高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.3排序不等式自主训练新人教A版选修4_5
高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.3排序不等式素材4新人教A版选修4_5
三 排序不等式知识梳理1.基本概念设a 1<a 2<a 3<…<a n ,b 1<b 2<b 3<…<b n 是两组实数，c 1,c 2,c 3, …,c n 是数组b 1,b 2, …,b n 的任何一个排列，则S 1=a 1b n +a 2b n-1+…+a n b n 叫做数组（a 1,a 2, …,a n ）和(b 1,b 2, …b n ）的和_______；S 2=a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n 叫做数组（a 1,a 2, …a n ）和(b 1,b 2, …，b n )的_______和;S=a 1c 1+a 2c 2+…+a n c n 叫做数组(a 1,a 2, …,a n )和(b 1,b 2, …,b n ）的_______和.2.排序原理设a 1≤a 2≤…≤a n ,b 1≤b 2≤…≤b n 为两组实数，c 1,c 2, …,c n 是b 1,b 2, …,b n 的任一排列，那么,_______≤_______≤_______.当且仅当_______或_______时，反序和等于顺序和.知识导学排序原理是对不同的两个数组来研究不同的乘积和的问题，能构造的和按数组中的某种“搭配”的顺序被分为三种形式：顺序和、反序和、乱序和，对这三种不同的搭配形式只需注重是怎样的“次序”，两种较为简单是“顺与反”，而乱序和也就不按“常理”的顺序了，对于排序定理的记忆，我们只需记住用特殊例子的方法来说大小关系，比如教材上的例子. 对于排序不等式取等号的条件不难理解a 1=a 2=…=a n 或b 1=b 2=…=b n ，但对于我们解决某些问题则非常关键，它是命题成立的一种条件，所以要牢记.疑难突破1.对排序不等式的证明的理解对排序不等式的证明中，用到了“探究——猜想——检验——证明”的思维方法，这是探索新知识、新问题常用到的基本方法，对于数组涉及到的“排序”及“乘积”的问题，又使用了“一一搭配”这样的描述，这实质上也是使用最接近生活常识的处理问题的方法，所以可以结合像平时班级排队等一些常识的事例来理解.对于出现的“逐步调整比较法”，则要引起注意，研究数组这种带“顺序”的乘积的和的问题时，这种方法对理解相关问题时是比较简单易懂的.2.排序原理的思想在解答数学问题时，常常涉及到一些可以比较大小的量，它们之间并没有预先规定大小顺序，那么在解答问题时，我们可以利用排序原理的思想方法，将它们按一定顺序排列起来，继而利用不等关系来解题.因此，对于排序原理，我们要记住的是处理问题的这种思想及方法，同时要学会善于利用这种比较经典的结论来处理实际问题.典题精讲【例1】 设a,b,c 都是正数，求证：cab b ca a bc ++≥a+b+c. 思路分析：不等式的左侧，可以分为两种数组ab,ac,bc;c 1,b 1,a 1，排出顺序后，可利用排序原理证之.证明：由题意不妨设a≥b≥c>0,由不等式的单调性，知ab≥ac≥bc,c 1≥b 1≥a1. 由排序原理，知ab×c 1+ac×b 1+bc×a 1≥ab×b 1+ac×a 1+bc×c1， 即所证不等式成立.绿色通道：要利用排序原理解答相关问题，必须构造出相应的数组，并且要排列出大小顺序，因此比较出数组中的数间的大小关系是解答题的关键和基础.【变式训练】 设a,b 都是正数，求证：(b a )2+(a b )2≥b a +ab . 思路分析：观察不等式找出数组，并比较大小，用排序原理证明.证明：由题意不妨设a≥b>0.由不等式的单调性，知a 2≥b 2,b 1≥a1. 所以ab b a 22≥. 根据排序原理，知ba b a b a a a b b b a 11112222⨯+⨯≥⨯+⨯. 即(b a )2+(a b )2≥b a +ab . 【例2】 设a 1,a 2,…,a n 是1，2，…，n 的一个排列，求证：21+32+…+nn a a a a a a n n 132211-+++≤- . 思路分析：构造出数组，利用排序原理证明.证明：设b 1,b 2, …,b n-1是a 1,a 2, …,a n-1的一个排列，且b 1<b 2<…<b n-1；c 1,c 2, …,c n-1是a 2,a 3, …,a n 的一个排列，且c 1<c 2<…<c n-1, 则121111->>>n c c c 且b 1≥1,b 2≥2, …,b n-1≥n -1,c 1≤2,c 2≤3, …,c n-1≤n. 利用排序不等式，有nn c b c b c b a a a a a a n n n n 1322111221113221-+++≥+++≥+++--- . ∴原不等式成立.绿色通道：构造数组时，自己可根据题目的要求与需要，来限定数组间的一些联系，对于一些大小顺序，在不影响一般性的前提下，也可以设定.【变式训练】 设a 1,a 2, …,a n 都是正数，b 1,b 2, …,b n 是a 1,a 2, …,a n 的任一排列，求证：a 12b 1-1+a 22b 2-1+…+a n 2b n -1≥a 1+a 2+…+a n .思路分析：设定a 1,a 2,…，a n 的大小，找到两个数组，利用排序原理可证得.证明：设a 1≥a 2≥…≥a n >0,可知a 12≥a 22≥…≥a n 2,a n -1≥a n -1-1≥…≥a 1-1.由排序原理，得a12b1-1+a22b2-1+…+a n2b n-1≥a12a1-1+a22a2-1+a n2a n-1即a12b1-1+a22b2-1+…+a n2b n-1≥a1+a2+…+a n.问题探究问题：有十人各拿一只水桶去打水，如果水龙头灌满第i个人的水桶需要t i分钟，且这些t i（i=1,2, …,10)各不相等，试问：若有两个相同的水龙头供水时，应如何安排这十个人的次序，使他们花费的总时间最少？这个最少的总时间是多少？导思：考虑两个水龙头，要注意数组的搭配与数组中的大小顺序，可以联系教材上一个水龙头供水时的设定方法去求解.探究：如果有两个水龙头，设总时间最少时有m个人在第一个水龙头打水，设依次所需时间为p1,p2, …,p m;有10-m个人在第二个水龙头打水，依次所需时间设为q1,q2, …,q10-m.显然必有一个水龙头的打水人数不少于5人，不妨设为第一个水龙头，也不可能有一个水龙头没人去打水，则5≤m<10.设p1<p2<…<p m，q1<q2<…<q10-m.总花费的时间为：T=mp1+(m-1)p2+…+p m+(10-m)q1+(9-m)q2+…+q10-m.其中{p1,p2, …,p m,q1,q2, …,q10-m}={t1,t2, …,t10},t1<t2<…<t10.首先我们来证明m=5.若不然，我们让在第一个水龙头打水的第一人到第二个水龙头的第一位去，则总花费的时间变为：T′=(m-1)p2+…+p m+(11-m)p1+(10-m)q1+…+q10-m.T-T′=(2m-11)p1>0.即当m>5时，我们让第一水龙头的第一人到第二水龙头去后，总时间减少.故在m=5时，总时间可能取得最小值.由于m=5，故两个水龙头人一样多，总用时:T=(5p1+4p2+3p3+2p4+p5)+(5q1+4q2+3q3+2q4+q5).由于p1<p2<…<p5,q1<q2<…<q5.不妨设p1=t1.下证q1<p2.否则我们交换用时为q1,p2的两人的位置后，总用时变为T″=(5p1+4q1+3p3+2p4+p5)+(5p2+4q2+3q3+2q4+q5),T-T″=q1-p2>0.即经交换后总时间变少.故q1<p2.也即q1=t2.类似地我们可以证明：p i<q i<p i+1(i=1,2,3,4),p5<q5.从而最省时的打水顺序为：水龙头一：t1,t3,t5,t7,t9;水龙头二:t2,t4,t6,t8,t10.其中：t1<t2<…<t10.。
高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式知识归纳与达标验收课件新人教A版选修4
1．(2017·江苏高考)已知 a，b，c，d 为实数，且 a2＋b2＝4， c2＋d2＝16，证明：ac＋bd≤8. 证明：由柯西不等式可得：(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)． 因为 a2＋b2＝4，c2＋d2＝16， 所以(ac＋bd)2≤64， 因此 ac＋bd≤8.
2．(2015·陕西高考)已知关于 x 的不等式|x＋a|＜b 的解集为
得aAa＋＋bbB＋＋ccC≥π3，① 又由 0＜b＋c－a,0＜a＋b－c,0＜a＋c－b，有 0＜A(b＋c－a)＋C(a＋b－c)＋B(a＋c－b) ＝a(B＋C－A)＋b(A＋C－B)＋c(A＋B－C) ＝a(π－2A)＋b(π－2B)＋c(π－2C) ＝(a＋b＋c)π－2(aA＋bB＋cC)． 得aAa＋＋bbB＋＋ccC＜π2.② 由①②得原不等式成立.
利用柯西不等式或排序不等式求最值问题 有关不等式问题往往要涉及到对式子或量的范围的限 定．其中含有多变量限制条件的最值问题往往难以处理．在这 类题目中，利用柯西不等式或排序不等式处理往往比较容易．
[例 3] 已知 5a2＋3b2＝185，求 a2＋2ab＋b2 的最大值． [解] ∵ 552＋ 332[( 5a)2＋( 3b)2] ≥ 55× 5a＋ 33× 3b2 ＝(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，当且仅当 5a＝3b 即 a＝38，b＝58时取 等号．∴a2＋2ab＋b2≤185×(5a2＋3b2)＝185×185＝1. ∴a2＋2ab＋b2 的最大值为 1.
[例 4] 已知 a＋b＋c＝1.
(1)求 S＝2a2＋3b2＋c2 的最小值及取得最小值时 a，b，c 的值；
(2)若 2a2＋3b2＋c2＝1，求 c 的取值范围．
[解] (1)根据柯西不等式，
高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 三 排序不等式学案 新人教A版选修45
三 排序不等式1．掌握排序不等式的推导和证明过程．2．会利用排序不等式解决简单的不等式问题．1．基本概念设a 1＜a 2＜a 3＜…＜a n ，b 1＜b 2＜b 3＜…＜b n 是两组实数，c 1，c 2，c 3，…，c n 是数组b 1，b 2，…，b n 的任何一个排列，则S 1＝a 1b n ＋a 2b n －1＋…＋a n b 1叫做数组(a 1，a 2，…，a n )和(b 1，b 2，…，b n )的______和；S 2＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n 叫做数组(a 1，a 2，…，a n )和(b 1，b 2，…，b n )的______和；S ＝a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a n c n 叫做数组(a 1，a 2，…，a n )和(b 1，b 2，…，b n )的____和．2．排序原理或排序不等式设a 1≤a 2≤…≤a n ，b 1≤b 2≤…≤b n 为两组实数，c 1，c 2，…，c n 是b 1，b 2，…，b n 的任一排列，则__________________≤______________________≤____________________.当且仅当________________或____________________时，反序和等于顺序和．分析题目时要找到原始的两组实数．【做一做1－1】 设a 1，a 2，…，a n 为实数，b 1，b 2，…，b n 是a 1，a 2，…，a n 的任一排列，则乘积a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n 不小于________．【做一做1－2】 已知a ，b ，c 为正数，P ＝b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b 2a ＋b ＋c，Q ＝abc ，则P ，Q 的大小关系是( )A ．P ＞QB ．P ≥QC ．P ＜QD ．P ≤Q答案：1．反序 顺序 乱序2．a 1b n ＋a 2b n －1＋…＋a n b 1 a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a n c n a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n a 1＝a 2＝…＝a n b 1＝b 2＝…＝b n【做一做1－1】 a 1a n ＋a 2a n －1＋…＋a n a 1【做一做1－2】 D 取两组实数(b 2c ，c 2a ，a 2b )和(a ，b ，c )，则顺序和为ab 2c ＋abc 2＋a 2bc ＝abc (a ＋b ＋c )，乱序和为b 2c 2＋a 2c 2＋a 2b 2，由排序不等式得abc (a ＋b ＋c )≥b 2c 2＋a 2c 2＋a 2b 2.即abc ≥b 2c 2＋a 2c 2＋a 2b 2a ＋b ＋c.1．对排序不等式的证明的正确理解 剖析：在排序不等式的证明中，用到了“探究——猜想——检验——证明”的思维方法，这是探索新知识、新问题常用到的基本方法，对于数组涉及的“排序”及“乘积”的问题，又使用了“一一搭配”这样的描述，这实质上也是使用最接近生活常识的处理问题的方法，所以可以结合像平时班级排队等一些常识的事例来理解．对于出现的“逐步调整比较法”，则要引起注意，研究数组这种带“顺序”的乘积的和的问题时，这种方法对理解相关问题时是比较简单易懂的．2．排序原理的思想剖析：在解答数学问题时，常常涉及一些可以比较大小的量，它们之间并没有预先规定大小顺序，那么在解答问题时，我们可以利用排序原理的思想方法，将它们按一定顺序排列起来，继而利用不等关系来解题．因此，对于排序原理，我们要记住的是处理问题的这种思想及方法，同时要学会善于利用这种比较经典的结论来处理实际问题．题型一 构造数组利用排序不等式证明 【例1】 设a ，b ，c 都是正数，求证：bc a ＋ca b ＋abc≥a ＋b ＋c . 分析：不等式的左边，可以分为数组ab ，ac ，bc 和1c ，1b ，1a，排出顺序后，可利用排序原理证明．反思：要利用排序原理解答相关问题，必须构造出相应的数组，并且要排列出大小顺序，因此比较出数组中的数之间的大小关系是解答问题的关键和基础．题型二 需要对不等式中所给字母的大小顺序作出假设的情况 【例2】 设a ，b ，c 为正数，求证：a 2＋b 22c ＋b 2＋c 22a ＋c 2＋a 22b ≤a 3bc ＋b 3ca ＋c 3ab. 分析：解答本题时不妨先设定0＜a ≤b ≤c ，再利用排序不等式加以证明． 反思：在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系，对于没有给出大小关系的情况，要限定一种大小关系．答案：【例1】 证明：由题意不妨设a ≥b ≥c ＞0，由不等式的单调性，知ab ≥ac ≥bc ，1c ≥1b ≥1a.由排序原理，知ab ×1c ＋ac ×1b ＋bc ×1a≥ab ×1b ＋ac ×1a ＋bc ×1c，即所证不等式bc a ＋ca b ＋abc≥a ＋b ＋c 成立． 【例2】 解：不妨设0＜a ≤b ≤c ，则a 3≤b 3≤c 3. 0＜1bc ≤1ca ≤1ab，由排序原理：乱序和≤顺序和，得a 3·1ca ＋b 3·1ab ＋c 3·1bc ≤a 3·1bc ＋b 3·1ca ＋c 3·1ab，①a 3·1ab ＋b 3·1bc ＋c 3·1ca ≤a 3·1bc ＋b 3·1ca ＋c 3·1ab.②将①②两式相加，得a 2＋b 2c ＋b 2＋c 2a ＋c 2＋a 2b ≤2(a 3bc ＋b 3ca ＋c 3ab)， 将不等式两边除以2，得a 2＋b 22c ＋b 2＋c 22a ＋c 2＋a 22b ≤a 3bc ＋b 3ca ＋c 3ab.1．已知两组数a 1≤a 2≤a 3≤a 4≤a 5，b 1≤b 2≤b 3≤b 4≤b 5，其中a 1＝2，a 2＝7，a 3＝8，a 4＝9，a 5＝12，b 1＝3，b 2＝4，b 3＝6，b 4＝10，b 5＝11，将b i (i ＝1,2,3,4,5)重新排列记为c 1，c 2，c 3，c 4，c 5，则a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 5c 5的最大值和最小值分别是( )A ．132,6B ．304,212C ．22,6D ．21,362设正实数a 1，a 2，a 3的任一排列为a 1′，a 2′，a 3′，则312123a a a a a a ++'''的最小值为( ) A ．3B ．6C ．9D ．123．设a 1，a 2，a 3为正数，E ＝233112312a a a a a a a a a ++，F ＝a 1＋a 2＋a 3，则E ，F 的大小关系是( )A ．E ＜FB ．E ≥FC ．E ＝FD ．E ≤F4．某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件，5件和2件．现在选择商店中单价分别为3元，2元和1元的礼品，则至少要花________元，最多要花________元．5．设a ，b 都是正数，求证：22()()a b ba+≥a b b a+.答案：1．B 2.A3．B 不妨设a 1≥a 2≥a 3＞0，于是11a ≤21a ≤31a ，a 2a 3≤a 3a 1≤a 1a 2. 由排序不等式：顺序和≥乱序和，得123a a a ＋312a a a ＋231a a a ≥2321a a a ⋅＋3131a a a ⋅＋1211a a a ⋅＝a 3＋a 1＋a 2， 即123a a a ＋231a a a ＋312a a a ≥a 1＋a 2＋a 3.∴E ≥F . 4．19 255．分析：观察不等式找出数组，并比较大小，用排序原理证明． 证明：由题意不妨设a ≥b ＞0.则a 2≥b 2，1b ≥1a. 所以2a b ≥2b a.根据排序原理，知2a b ×1b ＋2b a ×1a ≥2a b ×1a＋2b a ×1b ， 即2()a b＋2()b a≥a b ＋b a.。
高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式第3节排序不等式创新应用教学案新人教A版选修4_5
——教学资料参考参考范本——高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式第3节排序不等式创新应用教学案新人教A版选修4_5______年______月______日____________________部门[核心必知]1．三维形式的柯西不等式设a1，a2，a3，b1，b2，b3是实数，则(a＋a＋a)(b＋b＋b)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2，当且仅当bi＝0(i＝1，2，3)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1，2，3)时，等号成立．2．一般形式的柯西不等式设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋…＋anbn)2，当且仅当bi ＝0(i＝1，2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1，2，…，n)时，等号成立．[问题思考]1．在一般形式的柯西不等式的右端中，表达式写成ai·bi(i＝1，2，3，…，n)，可以吗？提示：不可以，ai·bi的顺序要与左侧ai，bi的顺序一致．2．在一般形式的柯西不等式中，等号成立的条件记为ai＝kbi(i＝1，2，3，…，n)，可以吗？提示：不可以．若bi＝0而ai≠0，则k不存在．设a，b，c为正数，且不全相等．求证：＋＋>.[精讲详析] 本题考查三维形式的柯西不等式的应用．解答本题需要构造两组数据，，；，，，然后利用柯西不等式解决．构造两组数，，c＋a；，，，则由柯西不等式得(a＋b＋b＋c＋c＋a)≥(1＋1＋1)2，①即2(a＋b＋c)≥9，于是＋＋≥.由柯西不等式知，①中有等号成立⇔＝＝⇔a＋b＝b＋c＝c＋a⇔a＝b＝c.因题设，a，b，c不全相等，故①中等号不成立，于是＋＋>.——————————————————柯西不等式的结构特征可以记为(a1＋a2＋…＋an)·(b1＋b2＋…＋bn)≥(＋＋…＋)2，其中ai，bi∈R＋(i＝1，2，…，n)，在使用柯西不等式时(要注意从整体上把握柯西不等式的结构特征)，准确地构造公式左侧的两个数组是解决问题的关键．1．设a，b，c为正数，求证：＋＋≥a＋b＋c.证明：∵⎝ ⎛⎭⎪⎫a2b ＋b2c ＋c2a ()a＋b＋c＝·[()2＋()2＋()2]≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ·b ＋b c ·c ＋c a ·a 2＝(a ＋b ＋c)2，即(a ＋b ＋c)≥(a＋b ＋c)2， 又a ，b ，c∈R＋， ∴a ＋b ＋c>0，∴＋＋≥a ＋b ＋c ，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立。
(部编本人教版)最新版高中数学 第三章 柯西不等式与排序不等式 3.3 排序不等式试题 新人教A版选修4-5【必
三排序不等式课后篇巩固探究A组1.顺序和S、反序和S'、乱序和S″的大小关系是()A.S≤S'≤S″B.S≥S'≥S″C.S≥S″≥S'D.S≤S″≤S'.2.设x,y,z均为正数,P=x3+y3+z3,Q=x2y+y2z+z2x,则P与Q的大小关系是()A.P≥QB.P>QC.P≤QD.P<Qx≥y≥z>0,则x2≥y2≥z2,则由排序不等式可得顺序和为P,乱序和为Q,则P≥Q.3.若a<b<c,x<y<z,则下列各式中值最大的一个是()A.ax+cy+bzB.bx+ay+czC.bx+cy+azD.ax+by+cza<b<c,x<y<z,由排序不等式得反序和≤乱序和≤顺序和,得顺序和ax+by+cz最大.故选D.4.若0<a1<a2,0<b1<b2,且a1+a2=b1+b2=1,则下列代数式中最大的是()A.a1b1+a2b2B.a1a2+b1b2C.a1b2+a2b1D.a1b1+a2b2+a1b2+a2b1=(a1+a2)(b1+b2)=1,a1b1+a2b2-a1b2-a2b1=(a1-a2)(b1-b2)>0,∴a1b1+a2b2>a1b2+a2b1.且a1b1+a2b2>>a1b2+a2b1.又1=a1+a2≥2,∴a1a2≤.∵0<a1<a2,∴a1a2<.同理b1b2<,∴a1a2+b1b2<.∴a1b1+a2b2>>a1a2+b1b2,∴a1b1+a2b2最大.5.已知a,b,c∈R+,则a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)()A.大于零B.大于或等于零C.小于零D.小于或等于零a≥b≥c>0,则a3≥b3≥c3,根据排序原理,得a3×a+b3×b+c3×c≥a3b+b3c+c3a.因为ab≥ac≥bc,a2≥b2≥c2,所以a3b+b3c+c3a≥a2bc+b2ca+c2ab.所以a4+b4+c4≥a2bc+b2ca+c2ab,即a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)≥0.6.设a1,a2,a3,a4是1,2,3,4的一个排序,则a1+2a2+3a3+4a4的取值范围是.2+22+32+42=30,最小值为反序和1×4+2×3+3×2+4×1=20.1+2a2+3a3+4a4的最大值为顺序和17.如图所示,在矩形OPAQ中,a1≤a2,b1≤b2,若阴影部分的面积为S1,空白部分的面积之和为S2,则S1与S2的大小关系是.,S1=a1b1+a2b2,而S2=a1b2+a2b1,根据顺序和≥反序和,得S1≥S2.S21≥8.若a,b,c为正数,求证a3+b3+c3≥3abc.a≥b≥c>0,则a2≥b2≥c2>0,由排序不等式,得a3+b3≥a2b+ab2,c3+b3≥c2b+cb2,a3+c3≥a2c+ac2,三式相加,得2(a3+b3+c3)≥a(b2+c2)+b(a2+c2)+c(a2+b2).因为a2+b2≥2ab,c2+b2≥2cb,a2+c2≥2ac,所以2(a3+b3+c3)≥6abc,即a3+b3+c3≥3abc(当且仅当a=b=c时,等号成立).9.设a,b均为正数,求证.a≥b>0,则a2≥b2>0,>0,由不等式性质,得>0.则由排序不等式,可得,即.10.设a,b,c都是正数,求证a+b+c≤.a≥b≥c>0.由不等式的性质,知a2≥b2≥c2,ab≥ac≥bc.根据排序原理,得a2bc+ab2c+abc2≤a3c+b3a+c3b.①又由不等式的性质,知a3≥b3≥c3,且a≥b≥c.再根据排序原理,得a3c+b3a+c3b≤a4+b4+c4.②由①②及不等式的传递性,得a2bc+ab2c+abc2≤a4+b4+c4.两边同除以abc,得a+b+c≤(当且仅当a=b=c时,等号成立).B组1.设a,b,c>0,则式子M=a5+b5+c5-a3bc-b3ac-c3ab与0的大小关系是()A.M≥0B.M≤0C.M与0的大小关系与a,b,c的大小有关D.不能确定a≥b≥c>0,则a3≥b3≥c3,且a4≥b4≥c4,则a5+b5+c5=a·a4+b·b4+c·c4≥a·c4+b·a4+c·b4.又a3≥b3≥c3,且ab≥ac≥bc,∴a4b+b4c+c4a=a3·ab+b3·bc+c3·ca≥a3bc+b3ac+c3ab.∴a5+b5+c5≥a3bc+b3ac+c3ab.∴M≥0.2.若0<α<β<γ<,F=sin αcos β+sin βcos γ+sin γcos α-(sin 2α+sin 2β+sin 2γ),则()A.F>0B.F≥0C.F≤0D.F<00<α<β<γ<,所以0<sin α<sin β<sin γ,0<cos γ<cos β<cos α,由排序不等式可知,sin αcos β+sin βcos γ+sin γcos α>sin αcos α+sin βcos β+sin γcos γ, 而F=sin αcos β+sin βcos γ+sin γcos α-(sin 2α+sin 2β+sin 2γ)=sin αcos β+sin βcos γ+sin γcos α-(sin αcos α+sin βcos β+sin γcos γ)>0.3.导学号26394057车间里有5台机床同时出了故障,从第1台到第5台的修复时间依次为4 min、8 min、6 min、10 min、5 min,每台机床停产1 min损失5元,经合理安排损失最少为()A.420元B.400元C.450元D.570元1台到第5台的修复时间依次为t1,t2,t3,t4,t5,若按照从第1台到第5台的顺序修复,则修复第一台需要t1分钟,则停产总时间为5t1,修复第2台需要t2分钟,则停产总时间为4t2,…,修复第5台需要t5分钟,则停产总时间为t5,因此修复5台机床一共需要停产的时间为5t1+4t2+3t3+2t4+t5,要使损失最小,应使停产时间最少,亦即使5t1+4t2+3t3+2t4+t5取最小值.由排序不等式可知,当t1<t2<t3<t4<t5时,5t1+4t2+3t3+2t4+t5取最小值,最小值为5×4+4×5+3×6+2×8+10=84分钟,故损失最小为84×5=420元.4.导学号26394058在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边依次为a,b,c,试比较的大小关系.a≥b≥c,则有A≥B≥C.由排序不等式,可得aA+bB+cC≥aA+bC+cB,aA+bB+cC≥aB+bA+cC,aA+bB+cC≥aC+bB+cA.将以上三个式子两边分别相加,得3(aA+bB+cC)≥(a+b+c)(A+B+C)=(a+b+c)π.所以.5.导学号26394059设x>0,求证1+x+x2+…+x2n≥(2n+1)x n.x≥1时,因为1≤x≤x2≤…≤x n,所以由排序原理得1·1+x·x+x2·x2+…+x n·x n≥1·x n+x·x n-1+…+·x+x n·1,即1+x2+x4+…+≥(n+1)x n.①又x,x2,…,x n,1为序列1,x,x2,…,x n的一个排列,所以1·x+x·x2+…+x n-1x n+x n·1≥1·x n+x·x n-1+…+x n-1·x+x n·1,因此x+x3+…++x n≥(n+1)x n, ②①+②,得1+x+x2+…+≥(2n+1)x n.③当0<x<1时,1>x≥x2≥…≥x n,①②仍成立,故③也成立.综上,原不等式成立.。
【精选】高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.3排序不等式自主训练新人教A版选修4_5
3.3 排序不等式自主广场我夯基我达标1.已知a,b,c∈R+，则a3+b3+c3与a2b+b2c+c2a的大小关系是( )A.a3+b3+c3>a2b+b2c+c2aB.a3+b3+c3≥a2b+b2c+c2aC.a3+b3+c3<a2b+b2c+c2aD.a3+b3+c3≤a2b+b2c+c2a思路解析：根据排序原理，取两组数a,b,c;a2,b2,c2,不妨设a≥b≥c,所以a2≥b2≥c2.所以a2×a+b2×b+c2×c≥a2b+b2c+c2a.答案：B2.设a1,a2,…,a n都是正数，b1,b2,…,b n是a1,a2,…,a n的任一排列，则a1b1-1+a2b2-1+…+a n b n-1的最小值是( )A.1B.nC.n2D.无法确定思路解析：设a1≥a2≥…≥a n>0.可知a n-1≥a n-1-1≥…≥a1-1，由排序原理，得a1b1-1+a2b2-1+…+a n b n-1≥a1-1+a2a2-1+…+a n a n-1≥n.答案：B3.已知a,b,c∈R+,则a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)的正负情况是( )A.大于零B.大于等于零C.小于零D.小于等于零思路解析：设a≥b≥c>0，所以a3≥b3≥c3,根据排序原理，得a3·a+b3×b+c3×c≥a3b+b3c+c3a.又知ab≥ac≥bc,a2≥b2≥c2,所以a3b+b3c+c3a≥a2bc+b2ca+c2ab.∴a4+b4+c4≥a2bc+b2ca+c2ab. 即a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)≥0.答案：B4.已知a,b,c都是正数，则≥__________.思路解析：设a≥b≥c≥0，所以,由排序原理,知,①,②①+②，得.答案：5.设a,b,c都是正数，求证：a+b+c≤.证明：由题意不妨设a≥b≥c>0.由不等式的性质，知a2≥b2≥c2,ab≥ac≥bc.根据排序原理，得a2bc+ab2c+abc2≤a3c+b3a+c3b.①又由不等式的性质，知a3≥b3≥c3,且a≥b≥c.再根据排序原理，得a3c+b3a+c3b≤a4+b4+c4.②由①②及不等式的传递性，得a2bc+ab2c+abc2≤a4+b4+c4.两边同除以abc得证不等式成立.6.设a,b,c∈R+,求证：++≤.证明：设a≥b≥c>0.由不等式的单调性，知≥≥,而.由不等式的性质，知a5≥b5≥c5.根据排序原理，知.又由不等式的性质，知a2≥b2≥c2,.由排序原理，得.由不等式的传递性，知++≤.∴原不等式成立.我综合我发展7.设a,b,c为某三角形三边长，求证：a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)≤3abc.证明：不妨设a≥b≥c.易证a(b+c-a)≤b(c+a-b)≤c(a+b-c).根据排序原理，得a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)≤a×b(c+a-b)+b×c(a+b-c)+c×a(b+c-a)≤3abc.8.设x1≥x2≥…≥x n,y1≥y2≥…≥y n.求证：≤.其中z1,z2,…,z n是y1,y2,…,y n的任意一个排列.证明：要证只需证.只要证.由题设及排序原理知上式显然成立.9.设a,b,c是正实数，求证：a a b b c c≥(abc).证明：不妨设a≥b≥c>0,则lga≥lgb≥lgc,据排序不等式，有alga+blgb+clgc≥blga+clgb+algc;alga+blgb+clgc≥clga+algb+blgc.且alga+blgb+clgc=alga+blgb+clgc,以上三式相加整理,得3(alga+blgb+clgc)≥(a+b+c)(lga+lgb+lgc),即lg(a a b b c c)≥·lg(abc).故a a b b c c≥(abc).。
高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式三排序不等式讲义含解析新人教A版选修4_50417122.doc
三 排序不等式1．顺序和、乱序和、反序和设a 1≤a 2≤…≤a n ，b 1≤b 2≤…≤b n 为两组实数，c 1，c 2，…，c n 为b 1，b 2，…，b n 的任一排列，称a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n 为这两个实数组的顺序积之和(简称顺序和)，称a 1b n ＋a 2b n －1＋…＋a n b 1为这两个实数组的反序积之和(简称反序和)．称a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a n c n 为这两个实数组的乱序积之和(简称乱序和)．2．排序不等式(排序原理)定理：(排序原理，又称为排序不等式) 设a 1≤a 2≤…≤a n ，b 1≤b 2≤…≤b n 为两组实数，c 1，c 2，…，c n 为b 1，b 2，…，b n 的任一排列，则有a 1b n ＋a 2b n －1＋…＋a n b 1≤a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a n c n ≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ，等号成立(反序和等于顺序和)⇔a 1＝a 2＝…＝a n 或b 1＝b 2＝…＝b n .排序原理可简记作：反序和≤乱序和≤顺序和．[点睛] 排序不等式也可以理解为两实数序列同向单调时，所得两两乘积之和最大；反向单调(一增一减)时，所得两两乘积之和最小．[例a 5b 3c 3＋b 5c 3a 3＋c 5a 3b 3≥1a ＋1b ＋1c. [思路点拨] 分析题目中已明确a ≥b ≥c ，所以解答本题时可直接构造两个数组，再用排序不等式证明即可．[证明] ∵a ≥b >0，于是1a ≤1b，又c >0，从而1bc ≥1ca，同理1ca ≥1ab ，从而1bc ≥1ca ≥1ab.又由于顺序和不小于乱序和，故可得a 5b 3c 3＋b 5c 3a 3＋c 5a 3b 3≥b 5b 3c 3＋c 5c 3a 3＋a 5a 3b 3＝b 2c 3＋c 2a 3＋a 2b 3⎝⎛⎭⎪⎫∵a 2≥b 2≥c 2，1c 3≥1b 3≥1a 3≥c 2c 3＋a 2a 3＋b 2b 3＝1c ＋1a ＋1b ＝1a ＋1b ＋1c. ∴原不等式成立．利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组．1．已知0<α<β<γ<π2，求证：sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γ·cos α>12(sin2α＋sin 2β＋sin 2γ)．证明：∵0<α<β<γ<π2，且y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2为增函数，y ＝cos x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2为减函数，∴0<sin α<sin β<sin γ，cos α>cos β>cos γ>0. ∴sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α >sin αcos α＋sin βcos β＋sin γcos γ ＝12(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)． 2．设x ≥1，求证：1＋x ＋x 2＋…＋x 2n≥(2n ＋1)x n. 证明：∵x ≥1，∴1≤x ≤x 2≤…≤x n. 由排序原理得12＋x 2＋x 4＋…＋x 2n≥1·x n ＋x ·xn －1＋…＋xn －1·x ＋x n·1即1＋x 2＋x 4＋…＋x 2n≥(n ＋1)x n.①又因为x ，x 2，…，x n,1为1，x ，x 2，…，x n的一个排列， 由排序原理得1·x ＋x ·x 2＋…＋x n －1·x n ＋x n·1≥1·x n ＋x ·xn －1＋…＋xn －1·x ＋x n·1，即x ＋x 3＋…＋x2n －1＋x n≥(n ＋1)x n.②将①②相加得1＋x ＋x 2＋…＋x 2n≥(2n ＋1)x n.a 12bc ＋b 12ca ＋c 12ab≥a 10＋b 10＋c 10. [思路点拨] 本题考查排序不等式的应用，解答本题需要搞清：题目中没有给出a ，b ，c 三个数的大小顺序，且a ，b ，c 在不等式中的“地位”是对等的，故可以设a ≥b ≥c ，再利用排序不等式加以证明．[证明] 由对称性，不妨设 a ≥b ≥c ，于是a 12≥b 12≥c 12，1bc ≥1ca ≥1ab，故由排序不等式：顺序和≥乱序和，得a 12bc ＋b 12ca ＋c 12ab ≥a 12ab ＋b 12bc ＋c 12ca ＝a 11b ＋b 11c ＋c 11a.① 又因为a 11≥b 11≥c 11，1a ≤1b ≤1c.再次由排序不等式：反序和≤乱序和，得a 11a ＋b 11b ＋c 11c ≤a 11b ＋b 11c ＋c 11a.② 所以由①②得a 12bc ＋b 12ca ＋c 12ab≥a 10＋b 10＋c 10.在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系，对于没有给出大小关系的情况，要根据各字母在不等式中地位的对称性，限定一种大小关系．3．设a ，b ，c 都是正数，求证：bc a ＋ca b ＋abc≥a ＋b ＋c .证明：由题意不妨设a ≥b ≥c ＞0，由不等式的单调性，知ab ≥ac ≥bc ，1c ≥1b ≥1a .由排序不等式，知ab ×1c ＋ac ×1b＋bc ×1a≥ab ×1b ＋ac ×1a ＋bc ×1c＝a ＋c ＋b ，即bc a ＋ca b ＋abc≥a ＋b ＋c .4．设a 1，a 2，a 3为正数，求证：a 1a 2a 3＋a 2a 3a 1＋a 3a 1a 2≥a 1＋a 2＋a 3. 证明：不妨设 a 1≥a 2≥a 3>0，于是 1a 1≤1a 2≤1a 3，a 2a 3≤a 3a 1≤a 1a 2，由排序不等式：顺序和≥乱序和得a 1a 2a 3＋a 3a 1a 2＋a 2a 3a 1≥1a 2·a 2a 3＋1a 3·a 3a 1＋1a 1·a 1a 2 ＝a 3＋a 1＋a 2. 即a 1a 2a 3＋a 2a 3a 1＋a 3a 1a 2≥a 1＋a 2＋a 3.1．有两组数：1,2,3与10,15,20，它们的顺序和、反序和分别是( ) A ．100,85 B ．100,80 C ．95,80D ．95,85解析：选B 由顺序和与反序和的定义可知顺序和为100，反序和为80. 2．若0<a 1<a 2,0<b 1<b 2，且a 1＋a 2＝b 1＋b 2＝1，则下列代数式中值最大的是( ) A ．a 1b 1＋a 2b 2 B ．a 1a 2＋b 1b 2C ．a 1b 2＋a 2b 1 D.12解析：选A 因为0<a 1<a 2,0<b 1<b 2，所以由排序不等式可知a 1b 1＋a 2b 2最大． 3．锐角三角形中，设P ＝a ＋b ＋c2，Q ＝a cos C ＋b cos B ＋c cos A ，则P ，Q 的大小关系为( )A ．P ≥QB ．P ＝QC ．P ≤QD ．不能确定 解析：选C 不妨设A ≥B ≥C ，则a ≥b ≥c ，cos A ≤cos B ≤cos C ，则由排序不等式有Q ＝a cos C ＋b cos B ＋c cos A ≥a cos B ＋b cos C ＋c cos A＝R (2sin A cos B ＋2sin B cos C ＋2sin C cos A ) ＝R [sin(A ＋B )＋sin(B ＋C )＋sin(A ＋C )] ＝R (sin C ＋sin A ＋sin B )＝P ＝a ＋b ＋c2.4．儿子过生日要老爸买价格不同的礼品1件、2件及3件，现在选择商店中单价为13元、20元和10元的礼品，至少要花( )A ．76元B ．20元C ．84元D ．96元解析：选A 设a 1＝1(件)，a 2＝2(件)，a 3＝3(件)，b 1＝10(元)，b 2＝13(元)，b 3＝20(元)，则由排序原理反序和最小知至少要花a 1b 3＋a 2b 2＋a 3b 1＝1×20＋2×13＋3×10＝76(元)．5．已知两组数1,2,3和4,5,6，若c 1，c 2，c 3是4,5,6的一个排列，则1c 1＋2c 2＋3c 3的最大值是________，最小值是________．解析：由反序和≤乱序和≤顺序和知，顺序和最大，反序和最小，故最大值为32，最小值为28.答案：32 286．设正实数a 1，a 2，…，a n 的任一排列为 a 1′，a 2′，…，a n ′，则a 1a 1′＋a 2a 2′＋…＋a na n ′的最小值为________．解析：不妨设0<a 1≤a 2≤a 3…≤a n ， 则1a 1≥1a 2≥…≥1a n.其反序和为a 1a 1＋a 2a 2＋…＋a n a n＝n ， 则由乱序和不小于反序和知a 1a 1′＋a 2a 2′＋…＋a n a n ′≥a 1a 1＋a 2a 2＋…＋a na n＝n ， ∴a 1a 1′＋a 2a 2′＋…＋a na n ′的最小值为n . 答案：n7．设a 1，a 2，a 3，a 4是1,2,3,4的一个排序，则a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4的取值范围是________． 解析：a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4的最大值为12＋22＋32＋42＝30，最小值为1×4＋2×3＋3×2＋4×1＝20，∴a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4的取值范围是[20,30]． 答案：[20,30]8．设a ，b ，c 是正实数，用排序不等式证明a a b b c c≥(abc )a ＋b ＋c3.证明：由所证不等式的对称性，不妨设a ≥b ≥c >0， 则lg a ≥lg b ≥lg c ，据排序不等式有：a lg a ＋b lg b ＋c lg c ≥b lg a ＋c lg b ＋a lg c ， a lg a ＋b lg b ＋c lg c ≥c lg a ＋a lg b ＋b lg c ，以上两式相加，再两边同加a lg a ＋b lg b ＋c lg c ，整理得 3(a lg a ＋b lg b ＋c lg c )≥(a ＋b ＋c )(lg a ＋lg b ＋lg c )， 即lg(a a b b c c)≥a ＋b ＋c3·lg(abc )， 故a a b b c c≥(abc )a ＋b ＋c3.9．某学校举行投篮比赛，按规则每个班级派三人参赛，第一人投m 分钟，第二人投n分钟，第三人投p 分钟，某班级三名运动员A ，B ，C 每分钟能投进的次数分别为a ，b ，c ，已知m ＞n ＞p ，a ＞b ＞c ，如何派三人上场能取得最佳成绩？解：∵m ＞n ＞p ，a ＞b ＞c ， 且由排序不等式知顺序和为最大值， ∴最大值为ma ＋nb ＋pc ，此时分数最高， ∴三人上场顺序是A 第一，B 第二，C 第三． 10．已知0<a ≤b ≤c ，求证：c 2a ＋b ＋b 2a ＋c ＋a 2b ＋c ≥a 2a ＋b ＋b 2b ＋c ＋c 2c ＋a.证明：因为0<a ≤b ≤c ，所以0<a ＋b ≤c ＋a ≤b ＋c ， 所以1a ＋b ≥1c ＋a ≥1b ＋c>0， 又0<a 2≤b 2≤c 2， 所以c 2a ＋b ＋b 2a ＋c ＋a 2b ＋c是顺序和，a 2a ＋b ＋b 2b ＋c ＋c 2c ＋a是乱序和，由排序不等式可知顺序和大于等于乱序和， 即不等式c 2a ＋b ＋b 2a ＋c ＋a 2b ＋c ≥a 2a ＋b ＋b 2b ＋c ＋c 2c ＋a成立．精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.3排序不等式课件新人教A版选修4_5
问题：
① 我们S= a1c1+a2c2 + ••• +ancn 叫数组(a1,a2 , ••• , an), (b1,b2 , ••• , bn)的乱序和,
②我们S1= a1b1+a2b2 + ••• +anbn 叫数组(a1,a2 , ••• , an), (b1,b2 , ••• , bn)的顺序和,
将①式中，c1、ck 对换，得： S′=a1ck+•••+akc1 + ••• +ancn ②
②−①得：S′−S=a1ck+akc1 − a1c1−akck=1后和式不减小.
若c1=b1,则转而考察c2，并进行类似讨论.. 类似地，可以证明，将①式中的第一项调换为 a1b1，第二项调换为a2b2后.和式不减小. 如此继续下去，经有限步调整，可知一切和数 中，最大和数所对应的情况只能是数组{ci}由小 到大排序的情况，即 S≤S2. 同样可以证明，最小和数是反序和，即S1≤S. ∴S1≤S ≤S2. 至此我们证明了前面的猜想是正确的.
定理(排序不等式或称排序原理) 设a1≤a2 ≤ ••• ≤ an , b1≤b2 ≤ ••• ≤ bn为两组实数，c1,c2 ••• ,cn是b1,b2 , ••• , bn任一个排列,则a1bn+a2bn-1 + ••• +anb1≤ a1c1+a2c2 + ••• +ancn ≤a1b1+a2b2 + ••• +anbn ，当且 仅当a1=a2 =••• = an 或 b1=b2 =••• = bn时，反序和=顺序和.
同序和 乱序和 乱序和 乱序和 乱序和 反序和
发现:反序和≤乱序和≤顺序和.
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3.3 排序不等式
自主广场
我夯基我达标
1.已知a,b,c∈R+，则a3+b3+c3与a2b+b2c+c2a的大小关系是( )
A.a3+b3+c3>a2b+b2c+c2a
B.a3+b3+c3≥a2b+b2c+c2a
C.a3+b3+c3<a2b+b2c+c2a
D.a3+b3+c3≤a2b+b2c+c2a
思路解析：根据排序原理，取两组数a,b,c;a2,b2,c2,不妨设a≥b≥c,所以a2≥b2≥c2.所以a2×a+b2×b+c2×c≥a2b+b2c+c2a.
答案：B
2.设a1,a2,…,a n都是正数，b1,b2,…,b n是a1,a2,…,a n的任一排列，则a1b1-1+a2b2-1+…+a n b n-1的最小值是( )
A.1
B.n
C.n2
D.无法确定
思路解析：设a1≥a2≥…≥a n>0.可知a n-1≥a n-1-1≥…≥a1-1，由排序原理，得a1b1-1+a2b2-1+…+a n b n-1≥a1-1+a2a2-1+…+a n a n-1≥n.
答案：B
3.已知a,b,c∈R+,则a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)的正负情况是( )
A.大于零
B.大于等于零
C.小于零
D.小于等于零
思路解析：设a≥b≥c>0，所以a3≥b3≥c3,根据排序原理，得a3·a+b3×b+c3×c≥a3b+b3c+c3a.
又知ab≥ac≥bc,a2≥b2≥c2,所以a3b+b3c+c3a≥a2bc+b2ca+c2ab.∴a4+b4+c4≥a2bc+b2ca+c2ab. 即a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)≥0.
答案：B
4.已知a,b,c都是正数，则≥__________.
思路解析：设a≥b≥c≥0，所以,由排序原理,知
,①
,②
①+②，得.
答案：
5.设a,b,c都是正数，求证：a+b+c≤.
证明：由题意不妨设a≥b≥c>0.
由不等式的性质，知a2≥b2≥c2,ab≥ac≥bc.
根据排序原理，得
a2bc+ab2c+abc2≤a3c+b3a+c3b.①
又由不等式的性质，知a3≥b3≥c3,且a≥b≥c.
再根据排序原理，得
a3c+b3a+c3b≤a4+b4+c4.②
由①②及不等式的传递性，得
a2bc+ab2c+abc2≤a4+b4+c4.
两边同除以abc得证不等式成立.
6.设a,b,c∈R+,求证：++≤.
证明：设a≥b≥c>0.
由不等式的单调性，知≥≥,而.
由不等式的性质，知a5≥b5≥c5.
根据排序原理，知
.
又由不等式的性质，知a2≥b2≥c2,.
由排序原理，得.
由不等式的传递性，知
++≤.
∴原不等式成立.
我综合我发展
7.设a,b,c为某三角形三边长，求证：a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)≤3abc.证明：不妨设a≥b≥c.易证a(b+c-a)≤b(c+a-b)≤c(a+b-c).
根据排序原理，得
a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)
≤a×b(c+a-b)+b×c(a+b-c)+c×a(b+c-a)≤3abc.
8.设x1≥x2≥…≥x n,y1≥y2≥…≥y n.求证：≤.
其中z1,z2,…,z n是y1,y2,…,y n的任意一个排列.
证明：要证
只需证.。