赏析中考决策型应用题
最新中考数学专项训练：方案设计与决策型问题(提高)(含答案解析)
中考冲刺：方案设计与决策型问题(提高)一、选择题1.（2016春•内江期末）有甲，乙，丙三种商品，如果购甲3件，乙2件，丙1件共需315元钱，购甲1件，乙2件，丙3件共需285元钱，那么购甲，乙，丙三种商品各一件共需（）A．50 B．100 C．150 D．2002．在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形．该小正方形的序号是（）A．① B．②C．③ D．④3. 下面的四个图案中，既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用轴对称来分析整个图案的形成过程的图案有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个二、填空题4．我们知道，只有两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等.你如何处理和安排这三个条件，使这两个三角形全等.请你仿照方案（1），写出方案（2）、（3）.解：设有两边和一角对应相等的两个三角形.方案（1）：若这角恰好是直角，则这两个三角形全等.方案（2）：______.方案（3）：______.5．（重庆校级期中）适逢南开中学建校78周年暨（融侨）中学建校10周年校庆活动，学校准备印刷2000份校庆专刊．甲厂的优惠是先降价20%，再降价10%，乙厂的优惠是前1000份优惠10%，后1000份优惠30%，选择______厂更划算．6. 几何模型：条件：如下左图，A、B是直线同旁的两个定点．问题：在直线上确定一点P，使PA+PB的值最小．方法：作点A关于直线的对称点，连结交于点，则的值最小（不必证明）．模型应用：（1）如图1，正方形的边长为2，为的中点，是上一动点．连结，由正方形对称性可知，与关于直线对称．连结交于，则的最小值是___________；（2）如图2，的半径为2，点在上，，，是上一动点，则的最小值是___________；（3）如图3，，是内一点，，分别是上的动点，则周长的最小值是___________．三、解答题7. （2016•临沂）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．小明计划给朋友快递一部分物品，经了解有甲、乙两家快递公司比较合适．甲公司表示：快递物品不超过1千克的，按每千克22元收费；超过1千克，超过的部分按每千克15元收费．乙公司表示：按每千克16元收费，另加包装费3元．设小明快递物品x千克．（1）请分别写出甲、乙两家快递公司快递该物品的费用y（元）与x（千克）之间的函数关系式；（2）小明选择哪家快递公司更省钱？8．（2015•宜昌模拟）今年是“十二五”计划的开局之年，5月16日国务院讨论通过《国家基本公共服务体系“十二五”规划》．会议决定：本年度安排264亿元的财政补贴用于推广符合节能标准的家用电器（包括空调、平板电视、洗衣机和热水器），其中洗衣机、平板电视的补贴比热水器补贴分别多20%、40%，而热水器的补贴比空调补贴少；同时建议，以后两年用于推广符合节能标准家用电器的财政补贴每年递增a亿元，“十二五”的最后两年用于此项财政补贴每年按照一定比例递增，从而使“十二五”期间财政补贴总额比规划第二年补贴的5.31倍还多2.31a亿元．（1）若热水器的财政补贴今年比2011年增长10%，则2011年热水器的财政补贴为多少亿元？（2）求“十二五”的最后两年用于此项财政补贴的年平均增长率．9. 某工厂计划为某山区学校生产A，B两种型号的学生桌椅500套，以解决1250名学生的学习问题，一套A型桌椅（一桌两椅）需木料0.5m，一套B型桌椅（一桌三椅）需木料0.7m，工厂现有库存木料302m．（1）有多少种生产方案？（2）现要把生产的全部桌椅运往该学校，已知每套型桌椅的生产成本为100元，运费2元；每套B型桌椅的生产成本为120元，运费4元，求总费用y（元）与生产A型桌椅x（套）之间的关系式，并确定总费用最少的方案和最少的总费用．（总费用生产成本运费）（3）按（2）的方案计算，有没有剩余木料？如果有，请直接写出用剩余木料再生产以上两种型号的桌椅，最多还可以为多少名学生提供桌椅；如果没有，请说明理由.10. 如图1,矩形铁片ABCD的长为,宽为;为了要让铁片能穿过直径为的圆孔,需对铁片进行处理(规定铁片与圆孔有接触时铁片不能穿过圆孔)；（1）如图2,M、N、P、Q分别是AD、AB、BC、CD的中点,若将矩形铁片的四个角去掉,只余下四边形MNPQ,则此时铁片的形状是_______________,给出证明,并通过计算说明此时铁片都能穿过圆孔；（2）如图3,过矩形铁片ABCD的中心作一条直线分别交边BC、AD于点E、F(不与端点重合), 沿着这条直线将矩形铁片切割成两个全等的直角梯形铁片；①当BE=DF=时,判断直角梯形铁片EBAF能否穿过圆孔,并说明理由；②为了能使直角梯形铁片EBAF顺利穿过圆孔,请直接写出线段BE的长度的取值范围______ .答案与解析【答案与解析】一、选择题1.【答案】B；【解析】设购甲，乙，丙三种商品各一件需要x元、y元、z元．根据题意，得，两方程相加，得4x+4y+4z=600，x+y+z=150．则购甲，乙，丙三种商品各一件共需150元．2.【答案】B；【解析】如图，把标有序号②的白色小正方形涂黑，就可以使图中的黑色部分构成一个中心对称图形．故选B．3.【答案】A【解析】根据旋转、轴对称的定义来分析．图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动；轴对称是指如果一个图形沿一条直线折叠，直线两侧的图形能够互相重合，就是轴对称．图形1可以旋转90°得到，也可以经过轴对称，沿一条直线对折，能够完全重合；图形 2可以旋转180°得到，也可以经过轴对称，沿一条直线对折，能够完全重合；图形 3可以旋转180°得到，也可以经过轴对称，沿一条直线对折，能够完全重合；图形 4可以旋转90°得到，也可以经过轴对称，沿一条直线对折，能够完全重合．故既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用轴对称来分析整个图案的形成过程的图案有 4个．故选 A．二、填空题4.【答案】方案（2）：该角恰为两边的夹角时；方案（3）：该角为钝角时.5.【答案】甲【解析】设每一份校庆专刊的单价为a元．甲厂的花费：2000a（1﹣20%）（1﹣10%）=1440a；乙厂的花费：1000a（1﹣10%）+1000a（1﹣30%）=1600a；1440a＜1600a所以选择甲厂更划算．故答案为：甲．6.【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】解：（1）的最小值是DE，.（2）延长AO交⊙o于点D，连接CD交OB于P则PA=PD，PA+PC=PC+PD=CD连接AC，∵AD为直径，∴∠ACD＝90°，AD＝４∵∠AOC＝60°，∴∠ADC＝30°在Rt△ACD中，CD＝cos30°・AD=，即PA+PC的最小值为（3）解：分别作点P关于OA，OB的对称点E，F，连接EF交OA，OB于R，Q，则△PRQ的周长为：EF，∵OP=OE=OF=10, ∠FOB=∠POB,∠POA=∠AOE,∵∠AOB=45°, ∴∠EOF=90°在Rt△EOF中，∵OE=OF=10，∴EF=10，即△PRQ的周长最小值为10三、解答题7.【答案与解析】解：（1）由题意知：当0＜x≤1时，y甲=22x；当1＜x时，y甲=22+15（x﹣1）=15x+7．y乙=16x+3．（2）①当0＜x≤1时，令y甲＜y乙，即22x＜16x+3，解得：0＜x＜；令y甲=y乙，即22x=16x+3，解得：x=；令y甲＞y乙，即22x＞16x+3，解得：＜x≤1．②x＞1时，令y甲＜y乙，即15x+7＜16x+3，解得：x＞4；令y甲=y乙，即15x+7=16x+3，解得：x=4；令y甲＞y乙，即15x+7＞16x+3，解得：1＜x＜4．综上可知：当＜x＜4时，选乙快递公司省钱；当x=4或x=时，选甲、乙两家快递公司快递费一样多；当0＜x＜或x＞4时，选甲快递公司省钱．8.【答案与解析】解：（1）设2011年热水器的财政补贴为x亿元，则2012年热水器的财政补贴为1.1x，洗衣机的财政补贴1.2×1.1x、平板电视的财政补贴1.4×1.1x、空调的财政补贴×1.1x，根据题意列方程得：1.1x+1.2×1.1x+1.4×1.1x+×1.1x=264解得：x=5答：2011年热水器的财政补贴为5亿元；（2）设“十二五”的最后两年用于此项财政补贴的年平均增长率为m．根据题意列方程得：（264﹣a）+264+（264+a）+（264+a）×（1+m）+（264+a）（1+m）2=264×5.31+2.31a 即（264+a）m2+3（264+a）m﹣0.31（a+264）=0，m2+3m﹣0.31=0解得：m1=3.1（舍去），x2=0.1．答：此项财政补贴的年平均增长率是10%．9.【答案与解析】解:（1）设生产型桌椅套，则生产型桌椅套，由题意得解得因为是整数，所以有11种生产方案．（2），随的增大而减少．∴当时，有最小值．∴当生产型桌椅250套、型桌椅250套时，总费用最少．此时（元）（3）有剩余木料，最多还可以解决8名同学的桌椅问题．10.【答案与解析】（1）是菱形如图，过点M作MG⊥NP于点GM、N、P、Q分别是AD、AB、BC、CD的中点∴△AMN≌△BPN≌△CPQ≌△DMQ∴MN=NP=PQ=QM∴四边形MNPQ是菱形MN=∴MG=∴此时铁片能穿过圆孔.（2）①如图，过点A作AH⊥EF于点H, 过点E作EK⊥AD于点K显然AB=，故沿着与AB垂直的方向无法穿过圆孔过点A作EF的平行线RS，故只需计算直线RS与EF之间的距离即可BE=AK=,EK=AB=，AF=∴KF=,EF=∠AHF=∠EKF=90°，∠AFH=∠EFK∴△AHF∽△EKF∴可得AH=∴该直角梯形铁片不能穿过圆孔.②或.。
中考与决策型数学应用问题
中考与决策型数学应用问题初中数学教学大纲中明确指出：“要坚持理论联系实际，要注意把数学知识运用到实际中去分析、解决力所能及的实际问题．”为了体现大纲的精神及要求，近几年来各地的中考命题一改传统型的应用题，而从提高学生素质、动手解决实际问题的能力，培养学生学习兴趣入手拟编了许多新变化、新特点、高质量的决策型应用试题，以激励学生运用数学知识和思想方法去解决现实生活中的问题，这些决策型的中考数学应用问题，既符合初中数学的实际，又发挥了教学的导向作用．一、城市规划例1 某房地产公司要在一块(如图1)矩形ABCD上规划建设一个小区公园矩形GHCK，为了使文物保护区△AEF不被破坏，矩形公园的顶点G不能在文物保护区内．已知：AB=200m，AD=160m，AE=60m，AF=40m．(1)当矩形小区公园的顶点G恰是EF的中点时，求公园的面积；(2)当G在EF上什么位置时，公园面积最大？(98年宁波市中考试题)二、土地分配．例2 如图2，有一块直角三角形菜地，分配给张、王、李三家农户耕种，已知张、王、李三家人口分别为2人、4人、6人，菜地分配办法要按人口比例，并要求每户土地均有一部分靠紧水渠AB，P点处是三家合用的肥料仓库，所以P点必须是三家的交界处．已知Rt△PAB的∠P=90°，PA=20m，∠PAB=60°．(1)计算出每家应分配的菜地面积；(2)作出各家菜地的分界线(保留作图痕迹，不写作法，标出户名)．(96年济南市中考试题)三、教育预估．例3 据中国教育报报道：1997年是我国实施“九五”计划的第二年，在这一年里，教育事业取得了显著的成绩．就高中阶段的教育来说，1996年全国普通高中和中专(含职业高中)共招生668万人，而1997年普通高中比上年多招了14.3%，中专(含职业高中)多招了7.6%，这样高中阶段招生总人数比1996年增加了10.5%．根据上述资料，求1996年普通高中和中专(含职业高中)各招生多少万人(精确到1万人)(98年山东省中考试题)四、投资与获利．例4 某商场于第一年初投入50万元进行商品经营，以后每年年终将当年获得的年利润与当年年初投入资金相加所得的总资金，作为下一年年初投入资金继续进行经营．(1)如果第一年的获利率为P，则第一年年终的总资金可用代数式表示为______万元．(2)如果第二年的年获利率比第一年的年获利率多10个百分点(即第二年的年获利率是第一年的年获利率与10%的和)．第二年年终的总资金为66万元，求第一年的年获利率．(97年苏州市中考试题)五、租金预测．例5 某校组织师生春游，如果单独租用45座客车若干辆．刚好坐满．如果单独租用60座客车，可少租1辆．且余30个空座位．(1)求该校参加春游的人数：(2)已知45座客车的租金为每辆250元，60座客车的租金为每辆300元，这次春游同时租用这两种客车，其中60度客车比45座客车多租1辆，所以租金比单独租用一种客车要节省，按这种方案需月租金多少元？(98年温州市中考试题)六、生产方案设计例6 某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品，共50件，已知生产一件A种产品，需用甲种原料9千克、乙种原料3千克，可获利润700元；生产一件B种产品，需用甲种原料4千克、乙种原料10千克，可获利润1200元．(1)按要求安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你给设计出来；(2)设生产A、B两种产品获总利润是y(元)，其中A种的生产件数是x，试写出y与x 之间的函数关系式，并利用函数的性质说明(1)中的哪种生产方案获总利润最大？最大利润是多少？(98年河北省中考试题)七、农业统计例7 某养鱼户搞池塘养鱼已三年，头一年放养鲢鱼20000尾，其成活率约为70%，在秋季捕捞时，随意捞出10尾鱼，称得每尾的重量如下(单位：千克)：0.8 0.9 1.2 1.3 0.8 0.9 1.1 1.0 1.2 0.8．(1)根据样本平均数估计这塘鱼的总产量是多少千克？(2)如果把这塘鲢鱼全部卖掉，其市场售价为每千克4元，那么能收入多少元？除去当年的投资成本16000元，第一年纯收入多少元？(3)已知该养鱼户这三年纯收入为132400元，求第二年、第三年平均每年的增长率是多少？(98年辽宁省中考试题)八、航海与台风．例8 如图4,一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以40海里/时的由南向北移动，距台风中心2010海里的圆形区域(包括边界)都属于台风区．当轮船到A处时测得台风中心移动到位于点A的正南方向B处，且AB=100海里．(1)若这艘轮船自A处按原速度继续航行，在途中会不会遇到台风？若会，试求轮船最初遇到台风的时间，若不会，请说明理由；(2)现轮船自A处立即提高速度，向位于东偏北30°方向，相距60海里的D港驶去，13 )为使台风到来之前，到达D港，问船速至少应提高多少(提高的船速取整数，6.3。
中考数学题中的规划决策题例析
中考数学题中的规划决策题例析浙江省兰溪市游埠初中张红兵（321106）新课程标准指出：认识到现实生活中蕴含着大量的数学信息、数学在现实世界中有着广泛的应用；面对实际问题时，能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略；面对新的数学知识时，主动地寻找其实际背景，并探索其应用价值。
在近几年的中考数学试题中，规划决策题备受命题者的青睐。
这类试题信息量大、知识背景丰富、题目灵活、构思新颖、综合性强，能较好地考查学生阅读理解能力；抽象概括能力、数学建模能力、知识应用能力等。
研究这类试题将给数学教学以及中考复习带来有益的启示。
本文例举几道中考题进行讲解点评，与大家共享。
例1 27题（10分）为支持四川抗震救灾，重庆市A、B、C三地现在分别有赈灾物资100吨，、100吨、80吨，需要全部运往四川重灾地区的D、E两县。
根据灾区的情况，这批赈灾物资运往D县的数量比运往E县的数量的2倍少20吨。
（1）求这批赈灾物资运往D、E两县的数量各是多少？（2）若要求C地运往D县的赈灾物资为60吨，A地运往D的赈灾物资为x吨（x为整数），B地运往D县的赈灾物资数量小于A地运往D县的赈灾物资数量的2倍。
其余的赈灾物资全部运往E县，且B地运往E县的赈灾物资数量不超过25吨。
则A、B两地的赈灾物资运往D、E两县的方案有几种？请你写出具体的运送方案；（3）已知A、B、C三地的赈灾物资运往D、E两县的费用如下表：为即使将这批赈灾物资运往D、E两县，某公司主动承担运送这批赈灾物资的总费用，在（2）问的要求下，该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多是多少？（2008，重庆市中考题）点评：本题以四川汶川发生的地震为背景命题，教育意义很大。
本题的选取比较贴近于学生的学习现实和生活现实。
考查了学生构建方程组、不等式组、函数三种数学模型的能力，体现了学习数学的价值，有利于培养学生的责任感和创造能力，是一道应用性极强，有创意的规划决策题。
中考数学冲刺：方案设计与决策型问题--知识讲解(提高)
1
2
根据题意得解得，
类型三、利用方程（组）3
类型四、利用函数知识进行方案设计4
5
【思路点拨】
本题以紧密联系学生生活的“将军饮马”问题为原型，情景设计合理，设问层次分明，可以参照“将军饮马”问题来解决该题.
【答案与解析】
解：方案一：由题意可得：MB⊥OB，
∴点M到甲村的最短距离为MB．
∵点M到乙村的最短距离为MD．
∴将供水站建在点M处时，管道沿MD、MB线路铺设的长度之和最小．
PE 1 2
方案三：如答图②，作点M关于射线OF的对称点M′，连接作M′N⊥OE于点N，交OF于点G，交AM于点H，
∴M′N为点M′到OE的最短距离，即M′N＝GM+GN．
在Rt△M′HM中，∠MM′N＝30°，MM′＝6．
∴MH＝3，
∴NE＝MH＝3．
∵DE＝3，
∴N、D两点重合，即M′N过D点．。
中考冲刺：方案设计与决策型问题(基础)
中考冲刺：方案设计与决策型问题(基础)一转眼，距离中考只有短短几个月了，这个时候，我们不能再像以前那样慢慢悠悠地学习，而是要全力以赴，做好冲刺。
我将为大家分享一套中考冲刺方案，主要针对基础阶段的方案设计与决策型问题。
1.分析问题类型我们要明确决策型问题的特点。
这类问题通常涉及多个选项，需要我们根据已知信息进行分析、比较和判断，最终作出最佳选择。
这类问题分为两种：一种是单一决策问题，另一种是多阶段决策问题。
2.确定解题思路（1）理解题意：仔细阅读题目，确保理解题目所描述的情境、条件和目标。
（2）分析选项：对每个选项进行分析，找出其优点和缺点。
（3）比较选项：将各选项进行对比，找出最佳方案。
（4）作出决策：根据比较结果，作出最终选择。
3.实战演练下面，我们通过几个例子来具体讲解决策型问题的解题方法。
A.方案一：投资100万元，预计一年后收回投资并盈利50万元；B.方案二：投资200万元，预计一年后收回投资并盈利100万元；C.方案三：投资300万元，预计一年后收回投资并盈利150万元。
请问，该企业应该选择哪个方案？解答：我们要分析每个方案的优缺点。
方案一投资较少，但收益也较低；方案二投资适中，收益适中；方案三投资较多，收益也较高。
我们需要比较这三个方案。
从收益角度看，方案三最优；但从投资角度看，方案一最具优势。
综合考虑，我们可以认为方案二是最佳选择。
A.方案一：投资50亿元，预计五年后收回投资并盈利10亿元；B.方案二：投资80亿元，预计四年半后收回投资并盈利15亿元。
请问，该城市应该选择哪个方案？解答：同样地，我们先分析每个方案的优缺点。
方案一投资较少，但收益较低；方案二投资较多，收益也较高。
我们比较这两个方案。
从投资角度看，方案一更具优势；但从收益角度看，方案二更佳。
考虑到地铁建设对城市发展的长远影响，我们可以认为方案二是最佳选择。
4.决策型问题拓展（1）考虑时间因素：如上面的例2，我们需要根据项目的投资回收期来判断方案的优劣。
中考冲刺方案设计与决策型问题—知识讲解(基础).doc
中考冲刺：方案设计与决策型问题—知识讲解（基础）【中考展望】方案设计与决策型问题对于考查学生的数学创新应用能力非常重要．如让学生设计图形、设计测量方案、设计最佳方案等都是近年考查的热点，题目多以解答题为主．方案设计与决策型问题是近几年的热点试题，主要利用图案设计或经济决策来解决实际问题．题型主要包括：1．根据实际问题拼接或分割图形；2．利用方程(组)、不等式(组)、函数等知识对实际问题中的方案进行比较等．方案设计与决策问题就是给解题者提供一个问题情境，要求解题者利用所学的数学知识解决问题，这类问题既考查动手操作的实践能力，又培养创新品质，应该引起高度重视．【方法点拨】解答决策型问题的一般思路，是通过对题设信息进行全面分析、综合比较、判断优劣，从中寻找到适合题意的最佳方案．解题策略：建立数学模型，如方程模型、不等式模型、函数模型、几何模型、统计模型等，依据所建的数学模型求解，从而设计方案，科学决策.【典型例题】类型一、利用方程（组）进行方案设计1．（2016•凉山州）为了更好的保护美丽图画的邛海湿地，西昌市污水处理厂决定先购买A、B两型污水处理设备共20台，对邛海湿地周边污水进行处理，每台A型污水处理设备12万元，每台B型污水处理设备10万元．已知1台A型污水处理设备和2台B型污水处理设备每周可以处理污水640吨，2台A型污水处理设备和3台B型污水处理设备每周可以处理污水1080吨．（1）求A、B两型污水处理设备每周分别可以处理污水多少吨？（2）经预算，市污水处理厂购买设备的资金不超过230万元，每周处理污水的量不低于4500吨，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少？【思路点拨】（1）根据1台A型污水处理设备和2台B型污水处理设备每周可以处理污水640吨，2台A型污水处理设备和3台B型污水处理设备每周可以处理污水1080吨，可以列出相应的二元一次方程组，从而解答本题；（2）根据题意可以列出相应的不等式组，从而可以得到购买方案，从而可以算出每种方案购买资金，从而可以解答本题．【答案与解析】解：（1）设A型污水处理设备每周每台可以处理污水x吨，B型污水处理设备每周每台可以处理污水y吨，解得，即A型污水处理设备每周每台可以处理污水240吨，B型污水处理设备每周每台可以处理污水200吨；（2）设购买A型污水处理设备x台，则购买B型污水处理设备（20﹣x）台，则解得，12.5≤x ≤15，第一种方案：当x=13时，20﹣x=7，花费的费用为：13×12+7×10=226万元； 第二种方案：当x=14时，20﹣x=6，花费的费用为：14×12+6×10=228万元； 第三种方案；当x=15时，20﹣x=5，花费的费用为：15×12+5×10=230万元； 即购买A 型污水处理设备13台，则购买B 型污水处理设备7台时，所需购买资金最少，最少是226万元．【总结升华】本题考查一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 举一反三：【变式】某班有学生55人，其中男生与女生的人数之比为6∶5.(1)求出该班男生与女生的人数；(2)学校要从该班选出20人参加学校的合唱团，要求：①男生人数不少于7人；②女生人数超过男生人数2人以上．请问男、女生人数有几种选择方案？ 【答案】解：(1)设男生有6x 人，则女生有5x 人． 依题意得：6x ＋5x ＝55， ∴x ＝5，∴6x ＝30,5x ＝25.答：该班男生有30人，女生有25人．(2)设选出男生y 人，则选出的女生为(20－y )人．由题意得：，解得：7≤y <9，∴y 的整数解为：7、8. 当y ＝7时，20－y ＝13， 当y ＝8时，20－y ＝12.答：有两种方案，即方案一：男生7人，女生13人；方案二：男生8人，女生12人．类型二、利用不等式（组）进行方案设计2．温州享有“中国笔都”之称，其产品畅销全球．某制笔企业欲将n 件产品运往A ，B ，C 三地销售，要求运往C 地的件数是运往A 地件数的2倍，各地的运费如图所示．设安排x 件产品运往A 地．(1)当n ＝200时，①根据信息填表：A 地B 地C 地 合计 产品件数(件)x 2x 200 运费(元)30x2027y y y --⎧⎨⎩＞≥②若运往B 地的件数不多于运往C 地的件数，总运费不超过4000元，则有哪几种运输方案？(2)若总运费为5800元，求n 的最小值．【思路点拨】(1)①运往B 地的产品件数＝总件数n －运往A 地的产品件数－运往C 地的产品件数：运费＝相应件数×一件产品的运费；②根据运往B 地的件数不多于运往C 地的件数，总运费不超过4000元列出不等式组，求得整数解的个数即可；(2)总运费＝A 产品的运费＋B 产品的运费＋C 产品的运费，进而根据函数的增减性及(1)中②得到的x 的取值求得n 的最小值即可．【答案与解析】(1)①根据信息填表：A 地B 地C 地合计产品件数(件) 200－3x运费(元)1 600－24x 50x56x ＋1 600②由题意得解得40≤x ≤42.∵x 为正整数，∴x ＝40或41或42，∴有3种方案，分别为： (ⅰ)A 地40件，B 地80件，C 地80件； (ⅱ)A 地41件，B 地77件，C 地82件； (ⅲ)A 地42件，B 地74件，C 地84件． (2)由题意得30x ＋8(n －3x )＋50x ＝5800， 整理得n ＝725－7x . ∵n －3x ≥0，∴x ≤72.5.又∵x ≥0，∴0≤x ≤72.5且x 为正整数．∵n 随x 的增大而减小，∴当x ＝72时，n 有最小值为221.【总结升华】考查一次函数的应用，得到总运费的关系式是解决本题的关键，注意结合自变量的取值n 的最小值.举一反三：【变式】为了保护环境，某化工厂一期工程完成后购买了3台甲型和2台乙型污水处理设备，共花费资金54万元，且每台乙型设备的价格是每台甲型设备价格的75%，实际运行中发现，每台甲型设备每月能处理污水200吨，每台乙型设备每月能处理污水160吨，且每年用于每台甲型设备的各种维护费和电费为1万元，每年用于每台乙型设备的各种维护费和电费为1.5万元.今年该厂二期工程即将完成，产生的污水将大大增加，于是该厂决定再购买甲、乙两型设备共8台用于二期工程的污水处理，要求本次购买资金不超过．．．84万元，预计二期工程完成后每月将产生不少于．．．1300吨污水.200321600564000x xx -≤⎧⎨+≤⎩（1）请你计算每台甲型设备和每台乙型设备的价格各是多少元？（2）请你求出用于二期工程的污水处理设备的所有购买方案；（3）若两种设备的使用年限都为10年，请你说明在（2）的所有方案中，哪种购买方案的总费用最少？（总费用＝设备购买费＋各种维护费和电费） 【答案】解：（1）设一台甲型设备的价格为x 万元，由题意3x+2×0.75x=54，解得x ＝12，∵12×75%＝9，∴一台甲型设备的价格为12万元，一台乙型设备的价格是9万元(2)设二期工程中,购买甲型设备a 台,由题意有12a+9(8-a)≤84①；200a+160(8-a)≥1300②，解得：≤a≤4，由题意a 为正整数,∴a ＝1,2,3,4 ∴所有购买方案有四种,分别为 方案一:甲型1台,乙型7台；方案二:甲型2台,乙型6台 方案三:甲型3台,乙型5台；方案四:甲型4台,乙型4台 (3)设二期工程10年用于治理污水的总费用为W 万元， W=12a+9（8-a ）+1×10a+1.5×10（8-a ）， 化简得:W=－2a ＋192,∵W 随a 的增大而减少 ∴当a ＝4时,W 最小（逐一验算也可） ∴按方案四甲型购买4台,乙型购买4台的总费用最少.类型三、利用方程（组）、不等式（组）综合知识进行方案设计3．在实施“中小学校舍安全工程”之际，某县计划对A 、B 两类学校的校舍进行改造．根据预测，改造一所A 类学校和三所B 类学校的校舍共需资金480万元，改造三所A 类学校和一所B 类学校的校舍共需资金400万元．(1)改造一所A 类学校和一所B 类学校的校舍所需资金分别是多少万元？(2)该县A 、B 两类学校共有8所需要改造．改造资金由国家财政和地方财政共同承担，若国家财政拨付资金不超过770万元，地方财政投入的资金不少于210万元，其中地方财政投入到A 、B 两类学校的改造资金分别为每所20万元和30万元，请你通过计算求出有几种改造方案，每个方案中A 、B 两类学校各有几所． 【思路点拨】（1）等量关系为：改造一所A 类学校和三所B 类学校的校舍共需资金480万元；改造三所A 类学校和一所B 类学校的校舍共需资金400万元；（2）关系式为：地方财政投资A 类学校的总钱数+地方财政投资B 类学校的总钱数≥210；12国家财政投资A 类学校的总钱数+国家财政投资B 类学校的总钱数≤770．【答案与解析】解：(1)设改造一所A 类学校的校舍需资金x 万元，改造一所B 类学校的校舍需资金y 万元，则，解得.答：改造一所A 类学校的校舍需资金90万元，改造一所B 类学校的校舍需资金130万元．(2)设A 类学校应该有a 所，则B 类学校有(8－a )所． 则，解得，∴1≤a ≤3，即a ＝1,2,3. 答：有3种改造方案：方案一：A 类学校有1所，B 类学校有7所； 方案二：A 类学校有2所，B 类学校有6所； 方案三：A 类学校有3所，B 类学校有5所． 【总结升华】解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．理解“国家财政拨付的改造资金不超过770万元，地方财政投入的资金不少于210万元”这句话中包含的不等关系是解决本题的关键． 举一反三：【变式】为表彰在“缔造完美教室”活动中表现积极的同学，老师决定购买文具盒与钢笔作为奖品．已知5个文具盒、2支钢笔共需100元；4个文具盒、7支钢笔共需161元．(1)每个文具盒、每支钢笔各多少元？(2)时逢“五一”，商店举行“优惠促销”活动，具体办法如下：文具盒“九折”优惠；钢笔10支以上超出部分“八折”优惠．若买x 个文具盒需要y 1元，买x 支钢笔需要y 2元，求y 1、y 2关于x 的函数关系式；(3)若购买同一种奖品，并且该奖品的数量超过10件，请你分析买哪种奖品省钱． 【答案】解：(1)设每个文具盒x 元，每支钢笔y 元，由题意得 ，解得. 答：每个文具盒14元，每支钢笔15元．(2)由题意知，y 1关于x 的函数关系式为y 1＝14×90%x ，即y 1＝12.6x .由题意知，买钢笔10支以下(含10支)没有优惠，故此时的函数关系式为y 2＝15x . 当买10支以上时，超出部分有优惠，故此时的函数关系式为y 2＝15×10＋15×80%(x －10)，即y 2＝12x ＋30.(3)当y 1<y 2，即12.6x <12x ＋30时，解得x <50； 当y 1＝y 2，即12.6x ＝12x ＋30时，解得x ＝50； 当y 1>y 2，即12.6x >12x ＋30时，解得x >50.34803400x y x y +=⎧⎨+=⎩90130x y =⎧⎨=⎩2030(8)(90-20)(13030)(8)a a a a +-⎧⎨+--⎩≥210≤770a a ⎧⎨⎩≤3≥152********x y x y +=⎧⎨+=⎩1415x y =⎧⎨=⎩综上所述，当购买奖品等于10件但少于50件时，买文具盒省钱；当购买奖品等于50件时，买文具盒和买钢笔钱数相等；当购买奖品超过50件时，买钢笔省钱．类型四、利用函数知识进行方案设计4．（2015•深圳模拟）将220吨物资从A地运往甲、乙两地，用大、小两种货车共18辆，恰好一次性运完这批物资，已知这两种货车的载重量分别为15（吨/辆）和10（吨/辆），运往甲、乙两地的运费如表1：（1）求这两种货车各需多少辆？（2）如果安排8辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a辆，填写表2，写出运费w（元）与a的函数关系式．若运往甲地的物资不少于110吨，请设计出货车调配方案，并求出最少运费．【思路点拨】（1）设需要大货车x辆，则需要小货车（18﹣x）辆，根据两种货车的运货总量为220吨建立方程求出其解即可（2）由安排8辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a辆，则甲地的小货车为（8﹣a）辆，乙地的大货车为（8﹣a）辆，小货车（2+a）辆，由总运费=两地费用之和就可以表示会出W与a的关系式，由运往甲地的物资不少于110吨建立不等式求出a的取值范围，由一次函数的性质就可以求出结论．【答案与解析】解：（1）设需要大货车x辆，则需要小货车（18﹣x）辆，由题意，得15x+10（18﹣x）=220，解得：x=8，需要小货车18﹣8=10辆．答：需要大货车8辆，则需要小货车10辆；（2）设前往甲地的大货车为a辆，则甲地的小货车为（8﹣a）辆，乙地的大货车为（8﹣a）辆，小货车（2+a）辆，表格2答案为：大货车去乙地（8﹣a）辆，小货车去甲、乙两地各（8﹣a）辆，（2+a）辆．由题意，得W=700a+800（8﹣a）+400（8﹣a）+600（2+a），W=100a+10800．15a+10（8﹣a）≥110，a≥6．∵k=100＞0，∴W随a的增大而增大，∴a=6时，W最小=11400，∴运往甲地的大货车6辆，小火车2辆，运往乙地的大货车2辆，小火车8辆．最小运费为11400辆．【总结升华】此题主要考查了一次函数的应用以及不等式的解法和一次函数的最值问题，根据题意用x表示出运往各地的台数是解决问题的关键．类型五、利用几何知识进行方案设计5．某区规划修建一个文化广场(平面图形如图所示),其中四边形ABCD是矩形，分别以AB、BC、CD、DA边为直径向外作半圆,若整个广场的周长为628米，矩形的边长AB=y 米,BC=x米.(注：取π=3.14)(1)试用含x的代数式表示y；(2)现计划在矩形ABCD区域上种植花草和铺设鹅卵石等,平均每平方米造价为428元,在四个半圆的区域上种植草坪及铺设花岗岩,平均每平方米造价为400元；①设该工程的总造价为W元，求W关于x的函数关系式；②若该工程政府投入1千万元，问能否完成该工程的建设任务？若能，请列出设计方案，若不能，请说明理由.③若该工程在政府投入1千万元的基础上，又增加企业募捐资金64.82万元，但要求矩形的边BC的长不超过AB长的三分之二，且建设广场恰好用完所有资金，问：能否完成该工程的建设任务？若能，请列出所有可能的设计方案，若不能，请说明理由.【思路点拨】（1）把组合图形进行分割拼凑，利用圆的周长计算公式解答整理即可；（2）①利用组合图形的特点，算出种植花草和铺设鹅卵石各自的面积，进一步求得该工程的总造价即可解答；②利用配方法求得最小值进行验证即可得出结论；③建立不等式与一元二次方程，求出答案结合实际即可解决问题．【答案与解析】解：（1）由题意得，πy+πx=628，∵3.14y+3.14x=628，∴y+x=200则y=200﹣x；（2）①W=428xy+400π+400π，=428x （200﹣x ）+400×3.14×+400×3.14×，=200x 2﹣40000x+12560000；②仅靠政府投入的1千万不能完成该工程的建设任务．理由如下， 由①知W=200（x ﹣100）2+1.056×107＞107， 所以不能；③由题意可知：x≤y 即x≤（200﹣x ）解之得x≤80， ∴0≤x≤80，又题意得：W=200（x ﹣100）2+1.056×107=107+6.482×105， 整理得（x ﹣100）2=441，解得x 1=79，x 2=121（不合题意舍去）， ∴只能取x=79，则y=200﹣79=121；所以设计方案是：AB 长为121米，BC 长为79米，再分别以各边为直径向外作半圆． 【总结升华】此题利用基本数量关系和组合图形的面积列出二次函数，运用配方法求得最值，进一步结合不等式与一元二次方程解决实际问题．2()2y2(200)4x 24x。
最新中考数学总复习专题五：函数的实际应用与决策试题
年中考，函数的实际应用是怀化每年中考必考内容，常考类型有：,中考重难点突破)一次函数的实际应用【例1】(2016鹤城模拟)山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投入市场，某车行经营的A型车去年销售总额为5万元，今年每辆售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%.A、B两种型号车的进货和销售价格如下表：(1)今年A型车每辆售价多少元？(用列方程的方法解答)(2)该车行计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？【解析】(1)根据卖出的数量相同作为等量关系列方程；(2)建立获利的函数关系式，然后用一次函数的性质回答问题．【学生解答】解：(1)设今年A型车每辆售价x元，则去年每辆售价(x＋400)元．由题意，得50 000x＋400＝50 000（1－20%）x.解得x＝1 600.经检验，x＝1 600是所列方程的根．答：今年A型车每辆售价为1 600元；(2)设车行新进A型车a辆，则B型车为(60－a)辆，获利y元．由题意，得y＝(1 600－1 100)a＋(2 000－1 400)(60－a)，即y＝－100a＋36 000.∵B型车的进货数量不超过A型车数量的2倍．∴60－a≤2a.∴a≥20.由y与a的关系式可知，－100<0，y的值随a的值增大而减小．∴a＝20时，y的值最大，∴60－a＝60－20＝40(辆)，∴当车行新进A型车20辆，B型车40辆时，这批车获利最多．【点拨】弄清题意建立相应数学模型是关键．1．(2016孝感中考)孝感市在创建国家级园林城市中，绿化档次不断提升．某校计划购进A ，B 两种树木共100棵进行校园绿化升级，经市场调查：购买A 种树木2棵，B 种树木5棵，共需600元；购买A 种树木3棵，B 种树木1棵，共需380元．(1)求A 种，B 种树木每棵各多少元？(2)因布局需要，购买A 种树木的数量不少于B 种树木数量的3倍．学校与中标公司签订的合同中规定：在市场价格不变的情况下(不考虑其他因素)，实际付款总金额按市场价九折优惠，请设计一种购买树木的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用．解：(1)设A 种，B 种树木每棵分别为a 元，b 元，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋5b ＝600，3a ＋b ＝380，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝100，b ＝80.答：A 种，B 种树木每棵分别为100元，80元；(2)设购买A 种树木为x 棵，则购买B 种树木为(100－x)棵，则x≥3(100－x)，∴x ≥75.设实际付款总金额为y 元，则y ＝0.9[100x ＋80(100－x)]＝18x ＋7 200.∵18>0，y 随x 的增大而增大，∴x ＝75时，y 最小．即x ＝75，y最小值＝18×75＋7 200＝8 550(元).100－x ＝100－75＝25.∴当购买A 种树木75棵，B 种树木25棵时，所需费用最少，最少费用为8 550元．2．(2015芷江模拟)一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为y 1 km ，出租车离甲地的距离为y 2 km ，两车行驶的时间为x h ，y 1，y 2关于x 的函数图象如图所示：(1)根据图象，直接写出y 1、y 2关于x 的函数关系式；(2)若两车之间的距离为s km ，请写出s 关于x 的函数关系式；(3)甲、乙两地间有A 、B 两个加油站，相距200 km ，若客车进入A 加油站时，出租车恰好进入B 加油站，求A 加油站离甲地的距离．解：(1)y 1＝60x(0≤x≤10)，y 2＝－100x ＋600(0≤x≤6)；(2)s ＝⎩⎪⎨⎪⎧－160x ＋600（0≤x≤154），160x －600（154<x≤6），60x （6<x≤10）；(3)由题意得s ＝200，①当0≤x≤154时，－160x ＋600＝200.∴x＝52，∴y 1＝60x ＝150(km )．②当154<x ≤6时，160x －600＝200.∴x＝5.∴y 1＝60x ＝300(km )．③当6<x≤10时，60x>360(舍去)．即A 加油站离甲地的距离为150 km或300 km.二次函数的实际应用【例2】(2016沅陵模拟)天猫网某店铺销售新疆薄皮核桃，这种食品是健脑的佳品，它的成本价为每千克20元，经市场调查发现，该产品每天销售利润w(元)与销售价x(元/kg)有如下关系：w＝ax2＋bx－1 600，当销售价为22元/kg时，每天的销售利润为72元；当销售价为26元/kg时，每天的销售利润为168元．(1)求该产品每天的销售利润w(元)与销售价x(元/kg)的关系式；(2)当销售价定为每千克24元时，该产品每天的销售利润为多少元？(3)如果该店铺的负责人想要在销售价不超过32元的情况下每天获得150元的销售利润，求销售价应定为每千克多少元？(4)如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克29元，此店铺每天获得的最大利润为多少元？【解析】(1)根据题意可求出y与x的二次函数关系式；(2)将x＝24代入w＝－2x2＋120x－1 600中计算所得利润；(3)将w＝150带入w＝－2x2＋120x－1 600中计算出定价；(4)由二次函数解析式可知w＝－2x2＋120x－1 600＝－2(x－30)2＋200，所以当x＝29时利润最大．【学生解答】解：(1)已知w＝ax2＋bx－1 600，且有当销售价为22元时，每天的销售利润为72元；当销售价为26元时，每天的销售利润为168元．所以有：72＝a×222＋b×22－1 600，168＝a×262＋b×26－1 600.解得a＝－2，b＝120.∴该产品每天的销售利润w(元)与销售价x(元/千克)的关系式为w＝－2x2＋120x－1 600；(2)当x＝24时，有w＝－2×242＋120×24－1 600＝128.∴当销售价定为每千克24元时，该产品每天的销售利润为128元；(3)当w＝150时，有w＝－2x2＋120x－1 600＝150.解得x1＝25，x2＝35.∵x≤32，∴x＝25.∴定价为每千克25元；(4)w＝－2x2＋120x－1 600＝－2(x－30)2＋200.又∵物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克29元，∴当x＝29元时，利润最大，为w＝－2(29－30)2＋200＝198(元)．【点拨】正确建立二次函数模型，利用配方法和二次函数的性质结合自变量的取值范围，求出最佳方案．3．(2016龙岩中考)某网店尝试用单价随天数而变化的销售模式销售一种商品，利用30天的时间销售一种成本为10元/件的商品售后，经过统计得到此商品单价在第x天(x为正整数)销售的相关信息，如表所示：(1)请计算第几天该商品单价为25元/件？(2)求网店销售该商品30天里所获利润y(元)关于x(天)的函数关系式；(3)这30天中第几天获得的利润最大？最大利润是多少？解：(1)当1≤x≤20时，将m ＝25代入m ＝20＋12x ，解得x ＝10；当21≤x≤30时，25＝10＋420x ，解得x ＝28.∴第10天或第28天时该商品单价为25元/件； (2)当1≤x≤20时，y ＝(m －10)n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫20＋12x －10(50－x)，即y ＝－12x 2＋15x ＋500；当21≤x≤30时，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫10＋420x －10(50－x)＝21 000x －420，∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x 2＋15x ＋500（1≤x≤20），21 000x－420（21≤x≤30）； (3)当1≤x≤20时，y ＝－12x 2＋15x ＋500＝－12(x －15)2＋1 2252，∵a ＝－12<0，∴当x ＝15时，y 最大＝1 2252；当21≤x≤30时，由y ＝21 000x－420可知，y 随x 的增大而减小，∴当x ＝21时，y 最大＝580元．∵580<1 2252，∴第15天时获得利润最大，最大利润为612.5元．一次、二次函数综合应用【例3】(2015黄冈中考)某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎，每年可在国内、国外市场上全部售完，该公司的年产量为6千件，若在国内市场销售，平均每件产品的利润y 1(元)与国内销售数量x(千件)的关系为：y 1＝⎩⎪⎨⎪⎧15x ＋90（0<x≤2），－5x ＋130（2≤x<6）.若在国外销售，平均每件产品的利润y 2(元)与国外的销售数量t(千件)的关系为： y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧100（0<t≤2），－5t ＋110（2≤t<6）.(1)用x 的代数式表示t 为：t ＝________；当0<x<4时，y 2与x 的函数关系式为：y 2＝________；当4≤x<________时，y 2＝100；(2)求每年该公司销售这种健身产品的总利润w(千元)与国内的销售数量x(千件)的函数关系式，并指出x 的取值范围．【学生解答】解：(1)6－x ；5x ＋80；6；(2)当0<x≤2时，w ＝(15x ＋90)x ＋(5x ＋80)(6－x)＝10x2＋40x ＋480；当2<x≤4时，w ＝(－5x ＋130)x ＋(5x ＋80)(6－x)＝－10x 2＋80x ＋480；当4<x<6时，w ＝(－5x ＋130)x ＋100(6－x)＝－5x 2＋30x ＋600.综上，w ＝⎩⎪⎨⎪⎧10x 2＋40x ＋480（0<x≤2），－10x 2＋80x ＋480（2<x≤4），－5x 2＋30x ＋600（4<x<6）.4．(2015辰溪模拟)某公司投资700万元购甲、乙两种产品的生产技术和设备后，进行这两种产品加工．已知生产甲种产品每件还需成本费30元，生产乙种产品每件还需成本费20元．经市场调研发现：甲种产品的销售单价定在35元到70元之间较为合理，设甲种产品的销售单价为x(元)，年销售量为y(万件)，当35≤x<50时，y 与x 之间的函数关系式为y ＝20－0.2x ；当50≤x≤70时，y 与x 的函数关系式如图所示，乙种产品的销售单价在25元(含)到45元(含)之间，且年销售量稳定在10万件．物价部门规定这两种产品的销售单价之和为90元．(1)当50≤x≤70时，求出甲种产品的年销售量y(万件)与x(元)之间的函数关系式．(2)若公司第一年的年销售利润(年销售利润＝年销售收入－生产成本)为W(万元)，那么怎样定价，可使第一年的年销售利润最大？最大年销售利润是多少？(3)第二年公司可重新对产品进行定价，在(2)的条件下，并要求甲种产品的销售单价x(元)在50≤x≤70范围内，该公司希望到第二年年底，两年的总盈利(总盈利＝两年的年销售利润之和－投资成本)不低于85万元．请直接写出第二年乙种产品的销售单价m(元)的范围．解：(1)y 与x 的函数关系式为y ＝15－0.1x ；(2)依题意知：25≤90－x≤45，即45≤x ≤65.①当45≤x<50时，W ＝(20－0.2x)(x －30)＋10(90－x －20)＝－0.2x 2＋16x ＋100＝－0.2(x －40)2＋420.由函数图象性质知，当x ＝45时，W 最大值为415万元；②当50≤x≤65时，W ＝(15－0.1x)(x －30)＋10(90－x －20)＝－0.1x 2＋8x ＋250＝－0.1(x －40)2＋410.由函数图象性质知，当x ＝50时，W 最大值为400万元．综上所述，当x ＝45时，即甲、乙两种产品定价均为45元时，第一年年销售利润最大，最大年销售利润为415万元；(3)30≤m ≤40.5．(2016随州中考)九年级(3)班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第x 天(1≤x≤90，且x 为整数)的售价与销售量的相关信息如下．已知商品的进价为30元/件，设该商品的售价为y(单位：元/件)，每天的销售量为p(单位：件)，每天的销售利润为w(单位：元)．(1)求出w 与x 的函数关系式；(2)问销售该商品第几天时，当天的销售利润最大？并求出最大利润；(3)该商品在销售过程中，共有多少天每天的销售利润不低于5 600元？请直接写出结果．解：(1)当0≤x≤50时，设商品的售价y 与时间x 的关系式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0，50k ＋b ＝90，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝40，∴y ＝x ＋40，∴y 与x 的函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋40（0≤x≤50，且x 为整数），90（50<x≤90且x 为整数）.设p 与x 之间的关系式为p ＝mx ＋n(m 、n 为常数，且m≠0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧60m ＋n ＝80，30m ＋n ＝140，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝200，∴p ＝－2x ＋200(0≤x≤90，且x 为整数)．当0≤x≤50时，w ＝(y －30)·p＝(x ＋40－30)(－2x ＋200)＝－2x 2＋180x ＋2 000，当50<x≤90时，w ＝(90－30)·(－2x ＋200)＝－120x ＋12 000.综上所述，w ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋180x ＋2 000（0≤x≤50，且x 为整数），－120x ＋12 000（50<x≤90，且x 为整数）； (2)当0≤x≤50时，w ＝－2x 2＋180x ＋2 000＝－2(x －45)2＋6 050.∵a＝－2<0且0≤x≤50，∴x ＝45时，w最大＝6 050(元)．当50＜x≤90时，w ＝－120x ＋12 000.∵k＝－120<0，∴w 随x 增大而减小，∴x ＝50时，w 最大＝6 000(元)．∵6 050>6 000，∴x ＝45时，w 最大＝6 050(元)．即销售第45天时，当天获得的利润最大，最大利润是6 050元；(3)24天．。
中考数学复习：专题3-15 二次函数在经济决策问题中的应用
二次函数在经济决策问题中的应用【专题综述】经济问题是中考中的热点问题，在今年的中考试题中，出现了很多和经济有关的函数型试题．解决此类试题，需要从已知条件中捕捉函数信息，通过函数关系，进一步解决实际问题．本文就二次函数在经济决策问题中的应用举例说明.【方法解读】例1：枇杷是莆田名果之一，某果园有100棵枇杷树．每棵平均产量为40千克，现准备多种一些 枇杷树以提高产量，但是如果多种树，那么树与树之间的距离和每一棵数接受的阳光就会减少，根据实践经验，每多种一棵树，投产后果园中所有的枇杷树平均每棵就会减少产量0.25千克，问：增种多少棵枇杷树，投产后可以使果园枇杷的总产量最多？最多总产量是多少千克？ 解：设增种x 棵树，果园的总产量为y 千克， 依题意得：y ＝（100 ＋ x ）(40 – 0.25x )＝4000 – 25x ＋ 40 x – 0，25x 2 ＝ － 0.25 x 2 ＋ 15x ＋ 4000 因为a ＝ － 0.25〈0，所以当1530220.25b x a =-=-=-⨯，y 有最大值 2244(0.25)400015422544(0.25)ac b y a -⨯-⨯-===⨯-最大值答:（略）例2我市某工艺厂为配合北京奥运，设计了一款成本为20元∕件的工艺品投放市场进行试销． 经过调查，得到如下数据：（1）把上表中x 、y 的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y 与x 的函数关系，并求出函数关系式；（2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价-成本总价）（3）当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能．．超过45元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？销售单价x （元∕件） …… 30 40 50 60 …… 每天销售量y （件）……500400300200……解：（1）画图如右图；由图可猜想y与x是一次函数关系，设这个一次函数为y= k x+b（k≠0）∵这个一次函数的图象经过（30，500）（40，400）这两点，∴5003040040k bk b=+⎧⎨=+⎩解得10800kb=-⎧⎨=⎩∴函数关系式是：y=－10x+800（2）设工艺厂试销该工艺品每天获得的利润是W元，依题意得W=（x－20）（－10x+800）=－10x2+1000x-16000=－10（x－50）2+9000∴当x=50时，W有最大值9000．所以，当销售单价定为50元∕件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大，最大利润是9000元．（3）对于函数W=－10（x－50）2+9000，当x≤45时，W的值随着x值的增大而增大，∴销售单价定为45元∕件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大．例3、某市种植某种绿色蔬菜，全部用来出口．为了扩大出口规模，该市决定对这种蔬菜的种植实行政府补贴，规定每种植一亩这种蔬菜一次性补贴菜农若干元．经调查，种植亩数y（亩）与补贴数额x（元）之间大致满足如图1所示的一次函数关系．随着补贴数额x的不断增大，出口量也不断增加，但每亩蔬菜的收益z （元）会相应降低，且z 与x 之间也大致满足如图2所示的一次函数关系．（1）在政府未出台补贴措施前，该市种植这种蔬菜的总收益额为多少？（2）分别求出政府补贴政策实施后，种植亩数y 和每亩蔬菜的收益z 与政府补贴数额x 之间的函数关系式； （3）要使全市这种蔬菜的总收益w （元）最大，政府应将每亩补贴数额x 定为多少？并求出总收益w 的最大值．解：（1）政府没出台补贴政策前，这种蔬菜的收益额为30008002400000⨯=（元）（2）由题意可设y 与x 的函数关系为800y kx =+ 将(501200)，代入上式得120050800k =+ 得8k =所以种植亩数与政府补贴的函数关系为8800y x =+同理可得每亩蔬菜的收益与政府补贴的函数关系为33000z x =-+ （3）由题意(8800)(33000)u yz x x ==+-+224216002400000x x =-++224(450)7260000x =--+所以当450x =，即政府每亩补贴450元时，全市的总收益额最大，最大为7260000元．例4、 研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果：第一年的年产量为x （吨）时，所需的全部费用y （万元）与x 满足关系式2159010y x x =++，投入市场后当年能全部售出，且在甲、乙两地每吨的售价p 甲，p 乙（万元）均与x 满足一次函数关系．（注：年利润＝年销售额－全部费用）（1）成果表明，在甲地生产并销售x 吨时，11420p x =-+甲，请你用含x 的代数式表示甲地当年的年销售额，并求年利润w 甲（万元）与x 之间的函数关系式；（2）成果表明，在乙地生产并销售x 吨时，110p x n =-+乙（n 为常数），且在乙地当年的最大年利润为35万元．试确定n 的值；（3）受资金、生产能力等多种因素的影响，某投资商计划第一年生产并销售该产品18吨，根据（1），（2）中的结果，请你通过计算帮他决策，选择在甲地还是乙地产销才能获得较大的年利润？ 解：（1）甲地当年的年销售额为211420x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭万元； 2399020w x x =-+-甲． （2）在乙地区生产并销售时， 年利润222111590(5)9010105w x nx x x x n x ⎛⎫=-+-++=-+-- ⎪⎝⎭乙． 由214(90)(5)535145n ⎛⎫⨯-⨯--- ⎪⎝⎭=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭，解得15n =或5-． 经检验，5n =-不合题意，舍去，15n ∴=． （3）在乙地区生产并销售时，年利润2110905w x x =-+-乙， 将18x =代入上式，得25.2w =乙（万元）；将18x =代入2399020w x x =-+-甲， 得23.4w =甲（万元）．∵w w >乙甲，∴应选乙地．【强化训练】1. 某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙（墙长50m ），中间用两道墙隔开（如图）．已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48m ，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为 m 2．2.（2017湖北省荆州市）荆州市某水产养殖户进行小龙虾养殖．已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价p （元/千克）与时间第t （天）之间的函数关系为：116(140)4146(4180)2t t t p t t t ⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪-+≤≤⎪⎩，为整数，为整数 ，日销售量y （千克）与时间第t （天）之间的函数关系如图所示：（1）求日销售量y 与时间t 的函数关系式？ （2）哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？ （3）该养殖户有多少天日销售利润不低于2400元？（4）在实际销售的前40天中，该养殖户决定每销售1千克小龙虾，就捐赠m （m ＜7）元给村里的特困户．在这前40天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t 的增大而增大，求m 的取值范围．3．（2017湖北省荆门市）我市雷雷服饰有限公司生产了一款夏季服装，通过实体商店和网上商店两种途径进行销售，销售一段时间后，该公司对这种商品的销售情况，进行了为期30天的跟踪调查，其中实体商店的日销售量y 1（百件）与时间t （t 为整数，单位：天）的部分对应值如下表所示，网上商店的日销售量y 2（百件）与时间t （t 为整数，单位：天）的部分对应值如图所示．（1）请你在一次函数、二次函数和反比例函数中，选择合适的函数能反映y 1与t 的变化规律，并求出y 1与t 的函数关系式及自变量t 的取值范围；（2）求y 2与t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；（3）在跟踪调查的30天中，设实体商店和网上商店的日销售总量为y （百件），求y 与t 的函数关系式；当t 为何值时，日销售总量y 达到最大，并求出此时的最大值．4．（2017湖北省随州市）某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同． （1）求该种水果每次降价的百分率；（2）从第一次降价的第1天算起，第x 天（x 为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示．已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x （天）的利润为y （元），求y 与x （1≤x ＜15）之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？时间x （天） 1≤x ＜9 9≤x ＜15 x ≥15售价（元/斤） 第1次降价后的价格 第2次降价后的价格销量（斤） 80﹣3x 120﹣x 储存和损耗费用（元）40+3x3x 2﹣64x +400（3）在（2）的条件下，若要使第15天的利润比（2）中最大利润最多少127.5元，则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？5．（2017湖北省襄阳市）为了“创建文明城市，建设美丽家园”，我市某社区将辖区内的一块面积为1000m 2的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花，设种草部分的面积为x （m 2），种草所需费用1y （元）与x （m 2）的函数关系式为()()11206006001000k x x y k x b x ≤<⎧⎪=⎨+≤≤⎪⎩，其图象如图所示：栽花所需费用2y （元）与x （m 2）的函数关系式为220.012030000y x x =--+（0≤x ≤1000）．（1）请直接写出1k 、2k 和b 的值；（2）设这块1000m 2空地的绿化总费用为W （元），请利用W 与x 的函数关系式，求出绿化总费用W 的最大值；（3）若种草部分的面积不少于700m 2，栽花部分的面积不少于100m 2，请求出绿化总费用W 的最小值．6．（2017湖北省黄石市）小明同学在一次社会实践活动中，通过对某种蔬菜在1月份至7月份的市场行情进行统计分析后得出如下规律：①该蔬菜的销售价P （单位：元/千克）与时间x （单位：月份）满足关系：P =9﹣x ；②该蔬菜的平均成本y （单位：元/千克）与时间x （单位：月份）满足二次函数关系210y ax bx =++，已知4月份的平均成本为2元/千克，6月份的平均成本为1元/千克． （1）求该二次函数的解析式；（2）请运用小明统计的结论，求出该蔬菜在第几月份的平均利润L （单位：元/千克）最大？最大平均利润是多少？（注：平均利润=销售价﹣平均成本）7．（2017辽宁省锦州市）为解决消费者停车难的问题，某商场新建一小型轿车停车场，经测算，此停车场每天需固定支出的费用（包括设施维修费、管理人员工资等）为600元，为制定合理的收费标准，该商场对每天轿车停放辆次（每辆轿车每停放一次简称为“辆次”）与每辆轿车的收费情况进行调查，发现每辆次轿车的停车费定价不超过10元时，每天来此停放的轿车都为300辆次；若每辆次轿车的停车费定价超过10元，则每超过1元，每天来此停放的轿车就减少12辆次，设每辆次轿车的停车费x 元（为便于结算，停车费x 只取整数），此停车场的日净收入为y 元（日净收入=每天共收停车费﹣每天固定的支出）回答下列问题：（1）①当x ≤10时，y 与x 的关系式为：； ②当x ＞10时，y 与x 的关系式为：；（2）停车场能否实现3000元的日净收入？如能实现，求出每辆次轿车的停车费定价，如不能实现，请说明理由；（3）该商场要求此停车场既要吸引顾客，使每天轿车停放的辆次较多，又要有最大的日净收入，按此要求，每辆次轿车的停车费定价应定为多少元？此时最大日净收入是多少元？8．（2017山东省潍坊市）工人师傅用一块长为10dm ，宽为6dm 的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．（厚度不计）（1）在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并求长方体底面面积为12dm2时，裁掉的正方形边长多大？（2）若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍，并将容器进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元，裁掉的正方形边长多大时，总费用最低，最低为多少？9．（2017内蒙古包头市）某广告公司设计一幅周长为16米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米2000元．设矩形一边长为x，面积为S平方米．（1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）设计费能达到24000元吗？为什么？（3）当x是多少米时，设计费最多？最多是多少元？10．（2017四川省达州市）宏兴企业接到一批产品的生产任务，按要求必须在14天内完成．已知每件产品的出厂价为60元．工人甲第x天生产的产品数量为y件，y与x满足如下关系：()()7.504510414x xyx x⎧≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩．（1）工人甲第几天生产的产品数量为70件？（2）设第x天生产的产品成本为P元/件，P与x的函数图象如图．工人甲第x天创造的利润为W元，求W与x的函数关系式，并求出第几天时，利润最大，最大利润是多少？。
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热 点 之 一 ， 一 类 根 据 已知 的信 息 或 数 据 ， 用 是 利
数 学知 识进行 计 算或估 测 ， 而作 出正确 的决 从
策 ， 要 考 查 学 生 对 运 用 数 学 知 识 解 决 实 际 问 主
润 ， 件 商 品 的 售 价 定 为 多 少 最 合 适 ？ 大 销 售 每 最 利润 为多少？
２． ２３６ ）
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一
评 注 ： 营 者 根 据 市 场 规 律 ， 某 类 商 品运 经 对 用 数 学 知 识 寻 找 最 佳 定 价 ， 中获 取 最 大 利 润 ， 从 解 这 类 问题 的 关 键 是 寻 求 函 数关 系 式 或 列 方 程
（ ）或 不 等 式 （ ） 组 组 ．
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《 学 教 学 通 讯 ）０ ２年 第 １ （ 第 １ ６期 ） 数 ２０ 期 总 ４
重庆
・２ ９・
赏 析 中 考 决 策 型 应 用 题
（ 东 省 惠 阳 市镇 隆 中学 ５ ６ ２ ） 钟 文 挥 广 １ ２ ７ 决 策 型 应 用 题 是 近 年 来 各 省 市 中 考 命 题 （ ）写 出 商 场 卖 这 种 商 品 每 天 的 销 售 利 润 １ Ｙ与 每 件 销 售 价 ｚ之 问 的 函数 关 系 式 ． （ ）如果 商 场 要 想 每 天 获 得 最 大 的销 售 利 ２
２５ ｚ 一 ４８ ． ２ ６０
每 天 的销 售 量 ｍ Ｃ ） 每 件 的 销 售 价 （ ） 件 与 元 满
足 一 次 函数 ： 一 １ ２～ ３ ６
（ ） 由 上 式 得 ＝ 一 ３ 一 ４ ） ２ （ ２ 。＋ ４ ２ ３ ，
１ 卸 ， △ ２ ＝ ，
解 ：佐 （ ， ） ，田 笫 论
所 以 当 一 ４ ２时 ， Ｙ有 最 大 值 为 ４ ２元 ． ３ 故 当 每 件 商 品 的销 售 价 为 ４ ２元 时 ， 天 有 每
最 大 利 润 为 ４ ２元 ． ３
计 了 四 种 架 设 方 案 ， 图 ２中 的 实 线 部 分 ， 你 如 请 帮 助 计 算 一 下 ， 种 架 设 方 案 最 省 电 线 ． 参 考 哪 （ 数 据 ： 丁 一 １ ４ ４ ｉ — １ ７ ２ ．１ ， ．３ ．
２
最 佳 营 运 决 策
Ｂ Ａ
Ｃ
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Ａ
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例 ２ （ 宁 省 中 考 题 ）某 单 位 急 需 用 车 ， 辽 但 又 不 准 备 买 车 ， 们 准 备 和 一 个 个 体 车 主 或 他 国 营 出 租 车 公 司 其 中 的 一 家 签 订 月 租合 同 ． 设 汽 车每 月 行 驶 ｚｋ ｍ，
解 ：１ （ ）由题 意 ， 件 商 品 的销 售 利 润 为 每
—
题 的 能 力 本 文 以 ２ ０ ０ ０年 部 分 省 市 中 考 题 为 例 ， 寻这 类 问 题 的 特 征 和 求 解 策 略 ． 探
ｉ 最 佳 销 售 决 策
３ ０元 ） 那 么 ｍ 件 的销 售 利 润 为 ： ，
Ｓ， ＝６・ ｎ ． ｔ 导 ａ
ｔ ａｎ
例 已 椭 ＋ ＝ 的 焦 为 ３ 知 圆 警 ｌ两 点
Ｆ 、 ， 为该椭 圆上一 点 ， ！Ｆ 尸 求 Ｆ 尸 的范 围 ． 解 ： Ｐ 不 在 长 轴 上 时 由 结论 １知 当
ห้องสมุดไป่ตู้
詈 菩 击－ ｚ ｌＩ 一 ＝ 号－ ・ｏ ｃ Ｙ一
Ｙ ＝ ｍ 一 ３ ）． ０
例 １ （ 肃 省 中 考 题 ）某 商 场 以 每 件 ３ 甘 ０ 元 的价 格 购 进 一 种 商 品 ， 销 中 发 现 ， 种 商 品 试 这
周 为 ｍ ＝ １ ２～ ３ ６ ｘ，
所 以 Ｙ＝ （ ｚ一 ３ ） １ ２— ３ ０ （ ６ ｘ）＝ 一 ３ ｘ ＋
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所 一 ９一 ・ ） 号 以 ＜（ ｛ 訾 一 １
例４
若椭 圆 ＋
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所 一 ０ 去 ・ 以 去 ＜ ＜
２ 求 张 角 的 最 大 值 或 张 角 的 范 围
点 Ｐ， 使 尸 尸Ｆ。 １ ０ ， 椭 圆离 心率 的范 围 一 ２ 。求 解 ： Ｐ０ …Ｙ） 由结 论 １知 设 ，
得 ｚ ９ １一 ） （ ＿
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当 Ｆ 在长轴上 时 ， 。一 ０
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《 学教 学 通讯 ｝０ ２年 第 １期 （ 数 ２０ 总第 １ ６期 ） ４
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圈 ５
解 ： 妨 设 正 方形 的 边 长 为 ｌ 则 图 ２ 图 ３ 不 ， ， 的 总 路 线 长 均 为 ３ 图 ４的总 路 线 长 为 ： ，