不等式求解完成后，一定要说明等号成立的条件，若取不到等号也应该说明原因，使得解题更加清晰和准确．(3)运用排序不等式的解题步骤是①构造两组有序数组使之满足排序不等式的条件；②运用排序不等式得到不等关系；③找出等号成立的条件并以此得出证明的结论.[随堂训练] 对应学生用书第34页1．设正实数a 1，a 2，a 3的任一排列为a ′1，a ′2，a ′3，则a 1a ′1＋a 2a ′2＋a 3a ′3的最小值为( )A ．3B ．6C ．9D ．12解析：设a 1≥a 2≥a 3>0，则1a 3≥1a 2≥1a 1>0，由排列不等式可知a 1a ′1＋a 2a ′2＋a 3a ′3≥a 1a 1＋a 2a 2＋a 3a 3＝3. 当且仅当a ′1＝a 1，a ′2＝a 2，a ′3＝a 3时等号成立． 答案：A2．设a 1，a 2，a 3为正数，E ＝a 1a 2a 3＋a 2a 3a 1＋a 3a 1a 2，F ＝a 1＋a 2＋a 3，则E ，F 的大小关系是( ) A ．E <F B ．E ≥F C ．E ＝FD ．E ≤F解析：不妨设a 1≥a 2≥a 3>0，于是1a 1≤1a 2≤1a 3，a 2a 3≤a 3a 1≤a 1a 2.由排序不等式：顺序和≥乱序和，得a 1a 2a 3＋a 2a 3a 1＋a 3a 1a 2≥1a 2·a 2a 3＋1a 3·a 3a 1＋1a 1·a 1a 2＝a 3＋a 1＋a 2，即a 1a 2a 3＋a 2a 3a 1＋a 3a 1a 2≥a 1＋a 2＋a 3. ∴E ≥F . 答案：B3．已知a ，b ，x ，y ∈R ＋，且1a >1b ，x >y ，则x x ＋a ________yy ＋b (填“>”或“<”)．解析：∵1a >1b ，a >0，b >0，∴b >a >0，又x >y >0，∵bx >ay ， ∴bx －ay >0， 又x ＋a >0，y ＋b >0，∴x x ＋a －yy ＋b ＝bx －ay (x ＋a )(y ＋b )>0， 即xx ＋a >y y ＋b . 答案：>。
选修4-5 3.3排序不等式
a b c 3
.
证明：不妨设a b c 0，则 lg a lg b lg c， 由排序不等式知: a lg a b lg b c lg c b lg a c lg b a lg c，
a lg a b lg b c lg c c lg a a lg b b lg c，
以上两式相加，两边再加上a lg a b lg b c lg c， 3 a lg a b lg b c lg c a b c lg a lg b lg c ，
a b c lg abc . lg a b c 3
a b c
典例分析
例2 设a1，a2，…，an是n个互不相等的正整 数，求证：
1 1 ... 1 a a 2 a 3 ... a n . 1 1 2 2 2 2 3 n 2 3 n
证明：设b1，b2，…，bn是a1，a2，… ， an的一个排 列，且有 b1<b2<…<bn 因为b1，b2，…，bn是互不相等的正整数， 所以b1≥1，b2≥2，…，bn≥n.
2. 已 知 a，，是 正 数 ， 用 排 序 不 等 式 证 明 : b c 2( a b c ) a ( b c ) b ( a c ) c ( a b ).
3 3 3 2 2 2
3. 设a1， 2， 3为正数，求证 : a a a1a2 a a2
4.设 a 1 ， 2 ， ， n为 正 数 ， 试 分 别 用 柯 西 不 等 式 a ... a 与排序不等式证明： a a a a ... a 1 a 2 ... a n . a2 a3 an a1
2019-2020学年人教版高中数学选修4-5教材用书：第三讲 柯西不等式与排序不等式 三 排序不等式 Word版含答案
三排序不等式1．顺序和、乱序和、反序和设a1≤a2≤…≤a n，b1≤b2≤…≤b n为两组实数，c1，c2，…，c n是b1，b2，…，b n的任一排列，称a1b1＋a2b2＋…＋a n b n为这两个实数组的顺序积之和(简称顺序和)，称a1b n＋a2b n－1＋…＋a n b1为这两个实数组的反序积之和(简称反序和)，称a1c1＋a2c2＋…＋a n c n为这两个实数组的乱序积之和(简称乱序和)．2．排序不等式(排序原理)定理：(排序不等式，又称为排序原理) 设a1≤a2≤…≤a n，b1≤b2≤…≤b n为两组实数，c1，c2，…，c n是b1，b2，…，b n的任一排列，则a1b n＋a2b n－1＋…＋a n b1≤a1c1＋a2c2＋…＋a n c n≤a1b1＋a2b2＋…＋a n b n，等号成立(反序和等于顺序和)⇔a1＝a2＝…＝a n或b1＝b2＝…＝b n.排序原理可简记作：反序和≤乱序和≤顺序和．已知a，b，c为正数，且a≥b≥c，求证：b3c3＋c3a3＋a3b3≥a＋b＋c.分析题目中已明确a≥b≥c，所以解答本题时可直接构造两个数组，再用排序不等式证明即可．∵a≥b>0，∴1a ≤1b.又c>0，从而1bc ≥1 ca.同理1ca≥1ab，从而1bc≥1ca≥1ab.又由于顺序和不小于乱序和，故可得a5 b3c3＋b5c3a3＋c5a3b3≥b5b3c3＋c5c3a3＋a5a3b3＝b2c3＋c2a3＋a2b3⎝⎛⎭⎪⎫∵a2≥b2≥c2，1c3≥1b3≥1a3≥c2c3＋a2a3＋b2b3＝1c＋1a＋1b＝1a＋1b＋1c.∴原不等式成立．利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组．1．已知0<α<β<γ<π2，求证：sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α>12(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)．证明：∵0<α<β<γ<π2，且y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2为增函数，y ＝cos x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2为减函数，∴0<sin α<sin β<sin γ，cos α>cos β>cos γ>0.∴sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α>sin αcos α＋sin β·cos β＋sin γcos γ＝12(sin2α＋sin 2β＋sin 2γ)．2．设x ≥1，求证：1＋x ＋x 2＋…＋x 2n≥(2n ＋1)x n. 证明：∵x ≥1，∴1≤x ≤x 2≤…≤x n.由排序原理，得12＋x 2＋x 4＋…＋x 2n≥1·x n ＋x ·x n －1＋…＋xn －1·x ＋x n·1，即1＋x 2＋x 4＋…＋x 2n ≥(n ＋1)x n.①又因为x ，x 2，…，x n,1为1，x ，x 2，…，x n的一个排列， 由排序原理，得1·x ＋x ·x 2＋…＋x n －1·x n ＋x n·1≥1·x n ＋x ·xn －1＋…＋xn －1·x ＋x n·1，得x ＋x 3＋…＋x2n －1＋x n≥(n ＋1)x n.②将①②相加，得1＋x ＋x 2＋…＋x 2n≥(2n ＋1)x n.在△ABC 中，试证：3≤a ＋b ＋c.可构造△ABC 的边和角的有序数列，应用排序不等式来证明． 不妨设a ≤b ≤c ，于是A ≤B ≤C . 由排序不等式，得aA ＋bB ＋cC ≥aA ＋bB ＋cC ， aA ＋bB ＋cC ≥bA ＋cB ＋aC ， aA ＋bB ＋cC ≥cA ＋aB ＋bC .相加，得3(aA ＋bB ＋cC )≥(a ＋b ＋c )(A ＋B ＋C )＝π(a ＋b ＋c )，得aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c ≥π3.在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系，对于没有给出大小关系的情况，要根据各字母在不等式中地位的对称性，限定一种大小关系．3．设c 1，c 2，…，c n 为正数组a 1，a 2，…，a n 的某一排列，求证：a1c1＋a2c2＋…＋ancn ≥n .证明：不妨设0<a 1≤a 2≤…≤a n ，则1a1≥1a2≥…≥1an. 因为1c1，1c2，…，1cn 是1a1，1a2，…，1an 的一个排列，由排序原理，得a 1·1a1＋a 2·1a2＋…＋a n ·1an ≤a 1·1c1＋a 2·1c2＋…＋a n ·1cn ，即a1c1＋a2c2＋…＋an cn≥n .4．设a 1，a 2，…，a n 是1,2，…，n 的一个排列， 求证：12＋23＋…＋n －1n ≤a1a2＋a2a3＋…＋an －1an.证明：设b 1，b 2，…，b n －1是a 1，a 2，…，a n －1的一个排列，且b 1<b 2<…<b n －1；c 1，c 2，…，c n －1是a 2，a 3，…，a n 的一个排列，且c 1<c 2<…<c n －1，则1c1>1c2>…>1cn －1且b 1≥1，b 2≥2，…，b n －1≥n －1，c 1≤2，c 2≤3，…，c n －1≤n . 利用排序不等式，有a1a2＋a2a3＋…＋an －1an ≥b1c1＋b2c2＋…＋bn －1cn －1≥12＋23＋…＋n －1n . ∴原不等式成立．课时跟踪检测(十一)1．有一有序数组，其顺序和为A ，反序和为B ，乱序和为C ，则它们的大小关系为( ) A ．A ≥B ≥C B ．A ≥C ≥B C ．A ≤B ≤CD ．A ≤C ≤B解析：选B 由排序不等式，顺序和≥乱序和≥反序和知：A ≥C ≥B .2．若A ＝x 21＋x 2＋…＋x 2n ，B ＝x 1x 2＋x 2x 3＋…＋x n －1x n ＋x n x 1，其中x 1，x 2，…，x n 都是正数，则A 与B 的大小关系为( )A ．A >BB ．A <BC ．A ≥BD ．A ≤B解析：选C 序列{x n }的各项都是正数，不妨设0＜x 1≤x 2≤…≤x n ，则x 2，x 3，…，x n ，x 1为序列{x n } 的一个排列．由排序原理，得x 1x 1＋x 2x 2＋…＋x n x n ≥x 1x 2＋x 2x 3＋…＋x n x 1，即x 21＋x 2＋…＋x 2n ≥x 1x 2＋x 2x 3＋…＋x n x 1.3．锐角三角形中，设P ＝a ＋b ＋c 2，Q ＝a cos C ＋b cos B ＋c cos A ，则P ，Q 的关系为( )A ．P ≥QB ．P ＝QC ．P ≤QD ．不能确定解析：选C 不妨设A ≥B ≥C ，则a ≥b ≥c ，cos A ≤cos B ≤cos C ， 则由排序不等式有Q ＝a cos C ＋b cos B ＋c cos A ≥a cos B ＋b cos C ＋c cos A＝R (2sin A cos B ＋2sin B cos C ＋2sin C cos A ) ＝R＝R (sin C ＋sin A ＋sin B )＝P ＝a ＋b ＋c2. 4．儿子过生日要老爸买价格不同的礼品1件、2件及3件，现在选择商店中单价为13元、20元和10元的礼品，至少要花________元．( )A ．76B ．20C ．84D ．96解析：选A 设a 1＝1(件)，a 2＝2(件)，a 3＝3(件)，b 1＝10(元)，b 2＝13(元)，b 3＝20(元)，则由排序原理反序和最小知至少要花a 1b 3＋a 2b 2＋a 3b 1＝1×20＋2×13＋3×10＝76(元)．5．已知两组数1,2,3和4,5,6，若c 1，c 2，c 3是4,5,6的一个排列，则1c 1＋2c 2＋3c 3的最大值是________，最小值是________．解析：由反序和≤乱序和≤顺序和知，顺序和最大，反序和最小，故最大值为32，最小值为28. 答案：32 286．有4人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满每个人的水桶分别需要5 s 、4 s 、3 s 、7 s ，每个人接完水后就离开，则他们总的等候时间最短为________s.解析：由题意知，等候的时间最短为3×4＋4×3＋5×2＋7＝41. 答案：417．在Rt △ABC 中，∠C 为直角，A ，B 所对的边分别为a ，b ，则aA ＋bB 与π4(a ＋b )的大小关系为________．解析：不妨设a ≥b >0，则A ≥B >0，由排序不等式⎭⎪⎬⎪⎫aA ＋bB≥aB＋bA aA ＋bB ＝aA ＋bB ⇒2(aA ＋bB )≥a (A ＋B )＋b (A ＋B )＝π2(a ＋b )， ∴aA ＋bB ≥π4(a ＋b )． 答案：aA ＋bB ≥π4(a ＋b ) 8．设a ，b ，c 都是正数，求证：a ＋b ＋c ≤a4＋b4＋c4abc .证明：由题意不妨设a ≥b ≥c >0.由不等式的性质，知a 2≥b 2≥c 2，ab ≥ac ≥bc . 根据排序原理，得a 2bc ＋ab 2c ＋abc 2≤a 3c ＋b 3a ＋c 3b .① 又由不等式的性质，知a 3≥b 3≥c 3，且a ≥b ≥c .再根据排序不等式，得a 3c ＋b 3a ＋c 3b ≤a 4＋b 4＋c 4.②由①②及不等式的传递性，得a 2bc ＋ab 2c ＋abc 2≤a 4＋b 4＋c 4.两边同除以abc 得证原不等式成立．9．设a ，b ，c 为任意正数，求a b ＋c ＋b c ＋a ＋ca ＋b 的最小值．解：不妨设a ≥b ≥c ，则a ＋b ≥a ＋c ≥b ＋c ，1b ＋c ≥1c ＋a ≥1a ＋b .由排序不等式，得a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥b b ＋c ＋c c ＋a ＋a a ＋b ， a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥c b ＋c ＋a c ＋a ＋b a ＋b， 以上两式相加，得2⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥3，∴a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥32， 即当且仅当a ＝b ＝c 时， a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b 的最小值为32.10．设x ，y ，z 为正数，求证：x ＋y ＋z ≤x2＋y22z ＋y2＋z22x ＋z2＋x22y. 证明：由于不等式关于x ，y ，z 对称， 不妨设0<x ≤y ≤z ，于是x 2≤y 2≤z 2，1z ≤1y ≤1x ，由排序原理：反序和≤乱序和，得x 2·1x ＋y 2·1y ＋z 2·1z ≤x 2·1z ＋y 2·1x ＋z 2·1y， x 2·1x＋y 2·1y＋z 2·1z≤x 2·1y＋y 2·1z＋z 2·1x，将上面两式相加，得2(x ＋y ＋z )≤x2＋y2z ＋y2＋z2x ＋z2＋x2y ，于是x ＋y ＋z ≤x2＋y22z ＋y2＋z22x ＋z2＋x22y.本讲高考热点解读与高频考点例析考情分析从近两年高考来看，对本部分内容还未单独考查，可也不能忽视，利用柯西不等式构造“平方和的积”与“积的和的平方”，利用排序不等式证明成“对称”形式，或两端是“齐次式”形式的不等式问题．真题体验(陕西高考)已知关于x 的不等式|x ＋a |＜b 的解集为{x |2＜x ＜4}． (1)求实数a ，b 的值；(2)求at ＋12＋bt 的最大值．解：(1)由|x ＋a |＜b ，得－b －a ＜x ＜b －a ，则⎩⎪⎨⎪⎧－b －a ＝2，b －a ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝1.(2)－3t ＋12＋t ＝3·4－t ＋t ≤3＋4－t＋t＝24－t ＋t ＝4， 当且仅当4－t 3＝t1，即t ＝1时等号成立， 故(－3t ＋12＋t)max ＝4.1122n n )2(a i ，b i ∈R ，i ＝1,2，…，n )，形式简洁、美观，对称性强，灵活地运用柯西不等式，可以使一些较为困难的不等式证明问题迎刃而解．已知a ，b ，c ，d 为不全相等的正数，求证：1a2＋1b2＋1c2＋1d2＞1ab ＋1bc ＋1cd ＋1da.由柯西不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1a2＋1b2＋1c2＋1d2⎝ ⎛ 1b2＋1c2＋⎭⎪⎫1d2＋1a2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1ab ＋1bc ＋1cd ＋1da 2， 于是1a2＋1b2＋1c2＋1d2≥1ab ＋1bc ＋1cd ＋1da.①等号成立⇔1a 1b ＝1b 1c ＝1c 1d ＝1d 1a⇔b a ＝c b ＝d c ＝ad ⇔a ＝b ＝c ＝d .又已知a ，b ，c ，d 不全相等，则①中等号不成立． 即1a2＋1b2＋1c2＋1d2>1ab ＋1bc ＋1cd ＋1da.关的不等式问题，利用排序不等式解决往往很简便．设a ，b ，c 为实数，求证：a12bc ＋b12ca ＋c12ab ≥a 10＋b 10＋c 10.由对称性，不妨设a ≥b ≥c ， 于是a 12≥b 12≥c 12，1bc ≥1ca ≥1ab .由排序不等式：顺序和≥乱序和，得a12bc ＋b12ca ＋c12ab ≥a12ab ＋b12bc ＋c12ca ＝a11b ＋b11c ＋c11a .① 又因为a 11≥b 11≥c 11，1a ≤1b ≤1c，再次由排序不等式：反序和≤乱序和，得 a11a ＋b11b ＋c11c ≤a11b ＋b11c ＋c11a .② 由①②得a12bc ＋b12ca ＋c12ab≥a 10＋b 10＋c 10.理．在这类题目中，利用柯西不等式或排序不等式处理往往比较容易．已知5a 2＋3b 2＝158，求a 2＋2ab ＋b 2的最大值．解：∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫552＋⎝ ⎛⎭⎪⎫332 ≥⎝⎛⎭⎪⎫55×5a ＋33×3b 2＝(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，当且仅当5a ＝3b ，即a ＝38，b ＝58时，等号成立．∴815×(5a 2＋3b 2)≥a 2＋2ab ＋b 2. ∴a 2＋2ab ＋b 2≤815×(5a 2＋3b 2)＝815×158＝1. ∴a 2＋2ab ＋b 2的最大值为1.已知正实数x 1，x 2，…，x n 满足x 1＋x 2＋…＋x n ＝P ，P 为定值，求F ＝x21x2＋x22x3＋…＋x2n －1xn ＋x2nx1的最小值．不妨设0<x 1≤x 2≤…≤x n ， 则1x1≥1x2≥…≥1xn>0，且0<x 21≤x 2≤…≤x 2n . ∵1x2，1x3，…，1xn ，1x1为序列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1xn 的一个排列， 根据排序不等式，得F ＝x21x2＋x22x3＋…＋x2n －1xn ＋x2nx1≥x 21·1x1＋x 2·1x2＋…＋x 2n ·1xn＝x 1＋x 2＋…＋x n ＝P (定值)，当且仅当x 1＝x 2＝…＝x n ＝Pn 时，等号成立．即F ＝x21x2＋x22x3＋…＋x2n －1xn ＋x2n x1的最小值为P .。
人教新课标版数学高二人教A选修4-5试题 3-3排序不等式
第三节 排序不等式解答题1．若a 1≤a 2≤…≤a n ，而b 1≥b 2≥…≥b n 或a 1≥a 2≥…≥a n 而b 1≤b 2≤…≤b n ，证明：a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n n ≤⎝⎛⎭⎫a 1＋a 2＋…＋a n n ·⎝⎛⎭⎫b 1＋b 2＋…＋b n n .当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 或b 1＝b 2＝…＝b n 时等号成立．证明 不妨设a 1≤a 2≤…≤a n ，b 1≥b 2≥…≥b n .则由排序原理得：a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b na 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ≤a 1b 2＋a 2b 3＋…＋a n b 1a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ≤a 1b 3＋a 2b 4＋…＋a n －1b 1＋a n b 2……a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ≤a 1b n ＋a 2b 1＋…＋a n b n －1.将上述n 个式子相加，得：n (a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )≤(a 1＋a 2＋…＋a n )(b 1＋b 2＋…＋b n )上式两边除以n 2，得：a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n n≤⎝⎛⎭⎫a 1＋a 2＋…＋a n n ⎝⎛⎭⎫b 1＋b 2＋…＋b n n .等号当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 或b 1＝b 2＝…＝b n 时成立．2．设a 1，a 2，…，a n 为实数，证明：a 1＋a 2＋…＋a n n ≤ a 21＋a 22＋…＋a 2n n. 证明 不妨设a 1≤a 2≤a 3≤…≤a n由排序原理得a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n ＝a 1a 1＋a 2a 2＋a 3a 3＋…＋a n a n .a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n ≥a 1a 2＋a 2a 3＋a 3a 4＋…＋a n a 1a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n ≥a 1a 3＋a 2a 4＋a 3a 5＋…＋a n a 2a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n ≥a 1a n ＋a 2a 1＋a 3a 2＋…＋a n a n －1以上n 个式子两边相加n (a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n )＝(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n)2 两边同除以n 2得a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n n ≥⎝⎛⎭⎫a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n n 2所以 a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n n ≥a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n n 结论得证． 3．设a 1，a 2，…，a n 为正数，求证：a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2n a 1≥a 1＋a 2＋…＋a n . 证明 不妨设a 1>a 2>…>a n >0，则有a 21>a 22>…>a 2n也有1a 1<1a 2<…<1a n ， 由排序原理：乱序和≥反序和，得：a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n a 1≥a 21a 1＋a 22a 2＋…＋a 2n a n＝a 1＋a 2＋…＋a n . 4．设A 、B 、C 表示△ABC 的三个内角的弧度数，a ，b ，c 表示其对边，求证：aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c≥π3. 证明 法一 不妨设A >B >C ，则有a >b >c由排序原理：顺序和≥乱序和∴aA ＋bB ＋cC ≥aB ＋bC ＋cAaA ＋bB ＋cC ≥aC ＋bA ＋cBaA ＋bB ＋cC ＝aA ＋bB ＋cC上述三式相加得3(aA ＋bB ＋cC )≥(A ＋B ＋C )(a ＋b ＋c )＝π(a ＋b ＋c )∴aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c≥π3. 法二 不妨设A >B >C ，则有a >b >c ，由排序不等式aA ＋bB ＋cC 3≥A ＋B ＋C 3·a ＋b ＋c 3， 即aA ＋bB ＋cC ≥π3(a ＋b ＋c )， ∴aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c≥π3. 5．设a ，b ，c 为正数，利用排序不等式证明a 3＋b 3＋c 3≥3abc .证明 不妨设a ≥b ≥c >0，∴a 2≥b 2≥c 2，由排序原理：顺序和≥反序和，得：a 3＋b 3≥a 2b ＋b 2a ，b 3＋c 3≥b 2c ＋c 2bc 3＋a 3≥a 2c ＋c 2a三式相加得2(a 3＋b 3＋c 3)≥a (b 2＋c 2)＋b (c 2＋a 2)＋c (a 2＋b 2)．又a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca .所以2(a 3＋b 3＋c 3)≥6abc ，∴a 3＋b 3＋c 3≥3abc .当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．6．设a ，b ，c 是正实数，求证：a a b b c c ≥(abc )a ＋b ＋c 3. 证明 不妨设a ≥b ≥c >0，则lg a ≥lg b ≥lg c .据排序不等式有：a lg a ＋b lg b ＋c lg c ≥b lg a ＋c lg b ＋a lg ca lg a ＋b lg b ＋c lg c ≥c lg a ＋a lg b ＋b lg ca lg a ＋b lg b ＋c lg c ＝a lg a ＋b lg b ＋c lg c上述三式相加得：3(a lg a ＋b lg b ＋c lg c )≥(a ＋b ＋c )(lg a ＋lg b ＋lg c )即lg(a a b b c c )≥a ＋b ＋c 3lg(abc ) 故a a b b c c ≥(abc )a ＋b ＋c 3. 7．设x i ，y i (i ＝1,2，…，n )是实数，且x 1≥x 2≥…≥x n ，y 1≥y 2≥…≥y n ，而z 1，z 2，…，z n是y 1，y 2，…，y n 的一个排列．求证：∑n i ＝1 (x i －y i )2≥∑n i ＝1(x i －z i )2. 证明 要证∑n i ＝1 (x i －y i )2≥∑n i ＝1(x i －z i )2 只需证∑n i ＝1y 2i －2∑n i ＝1x i y i ≥∑n i ＝1z 2i －2∑n i ＝1x i z i . 因为∑ni ＝1y 2i ＝∑n i ＝1z 2i ，∴只需证∑n i ＝1x i z i ≤∑n i ＝1x i y i . 而上式左边为乱序和，右边为顺序和．由排序不等式得此不等式成立．故不等式∑n i ＝1 (x i －y i )2≥∑n i ＝1 (x i －z i )2成立．8．已知a ，b ，c 为正数，且两两不等，求证：2(a 3＋b 3＋c 3)>a 2(b ＋c )＋b 2(a ＋c )＋c 2(a ＋b )．证明 不妨设a >b >c >0.则a 2>b 2>c 2，a ＋b >a ＋c >b ＋c ，∴a 2(a ＋b )＋b 2(a ＋c )＋c 2(b ＋c )>a 2(b ＋c )＋b 2(a ＋c )＋c 2(a ＋b )，即a 3＋c 3＋a 2b ＋b 2a ＋b 2c ＋c 2b>a 2(b ＋c )＋b 2(a ＋c )＋c 2(a ＋b )，又∵a2>b2>c2，a>b>c，∴a2b＋b2a<a3＋b3，b2c＋c2b<b3＋c3.即a2b＋b2a＋b2c＋c2b<a3＋2b3＋c3，所以有2(a3＋b3＋c3)>a2(b＋c)＋b2(a＋c)＋c2(a＋b)．。
数学人教A版选修4-5课后导练：3.3排序不等式含解析
课后导练基础达标1若A=x 12+x 22+…+x n 2,B=x 1x 2+x 2x 3+…+x n-1x n +x n x 1, 其中x 1，x 2，…，x n 都是正数，则A 与B 的大小关系是（ ） A 。
A 〉B B 。
A<B C.A≥B D。
A≤B解析:依序列｛x n }的各项都是正数,不妨设x 1≤x 2≤…≤x n ,则x 2,x 3，…，x n ，x 1为序列｛x n }的一个排列。
依排序原理,得x 1x 1+x 2x 2+…+x n x n ≥x 1x 2+x 2x 3+…+x n x 1,即x 12+x 22+…+x n 2≥x 1x 2+x 2x 3+…+x n x 1.答案：C2设a,b 都是正数,P=（ba )2+（ab )2,Q=ba +ab ，则（ )A.P≥Q B。
P≤Q C 。
P 〉Q D.P 〈Q 解析： ∵a,b都是正数,∴ab 、b a 22与b1，a1顺序相同。
∴ba 2·b1+ab 2·a1≥ba 2·a1+ab 2·b1。
∴（ba ）2+（ab )2≥ba +ab ，即P≥Q. 答案：A3设a ，b ，c∈R ，则cab bca abc ++____________a+b+c 。
解析：设a≥b≥c≥0,则bc≤ca≤ab,a1≤b1≤c1，∴cab bca abc ++≥ac·c1+aab +bbc=a+b+c 。
答案:≥4若△ABC 的三内角为A ，B,C,三边为a,b,c ，则cb a cC bB aA ++++___________3π.解析：设a≤b≤c,A≤B≤C。
作序列a,a,a ，b,b,b,c ，c,c ，A ，A ，A,B,B ，B ，C ，C ，C. aA+aA+aA+bB+bB+bB+cC+cC+cC≥(aA+aB+aC）+(bA+bB+bC)+(cA+cB+cC)，∴3（aA+bB+cC ）≥(a+b+c)(A+B+C）,即cb a cC bB aA ++++≥3C B A ++=3π。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第三讲柯西不等式与排序不等式
3.3 排序不等式
A级基础巩固
一、选择题
1．设正实数a1，a2，a3的任一排列为a1′，a2′，a3′，则a1
a1′＋a2
a2′
＋a3
a3′的最小值为( )
A．3 B．6
C．9 D．12
解析：a1≥a2≥a3＞0，则
1
a3≥
1
a2≥
1
a1＞0，
由乱序和不小于反序和知，
所以
a1
a1′＋
a2
a2′＋
a3
a3′≥
a1
a1＋
a2
a2＋
a3
a3＝3，
所以
a1
a1′＋
a2
a2′＋
a3
a3′的最小值为3，故选A.
- 1 -
答案：A
2．车间里有5 台机床同时出了故障，从第1 台到第5 台的修复时间依次为4 min，8 min，6 min，10 min，5 min，每台机床停产1 min损失5 元，经合理安排损失最少为( )
A．420 元B．400 元
C．450 元D．570 元
解析：损失最少为5(1×10＋2×8＋3×6＋4×5＋5×4)＝420(元)，反序和最小．
答案：A
3．设a，b，c∈R＋，M＝a5＋b5＋c5，N＝a3bc＋b3ac＋c3ab，则M与N的大小关系是( )
A．M≥N B．M＝N
C．M＜N D．M＞N
解析：不妨设a≥b≥c＞0，
则a4≥b4≥c4，
运用排序不等式有：
a5＋b5＋c5＝a·a4＋b·b4＋c·c4≥ac4＋ba4＋cb4，
又a3≥b3≥c3＞0，且ab≥ac≥bc＞0，
所以a4b＋b4c＋c4a＝a3ab＋b3bc＋c3ca≥a3bc＋b3ac＋c3ab，
- 1 -
即a5＋b5＋c5≥a3bc＋b3ac＋c3ab，即M≥N.
答案：A
4．已知a，b，c≥0，且a3＋b3＋c3＝3，则a b＋b c＋c a 的最大值是( )
A．1 B．2
C．3 D.
3 3
解析：设a≥b≥c≥0，所以a≥b≥c.
由排序不等式可得a b＋b c＋c a≤a a＋b b＋c c.
而(a a＋b b＋c c)2≤(a a)2＋(b b)2＋(c c)2](1＋1＋1)＝9，即a a＋b b＋c c≤3.
所以a b＋b c＋c a≤3.
答案：C
5．已知a，b，c∈(0，＋∞)，则a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)的正负情况是( )
A．大于零B．大于等于零
C．小于零D．小于等于零
解析：设a≥b≥c＞0，所以a3≥b3≥c3，
- 1 -。