圆复习—圆的有关概念和性质(公开课)
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初中数学《圆的有关概念和性质》复习课优质课件
形的外接 叫做三角形的外心．
圆
性质：三角形的外心到三角形的三个
顶点的距离相等．
核心点拨
考点三：三角形的外接圆及圆内接四边形
圆内接四边形：如果一个四边形的
6．圆内
接四边形
的性质定
理
顶点都在同一个圆上
____________________，这个四边形
四边
叫做圆内接四边形，这个圆叫做_____
形的外接圆
)
思路分析
首先作出相关的辅助线，利用垂径定理和勾股定理求出各线段之间
的关系，得到一些特殊的三角形，再利用圆周角定理推出相关角的
度数即可．
变式训练
2－1
如 图 ， 在 ⊙O 中 ， 弦 AB ， CD 相 交 于 点 P. 若 ∠A ＝ 48° ，
∠APD＝80°，则∠B的度数为(
A
)
A．32°
B．42°
质．有时还需要添加
论
或等弧进行证明．
辅助线，构成直径所
推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是
对的圆周角，以便转
弦
______，90°的圆周角所对的____是直
直角
化为直角三角形的问
径．
题去研究．
考点三：三角形的外接圆及圆内接四边形
定义：经过三角形各顶点的圆叫做三
5．三角 角形的外接圆．三角形外接圆的圆心
对的____相等，所对的____相等．
(1)在同圆或等圆中，
弧
弦
定理2：在同圆或等圆中，________、____、
如果弧不相等，那
圆心角
弧
弦
么弧所对的弦、圆
____中如果有一组量相等，那么它们所对应
的其余各组量都分别相等．
圆
性质：三角形的外心到三角形的三个
顶点的距离相等．
核心点拨
考点三：三角形的外接圆及圆内接四边形
圆内接四边形：如果一个四边形的
6．圆内
接四边形
的性质定
理
顶点都在同一个圆上
____________________，这个四边形
四边
叫做圆内接四边形，这个圆叫做_____
形的外接圆
)
思路分析
首先作出相关的辅助线，利用垂径定理和勾股定理求出各线段之间
的关系，得到一些特殊的三角形，再利用圆周角定理推出相关角的
度数即可．
变式训练
2－1
如 图 ， 在 ⊙O 中 ， 弦 AB ， CD 相 交 于 点 P. 若 ∠A ＝ 48° ，
∠APD＝80°，则∠B的度数为(
A
)
A．32°
B．42°
质．有时还需要添加
论
或等弧进行证明．
辅助线，构成直径所
推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是
对的圆周角，以便转
弦
______，90°的圆周角所对的____是直
直角
化为直角三角形的问
径．
题去研究．
考点三：三角形的外接圆及圆内接四边形
定义：经过三角形各顶点的圆叫做三
5．三角 角形的外接圆．三角形外接圆的圆心
对的____相等，所对的____相等．
(1)在同圆或等圆中，
弧
弦
定理2：在同圆或等圆中，________、____、
如果弧不相等，那
圆心角
弧
弦
么弧所对的弦、圆
____中如果有一组量相等，那么它们所对应
的其余各组量都分别相等．
圆的有关概念及性质 课件
feixuejiaoyu
4. 圆周角、圆周角定理及其推论
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角
叫做圆周角. （2）①圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心 角的一半. ②推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等. ③推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周 角所对的弦是直径. ④推论3：圆内接四边形的对角互补.
feixuejiaoyu
中考考点精讲精练
考点1 垂径定理和弧、弦、圆心角的关系
考点精讲
【例1】（2014佛山）如图1-5-1-1，⊙O的 直径为10 cm，弦AB=8 cm，P是弦AB上的一 个动点，求OP的长度范围. 思路点拨：过点O作OE⊥AB于点E，连接OB，
由垂径定理可知AE=BE=
AB，再根据勾股
考点演练 3. 如图1-5-1-5，AB是⊙O的直径， 34°，则∠AEO的度数是
A. 51° B. 56° C. 68°
∠COD= （ A ） D. 78°
4. 一条排水管的截面如图1-5-1-6所示，已知该排水管的半 径OA=10，水面宽AB=16，则排水管内水的最大深度CD的长为 （ D ） A. 8 B. 6 C. 5
（ C ） D. 120°
feixuejiaoyu
考点演练 4. 如图1-5-1-11，已知点A，B，C均在⊙O上，若∠AOB= 80°，则∠ACB等于 （ D ）
A. 80° B. 70° C. 60° D. 40°
5. 如图1-5-1-12，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，∠ABD= 53°，则∠BCD为 A. 37° B. 47° C. 45° （ A ） D. 53° feixuejiaoyu
2. （2015深圳）如图1-5-1-9，AB为⊙O直径，已知∠DCB= 20°，则∠DBA为 A. 50° B. 20° C. 60° （ D ） D. 70°
4. 圆周角、圆周角定理及其推论
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角
叫做圆周角. （2）①圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心 角的一半. ②推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等. ③推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周 角所对的弦是直径. ④推论3：圆内接四边形的对角互补.
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中考考点精讲精练
考点1 垂径定理和弧、弦、圆心角的关系
考点精讲
【例1】（2014佛山）如图1-5-1-1，⊙O的 直径为10 cm，弦AB=8 cm，P是弦AB上的一 个动点，求OP的长度范围. 思路点拨：过点O作OE⊥AB于点E，连接OB，
由垂径定理可知AE=BE=
AB，再根据勾股
考点演练 3. 如图1-5-1-5，AB是⊙O的直径， 34°，则∠AEO的度数是
A. 51° B. 56° C. 68°
∠COD= （ A ） D. 78°
4. 一条排水管的截面如图1-5-1-6所示，已知该排水管的半 径OA=10，水面宽AB=16，则排水管内水的最大深度CD的长为 （ D ） A. 8 B. 6 C. 5
（ C ） D. 120°
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考点演练 4. 如图1-5-1-11，已知点A，B，C均在⊙O上，若∠AOB= 80°，则∠ACB等于 （ D ）
A. 80° B. 70° C. 60° D. 40°
5. 如图1-5-1-12，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，∠ABD= 53°，则∠BCD为 A. 37° B. 47° C. 45° （ A ） D. 53° feixuejiaoyu
2. （2015深圳）如图1-5-1-9，AB为⊙O直径，已知∠DCB= 20°，则∠DBA为 A. 50° B. 20° C. 60° （ D ） D. 70°
中考数学总复习 第六单元 圆 第24课时 圆的有关概念及性质课件
2
方程组,只要已知其中任意两个量即可求出其余两个量.
图24-6
2021/12/9
第十五页，共三十页。
r,a,d,h 的一个
高频考向探究
明考向
1.[2012·河北 5 题] 如图 24-7,CD 是☉O 的直径,AB 是弦(不是直径),AB⊥CD 于点 E,则下列结论正确的是
( D )
A.AE>BE
寸,AB=10 寸,求圆的直径(1 尺=10 寸).”根据题意直径长为 (
A.10 寸
B.20 寸
C.13 寸
D.26 寸
)
图24-8
2021/12/9
第十七页，共三十页。
高频考向探究
[答案]D
[解析] 连接 OD,OA,
∵CD 垂直平分弦 AB,CD=1 寸,AB=10 寸,
∴AD=5 寸,在 Rt△ OAD 中,OA2=OD2+AD2,
直角三角形解题.
2021/12/9
第二十页，共三十页。
高频考向探究
明考向
1.[2011·河北 16 题] 如图 24-11,点 O 为优弧 ACB 所在圆的圆心,∠AOC=108°,点 D 在 AB 延长线上,BD=BC,
则∠D=
27°
.
图 24-11
2021/12/9
第二十一页，共三十页。
高频考向探究
即 OA2=(OA-1)2+52,解得:OA=13,
故圆的直径为 26 寸,故选 D.
2021/12/9
第十八页，共三十页。
高频考向探究
探究(tànjiū)二
圆心角、弧、弦之间的关系
例 2 [2017·宜昌] 如图 24-9,四边形 ABCD 内接于☉O,AC 平分∠BAD,则下列结论正确的是 (
方程组,只要已知其中任意两个量即可求出其余两个量.
图24-6
2021/12/9
第十五页，共三十页。
r,a,d,h 的一个
高频考向探究
明考向
1.[2012·河北 5 题] 如图 24-7,CD 是☉O 的直径,AB 是弦(不是直径),AB⊥CD 于点 E,则下列结论正确的是
( D )
A.AE>BE
寸,AB=10 寸,求圆的直径(1 尺=10 寸).”根据题意直径长为 (
A.10 寸
B.20 寸
C.13 寸
D.26 寸
)
图24-8
2021/12/9
第十七页，共三十页。
高频考向探究
[答案]D
[解析] 连接 OD,OA,
∵CD 垂直平分弦 AB,CD=1 寸,AB=10 寸,
∴AD=5 寸,在 Rt△ OAD 中,OA2=OD2+AD2,
直角三角形解题.
2021/12/9
第二十页，共三十页。
高频考向探究
明考向
1.[2011·河北 16 题] 如图 24-11,点 O 为优弧 ACB 所在圆的圆心,∠AOC=108°,点 D 在 AB 延长线上,BD=BC,
则∠D=
27°
.
图 24-11
2021/12/9
第二十一页，共三十页。
高频考向探究
即 OA2=(OA-1)2+52,解得:OA=13,
故圆的直径为 26 寸,故选 D.
2021/12/9
第十八页，共三十页。
高频考向探究
探究(tànjiū)二
圆心角、弧、弦之间的关系
例 2 [2017·宜昌] 如图 24-9,四边形 ABCD 内接于☉O,AC 平分∠BAD,则下列结论正确的是 (
第22讲 圆的有关概念和性质第二课时 九年级中考数学一轮复习课件(共13张PPT)
第22讲 圆的有关概念与性质第二课时
九年级数学组 主备人：凌云
复习目标（1分钟）
1.复习多边形与圆。 2.理解并掌握垂径定理及其逆定理；
3.能用垂径定理及其逆定理进行证明及计算 相关问题.
自学指导1: （1分钟）
1.四边形ABCD的的四__个__顶__点__都在⊙O上，这样的四边形
叫做_圆__内__接__四__边__形____；
解得r=12 cm. ∴这个圆形截面的半径为12 cm.
板书设计：
1.垂径定理： 垂直于弦的直径平分这条弦，
并且平分弦所对的两条弧. 2.垂径定理的逆定理：
C
A M└
B
●O
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，
并且平分弦所对的两条弧.
3.垂径定理的应用：
方法：过圆心作弦的垂线段，
A
连结半径，构造直角三角形
径垂直平分弦，并且平分弦所
对的另一条弧
∵CD 是⊙O 的直径， CD⊥AB 于 M，
︵ ∴AM＝MB，AD ＝ ︵︵︵ BD ，AC ＝BC . ∵CD 是⊙O 的直径， AM＝MB，
︵ ∴CD⊥AB 于 M，AD ＝ ︵︵︵ BD ，AC ＝BC
学生自学，教师巡视(4分钟)
自学检测2：（7分钟） 例4 如图11，AB为⊙O的直径，弦
40°，则∠A的度数为
(B )
A．90° B．100° C．110° D．80°
训练 6. 四边形ABCD内接于⊙O，已 知∠ADC＝135°，则∠AOC的大小是
(A )
A．90° B．100°C．60° D．40°
7．如图10，四边形ABCD内接于⊙O，
点E在BC的延长线上，若∠BOD＝120°，
D
九年级数学组 主备人：凌云
复习目标（1分钟）
1.复习多边形与圆。 2.理解并掌握垂径定理及其逆定理；
3.能用垂径定理及其逆定理进行证明及计算 相关问题.
自学指导1: （1分钟）
1.四边形ABCD的的四__个__顶__点__都在⊙O上，这样的四边形
叫做_圆__内__接__四__边__形____；
解得r=12 cm. ∴这个圆形截面的半径为12 cm.
板书设计：
1.垂径定理： 垂直于弦的直径平分这条弦，
并且平分弦所对的两条弧. 2.垂径定理的逆定理：
C
A M└
B
●O
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，
并且平分弦所对的两条弧.
3.垂径定理的应用：
方法：过圆心作弦的垂线段，
A
连结半径，构造直角三角形
径垂直平分弦，并且平分弦所
对的另一条弧
∵CD 是⊙O 的直径， CD⊥AB 于 M，
︵ ∴AM＝MB，AD ＝ ︵︵︵ BD ，AC ＝BC . ∵CD 是⊙O 的直径， AM＝MB，
︵ ∴CD⊥AB 于 M，AD ＝ ︵︵︵ BD ，AC ＝BC
学生自学，教师巡视(4分钟)
自学检测2：（7分钟） 例4 如图11，AB为⊙O的直径，弦
40°，则∠A的度数为
(B )
A．90° B．100° C．110° D．80°
训练 6. 四边形ABCD内接于⊙O，已 知∠ADC＝135°，则∠AOC的大小是
(A )
A．90° B．100°C．60° D．40°
7．如图10，四边形ABCD内接于⊙O，
点E在BC的延长线上，若∠BOD＝120°，
D
2024年中考数学一轮复习考点精讲课件—圆的相关概念及性质
3）圆周角定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所
对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角.
考点二 圆的性质
题型01 由垂径定理及推论判断正误
【例1】（2023·浙江·模拟预测）如图，是⊙ 是直径，是弦且不是直径， ⊥ ，则下列结论不一定正
【详解】解：如图，连接，
∵线段是⊙ 的直径， ⊥ 于点E， = 16，
1
1
∴ = = 2 = 2 × 16 = 8，
∴在Rt △ 中，可有 = 2 + 2 = 62 + 82 = 10，
∴⊙ 半径是10．
故选：D．
考点二 圆的性质
题型03 根据垂径定理与全等三角形综合求解
直径）（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧，若已知五个条件中的两个，那么可推出其中三个，简
称“知二得三”，解题过程中应灵活运用该定理.
常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造Rt △，用勾股，求长度；
2）有弦中点，连中点和圆心，得垂直平分.
考点二 圆的性质
3. 弧、弦、圆心角的关系
即的最小值是8．故选：C．
考点二 圆的性质
1. 圆的对称性
内容
补充
圆的轴对称 经过圆心任意画一条直线，并沿此直线圆对折,直线两旁的部分能够 ①圆的旋转不变性是其他中心对称图形所
性
完全重合，因此圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的 没有的性质.
对称轴，圆有无数条对称轴.
圆的中心对 将圆绕圆心旋转180°能与自身重合，因此它是中心对称图形，它
①圆心，它确定圆的位置.
②半径，它确定圆的大小.
的点组成的图形.
对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角.
考点二 圆的性质
题型01 由垂径定理及推论判断正误
【例1】（2023·浙江·模拟预测）如图，是⊙ 是直径，是弦且不是直径， ⊥ ，则下列结论不一定正
【详解】解：如图，连接，
∵线段是⊙ 的直径， ⊥ 于点E， = 16，
1
1
∴ = = 2 = 2 × 16 = 8，
∴在Rt △ 中，可有 = 2 + 2 = 62 + 82 = 10，
∴⊙ 半径是10．
故选：D．
考点二 圆的性质
题型03 根据垂径定理与全等三角形综合求解
直径）（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧，若已知五个条件中的两个，那么可推出其中三个，简
称“知二得三”，解题过程中应灵活运用该定理.
常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造Rt △，用勾股，求长度；
2）有弦中点，连中点和圆心，得垂直平分.
考点二 圆的性质
3. 弧、弦、圆心角的关系
即的最小值是8．故选：C．
考点二 圆的性质
1. 圆的对称性
内容
补充
圆的轴对称 经过圆心任意画一条直线，并沿此直线圆对折,直线两旁的部分能够 ①圆的旋转不变性是其他中心对称图形所
性
完全重合，因此圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的 没有的性质.
对称轴，圆有无数条对称轴.
圆的中心对 将圆绕圆心旋转180°能与自身重合，因此它是中心对称图形，它
①圆心，它确定圆的位置.
②半径，它确定圆的大小.
的点组成的图形.
圆的基本性质复习课教案(市公开课)
圆的基本性质复习课教案（市公开课）第一章：圆的定义与性质1.1 圆的定义：平面上一动点以一定点为中心，一定长为距离运动一周的轨迹称为圆。
1.2 圆心：圆的中心点称为圆心。
1.3 半径：从圆心到圆上任意一点的线段称为半径。
1.4 直径：通过圆心，并且两端都在圆上的线段称为直径。
1.5 圆的性质：（1）圆是对称图形，圆心是对称中心。
（2）圆上任意一点到圆心的距离相等，即半径相等。
（3）直径是半径的两倍。
第二章：圆的周长与面积2.1 圆的周长：圆的周长称为圆周率，用符号π表示。
2.2 圆的面积：圆的面积等于圆周率乘以半径的平方。
2.3 圆周率π的值：π约等于3.14159。
第三章：圆的方程3.1 圆的标准方程：圆的方程为(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径。
3.2 圆的一般方程：圆的方程也可以表示为x²+y²+Dx+Ey+F=0，其中D、E、F为常数。
第四章：圆的弧与弦4.1 弧：圆上两点间的部分称为弧。
4.2 弦：圆上任意两点间的线段称为弦。
4.3 直径所对的圆周角是直角。
4.4 圆心角与所对弧的关系：圆心角等于所对弧的两倍。
第五章：圆的相交与切线5.1 圆与圆的相交：两个圆的边界相交称为圆与圆的相交。
5.2 圆与圆的切线：与圆相切的直线称为圆的切线。
5.3 切线的性质：切线与半径垂直，切点处的切线斜率等于半径的斜率的负倒数。
第六章：圆的相切与内切6.1 圆的相切：两个圆仅有一个公共点时，称为相切。
6.2 内切：一个圆内含于另一个圆时，称为内切。
6.3 相切关系的应用：相切圆的半径之和等于两圆心距离。
第七章：圆的方程应用7.1 圆的方程求解：通过给定的条件，求解圆的方程中的未知数。
7.2 圆的方程应用实例：求解圆与直线、圆与圆的交点坐标。
第八章：圆的弧长与角度8.1 弧长：圆周上的一段弧的长度称为弧长。
8.2 圆心角与弧长的关系：圆心角的大小等于所对弧的长度与半径的比值。
圆的有关概念及性质复习课件
可推出
①∠AOB=∠A′O′B′
⌒⌒
②AB=A′B′ ④ OD=O′D′
4、圆周角定理及推论
D
C
C
B
E
●O A
●O
BA
●O
B
A
C
定理:一条弧所对的圆周角等于这弧所对的
圆心角的一半.
推论: 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆 周角相等.
90°的圆周角所对的弦是 直径 .
直径所对的圆周角是 直角 .
三、【基本能力练习】
B． O．
．
C
B
．
O C
三角形的外心就是三角形各边垂直平分线的交点. 三角形的内心就是三角形各角平分线的交点.
二. 圆的基本性质
圆的对称性: (1)圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直 线都是它的对称轴.圆有无数条对称轴. (2)圆是中心对称图形,并且绕圆心旋转 任何一个角度都能与自身重合,即圆具 有旋转不变性.
．
1、垂径定理
垂径定理 ： 垂直于弦的直径平分弦,并且
平分这条弦所对的两条弧. C
A
B
M└
若 ① CD是直径
●O
② CD⊥AB
可推得
③AM=BM,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
D
重视：模型“垂径定理直角三角形”
2、垂径定理的逆定理
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
∠BOD=100°， 则∠DAB的度数为（ ） A．50°B．80° C．100°D．130°
五、【强化训练 】
5.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，点E在 CD的延长线上，
如果∠BOD=120°，那么∠BCE等于（ ）
人教版初中数学总复习第六章圆第20课时圆的有关概念及性质课件
角形,外接圆的圆心叫做三角形的外心.外心是三角形三边垂直平分线的交
点.锐角三角形的外心在三角形的内部;直角三角形的外心是斜边的中点;
钝角三角形的外心在三角形的外部.
3.圆内接多边形
如果一个多边形的所有顶点都在一个圆上,那么这个多边形叫做圆内接多
边形,这个圆叫做多边形的外接圆.圆内接四边形的对角互补.
第20课时 圆的有关概念及性质
基础自主导学
考点一 圆的有关概念及其对称性
1.圆的定义
(1)圆是平面内到一定点的距离等于定长的所有点组成的图形,这个定点叫
做圆心,定长叫做半径;
(2)平面内一条线段绕着它一个固定端点旋转一周,另一个端点所形成的图
形叫做圆,固定的端点叫做圆心,这条线段叫做半径.
2.弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧;弧用符号“ ”表示.圆的任意
答案:A
)
命题点2
圆心(周)角、弧、弦之间的关系
【例2】 如图,已知A,B,C,D是☉O上的四个点,AB=BC,BD交AC于点E,连接
CD,AD.
(1)求证:DB平分∠ADC;
(2)若BE=3,ED=6,求AB的长.
(1)证明:∵AB=BC,∴ = .
∴∠ADB=∠BDC,∴DB平分∠ADC.
1.定理
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等.
2.推论
在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦
相等;在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对
的优弧和劣弧分别相等.
考点三 垂径定理及推论
1.垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.
周角.
2.圆周角定理及推论
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A F O
B
D
C
4.垂径定理:
垂直于弦的直径平分这条弦,并且 平分弦所对的两条弧.
C
．
A P D
∵CD是圆O的直 径,CD⊥AB ∴AP=BP, AD = BD B AC = BC
︵ ︵
︵ ︵
1、如图,已知⊙O的半径OA长 为5,弦AB的长8,OC⊥AB于C, 则OC的长为 _______. 3
A D
● ●
O
┓
┗ F
3 45 r 1. 2
2、已知:如图,△ABC的面积 S=4cm2,周长等于10cm. • 求内切圆⊙O的半径r.
B A
●
E
C
D
O
┓
F
4 r . 5
B
E
C
A 2：如图，圆O的弦AB＝8 ㎝ ， DC＝2㎝，直径CE⊥AB于D， 求半径OC的长。
A
O
弦心距
半径
C 半弦长 B
E
O
D B
C
3、如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，
PA＝AB＝2，PO＝5，求⊙O的半径。
关于弦的问题，常常需 B 要过圆心作弦的垂线段， 这是一条非常重要的辅 助线。 圆心到弦的距离、半径、 弦长构成直角三角形， 便将问题转化为直角三 角形的问题。
设a、b、c分别为ABC中A、B、C的对边，面积为 S， s 1 则内切圆半径（ 1 ）r ，其中p （a b c）； p 2 1 （2）C 90，则r （a b c） 2
r
r
记住：在具体计算时往往用到的是面
积法和方程思想
• 1、已知:如图,⊙O是Rt△ABC的 内切圆,∠C是直 角,∠AC=3,BC=4. • 求⊙O的半径r.
第七章《圆》总复习(1)
圆的基本概念与性质
本章知识结构图
圆的基本性质
圆的对称性
弧、弦圆心角之间的关系 同弧上的圆周角与圆心角的关系
点和圆的位置关系 三角形的外接圆 切线
与圆有关的位置关系
直线和圆的位置关系
三角形内切圆
圆
正多边形和圆
圆和圆的位置关系
等分圆
弧长 有关圆的计算 扇形的面积 圆锥的侧面积和全面积
一.圆的基本概念:
1.圆的定义:到定点的距离等于定长的点的 集合叫做圆. 2.有关概念: (1)弦、直径(圆中最长的弦)
(2)弧、优弧、劣弧、等弧
． O
(3)弦心距
二. 圆的基本性质
1.圆的对称性: (1)圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直 线都是它的对称轴.圆有无数条对称轴. (2)圆是中心对称图形,并且绕圆心旋转 任何一个角度都能与自身重合,即圆具 有旋转不变性.
C ∴AB=CD
A
3.圆周角:
定义:顶点在圆周上，两边和圆相交的 角，叫做圆周角. 性质:(1)在同一个圆中,同弧所对的圆周 角等于它所对的圆心角的一半.
A C O
∠BAC= 1 ∠BOC
2
B
圆周角的性质(2)
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的所有的 圆周角相等.相等的圆周角所对的弧相等.
D E
∵∠ADB与∠AEB 、∠ACB C 是同弧所对的圆周角 ∴∠ADB=∠AEB =∠ACB
．
3.同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间的关系:
(1)在同圆或等圆中,如果圆心角相等,那么它 所对的弧相等,所对的弦相等. (2)在圆中,如果弧相等,那么它所对的圆心角 相等,所对的弦相等. (3)在一个圆中,如果弦相等,那么它所对的弧 相等,所对的圆心角相等.
D ∵ ∠COD =∠AOB O
∴
B
︵ ︵ AB = C角形的外接圆与内切圆:
A．
B． O A
．
． C
． O
B C
三角形的外心就是三角形各边垂直平分线的交点. 三角形的内心就是三角形各角平分线的交点.
不在同一直线上的三点确定一个圆.
特别的: 等边三角形的外心与内心重合. 内切圆半径与外接圆半径的比是1:2. A
O
B
D
C
熟练掌握以下的结论
B
O A
圆周角的性质: 性质 3:半圆或直径所对的圆周角都 相等,都等于900(直角). 性质4: 900的圆周角所对的弦是圆的直径.
C
∵AB是⊙O的直径 ∴ ∠ACB=900
B
A
O
15
3.6
A
•
B
作圆的直径与找90度的圆周 角也是圆里常用的辅助线
O
C D
1. 在⊙O中，弦AB所对的圆心角∠AOB=100°，则 0或1300 50 弦AB所对的圆周角为____________.（05年上海） 2.如图，AB是⊙O的直径,BD是 ⊙O的弦，延长BD到点C,使 DC=BD,连接AC交⊙O与点F. （1）AB与AC的大小有什么关 系?为什么? （2）按角的大小分类, 请你判断 △ABC属于哪一类三角形， 并说明理由.(05宜昌)