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初中数学专题复习数学探究性题目七例(含答案)

数学探究性题目七例1．时钟上的数学我们每个同学家里都有大大小小的钟，绝大部分钟都有时针、分针、秒针，时时刻刻都可以听到它们不停的“滴答、滴答”走动的声音，当然他们的走动有快有慢，秒针最快，时针最慢，不知你有没有注意到它们之间的一些数学关系？为了使问题简单起见，我们假设所讨论的时钟只有时针和分针。

问题：在一天之内时针和分针重合多少次？每次发生在什么时候？什么时候两针互相垂直？什么时候两针在一条直线上？如果时针和分针交换它还能表示某一时刻的时间么？希望大家在解决以上问题之后讨论一下是否还有其他有趣的问题。

2．揭穿转摊的骗术在车站，码头附近有时会看到一些碰运气、赌输赢的地摊，这些地摊大多引诱来往过路旅客，用骗术骗取他们的钱财。

转摊就是其中之一。

摊主在一个固定的圆盘上划出若干扇形区域，并顺次标上号码1，2，3，4，5，6，。

，在每一奇数扇区上放上值钱的物品，如名酒，中华香烟等，而在每一个偶数区域上放着廉价的物品，如糖块，小食品等。

圆盘中心安装一根可以转动的轴，轴的顶端有一根悬臂，臂端吊一根线，线头上系一根针。

你如果付给摊主一元钱，就可以随便转动一次，当悬臂停止转动时，针就停在某一区域，按照摊主制订的规则，这一格上的数是几，就从下一格起，按顺时针方向数出几，最后数到哪一格，那一格中的物品就归你，例如：当针指向“6”时，就要从“7”数起，顺时针方向数出“6”，最后应该数到“12”这一格。

参加这种赌博的人认为，圆盘中奇数、偶数格占一半，输赢得机会各占一半，于是就去碰碰运气，然而，不管转多少次，最后总是数到偶数区域中，你只能用自己的很多钱换来几粒糖果等廉价物品。

为什么大家的“运气”都这样不好，你能用数学知识解开这个迷吗？类似的还有1．音乐教室里有7排座位，每排7把椅子，每把椅子上坐一名学生，教师每月都要将座位调换一次，张明同学提出建议：每次交换时，每一名同学都必须与她相邻（前、后、左、右）的某一个同学交换位置，以示公平。

中考数学复习《几何探究型问题》经典题型及测试题(含答案)

中考数学复习《几何探究型问题》经典题型及测试题（含答案）题型解读1.考查类型：①动点探究题；②平移、旋转、折叠探究题；③图形形状变化探究题.2.考查内容：①多与特殊四边形的性质、三角形全等、相似的判定和性质有关；②涉及平移、旋转或折叠的相关性质；③多与二次函数的性质有关.3.备考指导：在做此类题型时，要观察题中已知条件，并结合题设，联系相关的知识解题，对结果猜想题根据前面问题大胆猜想，往往是解题的突破口．类型一动点探究题1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5 cm，∠BAC＝60°，动点M从点B出发，在BA边上以每秒2 cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒3 cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒(0≤t≤5)，连接MN.(1)若BM＝BN，求t的值；(2)若△MBN与△ABC相似，求t的值；(3)当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值．2.如图①，菱形ABCD中，已知∠BAD＝120°，∠EGF＝60°，∠EGF的顶点G在菱形对角线AC上运动，角的两边分别交边BC、CD于点E、F.(1)如图②，当顶点G运动到与点A重合时，求证：EC＋CF＝BC；(2)知识探究：①如图③，当顶点G运动到AC中点时，探究线段EC、CF与BC的数量关系；②在顶点G 的运动过程中，若ACCG ＝t ，请直接写出线段EC 、CF 与BC 的数量关系(不需要写出证明过程)；(3)问题解决：如图④，已知菱形边长为8，BG ＝7，CF ＝65，当t ＞2时，求EC 的长度．图①3.已知：如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6 cm ，BC ＝8 cm .对角线AC ，BD 交于点O ，点P 从点A 出发，沿AD 方向匀速运动，速度为1 cm /s ；同时，点Q 从点D 出发，沿DC 方向匀速运动，速度为1 cm /s ；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接PO 并延长，交BC 于点E ，过点Q 作QF∥AC，交BD 于点F.设运动时间为t(s )(0<t<6)，解答下列问题： (1)当t 为何值时，△AOP 是等腰三角形？(2)设五边形OECQF 的面积为S(cm 2)，试确定S 与t 的函数关系式；(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使S 五边形OECQF ∶S △ACD ＝9∶16？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；(4)在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使OD 平分∠COP？若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由．4.某数学兴趣小组在数学课外活动中，研究三角形和正方形的性质时，做了如下探究：在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D 为直线BC 上一动点(点D 不与B ，C 重合)，以AD 为边在AD 右侧作正方形ADEF ，连接CF. (1)观察猜想如图①，当点D 在线段BC 上时，①BC 与CF 的位置关系为：____________． ②BC ，CD ，CF 之间的数量关系为：____________(将结论直接写在横线上)． (2)数学思考如图②，当点D 在线段CB 的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明． (3)拓展延伸如图③，当点D 在线段BC 的延长线上时，延长BA 交CF 于点G ，连接GE.若已知AB ＝22，CD ＝14BC ，请求出GE 的长．类型二平移、旋转、折叠探究题5.如图①，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，四边形ADEF 是正方形，点B 、C 分别在边AD、AF上，此时BD＝CF，BD⊥CF成立．(1)当△ABC绕点A逆时针旋转θ(0°<θ<90°)时，如图②，BD＝CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．(2)当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，如图③，延长DB交CF于点H.①求证：BD⊥CF；②当AB＝2，AD＝32时，求线段DH的长．图①图②图③6.在△ABC中，AB＝6，AC＝BC＝5，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转，得到△ADE，旋转角为α(0°＜α＜180°)，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，连接BD，BE.(1)如图，当α＝60°时，延长BE交AD于点F.①求证：△ABD是等边三角形；②求证：BF⊥AD，AF＝DF；③请直接．．写出BE的长；(2)在旋转过程中，过点D作DG垂直于直线AB，垂足为点G，连接CE，当∠DAG＝∠ACB，且线段DG与线段AE无公共点时，请直接．．写出BE＋CE的值．温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答．7.已知矩形ABCD中AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．(1)如图①，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA，若△OCP与△PDA的面积比为1∶ 4，求边CD 的长；(2)如图②，在(1)的条件下擦去AO、OP，连接BP，动点M在线段AP上(点M不与点P、A重合)，动点N 在线段AB的延长线上，且BN＝PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E，试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明变化规律，若不变，求出线段EF的长度．图①图②8.问题情境在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动．如图①，将一张菱形纸片ABCD(∠BAD>90°)沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD.操作发现(1)将图①中的△ACD以A为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α＝∠BAC，得到如图②所示的△AC′D，分别延长BC和DC′交于点E，则四边形ACEC′的形状是________；(2)创新小组将图①中的△ACD以A为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α＝2∠BAC，得到如图③所示的△AC′D，连接DB、C′C，得到四边形BCC′D，发现它是矩形．请你证明这个结论；实践探究(3)缜密小组在创新小组发现结论的基础上，量得图③中BC＝13 cm，AC＝10 cm，然后提出一个问题：将△AC′D沿着射线DB方向平移a cm，得到△A′C″D′，连接BD′，CC″，使四边形BCC″D′恰好为正方形，求a的值．请你解答此问题；(4)请你参照以上操作，将图①中的△ACD在同一平面内进行一次平移，得到△A′C′D，在图④中画出平移后构造出的新图形，标明字母，说明平移及构图方法，写出你发现的结论，不必证明．9.如图，已知一个直角三角形纸片ACB，其中∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，E、F分别是AC、AB边上的点，连接EF.(1)如图①，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，且使S四边形ECBF＝3S△EDF，求AE的长；(2)如图②，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M处，且使MF∥CA.①试判断四边形AEMF的形状，并证明你的结论；②求EF的长；(3)如图③，若FE 的延长线与BC 的延长线交于点N ，CN ＝1，CE ＝47，求AFBF的值．10.如图①，矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝5，BP ＝1，∠MPN ＝90°，将∠MPN 绕点P 从PB 处开始按顺时针方向旋转，PM 交边AB(或AD)于点E ，PN 交边AD(或CD)于点F ，当PN 旋转至PC 处时，∠MPN 的旋转随即停止．(1)特殊情形：如图②，发现当PM 过点A 时，PN 也恰好过点D ，此时，△ABP________△PCD(填“≌”或“∽”)；(2)类比探究：如图③，在旋转过程中，PEPF 的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；(3)拓展延伸：设AE ＝t ，△EPF 的面积为S ，试确定S 关于t 的函数关系式；当S ＝4.2时，求所对应的t 值．11.如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，D为AB的中点，EF为△ACD的中位线，四边形EFGH为△ACD的内接矩形(矩形的四个顶点均在△ACD的边上)．(1)计算矩形EFGH的面积；(2)将矩形EFGH沿AB向右平移，F落在BC上时停止移动．在平移过程中，当矩形与△CBD重叠部分的面积为316时，求矩形平移的距离；(3)如图③，将(2)中矩形平移停止时所得的矩形记为矩形E1F1G1H1，将矩形E1F1G1H1绕G1点按顺时针方向旋转，当H1落在CD上时停止转动，旋转后的矩形记为矩形E2F2G1H2，设旋转角为α，求cosα的值．类型三图形形状变化探究题12.如图①，②，③分别以△ABC的AB和AC为边向△ABC外作正三角形(等边三角形)、正四边形(正方形)、正五边形，BE和CD相交于点O.(1)在图①中，求证：△ABE≌△ADC.图①(2)由(1)证得△ABE≌△ADC，由此可推得在图①中∠BOC＝120°，请你探索在图②中∠BOC的度数，并说明理由或写出证明过程．图②(3)填空：在上述(1)(2)的基础上可得在图③中∠BOC＝________(填写度数)．图③图④(4)由此推广到一般情形(如图④)，分别以△ABC的AB和AC为边向△ABC外作正n边形，BE和CD仍相交于点O，猜想∠BOC的度数为____________________(用含n的式子表示)．13.阅读理解：我们知道，四边形具有不稳定性，容易变形．如图①，一个矩形发生变形后成为一个平行四边形，设这个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为α，我们把1sinα的值叫做这个平行四边形的变形度．(1)若矩形发生形变后的平行四边形有一个内角是120°，则这个平行四边形的变形度是________；猜想证明：(2)设矩形的面积为S1，其变形后的平行四边形面积为S2，试猜想S1，S2，1sinα之间的数量关系，并说明理由；拓展探究：(3)如图②，在矩形ABCD中，E是AD边上的一点，且AB2＝AE·AD，这个矩形发生变形后为平行四边形A1B1C1D1，E1为E的对应点，连接B1E1，B1D1，若矩形ABCD的面积为4m(m>0)，平行四边形A1B1C1D1的面积为2m(m>0)，试求∠A1E1B1＋∠A1D1B1的度数．14.已知AC ，EC 分别为四边形ABCD 和EFCG 的对角线，点E 在△ABC 内，∠CAE ＋∠CBE＝90°. (1)如图①，当四边形ABCD 和EFCG 均为正方形时，连接BF. ①求证：△CAE∽△CBF； ②若BE ＝1，AE ＝2，求CE 的长；(2)如图②，当四边形ABCD 和EFCG 均为矩形，且AB BC ＝EFFC ＝k 时，若BE ＝1，AE ＝2，CE ＝3，求k 的值；(3)如图③，当四边形ABCD 和EFCG 均为菱形，且∠DAB ＝∠GEF＝45°时，设BE ＝m ，AE ＝n ，CE ＝p ，试探究m ，n ，p 三者之间满足的等量关系(直接写出结果，不必写出解答过程)．15.已知点O 是△ABC 内任意一点，连接OA 并延长到E ，使得AE ＝OA ，以OB ，OC 为邻边作▱OBFC ，连接OF ，与BC 交于点H ，再连接EF.(1)如图①，若△ABC 为等边三角形，求证：①EF⊥BC； ②EF ＝3BC ；(2)如图②，若△ABC 为等腰直角三角形(BC 为斜边)，猜想(1)中的两个结论是否成立？若成立，直接写出结论即可；若不成立，请你直接写出你的猜想结果；(3)如图③，若△ABC 是等腰三角形，且AB ＝AC ＝kBC ，请你直接写出EF 与BC 之间的数量关系．类型一动点探究题1. 解：(1)根据题意BM ＝2t ，BN ＝BC －3t ，而BC ＝5×tan 60°＝5 3.∴当BM ＝BN 时，2t ＝53－3t ，解得t ＝103－15. (2)分类讨论：①当∠BMN ＝∠ACB ＝90°时，如解图①， △NBM ∽△ABC ，cos B ＝cos 30°＝BM BN ，∴2t 53－3t ＝32，解得t ＝157.②当∠BNM ＝∠ACB ＝90°时，如解图②， △MBN ∽△ABC ，cos B ＝cos 30°＝BNBM， ∴53－3t 2t ＝32，解得t ＝52. 因此当运动时间是157秒或52秒时，△MBN 与△ABC 相似．第1题解图(3)由于△ABC 面积是定值，∴当四边形ACNM 面积最小时，△MBN 面积最大，而△MBN 的面积是S ＝12BM ×BN ×sin B＝12×2t ×(53－3t)×12＝－32t 2＋532t ，由于a ＝－32＜0， ∴当t ＝－5322×（－32）＝52时，△MBN 面积最大，最大值是－32×(52)2＋532×52＝2538，因此四边形ACNM 面积最小值是12×5×53－2538＝7538.2. (1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∠BAD ＝120°，∴∠BAC ＝60°，∠B ＝∠ACF ＝60°，AB ＝BC ， ∴AB ＝AC ，∵∠BAE ＋∠EAC ＝∠EAC ＋∠CAF ＝60°， ∴∠BAE ＝∠CAF ，在△BAE 和△CAF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠BAE ＝∠CAF AB ＝AC ∠B ＝∠ACF， ∴△BAE ≌△CAF(ASA )， ∴BE ＝CF ，∴EC ＋CF ＝EC ＋BE ＝BC ，即EC ＋CF ＝BC ；(2)解：①线段EC ，CF 与BC 的数量关系为： EC ＋CF ＝12BC.理由如下：如解图①，过点A 作AE′∥EG ，AF ′∥GF ，分别交BC 、CD 于E′、F′.第2题解图①类比(1)可得：E′C ＋CF′＝BC ， ∵G 为AC 中点，AE ′∥EG ， ∴CE CE′＝CG AC ＝12， ∴CE ＝12CE′，同理可得：CF ＝12CF′，∴CE ＋CF ＝12CE′＋12CF′＝12(CE′＋CF′)＝12BC ，即CE ＋CF ＝12BC ；②CE ＋CF ＝1tBC ；【解法提示】类比(1)可得：E′C ＋CF′＝BC ， ∵AE ′∥EG ，ACCG ＝t ，∴CE CE′＝CG AC ＝1t，∴CE ＝1tCE′，同理可得：CF ＝1tCF′，∴CE ＋CF ＝1t CE′＋1t CF′＝1t (CE′＋CF′)＝1t BC ，即CE ＋CF ＝1tBC.(3)解：如解图②，连接BD 与AC 交于点H.第2题解图②在Rt △ABH 中，∵AB ＝8，∠BAC ＝60°， ∴BH ＝AB·sin 60°＝8×32＝43， AH ＝CH ＝AB·cos 60°＝8×12＝4，∴GH ＝BG 2－BH 2＝72－（43）2＝1， ∴CG ＝4－1＝3， ∴CG AC ＝38， ∴t ＝83(t ＞2)，由(2)②得：CE ＋CF ＝1t BC ，∴CE ＝1t BC －CF ＝38×8－65＝95.∴EC 的长度为95.3. 解：(1)分三种情况： ①若AP ＝AO ，在矩形ABCD 中，∵AB ＝6，BC ＝8， ∴AC ＝10，第3题解图①∴AO ＝CO ＝5，∴AP ＝5， ∴t ＝5，②若AP ＝PO ＝t ，在矩形ABCD 中， ∵AD ∥BC ，∴∠PAO ＝∠OCE ，∠APO ＝∠OEC ，又∵OA ＝OC ，∴△APO ≌△CEO ，∴PO ＝OE ＝t.如解图①，作AG ∥PE 交BC 于点G ，则四边形APEG 是平行四边形， ∴AG ＝PE ＝2t ，GE ＝AP ＝t. 又∵EC ＝AP ＝t ，∴BG ＝8－2t.在Rt △ABG 中，根据勾股定理知62＋(8－2t)2＝(2t)2，解得t ＝258.第3题解图②③若OP ＝AO ＝5，则t ＝0或t ＝8，不合题意，舍去．综上可知，当t ＝5或t ＝258时，△AOP 是等腰三角形．(2)如解图②，作OM ⊥BC ，垂足是M ，作ON ⊥CD ，垂足是N. 则OM ＝12AB ＝3，ON ＝12BC ＝4，∴S △OEC ＝12·CE·OM ＝12·t·3＝32t ，S △OCD ＝12·CD·ON ＝12·6·4＝12.∵QF ∥AC ，∴△DFQ ∽△DOC ， ∴S △DFQ S △DOC ＝(DQ DC)2，即S △DFQ 12＝(t 6)2，∴S △DFQ ＝13t 2，∴S 四边形OFQC ＝12－13t 2，∴S 五边形OECQF ＝S 四边形OFQC ＋S △OEC ＝12－13t 2＋32t ，即S ＝－13t 2＋32t ＋12(0＜t ＜6)．(3)存在．理由如下：要使S 五边形OECQF ：S △ACD ＝9∶16，即(－13t 2＋32t ＋12)∶(12×6×8)＝9∶16，解得t 1＝3，t 2＝1.5，两个解都符合题意，∴存在两个t 值，使S 五边形OECQF ∶S △ACD ＝9∶16，此时t 1＝3，t 2＝1.5； (4)存在．理由如下：如解图③，作DI ⊥OP ，垂足是I ，DJ ⊥OC ，垂足是J ，第3题解图③作AG ∥PE 交BC 于点G.∵S △OCD ＝12·OC·DJ ＝12·5·DJ ，且由(2)知，S △OCD ＝12，∴DJ ＝245.∵OD 平分∠POC ，DI ⊥OP ，DJ ⊥OC ， ∴DI ＝DJ ＝245＝4.8.∵AG ∥PE ，∴∠DPI ＝∠DAG .∵AD ∥BC ，∴∠DAG ＝∠AGB ，∴∠DPI ＝∠AGB ， ∴Rt △ABG ∽Rt △DIP.由(1)知，在Rt △ABG 中，BG ＝8－2t ， ∴AB DI ＝BG IP ，∴64.8＝8－2t IP， ∴IP ＝45(8－2t)．在Rt △DPI 中，根据勾股定理得 (245)2＋[45(8－2t)]2＝(8－t)2，解得t ＝11239.(t ＝0不合题意，舍去)4. (1)解：①BC ⊥CF ；②BC ＝CD ＋CF. 【解法提示】①∵∠BAC ＝∠DAF ＝90°， ∴∠BAD ＝∠CAF ，又∵AB ＝AC ，AD ＝AF ， ∴△ABD ≌△ACF ， ∴∠ACF ＝∠ABC ＝45°， ∵∠ACB ＝45°，∴∠BCF ＝90°，即BC ⊥CF ； ②∵△ABD ≌△ACF ， ∴BD ＝CF ， ∵BC ＝CD ＋BD ， ∴BC ＝CD ＋CF.(2)解：结论①仍然成立，②不成立． ①证明：∵∠BAC ＝∠DAF ＝90°， ∴∠BAD ＝∠CAF ，又∵AB ＝AC ，AD ＝AF ， ∴△ABD ≌△ACF ，∴∠ACF ＝∠ABD ＝180°－45°＝135°， ∵∠ACB ＝45°， ∴∠BCF ＝90°，即BC ⊥CF ； ②结论为：BC ＝CD －CF. 证明：∵△ABD ≌△ACF ， ∴BD ＝CF ，∵BC ＝CD －BD ，∴BC ＝CD －CF.(3)解：如解图，过点E 作EM ⊥CF 于M ，作EN ⊥BD 于点N ，过点A 作AH ⊥BD 于点H. ∵AB ＝AC ＝22，第4题解图∴BC ＝4，AH ＝12BC ＝2，∵CD ＝14BC ，∴CD ＝1，∵∠BAC ＝∠DAF ＝90°， ∴∠BAD ＝∠CAF ，又∵AB ＝AC ，AD ＝AF ， ∴△ABD ≌△ACF ， ∴∠ACF ＝∠ABC ＝45°， ∵∠ACB ＝45°， ∴∠BCF ＝90°，∴CN ＝ME ，CM ＝EN ， ∴∠AGC ＝∠ABC ＝45°， ∴CG ＝BC ＝4，∵∠ADE ＝90°，∴∠ADH ＋∠EDN ＝∠EDN ＋∠DEN ＝90°， ∴∠ADH ＝∠DEN ，又∵∠AHC ＝∠DNE ＝90°，AD ＝DE ， ∴△AHD ≌△DNE ，∴DN ＝AH ＝2，EN ＝DH ＝3， ∴CM ＝EN ＝3，ME ＝CN ＝3，则GM ＝CG －CM ＝4－3＝1， ∴EG ＝EM 2＋GM 2＝10.类型二平移、旋转、折叠探究题5. (1)解：BD ＝CF 成立．理由如下：∵AC ＝AB ，∠CAF ＝∠BAD ＝θ，AF ＝AD ， ∴△ACF ≌△ABD ，∴CF ＝BD.(2)①证明：由(1)得，△ACF ≌△ABD ， ∴∠HFN ＝∠ADN ，在△HFN 与△ADN 中，∵∠HFN ＝∠ADN ，∠HNF ＝∠AND ， ∴∠NHF ＝∠NAD ＝90°，第5题解图∴HD ⊥HF ，即BD ⊥CF.②解：如解图，连接DF ，延长AB ，与DF 交于点M ，在△MAD 中，∵∠MAD ＝∠MDA ＝45°， ∴∠BMD ＝90°.在Rt △BMD 与Rt △FHD 中， ∵∠MDB ＝∠HDF ，∴△BMD ∽△FHD.∵AB ＝2，AD ＝32，四边形ADEF 是正方形， ∴MA ＝MD ＝322＝3，∴MB ＝MA －AB ＝3－2＝1，BD ＝MB 2＋MD 2＝12＋32＝10，又∵MD HD ＝BD FD ，即3HD ＝106，∴DH ＝9105.6. (1)①证明：∵△ABC 绕点A 顺时针方向旋转60°得到△ADE ， ∴AB ＝AD ，∠BAD ＝60°， ∴△ABD 是等边三角形；②证明：由①得△ABD 是等边三角形， ∴AB ＝BD ，∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△ADE，∴AC＝AE，BC＝DE，又∵AC＝BC，∴EA＝ED，∴点B，E在AD的中垂线上，∴BE是AD的中垂线，∵点F在BE的延长线上，∴BF⊥AD，AF＝DF；③解：BE的长为33－4；【解法提示】由②知AF＝12AD＝12AB＝3，AE＝AC＝5，BF⊥AD，由勾股定理得EF＝AE2－AF2＝4.在等边△ABD中，AB＝6，BF⊥AD，∴BF＝32AB＝33，∴BE＝33－4.(2)解：BE＋CE的值为13；第6题解图【解法提示】如解图，∵∠DAG＝∠ACB，∴∠DAB＝2∠CAB.∵∠DAE＝∠CAB，∴∠BAE＝∠CAB，∴∠BAE＝∠CBA，∴AE∥BC，∵AE＝AC＝BC，∴四边形ACBE是菱形，∴CE 垂直平分AB ，BE ＝AC ＝5.设CE 交AB 于M ，则CM ⊥AB ，CM ＝EM ，AM ＝BM ， ∴在Rt △ACM 中，AC ＝5，AM ＝3，由勾股定理得CM ＝4， ∴CE ＝8， ∴CE ＋BE ＝13.7. 解：(1)由矩形性质与折叠可知，∠APO ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°， ∴∠CPO ＋∠DPA ＝∠DPA ＋∠DAP ＝90°， ∴∠DAP ＝∠CPO ， ∴△OCP ∽△PDA ， ∴S △OCP S △PDA ＝(CP DA)2，即14＝(CP8)2，∴CP ＝4，设CD ＝x ，则DP ＝x －4，AP ＝AB ＝CD ＝x ， ∵AP 2－DP 2＝AD 2， ∴x 2－(x －4)2＝82，解得x ＝10，故CD ＝10. (2)第7题解图线段EF 的长度始终不发生变化，为2 5.证明：如解图，过点N 作NG ⊥PB ，与PB 的延长线相交于点G ， ∵AB ＝AP ，∴∠APB ＝∠ABP ＝∠GBN ，在△PME 和△BNG 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠MEP ＝∠NGB ＝90°∠MPE ＝∠NBG MP ＝NB， ∴△PME ≌△BNG(AAS )， ∴ME ＝NG ，PE ＝BG ，在△FME 和△FNG 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠MEF ＝∠NGF ∠MFE ＝∠NFG ME ＝NG，∴△FME ≌△FNG(AAS )， ∴EF ＝GF ， ∴EF ＝12EG ，∵BP ＝BE ＋EP ＝BE ＋GB ＝EG ， ∴EF ＝12BP ，∵BP ＝BC 2＋CP 2＝82＋42＝45， ∴EF ＝12BP ＝2 5.8. (1)解：菱形．(2)证明：如解图①，作AE ⊥CC′于点E ，由旋转得AC′＝AC ，∴∠CAE ＝∠C′AE ＝12α＝∠BAC ，第8题解图①∵四边形ABCD 是菱形， ∴BA ＝BC ，BC ＝DC′， ∴∠BCA ＝∠BAC ， ∴∠CAE ＝∠BCA ， ∴AE ∥BC ，同理AE ∥DC′， ∴BC ∥DC ′，∴四边形BCC′D 是平行四边形，又∵AE ∥BC ，∠CEA ＝90°， ∴∠BCC ′＝180°－∠CEA ＝90°，∴四边形BCC′D 是矩形．(3)解：如解图①，过点B 作BF ⊥AC 于点F ， ∵BA ＝BC ，∴CF ＝AF ＝12AC ＝12×10＝5.在Rt △BCF 中，BF ＝BC 2－CF 2＝132－52＝12. 在△ACE 和△CBF 中，∵∠CAE ＝∠BCF ，∠CEA ＝∠BFC ＝90°， ∴△ACE ∽△CBF ， ∴CE BF ＝AC BC ，即CE 12＝1013，解得CE ＝12013.∵AC ＝AC′，AE ⊥CC ′， ∴CC ′＝2CE ＝2×12013＝24013.当四边形BCC″D′恰好为正方形时，分两种情况： ①点C″在边CC′上，a ＝CC′－13＝24013－13＝7113，②点C″在边C′C 的延长线上，a ＝CC′＋13＝24013＋13＝40913.综上所述，a 的值为7113或40913.第8题解图②(4)解：答案不唯一，例：画出正确图形如解图②所示．平移及构图方法：将△ACD 沿着射线CA 方向平移，平移距离为12AC 的长度，得到△A ′C ′D ，连接A′B ，DC.结论：四边形A′BCD 是平行四边形．9. 解：(1)∵折叠后点A 落在AB 边上的点D 处， ∴EF ⊥AB ，△AEF ≌△DEF ， ∴S △AEF ＝S △DEF .∵S 四边形ECBF ＝3S △EDF ，∴S 四边形ECBF ＝3S △AEF .∵S △ACB ＝S △AEF ＋S 四边形ECBF ，∴S △ACB ＝S △AEF ＋3S △AEF ＝4S △AEF ， ∴S △AEF S △ACB ＝14. ∵∠EAF ＝∠BAC ，∠AFE ＝∠ACB ＝90°， ∴△AEF ∽△ABC ， ∴S △AEF S △ABC ＝(AE AB )2， ∴(AE AB )2＝14. 在Rt △ACB 中，∵∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3， ∴AB ＝42＋32＝5， ∴(AE 5)2＝14，∴AE ＝52.(2)第9题解图①①四边形AEMF 是菱形．证明：如解图①，∵折叠后点A 落在BC 边上的点M 处， ∴∠CAB ＝∠EMF ，AE ＝ME ，又∵MF ∥CA ，∴∠CEM ＝∠EMF ， ∴∠CAB ＝∠CEM ， ∴EM ∥AF ，∴四边形AEMF 是平行四边形．又∵AE ＝ME ，∴四边形AEMF 是菱形．②如解图①，连接AM ，AM 与EF 交于点O ，设AE ＝x ，则ME ＝AE ＝x ，EC ＝4－x. ∵∠CEM ＝∠CAB ，∠ECM ＝∠ACB ＝90°， ∴△ECM ∽△ACB. ∴EC AC ＝EMAB ， ∵AB ＝5，AC ＝4， ∴4－x 4＝x5，解得x ＝209，∴AE ＝ME ＝209，EC ＝169.在Rt △ECM 中，∵∠ECM ＝90°，∴CM 2＝EM 2－EC 2，即CM ＝EM 2－EC 2＝（209）2－（169）2＝43. ∵四边形AEMF 是菱形，∴OE ＝OF ，OA ＝OM ，AM ⊥EF ， ∴S 菱形AEMF ＝4S △AOE ＝2OE·AO. 在Rt △AOE 和Rt △ACM 中， ∵tan ∠EAO ＝tan ∠MAC ， ∴OE AO ＝CM AC. ∵CM ＝43，AC ＝4，∴AO ＝3OE ，∴S 菱形AEMF ＝6OE 2. 又∵S 菱形AEMF ＝AE·CM ，∴6OE 2＝209×43，∴OE ＝2109，∴EF ＝4109. (3)如解图②，第9题解图②过点F 作FH ⊥CB 于点H ，在Rt △NCE 和Rt △NHF 中， ∵tan ∠ENC ＝tan ∠FNH ， ∴EC NC ＝FH NH， ∵NC ＝1，EC ＝47，∴FH NH ＝47，设FH ＝x ，则NH ＝74x ，∴CH ＝NH －NC ＝74x －1.∵BC ＝3，∴BH ＝BC －CH ＝3－(74x －1)＝4－74x.在Rt △BHF 和Rt △BCA 中，∵tan ∠FBH ＝tan ∠ABC ， ∴HF BH ＝CA BC ， ∴x4－74x ＝43，解得x ＝85，∴HF ＝85.∵∠B ＝∠B ，∠BHF ＝∠BCA ＝90°， ∴△BHF ∽△BCA ， ∴HF CA ＝BFBA，即HF·BA ＝CA·BF ， ∴85×5＝4BF ，∴BF ＝2，∴AF ＝AB －BF ＝3， ∴AF BF ＝32. 10. 解：(1)△ABP ∽△PCD. 【解法提示】∵∠MPN ＝90°， ∴∠APB ＋∠DPC ＝90°， ∵∠B ＝90°，∴∠APB ＋∠BAP ＝90°， ∴∠DPC ＝∠BAP ，又∵∠B ＝∠C ＝90°， ∴△ABP ∽△PCD.(2)在旋转过程中，PEPF 的值为定值．如解图，过点F 作FG ⊥BC ，垂足为G.第10题解图类比(1)可得：△EBP ∽△PGF ， ∴EP PF ＝PB FG， ∵∠A ＝∠B ＝∠FGB ＝90°， ∴四边形ABGF 是矩形， ∴FG ＝AB ＝2， ∵BP ＝1， ∴PE PF ＝12，即在旋转过程中，PE PF 的值为定值12.(3)由(2)知△EBP ∽△PGF ， ∴EB PG ＝BP GF ＝12，又∵AE ＝t ， ∴BE ＝2－t ，∴PG ＝2(2－t)＝4－2t ，∴AF ＝BG ＝BP ＋PG ＝1＋(4－2t)＝5－2t ，∴S ＝S 矩形ABGF －S △AEF －S △BEP －S △PFG＝2(5－2t)－12t(5－2t)－12×1×(2－t)－12×2×(4－2t)＝t 2－4t ＋5,即S ＝t 2－4t ＋5(0≤t ≤2)，当S ＝4.2时，4.2＝t 2－4t ＋5，解得：t 1＝2－455，t 2＝2＋455(不合题意，舍去)．∴t 的值是2－455.11. 解：(1)如解图①，在△ABC 中， ∵∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，AC ＝1， ∴AB ＝2，又∵D 是AB 的中点，第11题解图①∴AD ＝1，CD ＝12AB ＝1，又∵EF 是△ACD 的中位线，∴EF ＝DF ＝12，在△ACD 中，AD ＝CD ，∠A ＝60°，∴△ACD 为等边三角形， ∴∠ADC ＝60°，在△FGD 中，GF ＝DF·sin 60°＝34， ∴矩形EFGH 的面积S ＝EF·GF ＝12×34＝38.(2)如解图②，设矩形移动的距离为x ，则0＜x ≤12，①当矩形与△CBD 重叠部分为三角形时，则0＜x ≤14，重叠部分的面积S ＝12x·3x ＝316，第11题解图②∴x ＝24＞14(舍去)， ②当矩形与△CBD 重叠部分为直角梯形时，则14＜x ≤12，重叠部分的面积S ＝34x －12×14×34＝316， ∴x ＝38，即矩形移动的距离为38时，矩形与△CBD 重叠部分的面积是316.第11题解图③(3)如解图③，作H 2Q ⊥AB 于Q ，设DQ ＝m ，则H 2Q ＝3m ，又DG 1＝14，H 2G 1＝12，在Rt △H 2QG 1中， (3m)2＋(m ＋14)2＝(12)2，解得m 1＝－1＋1316，m 2＝－1－1316＜0(舍去)，∴cos α＝QG 1F 1G 1＝－1＋1316＋1412＝3＋138.类型三图形形状变化探究题12. (1)证明：∵△ABD 、△ACE 是等边三角形， ∴AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠CAE ＝∠DAB ＝60°，∴∠CAE ＋∠BAC ＝∠DAB ＋∠BAC ，即∠BAE ＝∠DAC ，在△ABE 和△ADC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ∠BAE ＝∠DAC AE ＝AC， ∴△ABE ≌△ADC(SAS )． (2)解：∠BOC ＝90°.理由如下：由(1)得△ABE ≌△ADC ，∴∠EBA ＝∠CDA.∵∠FBA ＋∠FDA ＝180°，∴∠FBA －∠EBA ＋∠FDA ＋∠CDA ＝180°，即∠FBO ＋∠FDO ＝180°.在四边形FBOD 中，∠F ＝90°， ∴∠DOB ＝360°－∠F －(∠FBO ＋∠FDO)＝90°， ∴∠BOC ＝90°. (3)解：72°.【解法提示】∠BOC ＝180°－108°＝72°.(4)解：180°－180°·（n －2）n.【解法提示】由(3)可知，∠BOC 度数应为180°减去正多边形内角度数． 13. 解：(1)233.【解法提示】sin 120°＝32，故这个平行四边形的变形度是233. (2)1sin α＝S 1S 2，理由如下：如解图，设矩形的长和宽分别为a ，b ，其变形后的平行四边形的高为h ，第13题解图则S 1＝ab ，S 2＝ah ，sin α＝hb ，∴S 1S 2＝ab ah ＝b h ，又∵1sin α＝b h ，∴1sin α＝S 1S 2. (3)由AB 2＝AE·AD ，可得A 1B 21＝A 1E 1·A 1D 1，即A 1B 1A 1D 1＝A 1E 1A 1B 1. 又∵∠B 1A 1E 1＝∠D 1A 1B 1， ∴△B 1A 1E 1∽△D 1A 1B 1， ∴∠A 1B 1E 1＝∠A 1D 1B 1， ∵A 1D 1∥B 1C 1，∴∠A 1E 1B 1＝∠C 1B 1E 1，∴∠A 1E 1B 1＋∠A 1D 1B 1＝∠C 1B 1E 1＋∠A 1B 1E 1＝∠A 1B 1C 1. 由(2)结论1sin α＝S 1S 2，可得1sin ∠A 1B 1C 1＝4m2m ＝2，∴sin ∠A 1B 1C 1＝12，∴∠A 1B 1C 1＝30°，∴∠A 1E 1B 1＋∠A 1D 1B 1＝30°. 14. (1)①证明：如解图①， ∵∠ACE ＋∠ECB ＝45°，∠BCF ＋∠ECB ＝45°，第14题解图①∴∠ACE ＝∠BCF ，又∵四边形ABCD 和EFCG 是正方形， ∴AC BC ＝CECF＝2， ∴△CAE ∽△CBF.②解：∵AE BF ＝ACBC ＝2，AE ＝2，∴BF ＝AE2＝2，由△CAE ∽△CBF 可得∠CAE ＝∠CBF ，又∵∠CAE ＋∠CBE ＝90°， ∴∠CBF ＋∠CBE ＝90°，即∠EBF ＝90°，第14题解图②由CE 2＝2EF 2＝2(BE 2＋BF 2)＝6，解得CE ＝ 6.(2)解：连接BF ，如解图②，同(1)证△CAE ∽△CBF ，可得∠EBF ＝90°，AC BC ＝AE BF，由AB BC ＝EFFC＝k ，可得BC ∶AB ∶AC ＝1∶k ∶k 2＋1， CF ∶EF ∶EC ＝1∶k ∶k 2＋1，∴CE EF ＝ACAB ＝k 2＋1k ，AE BF ＝AC BC＝k 2＋1， ∴EF ＝kCE k 2＋1，EF 2＝k 2CE 2k 2＋1，BF ＝AE k 2＋1，BF 2＝AE 2k 2＋1，∴CE 2＝k 2＋1k 2×EF 2＝k 2＋1k2(BE 2＋BF 2)， ∴32＝k 2＋1k 2(12＋22k 2＋1)，解得k ＝104. (3)解：p 2－n 2＝(2＋2)m 2.【解法提示】如解图③，连接BF ，同(1)证△CAE ∽△CBF ，可得∠EBF ＝90°，过点C 作CH ⊥AB 交AB 延长线于点H ，类比第(2)问得AB 2∶BC 2∶AC 2＝1∶1∶(2＋2)，第14题解图③EF 2∶FC 2∶EC 2＝1∶1∶(2＋2)， ∴p 2＝(2＋2)EF 2＝(2＋2)(BE 2＋BF 2)＝(2＋2)(m 2＋n 22＋2)＝(2＋2)m 2＋n 2，∴p 2－n 2＝(2＋2)m 2.15. 证明：(1)①连接AH ，如解图①. 第15题解图①∵四边形OBFC 是平行四边形， ∴BH ＝HC ＝12BC ，OH ＝HF ，∵△ABC 是等边三角形， ∴AB ＝BC ，AH ⊥BC ，在Rt △ABH 中，AH 2＝AB 2－BH 2， ∴AH ＝BC 2－（12BC ）2＝32BC ，∵OA ＝AE ，OH ＝HF ，∴AH 是△OEF 的中位线， ∴AH ＝12EF ，AH ∥EF ，∴EF ⊥BC.②由①得AH ＝32BC ，∵AH ＝12EF∴32BC ＝12EF ，∴EF ＝3BC.(2)EF ⊥AB 仍然成立，EF ＝BC.第15题解图②【解法提示】如解图②，连接AH，∵四边形OBFC是平行四边形，∴BH＝HC＝12BC，OH＝HF，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AH⊥BC，在Rt△ABH中，AH2＝AB2－BH2＝(2BH)2－BH2＝BH2，∴AH＝BH＝12BC，∵OA＝AE，OH＝HF，∴AH是△OEF的中位线，∴AH＝12EF，AH∥EF，∴EF⊥BC，EF＝2AH＝BC.第15题解图③(3)EF＝4k2－1 BC.【解法提示】如解图③，连接AH，∵四边形OBFC是平行四边形，∴BH＝HC＝12BC，OH＝HF，∵△ABC是等腰三角形，AB＝kBC，∴AH⊥BC，在Rt△ABH中，AH2＝AB2－BH2＝(kBC)2－(12＝(k2－14)BC2，2BC)∴AH＝12－1 BC，24k∵OA＝AE，OH＝HF，∴AH是△OEF的中位线，∴AH＝12EF，AH∥EF，∴EF⊥BC，12－1 BC＝12EF，24k∴EF＝4k2－1 BC.。

中考数学复习专项练习卷探究型问题(含答案解析).doc

中考数学二轮复习精品资料附参考答案探究型问题一、中考专题诠释探究型问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的一类问题．根据其特征大致可分为：条件探究型、结论探究型、规律探究型和存在性探究型等四类．二、解题策略与解法精讲由于探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度，所以要求同学们在复习时，首先对于基础知识一定要复习全面，并力求扎实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，注意各知识点之间的因果联系，选择合适的解题途径完成最后的解答．由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑：1．利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律．2．反演推理法（反证法），即假设结论成立,根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致．3．分类讨论法．当命题的题设和结论不惟一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果．4．类比猜想法．即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证．以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运用．三、中考考点精讲考点一：条件探索型：此类问题结论明确，而需探究发现使结论成立的条件．例1 （2013•襄阳）如图1，点A是线段BC上一点，△ABD和△ACE都是等边三角形．（1）连结BE，CD，求证：BE=CD；（2）如图2，将△ABD绕点A顺时针旋转得到△AB′D′．①当旋转角为度时，边AD′落在AE上；②在①的条件下，延长DD ’交CE 于点P ，连接BD ′，CD ′．当线段AB 、AC 满足什么数量关系时，△BDD ′与△CPD ′全等？并给予证明．思路分析：（1）根据等边三角形的性质可得AB =AD ，AE =AC ，∠BAD =∠CAE =60°，然后求出∠BAE =∠DAC ，再利用“边角边”证明△BAE 和△DAC 全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；（2）①求出∠DAE ，即可得到旋转角度数；②当AC =2AB 时，△BDD ′与△CPD ′全等．根据旋转的性质可得AB =BD =DD ′=AD ′，然后得到四边形ABDD ′是菱形，根据菱形的对角线平分一组对角可得∠ABD ′=∠DBD ′=30°，菱形的对边平行可得DP ∥BC ，根据等边三角形的性质求出AC =AE ，∠ACE =60°，然后根据等腰三角形三线合一的性质求出∠PCD ′=∠ACD ′=30°，从而得到∠ABD ′=∠DBD ′=∠BD ′D =∠ACD ′=∠PD ′C =30°，然后利用“角边角”证明△BDD ′与△CPD ′全等．解答：（1）证明：∵△ABD 和△ACE 都是等边三角形．∴AB =AD ，AE =AC ，∠BAD =∠CAE =60°，∴∠BAD +∠DAE =∠CAE +∠DAE ，即∠BAE =∠DAC ，在△BAE 和△DAC 中，AB AD BAE DAC AE AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAE ≌△DAC （SAS ），∴BE =CD ；（2）解：①∵∠BAD =∠CAE =60°，∴∠DAE =180°－60°×2=60°，对应训练1．（2013•新疆）如图，▱ABCD中，点O是AC与BD的交点，过点O的直线与BA、DC的延长线分别交于点E、F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）请连接EC、AF，则EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是矩形，并说明理由．1．解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=OC，AB∥CD．∴∠E=∠F又∠AOE=∠COF．∴△AOE≌△COF（ASA）；（2）如图，连接EC、AF，则EF与AC满足EF=AC时，四边形AECF是矩形，理由如下：由（1）可知△AOE≌△COF，∴OE=OF，∵AO=CO，∴四边形AECF是平行四边形，∵EF=AC，∴四边形AECF是矩形．考点二：结论探究型：此类问题给定条件但无明确结论或结论不惟一，而需探索发现与之相应的结论．对应训练2．（2013•河南）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．（1）操作发现如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：①线段DE与AC的位置关系是；②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是．（2）猜想论证当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．（3）拓展探究已知∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，BD=CD=4，DE∥AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA上存在点F，使S△DCF=S△BDE，请直接写出相应的BF的长．2．解：（1）①∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上，∴AC=CD，∵∠BAC=90°－∠B=90°－30°=60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD=60°，又∵∠CDE=∠BAC=60°，∴∠ACD=∠CDE，∴DE∥AC；考点三：规律探究型：规律探索问题是指由几个具体结论通过类比、猜想、推理等一系列的数学思维过程，来探求一般性结论的问题，解决这类问题的一般思路是通过对所给的具体的结论进行全面、细致的观察、分析、比较，从中发现其变化的规律，并猜想出一般性的结论，然后再给出合理的证明或加以运用.3．（2013•南沙区一模）如图，一个动点P在平面直角坐标系中按箭头所示方向作折线运动，即第一次从原点运动到（1，1），第二次从（1，1）运动到（2，0），第三次从（2，0）运动到（3，2），第四次从（3，2）运动到（4，0），第五次从（4，0）运动到（5，1），…，按这样的运动规律，经过第2013次运动后，动点P的坐标是．3．（2013，1）考点四：存在探索型：此类问题在一定的条件下，需探究发现某种数学关系是否存在的题目．证明：作DM ⊥AE 于AB 交于点M ，则有：DM ∥EP ，连接ME 、DP ，∵在△ADM 与△BAE 中，AD AD ADM BAE BAD ABE =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩，∴△ADM ≌△BAE （AAS ），∴MD =AE ，∵AE =EP ，∴MD =EP ，∴MD ∥EP ，MD =EP ，∴四边形DMEP 为平行四边形．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及正方形的性质等知识．此题综合性很强，图形比较复杂，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的准确选择．对应训练4．（2013•陕西）问题探究：（1）请在图①中作出两条直线，使它们将圆面四等分；（2）如图②，M 是正方形ABCD 内一定点，请在图②中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M ）使它们将正方形ABCD 的面积四等分，并说明理由．问题解决：（3）如图③，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB +CD =BC ，点P 是AD 的中点，如果AB =a ，CD =b ，且b ＞a ，那么在边BC 上是否存在一点Q ，使PQ 所在直线将四边形ABCD 的面积分成相等的两部分？如若存在，求出BQ 的长；若不存在，说明理由．理由是：如图③，连接BP 并延长交CD 的延长线于点E ，∵AB ∥CD ，∴∠A =∠EDP ，∵在△ABP 和△DEP 中A EDP AP DPAPB DPE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABP ≌△DEP （ASA ），∴BP =EP ，连接CP ，∵△BPC 的边BP 和△EPC 的边EP 上的高相等，又∵BP =EP ，∴S △BPC =S △EPC ，作PF ⊥CD ，PG ⊥BC ，由BC =AB +CD =DE +CD =CE ，由三角形面积公式得：PF =PG ，在CB 上截取CQ =DE =AB =a ，则S △CQP =S △DEP =S △ABP∴S △BPC －S △CQP +S △ABP =S △CPE －S △DEP +S △CQP即：S 四边形ABQP =S 四边形CDPQ ，∵BC =AB +CD =a +b ，∴BQ =b ，∴当BQ =b 时，直线PQ 将四边形ABCD 的面积分成相等的两部分．四、中考真题演练一、选择题1．（2013•永州）如图，下列条件中能判定直线l 1∥l 2的是（）A ．∠1=∠2B ．∠1=∠5C ．∠1+∠3=180°D ．∠3=∠51．C2．（2013•安顺）如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（）A．∠A=∠C B．AD=CB C．BE=DF D．AD∥BC2．B3．（2013•湘潭）如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，连接AD、AE，如果只添加一个条件使∠DAB=∠EAC，则添加的条件不能为（）A．BD=CE B．AD=AE C．DA=DE D．BE=CD3．C二、填空题个条件即可）．4．∠B=∠C或AE=AD5．（2013•白银）如图，已知BC=EC，∠BCE=∠ACD，要使△ABC≌△DEC，则应添加的一个条件为．（答案不唯一，只需填一个）5．AC=CD6．（2013•上海）如图，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、E在同一直线上，BF=CE，AC∥DF，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是．（只需写一个，不添加辅助线）6．AC=DF7．（2013•黑龙江）如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，试添加一个条件：，使得平行四边形ABCD为菱形．7．AD=DC8．（2013•西城区一模）在平面直角坐标系xOy中，有一只电子青蛙在点A（1，0）处．第一次，它从点A先向右跳跃1个单位，再向上跳跃1个单位到达点A1；第二次，它从点A1先向左跳跃2个单位，再向下跳跃2个单位到达点A2；第三次，它从点A2先向右跳跃3个单位，再向上跳跃3个单位到达点A3；第四次，它从点A3先向左跳跃4个单位，再向下跳跃4个单位到达点A4；…依此规律进行，点A6的坐标为；若点A n的坐标为（2013，2012），则n= ．8．（－2－3），40239．（2013•湛江）如图，所有正三角形的一边平行于x轴，一顶点在y轴上．从内到外，它们10．（2013•绍兴）如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A，则∠A的度数是．10．12°三、解答题11．（2013•茂名）如图，在▱ABCD中，点E是AB边的中点，DE与CB的延长线交于点F．（1）求证：△ADE≌△BFE；（2）若DF平分∠ADC，连接CE．试判断CE和DF的位置关系，并说明理由．11．解：（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ．又∵点F 在CB 的延长线上，∴AD ∥CF ，∴∠1=∠2．∵点E 是AB 边的中点，∴AE =BE ．∵在△ADE 与△BFE 中，1 2DEA AEB AE BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADE ≌△BFE （AAS ）；（2）解：CE ⊥DF ．理由如下：如图，连接CE ．由（1）知，△ADE ≌△BFE ，∴DE =FE ，即点E 是DF 的中点，∠1=∠2． ∵DF 平分∠ADC ，∴∠1=∠3，∴∠3=∠2，∴CD =CF ，∴CE ⊥DF ．12．（2013•白银）如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过A 点作BC 的平行线交CE 的延长线于点F ，且AF =BD ，连接BF ．（1）BD 与CD 有什么数量关系，并说明理由；（2）当△ABC 满足什么条件时，四边形AFBD 是矩形？并说明理由．12．解：（1）BD =CD ．理由如下：∵AF ∥BC ，∴∠AFE =∠DCE ，∵E 是AD 的中点，∴AE =DE ，在△AEF 和△DEC 中，AFE DCE AEF DEC AE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF ≌△DEC （AAS ），∴AF =CD ，∵AF =BD ，∴BD =CD ；（2）当△ABC 满足：AB =AC 时，四边形AFBD 是矩形．理由如下：∵AF ∥BD ，AF =BD ，∴四边形AFBD 是平行四边形，∵AB =AC ，BD =CD ，∴∠ADB =90°，∴▱AFBD 是矩形．13．（2013•无锡）如图，四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，在①AB ∥CD ；②AO =CO ；③AD =BC 中任意选取两个作为条件，“四边形ABCD 是平行四边形”为结论构造命题．14．（2013•宁波）已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（1，0），B（3，0），且过点C （0，－3）．（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y =－x 上，并写出平移后抛物线的解析式．14．解：（1）∵抛物线与x 轴交于点A （1，0），B （3，0），可设抛物线解析式为y =a （x －1）（x －3），把C （0，－3）代入得：3a =－3，解得：a =－1，故抛物线解析式为y =－（x －1）（x －3），即y =－x 2+4x －3，∵y =－x 2+4x －3=－（x －2）2+1，∴顶点坐标（2，1）；（2）先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的解析式为y =－x 2，平移后抛物线的顶点为（0，0）落在直线y =－x 上．15．（2013•凉山州）先阅读以下材料，然后解答问题：材料：将二次函数y =－x 2+2x +3的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，求平移后的抛物线的解析式（平移后抛物线的形状不变）．解：在抛物线y =－x 2+2x +3图象上任取两点A （0，3）、B （1，4），由题意知：点A 向左平移1个单位得到A ′（－1，3），再向下平移2个单位得到A ″（－1，1）；点B 向左平移1个单位得到B ′（0，4），再向下平移2个单位得到B ″（0，2）．设平移后的抛物线的解析式为y =－x 2+bx +c ．则点A ″（－1，1），B ″（0，2）在抛物线上．可得：112b c c --+=⎧⎨=⎩，解得：02b c =⎧⎨=⎩．所以平移后的抛物线的解析式为：y =－x 2+2．根据以上信息解答下列问题：将直线y=2x－3向右平移3个单位，再向上平移1个单位，求平移后的直线的解析式．15．解：在直线y=2x－3上任取一点A（0，－3），由题意知A向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到A′（3，－2），设平移后的解析式为y=2x+b，则A′（3，－2）在y=2x+b的解析式上，－2=2×3+b，解得：b=－8，所以平移后的直线的解析式为y=2x－8．16．（2013•湖州）一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图，已知在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，BO⊥AC，于点O，点PD分别在AO和BC上，PB=PD，DE⊥AC于点E，求证：△BPO≌△PDE．（1）理清思路，完成解答（2）本题证明的思路可用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程．（2）特殊位置，证明结论若PB平分∠ABO，其余条件不变．求证：AP=CD．（3）知识迁移，探索新知若点P是一个动点，点P运动到OC的中点P′时，满足题中条件的点D也随之在直线BC上运动到点D′，请直接写出CD′与AP′的数量关系．（不必写解答过程）16．（1）证明：∵PB =PD ，∴∠2=∠PBD ，∵AB =BC ，∠ABC =90°，∴∠C =45°，∵BO ⊥AC ，∴∠1=45°，∴∠1=∠C =45°，∵∠3=∠PBO －∠1，∠4=∠2－∠C ，∴∠3=∠4，∵BO ⊥AC ，DE ⊥AC ，∴∠BOP =∠PED =90°，在△BPO 和△PDE 中3=4BOP=PED BP=PD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴△BPO ≌△PDE （AAS ）；（2）证明：由（1）可得：∠3=∠4，∵BP 平分∠ABO ，∴∠ABP =∠3，∴∠ABP =∠4，在△ABP 和△CPD 中4A C ABP PB PD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩。

中考复习数学专题一开放探索问题检测(附答案)

中考复习数学专题一开放探索问题检测（附答案）〔30分钟 50分〕一、选择题(每题5分，共15分)1.(2021·莆田中考)等腰三角形的两条边长区分为3，6，那么它的周长为( )(A)15 (B)12(C)12或15 (D)不能确定2.如图，直线y=x+2与双曲线m 3y x -=在第二象限有两个交点，那么m 的取值范围在数轴上表示为( )3.(2021·宁波中考)如图，用邻边长区分为a ，b(a ﹤b)的矩形硬纸板裁出以a 为直径的两个半圆，再裁出与矩形的较长边、两个半圆均相切的两个小圆.把半圆作为圆锥形圣诞帽的正面，小圆恰恰能作为底面，从而做成两个圣诞帽(拼接处资料疏忽不计)，那么a 与b 满足的关系式是( )(A)b 3a = (B)51b a 2+=(C)5b a 2=(D)b 2a =二、填空题(每题5分，共10分)4.x 2+x-1=0，那么代数式2x 3+4x 2+3的值为________________________.5.(2021·潜江中考)ABCD 的周长为28，自顶点A 作AE ⊥CD 于点E ，AF ⊥CB 于点F.假定AE=3，AF=4，那么CE-CF=_______________.三、解答题(共25分)6.(12分)(2021·黄冈中考)新星小学门口有不时线马路，为方便先生过马路，交警在门口设有一定宽度的斑马线，斑马线的宽度为 4 米，为平安起见，规则车头距斑马线后端的水平距离不得低于2 米，现有一旅游车在路口遇红灯刹车停下，汽车里司机与斑马线前后两端的视角区分为∠FAE ＝15° 和∠FAD=30° .司机距车头的水平距离为0.8 米，试问该旅游车停车能否契合上述平安规范(E,D,C,B 四点在平行于斑马线的同不时线上)?【探求创新】7.(13分)(2021·河北中考)如图1和图2,在△ABC 中,AB=13,BC=14,cos ∠ABC=513. 探求如图1,AH ⊥BC 于点H,那么AH=________,AC=________,△ABC 的面积S △ABC =__________.拓展如图2,点D 在AC 上(可与点A,C 重合),区分过点A,C 作直线BD 的垂线,垂足为E,F,设BD=x,AE=m,CF=n.(当点D 与点A 重合时,我们以为S △ABD =0)(1)用含x,m 或n 的代数式表示S △ABD 及S △CBD ;(2)求(m+n)与x 的函数关系式,并求(m+n)的最大值和最小值;(3)对给定的一个x 值,有时只能确定独一的点D,指出这样的x 的取值范围.发现请你确定一条直线,使得A,B,C三点到这条直线的距离之和最小(不用写出进程),并写出这个最小值.答案解析1.【解析】选A.由题意可知：当6是腰时，三角形的周长是15；当3是腰时，3+3=6，不能组成三角形.2.【解析】选B.由题意可得m-3<0，故m<3；由直线y=x+2与双曲线m3yx-=在第二象限有两个交点，可得m3x2x-+=，即x2+2x-(m-3)=0，即Δ=4+4(m-3)>0，所以m>2.综上，可得2<m<3，应选B.3.【解析】选D.如图，设小圆半径为r，由题意得112r2(a)22π=⋅π，解得1 r a.4 =在Rt△O1O2H中，O1O2=13r a a24+=，O1H=12b，211O H a r a.24=-=又O1O22=O1H2+O2H2,所以222311(a)(b)(a)424=+，解得b2a.=应选D.4.【解析】把x2+x看成一个全体，得x2+x=1，所以2x3+4x2+3=2x3+2x2+2x2+3= 2x(x2+x)+2x2+3=2x+2x2+3=2(x2+x)+3=2+3=5.答案：55.【解析】(1)当E，F区分在线段CD和CB上时，如下图：设BC=x，DC=y，那么依据题意可得：x y14 4x3y+=⎧⎨=⎩，，解得x6y8=⎧⎨=⎩，，即BC=6，DC=8，依据勾股定理可知2222DE6333BF8443 =-==-=，，所以CE-CF= ()() 8336432 3. ---=+(2)当E，F区分在CD，CB的延伸线上时，如下图：同理可得CE-CF=2-3.答案：2323 +-或6.【解析】由题意得：∠FAE=15°，∠FAD=30°, ∴∠EAD=15°.∵FA∥BE, ∴∠AED=15°,即AD=DE=4米.在Rt△ADB中，∠ADB=∠FAD=30°,∴BD=AD·cos30°42=⨯=3.464米,DC=BD-BC=3.464-0.8=2.664米＞2米, ∴该车停车契合上述平安规范.7.【解析】探求12 15 84拓展(1)由三角形面积公式,得ABD CBD11S mx,S nx.22==(2)由(1)得CBDABD2S2Sm,n,x x==∴m+n=CBDABD2S2S168.x x x+=由于AC边上的高为ABC2S28456, 15155⨯==∴x的取值范围是565≤x≤14.∵(m+n)随x的增大而减小,∴当x=565时,(m+n)的最大值为15;当x=14时,(m+n)的最小值为12.(3)x的取值范围是x=565或13<x≤14.发现AC所在的直线,最小值为56 5.【高手支招】解压轴题时遇到困难的缘由及应对战略缘由：在解压轴题时遇到的困难能够来自多方面，如基础知识和基本技艺完善、解题阅历缺失或训练水平不够、自决计缺乏等，详细表现能够是〝不知从何处下手，不知向何方行进〞. 应对战略：在求解中考数学压轴题时，要注重一些数学思想方法的灵敏运用.数学思想方法是解好压轴题的重要工具，也是保证压轴题能求解的〝对而全、全而美〞的重要前提.针对近年全国各地中考数学压轴题的特点，在学习中要狠抓基础知识的落实，由于基础知识是〝不变量〞，而所谓的考试〝热点〞只是与标题的方式有关.有效地解答中考压轴题的关键是要以不变应万变.加大综合题的训练力度，增强解题方法的训练，增强数学思想方法的浸透，注重〝基本形式〞的积聚与变化。

中考数学专题复习函数过程探究性问题

中考数学专题复习函数过程探究性问题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 评卷人得分一、解答题1．在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质及其应用的过程．以下是我们研究函数2241x y x -=+的性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．（1）请把下表补充完整，并在给出的图中补全该函数的大致图象； x… －5－4－3－2 －1 0 1 2 3 4 5 …2241x y x -=+… －2126 －1217 －12 0 324 0 …（2）请根据这个函数的图象，写出该函数的一条性质；（3）已知函数332y x =-+的图象如图所示．根据函数图象，直接写出不等式2234321x x x --+>+的解集．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）2．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．以下是我们研究函数|26|y x x m =+-++性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题． x…2-1-0 1 2 3 4 5 …y (6)54a 2 1b 7 …（1）写出函数关系式中m 及表格中a ，b 的值：m =________，=a _________，b =__________；（2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据图象写出该函数的一条性质：__________；（3）已知函数16y x=的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式16|26|x x m x+-++>的解集．3．在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数261xy x =+性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．（1）请把下表补充．．完整，并在图中补全．．该函数图象； x… －5 －4－3 －2 －1 0 1 2 3 4 5 …261xy x =+…1513-2417-125-－3 0 3 12524171513…（2）根据函数图象，判断下列关于该函数性质的说法是否正确，正确的在相应的括号内打“√”，错误的在相应的括号内打“×”；①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y 轴；( )①该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值，当1x =时，函数取得最大值3；当1x =-时，函数取得最小值－3；( )①当1x <-或1x >时，y 随x 的增大而减小；当11x -<<时，y 随x 的增大而增大；( ) （3）已知函数21y x =-的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式26211xx x >-+的解集（保留1位小数，误差不超过0.2）．4．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，请画出函数2122=-+yx的图象并探究该函数的性质．x①-4-3-2-101234①y①23-a-2-4b-4-21211-23-①（1）列表，写出表中a，b的值：a=____ ，b=．描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象．（2）观察函数图象，判断下列关于函数性质的结论是否正确（在答题卡相应位置正确的用“√”作答，错误的用“×”作答）：①函数2122=-+yx的图象关于y轴对称；①当x=0时，函数2122=-+yx有最小值，最小值为-6；①在自变量的取值范围内函数y的值随自变量x的增大而减小．（3）已知函数21033y x=--的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式212210233xx-<--+的解集．5．在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研究其性质一一运用函数解决问题＂的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义(0)(0)a aaaa≥⎧=⎨-⎩＜．结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题在函数3y kx b=-+中，当2x=时，4y=-；当0x=时，y 1.=-（1）求这个函数的表达式；（2）在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数的图象井并写出这个函数的一条性质；（3）已知函1y32x=-的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式1323kx b x-+≤-的解集．6．函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用，下面我们就一类特殊的函数展开探索．画函数2||y x =-的图象，经历分析解析式、列表、描点、连线过程得到函数图象如图所示；经历同样的过程画函数2||2y x =-+和2| 2|y x =-+的图象如图所示． x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …y …﹣6﹣4﹣2﹣2﹣4﹣6…（1）观察发现：三个函数的图象都是由两条射线组成的轴对称图形；三个函数解折式中绝对值前面的系数相同，则图象的开口方向和形状完全相同，只有最高点和对称轴发生了变化．写出点A ，B 的坐标和函数-2|2|y x =+的对称轴．（2）探索思考：平移函数2||y x =-的图象可以得到函数2||2y x =-+和2|2|y x =-+的图象，分别写出平移的方向和距离．（3）拓展应用：在所给的平面直角坐标系内画出函数2|3|1y x =--+的图象．若点()11,x y 和(22,)x y 在该函数图象上，且213x x >>，比较1y ，2y 的大小．参考答案：1．（1）从左到右，依次为：311221,,,221726--，图见解析；（2）该函数图象是轴对称图象，对称轴是y 轴；（3）0.3,12x x <-<< 【解析】【分析】（1）直接代入求解即可；（2）根据函数图象，写出函数的性质即可；（3）根据图象交点写出解集即可．【详解】解：（1）表格中的数据，从左到右，依次为：311221,,,221726--．函数图象如图所示．；（2）①该函数图象是轴对称图象，对称轴是y 轴；①该函数在自变量的取值范围内，有最大值，当0x =，函数取得最大值4；①当0x <是，y 随x 的增大而增大；当0x >是，y 随x 的增大而减小；（以上三条性质写出一条即可）（3）当0.2x =-时，33 3.32x -+=，224 3.81x x -≈+；当0.4=-x 时，33 3.62x -+=，224 3.311x x -≈+；所以0.3x =-是2234321x x x --+=+的一个解；由图象可知1x =和2x =是2234321x x x --+=+的另外两个解；①2234321x x x --+>+的解集为0.3,12x x <-<<．【点睛】本题考查函数图象和性质，能够从表格中获取信息，利用描点法画出函数图象，并结合函数图象解题是关键．2．（1）2-；3；4；（2）作图见解析；当3x <时，y 随x 的增大而减小，当3x >时，y 随x 的增大而增大；（3）0x <或4x > 【解析】【分析】（1）将表格中的已知数据任意选择一组代入到解析式中，即可求出m ，然后得到完整解析式，再根据表格代入求解其余参数即可；（2）根据作函数图象的基本步骤，在网格中准确作图，然后根据图象写出一条性质即可；（3）结合函数图象与不等式之间的联系，用函数的思想求解即可．【详解】（1）由表格可知，点()3,1在该函数图象上，①将点()3,1代入函数解析式可得：13236m =+-⨯++，解得：2m =-，①原函数的解析式为：|26|2y x x =+-+-；当1x =时，3y =；当4x =时，4y =；故答案为：2-；3；4；（2）通过列表-描点-连线的方法作图，如图所示；根据图像可知：当3x <时，y 随x 的增大而减小，当3x >时，y 随x 的增大而增大；故答案为：当3x <时，y 随x 的增大而减小，当3x >时，y 随x 的增大而增大；（3）要求不等式16|26|x x m x+-++>的解集，实际上求出函数|26|y x x m =+-++的图象位于函数16y x=图象上方的自变量的范围， ①由图象可知，当0x <或4x >时，满图条件，故答案为：0x <或4x >．【点睛】本题考查新函数图象探究问题，掌握研究函数的基本方法与思路，熟悉函数与不等式或者方程之间的联系是解题关键．3．（1）95-，95；（2）①× ①√ ①√；（3）x ＜−1或−0.3＜x ＜1.8．【解析】【分析】（1）代入x=3和x=-3即可求出对应的y 值，再补全函数图象即可；（2）结合函数图象可从增减性及对称性进行判断；（3）根据图象求解即可．【详解】解：（1）当x=-3时，2618911x y x -==++95=-，当x=3时，2618911x y x ===++95，函数图象如下：（2）①由函数图象可得它是中心对称图形，不是轴对称图形；故答案为：× ，①结合函数图象可得：该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值，当1x =时，函数取得最大值3；当1x =-时，函数取得最小值－3；故答案为：√ ，①观察函数图象可得：当1x <-或1x >时，y 随x 的增大而减小；当11x -<<时，y 随x 的增大而增大；故答案为：√．（3）1x <-，0.28 1.78(0.280.2 1.780.2)x x -<<-±<<±26211xx x =-+时，()2(1)2310x x x +--=得11x =-，2 1.8x ，30.3x ≈-，故该不等式的解集为： x ＜−1或−0.3＜x ＜1.8．【点睛】本题主要考查一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次不等式，会用描点法画出函数图象，利用数形结合的思想得到函数的性质是解题的关键． 4．（1）1211-，6-，作图见解析；（2）①√；①√；①×；（3）x ＜-4或-2＜x ＜1．【解析】【分析】（1）把对应的x 的值代入即可求出a 和b 的值，通过描点，用平滑的曲线连接，即可作出图象；（2）观察图象即可判断；（3）找出函数2122=-+y x 的图象比函数21033y x =--的图象低时对应的x 的范围即可．【详解】（1）当3x =-时，212121132a =-=-+；当0x =时，1262b =-=-； ①1211a =-，6b =-，故答案为：1211-，6-．所画图象，如图所示．（2）①观察图象可知函数2122=-+y x 的图象关于y 轴对称，故该说法正确； ①观察图象可知，当x =0时，函数2122=-+y x 有最小值，最小值为6-，故该说法正确； ①观察图象可知，当0x <时，y 随x 的增大而减小，当0x >时，y 随x 的增大而增大，故该项题干说法错误．（3）不等式212210233x x -<--+表现在图象上面即函数2122=-+y x 的图象比函数21033y x =--的图象低，因此观察图象，即可得到212210233x x -<--+的解集为：x ＜-4或-2＜x ＜1．【点睛】本题主要考查一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次不等式，会用描点法画出函数图象，利用数形结合的思想得到函数的性质是解题的关键．5．（1）3342y x =--；（2）见解析，当2x ≥时，y 随x 的增大而增大；当2x <时，y 随x 的增大而减小；（3）14x ≤≤.【解析】【分析】（1）根据在函数y=|kx -3|+b 中，当x=2时，y=-4；当x=0时，y=-1，可以求得该函数的表达式；（2）根据（1）中的表达式可以画出该函数的图象并写出它的一条性质；（3）根据图象可以直接写出所求不等式的解集.【详解】解：（1）由题意，可得23431k b b ⎧-+=-⎪⎨-+=-⎪⎩ 324k b ⎧=⎪∴⎨⎪=-⎩ ∴函数的解析式为：3342y x =-- （2）当2x ≥时，y 随x 的增大而增大；当2x <时，y 随x 的增大而减小；（3）14x ≤≤；【点睛】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式与一次函数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答.6．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.【解析】【分析】（1）根据图形即可得到结论；（2）根据函数图形平移的规律即可得到结论；（3）根据函数关系式可知将函数2||y x =-的图象向上平移1个单位，再向右平移3个单位得到函数2|-3|1y x =-+的图象．根据函数的性质即可得到结论．【详解】解：（1）(0,2)A ，(2,0)B -，函数2| 2|y x =-+的对称轴为2x =-；（2）将函数2||y x =-的图象向上平移2个单位得到函数2||2y x =-+的图象；将函数2||y x =-的图象向左平移2个单位得到函数2|2|y x =-+的图象；（3）将函数2||y x =-的图象向上平移1个单位，再向右平移3个单位得到函数2|3|1y x =--+的图象．所画图象如图所示，当213x x >>时，12y y >．【点睛】本题考查了一次函数与几何变换，一次函数的图象，一次函数的性质，平移的性质，正确的作出图形是解题的关键．。

备战中考专题--探索性问题专题(含答案)-

探索性问题专题一、知识网络梳理探索是人类认识客观世界过程中最生动、最活跃的思维活动，探索性问题存在于一切学科领域之中，在数学中则更为普遍．初中数学中的“探索发现”型试题是指命题中缺少一定的题设或未给出明确的结论，需要经过推断、补充并加以证明的命题，它不像传统的解答题或证明题，在条件和结论给出的情景中只需进行由因导果或由果导因的工作，从而定格于“条件——演绎——结论”这样一个封闭的模式之中，而是必须利用题设大胆猜想、分析、比较、归纳、推理，或由条件去探索不明确的结论；或由结论去探索未给予的条件；或去探索存在的各种可能性以及发现所形成的客观规律．通常情景中的“探索发现”型问题可以分为如下类型：1．条件探索型——结论明确，而需探索发现使结论成立的条件的题目．2．结论探索型——给定条件但无明确结论或结论不惟一，而需探索发现与之相应的结论的题目．3．存在探索型——在一定的条件下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目．4．规律探索型——在一定的条件状态下，需探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的题目．由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑：1.利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律．2.反演推理法(反证法)，即假设结论成立，根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致．3．分类讨论法．当命题的题设和结论不惟一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果．4．类比猜想法．即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证．以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运用．二、知识运用举例（一）条件探索型例1．（2007呼和浩特市）在四边形ABCD中，顺次连接四边中点E F G H，，，，构成一个新的四边形，请你对四边形ABCD填加一个条件，使四边形EFGH成为一个菱形．这个条件是__ ．解：AC BD或四边形ABCD是等腰梯形（符合要求的其它答案也可以）ABD EFGHC例2（2007荆门市）将两块全等的含30°角的三角尺如图1摆放在一起，设较短直角边为1．（1）四边形ABCD 是平行四边形吗？说出你的结论和理由：_____________________．（2）如图2，将Rt △BCD 沿射线BD 方向平移到Rt △B 1C 1D 1的位置，四边形ABC 1D 1是平行四边形吗？说出你的结论和理由：_________________________________________．（3）在Rt △BCD 沿射线BD 方向平移的过程中，当点B 的移动距离为______时，四边形ABC 1D 1为矩形，其理由是_____________________________________；当点B 的移动距离为______时，四边形ABC 1D 1为菱形，其理由是____________________________．(图3、图4用于探究)解：（1）是，此时AD BC ，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（2）是，在平移过程中，始终保持AB C 1D 1，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（3，此时∠ABC 1＝90°，有一个角是直角的平行四边形是矩形．D 与点B 1重合，AC 1⊥BD 1，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．例3（2006广东）如图所示，在平面直角坐标中，四边形OABC 是等腰梯形，BC ∥OA ，OA ＝7，AB ＝4，∠ COA ＝60°，点P 为x 轴上的—个动点，点P 不与点0、点A 重合．连结CP ，过点P 作PD 交AB 于点D ．（1）求点B 的坐标；（2）当点P 运动什么位置时，△OCP 为等腰三角形，求这时点P 的坐标；（3）当点P 运动什么位置时，使得∠CPD ＝∠OAB ，且AB BD ＝85，求这时点P 的坐标． [解析]（1）；过C 作CD ⊥OA 于A ，BE ⊥OA 于E 则△OCD ≌△ABE ，四边形CDEB 为矩形 ∴OD ＝AE ，CD ＝BE∵OC ＝AB ＝4，∠COA ＝60° ∴CD＝，OD ＝2 ∴CB ＝DE ＝3∴OE ＝OD ＋DE ＝5 ∵BE ＝CD＝ ∴B （5，）（2）∵∠COA ＝60°，△OCP 为等腰三角形图4CADB 图3 CAD B 图2 D 1C 1B 1CADB 图130︒30︒B DAC∴△OCP 是等边三角形 ∴OP ＝OC ＝4 ∴P （4，0）即P 运动到（4，0）时，△OCP 为等腰三角形（3）∵∠CPD ＝∠OAB ＝∠COP ＝60° ∴∠OPC ＋∠DPA ＝120° 又∵∠PDA ＋∠DPA ＝120° ∴∠OPC ＝∠PDA ∵∠OCP ＝∠A ＝60° ∴△COP ∽△PAD∴OP OCAD AP =∵58BD AB =，AB ＝4 ∴BD ＝52∴AD ＝32即 4372OP OP =- ∴276OP OP -= 得OP ＝1或6∴P 点坐标为（1，0）或（6，0）（二）结论探索型例4（2007云南省）已知：如图，四边形ABCD 是矩形（AD ＞AB ），点E 在BC 上，且AE＝AD ，DF ⊥AE ，垂足为F ．请探求DF 与AB 有何数量关系？写出你所得到的结论并给予证明．解：经探求，结论是：DF ＝ AB ．证明如下：∵四边形ABCD 是矩形， ∴ ∠B ＝ 90 ， AD ∥BC ， ∴ ∠DAF ＝ ∠AEB ． ∵ DF ⊥AE ， ∴ ∠AFD ＝ 90 ， ∵ AE ＝ AD ，∴ △ABE ≌△DFA ． ∴ AB ＝ DF ．例5（2007北京市）我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：FADCEB至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；（2）如图，在ABC △中，点D E ，分别在AB AC ，上，设CD BE ，相交于点O ，若60A ∠=°，12DCB EBC A ∠=∠=∠．请你写出图中一个与A ∠相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；（3）在ABC △中，如果A ∠是不等于60°的锐角，点D E ，分别在AB AC ，上，且12DCB EBC A ∠=∠=∠．探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论．解：（1）回答正确的给1分（如平行四边形、等腰梯形等）．（2）答：与A ∠相等的角是BOD ∠（或COE ∠）．四边形DBCE 是等对边四边形．（3）答：此时存在等对边四边形，是四边形DBCE ．证法一：如图1，作CG BE ⊥于G 点，作BF CD ⊥交CD 延长线于F 点．因为12DCB EBC A ∠=∠=∠，BC 为公共边，所以BCF CBG △≌△．所以BF CG =．因为BDF ABE EBC DCB ∠=∠+∠+∠，BEC ABE A ∠=∠+∠，所以BDF BEC ∠=∠．可证BDF CEG △≌△．所以BD CE =．所以四边形DBCE 是等边四边形．证法二：如图2，以C 为顶点作FCB DBC ∠=∠，CF 交BE 于F 点．因为12DCB EBC A ∠=∠=∠，BC 为公共边，所以BDC CFB △≌△．所以BD CF =，BDC CFB ∠=∠．所以ADC CFE ∠=∠．因为ADC DCB EBC ABE ∠=∠+∠+∠，FEC A ABE ∠=∠+∠，所以ADC FEC ∠=∠．所以FEC CFE ∠=∠．所以CF CE =．所以BD CE =．所以四边形DBCE 是等边四边形．说明：当AB AC =时，BD CE =仍成立．只有此证法，只给1分．例6（07山东滨州）如图1所示，在ABC △中，2AB AC ==，90A =∠，O 为BC 的BOADECBOAD ECF 图2 B OA D ECF 图1 G中点，动点E 在BA 边上自由移动，动点F 在AC 边上自由移动．（1）点E F ，的移动过程中，OEF △是否能成为45EOF =∠的等腰三角形？若能，请指出OEF △为等腰三角形时动点E F ，的位置．若不能，请说明理由．（2）当45EOF =∠时，设BE x =，CF y =，求y 与x 之间的函数解析式，写出x 的取值范围．（3）在满足（2）中的条件时，若以O 为圆心的圆与AB 相切（如图2），试探究直线EF 与O 的位置关系，并证明你的结论．解：如图，（1）点E F ，移动的过程中，OEF △能成为45EOF ∠=°的等腰三角形．此时点E F ，的位置分别是：①E 是BA 的中点，F 与A 重合．②BE CF ==E 与A 重合，F 是AC 的中点．（2）在OEB △和FOC △中，135EOB FOC ∠+∠=°，135EOB OEB ∠+∠=°， FOC OEB ∠=∠∴．又B C ∠=∠∵，OEB FOC ∴△∽△．BE BOCO CF=∴． BE x =∵，CF y =，OB OC === 2(12)y x x=∴≤≤．（3）EF 与O 相切． OEB FOC ∵△∽△， BE OE CO OF =∴． BE OE BO OF =∴．即BE BOOE OF=．又45B EOF ∠=∠=∵°， BEO OEF ∴△∽△．图1 B图2BBEO OEF ∠=∠∴．∴点O 到AB 和EF 的距离相等． AB ∵与O 相切，∴点O 到EF 的距离等于O 的半径． EF ∴与O 相切．（三）存在探索型存在性探索问题是指在某种题设条件下，判断具有某种性质的数学对象是否存在的一类问题.解题的策略与方法是：先假设数学对象存在，以此为条件进行运算或推理.若无矛盾，说明假设正确，由此得出符合条件的数学对象存在；否则，说明不存在．例7(2006山东省威海市)抛物线y ＝ ax 2＋bx ＋c (a ≠0)过点A （1，－3），B （3，－3），C （－1，5），顶点为M 点． ⑴求该抛物线的解析式．⑵试判断抛物线上是否存在一点P ，使∠POM ＝90︒.若不存在，说明理由；若存在，求出P 点的坐标．解：⑴ y ＝ x 2 -4x⑵ 易求得顶点M 的坐标为(2，-4)．设抛物线上存在一点P ，使OP ⊥OM ，其坐标为(a ，a 2 -4a )．过P 作PE ⊥y 轴，垂足为E ；过M 点作MF ⊥y 轴，垂足为F ，则∠POE ＋∠MOF ＝90︒，∠POE ＋∠EPO ＝90.∴∠EPO ＝∠FOM ． ∵∠OEP ＝∠MFO ＝90︒，∴Rt △OEP ∽Rt △MFO ．∴OE ∶MF ＝EP ∶OF .即(a 2 -4a )∶2＝a ∶4.解得a 1 ＝0(舍去)，a 2 ＝29．故抛物线上存在一点P ，使∠POM ＝90︒，P 点的坐标为(29，49)例8．(2006武汉市)已知：二次函数y ＝x 2 -(m ＋1)x ＋m 的图象交x 轴于A (x 1，0)、B (x 2，0)两点，交y 轴正半轴于点C ，且x 12 ＋x 22 ＝10．⑴求此二次函数的解析式； ⑵是否存在过点D (0，-25)的直线与抛物线交于点M 、N ，与x 轴交于点E ，使得点M 、N 关于点E 对称？若存在，求直线MN 的解析式；若不存在，请说明理由．分析与解答 ⑴依题意，得x 1x 2＝m ，x 12 ＋x 22 ＝10， ∵x 1 ＋x 2 ＝ m ＋1，∴(x 1 ＋x 2)2 -2x 1x 2 ＝10，图2-2-33∴(m ＋1)2 -2m ＝10，m ＝3或m ＝ -3，又∵点C 在y 轴的正半轴上，∴m ＝3． ∴所求抛物线的解析式为y ＝x 2 -4x ＋3． ⑵假设存在过点D (0，-25)的直线与抛物线交于M (x M ，y M )、N (x N ，y N )两点，与x 轴交于点E ，使得M 、N 两点关于点E 对称．∵M 、N 两点关于点E 对称，∴y M ＋y N ＝0. 设直线MN 的解析式为：y ＝kx -25．由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=.25-kx y 3x 4x y 2，得x 2 -(k ＋4)x ＋211＝0，∴x M ＋x N ＝4＋k ，∴y M ＋y N ＝k (x M ＋x N )-5＝0．∴k (k ＋4)-5＝0，∴k ＝1或k ＝ -5．当k ＝-5时，方程x 2 -(k ＋4)x ＋211＝0的判别式⊿＜0，∴k ＝1， ∴直线MN 的解析式为y ＝x -25． ∴存在过点D (0，-25)的直线与抛物线交于M 、N 两点，与x 轴交于点E ，使得M 、N 两点关于点E 对称．例9（2007乐山）如图（13），在矩形ABCD 中，4AB =，10AD =．直角尺的直角顶点P 在AD 上滑动时（点P 与A D ，不重合），一直角边经过点C ，另一直角边AB 交于点E ．我们知道，结论“Rt Rt AEP DPC △∽△”成立．（1）当30CPD =∠时，求AE 的长；（2）是否存在这样的点P ，使DP C △的周长等于AEP △周长的2倍？若存在，求出DP的长；若不存在，请说明理由．解（1）在Rt PCD △中，由tan CDCPD PD=∠，得4tan tan 30CD PD CPD ===∠10AP AD PD ∴=-=-由AEP DPC △∽△知AE AP PD CD =，12AP PDAE CD∴== ．（2）假设存在满足条件的点P ，设DP x =，则10AP x =-由AEP DPC △∽△知2CDAP=，图（13）图2-2-14210x∴=-，解得8x =，此时2AP =，4AE =符合题意．（四）规律探索型规律探索问题是根据已知条件或所提供的若干个特例，通过观察、类比、归纳，提示和发现题目所蕴含的本质规律与特征的一类探索性问题．例10．(2006湖南衡阳)观察算式：1＝12； 1＋3＝4＝22； 1＋3＋5＝9＝32； 1＋3＋5＋7＝16＝42； 1＋3＋5＋7＋9＝25＝52 ；……用代数式表示这个规律(n 为正整数)：1＋3＋5＋7＋9＋＋(2n -1)＝______________________．分析与解答由以上各等式知，等式左端是从1开始的连续若干个奇数之和，右端是左端奇数个数的平方，由此易得1＋3＋5＋7＋…＋(2n -1)＝n 2.填n 2．例11 （2006吉林省）如图2－2－1，用灰白两色正方形瓷砖铺设地面，第n 个图案中白色瓷砖数为___________．分析与解答根据图形提供的信息探索规律，是近几年较流行的一种探索规律型问题.解决这类问题，首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加(或倍数)情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．第1个图案有白色瓷砖5(即2＋3⨯1)块；第2个图案有白色瓷砖8(即2＋3⨯2)块；第3个图案有白色瓷砖11(即2＋3⨯3)块. 由此可得，第n 个图案有白色瓷砖(2＋3n )块. 填3n ＋2．例12．（2007资阳）设a 1＝32－12，a 2＝52－32，…，a n ＝(2n ＋1)2－(2n －1)2 (n 为大于0的自然数)．（1）探究a n 是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；（2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”. 试找出a1，a2，…，a n，…这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当n满足什么条件时，a n为完全平方数(不必说明理由) ．解：（1）∵a n＝(2n＋1)2－(2n－1)2＝22++-+-=，n n n n n4414418又n为非零的自然数，∴a n是8的倍数．这个结论用文字语言表述为：两个连续奇数的平方差是8的倍数．说明：第一步用完全平方公式展开各1分，正确化简1分．（2）这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数为16，64，144，256．n为一个完全平方数的2倍时，a n为完全平方数．一、知识巩固训练（题组训练）1．（2006年山东省）如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O．给出下列三个条件：①∠EBO＝∠DCO；②∠BEO＝∠CDO；③BE＝CD．（1）上述三个条件中，哪两个条件．．．．可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）；（2）选择第（1）小题中的一种情形，证明△ABC是等腰三角形．2．（2006年随州市）如图，矩形ABCD中，M是AD的中点．（1）求证：△ABM≌△DCM；（2）请你探索，当矩形ABCD中的一组邻边满足何种数量关系时，有BM⊥CM成立，说明你的理由．3．如图，在△ABC中，D为BC上一个动点（D点与B、C不重合），且DE∥AC交AB•于点E，DF∥AB交AC于点F．（1）试探究，当AD满足什么条件时，四边形AEDF是菱形？并说明理由．（2）在（1）的条件下，△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？请说明理由．4．如图，AB是⊙O的直径，EF是⊙O的切线，切点是C．点D是EF上一个动点，连接AD．试探索点D运动到什么位置时，AC是∠BAD的平分线，请说明理由．5．（2006年成都市）已知：如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC•延长线上一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连结AE、CF．（1）求证：AF＝CE；（2）若AC＝EF，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论．6．（2006年常德市）如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA、PB、PC，以BP•为边作∠PBQ＝60°，且BQ＝BP，连结CQ．（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论．（2）若PA：PB：PC＝3：4：5，连结PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．7．如图，AB是⊙O的直径，AD、BC、DC都是⊙O的切点，A、B、E分别是切点．（1）判定△COD的形状，并说明理由．（2）设AD＝a，BC＝b，⊙O的半径为r，试探究r与a，b之间满足的关系式，并说明理由．8．（2006年绵阳市）在正方形ABCD中，点P是CD上一动点，连结PA，分别过点B、D 作BE⊥PA、DF⊥PA，垂足分别为E、F，如图①．（1）请探索BE、DF、EF这三条线段长度具有怎样的数量关系．若点P在DC•的延长线上（如图②），那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？若点P在CD•的延长线上呢（如图③）？请分别直接写出结论；（2）请在（1）中的三个结论中选择一个加以证明．9．（2007云南省）已知：如图，抛物线2y ax bx c =++经过(1,0)A 、(5,0)B 、(0,5)C 三点．（1）求抛物线的函数关系式；（2）若过点C 的直线y kx b =+与抛物线相交于点E （4，m ），请求出△CBE 的面积S 的值；（3）在抛物线上求一点0P 使得△ABP 0为等腰三角形并写出0P 点的坐标；（4）除（3）中所求的0P 点外，在抛物线上是否还存在其它的点P 使得△ABP 为等腰三角形？若存在，请求出一共有几个满足条件的点P （要求简要说明理由，但不证明）；若不存在这样的点P ，请说明理由．10．（2007呼和浩特市）如图，在矩形ABCD中，AB =1AD =．点P 在AC 上，PQ BP ⊥，交CD 于Q ，PE CD ⊥，交于CD 于E ．点P 从A 点（不含A ）沿AC 方向移动，直到使点Q 与点C 重合．．为止．（1）设AP x =，PQE △的面积为S ．请写出S 关于x 的函数解析式，并确定x 的取值范围．（2）点P 在运动过程中，PQE △的面积是否有最大值，若有，请求出最大值及此时AP的取值；若无，请说明理由．11．（2007成都市）在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于A B ，两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，其顶点的横坐标为1，且过点(23)，和(312)--，．（1）求此二次函数的表达式；（2）若直线:(0)l y kx k =≠与线段BC 交于点D （不与点B C ，重合），则是否存在这样的直线l ，使得以B O D ，，为顶点的三角形与BAC △相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点D 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P 是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角PCO ∠与ACO ∠的大小（不必证明），并写出此时点P 的横坐标p x 的取值范围．BQE D12（2007绵阳市）如图，已知抛物线y ＝ ax 2 ＋ bx －3与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，经过A 、B 、C 三点的圆的圆心M （1，m ）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M 的半径为5．设⊙M 与y 轴交于D ，抛物线的顶点为E ．（1）求m 的值及抛物线的解析式；（2）设∠DBC ＝ α，∠CBE ＝ β，求sin （α－β）的值；（3）探究坐标轴上是否存在点P ，使得以P 、A 、C 为顶点的三角形与△BCE 相似？若存在，请指出点P 的位置，并直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．13（07日照）如图，直线EF 将矩形纸片ABCD 分成面积相等的两部分，E 、F 分别与BC 交于点E ，与AD 交于点F （E ，F 不与顶点重合），设AB ＝a ，AD ＝b ，BE ＝x ．(Ⅰ)求证：AF ＝EC ；(Ⅱ)用剪刀将纸片沿直线EF 剪开后，再将纸片ABEF 沿AB 对称翻折，然后平移拼接在梯形ECDF 的下方，使一底边重合，直腰落在边DC 的延长线上，拼接后，下方的梯形记作EE′B′C ．（1）求出直线EE ′分别经过原矩形的顶点A 和顶点D 时，所对应的 x ︰b 的值；（2）在直线EE ′经过原矩形的一个顶点的情形下，连接B E′，直线BE ′与EF 是否平行？你若认为平行，请给予证明；你若认为不平行，请你说明当a 与b 满足什么关系时，它们垂直？14．(2006江西省）如图2－2－2，用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片数逐渐加1的规律拼成一列图案：⑴ 第4个图案中有白色纸片___________张；⑵ 第n 个图案台有白色纸片___________张．15．(2006广西贺州市)观察图2－2－3中一列有规律的数，然后在“？”处填上一个合适的数，这个数是______________．A 2A 1 A 3 A 4A 65 B图2-2-424158335 48？图2-2-3图2-2-2 第1个第2个第3个……16．(2006广西百色市)如图2－2－4，A 1A 2B 是直角三角形，且A 1A 2＝A 2B ＝a ，A 2A 3⊥A 1B ，垂足为A 3，A 3A 4⊥A 2B ，垂足为A 4，A 4A 5⊥A 3B ，垂足为A 5，……，A n ＋1A n ＋2⊥A n B ，垂足为A n ＋2，则线段A n ＋1A n ＋2(n 为自然数)的长为（）．（A ）n)2(a （B（C ）2a （D ）2n a 17．(2006江苏泰州市)如图2－2－5，每个正方形点阵均被一直线分成两个三角形点阵，根据图中提供的信息，用含n 的等式表示第n 个正方形点阵中的规律_______．18．(2006浙江绍兴市)如图2－2－6，将边长为1的正方形OAPB 沿x 轴正方向连续翻转2 006次，点P 依次落在点P 1，P 2，P 3，P 4，…，P 2006的位置，则P 2006的横坐标x 2006＝_______________．19．（2007内江）如图（11），某小区有东西方向的街道3条，南北方向的街道4条，从位置A 出发沿街道行进到达位置B ，要求路程最短，研究共有多少种不同的走法．小东是这样想的：要使路程最短，就不能走“回头路”，只能分五步来完成，其中三步向右行进，两步向上行进，如果用用数字“1”表示向右行进，数字“2”表示向上行进，那么“11221”与“11212”就表示两种符合要求的不同走法，请你思考后回答：符合要求的不同走法共有20．（2007内江）探索研究（1）观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是________；根据此规律，如果n a （n 为正整数）表示这个数列的第n 项，那么18a =________，n a =________；（2）如果欲求232013333+++++ 的值，可令图2-2-5…………211= 2363+=26104+=2132+= 图2-2-6B图（11）A232013333S =+++++ ……………………………………………………①将①式两边同乘以3，得_______________________………………………………………………………② 由②减去①式，得S =____________________．（3）用由特殊到一般的方法知：若数列123n a a a a ，，，，，从第二项开始每一项与前一项之比的常数为q ，则n a =________（用含1a q n ，，的代数式表示），如果这个常数1q ≠，那么123n a a a a ++++= ________（用含1a q n ，，的代数式表示）．21．（07自贡）一个叫巴尔末的中学教师成功地从光谱数据59，1216，2125，3236，…中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥秘的大门，请你按照这种规律，写出第n （n ≥1）个数据是___________．22．（2007德阳）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0）根据这个规律探索可得，第100个点的坐标为____________．23．（2007河南省）将图①所示的正六边形进行进行分割得到图②，再将图②中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割得到图③，再将图③中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割…，则第n 个图形中，共有________个正六边形．图① 图②图③(第13题)……24．（2007安徽省）探索n ×n 的正方形钉子板上(n 是钉子板每边上的钉子数)，连接任意两个钉子所得到的不同长度值的线段种数：当n ＝2时，钉子板上所连不同线段的长度值只有1有2种，若用S 表示不同长度值的线段种数，则S ＝2；当n ＝3时，钉子板上所连不同线段的长度值只有12n ＝2时增加了3种，即S ＝2＋3＝5．(1) 观察图形，填写下表：(2) 写出(n －1)×(n －1)和n ×n 的两个钉子板上，不同长度值的线段种数之间的关系；(用式子或语言表述均可) 【解】（3）对n ×n 的钉子板，写出用n 表示S 的代数式．【解】25．（07贵阳市）如图12，平面内有公共端点的六条射线OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OF ，从射线OA 开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，…．（1）“17”在射线________上．（2）请任意写出三条射线上数字的排列规律．（3）“2007”在哪条射线上？图1226．（07无锡）图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了n 层．将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为(1)1232n n n +++++=．图1 图2 图3 图4 如果图1中的圆圈共有12层，（1）我们自上往下，在每个圆圈中都按图3的方式填上一串连续的正整数1234，，，，，则最底层最左边这个圆圈中的数是；（2）我们自上往下，在每个圆圈中都按图4的方式填上一串连续的整数23-，22-，21-，，求图4中所有圆圈中各数的绝对值之和．27．（07乐山）如图（15），在直角坐标系中，已知点0P 的坐标为(10)，，将线段0OP 按逆时针方向旋转45，再将其长度伸长为0OP 的2倍，得到线段1OP ；又将线段1OP 按逆时针方向旋转45，长度伸长为1OP 的2倍，得到线段2OP ；如此下去，得到线段3OP ，4OP ，，n OP （n 为正整数）（1）求点6P 的坐标；（2）求56POP △的面积；（3）我们规定：把点()n n n P x y ，（0123n = ，，，，）的横坐标n x 、纵坐标n y 都取绝对值后得到的新坐标()nn xy ，称之为点n P 的“绝对坐标”．根据图中点n P 的分布规律，请你猜想点n P 的“绝对坐标”，并写出来．28．（07山东东营）根据以下10个乘积，回答问题：11×29； 12×28； 13×27； 14×26； 15×25； 16×24； 17×23； 18×22； 19×21； 20×20．（1）试将以上各乘积分别写成一个―□2－○2”（两数平方差）的形式，并写出其中一个的思考过程；（2）将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来；（3）试由⑴、⑵猜测一个一般性的结论．（不要求证明）第2层第1层 …… 第n 层5P答案：1．答案不惟一，符合题意即可．2．（1）略（2）当AD ＝2AB 时，有BM •⊥CM 成立．说明理由（略） 3．（1）当AD 平分∠BAC 时，四边形AEDF 是菱形．理由（略）（2）在（1）的条件下，当∠BAC ＝90°时，四边形AEDF 是正方形．说明理由（略） 4．当点D •运动到满足条件AD ⊥EF 时，AC 平分∠BAD ．证明（略）5．（1）证明△ADF ≌△CDE 即可（2）四边形AFCE 是矩形．（证明略） 6．（1）证明△BPA ≌△BQC ，AP ＝CQ （2）△PQC 是直角三角形，∵PA ：PB ：PC ＝3：4：5，设PA ＝3k ，PB ＝4k ，PC ＝5k ，∵∠PBQ ＝60°，BP ＝BQ ，∴△PBQ 是等边三角形， ∴PQ ＝PB ＝4k ，在△PQC 中，∵PQ 2＋QC 2＝（4k ）2＋（3k ）2＝25k 2，PC 2＝（5k ）2＝25k 2， ∴PQ 2＋QC 2＝PC 2，∴△PQC 是Rt △． 7．（1）△COD 是直角三角形，连OE ，由圆的切线的性质可证得：•△OAD ≌△OED ，△OEC ≌△OBC ， ∴∠AOD ＝∠EOD ，∠EOC ＝∠BOC ，可证得∠DOC ＝90°，• 所以△COD 是直角三角形．（2）r 与a 、b 之间满足的关系是r 2＝ab ．证明△OAD ∽△CBO ，得OA ADBC OB=，OA ·OB ＝AD ·BC 即r 2＝ab ． 8．解：（1）①BE ＝DF ＋EF ，②BE ＝DF －EF ，③EF ＝BE ＋DF ．（2）•证明略．9．解：（1）∵抛物线经过点(1,0)A 、(5,0)B ， ∴(1)(5)y a x x =--．又∵抛物线经过点(0,5)C ， ∴55a =，1a =．∴抛物线的解析式为2(1)(5)65y x x x x =--=-+．（2）∵E 点在抛物线上，∴m ＝ 42–4×6＋5 ＝－3．∵直线y ＝ kx ＋b 过点C （0， 5）、E （4， –3），∴5,4 3.b k b =⎧⎨+=-⎩解得k ＝－2，b ＝ 5．设直线y ＝－2x ＋5与x 轴的交点为D ，当y ＝0时，－2x ＋5＝0，解得x ＝52． ∴D 点的坐标为（52，0）． ∴S ＝S △BDC ＋ S △BDE＝1515(5)5+(5)32222⨯-⨯⨯-⨯ ＝10．（3）∵抛物线的顶点0(3,4)P -既在抛物线的对称轴上又在抛物线上，∴点0(3,4)P -为所求满足条件的点．（4）除0P 点外，在抛物线上还存在其它的点P 使得△ABP 为等腰三角形．理由如下：∵004AP BP ==>，∴分别以A 、B 为圆心半径长为4画圆，分别与抛物线交于点B 、1P 、2P 、3P 、A 、4P 、5P 、6P ，除去B 、A 两个点外，其余6个点为满足条件的点．（说明：只说出P 点个数但未简要说明理由的不给分）10．解：（1）解：过点P 作PF BC ⊥，垂足为F ．在矩形ABCD 中，PF AB ∥ PFC ABC ∴△∽△ FC PC PFBC AC AB==∴又AP x =∵，1BC AD ==，AB = 又∵在Rt ABC △中，3AC =3PC x =-313FC x-=∴33xFC -=∴3133x xBF BC FC -=-=-=∴ 又PE CD ⊥∵ 90PEC ∠=∴°又在四边形PFCE 中，90PFC BCD PEC ∠=∠=∠=° ∴四边形PFCE 为矩形90FPE ∠=∴° 又PQ BP ⊥∵ 90BPQ ∠=∴° FPE BPQ ∠=∠∴ E P Q Q P F B P F F P ∠+∠=∠+∠∴ EPQ BPF ∠=∠∴ 又90PEQ BFP ∠=∠=° PEQ PFB ∴△∽△EQ PEBF PF=∴ 又PE FC = EQ FC BF PF =∴ 又FC PFBC AB =FC BCPF AB=∴ EQ BC BF AB =∴B C B FEQ AB=·∴3x EQ ==∴113223x S EQ PE -==∴··2S x x =+∴或23)S x x =-+ 过点B 作BK AC ⊥，垂足为K ．在Rt ABC △中，由等积法可得 1122AC BK AB BC =·· AC BK AB BC =∴··31BK ⨯=BK =∴ 由题意可得当Q 与C 重合时，P 与K 重合即AP AK =，由ABK ABC △∽△得AK AB BK BC =即x = 83x =∴ x ∴的取值范围是803x <≤（2）PQE △面积有最大值由（1）可得2S x x =+232x ⎫=-⎪⎝⎭∴当32x =即32AP =时， S面积最大，即S =最大 11．解：（1）二次函数图象顶点的横坐标为1，且过点(23)，和(312)--，， ∴由1242393212.ba abc a b ⎧-=⎪⎪++=⎨⎪-+=-⎪⎩，，解得123.a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，，∴此二次函数的表达式为223y x x =-++．（2）假设存在直线:(0)l y kx k =≠与线段BC 交于点D （不与点B C ，重合），使得以B O D ，，为顶点的三角形与BAC △相似．在223y x x =-++中，令0y =，则由2230x x -++=，解得1213x x =-=，(10)(30)A B ∴-，，，．令0x =，得3y =．(03)C ∴，．设过点O 的直线l 交BC 于点D ，过点D 作DE x ⊥轴于点E点B 的坐标为(30)，，点C 的坐标为(03)，，点A 的坐标为(-4345.AB OB OC OBC ∴===∠=，， BC ∴==要使BOD BAC △∽△或BDO BAC △∽△，已有B B ∠=∠，则只需BD BO BCBA=， ①或.BO BD BCBA=②成立．若是①，则有BO BC BD BA===．而45OBC BE DE ∠=∴=，．∴在Rt BDE △中，由勾股定理，得222222BE DE BE BD +===⎝⎭．解得94BE DE ==（负值舍去）． 93344OE OB BE ∴=-=-=．∴点D 的坐标为3944⎛⎫⎪⎝⎭，．将点D 的坐标代入(0)y kx k =≠中，求得3k =．∴满足条件的直线l 的函数表达式为3y x =．［或求出直线AC 的函数表达式为33y x =+，则与直线AC 平行的直线l 的函数表达式为3y x =．此时易知BOD BAC △∽△，再求出直线BC 的函数表达式为3y x =-+．联立33y x y x ==-+，求得点D 的坐标为3944⎛⎫⎪⎝⎭，．］若是②，则有BO BA BD BC=== 而45OBC BE DE ∠=∴=，．∴在Rt BDE △中，由勾股定理，得222222BE DE BE BD +===．解得2BE DE ==（负值舍去）．321OE OB BE ∴=-=-=．∴点D 的坐标为(12)，．将点D 的坐标代入(0)y kx k =≠中，求得2k =．∴满足条件的直线l 的函数表达式为2y x =．∴存在直线:3l y x =或2y x =与线段BC 交于点D （不与点B C ，重合），使得以B O D ，，为顶点的三角形与BAC △相似，且点D 的坐标分别为3944⎛⎫⎪⎝⎭，或(12)，．（3）设过点(03)(10)C E ，，，的直线3(0)y kx k =+≠与该二次函数的图象交于点P ．将点(10)E ，的坐标代入3y kx =+中，求得3k =-． ∴此直线的函数表达式为33y x =-+．设点P 的坐标为(33)x x -+，，并代入223y x x =-++，得250x x -=．解得1250x x ==，（不合题意，舍去）．512x y ∴==-，． ∴点P 的坐标为(512)-，．此时，锐角PCO ACO ∠=∠．又二次函数的对称轴为1x =，∴点C 关于对称轴对称的点C '的坐标为(23)，． ∴当5p x >时，锐角PCO ACO ∠<∠；当5p x =时，锐角PCO ACO ∠=∠；当25p x <<时，锐角PCO ACO ∠>∠． 12．解：（1）由题意可知C （0，－3），12=-ab， ∴ 抛物线的解析式为y ＝ ax 2－2ax －3（a ＞0），过M 作MN ⊥y 轴于N ，连结CM ，则MN ＝ 1，=CM ∴ CN ＝ 2，于是m ＝－1．同理可求得B （3，0），∴ a ×32－2－2a ×3－3 ＝ 0，得 a ＝ 1， ∴ 抛物线的解析式为y ＝ x 2－2x －3．（2）由（1）得 A （－1，0），E （1，－4），D （0，1∴ 在Rt △BCE 中，23=BC ，2=CE ，∴313==OD OB ，3223==CE BC ，∴ CE BC OD OB =，即 CE OD BC OB =， ∴ Rt △BOD ∽Rt △BCE ，得 ∠CBE ＝∠OBD ＝β，因此 sin （α－β）＝ sin （∠DBC －∠OBD ）＝ sin ∠OBC ＝22=BC CO ．（3）显然 Rt △COA ∽Rt △BCE ，此时点P 1（0，0）．过A 作AP 2⊥AC 交y 正半轴于P 2，由Rt △CAP 2 ∽Rt △BCE ，得)31,0(2P ．过C 作CP 3⊥AC 交x 正半轴于P 3，由Rt △P 3CA ∽Rt △BCE ，得P 3（9，0）．故在坐标轴上存在三个点P 1（0，0），P 2（0，1∕3），P 3（9，0），使得以P 、A 、C 为顶点的三角形与BCE 相似．13．解：(Ⅰ)证明：∵AB ＝a ，AD ＝b ，BE ＝x ，S 梯形ABEF ＝ S 梯形CDFE ． ∴21a (x ＋AF )＝21a (EC ＋b －AF )， ∴2AF ＝EC ＋(b －x )．又∵EC ＝b －x ， ∴2AF ＝2EC ，即AF ＝EC ； (Ⅱ)（1）当直线EE′经过原矩形的顶点D 时，如图（一），∵EC ∥E ′B ′， ∴B E EC ''＝BD DC'．由EC ＝b －x ，E ′B ′＝EB ＝x ， DB ′＝DC ＋CB ′＝2a ，得aax x b 2=-， ∴x ︰b ＝32；当直线E′E 经过原矩形的顶点A 时，如图（二），在梯形AE ′B ′D 中， ∵EC ∥E ′B ′，点C 是DB ′的中点，∴CE ＝21(AD ＋ E ′B ′)，即b －x ＝21（b ＋x ），∴x ︰b ＝31．（2）如图（一），当直线EE′ 经过原矩形的顶点D 时，BE ′∥EF ．证明：连接BF ． ∵FD ∥BE ， FD ＝BE ， ∴四边形FBED 是平行四边形， ∴FB ∥DE ， FB ＝DE ，又∵EC ∥E ′B ′，点C 是DB ′的中点， ∴DE ＝EE ′， ∴FB ∥EE ′， FB ＝ EE ′， ∴四边形BE ′EF 是平行四边形 ∴BE ′∥EF ．如图（二），当直线EE′ 经过原矩形的顶点A 时，显然BE ′与EF 不平行，设直线EF 与BE′交于点G .过点E ′作E ′M ⊥BC 于M ，则E ′M ＝a .．∵x ︰b ＝31， ∴EM ＝31BC ＝31b ．若BE′与EF 垂直，则有∠GBE ＋∠BEG ＝90°，又∵∠BEG ＝∠FEC ＝∠MEE ′， ∠MEE ′＋∠ME ′E ＝90°， ∴∠GBE ＝∠ME ′E ．在Rt △BME ′中，tan ∠E ′BM ＝ tan ∠GBE ＝BMME '＝b a 32．在Rt △EME ′中，tan ∠ME ′E ＝M E EM'＝ab31，∴b a 32＝a b 31．又∵a ＞0，b ＞0，=b a 32， ∴当=b a 32时，BE′与EF 垂直． 14． ⑴13 ⑵3n ＋115. 6316. A17. 2)1n (n -＋2)1n (n +＝n 2或1＋2＋…＋(n -1)＋1＋2＋…＋n ＝n 2。

中考数学探究性试题精选之反比例函数综合题(含15大题)

中考数学探究性试题精选之反比例函数综合题（含15大题）1．如图1，在平面直角坐标系中，将锐角∠MON 的顶点与原点O 重合，角的一边OM 与x 轴正半轴重合，角的另一边ON 交函数y =kx （k ＞0，x ＞0）的图象（记为曲线l ）于点A ，在射线ON 的右侧构造矩形ABCD ，对角线AC 和BD 交于点E ，满足AB ∥x 轴，AC ＝2AO ，作射线OB ．（1）若点D （1，√2−1），点E （2+√2，√2），求k 的值；（2）求证：点D 在直线OB 上；（3）如图2，当∠MON ＝45°时，射线OB 交曲线l 于点F ，以点O 为圆心，12OB 为半径画弧交x 轴于点H ，求证：FH ⊥x 轴．2．如图1，一次函数y ＝k 1x +b 与反比例函数y =k2x 在第一象限交于M （1，4）、N （4，m ）两点，点P 是x 轴负半轴上一动点，连接PM ，PN ．（1）求反比例函数及一次函数的表达式；（2）若△PMN 的面积为9，求点P 的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，若点E 为直线PM 上一点，点F 为y 轴上一点，是否存在这样的点E 和点F ，使得以点E 、F 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，直线y＝mx+n交x轴于点A，交反比例函数y=kx的图象于C（2，4），D（4，a）两点．（1）求反比例函数的解析式和a的值；（2）根据图象直接写出不等式mx+n＞kx的解集；（3）点M为y轴上任意一点，点N为平面内任意一点，若以C，D，M，N为顶点的四边形是菱形，直接写出点N的坐标．4．如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限内，点B（4，0）在x轴上，连接OA、AB，OA＝AB，cos∠AOB=√55，反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过A点．（1）求k的值；（2）如图，以OA为直角边作等腰直角△AOC，过点C作CD⊥x轴交反比例函数的图象于点E，求E点坐标．5．小明喜欢用几何画板学习研究数学问题．某周末他用几何画板绘制了两个反比例函数y=k1x和y=k2x在第一象限内的图象，分别记为l1和l2，设点E在l1上，EC⊥x轴于点C，交l2于点A，ED⊥y轴于点D，交l2于点B，延长OB交l1于点F，FG⊥y轴于点G．（1）小明利用几何画板的面积测量命令分别测量了四边形EAOB和四边形DBFG的面积，分别记为S1，S2．请推测S1和S2的数量关系并证明；（2）小明连接AB，CD后发现好像是平行关系．请判断AB和CD是否平行并说明理由；（3）若S1＝2，DB：BE＝1：2，直接写出这两个反比例函数的表达式．6．【定义】在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值，称为这两个图形之间的距离，即A，B分别是图形M和图形N上任意一点，当AB的长最小时，称这个最小值为图形M与图形N之间的距离．例如，如图1，AB⊥l1，线段AB的长度称为点A与直线l1之间的距离，当l2∥l1时，线段AB的长度也是l1与l2之间的距离．【应用】（1）如图2，在等腰Rt△BAC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D为AB边上一点，过点D 作DE∥BC交AC于点E．若AB＝6，AD＝4，则DE与BC之间的距离是；（2）如图3，已知直线l3：y＝﹣x+4与双曲线C1：y=kx（x＞0）交于A（1，m）与B两点，点A与点B之间的距离是，点O与双曲线C1之间的距离是；【拓展】（3）按规定，住宅小区的外延到高速路的距离不超过80m时，需要在高速路旁修建与高速路相同走向的隔音屏障（如图4）．有一条“东南﹣西北”走向的笔直高速路，路旁某住宅小区建筑外延呈双曲线的形状，它们之间的距离小于80m．现以高速路上某一合适位置为坐标原点，建立如图5所示的直角坐标系，此时高速路所在直线l4的函数表达式为y＝﹣x，小区外延所在双曲线C2的函数表达式为y=2400x（x＞0），那么需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是多少？7．一次函数y=12x+2与x轴交于C点，与y轴交于B点，点A（2，a）在直线BC上，过点A做反比例函数y=k x．（1）求出a，k的值；（2）M为线段BC上的点，将点M向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到点N，点N恰巧在反比例函数y=kx上，求出点M坐标；（3）在x轴上是否存在点D，使得∠BOA＝∠OAD，若存在请直接写出点D坐标，若不存在请说明理由．8．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABOC为矩形，点A坐标为（6，3），反比例函数y=3x的图象分别与AB，AC交于点D，E，点F为线段DA上的动点，反比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点F，交AC于点G，连接FG．（1）求直线DE的函数表达式；（2）将△AFG沿FG所在直线翻折得到△HFG，当点H恰好落在直线DE上时，求k的值；（3）当点F为线段AD中点时，将△AFG绕点F旋转得到△MFN，其中A，G的对应点分别为M，N，当MN∥DE时，求点N的坐标．9．如图1，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B在反比例函数y=kx（k＞0）的第一象限内的图象上，OA＝4，OC＝3，动点P在y轴的右侧，且满足S△PCO=3 8S矩形OABC．（1）若点P在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标；（2）连接PO、PC，求PO+PC的最小值；（3）若点Q是平面内一点，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，请你直接写出满足条件的所有点Q的坐标．10．如图，直线AB：y＝﹣x+n与坐标轴交于A，B两点，点C为点O关于AB的对称点，连接AC，BC，双曲线y=mx(x＞0)的图象经过AC的中点D，S△OAD＝2．（1）求双曲线的解析式及n 的值；（2）P （x ，y ）为双曲线上任意一点，过P 作y 轴的垂线交直线AB 于点E ，连接PC ．求证：PE ＝PC ；（3）在（2）的条件下，若PC 的延长线交双曲线于另一点Q ，分别过P ，Q 两点作直线AB 的垂线，垂足分别为M ，N ，试判断PQ PM+QN是否为定值，若是，请求出该定值，若不是请说明理由．11．已知一次函数y =−12x +b 的图象与反比例函数y =6x（x ＞0）的图象交于A 、B 两点，与x 轴、y 轴分别交于C 、D 两点．（1）若A 点的横坐标为32，求b 的值；（2）如图，若AB ＝2AC ，求A 、B 两点的坐标；（3）在（2）的条件下，将一直角三角板的直角顶点P 放在反比例函数图象的AB 段上滑动，直角边始终与坐标轴平行，且与线段AB 分别交于Q 、R 两点，设点P 的横坐标为x 0，QR 的长为L ．问：是否存在点P ，使L 的长为√52，存在请求出符合条件的P 的坐标，不存在请说明理由．12．如图，反比例函数y=kx的图象与正比例函数y＝mx的图象交于A，C两点，其中点A的坐标为（2，2√3）．（1）求反比例函数及正比例函数的解析式；（2）点E是反比例函数第三象限图象上一点，且EC⊥AC，过点C的直线l1与线段AE 相交，点A，点E到直线l1的距离分别为d1，d2，试求d1+d2的最大值；（3）点B（2，0），在x轴上取一点P（t，0）（t＞2），过点P作直线OA的垂线l2，以直线l2为对称轴，线段OB经轴对称变换后得到O′B′，当O′B′与双曲线有交点时，求t的取值范围．13．如图，直线y=32x与双曲线y=k x（k≠0）交于A，B两点，点A的坐标为（m，﹣3），点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接BC并延长交x轴于点D，且BC＝2CD．（1）求k的值并直接写出点B的坐标；（2）点G是y轴上的动点，连接GB，GC，求GB+GC的最小值；（3）P是坐标轴上的点，Q是平面内一点，是否存在点P，Q，使得四边形ABPQ是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣x+7的图象与反比例函数y=kx（x＞0）的图象相交于A（1，6），B两点，P（0，﹣1）是y轴上的一个定点．（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；（2）H是线段AB上的一点，当△P AB的面积被线段PH分成面积比为2：3的两部分时，求点H的坐标；（3）在（2）的条件下，请在x轴上找点M，平面内找点N，使得四边形PHMN为矩形，求M，N两点的坐标．（直接写出答案）15．如图1，木匠陈师傅现有一块五边形ABFED木板，它是矩形ABCD木板用去△CEF后的余料，AD＝4，AB＝5，DE＝1，F是BC边上一点．陈师傅打算利用该余料截取一块矩形材料，其中一条边在AD上．[初步探究]（1）当BF＝2时．①若截取的矩形有一边是DE，则截取的矩形面积的最大值是；②若截取的矩形有一边是BF，则截取的矩形面积的最大值是；[问题解决]（2）如图2，陈师傅还有另一块余料，∠BAF＝∠AFE＝90°，AB＝EF＝1，CD＝3，AF＝8，CD∥AF，且CD和AF之间的距离为4，若以AF所在直线为x轴，AF中点为原点构建直角坐标系，则曲线DE是反比例函数y=kx图象的一部分，陈师傅想利用该余料截取一块矩形MNGH材料，其中一条边在AF上，所截矩形MNGH材料面积是736．求GN的长．。

历年初三数学中考探索性专题单元测试题及答案

中考数学探索性专题单元测试题（满分：100分；考试时间：100分钟）一、填空（每小题5分，共50分）1. 观察：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256… 通过观察用你所发现的规律写出21995的未位数是。

2. 瑞士中学教师巴尔米成功地从光谱数据59、1216、2125、3236…中得到巴尔米公式，从而打开了光谱奥妙的大门，请你按这种规律写出第七个数。

3. 下列是一个有规律排列的数表：第1列第2列第3列第4列…第n 例…第1行： 1121 31 41 …n 1 …第2行： 12 22 32 42 …n 2…第3行： 13 23 33 43 …n3…上面数表中第9行，第7列的数是。

4. 观察下面一列数： 1-2 3 -45 -67 -8 9-10 11 -12 13 -14 15 -16 …… …… 按上述规律排下去，那么第10行从左边数第9个数是。

5. 将正奇数如下表排列：按表中的排列规则，数2005应排在第行第列。

6. 已知n （n ≥2）个点P 1、P 2、P 3…P n 在同一平面内，且其中没有任何三点在同一直线上，设Sn 表示过这n 个点中的任意2个点所作的所有直线的条数，显然S 2=1，S 3=3，S 4=6，S 5=10…，由此推断S n = 。

7. 如图，摆第1个“小屋子”要5枚棋子，摆第二个要11枚棋子，摆第3个要17枚棋子，则摆第30个“小屋子”要枚棋子。

（1）（2）（3）8. 用同样大小的黑、白两种颜色的棋子摆设如下图所示的正方形图案，则第n 个图案需要用白色棋子枚（用含有n 的代数式表示）。

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ● ● ○ ○ ● ● ● ○ ○ ● ○ ○ ● ● ○ ○ ● ● ● ○ ○ ○ ○ ○ ○ ● ● ● ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○9. 在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点，观察图中每一个正方形（实线）四条边上的整点的个数，请你猜测由里向外第10个正方形（实线）四条边上的整点个数共有个。

中考数学复习之“探究性问题”练习

AEC BD“探究性问题”练习按住ctrl 键点击查看更多中考数学资源1．如图，D E ，两点分别在ABC △的边AB AC ，上，DE 与BC 不平行，当满足条件（写出一个即可）时， ADE ACB △∽△．2．若一个分式含有字母m ，且当5m =时，它的值为12，则这个分式可以是．（写出一个．．即可） 3．让我们轻松一下，做一个数字游戏：第一步：取一个自然数n 1=5，计算n 12+1得a 1；第二步：算出a 1的各位数字之和得n 2，计算n 22+1得a 2；第三步：算出a 2的各位数字之和得n 3，计算n 32+1得a 3；…………依此类推，则a 2008=_______________.4．观察下面的一列单项式: -x 、2x 2、-4x 3、8x 4、-16x 5、…根据其中的规律，得出的第10个单项式是（） A.-29x 10 B. 29x 10 C. -29x 9 D. 29x 95．任何一个正整数n 都可以进行这样的分解：n s t =⨯（s t ，是正整数，且s t ≤），如果p q ⨯在n 的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p q ⨯是n 的最佳分解，并规定：()pF n q=．例如18可以分解成118⨯，29⨯，36⨯这三种，这时就有31(18)62F ==．给出下列关于()F n 的说法：（1）1(2)2F =；（2）3(24)8F =；（3）(27)3F =；（4）若n 是一个完全平方数，则()1F n =．其中正确说法的个数是（）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．46．如图，小明作出了边长为1的第1个正△A 1B 1C 1，算出了正△A 1B 1C 1的面积。

然后分别取△A 1B 1C 1三边的中点A 2、B 2、C 2，作出了第2个正△A 2B 2C 2，算出了正△A 2B 2C 2的面积。

用同样的方法，作出了第3个正△A 3B 3C 3，算出了正△A 3B 3C 3的面积……，由此可得，第10个正△A 10B 10C 10的面积是（）A. 931()44⨯ B.1031()44⨯ C. 931()42⨯D. 1031()42⨯7．如图，在矩形ABCD 中，AB =2，AD =3。

中考数学专题复习几何探究题

专题复习几何探究问题一、结论探究【例 1】如图①，△ ABC是等腰直角三角形，∠ BAC=90，点D是BC中点，作正方形DEFG，使点 A、 C分别在 DG和 DE上，连接 AE、 BG〔1〕试猜测线段BG和 AE 的数量关系，请直接写出你得到的结论00图②，通过观察和测量等方法判断〔1〕中的结论是否仍然成立如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由。

〔3〕假设 BC=DE=2，在〔 2〕的旋转过程中，当 AE为最大值时，求AF的值。

变式练习：正方形ABCD中， E 为对角线BD上一点，过 E 点作 EF⊥ BD交 BC于 F，连接DF， G为 DF中点，连接EG，CG．（1〕直接写出线段 EG与 CG的数量关系；（2〕将图 1 中△ BEF 绕 B 点逆时针旋转 45o，如图 2 所示，取 DF中点 G，连接 EG， CG．你在〔 1〕中得到的结论是否发生变化写出你的猜测并加以证明．〔 3〕将图 1 中△ BEF绕 B 点旋转任意角度，如图3 所示，再连接相应的线段，问〔1〕中的结论是否仍然成立〔不要求证明〕A D A D A DGGEEF FEB F CB C B C图 1 图 2 图 3【例 2】两个全等的直角三角形纸片ABC、 DEF，如图〔 1〕放置，点B、D 重合，点F00在 BC上， AB与 EF 交于点 G，∠ C=∠ EFB=90，∠ E=∠ ABC=30， AB=DE=4〔1〕求证：△ EGB是等腰三角形〔2〕假设纸片 DEF不动，问△ ABC绕点 F 旋转最小度时，四边形ACDE成为以 ED为底的梯形〔如图〔2〕〕，求此梯形的高。

【例 3】如图，Rt △AB ? C ? 是由Rt △绕点A 顺时针旋转得到的，连结CC ? 交斜边于ABC点 E， CC ?的延长线交BB ?于点 F．（1〕证明：△ACE∽△FBE；（2〕设∠ABC= ，∠CAC? = ，试探索、满足什么关系时，△ACE与△FBE是全等三角形，并说明理由．【例 4】（1〕操作发现：如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点 G在举行 ABCD内部．小明将 BG延长交 DC于点 F，认为 GF=DF，你同意吗说明理由．〔2〕问题解决：保持〔 1〕中的条件不变，假设DC=2DF，求AD的值；AB〔3〕类比探求：保持〔 1〕中条件不变，假设DC=nDF，求AD的值．AB【例 5】如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两局部，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线．如，平行四边形的一条对线所在的直线就是平行四边形的一条面积等分线．〔 1 〕三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一定是三角形的面积等分线的有________；〔2〕如图 1，梯形ABCD中，AB∥DC，如果延长DC到 E，使 CE＝ AB，连接 AE，那么有S梯形ABCD＝S△ ABE．请你给出这个结论成立的理由，并过点A 作出梯形ABCD的面积等分线〔不写作法，保存作图痕迹〕；（3〕如图，四边形ABCD中，AB与CD不平行，S△ADC＞S△ABC，过点A能否作出四边形ABCD的面积等分线假设能，请画出面积等分线，并给出证明；假设不能，说明理由．B AABEC D C D图1 图2【例 6】（1〕如 1，在正方形ABCD中，M是BC〔不含端点B、C〕上任意一点 , P是BC延上一点， N是∠DCP的平分上一点．假设∠ AMN=90°，求： AM=MN．下面出一种明的思路，你可以按一思路明，也可以另外的方法明．明：在AB上截取 AE=MC， ME．正方形 ABCD中，∠ B=∠ BCD=90°，AB=BC．∴∠ NMC=180°—∠ AMN—∠ AMB=180°—∠ B—∠ AMB=∠ MAB=∠ MAE．〔下面你完成余下的明程〕（2〕假设将〔 1〕中的“正方形ABCD〞改“正三角形ABC〞〔如 2〕 , N是∠ACP的平分上一点，当∠ AMN=60° ， AM=MN是否成立明理由．（3〕假设将〔 1〕中的“正方形ABCD〞改“正n形ABCD⋯X〞，你作出猜测：当∠AMN= ° ，AM=MN仍然成立．〔直接写出答案，不需要明〕12【例 7】以下材料：如1，在等三角形ABC内有一点P，且 PA=2， PB=3 ，PC=1．求∠BPC度数的大小和等三角形ABC的．李明同学的思路是：将△ BPC点B旋60°，画出旋后的形〔如2〕．接 PP′，可得△ P′PC 是等三角形，而△ PP′A又是直角三角形〔由勾股定理的逆定理可〕．所以∠ AP′C=150°，而∠ BPC=∠AP′C=150°．而求出等△ ABC的7 ．得到解决．你参考李明同学的思路，探究并解决以下：如3，在正方形ABCD内有一点 P，且 PA= 5， BP= 2， PC=1．求∠ BPC度数的大小和正方形ABCD的．图 3图 1 图 2能力检测1．如图 1，∠=90°，△是等边三角形，点P 为射线上任意一点〔点P 与点ABCABEBCB 不重合〕，连结 AP ，将线段 AP 绕点 A 逆时针旋转 60°得到线段 AQ ，连结 QE 并延长交射线 BC 于点 F .〔1〕如图 2，当= 时，∠=°，猜测∠= °；BP BAEBFQFC〔 2〕如图 1，当点 P 为射线 BC 上任意一点时，猜测∠ QFC 的度数，并加以证明；〔3〕线段 AB = 23 ，设 BP =，点 Q 到射线 BC 的距离为 y ，求 y 关于的函数关系式．QQA AEEBFP CBF PC图 1图 22．如图〔 1〕，在△ ABC 和△ EDC 中， AC ＝ CE ＝ CB ＝ CD ，∠ ACB ＝∠ ECD ＝ 90 ， AB 与 CE 交于F ， ED 与 AB 、 BC 分别交于 M 、H ．〔1〕求证：＝；CF CH〔2〕如图〔 2〕，△不动，将△绕点 C 旋转到∠=时，试判断四边形是ABCEDCBCE45ACDM什么四边形并证明你的结论．E MBM B FHE HFDDACAC图〔 1〕图〔 2〕 3、如图〔 1〕正方形 ABCD 的对角线 AC 、 BD 相交于点 O ， E 是 AC 上一点，连接EB ，过点 A 作 AM ⊥ BE 于 M ， AM 交 BD 于点 F （ 1〕求证： OE=OF （ 2〕如图〔 2〕假设点 E 在 AC 的延长线上， AM ⊥ BE 于 M ，交 DB 的延长线于点 F ，其它条件不变，那么结论“ OE=OF 〞还成立吗如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由。

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中考数学探究性问题复习
探究性问题是指在给定条件下探究尚不明确的结论，或由给出的结论探求满足该结论所需要的（或尚不确定的）条件的一类问题，它与传统条件结论封闭是截然不同的。

一般情况下，传统题条件完备，结论明确，只需计算结果，或对结论加以论证，其解题通法往往是确定的。

探究性问题是通过对题目的具体分析，选择并建立恰当的数学模型，经过观察、试验、分析、比较、类比、归纳、猜测、推断等探究性活动来探索解题思路。

探究性问题一般可分为结论探究题、条件探究题和存在性探究题。

我市近年来一直以考查结论
探究题和存在性探究题为主。

1、结论探究题
结论探究题，一般是由给定的已知条件探求相应的结论，解题时往往要求充分利用条件进行大胆而合理的猜想，发现规律，得出结论。

例1、有若干个数，第1个数记为1a ，第2个数记为2a ，第3个数记为3a ，……，第n 个数记为n a ，若2
1
1
a ，从第2个数起，每个数都等于“1与它前面的那个数的差的倒数”。

（1）试计算：2a ＝，3a ＝，4a ＝；（2）根据以上计算结果，请你写出：
2004a ＝，2005a ＝。

例2、水葫芦是一种水生飘浮植物，有着惊人的繁殖能力。

据报现已造成某些流域河道堵塞，水质污染等严重后果。

据研究表明：适量的水葫芦生长对水质的净化是有利的，关键是科学管理和转化利用。

若在适宜条件下，1株水葫芦每5天就能新繁殖1株（不考虑植株死亡、被打捞等其它因素）。

（1）假设江面上现有一株水葫芦，填写下表：
（2）假设某流域内水葫芦维持在约33万株以内对净化水质有益。

若现有10株水葫芦，请你尝试利用计算器进行估算探究，照上述生长速度，多少天时水葫芦约有33万株？此后就必须开始定期打捞处理水葫芦。

（要求写出必要的尝试、估算过程！）
例3、如图，“取正方形各边的中点，并把相对的两个中点相连，这样把一个大正方形分成了四个小正方形”，我们称之为第1次操作。

（1）请继续在图中按以上操作对右上角的正方形进行分割，我们称之为第2次操作。

（2）继续按第1次操作的方法进行第3次、第4次分割，并把分割后图中小正方形的个数填入下表：（以后每次操作都对右上角正方形进行分割）
（3）进行第100次操作后，图中小正方形的个数是。

（4）能否当进行到某次操作后，使图中的小正方形的个数为2004？若能，请求出操作的次数；若不能，请说明理由。

例4．用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点，叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形。

设格点多边形的面积为S ，它各边上格点的个数和为x 。

（1）上图中的格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边上格点的个数和的对应关系如下表，请写出S 与x 之间的关系式。

答：S= 。

（2）请你再画出一些格点多边形，使这些多边形内部都有而且只有2格点。

此时所画的各个多边形的面积S 与它各边上格点的个数和x 之间的关系式是：S= 。

（3）请你继续探索，当格点多边形内部有且只有n 个格点时，猜想S 与x 有怎样的关系？答：S= 。

④
③
②
①
2、条件探究题
条件探究题，一般是由给定的结论反过来探究命题成立应具备的条件。

例1、已知：已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B 的正切值是2
1
，AC ＝3，点P 为直线AC 上的一点，当CP 为何值时，
CP =2
例2、已知：四边形ABCD 是平行四边形，点A 的坐标为（12，0），点C 的坐标为（6，8），直线l ：8+=kx y 与y 轴相交于点D 。

（1）当k 为何值时，直线l 恰好平分平行四边形ABCD 的面积？（2）若直线l 与线段CO 、AO 分别相交于点P 、Q ，则当k 为何值时，△OPQ 是等腰三角形？
3、存在性探究题
例1、如图，在△ABC 中，BC ＝6，AC ＝24，∠ACB ＝45°，在BC 边上有一动点M ，过M 作MN ∥AB ，与AC 交于点N ，连结AM ，设BM x =(0＜x ＜6)，△AMN 的面积为y 。

（1）求y 与x 的函数关系式；
（2）是否存在这样的点M ，使ABM AMN S S ∆∆:＝2：3？
若存在则求之，否则说明理由。

A
A
B
C
M
N
例2、已知：如图，在平面直角坐标系中，点C在y轴上，以C为圆心，4cm为半径的圆
与x轴相交于点A、B，与y轴相交于D、E ，且。

点P是⊙C上一动点（P点与A、B点不重合）。

连结BP、AP。

（1）求∠BPA的度数；
（2）若过点P的⊙C的切线交x轴于点G，是否存在点P，使△APB与以A、G、P为顶点的三角形相似？
若存在，求出点P
例3、（本小题满分8分）
探索下列问题：
（1）在图12—1给出的四个正方形中，各画出一条直线（依次是：水平方向的直线、竖直方向的直线、与水平方向成45°角的直线和任意的直线），将每个正方形都分割成面积相等的两部分；
（2）一条竖直方向的直线m以及任意的直线n，在由左向右平移的过程中，将正六边形分成左右两部分，其面积分别记为S1和S2.
①请你在图12—2中相应图形下方的横线上分别填写S1与S2的数量关系式（用“<”，“=”，“>”连接）；
②请你在图12—3中分别画出反映S1与S2三种大小关系的直线n，并在相应图形下方的横线上分别填写S1与S2的数量关系式（用“<”，“=”，“>”连接）.
（3）是否存在一条直线，将一个任意的平面图形（如图12—4）分割成面积相等的两部分，请简略说出理由.。