2019版高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.1直线的倾斜角斜率与直线的方程课后作业理
第8章 第1节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程-2023届高三一轮复习数学精新高考人教A版2019)
3．过点 P(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 _3_x_－__2_y_＝_．0 或 x＋y－5＝0
解析 当纵、横截距均为 0 时，直线方程为 3x－2y＝0； 当纵、横截距均不为 0 时，设直线方程为ax＋ay＝1， 则2a＋3a＝1，解得 a＝5. 所以直线方程为 x＋y－5＝0.
◇考题再现
向旋转 15°，则旋转后得到的直线 l2 的方程为( B )
A．x－ 3y＋1＝0
B． 3x－y＝0
C． 3x＋y＋1＝0
D．3x－ 3y－1＝0
(2)若 A(1，－2)，B(5，6)，直线 l 经过 AB 的中点 M 且在两坐
标轴上的截距相等，则直线 l 的方程为_2_x_－__3_y_＝__0_或 ___x_＋__y．－5＝0
(2)求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方 程的几种特殊形式直接写出方程．
(3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适 合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．
[巩固演练] 3．已知直线 l：(2a＋b)x＋(a＋b)y＋a－b＝0 及点 P(3， 4)． (1)证明：直线 l 过某定点，并求该定点的坐标； (2)当点 P 到直线 l 的距离最大时，求直线 l 的方程． 解析 (1)在直线 l 的方程可化为： a(2x＋y＋1)＋b(x＋y－1)＝0， 由2x＋x＋y－y＋11＝＝00，解得xy＝＝－3 2，， ∴直线恒过定点(－2，3)．
＝5＋－k＋－4k≥5＋4＝9. 所以当且仅当－k＝－4k且 k<0， 即 k＝－2 时，|OA|＋|OB|取最小值． 这时 l 的方程为 2x＋y－6＝0.
►规律方法 与直线方程有关问题的常见类型及解题策略
(1)求解与直线方程有关的最值问题．先设出直线方程， 建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．
2019版高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.1直线的倾
0，则直线 mx＋3y＋n＝0 过定点( )
A.12，16 C.16，－12
B.12，－16 D.－16，12
解析 ∵m＋2n－1＝0，∴m＋2n＝1.∵mx＋3y＋n＝0，
∴(mx＋n)＋3y＝0，当 x＝12时，mx＋n＝12m＋n＝12，∴3y
又由 l 在 y 轴上的截距是－1， 则其方程为 y＝－ 3x－1； 又由其一般式方程为 mx＋n2y－1＝0， 分析可得 m＝－ 3，n＝－2.故选 A.
10．若点(m，n)在直线 4x＋3y－10＝0 上，则 m2＋n2 的最小值是( )
A．2 C．4
B．2 2 D．2 3
解析 因为点(m，n)在直线 4x＋3y－10＝0 上，所以 4m＋3n－10＝0.
斜角是( )
A．40°
B．50°
C．130° D．140°
解析 将直线 xcos140°＋ysin40°＋1＝0 化成 xcos40° －ysin40°－1＝0，其斜率为 k＝csoins4400°°＝tan50°，倾斜角为 50°.故选 B.
3．(2018·哈尔滨模拟)函数 y＝asinx－bcosx 的一条对称
9．(2017·烟台期末)直线 mx＋n2y－1＝0 在 y 轴上的截距 是－1，且它的倾斜角是直线 3x－y－3 3＝0 的倾斜角的 2 倍，则( )
A．m＝－ 3，n＝－2 B．m＝ 3，n＝2 C．m＝ 3，n＝－2 D．m＝－ 3，n＝2
解析 根据题意，设直线 mx＋n2y－1＝0 为直线 l， 另一直线的方程为 3x－y－3 3＝0， 变形可得 y＝ 3(x－3)，其斜率 k＝ 3， 则其倾斜角为 60°，而直线 l 的倾斜角是直线 3x－y－ 3 3＝0 的倾斜角的 2 倍，则直线 l 的倾斜角为 120°，且斜 率 k＝tan120°＝－ 3，
新人教版通用2019高考数学一轮复习第8章平面解析几何第1节直线的倾斜角与斜率直线的方程教师用书文新人教A
第八章平面解析几何[深研高考·备考导航]为教师授课、学生学习提供丰富备考资源[五年考情]综合近5年全国卷高考试题，我们发现高考命题在本章呈现以下规律：1．从考查题型看：一般有2个客观题，1个解答题；从考查分值看，在22分左右．基础题主要考查对基础知识和基本方法的掌握程度，中档题主要考查运算能力和逻辑推理能力，难题考查综合应用能力．2．从考查知识来看：主要考查直线的方程、圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系、圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)的定义、标准方程及性质、直线与圆锥曲线的位置关系、圆锥曲线的综合应用．突出对数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想以及探究、创新能力的考查．3．从命题思路上看：(1)直线方程与其他知识相结合．(2)圆的方程的求解以及直线与圆的位置关系，弦长以及参数的求解．(3)对圆锥曲线的考查，大多以圆锥曲线的性质为依托，结合运算推理来解决，要求能够比较熟练地运用性质进行有关数值、代数式的运算及推理．(4)对于直线与圆锥曲线的位置关系的考查，大多数是将直线与圆锥曲线方程联立求解，还有求三角形面积的值、线段的长度、直线方程、参数值，以及定点、定值、最值以及探究性问题等．[导学心语]1．抓主线，构建知识体系：对直线、圆及圆锥曲线的基本定义、标准方程和相关性质应熟练掌握，如对直线与圆锥曲线的位置关系的解法及解题思想应灵活掌握．2．依托基础知识，强化思想方法训练：直线、圆及圆锥曲线是数与形结合的完美载体，要熟练运用坐标法和“数形结合”思想，另外，函数与方程的思想是本章学习的另一个重点，应加强运用．3．加强纵横联系，强化综合应用意识：在知识的交汇处命题，已成为高考的一大亮点，尤其应加强该部分知识与向量、函数、方程及不等式间的内在联系，同时解题中立足通性、通法、淡化技巧以达到优化解题思路，简化解题过程的目的．4．突出重点，热点考查内容的复习：如弦长问题，对称问题，定值(点)问题、范围问题，开放和探索性问题及向量与解析几何的综合应用问题等等．第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程————————————————————————————————[考纲传真] 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(2)范围：直线l 倾斜角的取值范围是[0，π)． 2．斜率公式(1)直线l 的倾斜角为α≠90°，则斜率k ＝tan_α.(2)P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上，且x 1≠x 2，则l 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1. 3．直线方程的五种形式1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．( ) (2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( )(3)过定点P 0(x 0，y 0)的直线都可用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示．( )(4)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( )[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√2．(教材改编)直线3x －y ＋a ＝0(a 为常数)的倾斜角为( ) A ．30° B ．60°C ．150°D ．120°B [直线的斜率为k ＝tan α＝3， 又因为0°≤α＜180°，则α＝60°.]3．(2014·福建高考)已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则直线l 的方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x －y ＋2＝0C ．x ＋y －3＝0D ．x －y ＋3＝0D [圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心为点(0,3)，又因为直线l 与直线x ＋y ＋1＝0垂直，所以直线l 的斜率k ＝1.由点斜式得直线l ：y －3＝x －0，化简得x －y ＋3＝0.]4．直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则实数a ＝________. 1或－2 [令x ＝0，则l 在y 轴上的截距为2＋a ；令y ＝0，得直线l 在x 轴上的截距为1＋2a.依题意2＋a ＝1＋2a，解得a ＝1或a ＝－2.]5．(2017·西安模拟)过点P (2,3)，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l 的方程为________．3x －2y ＝0或x －y ＋1＝0 [当直线过原点时，方程为y ＝32x ，即3x －2y ＝0.当直线l 不过原点时，设直线方程为x a －y a＝1. 将P (2,3)代入方程，得a ＝－1， 所以直线l 的方程为x －y ＋1＝0.综上，所求直线l 的方程为3x －2y ＝0或x －y ＋1＝0.](1)直线x －y cos θ＋1＝0(θ∈R )的倾斜角α的取值范围是________． (2)(2017·郑州模拟)若直线l 过点P (－3,2)，且与以A (－2，－3)，B (3,0)为端点的线段相交，则直线l 的斜率的取值范围是________．(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4 (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5，－13 [(1)当θ＝k π＋π2(k ∈Z )时，cos θ＝0，直线为x＋1＝0，其倾斜角为π2.当θ≠k π＋π2(k ∈Z )时，直线l 的斜率为tan α＝1cos θ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，所以直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4.综上，α的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4.(2)因为P (－3,2)，A (－2，－3)，B (3,0)，则k PA ＝－3－2－2－－＝－5，k PB ＝0－23－－＝－13.如图所示，当直线l 与线段AB 相交时，直线l 的斜率的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5，－13.][规律方法] 1.(1)任一直线都有倾斜角，但斜率不一定都存在；直线倾斜角的范围是[0，π)，斜率的取值范围是R .(2)正切函数在[0，π)上不单调，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围．2．第(2)问求解要注意两点： (1)斜率公式的正确计算；(2)数形结合写出斜率的范围，切莫误认为k ≤－5或k ≥－13.[变式训练1] (1)(2017·惠州质检)直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率k 的取值范围是( )A ．－1＜k ＜15B ．k ＞1或k ＜12C ．k ＞15或k ＜1D ．k ＞12或k ＜－1(2)直线l 经过A (3,1)，B (2，－m 2)(m ∈R )两点，则直线l 的倾斜角α的取值范围是________．(1)D (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2 [(1)设直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)，直线在x轴上的截距为1－2k.令－3＜1－2k ＜3，解不等式得k ＜－1或k ＞12.(2)直线l 的斜率k ＝1＋m 23－2＝1＋m 2≥1，所以k ＝tan α≥1.又y ＝tan α在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数，因此π4≤α＜π2.](1)过点A (1,3)，斜率是直线y ＝－4x 的斜率的13的直线方程为________．(2)若A (1，－2)，B (5,6)，直线l 经过AB 的中点M 且在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程．(1)4x ＋3y －13＝0 [设所求直线的斜率为k ，依题意k ＝－4×13＝－43.又直线经过点A (1,3)，因此所求直线方程为y －3＝－43(x －1)，即4x ＋3y －13＝0.](2)法一：设直线l 在x 轴，y 轴上的截距均为a . 由题意得M (3,2).2分若a ＝0，即l 过点(0,0)和(3,2)，所以直线l 的方程为y ＝23x ，即2x －3y ＝0.5分若a ≠0，设直线l 的方程为x a ＋y a＝1， 因为直线l 过点M (3,2)，所以3a ＋2a＝1，8分所以a ＝5，此时直线l 的方程为x 5＋y5＝1，即x ＋y －5＝0.综上，直线l 的方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0.12分法二：易知M (3,2)，由题意知所求直线l 的斜率k 存在且k ≠0，则直线l 的方程为y －2＝k (x －3).2分令y ＝0，得x ＝3－2k；令x ＝0，得y ＝2－3k .5分所以3－2k ＝2－3k ，解得k ＝－1或k ＝23.8分所以直线l 的方程为y －2＝－(x －3)或y －2＝23(x －3)，即x ＋y －5＝0或2x －3y ＝0.12分[规律方法] 1.截距可正、可负、可为0，因此在解与截距有关的问题时，一定要注意“截距为0”的情况，以防漏解．2．求直线方程的方法主要有两种：直接法与待定系数法．运用待定系数法要先设出直线方程，再根据条件求出待定系数．利用此方法，注意各种形式的适用条件，选择适当的直线方程的形式至关重要．[变式训练2] 求过点A (－1，－3)且倾斜角等于直线y ＝3x 的倾斜角的2倍的直线方程．[解] 由已知设直线y ＝3x 的倾斜角为α，2分 则所求直线的倾斜角为2α.5分 ∵tan α＝3，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－34.8分 又直线经过点A (－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0.12分A ，B 两点，O为坐标原点．求：(1)当|OA |＋|OB |取得最小值时，直线l 的方程； (2)当|MA |2＋|MB |2取得最小值时，直线l 的方程．【导学号：31222284】[解] (1)设A (a,0)，B (0，b )(a ＞0，b ＞0)．设直线l 的方程为x a ＋y b＝1，则1a ＋1b＝1，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·ab＝4，3分 当且仅当a ＝b ＝2时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.5分 (2)设直线l 的斜率为k ，则k ＜0，直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，则A ⎝⎛⎭⎪⎫1－1k，0，B (0,1－k )，7分所以|MA |2＋|MB |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1＋1k 2＋12＋12＋(1－1＋k )2＝2＋k 2＋1k2≥2＋2k 2·1k2＝4.10分当且仅当k 2＝1k2，即k ＝－1时，上式等号成立．所以当|MA |2＋|MB |2取得最小值时，直线l 的方程为x ＋y －2＝0.12分[规律方法] 1.求解本题的关键是找出|OA |＋|OB |与|MA |2＋|MB |2取得最小值的求法，恰当设出方程的形式，利用均值不等式求解，但一定要注意等号成立的条件．2．利用直线方程解决问题，为简化运算可灵活选用直线方程的形式．一般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知截距选择截距式．[变式训练3] 已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0＜a ＜2时，直线l 1，l 2与两坐标轴正半轴围成一个四边形，则当a 为何值时，四边形的面积最小？[解] 由⎩⎪⎨⎪⎧ax －2y ＝2a －4，2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，得x ＝y ＝2，2分∴直线l 1与l 2交于点A (2,2)(如图)．易知|OB |＝a 2＋2，|OC |＝2－a ，5分 则S四边形OBAC＝S △AOB ＋S △AOC ＝12×2(a 2＋2)＋12×2(2－a )＝a 2－a ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋154，a ∈(0,2)，10分∴当a ＝12时，四边形OBAC 的面积最小.12分[思想与方法]1．求直线方程的两种常见方法：(1)直接法：根据已知条件选择恰当的直线方程形式，直接求出直线方程．(2)待定系数法：先根据已知条件设出直线方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)，求出待定系数，从而求出直线方程．2．5种形式的直线方程都有不同的适用条件，当条件不具备时，要注意分类讨论思想的应用．[易错与防范]1．求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率．2．根据斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性． 3．应用截距式方程时要注意讨论直线是否过原点，截距是否为0.4．由一般式Ax ＋By ＋C ＝0确定斜率k 时，易忽视判定B 是否为0.当B ＝0时，k 不存在；当B ≠0时，k ＝－A B.课时分层训练(四十五) 直线的倾斜角与斜率、直线的方程A 组 基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．倾斜角为135°，在y 轴上的截距为－1的直线方程是( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y －1＝0 C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋1＝0D [直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y ＝－x －1，即x ＋y ＋1＝0.] 2．设直线ax ＋by ＋c ＝0的倾斜角为α，且sin α＋cos α＝0，则a ，b 满足( ) A ．a ＋b ＝1 B ．a －b ＝1 C ．a ＋b ＝0D ．a －b ＝0D [由sin α＋cos α＝0，得sin αcos α＝－1，即tan α＝－1.又因为tan α＝－ab ，所以－a b＝－1，则a ＝b .]3．若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则参数m 满足的条件是( )A ．m ≠－32B ．m ≠0C ．m ≠0且m ≠1D ．m ≠1D [由⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －3＝0，m 2－m ＝0，解得m ＝1，故m ≠1时方程表示一条直线．]4．在等腰三角形AOB 中，OA ＝AB ，点O (0,0)，A (1,3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( )【导学号：31222285】A ．y －1＝3(x －3)B ．y －1＝－3(x －3)C ．y －3＝3(x －1)D ．y －3＝－3(x －1)D [设点B 的坐标为(a,0)(a ＞0)，由OA ＝AB ，得12＋32＝(1－a )2＋(3－0)2，则a ＝2， ∴点B (2,0)，易得k AB ＝－3，由两点式，得AB 的方程为y －3＝－3(x －1)．]5．(2017·威海模拟)过点(2,1)，且倾斜角比直线y ＝－x －1的倾斜角小π4的直线方程是( )【导学号：31222286】A ．x ＝2B ．y ＝1C ．x ＝1D ．y ＝2A [∵直线y ＝－x －1的斜率为－1，则倾斜角为34π. 依题意，所求直线的倾斜角为3π4－π4＝π2，斜率不存在， ∴过点(2,1)的所求直线方程为x ＝2.]二、填空题6．直线l 与两直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于P ，Q 两点，线段PQ 中点是(1，－1)，则l 的斜率是________．【导学号：31222287】－23[设P (m,1)，则Q (2－m ，－3)， ∴(2－m )＋3－7＝0，∴m ＝－2，∴P (－2,1)，∴k ＝1＋1－2－1＝－23.] 7．设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________．[－2,2] [b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1,0)和点B (1,0)时，b分别取得最小值和最大值，∴b 的取值范围是[－2,2]．]8．(2017·惠州模拟)直线l 过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12，则直线l 的方程为________．4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0 [由题意知，截距不为0，设直线l 的方程为x a ＋y 12－a＝1.又直线l 过点(－3,4)，从而－3a ＋412－a＝1， 解得a ＝－4或a ＝9.故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0.]三、解答题9．(2017·潍坊模拟)直线l 过点(－2,2)且与x 轴，y 轴分别交于点(a,0)，(0，b )，若|a |＝|b |，求l 的方程．[解] 若a ＝b ＝0，则直线l 过点(0,0)与(－2,2)，2分直线l 的斜率k ＝－1，直线l 的方程为y ＝－x ，即x ＋y ＝0.5分若a ≠0，b ≠0，则直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ －2a ＋2b＝1，|a |＝|b |，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－4，b ＝4，10分此时，直线l 的方程为x －y ＋4＝0.综上，直线l 的方程为x ＋y ＝0或x －y ＋4＝0.12分10．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )．(1)若l 在两坐标轴上截距相等，求l 的方程；(2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．[解] (1)当直线过原点时，在x 轴和y 轴上的截距为零，∴a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0.当直线不过原点时，截距存在且均不为0，∴a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1，3分 ∴a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.因此直线l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.6分(2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，8分∴⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＋＞0，a －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＋＝0，a －2≤0，∴a ≤－1.10分综上可知，a 的取值范围是a ≤－1.12分B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2且|PA |＝|PB |，若直线PA 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程为( ) 【导学号：31222288】A ．2x ＋y －7＝0B ．x ＋y －5＝0C ．2y －x －4＝0D ．2x －y －1＝0B [由条件得点A 的坐标为(－1,0)，点P 的坐标为(2,3)，因为|PA |＝|PB |，根据对称性可知，点B 的坐标为(5,0)，从而直线PB 的方程为y －3－3＝x －25－2，整理得x ＋y －5＝0.] 2．已知A (3,0)，B (0,4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是________． 3 [直线AB 的方程为x 3＋y 4＝1. ∵动点P (x ，y )在直线AB 上，则x ＝3－34y ，∴xy ＝3y －34y 2＝34(－y 2＋4y ) ＝34[]－y －2＋4≤3，即当P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2时，xy 取最大值3.] 3．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )．(1)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(2)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．[解] (1)由方程知，当k ≠0时，直线在x 轴上的截距为－1＋2k k，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋2k k ≤－2，1＋2k ≥1，解得k ＞0；3分当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k ≥0.5分 (2)由l 的方程，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )． 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋2k k ＜0，1＋2k ＞0，解得k ＞0.7分 ∵S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k | ＝12·＋2k 2k ＝12⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12×(2×2＋4)＝4， “＝”成立的条件是k ＞0且4k ＝1k ，即k ＝12，10分 ∴S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.12分。
[精品课件]2019届高考数学一轮复习 第八章 解析几何 第1讲 直线的倾斜角与斜率、直线的方程课件 文 新人
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[解] (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式． 设倾斜角为 α，则 sin α＝ 1100(0<α<π)， 从而 cos α＝±31010，则 k＝tan α＝±13. 故所求直线方程为 y＝±13(x＋4)． 即 x＋3y＋4＝0 或 x－3y＋4＝0.
(2)设直线 l 在 x，y 轴上的截距均为 a. 若 a＝0，即 l 过点(0,0)及(4,1)， ∴l 的方程为 y＝14x，即 x－4y＝0. 若 a≠0，则设 l 的方程为ax＋ay＝1， ∵l 过点(4,1)，∴4a＋1a＝1， ∴a＝5，∴l 的方程为 x＋y－5＝0. 综上可知，直线 l 的方程为 x－4y＝0 或 x＋y－5＝0.
【针对补偿】 3．求适合下列条件的直线方程： (1)经过点 P(3,2)且在两坐标轴上的截距相等； (2)过点 A(－1，－3)，斜率是直线 y＝3x 的斜率的－14倍； (3)过点 A(1，－1)与已知直线 l1：2x＋y－6＝0 相交于 B 点且|AB|＝5.
[解] (1)设直线 l 在 x，y 轴上的截距均为 a， 若 a＝0，即 l 过点(0,0)和(3,2)， ∴l 的方程为 y＝23x，即 2x－3y＝0. 若 a≠0，则设 l 的方程为ax＋ay＝1， ∵l 过点(3,2)，∴3a＋2a＝1， ∴a＝5，∴l 的方程为 x＋y－5＝0， 综上可知，直线 l 的方程为 2x－3y＝0 或 x＋y－5＝0.
(2)待定系数法，具体步骤为： ①设所求直线方程的某种形式； ②由条件建立所求参数的方程(组)； ③解这个方程(组)求出参数； ④把参数的值代入所设直线方程．
[知识自测] 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．( ) (2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( ) (3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．( ) (4)直线的斜率为 tan α，则其倾斜角为 α.( ) (5)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．( ) (6)经过任意两个不同的点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用 方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√
高考数学一轮总复习第八章平面解析几何 1直线的倾斜角斜率与方程课件
8.1 直线的倾斜角、斜率与方程
1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素.
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两
点的直线斜率的计算公式.
3.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式
及一般式）.
如图，因为 =
3].
−1,0 和点 , 的直线的斜率.
1−0
2− −1
=
1
,
3
=
3−0
0− −1
= 3,所以直线的斜率 ∈
1
[ ,
3
1
3].故填[ ,
3
考点二 求直线方程
例2（1） 求适合下列条件的直线方程.
①过点 4, −2 ，倾斜角为150∘ .
②过两点 1,3 ， 2,5 .
【教材梳理】
1.直线的倾斜角
向上
（1）定义：当直线与轴相交时，我们以轴为基准，轴正向与直线______的
方向之间所成的角 叫做直线的倾斜角.
∘ .
平行或重合
（2）规定：当直线与轴____________时，我们规定它的倾斜角为0
[0∘ , 180∘ )
（3）范围：直线倾斜角的取值范围是__________.
A.第一象限
B.第二象限
解：由已知，得直线 + + =
C.第三象限
√
0在轴上的截距−
故直线经过第一、二、四象限，不经过第0，在轴上的截距−
> 0，
考点一 直线的倾斜角和斜率
例1（1） 【多选题】如图，直线1 ，2 ，3 的斜率分别为1 ，2 ，3 ，
2024届高考数学一轮复习+第八章《平面解析几何》第一节+直线的倾斜角与斜率、直线方程+课件
1.求倾斜角的取值范围的方法
（1）利用 求解.
（2）利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角 的取值范围.求倾斜角时要注意斜率是否存在.
2.斜率的两种求解策略
数形结合法
作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定（过一定点作直线与已知线段没有交点或相交时，常借助数形结合的方法求解）
5. （2022江西上饶重点中学六校联考）已知点 和 在直线 的同侧，则直线 的倾斜角的取值范围是_ _______.
[解析] “点 和 在直线 的同侧”的充要条件是 ，解得 ，即直线 的斜率的取值范围是 ，故其倾斜角的取值范围是 .
关键能力·突破
考点一 直线的倾斜角与斜率
2.直线的倾斜角 和斜率 之间的对应关系
0
0
不存在
牢记口诀：“斜率变化分两段， 是分界线；遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”.
3.“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，可正，可负，也可为零，而“距离”是一个非负数.
〔课前自测〕
1. 概念辨析（正确的打“√”,错误的打“×”）.
（1） 根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.( )
（2）由（1）知 ， ， ， ， . ，当且仅当 时取等号，此时直线 的方程为 .
方法感悟（1）直线过定点问题一般将直线的方程化为点斜式，得到定点坐标.（2）求解与直线方程有关的最值问题，应先根据题意建立目标函数，再利用基本不等式（或函数单调性）求解最值.
迁移应用
3. （2021吉林高三模拟）已知直线 .
[解析] 设直线的倾斜角为 ，所以直线的斜率 ，所以 ，故 .
变式2 若将本例（2）中“ ”改为“ ”，其他条件不变，则直线 的斜率的取值范围为_ ______.
高考数学一轮复习第八章平面解析几何8.1直线的倾斜角与斜率、直线的方程课时提升作业理
⾼考数学⼀轮复习第⼋章平⾯解析⼏何8.1直线的倾斜⾓与斜率、直线的⽅程课时提升作业理直线的倾斜⾓与斜率、直线的⽅程(25分钟50分)⼀、选择题(每⼩题5分,共35分)1.直线x+y+1=0的倾斜⾓是( )A. B. C. D.【解析】选D.由直线的⽅程得直线的斜率为k=-,设倾斜⾓为α,则tanα=-,⼜α∈[0,π),所以α=.2.设直线ax+by+c=0的倾斜⾓为α,且sinα+cosα=0,则a,b满⾜( )A.a+b=1B.a-b=1C.a+b=0D.a-b=0【解析】选D.由题意得sinα=-cosα,显然cosα≠0,则tanα=-1,所以-=-1,a=b,a-b=0.3.下列命题中,正确的是( )A.直线的斜率为tanα,则直线的倾斜⾓是αB.直线的倾斜⾓为α,则直线的斜率为tanαC.直线的倾斜⾓越⼤,则直线的斜率就越⼤D.直线的倾斜⾓α∈∪时,直线的斜率分别在这两个区间上单调递增【解析】选D.因为直线的斜率k=tanα,且α∈∪时,α才是直线的倾斜⾓,所以A不对; 因为任⼀直线的倾斜⾓α∈[0,π),⽽当α=时,直线的斜率不存在,所以B不对;当α∈时,斜率⼤于0;当α∈时,斜率⼩于0,C不对.4.倾斜⾓为120°,在x轴上的截距为-1的直线的⽅程是( )A.x-y+1=0B.x-y-=0C.x+y-=0D.x+y+=0【解析】选 D.由于倾斜⾓为120°,故斜率k=-.⼜直线过点(-1,0),所以⽅程为y=-(x+1),即x+y+=0.5.已知直线l:ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等,则实数a的值是( )A.1B.-1C.-2或-1D.-2或1【解析】选D.显然a≠0,由题意得a+2=,解得a=-2或1.6.(2016·西安模拟)点A(1,1)到直线xcosθ+ysinθ-2=0的距离的最⼤值是( )A.2B.2-C.2+D.4【解析】选C.由点到直线的距离公式,得d==2-sin,⼜θ∈R,所以d max=2+.7.已知a,b均为正数,且直线ax+by-6=0与直线2x+(b-3)y+5=0互相平⾏,则2a+3b的最⼩值为( )A.5B.25C.13D.15【解析】选B.因为直线ax+by-6=0与直线2x+(b-3)y+5=0互相平⾏,所以a(b-3)-2b=0,且5a+12≠0,所以3a+2b=ab,即+=1,⼜a,b均为正数,则2a+3b=(2a+3b)=4+9++≥13+2=25.当且仅当a=b=5时上式等号成⽴.⼆、填空题(每⼩题5分,共15分)8.已知直线的倾斜⾓是60°,在y轴上的截距是5,则该直线的⽅程为.【解析】因为直线的倾斜⾓是60°,所以直线的斜率为k=tan60°=.⼜因为直线在y轴上的截距是5,由斜截式得直线的⽅程为y=x+5.即x-y+5=0.答案:x-y+5=0【加固训练】过点A(-1,-3),斜率是直线y=3x的斜率的-的直线的⽅程为. 【解析】设所求直线的斜率为k,依题意k=-×3=-.⼜直线经过点A(-1,-3),因此所求直线⽅程为y+3=-(x+1),即3x+4y+15=0.答案:3x+4y+15=09.已知A(3,5),B(4,7),C(-1,x)三点共线,则x= .【解析】因为k AB==2,k AC==-.⼜A,B,C三点共线,所以k AB=k AC,即-=2,解得x=-3.答案:-310.(2016·平顶⼭模拟)与直线x+y-1=0垂直的直线的倾斜⾓为.【解析】因为直线x+y-1=0的斜率为k1=-,所以与直线x+y-1=0垂直的直线的斜率为k2=-=.所以它的倾斜⾓为.答案:(20分钟40分)1.(5分)(2016·保定模拟)直线y=tan的倾斜⾓等于( )A. B. C. D.0【解析】选D.因为tan=,所以y=tan即y=,表⽰⼀条与x轴平⾏的直线,因此直线y=tan的倾斜⾓等于0.2.(5分)已知点A(-1,0),B(cosα,sinα),且|AB|=,则直线AB的⽅程为( )A.y=x+或y=-x-B.y=x+或y=-x-C.y=x+1或y=-x-1D.y=x+或y=-x-【解析】选B.|AB|===,所以cosα=,sinα=±,所以k AB=±,即直线AB的⽅程为y=±(x+1),所以直线AB的⽅程为y=x+或y=-x-.【加固训练】已知直线l过点(0,2),且其倾斜⾓的余弦值为,则直线l的⽅程为( )A.3x-4y-8=0B.3x+4y-8=0C.3x+4y+8=0D.3x-4y+8=0【解析】选D.因为cosα=,α∈[0,π),所以sinα=,k=tanα=,所以直线l的⽅程为y-2=x,即3x-4y+8=0.3.(5分)过点(1,3)作直线l,若经过点(a,0)和(0,b),且a∈N*,b∈N*,则可作出的直线l的条数为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选B.由题意得+=1?(a-1)(b-3)=3.⼜a∈N*,b∈N*,故有两个解或4.(12分)已知直线l过点P(0,1),且与直线l1:x-3y+10=0和l2:2x+y-8=0分别交于点A,B(如图).若线段AB被点P平分,求直线l的⽅程.【解析】因为点B在直线l2:2x+y-8=0上,故可设点B的坐标为(a,8-2a).因为点P(0,1)是线段AB的中点,得点A的坐标为(-a,2a-6).⼜因为点A在直线l1:x-3y+10=0上,故将A(-a,2a-6)代⼊直线l1的⽅程,得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4.所以点B的坐标是(4,0).因此,过P(0,1),B(4,0)的直线l的⽅程为+=1,即x+4y-4=0.【加固训练】已知直线l经过A(cosθ,sin2θ)和B(0,1)不同的两点,求直线l倾斜⾓的取值范围.【解析】当cosθ=0时,sin2θ=1-cos2θ=1,此时A,B重合.所以cosθ≠0.所以k==-cosθ∈[-1,0)∪(0,1].因此倾斜⾓的取值范围是∪.5.(13分)已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R).(1)证明:直线l过定点.(2)若直线l不经过第四象限,求k的取值范围.(3)若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,O为坐标原点,设△AOB的⾯积为S,求S的最⼩值及此时直线l的⽅程.【解析】(1)⽅法⼀:直线l的⽅程可化为y=k(x+2)+1,故⽆论k取何值,直线l总过定点(-2,1). ⽅法⼆:设直线l过定点(x0,y0),则kx0-y0+1+2k=0对任意k∈R恒成⽴,即(x0+2)k-y0+1=0恒成⽴,所以x0+2=0,-y0+1=0,解得x0=-2,y0=1,故直线l总过定点(-2,1).(2)直线l的⽅程为y=kx+2k+1,则直线l在y轴上的截距为2k+1,要使直线l不经过第四象限,则解得k的取值范围是[0,+∞).(3)依题意,直线l在x轴上的截距为-,在y轴上的截距为1+2k,所以A,B(0,1+2k).⼜-<0且1+2k>0,所以k>0.故S=|OA||OB|=×(1+2k)=≥(4+4)=4,当且仅当4k=,即k=时,取等号.故S的最⼩值为4,此时直线l的⽅程为x-2y+4=0.。
高考数学一轮复习 第8章 平面解析几何 第1节 直线的倾
2．(教材改编)直线 3x－y＋a＝0(a 为常数)的倾斜角为( )
A．30°
B．60°
C．150°
D．120°
B [直线的斜率为 k＝tan α＝ 3，
又因为 0°≤α＜180°，则 α＝60°.]
3．(2014·福建高考)已知直线 l 过圆 x2＋(y－3)2＝4 的圆心，且与直线 x＋y
＋1＝0 垂直，则直线 l 的方程是( )
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直线的倾斜角和斜率
(1)直线 x－ycos θ＋1＝0(θ∈R)的倾斜角 α 的取值范围是 ________．
(2)(2017·郑州模拟)若直线 l 过点 P(－3,2)，且与以 A(－2，－3)， B(3,0)为端点的线段相交，则直线 l 的斜率的取值范围是________．
斜截式 两点式
__y_＝__k_x_＋__b__ ___yy2_－－__yy_11_＝__xx2_－－__xx_11
截距式 一般式
ax＋by＝1 __A_x_＋__B__y＋__C__＝__0_，
__A_2_＋__B_2_≠__0__
适用范围 不含直线 x＝x0 不含垂直于 x 轴的直线 不含直线 x＝x1(x1≠x2)和直线 y＝ y1(y1≠y2) 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
[变式训练 1] (1)(2017·惠州质检)直线 l 经过点 A(1,2)，在 x 轴上的截距的
取值范围是(－3,3)，则其斜率 k 的取值范围是( )
A．－1＜k＜15
B．k＞1 或 k＜12
C．k＞15或 k＜1
D．k＞12或 k＜－1
(2)直线 l 经过 A(3,1)，B(2，－m2)(m∈R)两点，则直线 l 的倾斜角 α 的取值
高考数学大一轮总复习 第八章 平面解析几何 8.1 直线
R 热点命题 深度剖析
考点一 直线的倾斜角和斜率
【例1】 (1)直线xsin α－y＋1＝0的倾斜角的变化范围是( )
A.0，2π
B．(0，π)
C.－π4，π4
【解析】
D.0，π4∪34π，π
直线 xsin α－y＋1＝0 的斜率是 k＝sin α，
两点式 过两点(x1，y1)，(x2， _yy_2－_－_y_y11_＝__xx_2－_－_x_x1_1 _ y2)，(x1≠x2，y1≠y2)
不包括 __垂__直__于__坐__标__轴___的 直线
名称
几何条件
在 x 轴、y 轴上的截 截距式 距分别为 a，b(a，
b≠0)
方程 __ax_＋__by_＝__1___
Q(2,2)，若直线l：x＋my＋m＝0与线段PQ有交点，则实数m的取值范围是 _－__23_，__12__。
【解析】 如图所示，直线 l：x＋my＋m＝0 过定点 A(0，－1)，当 m≠0 时，kQA＝23，kPA＝－2，kl＝－m1 。
∴－m1 ≤－2 或－m1 ≥32。 解得 0<m≤12或－32≤m<0； 当 m＝0 时，直线 l 的方程为 x＝0，与线段 PQ 有交点。 ∴实数 m 的取值范围为－23，12。
5 ． 直 线 l ： ax ＋ y － 2 － a ＝ 0 在 x 轴 、 y 轴 上 的 截 距 相 等 ， 则 a ＝ _－__2_或__1__。
解析 令 x＝0，则 y＝2＋a，即在 y 轴上的截距为 2＋a，同理在 x 轴 上的截距为2＋a a。所以 2＋a＝2＋a a，解得 a＝－2 或 a＝1。
(3)ห้องสมุดไป่ตู้线的倾斜角越大，斜率k就越大。( × )
2019年高考数学(理)一轮复习第8章平面解析几何第1节直线的倾斜角与斜率、直线的方程学案.docx
北师大版 2019 届高考数学一轮复习学案第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程[ 考纲传真 ]( 教师用书独具 )1. 在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几掌握过两点的直线斜率的计算公式 ( 点斜式、 两点式及一般式( 对应学生用书第 130 页 )[ 基础知识填充 ]1．直线的倾斜角(1) 定义：在平面直角坐标系中，对于一条与 x 轴相交的直线 l ，把 x 轴 ( 正方向 ) 按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l 重合所成的角，叫作直线l 的倾斜角，当直线l 和 x 轴平行时，它的倾斜角为0.(2) 倾斜角的范围是 [0 ， π) ．2．直线的斜率(1) 定义：当 α ≠90°时，一条直线的倾斜角 α 的正切值叫作这条直线的斜率，斜率常用小写字母 k 表示，即 k ＝ tan_ α，倾斜角是 90°的直线斜率不存在．(2) 过两点的直线的斜率公式y 2－ y 1经过两点 P 1( x 1， y 1) ， P 2( x 2， y 2)( x 1≠ x 2) 的直线的斜率公式为 k ＝ x 2－ x 1.3．直线方程的五种形式名称 方程点斜式y － y 0＝ k ( x － x 0) 斜截式y ＝ kx ＋b 两点式 y － y 1 x － x 1 y － y ＝ x －x1 12 2 x y截距式 a ＋ b ＝1 一般式 ＋ ＋ ＝0， 2＋ 2 ≠0Ax By C A B[ 基本能力自测适用范围不含直线 x ＝ x 0不含垂直于 x 轴的直线不含直线 x ＝x 1( x 1≠ x 2) 和直线 y ＝ y 1( y 1≠y 2)不含垂直于坐标轴和过原点的直线平面内所有直线都适用]1． ( 思考辨析 ) 判断下列结论的正误． ( 正确的打“√”，错误的打“×”)(1) 根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置． ( ) (2) 坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．()(3) 直线的倾斜角越大，其斜率就越大． () (4) 过定点 P ( x ， y ) 的直线都可用方程 y － y ＝ k ( x － x) 表示． ()何要素 .2. 理解直线的倾斜角和斜率的概念，直线的几何要素， 掌握直线方程的三种形式函数的关系．北师大版 2019 届高考数学一轮复习学案(5)经过任意两个不同的点P1( x1，y1)， P2( x2， y2)的直线都可以用方程( y－y1)( x2－x1)＝( x－ x1)( y2－ y1)表示．()[ 答案 ](1) √(2) ×(3) ×(4) × (5) √2．直线 3x －y＋＝ 0的倾斜角为 () aA．30°B．60°C．150°D．120°B[ 设直线的倾斜角为α，则 tan α＝ 3，∵α ∈[0 ，π ) ，∴α＝π .] 33．过点 ( － 2， ) ， (4) 的直线的斜率等于1，则的值为 ()M m N m,mA． 1B． 4C． 1 或 3D． 1 或 44－mA[ 由题意知m＋2＝ 1( m≠－ 2) ，解得m＝ 1.]4．( 教材改编 ) 直线l：ax＋y－ 2－a＝0 在x轴和y轴上的截距相等，则实数a＝________.1 或－2 [ 令x＝ 0，则l在y轴上的截距为2＋a；令y＝ 0，得直线l在x轴上的2截距为 1＋a.2依题意 2＋a＝ 1＋a，解得a＝ 1 或a＝－ 2.]5．过点 (3 ，－4) ，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为________．M4＋ 3＝ 0 或＋＋ 1＝ 04＝－4，即 4＋ 3x x [ 若直线过原点，则＝－，所以3xy y k3y x y ＝ 0.x y若直线不过原点，设a＋a＝ 1，即x＋y＝a，则a＝ 3＋ ( －4) ＝－ 1，所以直线方程为 x＋ y＋1＝0.]( 对应学生用书第130 页 )直线的倾斜角与斜率(1) 直线x sinα＋ y＋2＝0的倾斜角的范围是()A． [0 ，π ) B. 0，π34∪4π，πC． 0，πD. 0，π∪π，π442(2)若直线 l 过点 P(－3,2)，且与以 A(－2，－3)，B(3,0)为端点的线段相交，则直线l 的斜率的取值范围是________．(1) B (2) － 5，－1[(1) 设直线的倾斜角为θ，则有 tan θ＝－ sin α，又 sin 3π3πα ∈ [ － 1,1] ，θ ∈ [0 ，π) ，所以 0≤θ ≤或≤ θ＜π .(2) 因为P( － 3,2) ，A( － 2，－ 3) ，B(3,0) ，－3－ 2则k PA＝－2－(－3)＝－5，0－ 21k PB＝3－(－3)＝－3.1如图所示，当直线l 与线段 AB相交时，直线l 的斜率的取值范围为－5，－3.][ 规律方法 ] 1. 倾斜角α与斜率k的关系π当α∈ 0，2时，k∈[0，＋π当α＝2时，斜率 k 不存在.π ，π时， k－∞，当α∈ 22. 斜率的两种求法定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tanα 求斜率.y2－ y1公式法：若已知直线上两点 A x1， y1， B x2， y2，一般根据斜率公式k＝x2－ x1x1≠ x2求斜率.3. 倾斜角α范围与直线斜率范围互求时，要充分利用y＝tanα的单调性 .[ 跟踪训练 ](1)(2017 ·九江一中 ) 若平面内三点A(1，－ a)，B(2， a2)，C(3， a3)共线，则a＝()A．1±2或 02－ 5B.2或 0C ．2± 5 D.2＋ 5 22 或 0(2) 直线 l 经过 A (3,1) 2l 的倾斜角 α 的取值范围， B (2 ，－ m )( m ∈ R) 两点，则直线 是 ________．(1) Aππ [(1) ∵平面内三点 (1 ，－) ， (2 ，2， 3(2)，a) ， (3a) 共线，∴ k42ABAC＝ k ，a 2＋ a a 3＋ a即 2－ 1 ＝ 3－ 1 ，即 a ( a 2－ 2a －1) ＝ 0，解得 a ＝ 0 或 a ＝1±2. 故选 A ．21＋ m2(2) 直线 l 的斜率 k ＝ 3－ 2 ＝ 1＋ m ≥1，所以 k ＝ tan α ≥1.又 y ＝tan α 在 0， ππ ≤α ＜ π .] 上是增函数，因此24 2 求直线方程根据所给条件求直线的方程：10(1) 直线过点 ( － 4,0) ，倾斜角的正弦值为 10 ；(2) 直线过点 ( － 3,4) ，且在两坐标轴上的截距之和为12.【导学号： 79140262】[ 解 ](1) 由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．10设倾斜角为 α，则 sinα ＝ 10 (0 ≤ α ＜ π ) ，3 10 1 从而 cos α ＝±，则 k ＝ tan α ＝± .1031故所求直线方程为 y ＝± 3( x ＋ 4) ．即 x ＋3 ＋ 4＝ 0 或 x － 3 ＋ 4＝ 0.y yx y(2) 由题设知纵横截距不为0，设直线方程为 a ＋12－ a ＝1，又直线过点 ( － 3,4)，－34从而 a ＋ 12－ a ＝ 1，解得 a ＝－ 4 或 a ＝ 9.故所求直线方程为4x － y ＋ 16＝ 0 或 x ＋ 3y － 9＝ 0.[ 规律方法 ]求直线方程应注意以下三点在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件.对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零截距可正、可负、可为0，因此在解与截距有关的问题时，一定要注意“截距为0”的情况，以防漏解.[ 跟踪训练 ]求适合下列条件的直线方程：(1)过点 P(2,3)，并且在两坐标轴上的截距互为相反数；(2) 过点A( － 1，－ 3) ，倾斜角等于直线y＝3x 的倾斜角的2 倍．[ 解 ] (1) 当直线过原点时，方程为3y＝ x，即3x－2y＝0.2x y当直线 l 不过原点时，设直线方程为a－a＝1.将P(2,3)代入方程，得 a＝－1，所以直线 l 的方程为 x－y＋1＝0.综上，所求直线l 的方程为3x－2y＝0或 x－y＋1＝0.(2)设直线 y＝3x 的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为 2α .因为 tanα＝ 3，2tanα3所以 tan 2 α＝1－tan2α＝－4.又直线经过点A(－1，－3)，3因此所求直线方程为y＋3＝－( x＋ 1) ，即 3x＋ 4y＋15＝ 0.4直线方程的综合应用过点 P(4,1)作直线 l 分别交 x 轴， y 轴正半轴于 A， B 两点， O为坐标原点．(1)当△ AOB面积最小时，求直线l 的方程；(2)当 | | ＋ || 取最小值时，求直线l 的方程．OA OB[ 解 ]设直线l ：x＋y＝ 1(a＞ 0，＞ 0) ，a b b因为直线 l 经过点P(4,1)，4 1所以a＋b＝ 1.(1)4141＝4a＋＝1≥2a·，b b ab所以 ab≥16，当且仅当a＝8， b＝2时等号成立，所以当 a ＝ 8， b ＝ 2 时，△ AOB 的面积最小，x y此时直线 l 的方程为 8＋2＝ 1，即 x ＋4y － 8＝ 0.4 1(2) 因为 a ＋ b ＝ 1， a ＞ 0， b ＞ 0，4 1a 4ba 4b所以 | OA | ＋ | OB | ＝ a ＋ b ＝ ( a ＋ b ) · a ＋b ＝ 5＋ b ＋ a ≥5＋ 2 b · a ＝ 9，当且仅当 a ＝ 6， ＝ 3 时等号成立，b所以当 || ＋ || 取最小值时，直线l 的方程为 x ＋ y＝1，即x ＋2y － 6＝ 0.OAOB6 3[ 规律方法 ]与直线方程有关问题的常见类型及解题策略求解与直线方程有关的最值问题. 先设出直线方程， 建立目标函数， 再利用基本不等式求解最值 .含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”.求参数值或范围 . 注意点在直线上， 则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解 .[ 跟踪训练 ]已知直线 l ：ax － 2y ＝2a － 4，l22， ： 2x ＋ a y ＝ 2a ＋ 4，当 0＜a ＜ 2 时，直线 l121l 2 与两坐标轴正半轴围成一个四边形，则当a 为何值时，四边形的面积最小？【导学号： 79140263】[ 解 ]ax －2y ＝ 2 a － 4，得 x ＝ y ＝2，由2 ＋ 2 ＝ 2 2＋ 4，x a y a∴直线 l 1 与 l 2 交于点 A (2,2)(如图 ) ．易知 | OB | ＝ a 2＋ 2，| OC |＝2－ a ，则 S四边 形 OBAC △ AOB △AOC1212＝ a － 1 215＝ S ＋ S ＝2 ×2( a ＋ 2) ＋ 2 ×2(2 － a ) ＝ a － a ＋ 4 2 ＋ 4 ，a ∈(0,2) ，1∴当 a ＝ 2时，四边形 OBAC 的面积最小．。
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8．1 直线的倾斜角、斜率与直线的方程[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2018·朝阳模拟)直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6答案 D解析 直线斜率为－33，即tan α＝－33，0≤α<π，∴α＝5π6，故选D. 2．(2017·正定质检)直线x cos140°＋y sin40°＋1＝0的倾斜角是( ) A ．40° B ．50° C ．130° D ．140°答案 B解析 将直线x cos140°＋y sin40°＋1＝0化成x cos40°－y sin40°－1＝0，其斜率为k ＝cos40°sin40°＝tan50°，倾斜角为50°.故选B.3．(2018·哈尔滨模拟)函数y ＝a sin x －b cos x 的一条对称轴为x ＝π4，则直线l ：ax －by ＋c ＝0的倾斜角为( )A.π4B.π3C.2π3D.3π4答案 D解析 由函数y ＝f (x )＝a sin x －b cos x 的一条对称轴为x ＝π4知，f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，即－b ＝a ，∴直线l 的斜率为－1，∴倾斜角为3π4.故选D.4．(2018·衡阳期末)已知直线PQ 的斜率为－3，将直线绕点P 顺时针旋转60°所得的直线的斜率为( )A. 3 B ．－ 3 C ．0 D ．1＋ 3答案 A解析 直线PQ 的斜率为－3，则直线PQ 的倾斜角为120°，所求直线的倾斜角为60°，tan60°＝ 3.故选A.5．在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O (0,0)，A (1,3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( )A ．y －1＝3(x －3)B ．y －1＝－3(x －3)C ．y －3＝3(x －1)D ．y －3＝－3(x －1)答案 D解析 因为AO ＝AB ，所以直线AB 的斜率与直线AO 的斜率互为相反数，所以k AB ＝－k OA＝－3，所以直线AB 的点斜式方程为y －3＝－3(x －1)．故选D.6．(2017·河南新乡一中周考)若m ，n 满足m ＋2n －1＝0，则直线mx ＋3y ＋n ＝0过定点( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，16 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－16C.⎝ ⎛⎭⎪⎫16，－12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－16，12 答案 B解析 ∵m ＋2n －1＝0，∴m ＋2n ＝1.∵mx ＋3y ＋n ＝0，∴(mx ＋n )＋3y ＝0，当x ＝12时，mx ＋n ＝12m ＋n ＝12，∴3y ＝－12，∴y ＝－16，故直线过定点⎝⎛⎭⎪⎫12，－16.故选B. 7．若经过点P (1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，则直线的方程为( )A ．x ＋2y －6＝0B ．2x ＋y －6＝0C ．x －2y ＋7＝0D ．x －2y －7＝0答案 B解析 解法一：直线过P (1,4)，代入，排除A 、D ；又在两坐标轴上的截距为正，排除C ，故选B.解法二：设方程为x a ＋y b＝1， 将(1,4)代入得1a ＋4b＝1.a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＝5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋4a b ≥9， 当且仅当b ＝2a ，即a ＝3，b ＝6时，截距之和最小． 所以直线方程为x 3＋y6＝1，即2x ＋y －6＝0.故选B. 8．若直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)，则该直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8答案 C解析 ∵直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)，∴a ＋b ＝ab ，即1a ＋1b＝1，∴a ＋b ＝(a＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝2时上式等号成立．∴直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为4.故选C.9．(2017·烟台期末)直线mx ＋n2y －1＝0在y 轴上的截距是－1，且它的倾斜角是直线3x －y －33＝0的倾斜角的2倍，则( )A ．m ＝－3，n ＝－2B ．m ＝3，n ＝2C ．m ＝3，n ＝－2D ．m ＝－3，n ＝2答案 A解析 根据题意，设直线mx ＋n2y －1＝0为直线l ，另一直线的方程为3x －y －33＝0， 变形可得y ＝3(x －3)，其斜率k ＝3，则其倾斜角为60°，而直线l 的倾斜角是直线3x －y －33＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的倾斜角为120°，且斜率k ＝tan120°＝－3，又由l 在y 轴上的截距是－1， 则其方程为y ＝－3x －1；又由其一般式方程为mx ＋n2y －1＝0，分析可得m ＝－3，n ＝－2.故选A.10．若点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，则m 2＋n 2的最小值是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4 D ．2 3答案 C解析 因为点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，所以4m ＋3n －10＝0. 欲求m 2＋n 2的最小值可先求m －2＋n －2的最小值．而m －2＋n －2表示4m ＋3n －10＝0上的点(m ，n )到原点的距离，如图．当过原点和点(m ，n )的直线与直线4m ＋3n －10＝0垂直时，原点到点(m ，n )的距离最小，最小值为2.故m 2＋n 2的最小值为4.故选C. 二、填空题11．已知P (－3,2)，Q (3,4)及直线ax ＋y ＋3＝0.若沿PQ →的方向延长线段PQ 与直线有交点(不含Q 点)，则a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，－13解析 直线l ：ax ＋y ＋3＝0是过点A (0，－3)的直线系，斜率为参变数－a ，易知PQ ，QA ，l 的斜率分别为：k PQ ＝13，k AQ ＝73，k l ＝－a .若l 与PQ 延长线相交，由图可知k PQ <k l <k AQ ，解得－73<a <－13.12．(2018·石家庄期末)一直线过点A (－3,4)，且在两轴上的截距之和为12，则此直线方程是________．答案 x ＋3y －9＝0或y ＝4x ＋16 解析 设横截距为a ，则纵截距为12－a ， 直线方程为x a ＋y12－a＝1，把A (－3,4)代入，得－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4，a ＝9.a ＝9时，直线方程为x 9＋y3＝1，整理可得x ＋3y －9＝0.a ＝－4时，直线方程为x －4＋y16＝1， 整理可得4x －y ＋16＝0.综上所述，此直线方程是x ＋3y －9＝0或4x －y ＋16＝0.13．过直线l ：y ＝x 上的点P (2,2)作直线m ，若直线l ，m 与x 轴围成的三角形的面积为2，则直线m 的方程为________．答案 x －2y ＋2＝0或x ＝2解析 ①若直线m 的斜率不存在，则直线m 的方程为x ＝2，直线m ，直线l 和x 轴围成的三角形面积为2，符合题意；②若直线m 的斜率k ＝0，则直线m 与x 轴没有交点，不符合题意；③若直线m 的斜率k ≠0，设其方程为y －2＝k (x －2)，令y ＝0，得x ＝2－2k ，依题意有12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－2k ×2＝2，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1k ＝1，解得k ＝12，所以直线m 的方程为y －2＝12(x －2)，即x －2y ＋2＝0.综上知，直线m 的方程为x －2y ＋2＝0或x ＝2. 14．在下列叙述中：①若一条直线的倾斜角为α，则它的斜率为k ＝tan α； ②若直线斜率k ＝－1，则它的倾斜角为135°；③已知点A (1，－3)，B (1,3)，则直线AB 的倾斜角为90°；④若直线过点(1,2)，且它的倾斜角为45°，则这条直线必过点(3,4)； ⑤若直线斜率为34，则这条直线必过(1,1)与(5,4)两点．其中正确的命题是________．(填序号) 答案 ②③④解析 ①当α＝90°时，斜率k 不存在，故①错误；②倾斜角的正切值为－1时，倾斜角为135°，故②正确；③直线AB 与x 轴垂直，斜率不存在，倾斜角为90°，故③正确；④直线过定点(1,2)，斜率为1，又4－23－1＝1，故直线必过点(3,4)，故④正确；⑤斜率为34的直线有无数条，所以直线不一定过(1,1)与(5,4)两点，故⑤错误．三、解答题15．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )． (1)若l 在两坐标轴上截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．解 (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为零， ∴a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0.当直线不经过原点时，截距存在且均不为0. ∴a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1. ∴a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.综上，l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0. (2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋＞0，a －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋＝0，a －2≤0，∴a ≤－1.综上可知a 的取值范围是(－∞，－1]． 16．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．解 (1)证明：直线l 的方程可化为k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1.∴无论k 取何值，直线总经过定点(－2,1)． (2)由方程知，当k ≠0时，直线在x 轴上的截距为－1＋2kk，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ≤－2，1＋2k ≥1，解得k ＞0；当k ＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k 的取值范围为[0，＋∞)．(3)由题意可知k ≠0，再由l 的方程，得A ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋2k k，0，B (0,1＋2k )． 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ＜0，1＋2k ＞0，解得k ＞0.∵S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k |＝12·＋2k2k＝12⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12×(2×2＋4)＝4， “＝”成立的条件是k ＞0且4k ＝1k ，即k ＝12，∴S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.。