有关高中数学化简与拓展思维的思考
高中数学解题的典型方法与技巧
高中数学解题的典型方法与技巧1、解决绝对值问题(化简、求值、方程、不等式、函数)的基本思路是：把绝对值的问题转化为不含绝对值的问题。
具体转化方法有：①分类讨论法：根据绝对值符号中的数或表达式的正、零、负分情况去掉绝对值。
②零点分段讨论法：适用于含一个字母的多个绝对值的情况。
③两边平方法：适用于两边非负的方程或不等式。
④几何意义法：适用于有明显几何意义的情况。
2、根据项数选择方法和按照一般步骤是顺利进行因式分解的重要技巧。
因式分解的一般步骤是：提取公因式→选择用公式→十字相乘法→分组分解法→拆项添项法。
3、利用完全平方式把一个式子或部分化为完全平方式就是配方法，它是数学中的重要方法和技巧。
配方法的主要根据有：4、解某些复杂的特型方程要用到换元法。
换元法解题的一般步骤是：设元→换元→解元→还元。
5、待定系数法是在已知对象形式的条件下求对象的一种方法。
适用于求解点的坐标、函数解析式、曲线方程等重要问题的解决。
其步骤是：①设②列③解④写6、复杂代数等式条件的使用技巧：右边化为零，左边变形。
10、代数式求值的方法有：①直接代入法②化简代入法③适当变形法(和积代入法)。
注意：当求值的代数式是字母的“对称式”时，通常可以化为字母“和与积”的形式，从而用和积代入法求值。
11、方程中除未知数以外，含有的其他字母叫做参数，这种方程叫做含参方程。
解含参方程一般要用“分类讨论法”，其原则是：①按照类型求解②根据需要讨论③分类写出结论。
17、一元二次不等式的解法：一元二次不等式可以用因式分解法求解。
简便的实用解法是根据“三个二次”间的关系，利用二次函数图像去解。
具体步骤如下：二次系数化为正→判别且求根→画出示意图→解集横轴中18、一元二次方程根的讨论：一元二次方程根的符号问题或m型问题可以利用根的判别式和根与系数的关系来解决，但根的一般问题、特别是区间根的问题要根据“三个二次”间的关系，利用二次函数图像去解。
一般思路：题意→二次函数图像→不等式组(a的符号、△的情况、对称轴的位置、区间端点函数值的符号)。
数学学习的八种思维方法
数学学习的八种思维方法数学学习的八种思维方法_数学学好数学的关键是公式的掌握，数学能让我们思考任何问题的时候都比较缜密，而不至于思绪紊乱。
还能使我们的脑子反映灵活，对突发事件的处理手段也更理性。
下面是小编为大家整理的数学学习的八种思维方法，希望能帮助到大家!数学学习的八种思维方法1.代数思想这是基本的数学思想之一，小学阶段的设未知数x，初中阶段的一系列的用字母代表数，这都是代数思想，也是代数这门学科最基础的根!2.数形结合是数学中最重要的，也是最基本的思想方法之一，是解决许多数学问题的有效思想。
“数缺形时少直观，形无数时难入微”是我国著名数学家华罗庚教授的名言，是对数形结合的作用进行了高度的概括。
初高中阶段有很多题都涉及到数形结合，比如说解题通过作几何图形标上数据，借助于函数图象等等都是数形给的体现。
3.转化思想在整个初中数学中，转化(化归)思想一直贯穿其中。
转化思想是把一个未知(待解决)的问题化为已解决的或易于解决的问题来解决，如化繁为简、化难为易，化未知为已知，化高次为低次等，它是解决问题的一种最基本的思想，它是数学基本思想方法之一。
4.对应思想方法对应是人们对两个集合因素之间的联系的一种思想方法，小学数学一般是一一对应的直观图表，并以此孕伏函数思想。
如直线上的点(数轴)与表示具体的数是一一对应。
5.假设思想方法假设是先对题目中的已知条件或问题作出某种假设，然后按照题中的已知条件进行推算，根据数量出现的矛盾，加以适当调整，最后找到正确答案的一种思想方法。
假设思想是一种有意义的想象思维，掌握之后可以使要解决的问题更形象、具体，从而丰富解题思路。
6.比较思想方法比较思想是数学中常见的思想方法之一，也是促进学生思维发展的手段。
在教学分数应用题中，教师善于引导学生比较题中已知和未知数量变化前后的情况，可以帮助学生较快地找到解题途径。
7.符号化思想方法用符号化的语言(包括字母、数字、图形和各种特定的符号)来描述数学内容，这就是符号思想。
高中数学课本习题的拓展及应用
挖掘本源 渗透方法-------对两道高中数学课本习题的拓展应用的案例剖析高中教材中的习题都是经过编者认真筛选而精心设计的，其中不少习题蕴含着丰富的数学思想方法，具有较大的反思、拓展和“再创造”的空间，也是高考命题和备考复习最直接的素材来源，教师必须要回归教材、重视教材通过对课本例题的挖掘、演变，做到以点带线、以线及面，从而达到巩固知识、培养能力的目的，发挥教材的引领作用。
下面是对教材习题挖掘的两个案例：一、对课本习题利用类比的方式进行变式拓展，并在拓展的过程中挖掘蕴含其中的丰富的思想方法。
1. 对课本习题进行类比、延申拓展案例一：课本习题 若点),(00y x M 在圆222r y x =+上，则过点M 的切线方程为200r y y x x =+。
课本中的这个习题很基础，学生也很容易理解，但如果我们只让学生做了这个题而没有做如何的反思、挖掘，那么课本对此题的设置的意义和引领作用就就会被极大的弱化。
此习题中有两个可变点可引发我们的进一步思考，一是点M 在圆“上”这个“上”字，由此条件不难设想点M 在圆“内”、点M 在圆“外”时，有类似的结论吗?另一可变点是点“圆”上这个圆字，点在圆上有这一结果，那么点在其他圆锥曲线上（椭圆、双曲线、抛物线）又会怎么样呢？变式1.若点),(00y x M 在圆外，过点 M 的圆的两条切线为MA 、MB ，切点为A 、B ，则切点弦AB 所在的直线方程为： 200r y y x x =+证明：由案例一易知切线MA 的方程为2A A r y y x x =+，切线MB 的方程为2B B r y y x x =+， 因为),(00y x M 在MA 、MB 上，所以20A 0A r y y x x =+且20B 0r y y x =+x B ，根据方程思想A 、B 两点都在直线200r y y x x =+上，所以切点弦AB 所在的直线方程为： 200r y y x x =+ 变式2.若点),(00y x M 在圆内，过点M 的任一直线交圆于A 、B ，过A 、B 分别作圆的两条切线，这两切线交点的轨迹方程为：200r y y x x =+证明：设两切线的交点为N （m 、n ），由变式一易得切点弦AB 所在的直线方程为：2r ny mx =+，又AB 过点),(00y x M ，所以有200r ny mx =+，所以所求轨迹方程为200r y y x x =+。
高中数学教学中思维能力的培养
高中数学教学中思维能力的培养我们知道，人类的活动离不开思维。
思维是人脑对客观现实的概括和间接的反映，反映的是事物的本质及内部的规律性。
数学学科它的特点是具有高度的抽象性、逻辑性和广泛的适用性，担负着培养学生运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力以及运用所学知识分析问题、解决问题能力的重任。
因此，培养学生学习数学的思维能力，已经成为中学数学教学的一个重要任务，也是新课程改革的基本理念之一。
数学《新课程标准》中指出学生要经历运用数学符号和图形描述现实世界的过程，建立初步的数学感和符号感，发展抽象思维，要丰富现实空间及图形认识，建立初步的空间观念，发展形象思维，因此，培养学生的思维能力是高中数学教学的一项重要任务。
现对数学教学中如何培养学生的思维能力，浅谈几点作法：一、注重联想教学，培养思维的灵活性。
学生思维的灵活性主要表现为：善于迅速地引起联想，建立自己的思路；善于进行自我调节，迅速地调整原有的思维过程。
目前学生中思维僵化状态是普遍存在的，遇到问题不善于探索，不能灵活解题，这就需要教师在教学中要教会学生各种联想方法。
1.对比联想。
对比联想是从具有相反特点的事物联想。
例如，讨论对数函数时，从指数函数的性质联想；讨论反三角函数时，从三角函数的概念联想等等。
2.逆向联想。
在讲授一个定理时，应同时引导学生联想逆定理是否成功；一个公式，一条法则由左边推到右边，应联想到是否可以由右边推到左边。
强化逆向思维教学，可使学生在解决一些问题时豁然开朗。
3.定向联想。
定向联想是有预定目的并以完成某一项任务为目标的联想。
例如：证明三角恒等式时，以求证任务为方向，积极引导学生联想所学的有关公式、定理，经过认真分析，最后确定论证方法。
4.类比联想。
类比联想的主要特征是根据事物的外部特征或某些性质的类似进行类比。
例如：讨论空间直线的平行关系，可以从平面几何中两条直线的平行关系进行类比联想；讨论双曲线性质，要从椭圆的概念进行类比联想。
谈高中数学习题课中学生思维品质提升
谈高中数学习题课中学生思维品质的提升高中数学的练习题不但可以检查学生对知识的掌握程度，也可以培养学生的探究与实验的能力、综合运用能力、获取信息的能力和理解能力，从而使学生进一步具备自主学习的条件。
实践说明，各种能力的根源是思维能力，要具备高程度的思维能力就需要具备优良的思维品质。
思维品质指的是个体思维活动特殊性的外部表现，包括思维的灵活性、广阔性、深刻性、敏捷性等。
高中数学的习题课教学可以提升学生的思维品质。
一、引导学生加强对比、分析，提升思维的深刻性思维深刻性的具体表现是解决问题的时候善于进行抽象思维，能够从规律与概念的内在联系和制约中紧紧地抓住问题的核心，进一步抓住问题的核心；而在思考问题时，又能够透过表象、现象，分析根源，并发现事物的本质与规律。
有些学生在审题的时候不认真，又或者对某些容易混淆的概念理解不深刻，因而解答问题的时候不能充分挖掘已有的各种条件，从而使得问题在解答时出现错误，所以这要求教师应教会学生在平时练习时要多加对比和分析。
例1：已知函数（1）求函数的定义域（2）判断函数的奇偶性，并说明理由。
我设计教案时预见的解决法学生肯定是“结果正确、方法错误”居多，所以在课堂上综合学生的不同解法来讲评，重要一个就是要让学生弄清错误的原因。
1.学生板演笔者就请两位学生到黑板上解答问题，出现了两种不同的解法，但结果相同。
学生甲：有意义，故，解得，故函数的定义域为（-1，1）。
学生乙：，所以只需，解得，故函数的定义域为（-1，1）。
在接下去的解法评价中，所有学生都认为两位学生的解法都是正确的，并且基本一致地认为学生乙的解法优于学生甲的解法。
此时我并没有急于向学生指出错误的地方和原因，而是不动声色地请学生继续解答下题。
2.类题检验求函数的定义域。
我将全班学生分成两组，要求第一组学生按学生解答的方法求解，第二组学生按学生乙解答的方法求解。
两分钟后我挑选了两位学生的解法并投影出来，得出两个结果：第一组为，第二组为。
高中数学几何题解题技巧 --复杂算式化简
高中数学几何题解题技巧--复杂算式化简高考所涉及的所有复杂算式化简，背后均有一个统一的原则：它的核心只有一个词：同类项。
我们今天来谈一下高考数学中大题的运算技巧。
高考数学试卷中有很多大题的「思维难度」并不很大，许多同学拿到题目之后很快就能组织起一个“看似可行”的解题思路——但看似可行不代表真正可行，你遇到的最大麻烦就在于：有些时候、你算着算着就算不下去了——你的计算总出错。
请你注意，我这里说的「计算出做」不是3+2=8的这种出错，也不是你把加号抄成减号的那种出错——那些都是粗心惹的祸，这不在我们今天讨论的范围之内。
我们今天谈论的「计算出错」，是那种你每一步的运算都正确、但最终却走进死胡同始终出不来的错误：你的计算有方向性的错误，或者说、你的计算根本没有方向，你只不过像一个无头苍蝇、到处乱撞。
这个世界上流传着这样一个笑话：就是数学老师最搞笑的口头禅是「我要变形啦」，你又不是变形金刚，你变什么形。
事实上，数学老师这句颇为搞笑的口头禅反应的是这样一个问题：在这个数学考试中、如果你遇到了一个非常复杂的算式，你必须通过代数变形把它变成非常简单的形式——这是一种非常重要的运算能力，如果你想要拿稳大题的分数，你必须掌握这种能力。
但我们高中的数学课最不合理的地方就在于：所有老师都知道这种对复杂公式进行化简能力特别重要、可少有老师能够告诉学生在面对复杂算式时，应该遵循怎样的操作规范，逐步简化复杂算式。
——换句话说，所有学生看见复杂算式都知道“应该变形”，可不知道该“怎么变形”！今天我们来谈谈这个问题。
01、复杂公式化简的基本原则其实，高考所涉及的所有复杂算式化简，背后均有一个统一的主旨：同类项。
——这是一个非常纯粹的逻辑性结论：对于复杂算式，只有能够寻找并消除所有的同类项，原式才能得以形式上的化简——除此之外，括号的拆分、通分与合并、甚至是带入消元，都只是「同类项」这个主线背后的辅助手段。
至于有些老师建议学生“实在没办法了就把括号拆了试一试”——这简直是饮鸩止渴。
高中数学思想方法8篇
高中数学思想方法8篇高中数学思想方法精选8篇高中数学思想方法1第一：函数与方程思想（1）函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象，概括与提炼，在研究方程、不等式、数列、解析几何等其他内容时，起着重要作用（2）方程思想是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础高考把函数与方程思想作为七种重要思想方法重点来考查第二：数形结合思想（1）数学研究的对象是数量关系和空间形式，即数与形两个方面（2）在一维空间，实数与数轴上的点建立一一对应关系在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系数形结合中，选择、填空侧重突出考查数到形的转化，在解答题中，考虑推理论证严密性，突出形到数的转化第三：分类与整合思想（1）分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法（2）从具体出发，选取适当的分类标准（3）划分只是手段，分类研究才是目的（4）有分有合，先分后合，是分类整合思想的本质属性（5）含字母参数数学问题进行分类与整合的研究，重点考查学生思维严谨性与周密性第四：化归与转化思想（1）将复杂问题化归为简单问题，将较难问题化为较易问题，将未解决问题化归为已解决问题（2）灵活性、多样性，无统一模式，利用动态思维，去寻找有利于问题解决的变换途径与方法（3）高考重视常用变换方法：一般与特殊的转化、繁与简的`转化、构造转化、命题的等价转化第五：特殊与一般思想（1）通过对个例认识与研究，形成对事物的认识（2）由浅入深，由现象到本质、由局部到整体、由实践到理论（3）由特殊到一般，再由一般到特殊的反复认识过程（4）构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊点、确立特殊位置，利用特殊值、特殊方程（5）高考以新增内容为素材，突出考查特殊与一般思想必成为命题改革方向第六：有限与无限的思想（1）把对无限的研究转化为对有限的研究，是解决无限问题的必经之路（2）积累的解决无限问题的经验，将有限问题转化为无限问题来解决是解决的方向（3）立体几何中求球的表面积与体积，采用分割的方法来解决，实际上是先进行有限次分割，再求和求极限，是典型的有限与无限数学思想的应用（4）随着高中课程改革，对新增内容考查深入，必将加强对有限与无限的考查第七：或然与必然的思想（1）随机现象两个最基本的特征，一是结果的随机性，二是频率的稳定性（2）偶然中找必然，再用必然规律解决偶然（3）等可能性事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验、随机事件的分布列、数学期望是考查的重点高中数学思想方法21、数形结合思想：就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和图形巧妙和谐地结合起来，并充分利用这种结合，寻求解体思路，使问题得到解决。
高一数学知识的拓展与延伸阅读推荐
高一数学知识的拓展与延伸阅读推荐在高中数学学习中，拓展与延伸的阅读是非常重要的，它可以帮助学生加深对数学知识的理解，拓宽数学思维，提升解决问题的能力。
下面是一些适合高一学生的数学拓展与延伸阅读推荐，希望能给大家的学习带来更多的启发和收获。
[第一章] 数学思维拓展类阅读推荐1.《数学启蒙》- 李开复这本书是一本适合高中生阅读的数学思维拓展类书籍。
它通过丰富的故事情节和趣味的例题，激发学生的数学兴趣，拓宽数学思维的边界，培养对数学问题的探索精神。
2.《数学中的趣味问题》- 张亚平本书介绍了一系列有趣且具有挑战性的数学问题，涉及数论、代数、几何等多个领域。
通过解决这些问题，读者能够在娱乐中提升数学能力，拓展思维，培养逻辑推理和问题解决的能力。
[第二章] 数学知识延伸类阅读推荐1.《数学与想象力》- 吴军这本书从数学的历史背景和发展角度出发，介绍了一些经典问题的解决过程和数学家们的思考路径。
通过了解数学的发展历程，读者可以深刻理解数学的思维方式和数学的应用领域。
2.《数学的故事》- 黄侃这本书以通俗易懂的语言，生动有趣的故事情节，讲述了一些数学问题的来龙去脉和数学家们的思考过程。
读者可以从这些故事中了解数学在现实生活中的应用，激发对数学的兴趣和求知欲。
[第三章] 数学实践应用类阅读推荐1.《数学之美》- 吴军这本书通过介绍一些实际问题背后的数学原理和应用案例，让读者了解到数学在现实中的重要性和广泛应用。
通过阅读这本书，学生可以更好地理解数学的实际应用价值，培养数学素养。
2.《数学与艺术的奇妙结合》- 郝毅中本书以大量艺术作品与数学理论相结合的案例，生动形象地展示了数学在艺术领域中的应用。
读者可以通过学习这些案例，触发数学思维，激发创造力，培养审美情趣。
总结：高一数学知识的拓展与延伸阅读对于学生的数学学习十分重要。
适当选择并阅读这些推荐的书籍，可以帮助学生拓宽数学思维，提升解决问题的能力，培养对数学的兴趣和热爱。
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有关高中数学化简与拓展思维的思考
作者：王成柱
来源：《考试与评价》2019年第12期
【摘要】本文以有关高中数学化简与拓展思维的思考为主要内容进行阐述，结合当下高中数学教学的需求为主要依据，从使得学生可以掌握更扎实的基础知识、为学生营造良好学习氛围、积极鼓励学生产生新思路这几方面进行深入探讨和分析，其目的在于加强高中数学简化中拓展思维的发展，其目的在于加强拓展思维在高中数学化简中的价值，旨意为相关研究提供参考资料。
【关键词】高中数学化简; 拓展思维; 基础知识; 良好学习氛围
思维能力是学好数学学科的关键，也是高中数学之中值得培养的一个点，在数学化简教学中教师要努力拓展学生思维空间，为学生提供更多自我思考和学习的机会，积极鼓励学生对数学知识进行思考和学习，使得学生在课堂上思维得到碰撞，感受解题的不同思路，强化学生对数学知识的理解，以此不断提升学生数学问题分析能力，发挥思维意识，强化高中数学教学时效性。
1. 使得学生可以掌握更扎实的基础知识
为培养学生拓展思维，教师要注重基础知识的建立，在实际学习中一旦学生基础知识比较薄弱，那么各种思路就无法形成，对问题的分析能力不足，因为问题的剖析需要数学理论基础知识作为铺垫。
所以，教师要对学生进行数学理论基础知识讲解，使得学生可以基于理论知识上分析问题，并且在学习期间，教师要注重数学知识的化简，开动大脑和思维，从不同角度和方向寻找解决问题的方法。
在学习数学核心概念时，教师要对定理和定律等进行综合分析，学生加强对概念的记忆，再分析具体问题就可以更加简答，在课堂上为学生提供一些典型例子和内容，为学生思维发展奠定基础，使用普通知识点对具体问题进行简化和分析，学生则可以强化对数学知识的理解和掌握，使用自身不足弥补教学偏差和问题，能够在第一时间内对问题进行纠正和分析，引导学生在解决数学问题时要善于使用简单方法进行，只有这样才能够使得基础知识更加牢固，数学思维开发更加深厚。
比如：在学习高三人教版函数图像知识内容时，很多学生对于相关的知识点容易产生混淆心理，对于函数y=f（x）和y=f-1（x）图像都是关于直线y=x对称，而y=f（x）和x=f-1（y）图像相同，为什么当f（x-1）-f（1-x）时，函数y=f（x）图像就是关于y对称的，而
y=f（x-1）和y=f（1-x）的图像缺失关于直线x=1对称的，需要节借助简化形式对图像进行综合分析，寻找内在关系，不能混淆知识点，在解决问题中学生思维则会得以提升，保证学生能够在学习中不断提升自身思维意识。
2. 为学生营造良好学习氛围
在拓展思维训练中，教师要善于结合数学知识为学生营造良好学习氛围，激活学生思维意识，为学生提供一个具体问题进行分析，促进学生解决问题能力发展。
教师在实际教学中要尽量为学生营造轻松学习氛围，师生之间相互尊重，在具体教学中，教师要积极鼓励学生勇敢参与到课堂上学习，使得学生可以积极发表自己的见解和思维，引导学生善于站在不同角度和方向上思考问题，对于拓展学生思维发展具有一定价值和意义。
并且，教师可以借助多元化教学形式无限激发学生学习热情和兴趣，使得学生可以明确思维发展目标。
比如：在学命题时，则可以为学生提供一些拓展类型题，对于任意的x∈R，x3-x2+1≤0的否定命题是（〓）
A. 不存在x∈R，x3-x2+1≤0。
B. 存在x∈R，x3-x2+1≤0。
C. 存在x∈R，x3-x2+1>0。
D. 对任意的x∈R，x3-x2+1>0。
解题过程是将存在改为任意，在进行对结论进行否定，注意存在和任意数学符号表示法，因此最终答案是D。
在学习之中不断提升学生对知识的理解，小组学生通过思维发散形式对不同解决方法进行验证，逐一解决问题，以自主形式研究问题，在课堂上感受知识带来的变化，学生之间相互合作，以合作交流形式解决数学问题，在众多解题思路中选取最简化的形式，为学生拓展思维提供最佳条件。
3. 积极鼓励学生产生新思路
比如：解不等式3<|2x-3|<5
1）根據绝对值定义进行分析，采用分类探究形式求解，当2x-3≥0，不等式则可以化简为3<2x-3<5，解得3<x<4。
当2x-3<0，不等式则可以化简为3<-2x+3<5，解得-1<x<0。
综上最终解集为{x|3<x<4或-1<x<0}
2）转化为不等式进行求解，|2x-3|>3且|2x-3|<5，最终结果为{x|3<x<4或-1<x<0}
3）使用等价命题法进行解决，3<2x-3<5或-5<2x-3<-3，也就是3<x<4或-1<x<0。
最终解集为{x|3<x<4或-1<x<0}
4. 结束语
总而言之，在高中数学教学中，教师要善于使用全新教学方法和对策，对具体问题进行详细分析并使用简化形式进行解决，激活学生思维意识和能力，在课堂上结合知识为学生营造轻松、愉快学习氛围，使得学生对数学知识产生兴趣，能够自觉融入到学习中，强化对基础知识的理解，思维得到碰撞，更好的解决问题，从根本上提升高中数学教学质量。
参考文献
[1] 王智军.高中数学解题中学生拓展性思维的培养[J].考试周刊，2017（14）.
[2] 周森宇.洞察关联拓展思维——数学解题思路巧剖析[J].发明与创新（中学生），2018（1）：36-37.。