三角函数的定义教学课件
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《三角函数的概念》PPT教学课件(第1课时三角函数的概念)
象限．
(2)先判断已知角分别是第几象限角，再确定各三角函数值的符号，最
后判断乘积的符号．
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25
(1)C
[因为点P在第四象限，所以有tan cos
α>0， α<0，
由此可判断角α终边
在第三象限．]
(2)[解] ①∵145°是第二象限角，
∴sin 145°＞0，
∵－210°＝－360°＋150°，
终边关于
x
轴对称，若
sin
α＝15，则
交于点P(x，y)， 则角β的终边与单位圆相交于点
sin β＝________.
Q(x，－y)，
由题意知y＝sin α＝15，所以sin β
＝－y＝－15.]
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4．求值：(1)sin 180°＋cos 90°＋tan 0°. (2)cos253π＋tan－154π. [解] (1)sin 180°＋cos 90°＋tan 0°＝0＋0＋0＝0. (2)cos253π＋tan－154π ＝cos8π＋π3＋tan－4π＋π4 ＝cosπ3＋tanπ4＝12＋1＝32.
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24
三角函数值符号的运用
【例 2】 (1)已知点 P(tan α，cos α)在第四象限，则角 α 终边在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
(2)判断下列各式的符号：
①sin 145°cos(－210°)；②sin 3·cos 4·tan 5.
[思路点拨] (1)先判断 tan α，cos α 的符号，再判断角 α 终边在第几
5．公式一
sin α cos α tan α
8
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1．sin(－315°)的值是( )
三角函数认识ppt课件
辅助角公式
总结词
用于将三角函数式化为单一三角函数的形式。
详细描述
辅助角公式是三角函数中常用的化简工具，它可以将复杂的三角函数式化为单一三角函数的形式，便于计算和理 解。具体公式如下：sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny，cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny， tan(x+y)=(tanx+tany)/(1-tanxtany)。
三角函数认识ppt课件
目录
• 三角函数的定义 • 三角函数的图像与性质 • 三角函数的应用 • 三角函数的变换公式 • 三角函数的特殊值
01
三角函数的定义
角度与弧度的关系
角度制
以度（°）为单位，规定一周为 360度，每度分为60分，每分为 60秒。
弧度制
以弧度（rad）为单位，规定圆的 周长为2π弧度。角度与弧度的转 换公式为：1° = π/180 rad。
三角函数的基本恒等式
正弦、余弦、正切之间的基本恒等式。
利用这些恒等式，可以方便地进行三角函数的转换和化简，对于解决三角函数问 题非常有用。
THANK YOU
积的和差公式
总结词
用于计算两个角的三角函数值的乘积之和或之差。
详细描述
积的和差公式也是三角函数中常用的公式之一，它可以计算两个角的三角函数值 的乘积之和或之差。具体公式如下：sin(x-y)=sinxcosy-cosxsiny，cos(xy)=cosxcosy+sinxsiny，tan(x-y)=(tanx-tany)/(1+tanxtany)。
详细描述
和差角公式是三角函数中非常重要的公式之一，它可以将两个角的三角函数值 相加或相减，得到新的三角函数值。具体公式如下： sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny，cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny， tan(x+y)=(tanx+tany)/(1-tanxtany)。
高中数学课件三角函数ppt课件完整版
归纳法等方法推导出诱导公式。
03
诱导公式的应用
在解三角函数的方程、求三角函数的值、证明三角恒等式等方面有广泛
应用。例如，利用诱导公式可以简化计算过程，提高解题效率。
恒等式及其证明方法
恒等式的基本形式
两个解析式之间的一种等价关系，即对于某个变量或一组变量的取值范围内，无论这些变量 取何值，等式都成立。
拓展延伸：反三角函数简介
01
02
03
04
反三角函数的定义
反正弦、反余弦、反正切等反 三角函数的定义及性质。
反三角函数的图像
反正弦、反余弦、反正切函数 的图像及其与对应三角函数的
关系。
反三角函数的应用
在几何、物理等领域中的应用， 如角度计算、长度测量等。
反三角函数的计算
利用计算器或数学软件进行计 算，求解三角方程等问题。
高中数学课件三角函 数ppt课件完整版
REPORTING
目录
• 三角函数基本概念与性质 • 三角函数诱导公式与恒等式 • 三角函数的加减乘除运算 • 三角函数在解三角形中的应用 • 三角函数在数列和概率统计中的应用 • 总结回顾与拓展延伸
PART 01
三角函数基本概念与性质
REPORTING
三角函数的定义及性质
PART 05
三角函数在数列和概率统 计中的应用
REPORTING
三角函数在数列求和中的应用
利用三角函数的周期 性，将数列求和转化 为定积分计算
结合三角函数的图像 和性质，分析数列的 收敛性和求和结果
通过三角函数的和差 化积公式，简化数列 求和过程
三角函数在概率统计中的应用
利用三角函数表示周期性随机 变量的概率密度函数
三角函数的定义 课件
当a＜0时，r＝－5a，角α为第四象限角，所以
sin α＝yr＝－3a5a＝－35，cos α＝xr＝－－54aa＝45， tan α＝xy＝－3a4a＝－34.
[一点通] 已知角α终边上任意一点的坐标，求其三角函
数值的步骤是：①求r＝|OP|＝
x2＋y2 ；②利用sin
α＝
y r
，
cos α＝xr，tan α＝xy求值．
5．正弦线、余弦线、正切线分别是正弦、余弦、正切 函数的几何表示，三角函数线的长度等于三角函数值的绝 对值．方向表示三角函数值的正负．
[例 1] 根据下列条件求 sin α，cos α，tan α.
π (1)α＝- 3 ； (2)角 α 的终边经过点 P(－4a，3a)(a≠0)．
π [思路点拨] (1)求出－ 3 的终边与单位圆的交点坐标，再 用三角函数的定义求解． (2)用 a 表示 r 即|OP|，因 为 a 的符号不确定，所以要分 a ＞0 和 a＜0 讨论．
∴ sin α＞0，cos α＜0，
∴sin α·cos α＜0.
(5分)
(2)∵π2 ＜3＜π，π＜4＜3π 2 ，
∴sin 3＞0，cos 4＜0.
∵－234π＝－6π＋π4 ，∴tan(－234π)＞0，ห้องสมุดไป่ตู้
∴sin 3·cos 4·tan(－243π)＜0.
(10分)
[一点通] 判断三角函数的符号时，首先要准确确定 角所在的象限，另外准确记忆三角函数值在各象限的符号是 解决这类问题的关键，这个问题是以后解决三角函数求值问 题的基础．
反向延长线于T，有向线段 AT 即为正切线
1．三角函数也是一种函数，它是从一个角的集合到一 个比值的集合的对应．因为角的集合与实数集之间可以建 立一一对应关系，因此三角函数可以看成是自变量为实数 的函数．
sin α＝yr＝－3a5a＝－35，cos α＝xr＝－－54aa＝45， tan α＝xy＝－3a4a＝－34.
[一点通] 已知角α终边上任意一点的坐标，求其三角函
数值的步骤是：①求r＝|OP|＝
x2＋y2 ；②利用sin
α＝
y r
，
cos α＝xr，tan α＝xy求值．
5．正弦线、余弦线、正切线分别是正弦、余弦、正切 函数的几何表示，三角函数线的长度等于三角函数值的绝 对值．方向表示三角函数值的正负．
[例 1] 根据下列条件求 sin α，cos α，tan α.
π (1)α＝- 3 ； (2)角 α 的终边经过点 P(－4a，3a)(a≠0)．
π [思路点拨] (1)求出－ 3 的终边与单位圆的交点坐标，再 用三角函数的定义求解． (2)用 a 表示 r 即|OP|，因 为 a 的符号不确定，所以要分 a ＞0 和 a＜0 讨论．
∴ sin α＞0，cos α＜0，
∴sin α·cos α＜0.
(5分)
(2)∵π2 ＜3＜π，π＜4＜3π 2 ，
∴sin 3＞0，cos 4＜0.
∵－234π＝－6π＋π4 ，∴tan(－234π)＞0，ห้องสมุดไป่ตู้
∴sin 3·cos 4·tan(－243π)＜0.
(10分)
[一点通] 判断三角函数的符号时，首先要准确确定 角所在的象限，另外准确记忆三角函数值在各象限的符号是 解决这类问题的关键，这个问题是以后解决三角函数求值问 题的基础．
反向延长线于T，有向线段 AT 即为正切线
1．三角函数也是一种函数，它是从一个角的集合到一 个比值的集合的对应．因为角的集合与实数集之间可以建 立一一对应关系，因此三角函数可以看成是自变量为实数 的函数．
三角函数的概念课件
x
x
三角函数的概念
设α是一个任意角，α∈R，它的终边与单位圆相交于点P(x，y)，
那么 y sin，x cos，y tan (x 0).
x
可以看出，当 k ,k Z 时，α的终边始终在y轴上，这时P点的横
坐标x等于0，所以
y
2
tan无意义.除此之外，正切tanα与实数α是一一对应
么z1与y1相等吗？对于余弦、正切也有相同的结论吗？
y
利用锐角三角函数概念可得：
P(x，y)
sin MP y y; cos OM x x; tan MP y
OP 1
OP 1
OM x
α
O M 1x
与按本节三角函数定义求得的结论是相同的．
三角函数的概念
【例1】求 5 的正弦、余弦和正切值．
三角函数的概念
锐角α的正弦、余弦和正切叫做角α的锐角三角函数，分别记作sinα， cosα，tanα.
sin
对边 BC
斜边 AB
B
cos
邻边 斜边
=
AC AB
α
tan
对边 BC 邻边 AC
A
C
02
新知探索
New Knowledge explore
三角函数的概念
角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立了一一 对应的关系，下面借助这些知识研究上一节开头提出的问题，即研究单位 圆上点的运动．
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合
S { | k 360 o, k Z}
象限角与轴线角：
把角的顶点固定在原点，角的终边始终与x轴的非负半轴重合.那么，角α的终边在第
几象限，就说这个角是第几象限的角. 如果角的终边落在坐标轴上,这个角称轴线角.
三角函数的定义 课件
命题方向3 ⇨诱导公式(一)的应用
典例 3 求下列各式的值． (1)cos235π＋tan(－145π)； (2)sin810°＋tan765°－cos360°．
[思路分析] 利用诱导公式(一)，将任意角的三角函数转化为 0～2π(或 0°～ 360°)角的三角函数．
已知角
公―诱式―导→一
找在0～2π0°～360°上 与已知角终边相同的角
[错解二] 由题意可得，|OP|＝ －3m2＋m2＝ 10m，
所以
sinα＝
－3m ＝－3 10m
1010.故填－3 1010．
[错因分析] 错解一误认为只有 m>0 的情况而得到 1100，错解二对正弦与余 弦函数定义中比的顺序颠倒而得 sinα＝－130mm＝－31010．
[正解] 由题意可得，
比值yx叫做
α
的正切，记作
tanα，即
y tanα＝__x____．
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为
函数值的函数，我们将它们统称为三角函数(trigonometric function)．
● [知识点拨](1)在任意角的三角函数的定义中，应该明确：α是一个任意角，其范围是使函数有意 义的实数集．
三特角―殊函 ―角→数的值
结果
[解析] (1)原式＝cos(8π＋π3)＋tan(－4π＋π4)＝cosπ3＋tanπ4＝12＋1＝32． (2)原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(2×360°＋45°)－cos(360°＋0°)＝1＋1－1＝ 1．
分类讨论思想在化简三角函数式中的应用
②我们也可以利用角 α 终边上任意一点的坐标来定义三角函数．
设 α 是一个任意角，α 的终边上任意一点 P 的坐标是(x，y)，它与原点的距
高中数学第一章三角函数1.2.1.1三角函数的定义省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件
探究二
探究三
(1)解析:依题意,x2+
5
3
2
3
α=± ,tan α=
2
3
答案:
5
±3
5
±3
思维辨析
2 2
=1,解得
3
5
x=± 3 ,于是
2
sin α=3,cos
2 5
.
5
=±
2 5
5
±
(2) 解析:由已知得 x=-6,y=8,
8
10
所以 r= 2 + 2 =10,于是 sin θ=
8
-6
4
4
一
二
三
3.做一做:求值
(1)sin 780°;
25
(2)cos 4 π;
(3)tan
15
-4π
.
3
2
解:(1)sin 780°=sin(2×360°+60°)=sin 60°= .
25
π
π
2
(2)cos 4 π=cos 3 × 2π + 4 =cos4 = 2 .
15
π
π
(3)tan - 4 π =tan -2 × 2π + 4 =tan4=1.
第27页
探究一
探究二
探究三
思维辨析
忽视对参数的分类讨论致误
【典例】 角 α 的终边过点 P(-3a,4a),a≠0,则 cos
α=
.
错解因为 x=-3a,y=4a,所以 r= (-3)2 + (4)2 =5a,于是 cos
-3 3
α= 5 =-5.
错解错在什么地方?你能发现吗?怎样避免这类错误呢?
《三角函数的概念》三角函数课件三角函数的概念
将图像沿着某个固定点旋转一定角度后，再Байду номын сангаас图像沿着某个垂直于x轴或y轴 的对称轴进行反射，图像上每个点在旋转时相对固定点做相应角度的旋转， 同时关于对称轴的对应点互为相反数。
06
三角函数的应用
三角函数在求解方程中的应用
三角函数在求解一元二次方程中的应用
通过引入三角函数，可以将一元二次方程的求解问题转化成三角函数的问题，从 而利用三角函数的性质和公式求解。
综合训练
组织综合训练，提高学生运用 三角函数解决实际问题的能力
。
02
三角函数的概念及发展历程
三角函数的定义
直角三角形边长关系
三角函数基于直角三角形边长关系，通过角度和边长之间的对应关系，建立了函数与角度之间的联系。
任意角的三角函数
将直角三角形中只与角度有关的函数扩展到任意角，引进了正弦、余弦、正切等概念。
三角函数在电磁学中的应用
在电磁学中，有些问题涉及到电场、磁场的变化和分布，需 要使用三角函数进行求解。例如，在求解通电导线的磁场分 布时，可以将磁场表示成三角函数的形式，再利用三角函数 的性质进行求解。
三角函数在经济中的应用
三角函数在金融领域中的应用
在金融领域中，有些问题涉及到利率、汇率等变量的变化和预测，需要使用 三角函数进行求解。例如，在预测汇率的变化时，可以将汇率表示成三角函 数的形式，再利用三角函数的性质进行求解。
单位圆定义
利用单位圆定义了三角函数，将三角函数与复数建立了联系，为单位圆内的点与复数一一对应。
三角函数的发展历程
01
02
03
古希腊三角学
三角函数起源于古希腊数 学家的工作，他们利用三 角函数解决天文、地理等 问题。
06
三角函数的应用
三角函数在求解方程中的应用
三角函数在求解一元二次方程中的应用
通过引入三角函数，可以将一元二次方程的求解问题转化成三角函数的问题，从 而利用三角函数的性质和公式求解。
综合训练
组织综合训练，提高学生运用 三角函数解决实际问题的能力
。
02
三角函数的概念及发展历程
三角函数的定义
直角三角形边长关系
三角函数基于直角三角形边长关系，通过角度和边长之间的对应关系，建立了函数与角度之间的联系。
任意角的三角函数
将直角三角形中只与角度有关的函数扩展到任意角，引进了正弦、余弦、正切等概念。
三角函数在电磁学中的应用
在电磁学中，有些问题涉及到电场、磁场的变化和分布，需 要使用三角函数进行求解。例如，在求解通电导线的磁场分 布时，可以将磁场表示成三角函数的形式，再利用三角函数 的性质进行求解。
三角函数在经济中的应用
三角函数在金融领域中的应用
在金融领域中，有些问题涉及到利率、汇率等变量的变化和预测，需要使用 三角函数进行求解。例如，在预测汇率的变化时，可以将汇率表示成三角函 数的形式，再利用三角函数的性质进行求解。
单位圆定义
利用单位圆定义了三角函数，将三角函数与复数建立了联系，为单位圆内的点与复数一一对应。
三角函数的发展历程
01
02
03
古希腊三角学
三角函数起源于古希腊数 学家的工作，他们利用三 角函数解决天文、地理等 问题。
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§1.2.1 三角函数的定义
探新究二课：引如入果改变点Ｐ在终边上的位置，
这三个在比直值角坐会标改系变中吗如？何表示锐角的正弦、余
弦、正切？
记 r | OP | x2 y2
sin | MP | = y | OP | r
﹒ y P x ,y
cos | OM | = x | OP | r
任意角三角函数的定义
(4)的余切:cot
1
tan
x; y
(5)的正割：sec
1
cos
r; x
(6)的余割:csc
1
sin
r y
;
y
O
x
P(x，y)
正余弦、正余切、正余割统称为三角函数
例 题1
已知角α的终边经过P点(2,-3)，求角α 的正弦、余弦、正切值。
(3)、已知是第三象限角且cos <0，问 是第几象限角？
2
2
1. 内容总结： ①任意角三角函数的定义. ②三角函数的定义域以及三角函数在各 象限的符号
2 .方法总结： 运用了定义法、数形结合法解题.
3 .体现的数学思想：
分类讨论的思想，数形结合的思想.
当堂训练
1、角的终边经过点P(2,3)，则有( C
x
2
o
x
-3
P(2，-3)
反思：若已知角终边上点的坐标，可直接利用定
义求三角函数值。
已知角的终边落在直线y=x上， 求角的正弦，余弦和正切。
反思：当角终边的位置不确定时，需要分类讨论
P(x,y)
sin y
r
ox
cos x
r
tan y
xБайду номын сангаас
规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦
第几象限角
解：因为sinα<0，所以α是第三或者第四象限角 或者是终边落在y轴负半轴上的角；
因为tanα>0，所以α是第一或者第三象限的角.
因此满足sinα<0且tanα>0的α是第三象限角.
注意：准确记忆三角函数值在各象限符号 是解决这类问题的基础
（1）tan（10 ）的符号
3
（2）sin cos 0,则是第几象限角？
一 有
个正弦值、余弦值与之相对应。
sin α，cos α是否为角α的函数？ 如果是，那么它们的定义域是什么？
R
对于任意给定的一个角α
2
k
•
,k
Z
一 有
个正切值与之相对应。
tan α是否为角α的函数？ 如果是，那么它的定义域是什么？
2
k
•
,
k
Z
)
A、sin
2 13 13
B、cos
13 2
C、
sin
3 13 13
D、tan
2 3
2、若角的终边在直线y 2x上，则 sin 等于( C )
A、
1 5
B、
5 5
C、
25 5
D、
1 2
• 有关的数学名言
• ◇数学知识是最纯粹的逻辑思维活动，以及 最高级智能活力美学体现。——普林舍姆 ◇历史使人聪明，诗歌使人机智，数学使人 精细。——培根 ◇数学是最宝贵的研究精神之一。——华罗 庚
tan
| MP |
| OM |
=
y x
o
M
1x
任意角三角函数的定义
(记1)作比s值inyr叫,即做sin的正弦yr，; (记2)作比c值osxr叫,即做cos的余弦xr，; (记3)作比t值anyx叫,即做tan的正切，yx ;
y
O
x
P(x，y)
对于任意给定的一个角α，
◇没有哪门学科能比数学更为清晰地阐明自 然界的和谐性。——卡罗斯 ◇数学是规律和理论的裁判和主宰者。—— 本杰明
例2：确定下列各三角函数值的符号
（1）cos260° （2）sin（- ）
3
260°是第三象限角
是第四象限角，
cos260 0 3
(1) cos 260?
所以sin（-
）<0.
3
注意：给出任意角判断三角函数值，也 就是去判断任意角是第几象限角。
例3：设sinα<0且tanα>0, 试确定α是
探新究二课：引如入果改变点Ｐ在终边上的位置，
这三个在比直值角坐会标改系变中吗如？何表示锐角的正弦、余
弦、正切？
记 r | OP | x2 y2
sin | MP | = y | OP | r
﹒ y P x ,y
cos | OM | = x | OP | r
任意角三角函数的定义
(4)的余切:cot
1
tan
x; y
(5)的正割：sec
1
cos
r; x
(6)的余割:csc
1
sin
r y
;
y
O
x
P(x，y)
正余弦、正余切、正余割统称为三角函数
例 题1
已知角α的终边经过P点(2,-3)，求角α 的正弦、余弦、正切值。
(3)、已知是第三象限角且cos <0，问 是第几象限角？
2
2
1. 内容总结： ①任意角三角函数的定义. ②三角函数的定义域以及三角函数在各 象限的符号
2 .方法总结： 运用了定义法、数形结合法解题.
3 .体现的数学思想：
分类讨论的思想，数形结合的思想.
当堂训练
1、角的终边经过点P(2,3)，则有( C
x
2
o
x
-3
P(2，-3)
反思：若已知角终边上点的坐标，可直接利用定
义求三角函数值。
已知角的终边落在直线y=x上， 求角的正弦，余弦和正切。
反思：当角终边的位置不确定时，需要分类讨论
P(x,y)
sin y
r
ox
cos x
r
tan y
xБайду номын сангаас
规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦
第几象限角
解：因为sinα<0，所以α是第三或者第四象限角 或者是终边落在y轴负半轴上的角；
因为tanα>0，所以α是第一或者第三象限的角.
因此满足sinα<0且tanα>0的α是第三象限角.
注意：准确记忆三角函数值在各象限符号 是解决这类问题的基础
（1）tan（10 ）的符号
3
（2）sin cos 0,则是第几象限角？
一 有
个正弦值、余弦值与之相对应。
sin α，cos α是否为角α的函数？ 如果是，那么它们的定义域是什么？
R
对于任意给定的一个角α
2
k
•
,k
Z
一 有
个正切值与之相对应。
tan α是否为角α的函数？ 如果是，那么它的定义域是什么？
2
k
•
,
k
Z
)
A、sin
2 13 13
B、cos
13 2
C、
sin
3 13 13
D、tan
2 3
2、若角的终边在直线y 2x上，则 sin 等于( C )
A、
1 5
B、
5 5
C、
25 5
D、
1 2
• 有关的数学名言
• ◇数学知识是最纯粹的逻辑思维活动，以及 最高级智能活力美学体现。——普林舍姆 ◇历史使人聪明，诗歌使人机智，数学使人 精细。——培根 ◇数学是最宝贵的研究精神之一。——华罗 庚
tan
| MP |
| OM |
=
y x
o
M
1x
任意角三角函数的定义
(记1)作比s值inyr叫,即做sin的正弦yr，; (记2)作比c值osxr叫,即做cos的余弦xr，; (记3)作比t值anyx叫,即做tan的正切，yx ;
y
O
x
P(x，y)
对于任意给定的一个角α，
◇没有哪门学科能比数学更为清晰地阐明自 然界的和谐性。——卡罗斯 ◇数学是规律和理论的裁判和主宰者。—— 本杰明
例2：确定下列各三角函数值的符号
（1）cos260° （2）sin（- ）
3
260°是第三象限角
是第四象限角，
cos260 0 3
(1) cos 260?
所以sin（-
）<0.
3
注意：给出任意角判断三角函数值，也 就是去判断任意角是第几象限角。
例3：设sinα<0且tanα>0, 试确定α是