5.2.1三角函数的概念
5.2.1 三角函数的概念(教学设计)
5.2.1 三角函数的概念课程目标1.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．2.掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号．3.掌握公式一并会应用．数学学科素养1.数学抽象：理解任意角三角函数的定义；2.逻辑推理：利用诱导公式一求三角函数值；3.直观想象：任意角三角函数在各象限的符号；4.数学运算：诱导公式一的运用.重点：①借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义；②掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号.难点：理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
一、情景导入在初中我们学习了锐角三角函数，那么锐角三角函数是如何定义的？若将锐角放入直角坐标系中，你能用角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？若以单位圆的圆心O为原点，你能用角的终边与单位圆的交点来表示锐角三角函数吗？那么，角的概念推广之后，三角函数的概念又该怎样定义呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本177-180页，思考并完成以下问题1．任意角三角函数的定义？2．任意角三角函数在各象限的符号？3．诱导公式一？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究 1．单位圆在直角坐标系中，我们称以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆． 2．任意角的三角函数的定义(1)条件在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么：图1-2-1 (2)结论①y 叫做α的正弦，记作sin_α，即sin α＝y ； ②x 叫做α的余弦，记作cos_α，即cos α＝x ； ③y x 叫做α的正切，记作tan_α，即tan α＝yx (x ≠0)． (3)总结正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数．思考：若已知α的终边上任意一点P 的坐标是(x ，y )，则其三角函数定义为？在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P 的坐标是(x ，y )，它与原点O 的距离是r (r ＝x 2＋y 2＞0)． 三角函数定义定义域 名称 sinα yr R 正弦 cosα x r R余弦tanαy x⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α≠k π＋π2，k ∈Z正切正弦函数、余弦函数、正切函数统称三角函数. 3．正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域三角函数 定义域 sin α R cos αRtan α⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z4．正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号 (1)图示：图1-2-2(2)口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．四、典例分析、举一反三题型一 三角函数的定义及应用例1：求53π的正弦、余弦和正切值.例2 在平面直角坐标系中，角α的终边在直线y ＝－2x 上，求sin α，cos α，tan α的值． 【解析】当α的终边在第二象限时，在α终边上取一点P (－1，2)，则r ＝－12＋22＝5，所以sin α＝25＝255，cos α＝－15＝－55，tan α＝2－1＝－2.当α的终边在第四象限时， 在α终边上取一点P ′(1，－2)， 则r ＝12＋－22＝5，所以sin α＝－25＝－255，cos α＝15＝55，tan α＝－21＝－2.基础练习题 1、求π4、3π2、7π6的三角函数值.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 本节课我们主要学习了哪些内容? 1.三角函数的定义.2.运用三角函数数学思想解决问题.六、板书设计七、作业课本179页练习及182页练习.本节课主要采用讲练结合与分组探究的教学方法，借助单位圆探究任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的概念，且借助单位圆与直角坐标系探究三角函数在各个象限符号，并会灵活运用.。
5.2.1 三角函数的概念
答案:-
-
,tan α=
α= .
,
,则 sin α=
.
？
二、正弦函数、余弦函数、正切函数值在各象限的符号
1.在平面直角坐标系Oxy中,设α是一个任意角,它的终边与单
位圆相交于点P(x,y).
(1)根据三角函数的定义,三角函数值的符号与什么有关系?
提示:与点P的纵坐标和横坐标的符号有关.
(2)当|OP|=r时,sin α,cos α,tan α的值怎样表示?
提示:sin α=,cos
α=,tan α=.
(3)对确定的锐角α,sin α,cos α,tan α的值是否随点P在终边上
的位置的改变而改变?
提示:不会.因为三角函数值是比值,其大小与点P(x,y)在终边
上的位置无关,只与角α的终边位置有关,即三角函数值的大
即=tan α(x≠0).=tan α(x≠0)也是以角为自变量,以单位
圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数,称为正切
函数.
？
(2)将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数,
记为:正弦函数 y=sin x,x∈R ;余弦函数 y=cos x,x∈R ;
正切函数 y=tan x, x≠ +kπ(k∈Z) .
的实际情况对参数进行分类讨论.
？
【变式训练1】 (1)求角π的正弦值、余弦值和正切值;
(2)已知角α的终边过点P(-3a,4a)(a≠0),求2sin α+cos α的值.
解:(1)因为角π的终边与单位圆的交点坐标为(-1,0),
高中数学必修一(人教版)《5.2.1 三角函数的概念》课件
题型三 诱导公式一的应用 【学透用活】
对诱导公式一的三点说明 (1)公式一的实质是终边相同的角的三角函数值相等． (2)公式一的结构特征： ①左、右为同一三角函数； ②公式左边的角为α＋k·2π，右边的角为α. 注意公式一中的条件k∈Z不可遗漏． (3)公式一的作用：把求任意角的三角函数值转化为求0～2π(或0°～360°) 范围内的角的三角函数值．
[方法技巧] 利用三角函数的定义求角的三角函数值的类型
(1)若已知角，则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标，即可求出各 三角函数值．
(2)若已知角 α 终边上一点 P(x，y)(x≠0)为单位圆上的点，则 sin α＝y，cos α＝x，tan α＝xy.
(3)若已知角 α 终边上一点 P(x，y)(x≠0)不是单位圆上一点，则 sin α＝yr， cos α＝xr，tan α＝xy(r＝ x2＋y2)．
(2)若sin α＝sin β，则α＝β.
答案：(1)√ (2)×
2．sin(－315°)的值是
A．－
2 2
B．－12
C.
2 2
D.12
解析：sin(－315°)＝sin(－360°＋45°)＝sin
45°＝
2 2.
答案：C
() ()
()
3．tan235π＝________. 解析：tan235π＝tan8π＋π3＝tanπ3＝ 3. 答案： 3
sin
α＝
2 ＝2 5
5
5，cos
α＝
1＝ 5
55，tan
α＝21＝2.
当角 α 的终边在第三象限时，在角 α 的终边上取点 Q(－1，－2)，由 r＝|OQ|
＝ －12＋－22＝ 5，
5.2.1三角函数的概念课件高一数学(人教A版必修第一册)
在射线上的取点 −1, 3 ，
即角 的终边经过点 −1, 3 ，
则 =
−1
2
+
3
2
= 2，
利用三角函数定义可得
sin =
=
3
，cos
2
tan =
=
3
−1
3
2
所以sin =
=
=
−1
2
1
=− ，
2
= − 3；
1
, cos = − 2 , tan = − 3.
（3）在角− 的终边上取一点 , − ，即 = , = −, = ，
= − , −
（4）在角 的终边上取一点
则 −
则 =
,
=−
=
,
−
= −；
−, ，即 = −, = , = ，
当 = 或
时，点的坐标是(, )和(− ， )
一般地，任意给定一个角，它的终边与单位圆交点的坐标能唯一确定吗？
∀ ∈ , 其终边与单位圆交点的横坐标, 纵坐标唯一确定.
新知1：三角函数的定义
（1）把点的纵坐标叫做的正弦函数，记作 ，
即 = .
π
转 3 弧度，滚珠 按顺时针方向每秒钟转 6 弧度，相遇后发生碰撞，各自按照原来的速度大小反向运动．
(1)求滚珠 ， 第一次相遇时所用的时间及相遇点的坐标；
5.2.1三角函数的概念课件(人教版)
13
5
13
5
12
则sinα= ，cosα= ，tanα= ．
六、归纳小结提高认识
1.知识：三角函数的定义及其定义域.
2.数学思想方法：数形结合思想；类比法.
七、布置作业 检测目标
课本179-180页练习1、2、3、4题.
谢
谢！
作x轴的垂线PM,P0M0,垂足分别为M,M0,则
|P0M0|=|y0|,|PM|=|y|,|OM0|=|x0|,|OM|=|x|,△OMP∽△OM0P0.
因为y0与y同号，所以y0= .即sinα= .
同理可得cosα= , tanα= .
于是
0 0
1
=
,即|y0|= .
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位
圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，
我们将它们统称为三角函数
2.三角函数的定义域：
三角函数
定义域
sin α
R
cos α
R
tan α
| ≠ ＋， ∈
2
四、举例应用掌握定义
5
例1.求 的正弦、余弦和正切值.
3
5
解：在直角坐标系中，作∠AOB= ，易知∠AOB的终边与单
在锐角的终边上任取一点P(a, b),
设 OP r a 2 b2 0
P(a
, b)
y
P ( a, b)
MP b
sin
OP r
OM a
cos
OP
r
tan
5.2.1 三角函数的概念-(新教材人教版必修第一册)(36张PPT)
第二 阶段
课堂探究评价
关键能力 素养提升
类型一：利用三角函数的定义求三角函数值
典例示范
【例 1】 已知角 θ 的终边上一点 P(x,3)(x≠0)，且 cos θ＝ 1100x， 求 sin θ，tan θ.
解：由题意知 r＝|OP|＝ x2＋9，由三角函数定义得 cos θ＝xr＝
x x2＋9.
cos cos
xx＋ttaann
xx＝－2；
当
x
是第三象限角时，cos
x＝－cos
x，tan
x＝tan
x，∴y＝ccooss
x
x
＋ttaann xx＝0；
当
x
是第四象限角时，cos
x＝cos
x，tan
x＝－tan
x，∴y＝ccooss
x
x
＋ttaann xx＝0. 故所求函数的值域为{－2,0,2}．
类型三：诱导公式一的应用
典例示范
【例 5】计算下列各式的值： (1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)·sin 750°； (2)sin－116π＋cos152π·tan 4π.
解 ： (1) 原 式 ＝ sin( － 4×360°＋ 45°)cos(3×360°＋ 30°) ＋ cos( －
(1)sin 3，cos 4，tan 5；
(2)sin(cos θ)(θ 为第二象限角)． 解：(1)∵π2<3<π<4<32π<5<2π， ∴3,4,5 分别在第二、三、四象限， ∴sin 3>0，cos 4<0，tan 5<0. (2)∵θ 是第二象限角， ∴－π2<－1<cos θ<0，∴sin(cos θ)<0.
三角函数的概念解析
5.2.1 三角函数的概念知识点1 任意角的三角函数1．定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点(,)P x y ，那么：sin y α=，cos x α=，tan (0)yx xα=≠． 2．推广：设点(,)P x y 是角α终边上任意一点且不与原点重合，r OP =，则：sin y r α=，cos x r α=，tan (0)yx xα=≠． 注：三角函数的值与点P 在终边上的位置无关，仅与角的大小有关，我们只需计算点到原点的距离22r OP x y ==+，那么22sin x y α=+22cos x y α=+tan (0)yx xα=≠知识点2 正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号 1．图示：2．口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．意为：第一象限各三角函数值均为正；第二象限只有正弦值为正，其余均为负；第三象限只有正切值为正，其余均为负；第四象限只有余弦值为正，其余均为负．考点一 三角函数的定义及应用解题方略：(1)求已知角三角函数值，一般求已知角的终边与单位圆的交点坐标，再利用三角函数的定义求解． (2)已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解．sin y r α=，cos x r α=，tan y xα=. 注：利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值时，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x ，纵坐标y ，该点到原点的距离r ．(3)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后利用三角函数的定义求出相应的三角函数值． ①注意到角的终边为直线，所以应分两种情况来处理，取射线上任一点坐标(,)(0)a b a ≠，则对应角的正弦值22sin a b α=+，余弦值22cos a b α=+tan baα=. 注：若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意“在终边上任取一点”应分两种情况(点所在象限不同)进行分析．(4)当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.(一)利用定义求角的三角函数值【例1-1】已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点(2,1)-，则sin α的值为( )A ．5B 5C ．25D 25【答案】B【解析】已知点()2,1P -，则()22215r OP ==-+5sin =5y r α=.变式1-1-1：若角α的终边经过点2(5,)1P -，则sin α=_______，cos α=______，tan α=________．【答案】1213-；513；125- 【解析】因为5,12x y ==-，所以225(12)13r =+-，则12512sin ,cos tan 13135y x y r r x ααα==-====-，．变式1-1-2：已知角α的终边过点()43-，，则2sin cos αα+=( ) A ．1 B ．25-C ．25D ．1-【答案】B【解析】因为角α的终边过点()43-，， 所以()()222234sin ,cos 554343αα=-==+-+-，所以3422sin cos 2555αα⎛⎫+=⨯-+=- ⎪⎝⎭，变式1-1-3：(多选)已知函数()()log 2401a f x x a a =-+>≠且的图象经过定点A ，且点A 在角θ的终边上，则11tan sin θθ+的值可能是( ) A ．2 B ．3 C 171+ D 171+【答案】AC【解析】由题意，可知(3,4)A 或(1,4)A ，当点是(3,4)A 时，由三角函数的定义有2244tan ,sin 3534θθ==+，所以11352tan sin 44θθ+=+=； 当点是(1,4)A 时，由三角函数的定义有224tan 4,sin 11714θθ==+11117171tan sin 4θθ+∴+==变式1-1-4：(多选)若角α的终边上有一点(4,)P a -，且3sin cos αα⋅=，则a 的值为( ) A ．3 B 3 C ．43-D ．43【答案】CD【解析】由三角函数的定义可知，()22sin 4a α=-+()22cos 4a α=-+又3sin cos αα⋅=，则()22434a a -=-+43a =-433(二)由三角函数值求终边上的点或参数【例1-2】已知角α的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点()02,y -，若π3α=，则0y 的值为( )． A ．3- B ．23C ．3D 23【答案】A【解析】因为角α终边经过点()02,y -，且3πα=，所以0πtan332y =-023y =-变式1-2-1：已知角θ的终边经过点(,3)M m m -，且1tan 2θ=，则m =( )A ．12B ．1C ．2D ．52【答案】C【解析】由题意31tan 2m m θ-==，解得2m =．变式1-2-2：已知()2,P y -是角θ终边上一点，且22sin θ=y 的值是( ) A ．22B 22C ．434D 434【答案】D【解析】因为()2,P y -是角θ终边上一点，22sin 05θ=>，故点()2,P y -位于第二象限 所以0y >，2222sin (2)y θ==-+21732y =，因为0y >，所以434y =变式1-2-3：已知角θ的终边经过点()21,2a a +-，且3cos 5θ=，则实数的a 值是( )A ．2-B ．211C ．2-或211D ．1【答案】B2235(21)(2)a a =++-且210a +>，即12a >-，①2244195525a a a ++=+，则2112040a a +-=，解得2a =-或211a =，综上，211a =.变式1-2-4：已知角α的终边上有一点(3P m ，且2cos 4mα=，则实数m 取值为______．【答案】0或5【解析】因为角α的终边上有一点(3P m ， 所以22cos 43mm α==+，解得0m =或5±(三)由单位圆求三角函数值【例1-3】已知角α的终边与单位圆交于点132P ⎛- ⎝⎭，则sin α的值为( )A. 3 B ．12-C 3D ．12【答案】C【解析】因为角α的终边与单位圆交于点132P ⎛- ⎝⎭，所以根据三角函数的定义可知，3sin y α==．变式1-3-1：角α的终边与单位圆的交点A 3sin α=________，若点A 沿单位圆逆时针运动到点B ，所经过的弧长为2π，则转过的角度为________． 132π 【解析】α的终边与单位圆的交点A 3可得：3cos α=sin 0α>，则有：22313sin 1cos 14αα⎛⎫=--=⎪⎝⎭点A 沿单位圆逆时针运动到点B ，所经过的弧长为2π，可得：2AOB π∠=变式1-3-2：已知角α的终边与单位圆交于点36(P ，则sin cos αα⋅=( ) A 3 B ．2C ．3D 2【答案】B【解析】α的终边与单位圆交于点36(P ,故36||1,r OP x y ====， 故636333sin cos 11y x r r αα==== 所以632sin cos 3αα⋅=（=-，(四)已知角α的终边在直线上求三角函数值【例1-4】已知角α的终边落在射线2(0)y x x =≥上，求sin α，cos α的值．【解析】设射线2(0)y x x =≥上任一点00(,)P x y ，则002y x =，220005OP r x y x ∴==+=，00025sin 55y r x α∴===，0005cos 55x r x α===.变式1-4-1：已知α的终边落在直线2y x =上，求sin α，cos α的值255255【解析】①若α的终边在第一象限内，设点(,2)(0)P a a a >是其终边上任意一点22(2)5(0)r OP a a a a ==+=>25sin 55y r a α∴===，5cos 55x r a α===①若α的终边在第三象限内，设点(,2)(0)P a a a <是其终边上任意一点22(2)5(0)r OP a a a a ==+=-<25sin 5y r a α∴===-，5cos 5x r a α===-变式1-4-2：α是第二象限角，其终边上一点(5P x ，且2cos x α=，则sin α的值为( ) A 10 B 6 C 2 D ．10 【答案】A【解析】由题意可知0x <，22cos 5x x α=+，解得3x =-510sin 35α==+考点二 三角函数值符号的判定解题方略：三角函数值符号的判断方法要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定函数值的符号．如果角不能确定所在象限，那就要进行分类讨论求解．(一)已知角或角的范围确定三角函数式的符号【例2-1】坐标平面内点P 的坐标为()sin5,cos5，则点P 位于第( )象限.A ．一B ．二C ．三D ．四【答案】B 【解析】32π2π5<<，sin50,cos50∴<>，则点P 位于第二象限，变式2-1-1：若α为第四象限角，则( )A ．cos 2α＞0B ．cos 2α＜0C ．sin 2α＞0D ．sin 2α＜0 【答案】D【解析】法一：因为α为第四象限角，22,2k k k Z ππαπ∴-<<∈，424,k k k Z ππαπ∴-<<∈所以2α的终边在第三象限、第四象限或y 轴的负半轴上，所以sin 20α<.法二：因为α为第四象限角，sin 0α∴<，cos 0α>，sin 22sin cos 0ααα∴=<.变式2-1-2：下列各选项中正确的是( )A ．sin300>0︒B ．cos(305)0-︒<C ．22tan 03π⎛⎫-> ⎪⎝⎭D ．sin100<【答案】D【解析】30036060︒=︒-︒，则300︒是第四象限角，故sin3000︒<；30536055-︒=-︒+︒，则305-︒是第一象限角，故cos(305)0-︒>；222833πππ-=-+，则223π-是第二象限角，故22tan 03π⎛⎫-< ⎪⎝⎭； 73102ππ<<，则10是第三象限角，故sin100<，故选D.变式2-1-3：下列各式：①()sin 100-︒； ①()cos 220-︒； ①()tan 10-； ①cos π. 其中符号为负的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】D【解析】100-︒，故()sin 1000-︒<；220-︒在第二象限，故()cos 2200-︒<；710,32ππ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭在第二象限，故()tan 100-<，cos 10π=-<.(二)由三角函数式的符号确定角的范围或象限【例2-2】已知sin tan 0θθ⋅<，则角θ位于第________象限．【答案】二或三【解析】当θ为第一象限角时，sin 0θ>，tan 0θ>，sin tan 0θθ⋅>； 当θ为第二象限角时，sin 0θ>，tan 0θ<，sin tan 0θθ⋅< 当θ为第三象限角时，sin 0θ<，tan 0θ>，sin tan 0θθ⋅< 当θ为第四象限角时，sin 0θ<，tan 0θ<，sin tan 0θθ⋅> 综上，若sin tan 0θθ⋅<，则θ位于第二或第三象限变式2-2-1：已知sin 0θ<且tan 0θ<，则θ是( )A ．第一象限的角B ．第二象限的角C ．第三象限的角D ．第四象限的角【答案】D【解析】sin 0θ<，则θ是第三、四象限的角，tan 0θ<，则θ是第二、四象限的角 ①θ是第四象限的角变式2-2-2：若角α满足sin cos 0αα⋅<，cos sin 0αα-<，则α在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】sin cos 0αα⋅<，α是第二或第四象限角；当α是第二象限角时，cos 0α<，sin 0α>，满足cos sin 0αα-<； 当α是第四象限角时，cos 0α>，sin 0α<，则cos sin 0αα->，不合题意； 综上所述：α是第二象限角.变式2-2-3：若sin tan 0αα<，且cos 0tan αα<，则角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角【答案】C【解析】由sin tan 0αα<可知sin α,tan α异号，从而α是第二或第三象限角．由cos 0tan αα<可知cos α，tan α异号，从而α是第三或第四象限角． 综上可知，α是第三象限角．变式2-2-4：已知点P (tan α，cos α)在第四象限，则角α的终边在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】因为点P 在第四象限，所以有tan 0cos 0αα>⎧⎨<⎩，由此可判断角α的终边在第三象限．变式2-2-5：若cos α与tan α同号，那么α在( )A ．第一、三象限B ．第一、二象限C ．第三、四象限D ．第二、四象限 【答案】B【解析】因为cos α与tan α同号，则cos α与tan α的乘积为正，即正弦值为正，所以α在第一、二象限.变式2-2-6：在ABC 中，A 为钝角，则点()cos ,tan P A B 在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】B【解析】在ABC 中，A 为钝角，则B 为锐角，则cos 0,tan 0A B <>，则点()cos ,tan P A B 在第二象限变式2-2-7：已知角α的终边经过点(39,2)a a -+，且cos 0α≤，sin 0α>，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．[－2,3)D ．[－2,3] 【答案】A【解析】①cos 0α≤，sin 0α>，①角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上． ①39020a a -≤⎧⎨+>⎩ ①23a -<≤ .。
5.2.1 三角函数的概念 教学设计(2)
【新教材】5.2.1 三角函数的概念三角函数是描述周期运动现象的重要的数学模型，有非常广泛的应用。
三角函数的概念是在初中对锐角三角函数的定义以及刚学过的“角的概念的推广”的基础上讨论和研究的。
三角函数的定义是本章最基本的概念，对三角内容的整体学习至关重要，是其他所有知识的出发点。
紧紧扣住三角函数定义这个宝贵的源泉，可以自然地导出本章的具体内容：三角函数线、定义域、符号判断、值域、同角三角函数关系、多组诱导公式、多组变换公式、图象和性质。
三角函数的定义在教材中起着承前启后的作用，一方面，通过这部分内容的学习，可以帮助学生更加深入理解函数这一基本概念，另一方面它又为平面向量、解析几何等内容的学习作必要的准备。
三角函数知识还是物理学、高等数学、测量学、天文学的重要基础。
课程目标1.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．2.掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号．3.掌握公式一并会应用．数学学科素养1.数学抽象：理解任意角三角函数的定义；2.逻辑推理：利用诱导公式一求三角函数值；3.直观想象：任意角三角函数在各象限的符号；4.数学运算：诱导公式一的运用.重点：①借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义；②掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号.难点：理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
一、情景导入在初中我们学习了锐角三角函数，那么锐角三角函数是如何定义的？若将锐角放入直角坐标系中，你能用角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？若以单位圆的圆心O为原点，你能用角的终边与单位圆的交点来表示锐角三角函数吗？那么，角的概念推广之后，三角函数的概念又该怎样定义呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本177-180页，思考并完成以下问题1．任意角三角函数的定义？2．任意角三角函数在各象限的符号？3．诱导公式一？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
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研究。
sin =
=
cos =
=
tan =
=
设P(a,b)是终边上任意点
这种定义法称为终边定义法
思考3：为了使sinα ，cosα的表示式更简单，你认为点P的位置选
在何处最好？为什么有如此一问？那是因为我们人是追求简单与
美的。把复杂问题简单化是人不懈的追求。
求不出来怎办？
求不出来，求不出来不要求，就用sin这个符号表示
这个对应法则，即f=sin。所以，y=f(A)=sinA
同理，cos、tan也与
sin一样
上述定义只限于直角三角形中的锐角，
而现在角的定义已经拓广到任意角，如:
°
120 =?
cos150° =?
°
tan315 =?
一、任意角的三角函数
按章建跃老师的−
,tan
=
。
−
同学们，疑问：那四个象限岂不是三角函
数值都一样了？
sin在第一、二象限是正，在第三、四
象限是负。cos在第一、四象限是正，
在二、三象限是负。tan在第一、三象
限是正，在二、四象限是负，并且终边
不能落在y轴。
同学们以为定义是四个象限不同，
但结果相同。正确的是定义四个象
跟这节课讲的内容有关。
同学们，初中我们学过锐角三角函数正弦sinA、余弦cosA、正切tanA,我想问
sin、cos、tan是什么意思？这个问题在初中很难讲清楚，但在高中可以讲清楚。
sinA=
=
=
=
对于任意的锐角A，都有唯一的一个比值y与它对应。
同学们，这样的对应法则f它的解析式能求出来吗？
《2017版高中数学课程标准》修订组组长史宁中教授认为：
数学是基础教育阶段最为重要的学科之一，其终极培养目标可以描述为：会用数
学的眼光观察现实世界；会用数学的思维思考现实世界；会用数学的语言表达现实世
界。
那数学上如何表达刻画这种周期现象？
那就是用三角函数来刻画。为什么三角函数可以刻画表达周期现象，这
公式作用：可以把求任意角的三角函数值，
°
转化为求 0~2（或0° ~360
角的三角函数值
.
）
现在终于知道
三角函数为什
么能刻画自然
或社会里的周
期现象了吧？
备课后记
不管是用终边定义法定义三角函数，还是用单位圆法定义三角函数，都逃脱不
了学生这样的追问:
1、老师，初中里的锐角三角函数与高中的三角函数有什么关系？
o
x
（ +） （ ）
sin
cos
tan
需要死记硬背吗？ 只要紧紧抓住三角函数的定义就可以了。
是任
意角
sin < 0
例4若ቄ
成立，则角为第几象限角角？
> 0
sin < 0
三、四
tan > 0
三
一
？ 如果两个角的终边相同，那么这两个角
的同一三角函数值有何关系？
终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）
|OP|=r=1
以原点为圆心,以单位长
度为半径的圆叫做单位
圆.
Y
P(a,b)
O
M
X
sin =
=b
cos = =a
tan =
=
设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P( x, y )
规定:（1） 叫做 的正弦，记作 sin ,即 sin = ；
这种定义法
2
0
1
3 不存在
180o 270o 360o
0
0
0
不在
0
1
0
)
例2：已知角α的终边经过点 P (-1, 3，求角α的正弦、
余弦和正切值。
|OP|=r =
cos = =
tan = =
−
−
y
r
sin = =
P(-1, 3)
(−1)2 +( 3)2 = 2
此题用终边
定义法方便
上哪里，比值都不变。
第一象限角不一定是锐角，但只要
终边落在第一象限，那三角函数的
定义就是上述样子。
思考2，当终边落在第二、三、四象限时，三角函数该如何定义？
终边落在第二、三、四象限的三角函数的定
义域终边落在第一象限的三角函数的定义是
一样的。
绝不会是这样，比如当终边落在第二象限时，
sin =
,cos
O
A（1,0） 是要能跟现实吻合，能解决现实问题，这现实
问题就是自然和社会现象的周期性，三角函数
为解决自然和社会现象的周期性而生。
根据三角函数的定义，确定它们的
定义域（弧度制）
思考
4
三角函数
y
sin
P(x,y)
cos
O
A(1,0)
x
tan
定义域
R
R
例1：求
1
2
x= ,y=--
5
sin
3
5.2三角函数的概念
5.2.1三角函数的概念
温州市瓯海区三溪中学 张明
同学们，大千世界有种现象非常普遍，不但常见还非常迷人，那就是周期现
象。周期现象指现实世界中的许多运动具有循环往复、周而复始的规律。比如地
球自转引起的昼夜交替和公转引起的四季的交替、月亮圆缺，海洋的潮汐，物体
做匀速圆周运动时位置变化，都是周期现象。
称为单位圆
定义法
（2）叫做 的余弦,记作cos,即cos = ；
y
（3） 叫做的正切，记作,即 = ( ≠ 0)
x
有的同学会疑问：三角函数要这样定义，那样
定义不行吗？
O
P(x,y)
O
可以。数学的本质在於它的自由. －－－康扥尔
(Cantor)。但数学上概念的定义不是胡来，而
3
2
y
==−
5
cos
3
5
tan
3
5
的正弦,余弦和正切值.
3
==
=
5
3 O
3
2
1
2
=− 3
r=1
注意：此题用单
位圆定义法求。
1
2
3
2
1
P( , −
x
)
几个特殊角的三角函数值
角α 0o
角α
的弧
度数
sinα
0
cosα
1
tanα
0
30o
45o
60o
90o
1
2
2
2
3
2
1
3
2
3
3
2
2
1
思考1：为了研究方便，我们把锐角α放到直角坐标系中，
在角α的终边上取一点P（a，b），那么，sinα,cosα，tanα
的值分别如何表示？
sin =
P
cos
b
O
y
a
|OP|=r= 2 + 2
M
x
tan
=
=
=
=
=
问：上述比值跟点P在终边上
的位置有关吗？
只要P不落在原点，无论在终边
=
−
=−
M
O
x
例3 若将 P (-1, 3 ) 改为P(-a, a)，如何求的三个三角函数值呢？
用终边定义法，分a>0与a<0两种情形讨论．
y
探
究
的终边
P
o
x
A(1,0)
2.确定三角函数值在各象限的符号
y
（ +）（ ）
o
x
（ ）（ ）
y
（ - ）（ + ）
o
x
（ ）（ + ）
y
（ -） （+ ）