九年级数学上册第四章图形的相似4探索三角形相似的条件第1课时两角分别相等的两个三角形相似学案1无答案
北师版九年级数学 4.4探索三角形相似的条件(学习、上课课件)
感悟新知
知3－练
例 3 如图4-4-4，在正方形ABCD 中，P 是BC 上的一点， 且BP=3PC，Q 是CD 的中点. 求证：△ ADQ ∽△ QCP.
解题秘方：紧扣“边角关系判 定相似三角形定理”证明即可.
感悟新知
ABC
∽
△
DEF，
AB DE
= 12
，
若BC=Байду номын сангаас，
则EF=( A )
A.4
B.6
C.8
D.16
感悟新知
知2－讲
知识点 2 两角分别相等的两个三角形相似
判定定理
两角分别 相等的两 个三角形 相似
图示
符号语言
如图，在△ ABC 和△ A′B′C′中，∵∠ A= ∠ A′，∠ B= ∠ B′， ∴△ ABC ∽△ A′B′C′
感悟新知
知3－讲
知识点 3 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
判定定理
两边成比 例且夹角 相等的两 个三角形 相似
图示
符号语言
如图，在△ ABC 和 △ A′B′C′中， ∵AA′BB′=CB′ CB′， ∠ B= ∠ B′， ∴△ ABC ∽△A′B′C′
感悟新知
知3－讲
特别提醒 运用该定理证明相似时，一定要注意边角的关系，相
第四章 图形的相似
4 探索三角形相似的条件
学习目标
1 课时讲解 相似三角形
两角分别相等的两个三角形相似 两边成比例且夹角相等的两个三角
形相似
三边成比例的两个三角形相似
2 课时流程 判定两个三角形相似的基本思路
黄金分割
《探索三角形相似的条件》图形的相似PPT课件(第1课时)
知识讲解
做一做
当∠A=∠A1=∠α，∠B=∠B1=∠β时，∠C=∠C1
三边的比AB：A1B1，AC：A1C1，BC：B1C1也是相等
的，这样的两个三角形相似.
定理：两角分别相等的两个三角形相似.
知识讲解
例1.如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，
DE∥BC，AB=7，AD=5，DE=10，求BC的长.
A．△ABD
B．△DOA
C．△ACD
D．△ABO
目标测试
3.如图，在平行四边形ABCD中，点F是BC延长线上的一点，
AF交BD于点O，交CD于点E，则图中相似三角形（全等除外）
共有（ C ）
A．3对
B．4 对
C．5对
D．6对
目标测试
4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，DE⊥BC，那么
证明：在△ABC中，AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC.
∵CE⊥AB，
∴∠ADB=∠CEB=90°.
又∵∠B=∠B，
∴△ABD∽△CBE．
课堂总结
我们这节课主要研究了相似三角形的定义及
相似三角形的判定方法.
定义：三角分别相等，三边成比例的两个三角
形叫做相似三角形.
定理：两角分别相等的两个三角形相似.
2
D
B
E
C
强化训练
2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点
D，则图中相似三角形共有（ C ）
A．1对
B．2对
C．3对
D．4对
强化训练
3.在△ABC中，∠C=90°，点D是边AB上一点（不与点A，
B重合），过点D作直线与另一边相交，使所得的三角形与
北师九上数学 第四章 图形的相似 第4节 探索三角形相似的条件 第1课时 相似三角形的判定(1)
A
BD
C
3.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D.
（1）请指出图中所有的相似三角形；
（2）你能得出AD2＝BD·DC吗？
【选自教材P90 习题4.5 第3题】
解：（2）能得出AD2＝BD·DC.
理由如下：
由（1）可知△DBA∽△DAC，
∴
AD DC
BD , AD
即 AD2＝BD·DC.
②
一个角相等
＋ 两边成比例
＝ 两边成比例且
两角相等
a.两边成比例且夹角相等
b.两边成比例且其中一边的对角相等
③ 两边成比例 ＋ 两边成比例 ＝ 三边成比例
(2) 两个条件
① 一个角相等 ＋ 一个角相等 ＝ 两角分别相等
做一做
与同伴合作，两个人分别画△ABC和△A′B′C′，
使得∠A＝∠A′＝∠α，∠B＝∠B′＝∠β；
只有两边成比例， 两个三角形相似吗？
AB AC
A
AB AC
反例：
B
A'
C B'
C'
想一想
(2) 两个条件
有哪几种情况呢？
角相等 边成比例
∠A=∠A ' ∠B=∠B ' ∠C=∠C '
AB = AC AB AC AC BC AC = BC AB BC AB = BC
(2) 两个条件
① 一个角相等 ＋ 一个角相等 ＝ 两角分别相等
DE∥BC，AB=7，AD=5，DE=10，求BC的长. A
平行
角相等
△相似
解：∵ DE∥BC，
D
E
∴∠ADE＝∠B，∠AED=∠C.
B
北师大版九年级数学上册《探索三角形相似的条件》图形的相似(第1课时)
科 目：数学 适用版本：北师大版 适用范围：【教师教学】
第四章 图形的相似
探索三角形相似的条件
第1课时
第一页，共十三页。 相似三角形的判定定理1
逐点
导讲练
课堂小 结
作业提 升
第二页，共十三页。
AD
5
第十页，共十三页。
（来自教材）
知2－讲
知2－练
1 如图所示的三个三角形中，相似的是( )
A．(1)和(2)
B．(2)和(3)
C．(1)和(3)
D．(1)和(2)和(3)
第十一页，共十三页。
（来自《典中点》）
2 (海南)如图，点P是 ABCD边AB上一点，射线
CP交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形
第四页，共十三页。
2.要点精析： (1)判定两个三角形相似的必备条件：三角分别相等，
三边成比例；
(2)两个三角形相似又为解题提供了条件； (3)相似三角形具有传递性，即若
△ABC∽△A′B′C′，
△A′B′C′∽△A″B″C″，则
△ABC∽△A″B″C″； (4)相似比为1的两个相似三角形全等，反过来两个
全等三角形可以看作是相似比是1的相似三角形．
知1－讲
第五页，共十三页。
（来自《点拨》）
知1－讲
3．易错警示：
(1)表示两个三角形相似时，要注意对应性，即要把
对应顶点写在对应位置上．
(2)求两个相似三角形的相似比，要注AB意顺序BC性．若AC k, AB BC AC 当△ABC∽△A′B′C′时，
复习提问：相似多边形的定义是什么？
第三页，共十三页。
九年级数学上册第四章图形的相似4探索三角形相似的条件两角分别相等的两个三角形相似4
AAS ASA SAS SSS HL
第四页，共二十三页。
猜一猜
2、若给定两个三角形,
你有什么办法来判定它们是 否相似?
能不能根据三角形全 等的条件来判断三角形 的相似呢？
如果可以，我们可以从 哪些条件开始找呢？
第五页，共二十三页。
二 尝试 与探 (chángshì) 索1、问题（1）（分四小组(xiǎozǔ)分别探索）
如图，E是正方形 ABCD中的中点，P是 BC 边上 的一点， (biān shànɡ)
请你补充一个条件，使 得⊿AED∽⊿EPC
B
第二十一页，共二十三页。
D E PC
第二十二页，共二十三页。
内容(nèiróng)总结
4.4 探索三角形相似 的条件
No 第1课时 两角分别相等的
两个三角形相似。2、掌握三角形相似的判定条件：两角对应相等的两个三角形相似。3、能够(nénggòu)运 用三角形相似的条件解决简单的问题，进一步发展学生的合情推理能力和初步的逻辑推理意识。三角形相 似的判定方法1的运用。能不能根据三角形全等的条件来判断三角形的相似呢。二 尝试与探索。画一个三 角形ABC，使∠ABC满足下面给定的条件之一，。（4）使∠ABC=∠。E
3、能够运用三角形相似的条件解决简单的 问题，进一步发展学生的合情推理能力和初步的 逻辑推理意识。
第二页，共二十三页。
教学 重点 (jiāo xué)
探索三角形相似的条件和简单(jiǎndān)应用
教学 难点 (jiāo xué) 三角形相似的判定方法1的运用
第三页，共二十三页。
一 回顾 与思考 (huígù)
⊿ABC相似，求AE的值
北师大版九年级上册数学第四章图形的相似第四节探索三角形相似的条件
=
AD AC
C．ABCB
=
CD AB
B．DABB
=
BC AB
D．AACB
=
DB CD
感悟新知
知识点 2 两角分别相等的两个三角形相似
知2－讲
1. 定理 两角分别相等的两个三角形相似. 2. 数学表达式 如图4-4-3，
在△ABC和△DEF中， ∵∠A=∠D，且∠B = ∠E， ∴△ABC∽△DEF.
感悟新知
知5－练
6-1.已知P是线段AB的黄金分割点， 且AB= 5+1，则AP的
长为( C )
A．2
B． 5－1
C．2 或 5－1
D．3－ 5
课堂小结
探索三角形相似的条件
定义
相似三角形
判定 方法
应用
黄金分割
角角 边角边 边边边
学习目标
课后作业
作业1 必做: 请完成教材课后习题 作业2 补充:
解：设涂到 x m 高时，才使人感到最舒适． 利用黄金比，得x3＝ 52－1，解得 x≈1.85. 所以涂料大约应涂到高为 1.85 m 处．
感悟新知
知5－练
例6 已知线段AB=6，点C为线段AB的黄金分割点，求
AC－BC和AC·BC的值.
解题秘方：紧扣黄金分割点在线段中的两个不同位 置解决问题.
知5－练
当AC＜BC时，∵点C为线段AB的黄金分割点，
∴BACB = 5 2－1.又∵ AB=6，∴ BC=3 5－3. ∴ AC=AB－BC=9－3 5. ∴ AC－BC=12－6 5， AC·BC=36 5－72. 综上所述，AC－BC=6 5－12 或12－6 5， AC·BC=36 5－72.
AB A′B′
4.4 探索三角形相似的条件 课件(共22张PPT)北师大版数学九年级上册
A
B
C
D
E
2.有两条边对应成比例的两个三角形一定相似吗？
A
B
C
D
E
F
定理：两角相等的两个三角形相似。
定理：两角分别相等的两个三角形相似.
探索新知
探索新知
知识点3 用两个条件可以判定两个三角形相似吗
3.有一条边对应成比例且有一个角相等的两个三角形一定相似吗？
1.判断：（1）两个全等三角形一定相似（2）两个等腰直角三角形一定相似（3）两个直角三角形一定相似（4）两个等边三角形一定相似（5）顶角相等的两个等腰三角形一定相似（6）有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似
×
√
√
√
√
√
巩固练习
2.如图所示的三个三角形中，相似的是( )A．(1)和(2) B．(2)和(3)C．(1)和(3) D．(1)和(2)和(3)
A
巩固练习
例1：如图，D,E分别是△ABC的边AB,AC上的点，DE∥BC.AB=7，AD=5，DE=10，求BC的长.
巩固提高
1
2
3
A字型
8字型或X型
有关三角形相似的基本图形
课堂小结
有关三角形相似的基本图形
子母型
一线三等角型或D
例题讲解
变式2：如图，D，E分别是△ABC边AB，AC上的点，∠ADE＝∠ACB.（1）找出图中的相似三角形并证明
（2）若AD＝2，AB＝6，AC＝4，求AE的长.
例题讲解
例2：如图，在△ABC中，点D是边AB上一点且∠ACD＝∠B.（1）找出图中的相似三角形并证明
（2）若BD＝6，AD＝2，则求AC的长.
例题讲解
变式1：D,E分别是△ABC的边所在直线AB,AC上的点，DE∥BC, AB=7，AD=5，DE=10，求BC的长.
2019九年级数学上册第四章图形的相似4探索三角形相似的条件第1课时两角分别相等的两个三角形相似教案2新版
4.4 探索三角形相似的条件第1课时两角分别相等的两个三角形相似一、教学目标1．经历两个三角形相似的探索过程，进一步发展学生的探究、交流能力．2．掌握“两角分别相等的两个三角形相似”的判定方法．3．能够运用三角形相似的条件解决简单的问题．二、重点、难点1．重点：三角形相似的判定方法1——“两角分别相等的两个三角形相似”2．难点：三角形相似的判定方法1的运用．3．难点的突破方法（1）在两个三角形中，只要满足两个对应角相等，那么这两个三角形相似，这是三角形相似中最常用的一个判定方法．（2）公共角、对顶角、同角的余角（或补角）都是相等的，是判别两个三角形相似的重要依据．（3）如果两个三角形是直角三角形，则只要再找到一对锐角相等即可说明这两个三角形相似．三、课堂引入1.复习相似多边形的定义，得出相似三角形的定义三角分别相等、三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。
2．复习提问：(1) 两个三角形全等有哪些判定方法？(2) 全等三角形与相似三角形有怎样的关系？(3) 如图，如果要判定△ABC与△A’B’C’相似，是不是一定需要一一验证所有的对应角和对应边的关系？3.教材P89 想一想做一做让学生画图，自主展开探究活动．【归纳】三角形相似的判定方法1 两角分别相等的两个三角形相似。
四、例题讲解例1（教材P89例1）．解：略（见教材P89例1）．例2 （补充）已知：如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F，若AB=4，AD=5，AE=6，求DF的长．分析：要求的是线段DF的长，观察图形，我们发现AB、AD、AE和DF这四条线段分别在△ABE和△AFD中，因此只要证明这两个三角形相似，再由相似三角形的性质可以得到这四条线段对应成比例，从而求得DF的长．由于这两个三角形都是直角三角形，故有一对直角相等，再找出另一对角对应相等，即可用“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法来证明这两个三角形相似．解：略（DF=310）．六、课堂练习1．教材P90随堂练习1、2．2．已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．七、课后练习1．已知：如图，△ABC 的高AD 、BE 交于点F ．求证：FD EFBF AF．2． 教材P90习题4.5教学反思。
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九年级数学上册第四章图形的相似4探索三角形相似的条件第1课时两角分别相等的两个三角形相似学案1无
答案新版北师大版
第1课时 两角分别相等的两个三角形相似
【学习目标】
1.熟练掌握相似三角形的定义；
2.熟练掌握三角形相似的判定方法；
3.能灵活运用判定方法判断两个三角形是否相似。
【回顾与思考】
1．对应角相等，对应边也相等的两个三角形全等，你还记得三角形全等的其他判别条件吗？
2．相似三角形的定义是什么？你认为判别两个三角形相似至少需要哪些条件？
【合作学习】
合探1 同学们观察我们的直角三角尺，直观上看它们是什么关系？到底需要满足几个条件两个三角形能够相相似？
合探2 与同伴合作，两个人分别画△ABC 和△A ′B ′C ′,使得∠A =∠A ′都等于∠α，
∠B 和∠B ′都等于∠β，此时，∠C 与∠C ′相等吗？对应边的比
C B BC C A AC B A AB '
''''',,相等吗？这样的两个三角形相似吗？改变∠α，∠β的大小，再试一试.
思考：在实际画图过程中，同学们画了几个角相等？为什么？
由此得到相似三角形的判定方法1：
【例题学习】
如图，D 、E 分别是△ABC 边AB 、AC 上的点，DE ∥B C ，AB =7，AD =5，DE =10，求BC 的长。
【巩固训练】 1、如图D 、E 分别是△ABC 边AB 、AC 上的点，∠AED=∠C ，△ABC 与△ADE 相似吗？如果相似请写出证明过程 A B C E
D
2、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．
【拓展运用】
在Rt ⊿ABC 中，
CD 是斜边上的高，则⊿ABC ∽⊿CBD ∽⊿ACD 。
【归纳小结】
C
【堂清】
如图，点A、O、D与点B、O、C分别在一条直线上，如果AB∥CD那么△AOB与△DOC相似吗？为什么？
O
A B
C D
【作业】
1.已知：△ABC和△
A′B′C′中，∠A=40°，∠B=70°，∠A′=40°，∠C′=70°.求证：△ABC∽△A′C′
B′.
2、如图，△ABC中，DE‖BC，EF‖AB，证明：△ADE∽△EFC．
B
A
C D E
3、已知：如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F，若AB=4，AD=5，AE=6，求DF的长．
4、已知：如图，△ABC 的高AD 、BE 交于点F ．求证：FD EF BF AF ．
5、如图，AF ∥CD ,∠1=∠2,∠B =∠D ,你能找出图中几对相似三角形？并逐一说明相似的理由.
【教学反思】。