2020届北京市顺义区高三第二次统练试卷(理科数学)
2020年北京市顺义区高考数学二模试卷(二)(有答案解析)
2020年北京市顺义区高考数学二模试卷（二）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知全集U={0，1，2}，集合A={x|x2-x=0}，则∁U A=（）A. {2}B. {0，1}C. {0，2}D. {1，2}2.若实数x，y满足则2x+y的最小值是（）A. -2B. -1C. 0D. 43.在等比数列{a n}中，若，a4=-4，则a7=（）A. 32B. 16C. 8D.4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A. 12B. 2C.D.5.过原点作圆的两条切线，则这两条切线所成的锐角为（）A. B. C. D.6.已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则（）A. 若m⊥α，α⊥β，则m∥βB. 若m∥α，n⊥α，则m⊥nC. 若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βD. 若m∥α，n∥α，则m∥n．7.“a≥4或a≤0”是“函数f（x）=ax2+ax+1存在零点”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8.已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于∀（x1，y1）∈M，∃（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“互垂点集”．给出下列四个集合：；M2={（x，y）|y=ln x}；；M4={（x，y）|y=sin x+1}．其中是“互垂点集”的集合为（）A. M1，M2B. M2，M3C. M1，M4D. M3，M4二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.=______．10.已知向量，满足||=1，||=2，且，则与的夹角为______．11.设双曲线C经过点（4，0），且与双曲线具有相同渐近线，则C的方程为______；渐近线方程为______．12.已知α为锐角，，则=______．13.“当c＞1时，能使不等式log a c＞log b c”成立的一组正数a，b的值依次为______．14.F1、F2分别为椭圆C：的左、右焦点，P是C上的任意一点．则|PF1|•|PF2|的最大值为______，若，则|AP|-|PF2|的最小值为______．三、解答题（本大题共6小题，共79.0分）15.在△ABC中，b=8，c=3，．（Ⅰ）求a及sin C的值；（Ⅱ）求BC边上的高．16.如图，在四棱锥P-ABCD中，等边三角形PCD所在的平面垂直于底面ABCD，，∠BAD=∠ADC=90°，M是棱PD的中点．（Ⅰ）求证：AD⊥平面PCD；（Ⅱ）求二面角M-BC-D的余弦值；（Ⅲ）判断直线CM与平面PAB的是否平行，并说明理由．17.国际上常用恩格尔系数（食品支出总额占个人消费支出总额的比重）反映一个国家或家庭生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高．联合国根据恩格尔系数的大小，对世界各国的生活质量有一个划分标准如下：恩格尔系数（%）生活质量大于等于60贫穷[50，60）温饱[40，50）小康[30，40）相对富裕[20，30）富裕小于20极其富裕下表记录了我国在改革开放后某市，，，，五个家庭在五个年份的恩格尔系数．年份家庭恩格尔系数（%）A B C D E1978年57.752.562.361.058.81988年54.248.351.955.452.61998年44.741.643.549.047.42008年37.936.529.241.342.72018年28.627.719.835.734.2（Ⅰ）从以上五个家庭中随机选出一个家庭，求该家庭在2008年和2018年都达到了“富裕”或更高生活质量的概率；（Ⅱ）从以上五个家庭中随机选出三个家庭，记这三个家庭在2018年达到“富裕”或更高生活质量的个数为X，求X的分布列；（Ⅲ）如果将“贫穷”，“温饱”，“小康”，“相对富裕”，“富裕”，“极其富裕”六种生活质量分别对应数值：0，1，2，3，4，5．请写出A，B，C，D，E 五个家庭在以上五个年份中生活质量方差最大的家庭和方差最小的家庭（结论不要求证明）．18.设函数．（Ⅰ）若点（1，1）在曲线y=f（x）上，求在该点处曲线的切线方程；（Ⅱ）若f（x）有极小值2，求a．19.已知M，N为抛物线C：y2=4x上两点，M，N的纵坐标之和为4，O为坐标原点．（Ⅰ）求直线MN的斜率；（Ⅱ）若点B（-2，0）满足∠OBM=∠OBN，求此时直线MN的方程．20.在数列{a n}中，若a n2-a n-12=D（n≥2，n∈N*，D为常数），则称{a n}为“平方等差数列”．（Ⅰ）若数列{b n}是“平方等差数列”，b1=1，b2=2，写出b3，b4的值；（Ⅱ）如果一个公比为q的等比数列为“平方等差数列”，求证：q=±1；（Ⅲ）若一个“平方等差数列”{c n}满足c1=2，c2=2＞0，设数列的前n项和为T n．是否存在正整数p，k，使不等式T n＞-1对一切n∈N*都成立？若存在，求出p，k的值；若不存在，说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：全集U={0，1，2}，集合A={x|x2-x=0}={0，1}．则∁U A={2}故选：A．由题意求出集合A，然后直接写出它的补集即可．本题考查集合的基本运算，补集的求法，考查计算能力．2.答案：B解析：解：画出，可行域，得在直线x-y+2=0与直线x+y=0的交点A（-1，1）处，目标函数z=2x+y的最小值为-1．故选：B．本题主要考查线性规划问题，由线性约束条件画出可行域，然后求出目标函数的最小值．本题考查不等式组所表示的平面区域和简单的线性规划问题．在线性规划问题中目标函数取得最值的点一定是区域的顶点和边界，在边界上的值也等于在这个边界上的顶点的值，故在解答选择题或者填空题时，只要能把区域的顶点求出，直接把顶点坐标代入进行检验即可．3.答案：A解析：解：数列{a n}是等比数列，所以，所以==32．故选：A．根据等比中项的性质，即可得到结果．本题考查了等比中项的性质，属基础题．4.答案：D解析：解：由几何体的三视图得该几何体是直三棱柱，其中底面是等腰直角三角形，两条直角边长都为1，高为1，∴该几何体的表面积：S=2×（×1×1）+2×（1×1）+1×=3+．故选：D．由几何体的三视图得该几何体是直三棱柱，其中底面是等腰直角三角形，两条直角边长都为1，高为1，由此能求出该几何体的表面积．本题考查由几何体的三视图求几何体的表面积，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意空间想象能力的培养．5.答案：C解析：解：由得x2+（y-6）2=9，易求得两条切线方程为y=±，这两条切线所成的锐角为，故选：C．把圆的方程化成直角坐标方程后求得两条切线方程，可得它们所夹的锐角．本题考查了圆的参数方程，属基础题．6.答案：B解析：【分析】本题考查了空间中直线与直线、直线与平面的位置关系，属于中档题．根据空间中直线与直线、直线与平面的位置关系，逐项判断即可．【解答】解：对于A，若m⊥α，α⊥β，则m∥β或m⊂β，故A错误；对于B，若m∥α，则存在直线b⊂α，使得m∥b，由n⊥α可知n⊥b，所以m⊥n，故B正确；对于C，若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β或α与β相交，故C错误；对于D，若m∥α，n∥α，则m∥n或m与n相交，或m，n为异面直线，故D错误．故选：B．7.答案：B解析：【分析】函数零点的判定方法得当a=0时，无根，当a≠0时，=a2-4a≥0，解得a＜0或a≥4，运用充分必要条件的定义判断即可.本题考查了函数零点的判定方法，充分必要条件的定义，属于容易题，运算量小．【解答】解：∵函数f（x）=ax2+ax+1存在零点，即f（x）=ax2+ax+1=0有实数根，当a=0时，无根，当a≠0时，=a2-4a≥0，解得a＜0或a≥4，∴根据充分必要条件的定义可判断：“a≥4或a≤0”是“函数f（x）=ax2+ax+1存在零点”的必要不充分条件故选：B．函数零点的判定方法得当a=0时，无根，当a≠0时，=a2-4a≥0，解得a＜0或a≥4，运用充分必要条件的定义判断即可本题考查了函数零点的判定方法，充分必要条件的定义，属于容易题，运算量小．8.答案：D解析：解：对于M 1，取点（0，1），假设存在（x，y）∈M1满足0+y=0，解得y=0，而y=x2+1≥1，矛盾，因此不满足条件．对于M2，取点（1，0），假设存在（x，y）∈M2满足x+0=0，解得x=0，而函数y=ln x的定义域为{x|x＞0}，矛盾，因此不满足条件．对于M3，假设∀取点A（x1，y1）∈M3，∃B（x2，y2）∈M3，使得x1x2+y1y2=0成立，即k OA•k OB=-1．结合图象即可得出，正确．对于M4，画出图象，同理可得：正确．只有M3，M4正确．故选：D．集合M={（x，y）|y=f（x）}，对于∀（x1，y1）∈M，∃（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，称集合M是“互垂点集”．利用此定义即可判断出正误．本题考查了新定义、数形结合方法、举例法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.答案：1+i解析：解：=1+i故答案为：1+i．将复数的分子、分母同时乘以1+i，然后利用平方差公式将分母展开即得到结果．本题考查进行复数的除法运算就是将复数的分子、分母同时乘以分母的共轭复数，然后利用多项式的乘法法则展开即可，属于基础题．10.答案：60°解析：解：由||=1，||=2，•（）=0，∴-•=0，即12-1×2×cosθ=0，解得cosθ=；又θ∈[0°，180°]，∴与的夹角θ是60°．故答案为：60°．根据平面向量的数量积运算，求出cosθ的值，即可求出夹角θ的大小．本题考查了平面向量数量积的运算问题，是基础题．11.答案：y=±x解析：解：双曲线具有相同渐近线的双曲线方程可设为：=m，（m≠0），∵双曲线C经过点（4，0），∴m=4，即双曲线方程为，对应的渐近线方程为y=±x，故答案为：，y=±x．利用双曲线渐近线之间的关系，利用待定系数法即可得到结论．本题主要考查双曲线的性质，利用渐近线之间的关系，利用待定系数法是解决本题的关键，比较基础．12.答案：-解析：解：∵α为锐角，且，∴cos=．∴=-sinα=-2sin=．故答案为：．由已知利用同角三角函数基本关系式求得cos，再由诱导公式及倍角公式化简求值．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及倍角公式的应用，是基础题．13.答案：（2，）解析：解：由log a c＞log b c，得＞，又c＞1，所以lg c＞0，所以，则a，b可依次取2，，故答案为：（2，）．由对数不等式的解法得：由log a c＞log b c，得＞，又c＞1，所以lg c＞0，所以，则a，b可依次取2，，得解．本题考查了对数不等式的解法，属简单题．14.答案：9 4解析：解：∵P点在椭圆C：上，∴|PF1|+|PF2|=2a=6，∵|PF1|＞0，|PF2|＞0，∴|PF1|•|PF2|≤=9，∴|PF1|•|PF2|有最大值9，如图，连接AF1，AF2，|AP|-|PF2|的最小值在如图所示的位置，此时AP比较小，|PF2|比较大，|AF1|是定值．|PF1|+|PF2|=2a=6，|PF1|=6-|PF2|，|AF1|=|AP|+|PF1|==10，|AP|=10-|PF1|=10-6+|PF2|=4+|PF2|则|AP|-|PF2|的最小值为4．故答案为：9；4．利用椭圆定义知|PF1|+|PF2|为定值2a，再利用均值定理求积|PF1|•|PF2|的最大值；画出图形利用椭圆的定义转化求解|AP|-|PF2|的最小值．本题考查了椭圆的标准方程的意义，椭圆定义的应用，椭圆的几何性质，利用均值定理和函数求最值的方法．15.答案：（本题满分为13分）【解答】解：（Ⅰ）∵b=8，c=3，，∴由余弦定理可得：a2=b2+c2-2bc cos A=82+32-2×=49，…4分∴a=7，…6分∴由正弦定理，可得：sin C===…8分（Ⅱ）在△ABC中，BC边上的高为b sin C=8×=…13分解析：【分析】（Ⅰ）由已知利用余弦定理可得a的值，根据正弦定理可求sin C的值．（Ⅱ）由已知可求BC边上的高为b sin C，即可计算得解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数的定义，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16.答案：（I）证明：∵∠ADC=90°，∴AD⊥CD，∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，AD⊥CD，AD⊂平面ABCD，∴AD⊥平面PCD．（II）解：取CD的中点O，连接PO，OB．∵△PCD是等边三角形，∴PO⊥CD，又平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，∴PO⊥平面ABCD，∵∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=CD=DO，∴四边形ABOD是正方形，故OB⊥CD，以O为原点，以OB，OC，OP为坐标轴建立空间直角坐标系O-xyz，则A（1，-1，0），B（1，0，0），C（0，1，0），P（0，0，），M（0，-，），∴=（0，-，），=（1，-1，0），设=（x，y，z）为平面MBC的一个法向量，则，∴，令x=1可得=（1，1，）．又OP⊥平面ABCD，故=（0，0，1）为平面ABCD的一个法向量，∴cos＜＞===．∴二面角M-BC-D的余弦值为．（III）∵AB∥CD，∴CD∥平面PAB，假设CM∥平面PAB，则平面PCD∥平面PAB，显然与P是平面PCD和平面PAB的公共点矛盾．故假设不成立，所以直线CM与平面PAB的不平行．解析：（I）根据面面垂直的性质即可得出结论；（II）建立空间坐标系，求出两半平面的法向量，计算法向量的夹角得出二面角的大小；（III）假设线CM与平面PAB平行，结合CD∥平面PAB可得平面PCD∥平面PAB，得出矛盾．本题考查了面面垂直的性质，考查空间向量与二面角的计算，属于中档题．17.答案：解：（Ⅰ）记“在2008年和2018年都达到了“富裕”或更高生活质量”为事件M．因为在2008年和2018年都达到了“富裕”或更高生活质量的只有家庭C．所以（Ⅱ）X的可能取值为1，2，3，，X123P------------------------------------------（11分）（Ⅲ）生活质量方差最大的家庭是C，方差最小的家庭是E．家庭1978年1988年1998年2008年2018年A11234B12234C01245D01223E11223解析：（Ⅰ）记“在2008年和2018年都达到了“富裕”或更高生活质量”为事件M．因为在2008年和2018年都达到了“富裕”或更高生活质量的只有家庭C．所以，（Ⅱ）X的可能取值为1，2，3，，，然后写出分布列；（Ⅲ）先列一个表格，再根据表格可得．本题考查了离散型随机变量及其分布列，属中档题．18.答案：解：（I）因为点（1，1）在曲线y=f（x）上，所以a=1，------------------------------------------（1分）又，------------------------------------------（3分）所以------------------------------------------（4分）在该点处曲线的切线方程为即x+2y-3=0------------------------------------------（5分）（II）定义域为（0，+∞），--------------------------------------（6分）讨论：（1）当a≤0时，f'（x）＜0此时f（x）在（0，+∞）上单调递减，所以不存在极小值------------------------------（8分）（2）当a＞0时，令f'（x）=0可得------------------------------------------（9分）xf'（x）-0+f（x）单调递减单调递增所以f（x）在上单调递减，在上单调递增----------------------（11分）所以=，所以=2解得a=2（舍负）------------------------------------------（13分）解析：（Ⅰ）利用已知条件求出a，求出函数的导数，得到切线的斜率，然后求解切线方程．（Ⅱ）求出导函数，判断导函数的符号，得到函数的单调性，然后求解函数的极值．推出a．本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的单调性极值的求法，考查分类讨论思想以及转化思想的应用．19.答案：解：（I）设M（x1，y1），N（x2，y2），则依题意可知：相减可得：即（y1-y2）（y1+y2）=4（x1-x2）又y1+y2=4，所以，即直线MN的斜率为1．------------------------------------------（4分）（II）由（I）知直线MN的斜率为1，所以可设直线MN的方程为y=x+a讨论：当（1）M（x1，y1），N（x2，y2）在x轴异侧时，由∠OBM=∠OBN知k BM+k BN=0，---------------------（6分）又所以即--------------------（7分）又y1=x1+a，y2=x2+a，所以（x1+a）（x2+2）+（x2+a）（x1+2）=0，化简得2x1x2+（a+2）（x1+x2）+4a=0 ①---------------------（8分）联立方程组消去y得x2+（2a-4）x+a2=0，所以x1+x2=4-2a，---------------------（12分）代入①式可得a=-2所以直线MN的方程为y=x-2--------------------（13分）（2）当M（x1，y1），N（x2，y2）在x轴同侧时，由∠OBM=∠OBN知k BM=k BN即直线MN过点B，所以此时直线方程为y=x+2，经验证，此时直线与抛物线无交点，故舍去--------------------（14分）综上可知：直线MN的方程为y=x-2．解析：（I）设M（x1，y1），N（x2，y2），则依题意可知：相减可得直线MN的斜率．（II）由（I）知直线MN的斜率为1，所以可设直线MN的方程为y=x+a．讨论：当（1）M（x1，y1），N（x2，y2）在x轴异侧时，由∠OBM=∠OBN知k BM+k BN=0，得2x1x2+（a+2）（x1+x2）+4a=0（1）联立方程组消去y利用韦达定理，代入（1）式可得a=-2得到直线MN的方程．（2）当M（x1，y1），N（x2，y2）在x轴同侧时，验证即可．本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查分析问题解决问题的能力．20.答案：解：（Ⅰ）由题意，可知：∵{b n}是“平方等差数列”，b1=1，b2=2，∴D==22-12=3．∴，．∴，．（Ⅱ）由题意，可设：数列{a n}是公比为q的等比数列，∴所以，（q为公比且q≠0）．∴，n∈N*．又∵数列{a n}为“平方等差数列”，∴．∵D为与n无关的一个常数．∴q2=1，∴q=1或q=-1．（Ⅲ）由题意，可知：∵数列{c n}是“平方等差数列”，，∴D==4，∴∴，n∈N*．∴，n∈N*．∴数列的前n项和．由题意，可假设存在正整数p，k使不等式对一切n∈N*都成立．即：对一切n∈N*都成立．①当n=1时，化简上式，可得：，整理，得：．又∵p，k为正整数，∴p=k=1．②当n≥2时，可猜想：对一切n≥2都成立．下面证明：对一切n∈N*都成立．∵=，（n∈N*）．∴＞2[]=．∴存在p=k=1使不等式对一切n∈N*都成立．解析：本题第（Ⅰ）题可根据题意及b1=1，b2=2算出常数D，然后根据b2及递推式算出b3，再根据b3及递推式算出b4；第（Ⅱ）题可设一个等比数列{a n}为“平方等差数列”，然后根据等比数列的通项公式代入题干中的递推式，然后根据D为与n无关的一个常数，可得出q的值；第（Ⅲ）题先根据题意算出T n的表达式，然后先思考n=1时是否存在正整数p，k，然后再将n=1的结论推到n≥2的情况并予以证明．本题第（Ⅰ）题主要考查对新定义数列的理解能力，然后代值进行计算；第（Ⅱ）题主要考查等比数列的概念及新定义数列的理解能力；第（Ⅲ）题主要考查先思考n=1时的结论，然后再将n=1的结论推到n≥2的情况并予以证明．本题是一道偏难题．。
2020年北京市高三年级第二次模拟考试及答案(理科数学)
北京市高三年级第二次模拟考试及答案数学（理科）2017．5（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知i 为虚数单位，则复数z =i(12i)+对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值是A ．23B ．31C ．32D ．633．“0,0x y >>”是“2y xx y+≥”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4．已知函数π()sin()(0)6f x x ＞=+ωω的最小正周期为4π，则A ．函数()f x 的图象关于原点对称B ．函数()f x 的图象关于直线π3x =对称 C ．函数()f x 图象上的所有点向右平移π3个单位长度后，所得的图象关于原点对称 D ．函数()f x 在区间(0,π)上单调递增5．现将5张连号的电影票分给甲、乙等5个人，每人一张，且甲、乙分得的电影票连号，则共有不同分法的种数为A ．12B ． 24C ．36D ． 48 6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱长为AB． C ．3 D．7．已知函数log ,0,()3,40a x x f x x x >⎧⎪=⎨+-≤<⎪⎩(0a >且1)a ≠．若函数()f x 的图象上有且只有两个点关于y 轴对称，则a 的取值范围是A ．(0,1)B ．(1,4)C ．(0,1)(1,)+∞ D ．(0,1)(1,4)8．中国古代儒家要求学生掌握六种基本才艺：礼、乐、射、御、书、数，简称“六艺”．某 中学为弘扬“六艺”的传统文化，分别进行了主题为“礼、乐、射、御、书、数”六场 传统文化知识的竞赛．现有甲、乙、丙三位选手进入了前三名的最后角逐．规定：每场 知识竞赛前三名的得分都分别为,,(,a b c a b c >>且,,)N a b c *∈；选手最后得分为各场得分之和．在六场比赛后，已知甲最后得分为26分，乙和丙最后得分都为11分，且乙在其中一场比赛中获得第一名，则下列说法正确的是A ．每场比赛第一名得分a 为4B ．甲可能有一场比赛获得第二名C ．乙有四场比赛获得第三名D ．丙可能有一场比赛获得第一名第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．双曲线22136x y -=的渐近线方程是 ，离心率是 ．10．若平面向量(cos ,sin )a =θθ，(1,1)-b =，且a b ⊥，则sin 2θ的值是 ． 11．等比数列{a n }的前n 项和为n S ．已知142,2a a ==-，则{a n }的通项公式n a = ， 9S = ．12．在极坐标系中，圆2cos ρθ=被直线1cos 2ρθ=所截得的弦长为 ． 13．已知,x y 满足,4,2.y x x y x y k ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥⎩若2z x y =+有最大值8，则实数k 的值为 ．14．已知两个集合,A B ，满足B A ⊆．若对任意的x A ，存在,i ja a B ()i j ≠，使得12i j xa a λλ（12,{1,0,1}λλ），则称B 为A 的一个基集．若俯视图{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}A =，则其基集B 元素个数的最小值是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）在△ABC 中, 角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且b c =，2sin B A =．（Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）若2a =，求△ABC 的面积．16．（本小题满分13分）从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计该市中学生中的全体男生的平均身高；（Ⅲ）从该市的中学生中随机抽取一名男生，根据直方图中的信息，估计其身高在180 cm 以上的概率．若从全市中学的男生（人数众多）中随机抽取3人，用X 表示身高在180 cm 以上的男生人数，求随机变量X 的分布列和数学期望EX ．17．（本小题满分14分）如图1，在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，4,2AC BC ==，D E ,分别为边,AC AB 的中点，点,F G 分别为线段,CD BE 的中点．将△ADE 沿DE 折起到△1A DE 的位置，使160A DC ∠=︒．点Q 为线段1A B 上的一点，如图2．图1图2BA 1F C ED QG ACDEFGa（Ⅰ）求证：1A F BE ⊥；（Ⅱ）线段1A B 上是否存在点Q ，使得FQ 平面1A DE ？若存在，求出1A Q 的长，若不存在，请说明理由；（Ⅲ）当1134AQ A B =时，求直线GQ 与平面1A DE 所成角的大小．18．（本小题满分13分）已知椭圆W ：22221x y a b+=(0)a b >>的上下顶点分别为,A B ，且点B (0,1)-．12,F F 分别为椭圆W的左、右焦点，且12120F BF ∠=． （Ⅰ）求椭圆W 的标准方程；（Ⅱ）点M 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，过点M 作MN y ⊥轴于N ，E 为线段MN 的中点．直线AE 与直线1y =-交于点C ，G 为线段BC 的中点，O 为坐标原点．求 OEG ∠的大小．19．（本小题满分14分）已知函数2()e xf x x x =+-，2(),g x x ax b =++,a b R ．（Ⅰ）当1a =时，求函数()()()F x f x g x =-的单调区间；（Ⅱ）若曲线()y f x =在点(0,1)处的切线l 与曲线()y g x =切于点(1,)c ，求,,a b c 的值；（Ⅲ）若()()f x g x ≥恒成立，求a b +的最大值．20．（本小题满分13分）各项均为非负整数的数列}{n a 同时满足下列条件：①m a =1 ()N m ∈*；②1n a n ≤- (2)n ≥；③n 是12n a a a +++的因数（1n ≥）．（Ⅰ）当5=m 时，写出数列}{n a 的前五项；（Ⅱ）若数列}{n a 的前三项互不相等，且3≥n 时，n a 为常数，求m 的值； （Ⅲ）求证：对任意正整数m ，存在正整数M ，使得n M ≥时，n a 为常数．北京市高三年级第二次综合练习数学学科测试答案（理工类） 2017.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．（15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2sin B A =，所以2b =．所以a =所以222cos 232a c b B ac b +-===． …………7分 （Ⅱ）因为2a =，所以b c ==又因为cos 3B =，所以sin 3B =． 所以11sin 222ABCSa c B =⋅⋅=⨯=． …………13分 （16）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）根据题意得：(0.00520.02020.040)101a ⨯++⨯+⨯=．解得 0.010a =． …………3分（Ⅱ）设样本中男生身高的平均值为x ，则1450.051550.11650.21750.41850.21950.05x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯(145195)0.051550.1(165185)0.21750.4=+⨯+⨯++⨯+⨯1715.57070172.5=+++=．所以估计该市中学全体男生的平均身高为172.5 cm ． …………7分（Ⅲ）从全市中学的男生中任意抽取一人，其身高在180 cm 以上的概率约为14． 由已知得，随机变量X 的可能取值为0,1,2,3．所以00331327(0)()()4464P X C ==⋅=； 11231327(1)()()4464P X C ==⋅=； 2213139(2)()()4464P X C ==⋅=； 3303131(3)()()4464P X C ==⋅=．随机变量X 的分布列为因为X ~1(3)4B ，，所以344EX =⨯=．…………………………………13分 （17）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为11,60A D DC A DC =∠=︒，所以△1A DC 为等边三角形． 又因为点F 为线段CD 的中点， 所以1A F DC ⊥．由题可知1,ED A D ED DC ⊥⊥， 所以ED ⊥平面1A DC ．因为1A F ⊂平面1A DC ，所以ED ⊥1A F ． 又EDDC D =，所以1A F ⊥平面BCDE ．所以1A F BE ⊥．…………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知1A F ⊥平面BCDE ，FG DC ⊥，如图建立空间直角坐标系，则(0,0,0)F ，(0,1,0)D -，(0,1,0)C ，(1,1,0)E -，1A ，(2,1,0)B ．设平面1A DE 的一个法向量为(,,)x y z =n ，1(0,1,3)A D =--,(1,0,0)DE =，所以10,0.n n A D DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,0.y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 令1z =，所以y =(0,=nB A 1F C E D Q G假设在线段1A B 上存在点Q ，使FQ 平面1A DE ．设11AQ A B λ=，(]0,1λ∈.又1(2,1,A B =，所以1(2,,)AQ λλ=．所以(2,,)Q λλ.则(2,)FQ λλ=. 所以0FQ ⋅=+=n . 解得，12λ=. 则在线段1A B 上存在中点Q ，使FQ 平面1A DE ．且1AQ =……………………10分（Ⅲ）因为1134AQ A B =，又1(2,1,A B =，所以133(,,24A Q =． 所以33(,,244Q ．又因为3(,0,0)2G ，所以3(0,,)44GQ =． 因为(0,=n 设直线GQ 与平面1A DE 所成角为θ，则1sin .2GQ GQ θ⋅===n n直线GQ 与平面1A DE 所成角为30︒. ………………………………14分 （18）（本小题满分13分）解：(Ⅰ)依题意，得1b =．又12120F BF ∠=︒，在1Rt BFO ∆中，160F BO ∠=︒，所以2a =． 所以椭圆W 的标准方程为2214x y +=． …………4分 (Ⅱ)设M 00(,)x y ，00x ≠，则N 0(0,)y ，E 00(,)2x y ． 因为点M 在椭圆W 上，所以220014x y +=．即220044x y =-． 又A (0,1)，所以直线AE 的方程为002(1)1y y x x --=． 令1y =-，得C 0(,1)1x y --． 又B (0,1)-，G 为线段BC 的中点，所以G 00(,1)2(1)x y --．所以00(,)2x OE y =，0000(,1)22(1)x x GE y y =-+-． 因为000000()(1)222(1)x x x OE GE y y y ⋅=-++- 2220000044(1)x x y y y =-++-20004414(1)y y y -=-+-0011y y =--+0=，所以OE GE ⊥．90OEG ∠=︒． ……………………13分（19）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）()e 2x F x x b =--，则()e 2xF x '=-.令()e 20,xF x '=->得ln 2x >，所以()F x 在(ln 2,)+∞上单调递增.令()e 20,x F x '=-<得ln 2x <，所以()F x 在(,ln 2)-∞上单调递减. …………4分 （Ⅱ）因为()e 21x f x x '=+-，所以(0)0f '=，所以l 的方程为1y =.依题意，12a-=，1c =. 于是l 与抛物线2()2g x x x b =-+切于点(1,1)， 由2121b -+=得2b =.所以2,2, 1.a b c =-== …………8分（Ⅲ）设()()()e (1)xh x f x g x a x b =-=-+-,则()0h x ≥恒成立.易得()e (1).xh x a '=-+ （1）当10a +≤时，因为()0h x '>，所以此时()h x 在(,)-∞+∞上单调递增. ①若10a +=，则当0b ≤时满足条件，此时1a b +≤-； ②若10a +<，取00x <且01,1bx a -<+ 此时0001()e (1)1(1)01xbh x a x b a b a -=-+-<-+-=+，所以()0h x ≥不恒成立． 不满足条件； （2）当10a +>时，令()0h x '=，得ln(1).x a =+由()0h x '>，得ln(1)x a >+； 由()0h x '<，得ln(1).x a <+所以()h x 在(,ln(1))a -∞+上单调递减，在(ln(1),)a ++∞上单调递增. 要使得“()e (1)0xh x a x b =-+-≥恒成立”，必须有“当ln(1)x a =+时，min ()(1)(1)ln(1)0h x a a a b =+-++-≥”成立. 所以(1)(1)ln(1)b a a a ≤+-++.则2(1)(1)ln(1) 1.a b a a a +≤+-++- 令()2ln 1,0,G x x x x x =-->则()1ln .G x x '=- 令()0G x '=，得 e.x =由()0G x '>，得0e x <<；由()0G x '<，得 e.x >所以()G x 在(0,e)上单调递增，在(e,)+∞上单调递减, 所以，当e x =时，max ()e 1.G x =-从而，当e 1,0a b =-=时，a b +的最大值为e 1-.综上，a b +的最大值为e 1-. …………14分（20）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）5，1，0，2，2. …………3分 （Ⅱ）因为10-≤≤n a n ，所以20,1032≤≤≤≤a a ，又数列}{n a 的前3项互不相等， （1）当02=a 时，若13=a ，则3451a a a ====，且对3≥n ，12)2(0+-=-++nm n n m 都为整数，所以2=m ；若23=a ，则3452a a a ====，且对3≥n ，24)2(20+-=-++nm n n m 都为整数，所以4=m ；（2）当12=a 时，若03=a ，则3450a a a ====，且对3≥n ，nm n n m 1)2(01+=-⋅++都为整数，所以1-=m ，不符合题意；若23=a ，则3452a a a ====，且对3≥n ，23)2(21+-=-++nm n n m 都为整数，所以3=m ；综上，m 的值为2,3,4. …………8分 （Ⅲ）对于1≥n ，令12n n S a a a =+++，则11111+=+≤+=<++++nS n n S n a S n S n S nn n n n n .又对每一个n ，nS n 都为正整数，所以11++n S n m Sn S n =≤≤≤1...1，其中“<”至多出现1-m 个.故存在正整数M m >，当n M >时，必有nS n S nn =++11成立. 当n S n S n n =++11时，则n SS n S n S S a n n n n n n =-+=-=++)1(11.从而22)1(2212112122+-+=+++=+++=+++++++++n a a a n a n a n S a a n S n n n n n n n n n . 由题设知1212||12<++≤+-++n n n a a n n ，又22++n S n 及1+n a 均为整数，所以=++22n S n =+1n a 11+=+n Sn S n n ，故1212n n n S S S n n n ++====++常数.从而==-+=-=++nSS n S n S S a n n n n n n )1(11常数. 故存在正整数M ，使得n M ≥时，n a 为常数. ………………………………13分。
北京市顺义区2019-2020学年高考数学二模考试卷含解析
北京市顺义区2019-2020学年高考数学二模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为点A ，延长2AF 交椭圆Г于点B ，若1ABF V 为等腰三角形，则椭圆Г的离心率e =A ．13B ．3C ．12D ．2 【答案】B【解析】【分析】【详解】设2||BF t =，则12||BF a t =-，||AB a t =+，因为1||AF a =，所以1||||AB AF >．若11||||AF BF =，则2a a t =-，所以a t =，所以11||||||2A A a BF B F =+=，不符合题意，所以1||||BF AB =，则2a t a t -=+，所以2a t =，所以1||||3BF AB t ==，1||2AF t =，设12BAF θ∠=，则sin e θ=，在1ABF V 中，易得1cos23θ=，所以2112sin 3θ-=，解得3sin 3θ=（负值舍去）， 所以椭圆Г的离心率33e =．故选B ． 2．阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家.据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”.他特别喜欢这个结论，要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，表面积为54π的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则该球的体积为 （ ）A ．4πB ．16πC ．36πD ．643π 【答案】C【解析】【分析】 设球的半径为R ，根据组合体的关系，圆柱的表面积为222254S R R R πππ=+⨯=，解得球的半径3R =，再代入球的体积公式求解.【详解】设球的半径为R ，根据题意圆柱的表面积为222254S R R R πππ=+⨯=，解得3R =， 所以该球的体积为334433633V R πππ==⨯⨯= . 故选：C【点睛】本题主要考查组合体的表面积和体积，还考查了对数学史了解，属于基础题. 3．已知[]2240a b a b +=⋅∈-r r r r ，，，则a r 的取值范围是（ ） A ．[0，1]B ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．[1，2]D ．[0，2]【答案】D【解析】【分析】 设2m a b =+r r r ，可得[]2240a b a m a ⋅=⋅-∈-r r r r r ，，构造（14a m -r r ）2≤22116m +r ，结合2m =r ，可得113422a m ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦r r ，，根据向量减法的模长不等式可得解. 【详解】设2m a b =+r r r ，则2m =r， []22240b m a a b a m a =-⋅=⋅-∈-r r r r r r r r ，，， ∴（14a m -rr ）2212a a =-r r •2116m m +≤r r 22116m +r r r 21m r配方可得222111192()428482m a m m =≤-≤+=r r r r ， 所以113422a m ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦rr ，， 又111||||||||||||444a m a m a m -≤-≤+r r r r r r 则a ∈r [0，2]．故选：D ．【点睛】本题考查了向量的运算综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 4．已知数列{}n a 满足()12347324n a a a n a n ++++-=L ，则23342122a a a a a a +++=L （ ） A ．58 B ．34 C ．54 D ．52【答案】C【解析】【分析】利用()32n n a -的前n 项和求出数列(){}32n n a -的通项公式，可计算出n a ，然后利用裂项法可求出23342122a a a a a a +++L 的值.【详解】()12347324n a a a n a n ++++-=Q L .当1n =时，14a =；当2n ≥时，由()12347324n a a a n a n ++++-=L ，可得()()1231473541n a a a n a n -++++-⋅=-L ，两式相减，可得()324n n a -=，故432n a n =-， 因为14a =也适合上式，所以432n a n =-. 依题意，()()12161611313433134n n a a n n n n ++⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭， 故233421221611111111161153477101013616434644a a a a a a ⎛⎫⎛⎫+++=-+-+-++-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L L .本题考查利用n S 求n a ，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于中等题.5．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“1322a a a +<”是“210n S -<”的（ ）A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【答案】A【解析】【分析】首先根据等比数列分别求出满足1322a a a +<，210n S -<的基本量，根据基本量的范围即可确定答案.【详解】 {}n a 为等比数列，若1322a a a +<成立，有()21201q a q -+<， 因为2210q q -+≥恒成立，故可以推出10a <且1q ≠，若210n S -<成立，当1q =时，有10a <，当1q ≠时，有()211101n a q q --<-，因为21101n q q-->-恒成立，所以有10a <， 故可以推出10a <，q ∈R ，所以“1322a a a +<”是“210n S -<”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题主要考查了等比数列基本量的求解，充分必要条件的集合关系，属于基础题.6．定义：{}()()N f x g x ⊗表示不等式()()f x g x <的解集中的整数解之和.若2()|log |f x x =，2()(1)2g x a x =-+，{}()()6N f x g x ⊗=，则实数a 的取值范围是A ．(,1]-∞-B ．2(log 32,0)-C ．2(2log 6,0]-D ．2log 32(,0]4- 【答案】D【解析】由题意得，{}()()6N f x g x ⊗=表示不等式22|log |(1)2x a x <-+的解集中整数解之和为6.当0a >时，数形结合（如图）得22|log |(1)2x a x <-+的解集中的整数解有无数多个，22|log |(1)2x a x <-+解集中的整数解之和一定大于6.当0a =时，()2g x =，数形结合（如图），由()2f x <解得144x <<.在1(,4)4内有3个整数解，为1，2，3，满足{}()()6N f x g x ⊗=，所以0a =符合题意.当0a <时，作出函数2()|log |f x x =和2()(1)2g x a x =-+的图象，如图所示.若{}()()6N f x g x ⊗=，即22|log |(1)2x a x <-+的整数解只有1，2，3. 只需满足(3)(3)(4)(4)f g f g <⎧⎨≥⎩，即2log 342292a a <+⎧⎨≥+⎩，解得2log 3204a -<≤，所以2log 3204a -<<. 综上，当{}()()6N f x g x ⊗=时，实数a 的取值范围是2log 32(,0]4-.故选D. 7．设m u r ，n r 为非零向量，则“存在正数λ，使得λ=u r r m n ”是“0m n ⋅>u r r”的（ ）A ．既不充分也不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．充分不必要条件【分析】 充分性中，由向量数乘的几何意义得,0m n o u r r =，再由数量积运算即可说明成立；必要性中，由数量积运算可得),0,90m n o o u r r ⎡∈⎣，不一定有正数λ，使得λ=u r r m n ，所以不成立，即可得答案.【详解】充分性：若存在正数λ，使得λ=u r r m n ，则,0m n o u r r =，cos00m n m n m n o u r r u r r u r r ⋅==>，得证；必要性：若0m n ⋅>u r r ，则),0,90m n o o u r r ⎡∈⎣，不一定有正数λ，使得λ=u r r m n ，故不成立； 所以是充分不必要条件故选：D【点睛】本题考查平面向量数量积的运算，向量数乘的几何意义，还考查了充分必要条件的判定，属于简单题. 8．已知数列{}n a 为等比数列，若a a a 76826++=，且a a 5936⋅=，则a a a 768111++=（ ） A ．1318 B ．1318或1936 C ．139 D ．136【答案】A【解析】【分析】根据等比数列的性质可得25968736a a a a a ⋅=⋅==，通分化简即可.【详解】由题意，数列{}n a 为等比数列，则25968736a a a a a ⋅=⋅==，又a a a 76826++=，即68726a a a +=-， 所以，()()76877786867678777683636261113636a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +⋅++⋅-⋅+⋅+⋅++===⋅⋅⋅⋅， ()277777777773626362636263626133636363618a a a a a a a a a a +⋅-+⋅-+⋅-⋅=====⋅⋅⋅⋅. 故选：A.【点睛】本题考查了等比数列的性质，考查了推理能力与运算能力，属于基础题.9．为计算23991223242...100(2)S =-⨯+⨯-⨯++⨯-， 设计了如图所示的程序框图，则空白框中应A ．100i <B ．100i >C ．100i ≤D ．100i ≥【答案】A【解析】【分析】 根据程序框图输出的S 的值即可得到空白框中应填入的内容．【详解】由程序框图的运行，可得：S ＝0，i ＝0满足判断框内的条件，执行循环体，a ＝1，S ＝1，i ＝1满足判断框内的条件，执行循环体，a ＝2×（﹣2），S ＝1+2×（﹣2），i ＝2满足判断框内的条件，执行循环体，a ＝3×（﹣2）2，S ＝1+2×（﹣2）+3×（﹣2）2，i ＝3…观察规律可知：满足判断框内的条件，执行循环体，a ＝99×（﹣2）99，S ＝1+2×（﹣2）+3×（﹣2）2+…+1×（﹣2）99，i ＝1，此时，应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出S 的值，所以判断框中的条件应是i ＜1．故选：A ．【点睛】本题考查了当型循环结构，当型循环是先判断后执行，满足条件执行循环，不满足条件时算法结束，属于基础题．10．已知{}n a 为等差数列，若2321a a =+，4327a a =+，则5a =( )A ．1B ．2C ．3D ．6【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a ．∵{a n }为等差数列，2343a 2a 1,a 2a 7=+=+,∴()()1111a d 2a 2d 1a 3d 2a 2d 7⎧+=++⎪⎨+=++⎪⎩， 解得1a ＝﹣10，d ＝3，∴5a ＝1a +4d ＝﹣10+11＝1．故选：B ．【点睛】本题考查等差数列通项公式求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 11．将3个黑球3个白球和1个红球排成一排，各小球除了颜色以外其他属性均相同，则相同颜色的小球不相邻的排法共有（ ）A ．14种B ．15种C ．16种D ．18种【答案】D【解析】【分析】采取分类计数和分步计数相结合的方法，分两种情况具体讨论，一种是黑白依次相间，一种是开始仅有两个相同颜色的排在一起【详解】首先将黑球和白球排列好，再插入红球.情况1：黑球和白球按照黑白相间排列（“黑白黑白黑白”或“白黑白黑白黑”），此时将红球插入6个球组成的7个空中即可，因此共有2×7=14种； 情况2：黑球或白球中仅有两个相同颜色的排在一起（“黑白白黑白黑”、“黑白黑白白黑”、“白黑黑白黑白”“白黑白黑黑白”），此时红球只能插入两个相同颜色的球之中，共4种.综上所述，共有14+4=18种.故选：D【点睛】本题考查排列组合公式的具体应用，插空法的应用，属于基础题 12．已知函数1212log ,18()2,12x x x f x x ⎧+≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩，若()()()f a f b a b =<，则ab 的最小值为（ ） 参考数据：2ln 20.69,ln 20.48≈≈【答案】A【解析】【分析】首先()f x 的单调性，由此判断出11412a b ⎧≤<⎪⎨⎪<≤⎩，由()()f a f b =求得,a b 的关系式.利用导数求得2log ab 的最小值，由此求得ab 的最小值.【详解】 由于函数1212log ,18()2,12x x x f x x ⎧+≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩，所以()f x 在1,18⎡⎫⎪⎢⎣⎭上递减，在[]1,2上递增.由于()()()f a f b a b =<，()212112log 5,22488f f ⎛⎫=+=== ⎪⎝⎭，令122log 4x +=，解得14x =，所以11412a b ⎧≤<⎪⎨⎪<≤⎩，且122log 2b a +=，化简得2log 22b a =-，所以2222log log log 22log b ab a b b =+=-+，构造函数()()222log 12x g x x x =-+<≤，()2'112ln 22ln 2ln 2ln 2x xx g x x x -⋅⋅=-+=.构造函数()()212ln 212x h x x x =-⋅⋅<≤，()()'21ln 22ln 20x h x x =-+⋅⋅<，所以()h x 在区间(]1,2上递减，而()2112ln 2120.480.040h =-≈-⨯=>，()2218ln 2180.48 2.840h =-≈-⨯=-<，所以存在()01,2x ∈，使()00h x =.所以()'g x 在()01,x 上大于零，在()02x ,上小于零.所以()g x 在区间()01,x 上递增，在区间()02x ,上递减.而()()2210,222log 21g g ==-+=-，所以()g x 在区间(]1,2上的最小值为1-，也即2log ab 的最小值为1-，所以ab 的最小值为1122-=. 故选：A【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查分段函数的图像与性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届高三第二次教学质量监测理科数学试题(原卷版)
2020年高中毕业班第二次教学质量监测理科数学试题本试卷4页，满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号和座位号填在答题卡上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12个题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知{|21}x A x =>，2{|20}B x x x =+-≤，则A B =U （ ） A. {|2}x x >-B. {|2}x x ≥-C. {|01}x x <≤D. {|01}x x ≤≤2.已知复数122z =-+，则复数2z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3.已知函数()f x 与它的导函数()f x '的定义域均为R ，则下列命题中，正确的是（ ）A. 若0x 是()f x 的极值点，则()00f x '=B. 若()f x 是偶函数，则()f x '一定是偶函数C. 若()22log f x x =，则()14f '= D. 若()f x 的图象在区间(),a b 连续不断，则()f x 在(),a b 上一定有最大值4.为抗战新冠病毒，社会各界积极捐赠医疗物资.爱心人士向某市捐赠了6箱相同规格的医用外科口罩，现需将这6箱口罩分配给4家医院，每家医院至少1箱，则不同的分法共有（ ）A. 10种B. 40种C. 80种D. 240种。
北京市2020〖人教版〗高三数学复习试卷第二学期统一练习数学理科
北京市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷第二学期统一练习数学理科一 、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 复数(34)i i +的虚部为（A ）3 （B ）3i （C ）4 （D ） 4i2. 设向量a =(x ,1), b =(4,x ),且a ,b 方向相反，则x 的值是 （A ）2 （B ）-2 （C ）2± （D ）03.41()x x-展开式中的常数项是 （A ）6 （B ）4 （C ）-4 （D ）-64.已知数列{a n }， 则“{a n }为等差数列”是“a 1+a 3=2a 2”的 （A ）充要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分而不必要条件 （D ）既不充分又不必要条件5. 下列四个函数中，最小正周期为π，且图象关于直线12x π=对称的是（A ）sin()23x y π=+（B ）sin()23x y π=-（C ）sin(2)3y x π=+ （D ）sin(2)3y x π=-6. 在平面区域01,01x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩内任取一点(,)P x y ，若(,)x y 满足2x y b +≤的概率大于14，则b 的取值范围是（A ） (,2)-∞ （B ）(0,2) （C ）(1,3) （D ）(1,)+∞7.用5,6,7,8,9组成没有重复数字的五位数，其中两个偶数数字之间恰有一个奇数数字的五位数的个数是 (A)18 (B) 36 (C) 54 (D) 728.已知偶函数f(x)（x ∈R ），当(2,0]x ∈-时，f(x)=-x(2+x)，当[2,)x ∈+∞时，f(x)=(x-2)(a-x)（ ）a R ∈. 关于偶函数f(x)的图象G 和直线l :y=m （ ）m R ∈的3个命题如下： ① 当a=4时，存在直线l 与图象G 恰有5个公共点；② 若对于[0,1]m ∀∈，直线l 与图象G 的公共点不超过4个，则a ≤2；③ (1,),(4,)m a ∀∈+∞∃∈+∞，使得直线l 与图象G 交于4个点，且相邻点之间的距离相等.其中正确命题的序号是(A) ①② (B) ①③ (C) ②③ (D) ①②③第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 9. 圆2cos ρθ=的半径是________。
2020届北京市顺义区高三化学第二次统练参考答案
顺义区2020届高三第一次统练化学参考答案第一部分（选择题共42分）本部分共14小题，每小题3分，共42分第二部分（非选择题共58分）15.（9分）（1）400 1分97.56% 2分（2）①CH 3OH(g)CO(g)+2H2(g)△H=+90k J·mol－1 2分②260°C 1分反应I 1分③CO2+6e—+6H+=== CH3OH+H2O 2分16.（12分）（1）2ClO3—+SO2===SO42-+2ClO2 1分稀释产生的ClO2，防止其分解爆炸1分（2）2OH—+2ClO2+H2O2===2ClO2—+O2+2 H2O 2分H2O2温度较高时易分解1分（3）阴极1分（4）加热温度至略低于60°C，浓缩，冷却至略高于38°C结晶，过滤，洗涤2分（5）9.05bc×10-2/a 1分4H++4I—+ O2===I2+2 H2O，消耗Na2S2O3增多，结果偏高2分（6）亚氯酸钠与较浓盐酸混合，氧化性还原性增强，发生氧化还原反应，生成氯气1分17.（15分）（1）浓硫酸，浓硝酸1分（2）取代（水解）反应1分（3）2分（4）2分（5）2分（6）2分（7）2分（8）3分18.（10分）Ⅰ. （1）NH 3+H2O NH3·H2O NH4++OH-1分（2）NH 3+H2O NH4++OH- ,OH-增大有利于平衡逆移，NH4+转化为游离态的NH3，NH3在空气吹脱下从水中脱除2分（3）2NH4++3ClO—+2OH- ===N2+3Cl—+5H2O 2分Ⅱ. （1）Mg-2e-=Mg2+ 1分（2）NH4+ +H2PO4-+ Mg2++2OH-+4H2O=MgNH4PO4•6H2O 2分（3）pH偏大，NH4+、Mg2+易与OH−结合生成NH3•H2O、Mg(OH)2，NH3•H2O的电离被抑制，使NH4+和Mg2+浓度降低,不利于MgNH4PO4•6H2O的生成2分19.（12分）（1）Ag+ +H 2O AgOH + H+ 1分（2）AgNO3+3NH3·H2O===Ag(NH3)2OH+NH4NO3+2H2O 2分（3）Ag2O+H2O2===2Ag+O2+H2O 2分Ag2O有催化作用，可以催化H2O2的分解，导致气体体积增多2分（4）Ag+ +I—=== Ag I1分0.1 mol•L-1 KI溶液1分取少量反应后B烧杯中溶液，滴加淀粉溶液，有蓝色出现1分2Ag+ +2I—===2Ag+I2 、1分（5）Ag+与I—发生氧化还原反应的速率慢于发生沉淀反应的速率；物质的氧化性还原性受浓度影响，溶液中离子浓度较小时，氧化还原反应不易发生1分。
2020年北京市顺义区高考数学二模试卷(一)(有答案解析)
2020年北京市顺义区高考数学二模试卷（一）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知全集U={0，1，2}，集合A={x|x2-x=0}，则∁U A=（）A. {2}B. {0，1}C. {0，2}D. {1，2}2.某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入的x值为7，则输出的y值为（）A. -2B. -1C.D. 23.若实数x，y满足则2x+y的最小值是（）A. -2B. -1C. 0D. 44.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A. 12B. 2C.D.5.在△ABC中，a=7，c=3，．sin C的值为（）A. B. C. D.6.当c＞1时，使不等式log a c＞log3c成立的正数a（a≠1）的值为（）A. B. C. 2 D. 47.“a≥4或a≤0”是“函数f（x）=ax2+ax+1存在零点”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8.已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于∀（x1，y1）∈M，∃（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“互垂点集”．给出下列四个集合：；M2={（x，y）|y=ln x}；；M4={（x，y）|y=sin x+1}．其中是“互垂点集”集合的为（）A. M1B. M2C. M3D. M4二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.=______．10.已知向量，满足||=1，||=2，且，则与的夹角为______．11.为了解中学生寒假从图书馆借书的情况，一个调研小组在2019年寒假某日随机选取了100名在市级图书馆借书的中学生，如表记录了他们的在馆停留时间，分为（0，15]，（15，30]，（30，45]（45，60]和60以上（单位：分钟）五段统计．现在需要从（15，30]，（30，45]（45，60]（单位：分钟）这三段时间中按分层抽样抽取停留时长（单位：分钟）频数频率（0，15]20.02（15，30]a0.05（30，45]b0.10（45，60]250.2560以上580.58合计100 1.0012.（）的两条切线，则两条切线所成的锐角______．13.把函数图象上的所有点向左平移a（a＞0）个单位长度后，得到函数y=sin2x的图象，则a的最小值为______．14.已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点和双曲线的右焦点F2重合，则抛物线的标准方程为______；P为抛物线和双曲线的一个公共点，P到双曲线左焦点F1的距离为______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且b2=2，b5=16，a1=2b1，a3=b4．（Ⅰ）求{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=a n+b n，求数列{c n}的前n项和．16.已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[]上的最大值和最小值．17.国际上常用恩格尔系数（食品支出总额占个人消费支出总额的比重）反映一个国家或家庭生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高．联合国根据恩格尔系数的大小，对世界各国的生活质量有一个划分标准如下：恩格尔系数（%）生活质量大于等于60 贫穷[50，60）温饱[40，50）小康[30，40）相对富裕[20，30）富裕小于20 极其富裕下表记录了我国在改革开放后某市A，B，C，D，E五个家庭在五个年份的恩格尔系数．年份家庭恩格尔系数（%）A B C D E1978年57.7 52.5 62.3 61.0 58.8 1988年54.2 48.3 51.9 55.4 52.6 1998年44.7 41.6 43.5 49.0 47.4 2008年37.9 36.5 29.2 41.3 42.7 2018年28.6 27.7 19.8 35.7 34.2（Ⅰ）从以上五个年份中随机选取一个年份，在该年份五个家庭的生活质量都相同的概率为__（将结果直接填写在答题卡的相应位置上）；（Ⅱ）从以上五个家庭中随机选出两个家庭，求这两个家庭中至少有一个家庭在2008年和2018年均达到“相对富裕”或更高生活质量的概率；（Ⅲ）如果将“贫穷”，“温饱”，“小康”，“相对富裕”，“富裕”，“极其富裕”六种生活质量分别对应数值：0，1，2，3，4，5．请写出A，B，C，D，E 五个家庭在以上五个年份中生活质量方差最大的家庭和方差最小的家庭（结论不要求证明）．18.如图，AE⊥平面ABC，CD∥AE，AC=BC=AE=2CD=2，，M为棱BE上一点，平面CDM与棱AB交于点N．（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACDE；（Ⅱ）求证：CD∥MN；（Ⅲ）当四边形CDMN为矩形时，求四棱锥B-CDMN的体积．19.设函数．（Ⅰ）若点（1，1）在曲线y=f（x）上，求在该点处曲线的切线方程；（Ⅱ）若f（x）≥2恒成立，求a的取值范围．20.已知椭圆C：的右焦点为，过F的直线l与C交于A，B两点．当l与x轴垂直时，线段AB长度为1．O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程（Ⅱ）若对任意的直线l，点M（m，0）总满足∠OMA=∠OMB，求实数m的值．（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求△MAB面积的最大值．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：全集U={0，1，2}，集合A={x|x2-x=0}={0，1}．则∁U A={2}故选：A．由题意求出集合A，然后直接写出它的补集即可．本题考查集合的基本运算，补集的求法，考查计算能力．2.答案：C解析：解：若输入的x值为7，则x≤0否，x=7-2=5，x≤0否，x=5-2=3，x≤0否，x=3-2=1，x≤0否，x=1-2=-1x≤0是，y=2-1=，故选：C．根据程序框图进行模拟运算即可．本题主要考查程序框图的识别和应用，利用模拟运算法是解决本题的关键．比较基础．3.答案：B解析：解：画出，可行域，得在直线x-y+2=0与直线x+y=0的交点A（-1，1）处，目标函数z=2x+y的最小值为-1．故选：B．本题主要考查线性规划问题，由线性约束条件画出可行域，然后求出目标函数的最小值．本题考查不等式组所表示的平面区域和简单的线性规划问题．在线性规划问题中目标函数取得最值的点一定是区域的顶点和边界，在边界上的值也等于在这个边界上的顶点的值，故在解答选择题或者填空题时，只要能把区域的顶点求出，直接把顶点坐标代入进行检验即可．4.答案：D解析：解：由几何体的三视图得该几何体是直三棱柱，其中底面是等腰直角三角形，两条直角边长都为1，高为1，∴该几何体的表面积：S=2×（×1×1）+2×（1×1）+1×=3+．故选：D．由几何体的三视图得该几何体是直三棱柱，其中底面是等腰直角三角形，两条直角边长都为1，高为1，由此能求出该几何体的表面积．本题考查由几何体的三视图求几何体的表面积，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意空间想象能力的培养．5.答案：B解析：解：根据题意，△ABC中，a=7，c=3，，有=，则sin C===；故选：B．根据题意，由正弦定理可得=，变形可得sin C=，代入数据计算可得答案．本题考查正弦定理的应用，关键是掌握正弦定理的形式，属于基础题．6.答案：C解析：解：∵c＞1时，使不等式log a c＞log3c成立，∴＞，∴＞，∴b＞a＞1时，不等式成立，故a可以取2，故选：C．由对数不等式的解法得：由log a c＞log b c，可得＞，即b＞a＞1时，不等式成立，问题得以解决本题考查了对数不等式的解法，属简单题．7.答案：B解析：【分析】函数零点的判定方法得当a=0时，无根，当a≠0时，=a2-4a≥0，解得a＜0或a≥4，运用充分必要条件的定义判断即可.本题考查了函数零点的判定方法，充分必要条件的定义，属于容易题，运算量小．【解答】解：∵函数f（x）=ax2+ax+1存在零点，即f（x）=ax2+ax+1=0有实数根，当a=0时，无根，当a≠0时，=a2-4a≥0，解得a＜0或a≥4，∴根据充分必要条件的定义可判断：“a≥4或a≤0”是“函数f（x）=ax2+ax+1存在零点”的必要不充分条件故选：B．函数零点的判定方法得当a=0时，无根，当a≠0时，=a2-4a≥0，解得a＜0或a≥4，运用充分必要条件的定义判断即可本题考查了函数零点的判定方法，充分必要条件的定义，属于容易题，运算量小．8.答案：D解析：解：设A（x1，y1），B（x1，y1）∵x1x2+y1y2=0，∴即OA⊥OB．由题可知，在一个点集中，若对于∀A（x1，y1）∈M，∃B（x2，y2）∈M，使得OA⊥OB 成立，则这个集合就是“互垂点集”．对于集合M1，取A（0，1），要使OA⊥OB，则点B必须在x轴上，而集合M1中没有点会在x轴上，所以M1不是“互垂点集”，同理可判定M2，M3也不是“互垂点集”，即排除A，B，C．故选：D．根据x1x2+y1y2=0确定A（x1，y1）与B（x2，y2）两点的位置关系：OA⊥OB．下面只要判断四个集合所表示的点集是否满足：对于∀A（x1，y1）∈M，∃B（x2，y2）∈M，使得OA⊥OB成立即可．此题考查了平面向量数量积的运用，利用了排除法，理解：若对于∀A（x1，y1）∈M，∃B（x2，y2）∈M，使得OA⊥OB成立，则这个集合就是“互垂点集”是解本题的关键．9.答案：1+i解析：解：=1+i故答案为：1+i．将复数的分子、分母同时乘以1+i，然后利用平方差公式将分母展开即得到结果．本题考查进行复数的除法运算就是将复数的分子、分母同时乘以分母的共轭复数，然后利用多项式的乘法法则展开即可，属于基础题．10.答案：60°解析：解：由||=1，||=2，•（）=0，∴-•=0，即12-1×2×cosθ=0，解得cosθ=；又θ∈[0°，180°]，∴与的夹角θ是60°．故答案为：60°．根据平面向量的数量积运算，求出cosθ的值，即可求出夹角θ的大小．本题考查了平面向量数量积的运算问题，是基础题．11.答案：4解析：解：由图表可知学生在馆停留时间落在（15，30]，（30，45]（45，60]的频率之比为：0.05：0.10：0.25=1：2：5，从（15，30]，（30，45]（45，60]（单位：分钟）这三段时间中按分层抽样抽取16人做调查，则从（30，45]这段时长中抽取的人数是：=4，故答案为：4由落在（15，30]，（30，45]（45，60]的频率之比为：0.05：0.10：0.25=1：2：5，再结合频率之比运算可得解本题考查了分层抽样方法，属简单题12.答案：600解析：解：如图：OA，OB为圆的两条切线，在Rt△OAC中，CA=3，CO=6，∴∠COA=30°，同理∠COB=30°，故∠AOB=60°．故答案为：60°．结合图象可得．本题考查了圆的切线方程，属基础题．13.答案：解析：解：把函数图象上的所有点向左平移a（a＞0）个单位长度后，可得y=sin（2x+2a-）的图象；再根据得到函数y=sin2x的图象，则有2a-=0，解得a=，即a的最小值为，故答案为：．由题意利用函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．本题主要考查函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．14.答案：y2=8x7解析：解：抛物线y2=2px（p＞0）的焦点和双曲线的右焦点F2重合，可得，就是p=4，所以抛物线方程为：y2=8x；由，解得x=3，所以P（3，2），P到双曲线左焦点F1的距离为：=7．故答案为：y2=8x；7．求出双曲线的焦点坐标，得到抛物线的焦点坐标，即可求出抛物线方程；求出两条曲线的焦点坐标，利用双曲线定义求解P到双曲线左焦点F1的距离．本题考查双曲线的简单性质以及抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．15.答案：解：（Ⅰ）设{b n}的公比为q．因为b2=2，b5=16，所以，所以q=2.，------------------------------------------（2分）所以．------------------------------------------（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以b1=1，b4=8．设等差数列{a n}的公差为d．因为a1=2b1，a3=b4所以a1=2，a3=a1+2d=8所以d=3．------------------------------------------（6分）所以a n=3n-1．------------------------------------------（8分）因此．--------------------------------------（9分）从而数列{c n}的前n项和=------------------------------------------（12分）=．------------------------------------------（13分）解析：（Ⅰ）设{b n}的公比为q．利用已知条件求出公比，然后求解通项公式．（Ⅱ）设等差数列{a n}的公差为d．转化求解数列的通项公式a n=3n-1，然后利用拆项法求解数列的和即可．本题考查等差数列以及等比数列的应用，数列的通项公式以及数列求和的方法的应用，考查计算能力．16.答案：解：（Ⅰ）====，所以f（x）的最小正周期为．（Ⅱ）因为，所以．于是，当，即时，f（x）取得最大值；当，即时，f（x）取得最小值-2．解析：（Ⅰ）利用三角恒等变换，化简f（x）的解析式，再利用正弦函数的周期性，求出它的最小正周期．（Ⅱ）利用正弦函数的定义域和值域，求出f（x）在区间[]上的最大值和最小值．本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、定义域和值域，属于基础题．17.答案：解析：解：（Ⅰ）从以上五个年份中随机选取一个年份，基本事件总数n=5，在该年份五个家庭的生活质量都相同包含的基本整个数m=1，∴在该年份五个家庭的生活质量都相同的概率p=．故答案为：．（4分）（Ⅱ）在2008年和2018年均达到“相对富裕”或更高生活质量的有A，B，C三个家庭，从五个家庭中随机选出两个家庭的所有选法为：AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，共10种，其中至少有一个家庭达到“相对富裕”或更高生活质量的有9种．记至少有一个家庭在2008年和2018年均达到“相对富裕”或更高生活质量为事件M，则这两个家庭中至少有一个家庭在2008年和2018年均达到“相对富裕”或更高生活质量的概率．（11分）（Ⅲ）如果将“贫穷”，“温饱”，“小康”，“相对富裕”，“富裕”，“极其富裕”六种生活质量分别对应数值：0，1，2，3，4，5．家庭1978年1988年1998年2008年2018年A11234B12234C01245D01223E11223（Ⅰ）从以上五个年份中随机选取一个年份，基本事件总数n=5，在该年份五个家庭的生活质量都相同包含的基本整个数m=1，由此能求出在该年份五个家庭的生活质量都相同的概率．（Ⅱ）在2008年和2018年均达到“相对富裕”或更高生活质量的有A，B，C三个家庭，从五个家庭中随机选出两个家庭，利用列举法能求出这两个家庭中至少有一个家庭在2008年和2018年均达到“相对富裕”或更高生活质量的概率．（Ⅲ）生活质量方差最大的家庭是C，方差最小的家庭是E．本题考查概率、方差的求法，考查列举法、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.答案：（Ⅰ）证明：∵AC=BC=2，，∴AC2+BC2=AB2，∴BC⊥AC，∵AE⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴AE⊥BC，∵AE∩AC=A，∴BC⊥平面ACDE；（Ⅱ）证明：∵CD∥AE，AE⊂平面ABE，CD⊄平面ABE，∴CD∥平面ABE，∵CD⊂平面CDM，平面CDM∩平面ABE=MN，∴CD∥MN；（Ⅲ）解：∵CD∥MN，CD∥AE，∴MN∥AE，当四边形CDMN为矩形时，，∴MN为△ABE的中位线，∵AE⊥平面ABC，∴AE⊥CN，AE⊥AB，∴MN⊥CN，MN⊥AB，此时四边形CDMN为矩形，又BN⊥CN，MN∩CN=N，∴BN⊥平面CDMN．∴．解析：（Ⅰ）由已知结合勾股定理证明BC⊥AC，再由AE⊥平面ABC得AE⊥BC，利用线面垂直的判定可得BC⊥平面ACDE；（Ⅱ）由CD∥AE，利用线面平行的判定可得CD∥平面ABE，再由平面与平面平行的性质得CD∥MN；（Ⅲ））由CD∥MN，CD∥AE，得MN∥AE，然后证明BN⊥平面CDMN，结合已知由棱锥体积公式求四棱锥B-CDMN的体积．本题考查直线与平面平行、直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．19.答案：解：（I）因为点（1，1）在曲线y=f（x）上，所以a=1，．---------------------------------------（1分）又，---------------------------------------（3分）所以．---------------------------------------（4分）在该点处曲线的切线方程为即x+2y-3=0---------------------------------------（5分）（II）定义域为（0，+∞），-------------------------------（6分）讨论：（1）当a≤0时，f'（x）＜0此时f（x）在（0，+∞）上单调递减，又f（1）=a≤0，不满足f（x）≥2-------------（8分）（2）当a＞0时，令f'（x）=0可得列表可得xf'（x）-0+f（x）单调递减单调递增所以f（x）在上单调递减，在上单调递增----------------------（10分）所以=，所以令解得a≥2所以a的取值范围为a≥2．---------------------------------------（13分）或法二：定义域为（0，+∞），f（x）≥2恒成立即恒成立，又所以恒成立．令，x∈（0，+∞）则，由g'（x）＞0⇒0＜x＜1，所以g（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）上单调递减，g（x）max=g（1）=2所以a≥2解析：（Ⅰ）利用导数的几何意义计算出切线的斜率，然后根据点斜式求出切线方程；（Ⅱ）有两种思路：一是利用分类讨论的方法计算出f（x）的最小值，建立不等式求解；二是利用分离参数法得到恒成立，再借助最值求解．本题考查导数的几何意义及其应用、函数的最值处理不等式恒成立问题，属于中档题目．20.答案：解：（I）椭圆C：的右焦点为所以a2-b2=3，当l与x轴垂直时，线段AB长度为1，所以，，代入椭圆方程可得，联立方程组可得解得a2=4，b2=1．所以椭圆C的方程为，或法二：设左焦点为F1，则依题意可知：△F1AF2为直角三角形所以，.2a=|F1A|+|F2A|=4即a=2，又所以a2=4，b2=1，所以椭圆C的方程为（II）当l与x轴垂直时，∠OMA=∠OMB，此时m∈R．当l与x轴不垂直时，因为∠OMA=∠OMB所以k AM+k BM=0，设A（x1，y1）B（x2，y2），直线l的斜率为k（k≠0），则直线l的方程为又，所以又，所以可得即，联立方程组消去y得所以，，代入上式可得．（III）最大值为，此时l斜率为．=可设此时直线方程为，联立方程组消去x可得，所以，所以==，当且仅当时取等号，此时，即直线斜率为解析：本题考查椭圆的方程和性质的运用，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，三角形的面积，基本不等式，考查运算能力，属于较难题．（Ⅰ）根据题意可得c=，再根据，，可得a2=4，b2=1，即可求出椭圆方程（Ⅱ）当l与x轴垂直时，∠OMA=∠OMB，此时m∈R，当l与x轴不垂直时，根据OMA=∠OMB可得k AM+k BM=0，根据韦达定理和斜率公式即可求出（Ⅲ）根据三角形的面积公式和弦长公式和基本不等式即可求出。
2020年北京顺义区高三二模数学试卷
数学期望： ．
（3）
．
解析:
（ 1 ）根据甲班统计数据，高三年级每天学习时间达到 小时及以上的学生人数为
人．
（ 2 ）由甲、乙两班的频率分布直方图，可得每天学习不足 小时的人数，
甲班：
人．
乙班：
人．
∴ 可以取 ， ， ．
，
，
． ∴
∴
．
（ 3 ）由甲、乙两班的频率分布直方图可知，
，因为乙班的直方图比甲班的更集中．
C.
D.
4. 抛物线 A. B. C. D.
上的点与其焦点的距离的最小值为（ ）．
5. 若角 的终边经过点 A. B. C. D.
，则 的值为（ ）．
6. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）．
1
正 （ 主 ） 视图 侧 （ 左 ） 视图
俯视图 A. B. C. D.
7. 若 为任意角，则满足 A. B. C. D.
的直线 与椭圆 相交于 ， 两点． （ 1 ） 求椭圆 的方程． （ 2 ） 设点 是椭圆 的左顶点，直线 ， 求证：以 为直径的圆恒过点 ．
分别与直线
相交于点 ， ．
21. 给定数列 ， ， ， ．对
，， ，
，该数列前 项 ， ， ， 的最小值
记为 ，后 项 ， ， ， 的最大值记为 ，令
．
（ 1 ） 设数列 为 ， ， ， ，写出 ， ， 的值．
，
所以
．
又因为
，
，
所以
，
所以
．
又因为
14
，
所以
，
所以 所以以
， 为直径的圆恒过点 ．
21.（ 1 ）
，
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顺义区2020届高三第二次统练
数学试卷
第一部分(选择题 共40分)
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{}32A x x =-<<，{}3,2,0=--B ，那么A B =I （A ）{}2-
（B ）{}0
（C ）{}2,0-
（D ）{}2,0,2-
（2）在复平面内，复数()i 1i z =+对应的点位于 （A ）第一象限
（B ）第二象限
（C ）第三象限
（D ）第四象限
（3）下列函数中，既是偶函数，又在()0,+∞上单调递减的是
（A ）2y x =- （B ）2y x =- （C ）cos y x =
（D ）12
x
y =（）
（4）抛物线2=4y x 上的点与其焦点的最短距离为
（A ）4 （B ）2 （C ）1
（D ）
12
（5）若角α的终边经过点(1,2)P -，则sin α的值为
（A
（B
（C
） （D
）
（6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是 （A ）6
（B ）8
（C ）12
（D ）24
（7）若α为任意角，则满足cos()cos 4
π
+⋅=k αα的一个k 值为
（A ）2
（B ）4
（C ）6
（D ）8
（8）已知,,a b c ∈R ，在下列条件中，使得a b <成立的一个充分而不必要条件是
（A ）33a b < （B ）22ac bc <
（C ）
11a b
> （D ）22a b <
（9）设{}n a 是各项均为正数的等比数列，n S 为其前n 项和.已知1316a a ⋅=, 314S =,若存在0n 使得012,n a a a ⋅⋅⋅，，的
乘积最大，则0n 的一个可能值是 （A ）4
（B ）5
（C ）6
（D ）7
（10）已知()f x ＝2
1|1|,0
2,0
x x x x x -+<⎧⎨
-≥⎩，若实数[]2,0m ∈-，则()(1)f x f --在区间[],2m m +上的最大值的取值范围是 （A ）[]1,4
（B ）[]2,4 （C ）[]1,3 （D ）[]1,2
第二部分(非选择题 共110分)
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）已知向量(1,2)a =-，(,1)=b m ，若αb ⊥，则实数m =__________. （12）设{}n a 是等差数列，且12a =，248a a +=，则{}n a 的通项公式为__________.
（13）若将函数sin 2y x =的图象向左平移
6
π
个单位长度，则平移后得到的函数图象的解析式为______________. （14）若直线:l y x a =+将圆22:1C x y +=的圆周分成长度之比为1:3的两段弧，则实数a 的所有可能取值是
____________.
（15）曲线C 是平面内到定点3(0)2F ，和定直线3
:2
l x =-的距离之和等于5的点的轨迹，给出下列三个结论：
①曲线C 关于y 轴对称；
②若点(,)P x y 在曲线C 上，则y 满足4y ≤； ③若点(,)P x y 在曲线C 上，则15PF ≤≤； 其中，正确结论的序号是_____________.
注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求。
全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分。
三、解答题共6小题，共85分。
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
（16）（本小题14分）
已知∆ABC 中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，5a b +=，3c =， _________.是否存在以,,a b c 为边的三角形？如果存在，求出∆ABC 的面积；若不存在，说明理由.
从①1
cos 3C =；②1cos 3
C =-；③sin C =这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。
如图一所示，四边形ABCD 是边长为2的正方形，沿BD 将C 点翻折到1C 点位置（如图二所示）,使得二面角1A BD C --成直二面角.,E F 分别为11,BC AC 的中点. （I ）求证：1BD AC ⊥；
（II ）求平面DEF 与平面ABD 所成的锐二面角的余弦值.
在全民抗击新冠肺炎疫情期间，北京市开展了“停课不停学”活动，此活动为学生提供了多种网络课程资源以供选择使用.活动开展一个月后，某学校随机抽取了高三年级的甲、乙两个班级进行网络问卷调查，统计学生每天的学习时间，将样本数据分成[3,4)，[4,5) ，[5,6) ，[6,7)，[7,8]五组，并整理得到如下频率分布直方图：
（I ）已知该校高三年级共有600名学生，根据甲班的统计数据，估计该校高三年级每天学习时间达到5小时以上的
学生人数；
（II ）已知这两个班级各有40名学生，从甲、乙两个班级每天学习时间不足4小时的学生中随机抽取3人，记从甲
班抽到的学生人数为X ，求X 的分布列和数学期望；
（III ）记甲、乙两个班级学生每天学习时间的方差分别为1D ，2D ，试比较1D 与2D 的大小.（只需写出结论）
已知函数2
()e x f x ax =-,a ∈R .
（I ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))A f 处的切线方程； （II ）若()f x 在(0,)+∞内单调递增，求实数a 的取值范围；
（III ）当1a =-时，试写出方程()1f x =根的个数.（只需写出结论）
已知椭圆22
22:1(0)+=>>x y C a b a b
的焦距和长半轴长都为2．过椭圆C 的右焦点F 作斜率为(0)k k ≠的直线l 与
椭圆C 相交于,P Q 两点． （I ）求椭圆C 的方程；
（II ）设点A 是椭圆C 的左顶点，直线,AP AQ 分别与直线4x =相交于点,M N .
求证：以MN 为直径的圆恒过点F .
给定数列12,,,n a a a ⋅⋅⋅.对1,2,,1i n =⋅⋅⋅-，该数列前i 项12,,,i a a a ⋅⋅⋅的最小值记为i A ，后n i -项12,,,i i n
a a a ++⋅⋅⋅的最大值记为i B ，令i i i d B A =-.
（I ）设数列{}n a 为2,1,6,3,写出123,,d d d 的值；
（II ）设12,,,n a a a ⋅⋅⋅(4)n ≥是等比数列，公比01q <<，且10a >，证明：121,,,n d d d -⋅⋅⋅ 是等比数列； （III ）设121,,,n d d d -⋅⋅⋅是公差大于0的等差数列，且10d >，证明：121,,,n a a a -⋅⋅⋅是等差数列.。