《离散数学》情境式教学方法实践与探索——以“笛卡尔积”教学为例
离散数学课程教学模式的探讨与实施
离散数学课程教学模式的探讨与实施离散数学是一门广泛应用于计算机科学、物联网等领域的数学学科，在课程教学中具有极强的实用性和实践性，而由于离散数学作为一门基础课程，其教学计划与实施等方面十分重要。
本文就离散数学课程的教学模式进行探讨，并对其进行实施的实践性探索。
一、离散数学课程模式的探讨1、离散数学学科定位离散数学是一门理论与实践结合的应用数学学科，它很好地为计算机科学、物联网等相关专业的学生提供了基本的数学思维、数学建模及有效数学软件的技能和方法，为这些相关专业的学生的进一步学习及实践打下了坚实的基础。
2、散数学课程的教学模式离散数学课程的教学模式，在本质上应该是以引导学生运用数学的思维去分析和解决问题的，不断练习实际应用的一种课程建模。
一般情况下，离散数学课程的教学模式有两种：（1）以理论讲解为主，结合实例讲解和基本练习为辅。
在这种模式下，教师以理论讲解为主，并结合大量实例讲解，使学生能够把握整体思路，并从实例中学习到具体的操作方法；同时，教师还要组织学生进行一定的基本练习，以加强其对理论的掌握。
（2）以实际应用为中心，结合讨论讲解、理论讲解和练习为辅。
在这种模式下，教师以实际应用为核心，介绍有关的理论和观点，带学生结合实际运用，把握整体思路，丰富学生的操作经验；同时，教师还要组织学生进行更深入的讨论练习，以达到熟练掌握理论及相关方法的目的。
二、离散数学课程的实施1、课程设计离散数学课程的课程设计，主要以学生实践和练习为主，将理论与实践结合起来，使学生掌握离散数学的思想和方法，能够有效应用于实践中，为其后续学习和实践打下基础。
2、教学方法及策略教学方法及策略是实施离散数学课程教学模式的重要组成部分，师生在实施教学模式时需要采用合适的教学方法及策略，以保证课程有效实施，有效掌握离散数学的理论及实践方法：（1）将理论与实践结合起来，使学生更加深入理解离散数学的思想和方法；（2）通过实际的操作实践，使学生能够更加熟练地运用离散数学方法解决实际问题；（3）注重实践性教学，以增强学生对离散数学理论及实践技能的掌握能力。
(完整word版)《离散数学》教案详解
《离散数学》教案第一章集合与关系集合是数学中最基本的概念，又是数学各分支、自然科学及社会科学各领域的最普遍采用的描述工具。
集合论是离散数学的重要组成部分，是现代数学中占有独特地位的一个分支。
G. Cantor(康脱)是作为数学分支的集合论的奠基人。
1870年前后，他关于无穷序列的研究导致集合论的系统发展。
1874年他发表了关于实数集合不能与自然数集合建立一一对应的有名的证明。
1878年，他引进了两个集合具有相等的“势”的概念。
然而，朴素集合论中包含着悖论。
第一个悖论是布拉利-福尔蒂的最大序数悖论。
1901年罗素发现了有名的罗素悖论。
1932年康脱也发表了关于最大基数的悖论。
集合论的现代公理化开始于1908年策梅罗所发表的一组公理，经过弗兰克尔的加工，这个系统称为策梅罗-弗兰克尔集合论（ZF），其中包括1904年策梅罗引入的选择公理。
另外一种系统是冯·诺伊曼-伯奈斯-哥德尔集合论。
公理集合论中一个有名的猜想是连续统假设（CH）。
哥德尔证明了连续统假设与策梅罗-弗兰克尔集合论的相容性，科恩证明了连续统假设与策梅罗-弗兰克尔集合论的独立性。
现在把策梅罗-弗兰克尔集合论与选择公理一起称为ZFC系统。
一、学习目的与要求本章目的是介绍集合的基本概念，讲授集合运算的基本理论，关系的定义与运算。
通过本章的学习，使学生了解集合是数学的基本语言，掌握主要的集合运算方法和关系运算方法，为学习后续章节打下良好基础。
二、知识点1．集合的基本概念与表示方法；2．集合的运算；3．序偶与笛卡尔积；4．关系及其表示、关系矩阵、关系图；5．关系的性质，符合关系、逆关系；6．关系的闭包运算；7．集合的划分与覆盖、等价关系与等价类；相容关系；8．序关系、偏序集、哈斯图。
三、要求1．识记集合的层次关系、集合与其元素间的关系，自反关系、对称关系、传递关系的识别，复合关系、逆关系的识别。
2．领会领会下列概念：两个集合相等的概念几证明方法，关系的闭包运算，关系等价性证明。
《离散数学》教学大纲
《离散数学》教学大纲（Discrete Mathematics）适用专业：电子信息类课程类别：学科基础课课程学时：48课程学分：3.0先修课程：高等数学、线性代数等一、课程简介离散数学是研究离散量的结构及其相互关系的数学学科，是现代数学的一个重要分支，是计算机科学中基础理论的核心课程，是计算机科学与技术的支撑学科。
它在计算机科学与技术领域有着广泛的应用，同时离散数学也是计算机专业的许多专业课程，如程序设计语言、数据结构、操作系统、编译技术、人工智能与机器人、数据库、网络、计算机图形学、算法设计与分析、理论计算机科学基础等必不可少的先行课程。
通过离散数学的学习，不但可以掌握离散结构的描述工具和处理方法，为后续课程的学习创造条件，而且可以提高抽象思维和严格的逻辑推理能力，为将来参与创新性的研究和开发工作打下坚实的基础。
二、教学目的与任务离散数学是一门培养学生缜密思维、严格推理，具有综合归纳分析能力的课程。
通过本课程的学习，使学生有一定的严格逻辑推理与抽象思维能力，掌握离散量的处理及运算技能，能够将离散数学应用到解决计算机技术中的实际问题中。
不仅能为学生奠定计算机科学的专业基础，并且能为将后续课程的学习及将来开发软、硬件技术及研究、应用提供有力的工具。
三、课程内容第1章命题逻辑的基本概念1.1命题与联结词1.2命题公式及其赋值第2章命题逻辑等值演算2.1等值式2.2析取范式与合取范式* 2.3联结词的完备集* 2.4可满足性问题与消解法第3章命题逻辑的推理理论3.1推理的形式结构3.2自然推理系统P3.3消解证明法第4章一阶逻辑基本概念4.1一阶逻辑命题符号化4.2一阶逻辑公式及其解释第5章一阶逻辑等值演算与推理5.1一阶逻辑等值式与置换规则5.2一阶逻辑前束范式* 5.3一阶逻辑的推理理论第6章集合代数6.1集合的基本概念6.2集合的运算6.3有穷集的计数6.4集合恒等式第7章二元关系7.1有序对与笛卡儿积7.2二元关系7.3关系的运算7.4关系的性质7.5关系的闭包7.6等价关系与划分7.7偏序关系第8章函数8.1函数的定义与性质8.2函数的复合与反函数* 8.3双射函数与集合的基数* 8.4一个电话系统的描述实例第14章图的基本概念14.1图14.2通路与回路14.3图的连通性14.4图的矩阵表示* 14.5图的运算第15章欧拉图与哈密顿图15.1欧拉图15.2哈密顿图15.3最短路问题、中国邮递员问题与货郎担问题第16章树16.1无向树及其性质16.2生成树16.3根树及其应用三、课程学时分配、教学内容与教学基本要求四、教学方法与教学手段说明该课程教学方式主要有：课堂教学、交互学习、课后作业。
《离散数学教案》课件
《离散数学教案》PPT课件第一章：离散数学简介1.1 离散数学的定义离散数学是研究离散结构及其相互关系的数学分支。
离散数学与连续数学相对，主要研究对象是集合、图、逻辑等。
1.2 离散数学的应用离散数学在计算机科学、信息技术、密码学等领域有广泛应用。
学习离散数学能够为编程、算法设计、数据结构等课程打下基础。
第二章：集合与逻辑2.1 集合的基本概念集合是由明确定义的元素组成的整体。
集合的表示方法：列举法、描述法、图示法等。
2.2 集合的基本运算集合的并、交、差运算。
集合的幂集、子集、真子集等概念。
2.3 逻辑基本概念命题：可以判断真假的陈述句。
逻辑联结词：与、或、非等。
逻辑等价式与蕴含式。
第三章：图论基础3.1 图的基本概念图是由点集合及连接这些点的边集合组成的数学结构。
图的表示方法：邻接矩阵、邻接表等。
3.2 图的基本运算图的邻接、关联、度等概念。
图的遍历：深度优先搜索、广度优先搜索。
3.3 图的应用图在社交网络、路径规划、网络结构等领域有广泛应用。
学习图论能够帮助我们理解和解决现实世界中的问题。
第四章：组合数学4.1 排列与组合排列：从n个不同元素中取出m个元素的有序组合。
组合：从n个不同元素中取出m个元素的无序组合。
4.2 计数原理分类计数原理、分步计数原理。
函数：求排列组合问题的有效工具。
4.3 鸽巢原理与包含-排除原理包含-排除原理：解决计数问题时，通过加减来排除某些情况。
第五章：命题逻辑与谓词逻辑5.1 命题逻辑命题逻辑关注命题及其逻辑关系。
命题逻辑的基本运算：联结词、逻辑等价式、蕴含式等。
5.2 谓词逻辑谓词逻辑是命题逻辑的推广，引入量词和谓词。
谓词逻辑的基本结构：个体、谓词、量词、逻辑运算等。
5.3 谓词逻辑的应用谓词逻辑在计算机科学中用于描述和验证程序正确性。
学习谓词逻辑能够提高对问题本质的理解和表达能力。
第六章：组合设计6.1 组合设计的基本概念组合设计是指从给定的有限集合中按照一定规则选取元素，构成满足特定条件的组合。
《离散数学》教学方法探讨
用到 了《 离散数学》 的理论 。 因此 ， 学好 《 离散数学》 对计 算机后续专业课程的学习具有举足轻重 的意义ｆ 本文 ｌ １ 结合多年《 散数学 》 离 课程教学实 际 ， 从教学 内容 、 教学
方 法 方 面 进 行 了一 些 探讨
样 有 助 于 学 生 理 解 和 巩 固交 集 、 集 、 集 和 补 集 的运 并 差 算 ， 与 计 算 机 相 联 系 ２ 又 １
《 散 数 学 》 主 要 研 究 离 散 结 构 和离 散 数 量 关 系 离 是 的 数学 分 支 的统 称 ． 是 计 算 机 科 学 中基 础 理 论 的 核 心 它 课 程， 是 培 养 学 生 素 质 的核 心 课 程 。《 散 数 学 》 学 也 离 教 除 了教 给学 生 《 散 数 学 》 识 以外 ， 重 要 的 是 要 通 过 离 知 更 严 格 的 Ｕ 练 ， 步 实 现 学 生 思 维 方 式 的数 学 化 ． 数 学 ｉ 逐 Ｉ 使 的 逻辑 性 、 路 严 密 性 被 较 好 地 融 入 到 计 算 机 应 用 中 。 思 《 散 数 学 》 泛 应 用 于 计 算 机 科 学 的各 个 领 域 ， 如 离 广 例 利 用 代 数 结 构 研 究 编 码 理 论 ．利 用 谓 词 逻 辑 研 究 程 序
《 离散数学》 教学方法探讨
蒋桂莲
（ 南 涉 外 经 济 学 院计 算 机 学 部 ， 沙 ４ ０ ０ ） 湖 长 １２ ５ 摘 要 ： 据《 根 离散 数 学 》 门课 程 概 念 多、 式 多 、 这 公 内容 抽 象等 特 点 ， 出如 何 让 学 生理 解 和 掌握 每 提
一
个 知识 点， 何 提 高课 程 的教 学 水 平和 质 量 的 观 点 。 结 合 教 学 实践 从 教 学 内容 、 学 方 法 如 教
离散数学教学方法探讨
离散数学教学方法探讨【摘要】离散数学是计算机科学与技术专业一门重要的专业基础课。
本文对离散数学的教学内容、教学手段及教学方法进行了探讨。
首先根据学校技术应用型大学的办学方略，精选教学内容，注重知识应用能力；其次探讨了教学手段和方法，通过课程引入激发学习兴趣，注重课堂讨论分析，加强实验教学，注重类比归纳，进行多媒体辅助教学，从而提高离散数学的教学效果。
【关键词】离散数学；教学内容；教学方法；教学手段1.引言离散数学是现代数学的重要分支，是计算机科学与技术专业的重要基础课，主要研究离散结构和离散数量的关系。
随着计算机科学技术的迅猛发展，离散数学越来越重要，其基本理论在计算机理论研究以及计算机软件、硬件开发的各个领域都有广泛的应用[1]。
离散数学的授课内容主要分为“数理逻辑”，“集合论”，“代数结构”、“图论”，“组合分析”以及“形式语言与自动机”等几大分支，课程概念较多，定义及定理比较抽象，理论性较强[2]。
在教学过程中，如果只从数学方面讲授定义定理，学生理解起来比较困难，容易对本课程的学习失去兴趣。
因此，设计精彩的教学内容，改进教学方法，探讨教学手段，以提高学生学习的主动性和积极性，具有重要的意义。
2.精选教学内容改变教学观念2.1 精选教学内容离散数学是计算机科学与技术本科专业的一门基础课，众多本科高校均开设此课程，其教材也非常丰富。
因此，需要教师在符合学校自身办学方略和培养目标的基础上，精选教学内容。
笔者工作单位上海电机学院是一所具有技术应用型本科内涵实质和行业大学属性特征的全日制普通本科院校，办学方略注重“技术立校，应用为本”，因此从学校学生培养方案和学校特色出发，对本课程的教学不能照搬研究型大学的授课方式和教学内容。
应该从学生的自身素质以及课程应用性的角度出发精选授课内容，培养学生对课程内容的实际应用能力，让学生从枯燥的数学概念中走出来，达到学以致用的目的。
2.2 改变教学观念在离散数学课程的教学过程中，如果采取传统的教师讲授，学生课堂听课的方式，学生普遍觉得内容枯燥，提不起学习兴趣。
离散数学：第3讲 序偶与笛卡尔积
2020/12/29
序偶与笛卡尔积
25
二元关系举例
例1: R1={<1,2>,<,>,<a,b>} R1是二元关系.
例2: R2={<1,2>,<3,4>,<白菜,小猫>} R2是二元关系.
例3: A={<a,b>,<1,2,3>,a,,1} A不是关系. #
AB={<1,2>},
BA={<2,1>}.
2020/12/29
序偶与笛卡尔积
11
笛卡尔积非结合性
非结合: (AB)C A(BC) (除非 A= B= C=)
反例: A=B=C={1}. (AB)C={<<1,1>,1>}, A(BC)={<1,<1,1>>}.
AB= A=B=等
2020/12/29
2020/12/29
序偶与笛卡尔积
15
消去律
设A,B,C是任意集合, 若C, 则AC BC AB CA CB AB
2020/12/29
序偶与笛卡尔积
16
消去律(证明)
若 C, 则AC BC AB. 证明(续): ()若A=,则AC=BC.
设 A. <x,y>, <x,y>AC xAyC
2020/12/29
序偶与笛卡尔积
6
笛卡尔积(Cartesian product)
笛卡尔积 : 令A和B是任意两个集合，若 序偶的第一个成员是A中的元素，第二个 成员是B中的元素，所有这些序偶组成的 集合称为集合A和B的笛卡尔积或卡氏积， 记作A B。
离散数学有序对与笛卡尔积
(2)一般，笛卡儿积运算不满足交换律，即 A×B≠B×A(当 A≠ ∧ B≠ ∧ A≠B 时)。
(3)笛卡儿积运算不满足结合律，即 (A×B)×C≠A×(B×C)(当 A≠∧B≠∧C≠ 时)。
(4)笛卡儿积运算对并和交运算满足分配律，即 A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C). (B∪C)×A=(B×A)∪(C×A). A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C). (B∩C)×A=(B×A)∩(C×A).
解答 (1) 不A×一B定＝。＝当AA×＝C，，但B＝B≠{1C}.,C＝{2}时，有 (2) 不一定。当ห้องสมุดไป่ตู้=B={1},C＝{2}时，有 A(-A(-BB)××C)(＝A-{C1)}＝–{<×1,{21>}}＝＝{1.}, (3) 为真。由等量代入的原理可证。 (4) 为真。当A＝时，有 A A×A 成立。
例2
例2 设A={1,2},求P(A)×A.
解答
P(A)×A ＝{,{1},{2},{1,2}}×{1,2} ＝{<,1>,<,2>, <{1},1>,<{1},2>, <{2},1>,<{2},2>, <{1,2},1>,<{1,2},2>}.
例3
例3 A，B，C，D为任意集合，以下命题是否为真?理由? (1) A×B＝A×C B＝C, (2) A-(B×C)＝(A-B)×(A-C), (3) A＝B∧C＝D A×C＝B×D, (4) 存在集合A，使得A A×A.
笛卡尔积举例
举例 设A={a,b}, B={0,1,2}，则 A×B={<a,0>,<a,1>,<a,2>,<b,0>,<b,1>,<b,2>}. B×A={<0,a>,<0,b>,<1,a>,<1,b>,<2,a>,<2,b>}.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
【摘要】文章系统地介绍了在《离散数学》中有关“笛卡尔积”课堂教学实践的具体过程- - - 情境教学方法：使用实例引导，
把抽象的数学概念和具体的实例 相结 合， 加强了学生对不同课程的融会贯通，同时，培养了学生的实践能力，此教学方法激发
了学生的 学习动机，提高了 教学效率。
【关 键词 】笛卡尔积； 情景教学；能力培养
学 生姓名
性别
所在学院
张山
男
英语学院
古 红民
男
英语学院
林 小红
女
英语学院
…
…
孙明
女
计算机学院
杜 红英
女
计算机学院
李 明浩
男
计算机学院
…
…
表 2 学生选课情况信息表
籍贯 …
河北 …
江苏 …
广西 …
…
天津 …
甘肃 …
广西 …
…
…
学号 0701001 0701002 0702001 0702003 …
学生姓名 张山 古红民 孙明 李明浩
表5原笛卡尔积ab结果表0701001张山英语学院07010010701002070810708107081070810708207082070810708107081070810708207082计算机网络计算机网络计算机网络计算机网络java编程商务英语计算机网络计算机网络计算机网络计算机网络java编程商务英语07020010702003070200307010030701002古红民英语学院0701001070100207020010702003070200307010030701003林小红英语学院07010010701002070810708107081070810708207082070810708107081070810708207082计算机网络计算机网络计算机网络计算机网络java编程商务英语计算机网络计算机网络计算机网络计算机网络java编程商务英语07020010702003070200307010030702001孙明计算机学院0701001070100207020010702003070200307010030702002杜红英计算机学院07010010701002070810708107081070810708207082计算机网络计算机网络计算机网络计算机网络java编程商务英语07020010702003070200307010030702003李明浩计算机学院070100107010020702001070200307020030701003070810708107081070810708207082计算机网络计算机网络计算机网络计算机网络java编程商务英语产生笛卡尔积sql语句引申注重和数据库原理课程的关联和知识的迁移
【中 图分 类号】 G40-057
【文献 标识码 】A
【 论文编 号】1009—8097（2008）13—0065—03
《离散数学》是计算机专业必修课，是计算机组成原理、 数据结构 、数组逻辑电 路等专业课程的先 行课，具有举足 轻 重的地位 ，本文主要针 对《离散数学》中 情境式教学的探 索 与研究， 下面就“笛卡 尔积”一节阐述其 情景式教学方法 的 具体过程 。
三 融入情景
1 数据库生成解析 结合以上对 于“笛卡尔积 ”知识点的 讲解，让同学 们重新 认识一下刚才实例中的教务用表，可以理解为表 1 学生基本 信息表一个集合，即：学生基本信息集合（记为 A）；表 2 学 生选课信息表一个集合，即：学生选课情况集合（记为 B）。 只不过此集合 中的元素为一条 一条的信息，即为 数据库 中的记录，另外， 记录中所记载 的信息元为字段，例 如：学 号，姓名，所在学 院，选修课程等等 。 根据分析可以看出在表 2 中的学号、姓名和所在学院都 和表 1 中是对应的，因此在表 2 中即为关系模式的冗余（即 此学生选几门课， 则此部分信息 就会重复几次，消除 冗余的 办法就是对关系模式的分解），但正是这一部分形成了表 1 和 表 2 之间的数据依赖，数据依赖是研究数据之间的联系。那 么如何设计此数据 库呢？ 关系数据库的 规范化设计是指 面对一个现实问题 ，如何 选择一个比较好的 关系模式集合 。规范化设计理论主 要包括 三个方面的内容：数据依赖、范式（Normal Forms，简记为 NF）和模式设计 方法 。其中数据依赖起着核心的作用（在情 境中已经存在，即数据之间的关系）。数据依赖研究数据之间 的联系，范式是关系模式的标准，分为 1NF、2NF、3NF、BCNF 等多种（不同的消除冗余的标准构成不同的范式），模式设计 方法是自动化设计 的基础。规范 化设计理论对关系数 据库结 构的设计起着重要 的作用（在这 里不用重点讨论范式 和模式 设计方法，在以后 的数据库原理 和软件工程中会详细 介绍， 同时降低学生的茫 然性，在此如 果讨论过深，可能会 避重就 轻，适得其反）。
变的数据 。那么如何把教务 中的书面表格用以 电子信息的数
方法：“笛卡尔积”关联
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
———— —————— 收稿日期：2008 年 10 月 27 日
65
根据以 上的疑问，在本节 课中讲述有关笛卡尔积的具体 内容，用 来解决以上的问题 。
二 “笛卡尔积”知识详解过程
1 基本概念 设 A、B 为集合，用 A 中元素为第一元素，B 中元素为 第二元素构成有序对，所有这样的有序对的所组成的集合为 A 和 B 的笛卡尔积，记为 A×B。 2 举例 A={a，b} B={1，2，3} A×B={< a，1>,< a，2>,< a，3>,< b，1 >,< b，2>,< b， 3>} B×A={< 1，a >,< 1，b >,< 2，a >,<2，b >,< 2，a >,<3， b >}≠A×B 3 基本特征总结
符号化表示：A×B={<x,y>|x∈A ∧,y∈B}
关键点：第一元素有集合 A 中元素组成，第二元素由 集合 B 中元素组成
| A×B |=|A|×|B| 4 基本性质详解并证明。
与空集 的关系… 结合律 情况… 交换律 情况… 分配率 情况… 其他性 质… 5 其他类型笛卡尔积举例 例一：A×A 情况… 例二：A×Φ 情况… 例三：Φ×A 情况… 6 教学特点 讲课突 出重点 避免照 本宣科，要求教师 必须对讲课内容熟 练、体系 结构清晰 抓住并 解决难点
学院 英语学院 英语学院 计算机学院 计算机学院
学期 07~08（1） 07~08（1） 07~08（1） 07~08（1）
选修课程 计算机网络 计算机网络 计算机网络 计算机网络
成绩 …
90
…
78
…
96
80
…
0702003 …
李明浩 …
计算机学院
07~08（2） Ja va 编程
…
…
80
…
…
0701003
第 18 卷 2008 年第 13 期
现代教育技术
Modern Educational Technology
Vol. 18 No.13 2008
《离散 数学》情 境式教学 方法实践与 探索
——以“笛卡尔积”教学为例
王维花 1
宫成强 2
王志巍 3
（1．天津外国语学院 教育技术系，天津 300204；2．天津财经大学，天津 300222；3．河北师范大学 河北石家庄 050016 ）
根据刚才的分析，消除冗余，设计数据库大致有以下两个表： 产生数据库，具体学生表内容，集合 A：
林小红
英语学院
07~08（2） 商务英语
82
…
…
…
…
…
…
以上两个表是相互独立，又有关联的两个表，其中表 1 据库形式进行表示，从而提高检索效率和检索准确性。
是学生的基本信息表，而表 2 是学生选课情况表，关键在于
疑问：因此如何 实现两表数据的正 确关联，形成一个
学生基本情况表中的信息基本都会反映到表 2，是基本稳定不 稳定的数据库信息？
一 创设情境
情境（即现实背景）可以使抽象的理论具体化、形象化、 生动化 ，帮助学生理解数学中比较难易理解的概念。在学校 的日常教学管理中 经常会见到如 下有关学生基本信息 和其选 课信息表：
表 1 学生基本情况信息表
学号 0701001 0701002 0701003 … 0702001 0702002 0702003 …