九年级上册图形的相似
华师版九年级数学上册第23章 图形的相似5 位似图形
2．下列关于位似图形的三个表述中正确的有( C ) ①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形； ②位似图形一定有位似中心； ③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同 一个点，那么这两个图形是位似图形． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3.如图，△OAB 和△OCD 是位似图形，AB 与 CD 平行吗？为什么？
A A′
D′ D O C C′
B B′
A
C′
B
O
B′
C
A′
知识要点2
位似图形的性质 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.
典例讲解
1
例1..把四边形 ABCD 缩小到原来的 2. (1) 在四边形外任选一点 O (如图)；
(2) 分别在线段 OA、OB、OC、OD 上
A
取点 A' 、B' 、 C' 、D' ，使得；
OA' OB' OC' OD' 1
B
D
A'
OA OB OC OD 2
B' D'
C
(3) 顺次连接点 A' 、B' 、C' 、D' ，所
O
C'
得四边形 A' B' C' D' 就是所要求的图形
知识要点3
画位似图形的一般步骤 ① 确定位似中心； ② 分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点； ③ 根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点； ④ 顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形.
第23章 图形的相似
位似图形
活动一 照相机把人物的影像缩小到底片上，这种相似有什么特征？
华师版九年级数学上册第23章 图形的相似3 相似三角形的性质
∵△ABC ∽△A′B′C′， ∴∠B＝∠B' .
BD
C
∴△ABD ∽△A'B'D'.
A'
∴ AD AB k .
AD AB
B' D'
C'
知识要点1 相似三角形的性质1 相似三角形的对应高、中线、角平分线的比等于相似比
A A'
BD
C
B' D'
C'
活动二 如果两个三角形相似，它们的周长之间有什么关系？两个相似多
A' B ' B 'C ' C ' A'
知识要点1
相似三角形的性质2 相似三角形周长之比等于相似比.
A
A'
B
C
B'
C'
活动三 如图，△ABC∽△A' B' C' ，相似比为 k，它们的面积比是多少？
解：如图，分别作出△ABC 和△A' B' C' 的高 AD和A' D' ．
∵∠ADB =∠A' D' B' ，∠B＝∠B'，
1.判断 （1）一个三角形的各边长扩大为原来的 5 倍，这个三角形的周长也扩大 为原来的 5 倍；
（2）一个四边形的各边长扩大为原来的 9 倍，这个四边形的面积也扩大 为原来的 9 倍．
2. 蛋糕店制作两种圆形蛋糕，一种半径是 15 cm，一种半径是 30 cm，如 果半径是 15 cm 的蛋糕够 2 个人吃，半径是 30 cm 的蛋糕够多少人吃？ （假设两种蛋糕高度相同）
九年级上册图形的相似知识点归纳
九年级纳上册图形的相似知识点归】纳【篇一：九年级上册图形的相似知识点归图形的相似考点一、比例线段1、比例线段的相关概念如果选用同一长度单位量得两 a m 条线段 a，b 的长度分别为m，? n ，那么段的比是， b n 或写成 a：b=m ：n 在两条线段的比 a ：这两条线就说b 中，a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。
在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那段叫做成比例线段，简称比例线段 a c ? b d 若四条 a，四条线么这b，c，d满足或a：b=c ：d，那么 a，b，c，d 叫做组成比例的项，段的 d 叫做段a，d 叫做比例外项，线段b，c 叫做比例内项，线线a，b，c 的第四比例项。
如果作为比例内项的是两条相同的线段，即? 或 a：b=b ：c，那么段a，c 的比例中项。
段 b 叫做线线的直线截其他两边（或两边的延长：（1）平行于三角形一边推论段成比例。
应线线），所得的对逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的条直线平行于三角形的第三边。
对应线段成比例，那么这（2）平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截得的三角形的三对应成比例。
边与原三角形的三边考点三、相似三角形（3~8 分）1、相似三角形的概念对应角相等，边成比例的三角形叫做相似三角形。
对应的比叫相似用符号“∽”来表示，读作“相似于”。
相似三角形对应边做相似比（或相似系数）。
3、三角形相似的判定（1）三角形相似的判定方法①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似②平行法：平行于三角形和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形的直线一边与原三角形相似③判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个两角三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为相等，两三角形相似。
对应。
九年级图形的相似性知识点
九年级图形的相似性知识点九年级的数学课程中，图形的相似性是一个重要的知识点。
相似性是指两个或多个图形在形状上相似的性质。
在学习相似性的过程中，我们将会了解到比例、角度、边长等概念的应用，进一步提高我们的几何思维能力。
一、比例和比例关系相似性的关键之一是比例。
比例在几何学中的应用非常广泛，它在描述相似图形的关系时起着重要的作用。
比例可以理解为两个或多个量之间的比较，通常可以用两个数字或表达式之间的比值表示。
在相似图形中，我们可以通过比较两个图形的对应边长的比例来判断它们是否相似。
例如，设有两个三角形ABC和DEF，如果它们的对应边长的比例相等，即AB/DE = BC/EF = AC/DF，那么这两个三角形就是相似的。
通过比较他们的边长比例，我们可以得出它们形状相似的结论。
二、角度的对应关系除了比例关系外，角度的对应关系也是判断图形相似的重要依据。
两个相似的图形，其对应的内角度是相等的。
也就是说，如果两个三角形ABC和DEF是相似的，那么它们的对应内角度A、B、C和D、E、F是相等的。
这个性质在实际问题中非常有用。
通过测量两个图形的内角度的大小，我们可以判断它们是否相似，从而在解决几何问题时得到更精确的结果。
三、比例尺在实际应用中，我们经常会遇到需要进行测量并绘制缩放图形的情况。
比例尺是一种常用的工具，它能够将实际尺寸与绘制尺寸之间的比例关系呈现出来。
比例尺通常以分数的形式表示，例如1/50或1:50。
意思是1个单位的实际长度对应于绘制的50个单位长度。
通过使用比例尺，我们可以将实际的图形缩小或放大到所需的大小，以便更好地进行观察和研究。
四、图形的相似性应用图形的相似性在实际生活中有着广泛的应用。
举个例子，我们常常看到地图上的图形，它们是按比例绘制的，以便更直观地显示地理信息。
此外，相似性还被应用在建筑、工程、艺术等领域。
例如，在建筑设计中，相似三角形的原理被广泛运用。
建筑师可以通过相似性来计算建筑物的比例，以便在保持整体平衡和美观的同时，满足功能和结构的要求。
九年级数学相似的知识点
九年级数学相似的知识点
1. 相似三角形：了解相似三角形的定义和性质，掌握判定两个三角形是否相似的几何条件，了解相似三角形的比例关系以及应用。
2. 相似多边形：了解相似多边形的定义和性质，掌握判断两个多边形是否相似的几何条件，了解相似多边形的比例关系以及应用。
3. 相似比例：学习相似比例的定义，掌握相似比例的计算和应用，了解相似比例与比例的关系。
4. 相似形状的尺寸关系：通过相似性的特点和比例关系，掌握计算相似形状的尺寸关系，实际应用中解决实际问题。
5. 相似图形的面积和体积：了解相似图形的面积和体积之间的关系，掌握计算相似图形的面积和体积的方法。
6. 相似三角形的三线合一定理：了解相似三角形的三线合一定理，掌握计算相似三角形的高、中线、角平分线以及重心、垂心和外心的方法。
7. 三角形的判定：了解判定三角形是否相似的几何条件，掌握相似三角形中角的性质和边的关系，应用相似三角形解决实际问题。
8. 相似函数的性质：了解相似函数的定义和性质，掌握相似函数的图像特点和变化规律，应用相似函数解决实际问题。
9. 相似变换：了解平移、旋转、翻折和缩放等相似变换的性质，掌握相似变换的基本概念、性质和运算法则，应用相似变换解决实际问题。
10. 相似图形中的角度关系：通过相似图形的角度关系，学习解决相似图形中的角度问题。
以上是九年级数学中与相似相关的知识点，希望对你有帮助！。
九年级图形相似知识点
九年级图形相似知识点在九年级数学学科中，有一项重要的内容就是图形相似知识点。
图形相似是指两个图形在形状上相似，但大小不同。
图形相似是数学中的一个重要概念，它不仅在数学中有着广泛的应用，而且在现实生活中也有着重要的意义。
本文将从实际生活中的例子出发，系统地介绍九年级图形相似知识点。
首先，我们来看一个常见的例子。
大家都知道，地球是一个球体，它的形状是圆形。
而地球上的国家、城市等地理实体都是扁平的，它们的形状是圆形的，但大小不同。
这种情况就可以用图形相似来描述。
我们可以说地球上的城市和国家与地球在形状上相似，但大小不同。
这就是图形相似的一个实际应用。
图形相似的另一个常见的实际应用是地图。
地图是由地球的表面展开而成的，因此它不能完全还原地球的真实形状。
但地图上的国家、城市等地理实体在形状上与地球上的相应实体是相似的。
例如，中国在地球上的形状是长方形的，而在地图上也呈现出长方形的形状，但大小不同。
这也是图形相似的一个例子。
在九年级数学中，图形相似一般是通过比例来刻画的。
考虑两个相似图形，我们可以发现它们的对应边之间有一个固定的比例关系。
这个比例关系叫做相似比例。
相似比例是图形相似的一个重要特征，它可以用来描述图形相似的程度。
例如，如果两个相似图形的对应边之间的比例为3:1，我们就可以说这两个图形是以比例因数为3的相似图形。
图形相似不仅在数学中有着重要的应用，而且在实际生活中也有着广泛的应用。
例如，建筑师在设计建筑物时常常会用到图形相似的知识。
他们常常会将建筑物的缩小模型进行放大来得到真实的建筑物，这就是利用了图形相似的原理。
此外，图形相似还可以应用在测量中。
例如，在测量高楼的高度时，我们可以利用相似三角形的原理来测量。
这些都是图形相似知识在实际生活中的应用。
总之，九年级图形相似是数学中的一个重要内容，它在数学和生活中都有着广泛的应用。
通过图形相似，我们可以描述不同大小但形状相似的图形。
相似比例是图形相似的一个重要特征，它可以用来描述图形相似的程度。
九年级上册第四章图形的相似重点题型归纳
九年级上册第四章图形的相似重点题型归纳图形的相似是初中数学中的一个重要概念，它在解决图形变换和比例问题中起到关键作用。
在九年级上册的第四章中，我们学习了图形的相似性质及其相关的题型。
本文将对这些重点题型进行归纳总结，帮助同学们理解和掌握。
1. 相似三角形的判定和性质相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
我们可以利用以下条件判定两个三角形是否相似：- AA判定法：如果两个三角形的对应角相等，那么它们是相似三角形。
- SSS判定法：如果两个三角形的对应边成比例，那么它们是相似三角形。
- SAS判定法：如果两个三角形的两对边成比例且夹角相等，那么它们是相似三角形。
相似三角形的性质：- 对应角相等：相似三角形对应角相等，即它们的内角相等。
- 对应边成比例：相似三角形的对应边成比例，即它们的对应边的长度比相等。
2. 相似三角形的应用相似三角形的应用涉及到长度、面积、坐标等方面的计算和问题求解。
以下是常见的相似三角形的应用题型：- 根据已知条件求解未知长度：利用相似三角形的性质，我们可以根据已知条件的比例关系计算未知长度。
- 根据已知条件求解面积：相似三角形的面积比等于对应边的长度比的平方。
- 坐标变换问题：当一个图形通过平移、旋转或缩放而变换时，我们可以利用相似三角形的性质求解坐标的变换关系。
3. 黄金分割黄金分割是指将一条线段分成两部分，使整体线段与较长部分之比等于较长部分与较短部分之比。
黄金分割具有以下特点：- 黄金分割比例是1：（√5+1）/2，约等于1：1.618。
- 黄金分割线段具有美学上的完美比例，被广泛应用在建筑、绘画等领域。
- 黄金矩形具有一些特殊性质，例如，它的长边和短边的比例等于整个矩形和长边之比。
4. 相似图形的比例尺比例尺用于表示实际对象与图形之间的比例关系。
当我们绘制地图、建筑设计等图形时，需要确定适当的比例尺。
常见的比例尺形式包括文字比例尺和线性比例尺。
- 文字比例尺：用文字描述实际距离与图形上距离的比例关系，例如，“1cm表示10公里”。
北师大版九年级数学上册 (相似多边形)图形的相似 课件
A
B
F
C
ED
A1 F1
E1
B1 C1
D1
图中的六边形 ABCDEF 与六边形 A1B1C1D1E1F1 是形状相同的多边形，
其中∠A 与∠A1，∠B 与∠B1，∠C 与∠C1，∠D 与∠D1，∠E 与∠E1，
∠F 与∠F1 分别相等，称为对应角；
AB 与 A1B1，BC 与 B1C1，CD 与 C1D1，DE 与 D1E1，EF 与 E1F1，FA
例2 一块长 3 m，宽 1.5 m 的矩形黑板如图所示，镶在其外围的木质边 框宽 7.5 cm . 边框的内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？
E A 3m
1.5 m
D H
(3+0.075×2) m
F B
(1.5+0.075×2) m
C G
E A 3m
1.5 m
D H
(3+0.075×2) m
解：
(2)∵梯形ABCD与梯形A′B′C′D′相似，且由(1)知相似
比k＝ 2 , ∴
AB 2 , BC
2 ,
3 AB 3 BC 3
∵AB＝6，B′C′＝12，∴A′B′＝9，BC＝8.
(3)由题意知，∠D′＝∠D.
∵AD∥BC，∠C＝60°，
∴∠D＝180°－∠C＝120°.∴∠D′＝120°.
归纳
A1 F1
B1 C1
AB
F
C
E1
D1
E
D
要点归纳 ◑相似多边形的定义：
相似多边形用符号“∽”表示， 读作“相似于”
各角分别相等、各边成比例的两个多边形
叫做相似多边形.
◑相似多边形的特征： 相似多边形的对应角相等，对应边成比例.
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图形的相似
第一部分知识梳理
1. 对应边成比例，对应角都相等的两个多边形相似。
相似多边形的对应边之比叫做相似比。
2. 相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似
3. 相似三角形的判定方法：
①三边对应成比例的两个三角形相似。
②两个角对应相等的两个三角形相似。
③两边对应成比例并且夹角相等的两个三角形相似。
4. 判定三角形相似，一般先找等角，当难发现等角或仅能判定一组等角时，则应转向证明边对应成比例。
5. 相似三角形几种基本类型：
①平行线型：常见的有如下两种，DE∥BC，则△ADE∽△ABC
②相交线型：常见的有如下四种情形，
如图（1）（2），已知∠1=∠B，则由公共角∠A得，△ADE∽△ABC
如下图（3），已知∠1=∠B，则由公共角∠A得，△ADC∽△ACB
如下图（4），已知∠B=∠D，则由对顶角∠1=∠2得，△ADE∽△ABC
（1）（2）（3）（4）
③旋转型：如图（5）已知∠BAD=∠CAE，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，下图为常见的基本图形．
④母子型：如图（6）已知∠ACB=90°，AB⊥CD，则△CBD∽△ABC∽△ACD．
B C
A
D
E
A
B
C
D
（5） （6）
第二部分 精讲点拨
考点1.多边形相似
【例1】已知四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1相似，且A 1B 1:B 1C 1:C 1D 1:D 1A 1=7:8:11:14，若四边形ABCD 的周长为40，求四边形ABCD 的各边的长． 变式1 下列说法正确的是（ ）
A ．所有的平行四边形都相似
B ．所有的矩形都相似
C ．所有的菱形都相似
D ．所有的正方形都相似
变式2 如图，四边形ABCD 和EFGH 相似，求角α、
β的大小和EH 的长度x 。
考点2. 相似三角形
【例2】下列说法正确的是（ ）
A ．全等三角形一定相似
B ．相似三角形一定全等
C ．有一个角是40°的两个等腰三角形相似
D ．两个等腰直角三角形不一定相似
变式1 △ABC 的三条边之比为2：5：6，与其相似的另一个△A ′B ′C ′最大边长为15cm ，则另两边长的和为 ．
变式 2 已知：在△ABC 中，三边长分别为2，10，2，△A ’B ’C ’
的两边长分别为1，5，若△
ABC ∽△A ’B ’C ’，则△A ’B ’C ’
的第三边长为（ ）
A ．2
2
B ．２
C ．2
D ．２2
考点3. 相似三角形的判定 【例3】根据下列条件，判断与是否相似，并说明里由：
(1)
，，；
，，
(2)，，；
，，
变式1 在△ABC 中，BE ⊥AC ，CF ⊥AB ，求证：△ABC ∽△AEF 。
变式2 已知△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 是角平分线，求证：△ABC ∽△BCD
变式3 如图在Rt △ABC 中，AD ⊥BC 于D 。
（1）求证：△BAC ∽△BDA ∽△ADC
（2）求证：CD BD AD ⋅=2；BC BD BA ⋅=2；CB CD CA ⋅=2
（3）已知：BD=6，CD=3，求AD 、AB 、AC ； （4）已知：AC=6，BD=9，求BC 、AB 、AD 。
考点四.探究创新
【例5】 如图，∠ACB ＝∠ADC ＝900
，AC ＝6，AD ＝2。
问当AB 的长为多少时，这两个直角三 角形相似？
A
B C
D
变式 已知如图，正方形ABCD 的边长为1，P 是CD 边的中点，点Q 在线段BC 上，设BQ ＝k ， 是否存在这样的实数k ，使得Q 、C 、P 为顶点的三角形与△ADP 相似，若存在，求出k 的值；若不存 在，请说明理由。
第三部分 过关检测
【基础闯关】
1. 关于相似多边形的下列叙述正确的是（ ）
A.对应边相等的多边形叫做相似多边形
B.多边形的边数不等时也可以相似
C.对应角、对应边都相等的多边形叫做相似多边形
D.对应角相等、对应边成比例的多边形叫做相似多边形
2. 下列说法中，正确的是（ ）
A.锐角三角形都相似
B.直角三角形都相似
C.等腰三角形都相似
D.等边三角形都相似
3. 如图，平行四边形ABCD 中，E 是AB 延长线上一点，连结DE ，交AC 于G ，交BC 于F ，那么图中相似三角形（不含全等三角形）共有（ ）对。
A. 6
B. 5
C. 4
D. 3
4. 如图，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则:ADE ABC S S =△△（ ） A ． 1∶2 B ．1∶3 C ．1∶4 D ． 2∶3
5. 如图所示，给出下列条件：①B ACD ∠=∠；②ADC ACB ∠=∠；③AC AB
CD BC
=； ④2
AC AD AB =．其中单独能够判定ABC ACD △∽△的个数为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
A
D
B
C
E
F
G
6. 把一个矩形剪去一个正方形，若剩余的矩形和原矩形相似，则原矩形的长与宽之比是 。
7. 在直角坐标系中，已知A （－3，0）、B （0，－4）、C （0，1），过C 点作直线l 交x 轴于D ，使得以点D 、C 、O 为顶点的三角形与△AOB 相似，这样的直线有 条。
8．一个钢筋三角架长分别为20cm 、50 cm 、60 cm ，现要再做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为30 cm 和50 cm 的两根钢筋，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为两边，则不同的载法有 种。
9. 如图，D 为ΔABC 内一点，E 为ΔABC 外一点，且∠1=∠2，∠3=∠4. (1)ΔABD 与ΔCBE 相似吗？请说明理由. (2)ΔABC 与ΔDBE 相似吗？请说明理由.
10. 如图，点C 、D 在线段AB 上，且ΔPCD 是等边三角形. (1)当AC ，CD ，DB 满足怎样的关系时，ΔACP ∽ΔPCB ； (2)当ΔPCB ∽ΔACP 时，试求∠APB 的度数.
第四部分 中考链接
1、已知：Rt OAB △在直角坐标系中的位置如图所示，(34)P ，为OB 的中点，点C 为折线OAB 上的动点，线段PC 把Rt OAB △分割成两部分．
问：点C 在什么位置时，分割得到的三角形与Rt OAB △相似？
（注：在图上画出所有符合要求的线段PC ，并求出相应的点C 的坐标）．
第1题图
1 A
B
y
C
P
x
1
2．在Rt ABC △中，902BAC AB AC ∠===，， 点D 在BC 所在的直线上运动，作45ADE ∠= （A D E ，，按逆时针方向）
． （1）如图1，若点D 在线段BC 上运动，DE 交AC 于E ． ①求证：ABD DCE △∽△；
②当ADE △是等腰三角形时，求AE 的长．
（2）①如图2，若点D 在BC 的延长线上运动，DE 的反向延长线与AC 的延长线相交于点E '，是否存在点D ，使ADE '△是等腰三角形？若存在，写出所有点D 的位置；若不存在，请简要说明理由； ②如图3，若点D 在BC 的反向延长线上运动，是否存在点D ，使ADE △是等腰三角形？若存在，写出所有点D 的位置；若不存在，请简要说明理由．
3、一般来说，数学研究对象本质属性的共同点和差异点。
将数学对象分为不同种类的数学思想叫“分类”
的思想。
将事物分类，然后对划分的每一类进行研究和求解的方法叫做：“分类讨论”的方法。
请依据分类的思想和分类讨论的方法解决下列问题： 如图，在ABC ∆中，ACB ∠>ABC ∠
（1）若BAC ∠是锐角,请探索在直线AB 上有多少个点D ，能保证ACD ∆∽ABC ∆（不包括全等） （2）请对BAC ∠进行恰当的分类，直接写出每一类在直线AB 上能保证ACD ∆∽ABC ∆（不包括全等）
的点D 的个数。
45
A
B D
C
E
第25题图1
45
45
C
D
B A
E
E '
C
A
B
D
E
第2题图2
第2题图3
A
B
C。