立体几何第一周作业

立体几何第一周作业
1、如图，在三棱柱中，已知
（1）证明：；
（2）若，求二面角的余弦值．
2、如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=AC，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD上异于端点的点．
(1)在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，并说明理由；
l⊥平面ADD1A1
(2)证明：直线
3、如图，四边形和四边形均为直角梯形，,二面角是直二面
角,
（1）证明：在平面上，一定存在过点C的直线与直线平行；
（2）求二面角二余弦值.
4、已知在四棱锥中，底面是矩形，且
分别是线段的中点．
（Ⅰ）判断并说明上是否存在点，使得∥平面；
（Ⅱ）若与平面所成的角为，求二面角的平面角的余弦值．
5、如图，四棱锥的底面是正方形，侧棱底面，是的中点.
(Ⅰ)求证：平面；
(Ⅱ)证明：.
6、如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点，PA=AD．求证：
（1）CD⊥PD；
（2）EF⊥平面PCD．
7、如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，PD=CD=2，∠PDC=120°．
（Ⅰ）证明平面PDC⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值．
8、如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AD=AP，E为棱PD中点．
（I）求证：PD⊥平面ABE；
（II）若F为AB中点，，试确定λ的值，使二面角P﹣FM﹣B的余弦值为
9、如图，在四棱锥中，底面，，，，点为棱的中点。

（1）证明；
（2）若为棱上一点，满足，求二面角的余弦值。

10、如图，四棱锥中，平面平面,，，
，且,.
（Ⅰ）求证:平面；
（Ⅱ）求和平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）在线段上是否存在一点，使得平面平面，
请说明理由.
参考答案
一、简答题
1、
2、(1)在平面ABC内，过点P作直线l和BC平行．理由如下：
由于直线l不在平面A1BC内，l∥BC，
故直线l与平面A1BC平行．
（2）在△ABC中，∵AB＝AC，D是线段AC的中点，∴AD⊥BC，∴l⊥AD．
又∵AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥l.
而AA1∩AD＝A，∴直线l⊥平面ADD1A1.
3、
4、解：(1)∵PA⊥平面ABCD，∠BAD=90°，AB=1，AD=2，建立如图所示的空
间直角坐标系Axyz，
则A(0,0,0)，B(1，0，0)，F(1，1，0)，D(0，2，0).
不妨令P(0，0，t)，
存在.设平面PFD的一个法向量为=(x,y,z),结合(1),
由，得,
令z=1,解得：x=y=.∴.
设G点坐标为(0,0,m),E(,0,0),则=(，0，m)，
要使EG∥平面PFD，只需·=0，即,
得，从而满足的点G即为所求.
(2)∵AB⊥平面PAD，∴是平面PAD的法向量，易得=(1，0，0)，
又∵PA⊥平面ABCD，∴∠PBA是PB与平面ABCD所成的角，
得∠PBA=45°,PA=1，结合(2)得平面PFD的法向量为=()，
∴由题意知二面角A-PD-F为锐二面角.
故所求二面角A-PD-F的平面角的余弦值为.
5、解: (Ⅰ)连结交于，连结，
因为四边形是正方形，所以为中点.
又因为是的中点，所以，………3分
因为平面，平面，
所以平面. ……………6分
(Ⅱ)因为四边形是正方形，所以. ……8分
因为底面，且平面，
所以. ……………10分
又因为，所以平面，……………12分
又平面，
所以
.
……………13分
6、【考点】LW：直线与平面垂直的判定．
【分析】（1）由线面垂直得CD⊥PA，由矩形性质得CD⊥AD，由此能证明CD⊥PD．
（2）取PD的中点G，连结AG，FG．由已知条件推导出四边形AEFG是平行四边形，所以AG∥EF．再由已知条件推导出EF⊥CD，由此能证明EF⊥平面PCD．
【解答】（本题满分8分）
证明：（1）∵PA⊥底面ABCD，∴CD⊥PA．
又矩形ABCD中，CD⊥AD，且AD∩PA=A，
∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD．
（2）取PD的中点G，连结AG，FG．
又∵G、F分别是PD、PC的中点，
∴GF平行且等于CD，
∴GF平行且等于AE，
∴四边形AEFG是平行四边形，∴AG∥EF．
∵PA=AD，G是PD的中点，
∴AG⊥PD，∴EF⊥PD，
∵CD⊥平面PAD，AG⊂平面PAD．
∴CD⊥AG．∴EF⊥CD．
∵PD∩CD=D，∴EF⊥平面PCD．
7、【考点】LY：平面与平面垂直的判定；MI：直线与平面所成的角．
【分析】（Ⅰ）证明AD⊥CD，AD⊥PD，推出AD⊥平面PDC，然后证明平面PCD⊥平面ABCD．
（Ⅱ）在平面PCD内，过点P作PE⊥CD交直线CD于点E，连接EB，说明∠PBE为直线PB与平面ABCD所成的角，通
过在Rt△PEB中，求解sin∠PBE=，推出结果．
【解答】（Ⅰ）证明：由于底面ABCD是矩形，
故AD⊥CD，又由于AD⊥PD，CD∩PD=D，
因此AD⊥平面PDC，而AD⊂平面ABCD，
所以平面PCD⊥平面ABCD．…6分；
（Ⅱ）解：在平面PCD内，过点P作PE⊥CD交直线CD于点E，连接EB，
由于平面PCD⊥平面ABCD，而直线CD是平面PCD与平面ABCD的交线，
故PE⊥平面ABCD，由此得∠PBE为直线PB与平面ABCD所成的角…8分
在△PDC中，由于PD=CD=2，∠PDC=120°，知∠PDE=60°．，
在Rt△PEC中，PE=PDsin60°=3，DE=12，PD=1，
且BE===，
故在Rt△PEB中，PB==，sin∠PBE==．
所以直线PB与平面ABCD所成的角的正弦值为．…12分．
8、解：（I）证明：∵PA⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，∴PA⊥AB，
又∵底面ABCD为矩形，∴AB⊥AD，PA∩AD=A，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，
∴AB⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD，AD=AP，E为PD中点，∴AE
⊥PD，AE∩AB=A，AE⊂平面ABE，AB⊂平面ABE，∴PD⊥平面ABE．
（II）以A为原点，以为x，y，z轴正方向，建立空间直角
坐标系A﹣BDP，令|AB|=2，
则A（0，0，0），B（2，0，0），P（0，0，2），C（2，2，0），E（0，1，
1），F（1，0，0），，，
，M（2λ，2λ，2﹣2λ）
设平面PFM的法向量，，即
，
设平面BFM的法向量，，
即，
，解得．
9、（2）
二、综合题
10、解：（Ⅰ）由,.
可得.
由,且，
可得.
又. 所以. …………2分
又平面平面，
平面平面，
所以平面
. ……………4分
（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，
则，，，，
，,. …………6分
设是平面的一个法向量，则,，
即令，则. ……………7分
设直线与平面所成的角为，
则. ……………8分
所以和平面所成的角的正弦值. ……………9分
（Ⅲ）设,.
又,,.
则. ……………10分
设是平面一个法向量,则，，
即 (11)
分
令,则. ……………12分
若平面平面，则，即，.……13分
所以，在线段上存在一点使得平面平面. ……………14分。