柯西不等式与排序不等式练习题

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2021年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.1二维形式的柯西不等式课后训练新人教A版选修

2021年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.1二维形式的柯西不等式课后训练新人教A版选修1．如果实数m，n，x，y满足m2＋n2＝a，x2＋y2＝b，其中a，b为常数，那么mx＋ny的最大值为( )．A． B．C． D．2．已知x，y∈R＋，且xy＝1，则的最小值为( )．A．4 B．2 C．1 D．3．设a＝(1,0，－2)，b＝(x，y，z)，若x2＋y2＋z2＝16，则a·b的最大值为__________．4．设a＝(－2,1,2)，|b|＝6，则a·b的最小值为__________，此时b＝__________.5．设a＋b＝1，则a2＋b2≥__________.6．已知a＞b＞c，求证：.7．设a，b，c＞0，且a cos2θ＋b sin2θ＜c.求证：.8．已知a1，a2，b1，b2为正实数，求证：(a1b1＋a2b2)≥(a1＋a2)2.已知θ为锐角，a，b∈R＋，求证：.参考答案1.答案：B解析：由柯西不等式，得(mx＋ny)2≤(m2＋n2)(x2＋y2)＝ab；当，时，.2.答案：A解析：222211⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦＝＋＋，当且仅当x＝y＝1时，等号成立．3.答案：解析：∵a＝(1,0，－2)，b＝(x，y，z)，∴a·b＝x－2z. 由柯西不等式，得[12＋02＋(－2)2](x2＋y2＋z2)≥(x＋0－2z)2.当且仅当存在实数，使b＝k a时等号成立．∴5×16≥(x－2z)2，∴|x－2z|≤.∴≤x－2z≤，即≤a ·b ≤.∴a ·b 的最大值为.4. 答案：－18 (4，－2，－4)解析：根据柯西不等式的向量形式，有|a ·b |≤|a ||b |， ∴|a ·b |≤18，当且仅当存在实数k ，使a ＝k b 时，等号成立． ∴－18≤a ·b ≤18.∴a ·b 的最小值为－18，此时b ＝－2a ＝(4，－2，－4)．5. 答案：解析：(12＋12)(a 2＋b 2)≥(a ×1＋b ×1)2＝1，∴a 2＋b 2≥，当且仅当a ＝b ＝时，等号成立．6. 证明：＝[(a －b )＋(b －c )]2222]＝24≥＝，即a －b ＝b －c 时，等号成立．∴原不等式成立．7. 证明：由柯西不等式及题设，得2cos sin )θθθθ2222))](cos sin )θθθθ≤＋＋＝a cos 2θ＋b sin 2θ＜c.sin sin θθθθ，即a ＝b 时，等号成立．∴.8. 证明：(a 1b 1＋a 2b 2)2222]＝2≥＝(a 1＋a 2)2，当且仅当，即b 1＝b 2时，等号成立．∴原不等式成立．9. 证明：设，n ＝(cos θ，sin θ)．则||cos sin cos sin a b a b θθθθ＋＝＋＝|m·n |≤|m ||n |，∴.。

高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式二一般形式的柯西不等式练习新人教A版选修4-5-新人教

二一般形式的柯西不等式,[学生用书P45])[A 基础达标]1．设a ，b ，c 为正数，且a ＋b ＋4c ＝1，则a ＋b ＋2c 的最大值为( ) A ．102B ．10C ．210D ．310解析：选A.由柯西不等式，得(a ＋b ＋2c )2≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222[(a )2＋(b )2＋(4c )2] ＝52×1＝52，所以a ＋b ＋2c ≤52＝102，当且仅当a ＝b ＝22c 时，等号成立．故选A. 2．已知a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，x 21＋x 22＋…＋x 2n ＝1，则a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1D ．不确定解析：选A.因为(a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n )2≤(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(x 21＋x 22＋…＋x 2n )＝1×1＝1，当且仅当a i ＝kx i (i ＝1，2，…，n )时，等号成立，所以a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值是1.故选A.3．已知x 2＋3y 2＋4z 2＝2，则|x ＋3y ＋4z |的最大值为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选B.由柯西不等式知(x 2＋3y 2＋4z 2)(1＋3＋4)≥(x ＋3y ＋4z )2，又x 2＋3y 2＋4z 2＝2所以2×8≥(x ＋3y ＋4z )2. 所以|x ＋3y ＋4z |≤4. 当且仅当x ＝3y 3＝2z 2，即x ＝y ＝z ＝12时取等号．4．设a ，b ，c ∈R ＋，a ＋b ＋c ＝6，则1a ＋4b ＋9c的最小值为( )A ．1B ．4C ．6D ．9解析：选C.由柯西不等式得(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＋9c＝[(a )2＋(b )2＋(c )2] ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1a 2＋⎝⎛⎭⎪⎫4b 2＋⎝⎛⎭⎪⎫9c 2 ≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·1a ＋b ·2b ＋c ·3c 2＝36.即6⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＋9c ≥36.所以1a ＋4b ＋9c≥6.故选C.5．已知实数x ，y ，z 满足2x －y －2z －6＝0，x 2＋y 2＋z 2≤4，则2x ＋y ＋z ＝( ) A ．13 B ．23 C ．53D ．2解析：选B.因为实数x ，y ，z 满足2x －y －2z －6＝0，所以2x －y －2z ＝6. 由柯西不等式可得(x 2＋y 2＋z 2)[22＋(－1)2＋(－2)2]≥(2x －y －2z )2＝36，所以x 2＋y 2＋z 2≥4.再根据x 2＋y 2＋z 2≤4，可得x 2＋y 2＋z 2＝4.故有x 2＝y －1＝z－2，所以x ＝－2y ，z ＝2y .再把x ＝－2y ，z ＝2y 代入2x －y －2z －6＝0，求得y ＝－23，则2x ＋y ＋z ＝－4y ＋y ＋2y ＝－y ＝23.6．已知a ，b ，c ∈R ＋，a ＋2b ＋3c ＝6，则a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为________．解析：因为a ＋2b ＋3c ＝6，所以1×a ＋1×2b ＋1×3c ＝6.所以(a 2＋4b 2＋9c 2)(12＋12＋12)≥(a ＋2b ＋3c )2＝36，即a 2＋4b 2＋9c 2≥12.当且仅当1a＝12b ＝13c ，即a ＝2，b ＝1，c ＝23时取等号．答案：127．已知2x ＋3y ＋z ＝8，则x 2＋y 2＋z 2取得最小值时，x ，y ，z 形成的点(x ，y ，z )＝________．解析：由柯西不等式(22＋32＋12)(x 2＋y 2＋z 2)≥(2x ＋3y ＋z )2，即x 2＋y 2＋z 2≥8214＝327.当且仅当x 2＝y3＝z 时等号成立．又2x ＋3y ＋z ＝8，解得：x ＝87，y ＝127，z ＝47，所求点为⎝ ⎛⎭⎪⎫87，127，47. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫87，127，47 8．已知x ，y ，z ∈R ＋，x ＋y ＋z ＝1，则1x ＋4y ＋9z的最小值为________．解析：利用柯西不等式，因为(x ＋y ＋z )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＋9z ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ·1x ＋y ·2y ＋z ·3z 2＝36，所以1x ＋4y ＋9z ≥36，当且仅当x ＝y 2＝z 3，即x ＝16，y ＝13，z ＝12时，等号成立．综上可知，1x ＋4y ＋9z的最小值为36.答案：369．设x ＋y ＋z ＝1，求H ＝2x 2＋3y 2＋z 2的最小值．解：因为x ＋y ＋z ＝12·2x ＋13·3y ＋1·z ，所以由柯西不等式得： (x ＋y ＋z )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12·2x ＋13·3y ＋1·z 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13＋1·(2x 2＋3y 2＋z 2)，即116·H ≥1，解得H ≥611，等号成立的条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝1.2x 12＝3y 13＝z1，解得x ＝ 311，y ＝211，z ＝611.此时，H ＝611. 综上所述，H 的最小值为611.10．已知|x ＋2y ＋3z |≥4(x ，y ，z ∈R )．(1)求x 2＋y 2＋z 2的最小值；(2)若|a ＋2|≤72(x 2＋y 2＋z 2)对满足条件的一切实数x ，y ，z 恒成立，某某数a 的取值X围．解：(1)因为(x ＋2y ＋3z )2≤(12＋22＋32)·(x 2＋y 2＋z 2)，且|x ＋2y ＋3z |≥4(x ，y ，z ∈R )，所以x 2＋y 2＋z 2≥87，当且仅当x 1＝y 2＝z 3时取等号．即x 2＋y 2＋z 2的最小值为87.(2)因为x 2＋y 2＋z 2的最小值为87，所以|a ＋2|≤72×87＝4，所以－4≤a ＋2≤4，解得－6≤a ≤2，即a 的取值X 围为[－6，2]．[B 能力提升]1．设a ，b ，c ，x ，y ，z 是正数，且a 2＋b 2＋c 2＝10，x 2＋y 2＋z 2＝40，ax ＋by ＋cz ＝20，则a ＋b ＋cx ＋y ＋z＝( )A ．14B ．13C ．12D ．34解析：选C.由柯西不等式得，(a 2＋b 2＋c 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 2＋14y 2＋14z 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12ax ＋12by ＋12cz 2，当且仅当a 12x ＝b 12y ＝c12z 时等号成立．因为a 2＋b 2＋c 2＝10，x 2＋y 2＋z 2＝40，ax ＋by ＋cz ＝20，所以等号成立．所以a 12x ＝b 12y ＝c12z . 所以a ＋b ＋c x ＋y ＋z ＝12.故选C.2．边长为a ，b ，c 的三角形ABC ，其面积为14，外接圆半径R 为1，若s ＝a ＋b ＋c ，t ＝1a ＋1b ＋1c，则s 与t 的大小关系是________．解析：由已知得12ab sin C ＝14，csin C ＝2R ＝2.所以abc ＝1，所以1a ＋1b ＋1c＝ab ＋bc ＋ca ，由柯西不等式得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c (ab ＋bc ＋ca )≥(b ＋c ＋a )2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥(a ＋b ＋c )2.即1a ＋1b ＋1c≥a ＋b ＋c .当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立．当a ＝b ＝c 时，三角形ABC 的面积为34，不满足题意，所以s <t . 答案：s <t3．设x 1、x 2、…、x n ∈R ＋且x 1＋x 2＋…＋x n ＝1，求证：x 211＋x 1＋x 221＋x 2＋…＋x 2n1＋x n ≥1n ＋1.证明：(n ＋1)(x 211＋x 1＋x 221＋x 2＋…＋x 2n1＋x n)＝(1＋x 1＋1＋x 2＋…＋1＋x n )(x 211＋x 1＋x 221＋x 2＋…＋x 2n1＋x n)＝[(1＋x 1)2＋(1＋x 2)2＋…＋(1＋x n )2]·[(x 11＋x 1)2＋(x 21＋x 2)2＋…＋(x n1＋x n)2]≥(1＋x 1·x 11＋x 1＋1＋x 2·x 21＋x 2＋…＋1＋x n ·x n1＋x n)2＝(x 1＋x 2＋…＋x n )2＝1，所以x 211＋x 1＋x 221＋x 2＋…＋x 2n1＋x n ≥1n ＋1.4．已知正数x ，y ，z 满足5x ＋4y ＋3z ＝10. (1)求证：25x 24y ＋3z ＋16y 23z ＋5x ＋9z 25x ＋4y ≥5.(2)求9x 2＋9y 2＋z 2的最小值．解：(1)证明：根据柯西不等式，得[(4y ＋3z )＋(3z ＋5x )＋(5x ＋4y )]·⎝ ⎛⎭⎪⎫25x 24y ＋3z ＋16y 23z ＋5x ＋9z 25x ＋4y ≥(5x ＋4y ＋3z )2，当且仅当4y ＋3z 5x ＝3z ＋5x 4y ＝5x ＋4y 3z 时，等号成立，因为5x ＋4y ＋3z ＝10，所以25x 24y ＋3z ＋16y 23z ＋5x ＋9z 25x ＋4y ≥10220＝5.(2)根据基本不等式，得9x 2＋9y 2＋z 2≥29x 2·9y 2＋z 2＝2·3x 2＋y 2＋z 2，当且仅当x 2＝y 2＋z 2时，等号成立．根据柯西不等式，得(x 2＋y 2＋z 2)(52＋42＋32)≥(5x ＋4y ＋3z )2＝100，即x 2＋y 2＋z 2≥2，当且仅当x 5＝y 4＝z 3＝15时，等号成立．综上，9x 2＋9y 2＋z 2≥2×32＝18.。

不等式选讲――柯西不等式与排序不等式(全)

不等式选讲――柯西不等式与排序不等式（全）例1 已知12,,n a a a ⋅⋅⋅都是正数，求证：21212111()()n na a a n a a a ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≥ 证1：()i a R i N +∈∈12n a a a ∴++⋅⋅⋅+≥，12111n a a a ++⋅⋅⋅+≥21212111()()n na a a n a a a ∴++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≥，当且仅当12n a a a ==⋅⋅⋅=时等号成立. 证2：构造两个数组：利用柯西不等式有22211`1([][]nn ni i i ===≤⋅∑∑即 21111(1)()()nn nii i i ia a===≤∑∑∑21212111()()n na a a n a a a ∴++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≥例2 设(1,2,,)i a R i n ∈=⋅⋅⋅，且22111()1nnii i i A a a n ==+<-∑∑，证明：122A a a <证明：由柯西不等式，有2222222212121211()[()](111)[()](1)(2)n ni n ni i i a a a a a a a n a a a ===++⋅⋅⋅+≤++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=-+∑∑221211(1)(2)1ni i i A a n a a a n =∴+<⋅-+-∑∑122A a a ∴<例3. 设12,,,,k a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅为各不相同的正整数，求证：对任何正整数n ，有2111nnk k k a k k==≥∑∑证明：22211()[nnn n k a k k a =≤⋅∑∑∑∑不妨设12k a a a <<⋅⋅⋅<，则k a k ≥，故11k a k≤ 1111nn k k k a k==∴≤∑∑2211111()()n n n k k k k a k k k ===∴≤∑∑∑，即2111nn kk k a k k ==≤∑∑例4.已知,0a b >，4422222(1)1(1)(1)a b f b a b a b+=+++++，求证：16f ≥ 证明：由题意，可得442222222222222(1)1(1)(1)(1)[(1)][(1)]a b a b f b a a b a b b a b b a++=+++++=+++++ 222222222(1)(1)[(1)][][]a b a b a b b a b a++=+++≥+令22(1)a b g b a+=+22222()](1)a b g b a ∴+=++≥++221()2()11()()24a b a b a b g a b a b a b a b++++++∴≥==+++≥+++即4f ≥例5.证明：22221212()n na a a a a a n n++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤证明：221212()(111)n n a a a a a a ++⋅⋅⋅+=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅222221212()(111)()n n a a a n a a a ≤++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+ 22221212()n n a a a a a a n n++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+∴≤若上述不等式中12,,,0n a a a ⋅⋅⋅>，两边开平方，得12n a a a n ++⋅⋅⋅+≤这就是著名的不等式：n 个正数的平方平均值不小于它们的算术平均值.例6 .求证：对于任意实数12,a a 和12,b b ，下面不等式恒成立证明：由柯西不等式，得： 2222212121122()()()a a b b a b a b ++≥+又 2222222212112)()(()b a a b b b =++++ 222222121211221122()()2()()()a a b b a b a b a b a b ≥+++++=+++两边开平方即得证. 例7 .证明：对于任意实数,,x y z ，不等式222222()()()()()()x y y z z x xyz x y y z z x +++≥+++成立.证明：由柯西不等式，得 222222()()()()x y y z x yy z y x z++≥+=+ 22222()()()y z z x z y x ++≥+，222222()()()z x x y x y z ++≥+2222222222222()()()()()()()x y y z z x xyz x y y z z x ∴+++≥+++ 222222,,0x y y z z x +++≥222222()()()()()()x y y z z x xyz x y y z z x ∴+++≥+++例8. 若u =,p q 是使u 有意义的实数，试确定u 的最大值.解：由柯西不等式，得u =1122(111)(23262)p q q p q ≤++-+-+-=当且仅当23262p q q p q -=-=-即2,2p q ==时等号成立.max u ∴=练习：1.已知a 1,a 2,a 3,…,a n ，b 1,b 2,…,b n 为正数，求证：2设,,,,21+∈R x x x n 求证：n nn x x x x x x x x x x x +++≥++++ 211232213.已知实数,,a b c ,d 满足3a b c d +++=， 22222365a b c d +++=，试求a 的最值.4.设a 、b 、c>0且acos2θ+bsin2θ<c ，求证c b a <+θθ22sin cos.5.设a ﹐b 为不相等的正数﹐试证：(a ＋b)(a 3＋b 3)＞(a 2＋b 2)2﹒6.设a ﹑b 均为正数，则(a ＋2b )(1a ＋2b)之最小值＝ .﹒ 7.(a 2＋b 2＋c 2)((21a )＋(21b)＋(21c ))最小值为 .8.设16)1z (9)1y (4x 222++++=1，求2x+y+z-16之最大值，最小值 . 9.设x ，y ，z ∈R ，若x 2+y 2+z 2=5，求x-y+2z 的最大值 .，且此时(x ，y ，z)= . 10.设x ，y ，z 均为正实数，且x+y+z=10，求z9y 1x 4++的最小值 .且此是(x ，y ，z)= . 11.x , y , z ∈R ，且x －2y ＋2z ＝5﹐求(x ＋5)2＋(y －1)2＋(z ＋3)2的最小值 . 12.设a 、b 为实数，求a 2+b 2+(2a-3b+4)2的最小值为 . 13.设x ，y ，z ∈R ，求222zy 2x z y x 2++-+的最大值 .14.设 a , b , c > 0，证明１）．a 2a b 2b c 2c ≥ a b+c b c+a c a+b . ２）．a a b b c c ≥ 3)(cb a abc ++.３）．ab c ca b bc a b a c a c b c b a c b a 333222222222++≤+++++≤++. ４）．333888111c b a c b a c b a ++≤++. 5). cb a b a ac c b ++++222222 ≥ abc.15.设 x 1 , x 2 , … , x n (n ≥ 2) 全是正整数，并有以下性质：x 1 + x 2 + … + x n = x 1x 2 … x n证明：1 < nx x x n+++...21 ≤ 2.16.设a 、b 、c 为正数且各不相等.求证：cb a ac c b b a ++>+++++922217.a 、b 为非负数，a +b =1，+∈R x x 21,求证：212121))((x x ax bx bx ax ≥++.18.若a >b >c 求证：ca cb b a -≥-+-411.19.+∈R c b a ,,求证：23≥+++++b a c a c b c b a .20. 设 a , b , c ≥ 0，證明 23≥+++++b a c a c b c b a .21.已知a 、b 、c ∈R +且a+b+c=1，求141414+++++c b a 的最大值.22.求)cos 11)(sin 11(a a y ++=的最小值)20(π<<a .23.△ABC 的三边长为a 、b 、c ，其外接圆半径为R ，求证：222222236)sin 1sin 1sin 1)((R CB A c b a ≥++++24.比较大小：1010⨯1111⨯1212⨯1313 与 1013⨯1112⨯1211⨯1310.。

高中数学第三章柯西不等式与排序不等式3.2一般形式的柯西不等式试题新人教A版选修4-5(2021年

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二一般形式的柯西不等式课后篇巩固探究A组1.已知a，b，c均大于0,A=,B=,则A,B的大小关系是()A。

A>B B。

A≥BC。

A<B D.A≤B解析因为(12+12+12）·(a2+b2+c2)≥（a+b+c）2,所以,当且仅当a=b=c时,等号成立。

又a，b,c均大于0，所以a+b+c>0,所以。

答案B2。

若x2+y2+z2=1,则x+y+z的最大值等于()A.2 B。

4C.D。

8解析由柯西不等式，可得［12+12+（)2］（x2+y2+z2)≥(x+y+z)2，即（x+y+z）2≤4,因此x+y+z≤2当且仅当x=y=，即x=,y=,z=时，等号成立,即x+y+z的最大值等于2.答案A3.已知+…+=1，+…+=1，则a1x1+a2x2+…+a n x n的最大值是（）A.1B.2C.3 D。

4解析∵(a1x1+a2x2+…+a n x n)2≤(+…+）×(+…+)=1×1=1，∴a1x1+a2x2+…+a n x n的最大值是1.答案A4。

设a,b,c均为正数且a+b+c=9，则的最小值为（)A.81 B。

高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式 3.3 排序不等式同步检测(含解析)新人教A版选修4-5(

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3。

3排序不等式同步检测一、选择题 1。

已知两组数，，其中,，,，，，，,,，将重新排列记为则的最大值和最小值分别是（ )A.132，6B.304,212C.22,6D.21，36 答案：B 解析：解答:因为112122112211b a b a b a c a c a c a b a b a b a n n n n n n n ++≥+++≥++-,所以的最大值为2374869101211304⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，最小值为2117108694123212⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，故选B分析：本题主要考查了排序不等式,解决问题的关键是根据排序不等式112122112211b a b a b a c a c a c a b a b a b a n n n n n n n ++≥+++≥++-分析计算即可.2. 若,,其中，都是正数,则A 与B 的大小关系为（ ) A 。

A ＞B B 。

A ＜B C. D.答案：C解析：解答：依序列的各项都是正数，不妨设,则，为序列的一个排列。

依排序不等式，得，即。

分析：本题主要考查了排序不等式，解决问题的关键是根据排序不等式112122112211b a b a b a c a c a c a b a b a b a n n n n n n n ++≥+++≥++-分析计算即可.3. 已知a ，b ,c ＞0,则的正负情况是( )A 。

2018_2019版高中数学第三章柯西不等式与排序不等式3.1二维形式的柯西不等式试题新人教A版选修

一二维形式的柯西不等式课后篇巩固探究1.若a2+b2=2,则a+b的最大值为()A.1B. 2C.2D.4解析由柯西不等式可得(a2+b2)(12+12)≥(a+b)2,即(a+b)2≤4,所以-2≤a+b≤2(当且仅当a=1,b=1或a=-1,b=-1时,等号成立),即a+b的最大值为2.答案C492.已知=2,x,y>0,则x+y的最小值是()푥+푦25255A. B. C. D.524249解析由푥+=2,푦[( 푥)2+( 푦)2][(可得x+y=222푥)+(23푦)]21231252(푥·푥+푦·푦)≥=(2+3)2=.223215当且仅当푥·푦=푦·,即x=5,y=时等号成立.푥2答案A3.已知3x+2y=1,则当x2+y2取最小值时,实数x,y的值为()3푥=13,푥=A.{13B.{2푦=푦=213,31311 푥 = 푥 = 6,C.{4D.{1푦 = 푦=1 4,1 61 1 1 1 푥 푦 解析因为 x 2+y 2= (x 2+y 2)(32+22)≥ (3x+2y )2= ,所以当 x 2+y 2有最小值 ,当且仅当3 = 时,131313132푥 = 푦 =等号成立,得{313,2 13.答案 A4.函数 y= 푥 -5+2 6 -푥的最大值是( ) A. 3B. 5C.3D.5解析根据柯西不等式,知 y=1× 푥 -5+2× 266 -푥 ≤12 + 22 ×( 푥 -5)2 +( 6 -푥)2 =5 6 -푥 푥 -5 ,当且仅当 =2 ,即 x=5时,等号成立. 答案 B1 5.已知 m 2+n 2= ,则 2m+2n 的最大值为( )43 6A.B.C. 6D.6221解析由柯西不等式可得(m 2+n 2)[(2)2+22]≥( 2m+2n )2,即 ×6≥( 2m+2n )2,则 2m+2n ≤46 6,故 2m+2n 的最大值为 .22答案 B 6.导学号 26394051若长方形 ABCD 是半径为 R 的圆的内接长方形,则长方形ABCD 周长的最大值为( )A.2RB.2 2RC.4RD.4 2R2解析如图,设圆内接长方形 ABCD 的长为 x ,则宽为 4푅2 - 푥2,于是 ABCD 的周长 l=2(x+4푅2 - 푥2 4푅2 - 푥2)=2(1×x+1×).11由柯西不等式得 l ≤2[x 2+( 4푅2- 푥2)2] (12+12 =2×2R×=4 R ,当且仅当 x ·1=2 )2224푅2 - 푥22·1,即 x=R 时,等号成立.此时 4푅2 - 푥2 = 4푅2 - ( 2푅)2 = 2R ,即四边形 ABCD 为正方形,故周长为最大的内接长方形是正方形,其周长为 4 2R. 答案 D7.若 3x+4y=2,则 x 2+y 2的最小值为 . 解析由柯西不等式(x 2+y 2)(32+42)≥(3x+4y )2,得 25(x 2+y 2)≥4,4푥푦25(当且仅当4时,等号成立) 所以x 2+y 2≥.3 =63푥 + 4푦 = 2, 푥 =25,解方程组{得{푥 푦3 = 4,푦 =825.684因此,当 x= ,y=时,x 2+y 2取得最小值,最小值为 .2525254答案25푏푑8.设a,b,c,d,m,n都是正实数,P= 푎푏+푐푑,Q= 푚푎+푛푐푚+,则P与Q的大小关系푛是.解析P= 푎푚×푏푚+푛푐×푑푛3≤ ( 푎푚)2 + ( 푛푐)2 ×( 2 푏 푚) + ( 2푑푛)푏 푑 푑 푏= 푎푚 + 푛푐=Q 当且仅当时,等号成立 ).푛(푎푚· 푛=푛푐· 푚 +푚答案 P ≤Q9.已知 a ,b ,m ,n 均为正数,且 a+b=1,mn=2,则(am+bn )(bm+an )的最小值为 . 解析由柯西不等式(a 2+b 2)(c 2+d 2)≥(ac+bd )2,可得(am+bn )(bm+an )≥( 푎푚· 푎푛 + 푏푚· 푏푛)2=mn (a+b )2=2,即(am+bn )(bm+an )的最小值为 2. 答案 210.函数 y= 푥 -4 + 25 -5푥的最大值为 . 解析∵y= 푥 -4 + 25 -5푥,∴y=1× 푥 -4 + 5 × 5 - 푥25≤ (1 + 5)(푥 -4 + 5 -푥)= 6(当且仅当,即 x= 时等号成立5 -푥 = 5· 푥 - 46).答案 611 11.已知 a ,b ∈R +,且 a+b=1,则2푎 + 的最小值是 .푏1 1 1 1푏(푏)解析因为 a ,b ∈R +,且 a+b=1,所以2푎 + =(a+b )· 2푎 + ,由柯西不等式得(a+b )1(2푎 +1푏)≥ ( 푎·1 2푎+ 푏·21 푏)= ( 222+ 1)= 3 푎푏2 +2,当且仅当,且 a+b=1,即 a=-푏=22푎1 1 31,b=2- 2时,取最小值 .2푎 + 2 + 2푏3答案2+212.已知a,b,c为正数,且满足a cos2θ+b sin2θ<c,求证푎cos2θ+푏sin2θ<푐.证明由柯西不等式得푎cos2θ+푏sin2θ4≤ ( 푎cos 휃)2 + ( 푏sin 휃)2· cos 2휃 + sin 2휃= ( 푎cos 휃)2 + ( 푏sin 휃)2 = 푎cos 2휃 + 푏sin 2휃 < 푐,故不等式成立.푎2푏213.设 a ,b ∈R +,且 a+b=2.求证2 -푎 +≥2.2 - 푏证明由柯西不等式,有푎2 [(2-a )+(2-b )](2 -푎 +푏22 -푏)=[( 2 -푎)2+(2 -푏)2][( 2푎2 -푎)+ ( 2푏2 -푏) ]≥( 2 -푎 × 푎 2 -푎+ 2 -푏 ×2푏2 -푏)=(a+b )2=4.푎2 则2 -푎 + 푏2 2 -푏 ≥ 4(2 -푎)+ (2 -푏)푏 2 -푎 푎 2 - 푏=2(当且仅当时,等号成立).=2 -푏2 - 푎故原不等式成立.1 114.已知 x 2+y 2=2,且|x|≠|y|,求 + 的最小值.(푥 + 푦)2(푥 -푦)2푢 + 푣 푢 - 푣解令 u=x+y ,v=x-y ,则 x=,y=.22∵x 2+y 2=2,∴(u+v )2+(u-v )2=8, ∴u 2+v 2=4.11由柯西不等式,得(푣2)(u 2+v 2)≥4,+푢21 1当且仅当u2=v2=2,即x=±2,y=0,或x=0,y=±2时, 的最小值是1.+(푥+푦)2(푥-푦)2515.导学号26394053求函数y=푥2-2푥+3+푥2-6푥+14的最小值.解y=(푥-1)2+2+(3-푥)2+5,根据柯西不等式,有y2=(x-1)2+2+(3-x)2+5+2 [(푥-1)2+2][(3-푥)2+5]≥(x-1)2+2+(3-x)2+5+2[(x-1)(3-x)+10]=[(x-1)+(3-x)]2+( 2+5)2=11+2 10.32+5当且仅当5(x-1)=2(3-x),即x=时,等号成立.2+5此时y min=11+210=( 10+1)2=10+1.6。

一般形式的柯西不等式及排序不等式

巩固练习一、
[ 例 1] 1 1 设 x1，x2，„，xn 都是正数，求证：＋＋„ x1 x2
1 n2 ＋x ≥ . n x1＋x2＋„＋xn
已知 a，b，c，d 为不全相等的正数，求证： 1 1 1 1 1 1 1 1 ＋＋＋＞＋＋＋ . a2 b2 c2 d2 ab bc cd da
[例 2]
π aA＋bB＋cC 在△ABC 中，试证： ≤ 3 a＋b＋c
[证明]
1 1 ∵a≥b>0，于是a≤b，
1 1 又 c>0，从而 ≥ ， bc ca 1 1 1 1 1 同理ca≥ab，从而bc≥ca≥ab. 又由于顺序和不小于乱序和，故可得 a5 b5 c5 b5 c5 a5 ＋＋ ≥ ＋＋ b3c3 c3a3 a3b3 b3c3 c3a3 a3b3 b2 c2 a2 1 1 1 ＝ 3＋ 3＋ 3(∵a2≥b2≥c2， 3≥ 3≥ 3) c a b c b a c2 a2 b2 1 1 1 ≥ 3＋ 3＋ 3＝＋＋ c a b c a b 1 1 1 ＝＋＋ . a b c 所以原不等式成立．
和 S4=a1b2+a2b3+a3b1=195
备注乱序和
S5=a1b3+a2b1+a3b2=185 S6=a1b3+a2b2+a3b1=180 (最小值)
乱序和
反序和
答案:220 180
知识总结点拨
1.对排序不等式的证明的理解对排序不等式的证明中,用到了“探究——猜想——检验—— 证明”的思维方法,这是探索新知识、新问题常用到的基本方法,对于数组涉及的“排序”及“乘积”的问题,又使用了 “一一搭配”这样的描述,这实质上也是使用最接近生活常识

【人教版】高中数学选修4-5第3讲柯西不等式与排序不等式课堂练习

所
以
1 a3＋b3＋abc
＋
1 b3＋c3＋abc
＋
1 c3＋a3＋abc
≤
1 ab（a＋b）＋abc
＋
bc（b＋1c）＋abc＋ac（a＋1c）＋abc＝a＋1b＋ca1b＋b1c＋c1a＝a＋1b＋c·c＋aab＋c b
＝a1bc.
故原不等式得证．
B 级能力提升
1．若 0＜a1＜a2，0＜b1＜b2，且 a1＋a2＝b1＋b2＝1，则下列代数式中值最大的是( )
＋c c≤3.
所以 a b＋b c＋c a≤3. 答案：C 5．已知 a，b，c∈(0，＋∞)，则 a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)的正负情况是( )
A．大于零
B．大于等于零
C．小于零
D．小于等于零
解析：设 a≥b≥c＞0，所以 a3≥b3≥c3，
根据排序原理，得 a3·a＋b3·b＋c3·c≥a3b＋b3c＋c3a. 又知 ab≥ac≥bc，a2≥b2≥c2，所以 a3b＋b3c＋c3a≥a2bc＋b2ca＋c2ab. 所以 a4＋b4＋c4≥a2bc＋b2ca＋c2ab，即 a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)≥0. 答案：B 二、填空题 6．设 a1，a2，…，an 为实数，b1，b2，…，bn 是 a1，a2，…，an 的任一排列，则乘积 a1b1＋a2b2＋…＋anbn 不小于________．答案：a1an＋a2an－1＋…＋ana1 7．已知 a，b，c 都是正数，则b＋a c＋c＋b a＋a＋c b≥________．解析：设 a≥b≥c＞0，所以b＋1 c≥c＋1 a≥a＋1 b，由排序原理，知b＋a c＋c＋b a＋a＋c b≥b＋b c＋c＋c a＋b＋a a，① b＋a c＋c＋b a＋a＋c b≥b＋c c＋c＋a a＋a＋c b，② ①＋②得b＋a c＋c＋b a＋a＋c b≥32. 答案：23 8．设 a，b，c＞0，则bac＋cba＋acb________a＋b＋c. 解析：不妨设 a≥b≥c＞0，则1a≤1b≤1c，bc≤ac≤ab. 由顺序和≥乱序和，得 acb＋abc＋bac≥b1·bc＋1c·ac＋1a·ab＝c＋a＋b，

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柯西不等式练习题
1. 设a 、b 、c 为正数，求()4936++a b c a b c ⎛⎫
++
⎪⎝
⎭的最小值。

2. 设,,x y z R ∈且2225x y z ++=，则23x y z ++的最大值为，此时x= y= z=
3. 设,,x y z R ∈且2
2
2
4x y z ++=，则22x y z -+的最大值为，最小值
4. 设,,x y z R ∈且226x y z --=，则222x y z ++的最小值为，此时x= y= z=
5. 设,,x y z R ∈且233x y z -+=，则()2
221x y z +-+的最小值为，此时y= 6. 设,,x y z R ∈且2280x y z +++=，则()()()222
123x y z -+++-的最小值？此时x 、y 、z 的取值？
7.已知,x y R ∈，22
36x y +≤，求2x y +的最值
8 设23529x y z ++=，求函数y
9. 若,,,a b c d R +
∈且满足，则最大值为
证明题：
1. 设a 、b 、c 为正数且各不相等，求证：2229
a b b c c a a b c
++>
+++++
2. a 、b 为非负数，a+b=1，12,x x R +
∈，求证：()()121212ax bx bx ax x x ++≥
3. 若a b c >>，求证：114
a b b c a c
+>
---
4. 若,,a b c R +
∈，求证：32
a b c b c c a a b ++≥+++
5. 若,,a b c R +
∈，求证：222
a b c a b c b c a
++≥++
排序不等式练习题
1.设121212,,......0, ,,......0, ...1n n n x x x a a a x x x ≥≥+++=，则222
1122...n n a x a x a x ++的最小值为
2.设123,,x x x 是不同的自然数，则3
12149
x x x S =
++的最小值为 3.设12,,......n a a a 为实数，求证：
222112212......n n n a c a c a c a a a ++≤++其中12,,......n c c c 是12,,......n a a a 的任一排列。

4.已知,,a b c 为正数，用排序不等式证明：()
()()()3332222a b c a b c b a c c a b ++≥+++++
5.设,,a b c 为正数，求证：32
a b c b c c a a b ++≥+++（本题用均值、柯西、排序不等式都能证明）
6.设12,,......n a a a 为1,2,3...,n 的一个排列，1
12
23
121 23
n n
a a a n n a a a --+++
≤+++
求证：
7.设12,,......n a a a 为正数，求证：112
1223
1
+n n
n n a a a a a a a a a a a -+++
+≥++
8.设12,,......n a a a 是n 个互不相等的正整数，32122
2
121
23
23n
a a a a n n +++
≤++++
求证：
9.设12,,......n c c c 为正数组12,,......n a a a 的某一排列，证明：12
12
n
n
a a a n c c c +++
≥
10. 设12,,......n a a a 为正数，分别用柯西不等式、排序不等式证明：
1
2222
121223
1
+n
n
n n
a a a a a a a a a a a -+++
+
≥++。