2.4二次函数a.b.c的符号的确定
二次函数与a,b,c的关系
a 、b 、c及代数式 由抛物线的 决定具体说明a由抛物线的开口方向决定 开口向上⇔a>0开口向下⇔a<o b由对称轴x=－b2a 的位置决定对称轴在y 轴左侧⇔a 、b 同号 对称轴在y 轴右侧⇔a 、b 异号 对称轴就是y 轴⇔b=0c由抛物线与y 轴交点(0,c) 的位置决定 与y 轴交点在正半轴上⇔c>o与y 轴交点在负半轴上⇔c<0 抛物线过原点⇔c=0 b 2-4ac 由抛物线与x 轴交点个 数决定 与x 轴有2个交点⇔∆>o 与x 轴有1个交点⇔∆=o 与x 轴没有交点⇔∆<o 2a-b －b2a 与-1比较 2a+b －b 2a 与1比较 a+b+c 令x=1,瞧纵坐标 a-b+c令x=-1,瞧纵坐标 4a+2b+c 令x=2,瞧纵坐标 4a-2b+c令x=-2,瞧纵坐标几种特殊情况:x=1时,y=a + b + c ;x= -1时,y=a - b + c .当x = 1时,① 若y > 0,则a + b + c >0;② 若y < 时0,则a + b + c < 0 当x = -1时,① 若y > 0,则a - b + c >0;② 若y < 0,则a - b + c < 0.扩:x=2, y=4a + 2b + c ;x= -2, y=4a -2b + c ; x=3, y=9a +3 b + c ;x= -3, y=9a -3b + c 。
反之,给我们相应的二次函数图象,我们可以得到其系数a,b,c 以及它们组合成的一些关系结构(例如对称轴; 判别式……等等)的符号4.(2017四川省广安市)如图所示,抛物线c bx ax y ++=2的顶点为B (﹣1,3),与x 轴的交点A 在点(﹣3,0)与(﹣2,0)之间,以下结论:①042=-ac b ;②a +b +c ＞0;③2a ﹣b =0;④c ﹣a =3 其中正确的有( )A.1B.2C.3D.45.(2017四川省眉山市)若一次函数y =(a +1)x +a 的图象过第一、三、四象限,则二次函数2y ax ax =-( ) A.有最大值4a B.有最大值﹣4a C.有最小值4a D.有最小值﹣4a 1、 (2017贵州遵义第11题)如图,抛物线y =ax 2+bx +c 经过点(﹣1,0),对称轴l 如图所示,则下列结论:①abc ＞0;②a ﹣b +c =0;③2a +c ＜0;④a +b ＜0,其中所有正确的结论就是( )A.①③B.②③C.②④D.②③④9、 (2017黑龙江齐齐哈尔第10题)如图,抛物线2y ax bx c =++(0a ≠)的对称轴为直线2x =-,与x 轴的一个交点在(3,0)-与(4,0)-之间,其部分图象如图所示,则下列结论:①40a b -=;②0c <;③30a c -+>;④242a b at bt ->+(t 为实数);⑤点19(,)2y -,25(,)2y -,31(,)2y -就是该抛物线上的点,则123y y y <<,正确的个数有( )A.4个B.3个C.2个D.1个6.(2017四川省绵阳市)将二次函数2x y =的图象先向下平移1个单位,再向右平移3个单位,得到的图象与一次函数y =2x +b 的图象有公共点,则实数b 的取值范围就是( )A.b ＞8B.b ＞﹣8C.b ≥8D.b ≥﹣82.(2017四川省南充市)二次函数2y ax bx c =++(a 、b 、c 就是常数,且a ≠0)的图象如图所示,下列结论错误的就是( )A.4ac ＜b 2B.abc ＜0C.b +c ＞3aD.a ＜b23、 (2017浙江金华第6题)对于二次函数()212y x =--+就是图象与性质,下列说法正确的就是( ) A.对称轴就是直线1x =,最小值就是2 B.对称轴就是直线1x =,最大值就是2 C 、 对称轴就是直线1x =-,最小值就是2 D.对称轴就是直线1x =-,最大值就是226、 (2017新疆乌鲁木齐第15题)如图,抛物线2y ax bx c =++过点()1,0-,且对称轴为直线1x =,有下列结论:①0abc <;②1030a b c ++>;③抛物线经过点()14,y 与点()23,y -,则12y y >;④无论,,a b c 取何值,抛物线都经过同一个点,0c a ⎛⎫-⎪⎝⎭;⑤20am bm a ++≥,其中所有正确的结论就是 .15、(2017贵州黔东南州第9题)如图,抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)的对称轴为直线x =﹣1,给出下列结论: ①b 2=4ac ;②abc ＞0;③a ＞c ;④4a ﹣2b +c ＞0,其中正确的个数有( )A.1个B.2个C.3个D.4个16、(2017山东烟台第11题)二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示,对称轴就是直线1=x ,下列结论: ①0<ab ;②ac b 42>;③0<++c b a ;④03<+c a 、其中正确的就是( )A.①④B.②④ C 、 ①②③ D.①②③④17、(2017四川泸州第8题)下列曲线中不能表示y 与x 的函数的就是( )A. B. C. D.16、 (2017山东日照第12题)已知抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)的对称轴为直线x =2,与x 轴的一个交点坐标为(4,0),其部分图象如图所示,下列结论: ①抛物线过原点; ②4a +b +c =0; ③a ﹣b +c ＜0;④抛物线的顶点坐标为(2,b ); ⑤当x ＜2时,y 随x 增大而增大. 其中结论正确的就是( )A.①②③B.③④⑤C.①②④D.①④⑤12、(2017江苏盐城第6题)如图,将函数y =12(x －2)2+1的图象沿y 轴向上平移得到一条新函数的图象,其中点A (1,m ),B (4,n )平移后的对应点分别为点A '、B '.若曲线段AB 扫过的面积为9(图中的阴影部分),则新图象的函数表达式就是( ) A.y ＝12 (x −2)2−2 B.y ＝12 (x −2)2+7 C.y ＝12 (x −2)2−5 D.y ＝12(x −2)2+4 7、(2017广西贵港第10题)将如图所示的抛物线向右平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度后,得到的抛物线解析式就是 ( )A.()211y x =-+ B.()211y x =++ C 、()2211y x =-+ D.()2211y x =++8、(2017贵州安顺第10题)二次函数y =ax 2+bx +c (≠0)的图象如图,给出下列四个结论:①4ac ﹣b 2＜0;②3b +2c＜0;③4a +c ＜2b ;④m (am +b )+b ＜a (m ≠1),其中结论正确的个数就是( )A.1B.2C.3D.44、(2017浙江宁波第10题)抛物线22y x x m(m就是常数)的顶点在( )22A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限1.(2016·山东省滨州市·3分)抛物线y=2x2﹣2x+1与坐标轴的交点个数就是()A.0B.1C.2D.32.(2016·山东省滨州市·3分)在平面直角坐标系中,把一条抛物线先向上平移3个单位长度,然后绕原点选择180°得到抛物线y=x2+5x+6,则原抛物线的解析式就是()A.y=﹣(x﹣)2﹣B.y=﹣(x+)2﹣C.y=﹣(x﹣)2﹣D.y=﹣(x+)2+【点评】本题考查的就是二次函数的图象与几何变换,熟知二次函数的图象旋转及平移的法则就是解答此题的关键.3.(2016广西南宁3分)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与正比例函数y=x的图象如图所示,则方程ax2+(b﹣)x+c=0(a≠0)的两根之与()A.大于0B.等于0C.小于0D.不能确定4.(2016贵州毕节3分)一次函数y=ax+b(a≠0)与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能就是()A. B. C. D.5、(2016·福建龙岩·4分)已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示,则|a﹣b+c|+|2a+b|=()A.a+bB.a﹣2bC.a﹣bD.3a10.(2016贵州毕节3分)一次函数y=ax+b(a≠0)与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能就是()A. B. C. D.【11、(2016·浙江省绍兴市·4分)抛物线y=x2+bx+c(其中b,c就是常数)过点A(2,6),且抛物线的对称轴与线段y=0(1≤x≤3)有交点,则c的值不可能就是()A.4B.6C.8D.1012、(2016·湖北随州·3分)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,图象过点(﹣1,0),对称轴为直线x=2,下列结论:(1)4a+b=0;(2)9a+c＞3b;(3)8a+7b+2c＞0;(4)若点A(﹣3,y1)、点B(﹣,y2)、点C(,y3)在该函数图象上,则y1＜y3＜y2;(5)若方程a(x+1)(x﹣5)=﹣3的两根为x1与x2,且x1＜x2,则x1＜﹣1＜5＜x2.其中正确的结论有()A.2个B.3个C.4个D.5个13、(2016·四川南充)抛物线y=x2+2x+3的对称轴就是()A.直线x=1B.直线x=﹣1C.直线x=﹣2D.直线x=214.(2016·四川泸州)已知二次函数y=ax2﹣bx﹣2(a≠0)的图象的顶点在第四象限,且过点(﹣1,0),当a ﹣b为整数时,ab的值为()A.或1B.或1C.或D.或15.(2016·四川攀枝花)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a＞0)图象的顶点为D,其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1与3,则下列结论正确的就是()A.2a﹣b=0B.a+b+c＞0C.3a﹣c=0D.当a=时,△ABD就是等腰直角三角形16、(2016·黑龙江齐齐哈尔·3分)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点坐标为(﹣1,0),其部分图象如图所示,下列结论:①4ac＜b2;②方程ax2+bx+c=0的两个根就是x1=﹣1,x2=3;③3a+c＞0④当y＞0时,x的取值范围就是﹣1≤x＜3⑤当x＜0时,y随x增大而增大其中结论正确的个数就是()A.4个B.3个C.2个D.1个17.(2016·湖北黄石·3分)以x为自变量的二次函数y=x2﹣2(b﹣2)x+b2﹣1的图象不经过第三象限,则实数b的取值范围就是()A.b≥B.b≥1或b≤﹣1C.b≥2D.1≤b≤218.(2016·湖北荆门·3分)若二次函数y=x2+mx的对称轴就是x=3,则关于x的方程x2+mx=7的解为()A.x1=0,x2=6B.x1=1,x2=7C.x1=1,x2=﹣7D.x1=﹣1,x2=719、(2016·青海西宁·3分)如图,在△ABC中,∠B=90°,tan∠C=,AB=6cm.动点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动,动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动.若P,Q两点分别从A,B两点同时出发,在运动过程中,△PBQ的最大面积就是()A.18cm2B.12cm2C.9cm2D.3cm221、(2016·四川眉山·3分)若抛物线y=x2﹣2x+3不动,将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位,再沿铅直方向向上平移三个单位,则原抛物线图象的解析式应变为()A.y=(x﹣2)2+3B.y=(x﹣2)2+5C.y=x2﹣1D.y=x2+44.(2016·四川南充)已知抛物线y=ax2+bx+c开口向上且经过点(1,1),双曲线y=经过点(a,bc),给出下列结论:①bc＞0;②b+c＞0;③b,c就是关于x的一元二次方程x2+(a﹣1)x+=0的两个实数根;④a﹣b﹣c≥3.其中正确结论就是(填写序号)5.(2016·四川泸州)若二次函数y=2x2﹣4x﹣1的图象与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)两点,则+的值为7、(2016·湖北荆州·3分)若函数y=(a﹣1)x2﹣4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点,则a的值为8、(2016·辽宁丹东·10分)某片果园有果树80棵,现准备多种一些果树提高果园产量,但就是如果多种树,那么树之间的距离与每棵树所受光照就会减少,单棵树的产量随之降低.若该果园每棵果树产果y(千克),增种果树x(棵),它们之间的函数关系如图所示.(1)求y与x之间的函数关系式;(2)在投入成本最低的情况下,增种果树多少棵时,果园可以收获果实6750千克？(3)当增种果树多少棵时,果园的总产量w(千克)最大？最大产量就是多少？12.(2016·四川内江)(12分)某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园,其中一边靠墙,另外三边周长为30米的篱笆围成.已知墙长为18米(如图14所示),设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x 米. (1)若苗圃园的面积为72平方米,求x ;(2)若平行于墙的一边长不小于8米,这个苗圃园的面积有最大值与最小值不？如果有,求出最大值与最小值;如果没有,请说明理由;(3)当这个苗圃园的面积不小于100平方米时,直接写出x 的取值范围.16、(2016·黑龙江龙东·6分)如图,二次函数y =(x +2)2+m 的图象与y 轴交于点C ,点B 在抛物线上,且与点C 关于抛物线的对称轴对称,已知一次函数y =kx +b 的图象经过该二次函数图象上的点A (﹣1,0)及点B. (1)求二次函数与一次函数的解析式;(2)根据图象,写出满足(x +2)2+m ≥kx +b 的x 的取值范围.21、(2016·内蒙古包头)一幅长20cm 、宽12cm 的图案,如图,其中有一横两竖的彩条,横、竖彩条的宽度比为3:2.设竖彩条的宽度为xcm ,图案中三条彩条所占面积为ycm 2. (1)求y 与x 之间的函数关系式;(2)若图案中三条彩条所占面积就是图案面积的,求横、竖彩条的宽度.24、 (2016·山东潍坊)旅游公司在景区内配置了50辆观光车共游客租赁使用,假定每辆观光车一天内最多只能出租一次,且每辆车的日租金x (元)就是5的倍数.发现每天的营运规律如下:当x 不超过100元时,观光车能全部租出;当x 超过100元时,每辆车的日租金每增加5元,租出去的观光车就会减少1辆.已知所有观光车每天的管理费就是1100元. (1)优惠活动期间,为使观光车全部租出且每天的净收入为正,则每辆车的日租金至少应为多少元？(注:净收入=租车收入﹣管理费)(2)当每辆车的日租金为多少元时,每天的净收入最多？18m 苗圃园图14。
二次函数a.b.c等的符号的确定
-1 o 1 x
（5）△=b2-4ac决定抛物线与x轴交点情况：
① △＞0 ② △＝0
抛物线与x轴有两个交点； 抛物线与x轴有唯一的公共点；
③ △＜0 抛物线与x轴无交点。
y ox
y ox
y ox
勇攀高峰
1. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中：
①abc＞0；② a+b+c＜0 ③ a-b+c＞0 ；
o1 特殊值法
x
y aabb cc 0 0
y=ax2+bx+c 当x 1时 y=a-b+c
y aabbcc0 0 y
y aabbcc00
-1 o
x
y aabbcc00
x=-1
比拼速度
二次函数y ax2 bx c的图象如图，用(< , >或 =)填空: a< 0，b < 0，c > 0，a+b+c< 0，a-b+c> 0， Nhomakorabeay
开口向下
a＜0
数形结合法
x
⑵c决定抛物线与y轴交点（0，c）的位置：
① 图象与y轴交点在y轴正半轴；
c＞0
② 图象过原点
c=0
③ 图象与y轴交点在y轴负半轴
c＜0
y
指出下列二次函数与y轴交点的坐标.
(1) y=x2-8x+7 (2) y=-2x2+9x-17
x
⑶a，b决定抛物线对称轴的位置: 对称轴是直线x =
转化 + 特殊值
根据抛物线y=ax2+bx+c图象位置，你 会判断那些字母或代数式的符号？
2.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质(3)练习题
做一做 8
4.画出函数y=5x2与函数y=-5x2的图象并根据图象分别说明 两函数的增减性?是否有最大值或最小值,若有是多少? 5.已知:点P(x,y)是抛物线y=x2上一点且在第一象限内的一 动点.A点坐标为(3,0).用S表示△OPA的面积 (1)求S与y的函数关系式; (2)求S与x的函数关系式;
九年级数学(上)第二章 二次函数 4.二次函数y=ax2+bx+c的图象和性 质(3)
练习题
想一想 1
b 4ac − b 2 y = a x + + . 2a 4a
2
函数y=ax²+bx+c的图象
y = ax + bx + c 例.求二次函数 求二次函数 c y=ax²+bx+c的对称 的对称 2 b = a x + x + 轴和顶点坐标． 轴和顶点坐标． a c
y
)
C.(0,1),(1,0);
o x y
D.(0,-1),(-1,0); )
o y x
5.若ab>0,函数y=ax2与y=ax+b的图象大致是( D y
x o x o
A
B
C
D
做一做 5
6.下列各点中与点(1,4)在同一个二次函数 y=ax2图象上的是( B ) A. (2,-16) ; B.( -2,16); C.(-2,-16) ; D. (16,2) ;
(0,0) (0, c) (h,0) ( h, k )
b 4 ac − b 2 , (− ) 2a 4a
直线 x = h
直线 x = h
b 直线 x = − 2a
做一做 3
二次函数常见题型
①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；
④若（﹣5，y1），（2，y2）是抛物线上的两点，则y1＞y2．
其中说法正确的是
5、如图所示，二次函数 的图象中，王刚同学观察得
出了下面四条结论：① ；② ；③ ；④ ．
其中错误的有
6、已知二次函数 的图象如图所示，有下列结论：① ；
②2a+b=0；③ ；④ ．其中正确的有
题型四：抛物线的图形变换问题（平移、旋转、轴对称）
1、抛物线 向右平移3个单位，再向上平移2个单位，则所得抛物线的解析式。
2、抛物线 可以由抛物线 先向平移个单位，再向平移个单位得到的。
3、将抛物线y=x2－2x向上平移3个单位,再向右平移4个单位得到的抛物线是
4、将抛物线C：y=x²+3x-10，将抛物线C平移到C/。若两条抛物线C,C/关于直线x=1对称，则下列平移方法中正确的是（）
7
16
…
根据表格你能找出抛物线图象上的对称点吗？
你能写出抛物线的对称轴吗？
抛物线与x轴的交点坐标为，
当x=2时，函数值y=
（1）若M是函数 图象上对称轴右侧 轴上方的一个动点，其横坐标为 ，四边形MNPQ为矩形，P、N在 轴上，Q、M在抛物线上，求四边形的周长C与 之间的函数关系式.
（2）如果图象向右平移3个单位，设M点横坐标为 ，其它条件不变，
10、如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(1，0)，B(－3，0)两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在（1）中的抛物线上的第二象限内是否存在一点P，使△PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若不存在，请说明理由．
九年级数学二次函数中a,b,c符号的确定
九年级数学二次函数中a ，b ，c 符号的确定珠海市第四中学（519015） 邱金龙二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象是抛物线，利用图象来确定a ，b ，c 的符号，是常见的问题，解决的关键是对二次函数的图象和性质的正确理解。
一、a ，b ，c 符号的确定（1）a 符号的确定。
抛物线的开口向上，a ＞0，抛物线的开口向下，a ＜0。
（2）c 符号的确定。
因为x=0时，由c bx ax y ++=2得，y ＝c ，故抛物线与y 轴交点在y 轴的正半轴，c ＞0，抛物线与y 轴交点在y 轴的负半轴，c ＜0，抛物线经过原点，c ＝0。
（3）b 符号的确定。
b 的符号要看对称轴ab x 2-=，再结合a 的符号来确定。
二、应用举例1、二次函数c bx ax y ++=2的图象分别如图所示，试分别判断（A ）（B ）（C ）（D ）图中a ，b ，c 的符号。
分析：（A ）图中，抛物线的开口向上，故a ＞0；抛物线与y 轴的交点P 在y 轴的负半轴，故c ＜0。
对称轴ab x 2-=＞0，而a ＞0，故b ＜0。
（B ）图中，抛物线的开口向下，故a ＜0；抛物线与y 轴的交点P 在y 轴的正半轴，故c ＞0。
对称轴ab x 2-=＜0，而a ＜0，故b ＜0。
（C ）图中（过程略），a ＞0，c ＞0 ，b ＞0。
（D ）图中（过程略），a ＜0， c ＜0 ，b ＞0。
2、（2004重庆中考题）二次函数c bx ax y ++=2的图象如图，则点M （b ，ac ）在（ ） A 、第一象限 B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限分析：抛物线的开口向下，故a ＜0；抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴，故c ＞0。
对称轴ab x 2-=＞0，而a ＜0，故b ＞0。
因此，点M （b ，ac ）的横坐标为正，纵坐标为负，在第四象限，选（D ）。
3、（2004陕西中考题）二次函数y =ax 2+bx+c 的图象如图所示，则下列关于a 、b 、c 间的关系判断正确的是（ ）A 、ab ＜0B 、bc ＜0C 、.a+b+c ＞0D 、a －b+c ＜0分析：抛物线的开口向下，故a ＜0；抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴，故c ＜0。
判定二次函数中的a,b,c的符号
10A B C D二次函数：图象位置与a，b，c，（1）a决定抛物线的开口方向：a>0⇔；a<0⇔．（2）C决定抛物线与y轴交点的位置，c>0⇔抛物线交y轴于；c<0⇔抛物线交y轴于；c=0⇔．（3）ab决定抛物线对称轴的位置，当a,b同号时⇔对称轴在y轴；b=0⇔对称轴为；a,b异号⇔对称轴在y轴，简称为．一、通过抛物线的位置判断a，b，△c，的符号．例1．根据二次函数y=ax2+bx+c的图象，判断a、b、c、b2-4ac的符号yx2.看图填空（1）a＋b＋c_______0（2）a－b＋c_______0（3）2a－b_______0（4）4a＋2b＋c_______0二、通过a，b，△c，的符号判断抛物线的位置：例1．若a<0,b>0,c<0，则抛物线y=ax2+bx+c的大致图象为（）y y y yOx O x O x O xA B C D例2．若a＞0，b＞0，c＞△0，＞0，那么抛物线y=ax2+bx+c经过象限．例3.已知二次函数y=ax2+bx+c且a＜0，a-b+c＞0；则一定有b2-4ac0例4．如果函数y=kx+b的图象在第一、二、三象限内，那么函数y=kx2+bx-1的大致图象是（）y yy 1x0x-1x 0-101．若抛物线y=ax2+bx+c开口向上，则直线y=ax+3经过象限．2．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列条件不正确的是()yO x3．二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象如图，则点, ⎪ 在．（ ）⎝ b 2 - 4ac b ⎭y yA 、 a < 0, b > 0, c < 0B 、 b 2 - 4ac < 0C 、 a + b + c < 0D 、 a - b + c > 0⎛ a + b ac ⎫yA 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限O4．二次函数 y=ax 2+bx+c 与一次函数 y = ax + c 在同一坐标系中的图象大致是() yyO xO xO x OxABCD5．二次函数 y=ax 2+bx+c (a ≠ 0)的图象，如图，下列结论①c < 0 ② b > 0 ③ 4a + 2b + c > 0 ④ (a + c )2 < b 2 其中正确的有（）A 、1 个B 、2 个C 、3 个D 、4 个6．已知函数 y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，关于系数 a, b , cyOxx = 1y有下列不等式① a < 0 ② b < 0 ③ c > 0 ④ 2a + b < 0 ⑤ a + b + c > 0 其中正确个数为 ．7．已知直线 y=ax 2+bx+c 不经过第一象限，则抛物线y = ax 2 + bx 一定经过（）A ．第一、二、四象限B ．第一、二、三象限C ．第一、二象限D ．第三、四象限8. 如图所示的抛物线是二次函数 y ＝ax 2-3x ＋a 2-1 的图象，那么 a 的值是__．- O 1x．． 轴正半轴相交，其顶点坐标为,1⎪ ，下列结论：①ac＜0；② 精品资料 欢迎下载9. 若抛物线 y ＝x 2－bx ＋9 的顶点在 x 轴上，则 b 的值为______若抛物线 y ＝x 2－bx ＋9 的顶点在 y 轴上，则 b 的值为______10．已知二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②a＋b ＋c=2； ③a >结论是( )1 2；④b＜1．其中正确的A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④11.二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象开口向上，图象经过点（-1,2）和（1,0），且与 y 轴负半轴交于一点，给出以下结论①abc＜0；②2a＋b ＞0；③a＋c ＝1；④a＞1．其中正确的结论是()A 、1 个B 、2 个C 、3 个D 、4 个12. 二次函数 y ＝ax 2 －2x －1 与 x 轴有交点，则 k 的取值范围________。
判定二次函数中的a,b,c的符号
二次函数：图象位置与a，b，c，（1）a决定抛物线的开口方向：；．（2）C决定抛物线与轴交点的位置，抛物线交轴于；抛物线交轴于；．（3）ab决定抛物线对称轴的位置，当同号时对称轴在轴；对称轴为；异号对称轴在轴，简称为．一、通过抛物线的位置判断a，b，c，△的符号．例1．根据二次函数y=ax2+bx+c的图象，判断a、b、c、b2-4ac的符号2.看图填空（1）a＋b＋c_______0（2）a－b＋c_______0（3）2a－b _______0（4）4a＋2b＋c_______0二、通过a，b，c，△的符号判断抛物线的位置：D例1．若，则抛物线y=ax2+bx+c的大致图象为（）例2．若a＞0，b＞0，c＞0，△＞0，那么抛物线y=ax2+bx+c经过象限．例3.已知二次函数y=ax2+bx+c且a＜0，a-b+c＞0；则一定有b2-4ac 0例4．如果函数y=kx+b的图象在第一、二、三象限内，那么函数y=kx2+bx-1的大致图象是（）BDCA1．若抛物线y=ax2+bx+c开口向上，则直线经过象限．2．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列条件不正确的是(A、 B、C、 D、3．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，则点在．（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限4．二次函数y=ax2+bx+c与一次函数在同一坐标系中的图象大致是( O5．二次函数y=ax2+bx+c的图象，如图，下列结论①②③④其中正确的有（）A、1个B、2个C、3个D、4个16．已知函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，关于系数有下列不等式①②③④⑤其中正确个数为．7．已知直线y=ax2+bx+c不经过第一象限，则抛物线一定经过（）A．第一、二、四象限 B．第一、二、三象限C．第一、二象限 D．第三、四象限8. 如图所示的抛物线是二次函数y＝ax2-3x＋a2-1的图象，那么a的值是__．9. 若抛物线y＝x2－bx＋9的顶点在x轴上，则b的值为______若抛物线y＝x2－bx＋9的顶点在y轴上，则b的值为______10．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②a＋b＋c=2；；④b＜1．其中正确的结论是(A．①② B．②③ C．②④ D．③④11.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0的图象开口向上，图象经过点（-1,2）和（1,0），且与y轴负半轴交于一点，给出以下结论①abc＜0；②2a＋b＞0；③a ＋c＝1；④a＞1．其中正确的结论是(A、1个B、2个C、3个D、4个12. 二次函数y＝ax2 －2x－1与x轴有交点，则k的取值范围________。
2.4二次函数a.b.c的符号的确定
。
y o
图2
x
o
图1
x
y
C、4个
D、5个
-1 o
1
x
8、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示， 下列结论中：①b＞0；②c<0；③4a+2b+c ＞ 0； ④（a+c)2＜b2，其中正确的个数是 （ B ） A、4个 C、2个 B、3个 D、1个 y
o x=1
x
9.如图，在同一坐标系中，函数y=ax+b与 y=ax2+bx(ab≠0)的图象只可能是（ ）
2
已知 : y ( m 1) x 2 x m ， 当m _____ 1 时，图象为直线；
2
当m _____ 1时，图象为抛物线； 当m _____ 1时，抛物线开口向下；
当m _____ 时，抛物线经过原点。 0
1、二次函数y ax 2 bx c(a 0)的图象如图所示， 下列结论①c<0,②b>0③4a+2b+c>0,④(a+c)2 b2 其中正确的是 （填序号，并说明理由）
1.已知抛物线y x 2 （ 2 m 1 ）x （ 2 m 1 ），求证：
2.已知抛物线y （m+6）x 2 （ 2 m 1 ）x m 1的图象 与x轴总有两个交点，求m的取值范围。
3.已知抛物线y 2x 3x m与x轴交于A, B两点，且
2
1 线段AB的长为 ，（）求 1 m的值；（2）若抛物线顶 2 点为p，求ABP的面积。
2
(2) y 1 2 x x (3) y x(5 x) (4) y ( x 1)( x 2)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2.已知抛物线y m+6）x 2 （m 1）x m 1的图象 （ 2 与x轴总有两个交点，求m的取值范围。
3.已知抛物线y 2x 3x m与x轴交于A, B两点，且
2
1 线段AB的长为 ，（）求m的值；（2）若抛物线顶 1 2 点为p，求ABP的面积。
函数y=ax² +bx+c的图象和性质： b 4ac-b2 对称轴： 直线x=- b 顶点坐标：- 2a ， 4a ） （ 2a -b± b2-4ac 与y轴交点： ，c） 与x轴交点： （0 （ ，0） 2a 增减性 开口 最 值 x<- b x>- b 当x= - b 时， 向 2a 2a 2a a>0 上 4ac-b2 y有最小值： 4a x<- b x>- b 当x= - b 时， 2a 2a 2a 向 a>0 4ac-b2 下 y有最大值： 4a
抛物线y ax bx c的对称性
2
b 抛物线y ax bx c是以直线x =- 为 2a 对称轴的轴对称图形，有以下性质：
2
1.抛物线上关于对称轴对称的两点纵坐标相等； 抛物线上纵坐标相等的两点一定关于对称轴对称。
2.如果抛物线交x轴于两点， 那么这两点一定关于对称 轴对称。
x
⑵c决定抛物线与y轴交点（0，c）的位置： ① c＞0 ＜＝＞图象与y轴交点在y轴正半轴； ② c=0 ＜＝＞图象过原点； ③ c＜0 ＜＝＞图象与y轴交点在y轴负半轴。
练习： 指出下列二次函数与y轴交点的位置： 1.y=x 2 8x 7 2.y=-2x 2 9x 17 3.y=mx 2 kx-4k 2
y
x
⑶a，b决定抛物线对称轴的位置: b 对称轴是直线x =
① ② ③
2a a，b同号＜＝＞ 对称轴在y轴左侧； b=0 ＜＝＞ 对称轴是y轴； a，b异号＜＝＞ 对称轴在y轴右侧
y
o
x
练习： 1.若抛物线y ax 2 bx c的图象如图，说出a，b， c的符号。 2.若抛物线y ax 2 bx c经过原点和第一二三 象限，则a，b，c的取值范围分别是
y y y y
o
x
o x
o x
o
x
A
B
C
D
1、二次函数y ax bx c(a 0)的图象如图所示，
2
下列结论①c<0,②b>0③4a+2b+c>0,④(a+c) b
2
2
其中正确的是
（填序号，并说明理由）
y
(a+c)2 b 2
x=1
(a b c)(a b c) x 1时，a+b+c 0 x 1时，a-b+c 0
3.若抛物线y ax 2 bx c的图象 如图所示，则一次函数y=ax+bc 的图象不经过 。 y
。
y o
图2
x
o
图1
x
y a b c 0 （4）与直线x 1交点 y a b c 0 y a b c 0
y X=1
y a bc 0 y a bc 0
X y
-3 7
-2 0
0 -8
1 -9
3 -5
5 7
1.若二次函数y ax c，当x取x1，x（x1 x 2）时， 2
2
函数值相等，那么x=x1 +x 2时，y 轴为 。
。
2.若（2， 5），（4， 5）是抛物线上两点，则它的对称
2 3.若二次函数y （x 4） k与x轴的一个交点坐标 2
o
1
x (a b c)(a b c) 0
即(a+c) b 0
2 2
(a+c) b
2
2
10. 二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分如图，已知它的 顶点M在第二象限，且经过A(1,0),B(0,1),请判断实数a的 范围,并说明理由.
y M 1 B A x O 1
② △＝0＜＝＞抛物线与x轴有唯一的公式点； ③ △＜0＜＝＞抛物线与x轴无交点。
y o x
y o x
y
o
x
训练题： 1.判断下列二次函数与x轴交点情况： （）y x 2x 2；(2) y 2 x x 3 1
2 2
(3)y x 2x 1
2
练习：填空 （1）函数y=ax 2 +bx +c（a 0）的函数值恒为正的 条件为： ， 恒为负的条件为： 。 。 （2）已知抛物线y=ax 2 +bx +c的图象在x轴的下方， 则方程ax 2 +bx +c 0的解的情况为 有 交点。 （3）二次函数y=ax 2 +bx +c中，ac<0，则抛物线与x轴
的两点横坐标为x1，x 2， 则抛物线 x 1 +x 2 的对称轴是直线x 2
y
O
x
3.若设抛物线上关于对称轴对称
例1.已知二次函数y ax 2 bx c，x与y的部分对应值如下， 则其图像与x轴的两个交点坐标分别为 。Biblioteka x y-1 151 3
2 0
3 -1
5 3
练1.已知二次函数y ax 2 bx c，x与y的部分对应值如下， 那么二次函数的对称轴为 ， x 2时，函数值为 当 。
为（2， 0），则它与x轴的另一个交点坐标为
。
巩固训练 1.如图，若a<0，b>0，c>0，则二次 2 函数 y ax bx c 的图象大致是( ) y y A o
y B o
x
C
o
x
x
D
o
x
2.若函数 y 2 x bx c 的顶点坐标 是(1，-2)，则b= ，c= 。
2
3.已知二次函数 y ax bx c 的图 象如图所示，则一次函数 y bx ac 的图象不经过第 象限。 y
2
o
x
4.若抛物线 y (m 1) x 2mx m 3 位于x轴上方,求m的取值范围.
2
已知 : y ( m 1) x 2 x m ， 当m _____ 时，图象为直线； 1
y
-1 o
1 x
例3、已知函数y = ax2 +bx +c的图象如 下图所示，x= 1 为该图象的对称轴，根
3
据图象信息你能得到关于系数a，b，c的 一些什么结论？ y
1 3 .
. -1
1
x
1.试判断a, b, c的符号
y
o
x
（5 ）二次函数有最大或最小值由a决定。
2 b 4ac b 当x= 时,y有最大(最小)值 2a 4a
二次函数的 图象和性质(5)
y o x
复习
抛物线 y ax bx c 的对称轴及顶点 坐标： (公式法) b (1)对称轴：直线 x 2a
2
b 4ac b (2)顶点坐标： , ( ) 2a 4a
2
抛物线位置与系数a，b，c的关系：
⑴a决定抛物线的开口方向： y a＞0 开口向上 a＜0 开口向下
o
x
y a bc 0
y a b c 0 与直线x 1交点 y a b c 0 y a b c 0
y
y a b c 0 y a b c 0
o
y a b c 0
x
X=-1
练习： 二次函数y ax 2 bx c的图象如图，用(<,>,=)填空: a 0，b 0，c 0，a+b+c 0，a-b+c 0，
y
C、4个
D、5个
-1 o
1
x
8、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示， 下列结论中：①b＞0；②c<0；③4a+2b+c ＞ 0； ④（a+c)2＜b2，其中正确的个数是 （ B ） A、4个 C、2个 B、3个 D、1个 y
o x=1
x
9.如图，在同一坐标系中，函数y=ax+b与 y=ax2+bx(ab≠0)的图象只可能是（ ）
11.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+c（a<0） 的图象过正方形ABOC的三个顶点A、B、C，则ac的值 是 -2 .
7.抛物线y x 2 m 2）x （m 1 （ 3 ）的图象如下：（） 1 求m的取值范围（2）在（）的情况下， OB 6，求 1 OA C的坐标（3）求 AB ;(4)求SABC
y
y
.
能否说出 它们的增 减性呢？ . x
x
.
x
华东师范大学出版社
数学
– 结束
（6）△=b2-4ac决定抛物线与x轴交点情况：
① △＞0＜＝＞抛物线与x轴有两个交点； ② △＝0＜＝＞抛物线与x轴有唯一的公式点；
③ △＜0＜＝＞抛物线与x轴无交点。
y o x
y o x
y
o
x
（6）△=b2-4ac决定抛物线与x轴交点情况： ① △＞0＜＝＞抛物线与x轴有两个交点；
y C
A
o
B
x
这节课你有哪些体会？
1.a,b,c等符号与二次函数y=ax2+bx+c有密切的 联系； 2.解决这类问题的关键是运用数形结合思想， 即会观察图象；如遇到2a+b,2a-b要与对称轴联 系等； 3.要注意灵活运用数学知识，具体问题具体分 析