高二数学二项式定理2

变式：求(a b c d )
200 800 900 95
1995
展开式中
a b c d 项的系数
典题型举例
例 6 若 (x+m)2n+1 和 (mx+1)2n (n∈N+ ， m∈R且m≠0)的展开式的 xn 项的系数相等， 求实数m的取值范围
评注：注意区分二项式系数与项的系数
练习、若(1+ x )n的展开式中，倒数第5，6， 7项的系数顺次为等差数列，且展开式的项 数为奇数，求展开式中x2的系数
练习
2 1、已知 x 展开式中第五项的系数与 x 第三项的系数比是10 :1，求展开式中含x的项
n
2、如果： 1＋2C 2 C 2 C 2187
1 n 2 2 n n n n
求：C C C 的值
1 n r n n n

小 结 二项式定理体现了二项式展开式的指 数、项数、二项式系数等方面的内在联系。 涉及到二项展开式中的项和系数的综合问 题，只需运用通项公式和二项式系数的性 质对条件进行逐个击破，对于与组合数有 关的和的问题，赋值法是常用且重要的方 法，同时注意二项式定理的逆用
b
r
二项式系数的性质
(1)对称性：
代数意义：
与首末两端“等距离” 的 两个二项式系数相 等
C C
m n
n m n
n 作为对称轴 几何意义： 直线 r 2
将图象分成对称的两部分
(2)增减性与最大值
n1 当k 时, 二项式系数是逐渐增大的由对称性 . 2 知它的后半部分是逐渐减小的, 且在中间取得最大值.
作业:
指导与学习P74-75
T1-10
；
/ 微商货源网
ekn051ach
实在是帮不上忙„„但我相信，经过这件事„„他会变好的，以后，你和念儿的生活我和肖艳会尽力照顾的。” “六弟，我已经想好了，我和念儿要回娘家住一段时间，等这些事情都平息了，我们再回来„„” 是啊，马天栓的事免不了人们的流言蜚语，留给她的却是无尽的辛酸和泪水„„也许只有娘家才是她唯一的去处。 这天晚上，我失眠了。我虽然竭力地控制着自己，但是最近发生的事还是情不自禁地在我脑海里浮现。 老天爷跟我开了个不大不小的玩笑，把我那平静的生活掀起了一片小小的涟漪，我不得不整理一下自己人生的方向。 不经坎坷不知人情冷暖，不经世俗不知世态炎凉。感谢上帝给了我这次人生的磨难，使我得到了人生的启迪。我终于懂得了什么是情，什么是 义，什么是爱，什么是恨„„ “苏林，你在想什么？” “我在想„„如果有一天，我不再上班了，回到你身边，过着平静的日子，该多好啊„„” “你真的这么想吗？那你就回来吧。回到生你养你的这片土地，只有亲人和孩子，我们共同耕耘共同收获„„再说，我也实在是经不起这种风 吹雨打，天天为你担惊受怕了„„” 第二天，我把已写好的辞职报告交给了老厂长。 他看完后，耐心地对我说：“苏林，你还年轻， 正是干一番事业的最佳年龄，你怎么说不干就不干了呢？人生难免会遇到这样那样的挫折，你 不能灰心，要知难而进！我老了，我想把这副重担交到你的肩上，你可不要让我失望啊！” “老厂长，这里的环境不适应我，我活得太累了，我想„„” “你的意思我明白，先把这个拿回去。我给你一个月的时间，你要好好想一想，等你想好了，再来告诉我。” 这时，我的同窗生产厂长王大年走了进来。老厂长顺便用文件把我的辞职报告掩盖起来，不想让别人知道。 “正好苏林也在，我当着苏林的面，跟老厂长打个招呼，原材料再进不来，我们就停产了。你们销售科的业务员却在打牌聊天，车间的工人都 在闹情绪，再不发工资，他们就**。我这个生产厂长实在是没法干了！”大年在老厂长面前指手画脚地嚷嚷着，显然是针对我来的。 “大年，你的心情我理解，我跟苏林正在商量货款的事。”老厂长最明白目前的状况，他的位子也在岌岌可危。 “老厂长，我现在就去开个会，招集业务员制定货款回收计划。我保证只要我还在厂干一天，一定让工人拿着工资回家过年。” 俗话说得好，江山易改本性难移，我永远也改不了舍命陪君子冷眼看小人的恶习。 年假过后，我果真不去上班了。 老厂长知道了非常生气，他也声称有病在家休养。只好由镇里的领导出面对我厂进行了改制，由我的好友王大年实行个人承包。政策落实之后， 王大年多次邀我给他负责跑业务，我都婉言谢绝了。他一怒之下把我在厂工作时拖欠的十四个月的工资全扣了下来。 我听说后十分恼火，妻子却安慰我说：“只要他觉得良心上过得去就行，这钱他不给，咱就不要了，只要我俩好好干，这点钱算不了什么！
2
x ) 展开式中，不含x的项是第____ 项
3 20
1 9 9 3、 （x - ）展开式中x 的系数是 _________ （03年 2x 全国高考）
例1( x 1) 5( x 1) 10( x 1) 10( x 1) 5( x 1)
5 4 3 2
(A)x5 (C)x5+1
（1） a1+a2+a3+ a4 + a5的值 （2） a1+a3+ a5的值 （3） |a1|+|a2|+|a3|+ |a4| + |a5|的值
评注：涉及展开式的系数和的问题，常用赋值法解决
练习：
若(2 x 3) a0 a1 x a2 x a3 x a4 x , 则
4 2 3 4
典题型举例
例6证明：当 n 3时， 2 2(n 1)
n
评注：利用二项式定理证明不等式问题时，通常 是把二项展开式中的某些正项适当删去（缩小）， 或把某些负项删去（放大），使等式转化为不等 式，然后再根据不等式的传递性进行证明
练习：设x 1，n N 且n 2，
*
n 2 求证：x ( x -1) 4
(2)C C C C 2
0 n 2 n 1 n 3 n
n
n1
即： (a b) 的展开式中，奇数项的二项式系数的和 等于偶数项的二项式系数的和
这种方法叫做赋值法
考点练习
1、若(1+x)8展开式中间三项依次成等差数列， 则x=____________
( 2、
1 x
(a0 a2 a4 ) (a1 a3 ) ______ (99年全国)
2 2
典题型举例
例5、 9192除以100的余数是＿＿＿＿＿ (92年“三南”高考 题)
评注：利用二项式定理可以求余数和证明整除性 问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式， 且这种转化形式与除数有密切关系
练习：若今天是星期天，则今天后的第100100 天是星期________
(B)x5-1 (D)(x-1)5-1
例2、在(2x+3)20的展开式中，求其项的最大 系数与最大二项式系数之比
例3、已知 ( x 3 x ) 的展开式中，各项系 数和比它的二项式系数和大 992 ．求展开式 中二项式系数最大的项
2 n
2 3
典题型举例
例4、设(1-2x)5= a0＋ a1x + a2x2 + a3x3+ a4x4+ a5x5. 求：
知识网络
展开式 二项式 定理 通项公式 系数性质 应用
复习 1.二项式定理：
( a b)
n
C a C a b C a
0 n n 1 n r n
n 1 1
nr
b
r
C b (n N )
n n n

2.通项即展开式的第r+1项：
Tr 1 C a
r n
n r
当n是偶数时,中间的一项 C 取得最大值;当 n是奇 数时,中间的两项 C
n 1 2 n
n 2 n
,C
n 1 2 n
相等, 且同时取得最大值.
(3)各二项式系数的和
(1)C C C C C 2
0 n 1 n 2 n r n n n
n
即： (a b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n
n
2
典题型举例
例5 求(x - 1) - (x -1) 2 + (x -1)3- (x -1)4 + (x -1)5展开 式中含 x 2 项的系数 (90年全国)
分析： 分析：求特定项系数，我们已经学过二项式展开式、 通项公式、分解因式等方法。对于求较复杂的代数式 的展开式中某项的系数，常常需要对所给的代数式进 行化简，减少计算量