高二数学期末考试题及答案
浙江宁波市2024年高二下学期期末考试数学试题+答案 (1)
宁波市2023学年第二学期期末考试高二数学试题卷本试卷共4页，19小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项:1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、学校、准考证号填涂在答题卡上。
将条形码横贴在答题卡的“贴条形码区”。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
所有答案必须写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁，不要折叠、不要弄破。
选择题部分(共58分)一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合U ={1，2，3，4，5}，A ={1，2，4}，B ={1，5}，则∁U A ∩B =()A.⌀B.{1}C.{5}D.{1，5}2.已知复数z =1+2i ，则1z 的虚部为()A.25B.25iC.-25i D.-253.已知角α的终边过点-4，3 ，则sin α+cos αsin α=()A.-12B.-13C.14D.734.已知a ，b 为单位向量，则“a ⊥b ”是“a -2b =2a +b”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.对于直线m ，n 和平面α，β，下列说法错误的是()A.若m ⎳α，n ⎳α，m ，n 共面，则m ⎳nB.若m ⊂α，n ⎳α，m ，n 共面，则m ⎳nC.若m ⊥β，且α⎳β，则m ⊥αD.若m ⊥α，且m ⎳β，则α⊥β6.若ln x -ln y >y 2-x 2，则()A.ex -y>1 B.e x -y<1 C.ln x -y >0 D.ln x -y <07.袋子中有n 个大小质地完全相同的球，其中4个为红球，其余均为黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，已知摸出的2个球都是红球的概率为16，则两次摸到的球颜色不相同的概率为()\A.518B.49C.59D.13188.颐和园的十七孔桥，初建于清乾隆年间；永定河上的卢沟桥，始建于宋代；四川达州的大风高拱桥，修建于清同治7年.这些桥梁屹立百年而不倒，观察它们的桥梁结构，有一个共同的特点，那就是拱形结构，这是悬链线在建筑领域的应用.悬链线出现在建筑领域，最早是由十七世纪英国杰出的科学家罗伯特.胡克提出的，他认为当悬链线自然下垂时，处于最稳定的状态，反之如果把悬链线反方向放置，它也是一种稳定的状态，后来由此演变出了悬链线拱门，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为cosh x =e x +e -x 2，相应的双曲正弦函数的表达式为sinh x =e x -e -x2.若关于x 的不等式4m cosh 2x -4sinh 2x -1>0对任意的x >0恒成立，则实数m 的取值范围为()A.2，+∞B.[2，+∞)C.14，+∞ D.14，+∞ 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分。
河南省高二上学期期末考试数学试题(解析版)
一、单选题1．直线的倾斜角为（ ） 50x +=A ． B ．C ．D ．30︒60︒120︒150︒【答案】D【分析】求出直线的斜率，然后根据斜率的定义即可求得倾斜角.【详解】直线可化为 50x +=y x =则斜率，满足， tan k α==α0180α≤<︒所以倾斜角为. 150︒故选：D2．下列有关数列的说法正确的是（ ）A ．数列1，0，，与数列，，0，1是相同的数列 1-2-2-1-B ．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列C ．数列0，2，4，6，8，…的一个通项公式为 2n a n =D ，…的一个通项公式为n a =【答案】D【分析】根据数列的定义和表示方法，逐一判断，即可得到本题答案.【详解】对于选项A ，数列1，0，-1，-2与数列-2，-1，0，1中的数字排列顺序不同，不是同一个数列，故A 错误；对于选项B ，常数数列既不是递增数列，也不是递减数列，故B 错误； 对于选项C ，当时，，故C 错误；1n =120a =≠对于选项D ，因为123a a a =====4a ==…，所以数列的一个通项公式为D 正确. n a =故选：D3．已知直线l 过点且方向向量为，则l 在x 轴上的截距为（ ） ()3,4-()1,2-A ． B ．1C ．D ．51-5-【答案】A【分析】先根据方向向量求得直线的斜率，然后利用点斜式可求得直线方程，再令，即2k =-0y =可得到本题答案.【详解】因为直线的方向向量为，所以直线斜率， l ()1,2-2k =-又直线过点，所以直线方程为，即， l ()3,4-42(3)y x -=-+220x y ++=令，得，所以在x 轴上的截距为-1. 0y ==1x -l 故选：A4．已知，“直线与平行”是“”的（ ）m ∈R 1:0l mx y +=22:910l x my m +--=3m =±A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据平行的成比例运算即可求解.【详解】直线与平行1:0l mx y +=22:910l x my m +--=则， 210=91m m m ≠--所以， 29m =解得，3m =±经检验，均符合题意， 3m =±故选：C.5．已知等差数列中，，是函数的两个零点，则{}n a 5a 14a 232()=--x x x f 381116a a a a +++=（ ） A ．3 B ．6C ．8D ．9【答案】B【分析】由等差数列的性质进行计算即可.【详解】由已知，函数的两个零点，即方程的两根，， 232()=--x x x f 2320x x --=1x 2x ∴， 51412331a a x x -+=+=-=∵数列为等差数列， {}n a ∴， 3168115143a a a a a a +=+=+=∴. 3811166a a a a +++=故选：B.6．已知圆关于y 轴对称的圆与直线相切，则m 的值为（ ）221:230C x y x ++-=2C x m =A ．B ．3C ．或3D ．1或1-1-3-【答案】C【分析】先求出关于y 轴对称的圆的标准方程，然后利用圆心到切线的距离等于半径，列出方2C 程求解，即可得到本题答案.【详解】由圆，可得标准方程，圆心为，半径， 221:230C x y x ++-=22(1)4x y ++=(1,0)-2r =故关于轴对称的圆的圆心为，半径，则其标准方程为， y 2C (1,0)2r =22(1)4x y -+=又因为圆与直线相切，所以圆心到切线的距离等于半径， 2C x m =即，解得或. 12m -=1m =-3m =故选：C7．已知数列满足，且，则数列的前项和为（ ） {}n a 13n n a a +=11a =-{}2n a n +5A ． B ． C ． D ．151-91-91151【答案】B【分析】由等比数列的定义判断出数列为等比数列，再使用分组求和法求解即可. {}n a 【详解】∵数列满足，且， {}n a 13n n a a +=11a =-∴数列是首项为，公比为的等比数列，{}n a 1-3∴，11133n n n a --=-⨯=-∴数列的前项和为，{}2n a n +5()()()()()01234532343638310S =-++-++-++-++-+()()0123433333246810=-----+++++()()51132105132-⨯-+⨯=+-12130=-+.91=-故选：B.8．已知椭圆过点且与双曲线有相同焦点，则椭圆的离心率22221(0)x y a b a b +=>>()3,2-22132x y -=为（ ）A B C D 【答案】C【分析】由题可得，，联立方程可求得，然后代入公式，即225a b -=22941a b +=22,a b e =可求得本题答案.【详解】因为椭圆与双曲线有相同焦点，所以椭圆两个焦点分别为22132x y -=12(F F ，则①， 2225c a b =-=又椭圆过点，所以②， ()3,2P -22941a b +=结合①，②得，，2215,10a b ==所以， e ==故选：C9．已知圆与圆的公共弦长为2，则m 的值为221:2220C x y x y +-+-=222:20(0)C x y mx m +-=>（ ）A B ．C D ．332【答案】A【分析】根据圆的圆心和半径公式以及点到直线的距离公式，以及公共线弦方程的求法即可求解. 【详解】联立和, 222220x y x y +-+-=2220x y mx +-=得，由题得两圆公共弦长，(1)10m x y -+-=2l =圆的圆心为，半径， 221:2220C x y x y +-+-=(1,1)-r 2=圆心到直线(1,1)-(1)10m x y -+-=，===平方后整理得,， 2230m -=所以 m m =故选：A.10．“斐波那契数列”又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，…，即斐波那契数列满足，，设其前n 项和为，若，则{}n a 121a a ==21++=+n n n a a a n S 2021S m =2023a =（ ） A ． B ．mC ．D ．1m -1m +2m 【答案】C【分析】由斐波那契数列满足，归纳可得，令{}n a 12121,1,n n n a a a a a --===+21m m a S +=+2021m =，即可求得本题答案.【详解】因为斐波那契数列满足， {}n a 12121,1,n n n a a a a a --===+所以，321a a a =+， 432211a a a a a =+=++， 5433211a a a a a a =+=+++……， 21122111m m m m m m m a a a a a a a a S ++--=+=++++++=+ 则. 2023202111a S m =+=+故选：C11．如图，在直四棱柱中，底面ABCD 是边长为2的正方形，，M ，N 分1111ABCD A B C D -13D D =别是，AB 的中点，设点P 是线段DN 上的动点，则MP 的最小值为（ ）11B CA B C D 【答案】D【分析】建立空间直角坐标系，设出点的坐标，根据两点距离公式表示，利用二次函数求值P MP 域，即可得到本题答案.【详解】以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空D 1,,DA DC DD x y z 间直角坐标系.因为底面ABCD 是边长为2的正方形，，所以， 13D D =(1,2,3)M ∵点在平面上，∴设点的坐标为，P xOy P ()[],,0,0,1x y y ∈∵在上运动，∴，∴，∴点的坐标为， P DN 2AD x y AN==2x y =P (2,,0)y y==∵，∴当时， 取得最小值. []0,1y ∈45y =MP 故选：D12．已知双曲线C ：l 与C 相交于A ，B 两2221(0)y x b b-=>点，若线段的中点为，则直线l 的斜率为（ ） AB ()1,2NA ．B ．1CD ．21-【答案】B【分析】先利用题目条件求出双曲线的标准方程，然后利用点差法即可求出直线的斜率.l 【详解】因为双曲线的标准方程为，2221(0)y x b b-=>所以它的一个焦点为，一条渐近线方程为， (,0)c 0bx y -=所以焦点到渐近线的距离，化简得，解得，d =2222(1)b c b =+22b =所以双曲线的标准方程为，2212y x -=设，所以①，②， 1122(,),(,)A x y B x y 221112y x -=222212y x -=①-②得，，222212121()()02x x y y ---=化简得③，121212121()()()()02x x x x y y y y +--+-=因为线段的中点为，所以， AB ()1,2N 12122,4x x y y +=+=代入③，整理得， 1212x x y y -=-显然，所以直线的斜率. 1212,x x y y ≠≠l 12121y y k x x -==-故选：B二、填空题13．已知A （1，－2，11）、B （4，2，3）、C （x ，y ，15）三点共线，则xy=___________. 【答案】2．【详解】试题分析：由三点共线得向量与共线，即，，AB AC ABk AC = (3,4,8)(1,2,4)k x y -=-+，解得，，∴． 124348x y -+==-12x =-4y =-2xy =【解析】空间三点共线．14．已知抛物线的焦点为F ，直线与抛物线交于点M ，且，则22(0)x py p =>2x =2MF =p =_______. 【答案】2【分析】先求点的纵坐标，然后根据抛物线的定义，列出方程，即可求得的值.M p 【详解】把代入抛物线标准方程，得，2x =22(0)x py p =>2(2,)M p 根据抛物线的定义有，，化简得，，解得. 222p MF MH p==+=244p p +=2p =故答案为：215．已知点，点为圆上的任意一点，点在直线上，其中为坐标原(1,1)--P M 22:1C x y +=N OP O点，若恒成立，则点的坐标为______.|||MP MN =N【答案】11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭【分析】设和的坐标，由，列等式，利用点在圆上，点在直线上，NM |||MP MN =M N OP 化简得恒成立的条件，求得点的坐标.N 【详解】易知直线的方程为，由题意可设，OP 0x y -=00(,)N x x 设，则可得，由，可得(,)M x y ''221x y ''+=||||MP MN 22222200||(1)(1)||()()MP x y MN x x y x ''+++==''-+-， 2002()322()12x y x x y x ''++=''-+++则，化简得，2002()322()12x y x x y x ''''⎡⎤++=-+++⎣⎦200(24)()41x x y x ''++=-即，[]00(12)2()(12)0x x y x ''+++-=若恒成立，则，解得，故.|||MP MN =0120x +=012x =-11,22N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭故答案为：11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭16．已知双曲线C ：的左、右焦点分别为，，其中与抛物线的22221(0,0)x y a b a b-=>>1F 2F 2F 28y x =焦点重合，点P 在双曲线C 的右支上，若，且，则的面积为122PF PF -=1260F PF ∠=︒12F PF △_______. 【答案】【分析】结合题目条件与余弦定理，先算出的值，然后代入三角形的面积公式12PF PF ⋅，即可得到本题答案. 1212121sin 2F PF S PF PF F PF =⋅∠A 【详解】由双曲线右焦点与抛物线的焦点重合，可得，所以， 2F 28y x =2(2,0)F 124F F =设，则，1122,PF r PF r ==122r r -=因为，所以， 22212121212||||2cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅⋅∠22121212162r r r r +-⨯=则，解得，21212()16r r r r -+=1212r r =所以，. 12121sin 602F PF S r r =︒=A故答案为：三、解答题17．已知数列满足，且点在直线上.{}n a 11a =111,n n a a +⎛⎫⎪⎝⎭2y x =+(1)求数列的通项公式；{}n a (2)设，求数列的前n 项和. 1n n n b a a +={}n b n T 【答案】(1) 121n a n =-(2) 21nn + 【分析】（1）先求出数列的通项公式，从而可得到数列的通项公式；1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}n a （2）根据（1）中数列的通项公式，可写出数列的通项公式，再利用裂项相消的方法即可{}n a {}n b 求得前n 项和.n T 【详解】（1）由题意得，即， 1112n n a a +=+1112n n a a +-=所以数列是首项为，公差为2的等差数列，1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭111a =故，即. 1112(1)21n n n a a =+-=-121n a n =-（2）由（1）知，11111(21)(21)22121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭所以1111111112323522121n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-++⨯- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 111111123352121n n ⎛⎫=⨯-+-++- ⎪-+⎝⎭. 111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭21n n =+18．已知的顶点坐标分别是，，. ABC A ()3,0A ()1,2B ()1,0C -(1)求外接圆的方程；ABC A (2)若直线l ：与的外接圆相交于M ，N 两点，求. 3480x y +-=ABC A MCN ∠【答案】(1) 22(1)4x y -+=(2) 60MCN ∠=︒【分析】（1）设出圆的一般方程，代入点，求出方程组的解，即可得到本题答案； ,,A B C （2）先求出圆心到直线的距离，即可得到，然后求出，即可得到本题答MN 30PMN ∠=︒MPN ∠案.【详解】（1）设圆的一般方程为：，， 220x y Dx Ey F ++++=22(40)D E F +->代入点得，(3,0),(1,2),(1,0)A B C -，解得，9+30142010D F DEF D F +=⎧⎪++++=⎨⎪-+=⎩203D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩所以圆的一般方程为：， 22230x y x +--=标准方程为：.22(1)4x y -+=（2）圆心到直线的距离，(1,0)P :3480l x y +-=d 又因为，在等腰中，， 2PM =PMN A 30PMN ∠=︒所以圆心角，则.260120MPN ∠=⨯︒=︒60MCN ∠=︒19．如图所示，在四棱锥中，平面ABCD ，，，且P ABCD -PA ⊥AD BC ∥AB BC ⊥，.1AB AP BC ===2AD =(1)求证：平面；CD ⊥PAC (2)若E 为PC 的中点，求与平面所成角的正弦值.PD AED 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）先证，，由此即可证得平面； AC CD ⊥PA CD ⊥CD ⊥PAC （2）建立空间直角坐标系，求出,平面的一个法向量为，然后利用公(0,2,1)PD =- AED ()1,0,1n =- 式，即可求得本题答案. sin cos ,n PD n PD n PDθ⋅==⋅ 【详解】（1）作，垂足为，易证，四边形为正方形.CF AD ⊥F ABCF 所以，又1CF AF DF ===CD ==AC ==因为，所以.222AC CD AD +=AC CD ⊥因为平面，平面，所以.PA ⊥ABCD CD ⊂ABCD PA CD ⊥又，平面，平面，所以平面.AC PA A ⋂=AC ⊂PAC PA ⊂PAC CD ⊥PAC（2）以点为坐标原点，以所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间A ,,AB AD AP 直角坐标系，则，，，，. ()0,0,0A ()0,0,1P ()1,1,0C ()0,2,0D 111,,222E ⎛⎫ ⎪⎝⎭则，，. (0,2,0)AD = (0,2,1)PD =- 111(,,)222AE = 设平面的法向量为，AED (),,n x y z = 由，得， 00n AE n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 11102220x y z y ⎧++=⎪⎨⎪=⎩令，可得平面的一个法向量为.1z =AED ()1,0,1n =- 设与平面所成角为，PD AED θ则sin cos ,n PD n PD n PDθ⋅====⋅ 20．已知抛物线：（）的焦点为，过上一点向抛物线的准线作垂线，垂足C 22y px =0p >F C P 为，是面积为.Q PQF △(1)求抛物线的方程；C (2)过点作直线交于，两点，记直线，的斜率分别为，，证明：()1,0M -l C A B FA FB 1k 2k .120k k +=【答案】(1)24y x =(2)证明见解析【分析】（1）由等边三角形的面积可以求出边的长，再求出中的长，即可求出QF Rt FQN A FN 的值，从而求出抛物线的标准方程；p （2）设过的直线方程，与抛物线方程联立，借助，坐标表示，化简证明即可.M A B 12k k +【详解】（1）如图所示，的面积 PQF △1sin 602PQF S PQ PF =︒A ∴， 4PF PQ QF ===设准线与轴交于点，则在中，， x N Rt FQN A 906030FQN ∠=︒-︒=︒∴， 122p FN QF ===∴抛物线的方程为.C 24y x =（2）由题意知，过点的直线l 的斜率存在且不为，()1,0M -0∴设直线的方程为：（），l l ()1y k x =+0k ≠直线的方程与抛物线的方程联立，得，消去y 整理得， l C 2(1)4y k x y x=+⎧⎨=⎩，()2222240k x k x k +-+=当，即时，设，， ()2242440k k ∆=-->()()1,00,1k ∈-⋃()11,A x y ()22,B x y 则，， 212224k x x k =-+-121=x x 由第（1）问知，，()1,0F ∴直线的斜率，直线的斜率， FA 1111y k x =-FB 2221y k x =-∴. ()()()()()()()()()12112121212121221121011111111x x k x x y y k x k x x k k x x x x x -++--+=+===------+∴原命题得证.21．已知数列满足，且.{}n a 12n n a a +=12314++=a a a (1)求的通项公式；{}n a (2)设，数列的前n 项和为，若对任意的，不等式2n n b n a =⋅{}n b n T n *∈N ()2224844n n T n n λ++-≥-恒成立，求实数λ的取值范围.【答案】(1)2n n a =(2) 3,128⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）由，可得数列为等比数列，公比，代入到，算出12n n a a +={}n a 2q =12314++=a a a ，即可得到本题答案；1a （2）根据错位相减的方法求得，然后将不等式，逐步等价转化为n T ()2224844n n T n n λ++-≥-，再利用单调性求出的最大值，即可得到本题答案. 2112n n λ-≥2112n nn c -=【详解】（1）因为，所以是公比为2的等比数列， 12n n a a +={}n a 所以，故，1231112414a a a a a a ++=++=12a =故.2n n a =（2），1222n n n b n n +=⋅=⋅则，23411222322n n T n +=⨯+⨯+⨯++⨯ 所以，()345121222321222n n n n n T ++⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯= 两式相减得，，()()2234122221222222212412n n n n n n T n n n ++++--=++++-⋅=-⋅=-⋅-- 因此. 2(1)24n n T n +=-⋅+由，可得，所以， ()2224844n n T n n λ++-≥-222844n n n n λ+⋅≥-2112nn λ-≥该式对任意的恒成立，则. n *∈N max2112n n λ-⎛⎫≥ ⎪⎝⎭令，则， 2112n n n c -=()1112111211132222n n n n n n n n c c ++++----=-=当时，，即数列递增，当时，，即数列递减，6n ≤10n n c c +->{}n c 7n ≥10n n c c +-<{}n c所以当时，， 7n =()max 3128n c =所以实数λ的取值范围是. 3,128⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭22．已知椭圆M ：的短轴长为. 22221(0)x y a b a b +=>>(1)求椭圆M 的方程；(2)若过点的两条直线分别与椭圆M 交于点A ，C 和B ，D ，且共线，求直线AB 的()1,1Q -,AB CD 斜率.【答案】(1)22193x y +=(2) 13【分析】（1）由短轴长可求出可求出，由此即可求得本题答案； 23b =29a =（2）设点，因为共线，可设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ,AB CD ,AQ QC BQ QD λλ== ，可得，，代入椭圆方程，然后相减，即可得到本题答案. 13131(1)x x y y λλλλ+-⎧=⎪⎪⎨-+-⎪=⎪⎩24241(1)xx y y λλλλ+-⎧=⎪⎪⎨-+-⎪=⎪⎩【详解】（1）因为短轴长为，b =23b =因为离心率，所以，可得， e 2222213c b a a =-=2213b a =29a =所以椭圆M 的方程为. 22193x y +=（2）设.()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y 设，则，即， AQ QC λ= 13131(1)1(1)x x y y λλ-=-⎧⎨--=+⎩13131(1)x x y y λλλλ+-⎧=⎪⎪⎨-+-⎪=⎪⎩代入椭圆方程，得， ()()22112211193x y λλλλ+-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦+=即① ()()221141211993x y λλλ+⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭同理可得② ()()222241211993x y λλλ+⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭由②-①，得， 11229393x y x y -=-所以，()12123y y x x -=-所以直线AB 的斜率. 121213y y k x x -==-【点睛】思路点睛：把共线这个条件，转化为，是解决此题的关键. ,AB CD ,AQ QC BQ QD λλ==。
2022-2023学年福建省永春第一中学高二上学期期末考试数学试卷含答案
永春一中20221-2023学年（上）期末考试高二数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知向量()()11,0,1,0,2a b ==- ，，且ka b + 与2a b -互相垂直，则k 的值是（）A ．1B ．15C ．35D ．752．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项11a =，且满足132nn n a a ++=⋅，则11S 的值为（）A ．4093B ．4094C ．4095D ．40963．已知()()21220222022ln 2f x x xf x '=+-，则()2022f '=（）A ．2021B ．2021-C ．2022D ．2022-4．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，124AA AB ==，E 是1BB 的中点，F 是11AC 的中点，若过A ，E ，F 三点的平面与11B C 交于点G ，则1A G =（）A ．73B ．279C ．273D．5．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，过点(3,6)P 的直线l 与C 相交于,A B 两点，且AB 的中点为(12,15)N ，则双曲线C 的离心率为（）A ．2B ．32C ．355D ．526．设等差数列{}n a 的前n 项的和为527,9,16n S a a a =+=，则下列结论不正确的是（）A ．21n a n =-B ．3616a a +=C ．2n S n n=+D ．数列11n n a a +⎧⎫⎨⎩⎭的前n 和为21nn +7．图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为拋物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径6AB =，深度2MO =，信号处理中心F 位于焦点处，以顶点O 为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy ，若P 是该拋物线上一点，点15,28Q ⎛⎫⎪⎝⎭，则PF PQ +的最小值为（）A ．4B ．3C ．2D ．18．如图，已知直线:20l x y m ++=与圆22:2O x y +=相离，点P 在直线l 上运动且位于第一象限，过P 作圆O 的两条切线，切点分别是,M N ，直线MN 与x 轴､y 轴分别交于,R T 两点，且ORT 面积的最小值为1625，则m 的值为（）A ．4-B ．9-C ．6-D ．5-二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知圆22:49O x y +=，直线l 过点(2,6)N ，且交圆O 于,P Q 两点，点M 为线段PQ 的中点，则下列结论正确的是（）A ．点M 的轨迹是圆B ．||PQ 的最小值为6C ．若圆O 上仅有三个点到直线l 的距离为5，则l 的方程是43100x y -+=D ．使||PQ 为整数的直线l 共有16条10．斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用n a 表示斐波那契数列的第n 项，则数列{}n a 满足：121a a ==，21n n n a a a ++=+，记121nin i aa a a ==++⋅⋅⋅+∑，则下列结论正确的是（）A ．934a =B ．()2233n n n a a a n -+=+≥C ．20212202120221i i aa a ==⋅∑D ．201920211ii aa ==∑11．一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点()3,0F ，椭圆的短轴与半圆的直径重合.若直线()0y t t =>与半圆交于点A ，与半椭圆交于点B ，则下列结论正确的是（）A ．椭圆的离心率是22B ．线段AB 长度的取值范围是(0,32+C ．ABF △面积的最大值是)9214+D ．OAB 的周长不存在最大值12．在直四棱柱中1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，160,2,BAD AB AD AA P ∠====为1CC 中点，点Q 满足][()1,0,1,0,1DQ DC DD λμλμ⎡⎤=+∈∈⎣⎦.下列结论正确的是（）A ．若12λμ+=，则四面体1A BPQ 的体积为定值B ．若AQ 平面1A BP ，则1AQ C Q +10310+C ．若1A BQ △的外心为O ，则11A B A O ⋅为定值2D ．若17A Q =，则点Q 的轨迹长度为23π三、填空题：本题共4小题，每小题5分，16题，第一空答对得2分，共20分．13．在空间直角坐标系O xyz -中，()2,1,1A ，(),0,5B b ，()0,,4C c ，若四边形OABC 为平行四边形，则b c +=________.14．设函数()3221f x x ax bx =+++的导函数为()f x '，若函数()y f x '=的图象的顶点的横坐标为12-，且()10f '=，则ba的值为__________.15．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，以线段12F F 为直径的圆交C 于,A B 两点，其中点A 在第一象限，点B 在第三象限，若113AF BF ≤，则C 的离心率的取值范围是__________.16．对于正整数n ，设n x 是关于x 的方程：()222253log 1nn n n x x x ++++=的实根，记12n n a x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，则1a =_____；若πsin 2n n n b a =⋅，n S 为{}n b 的前n 项和，则2022S =______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本题满分10分）已知曲线31:C y x =和22:2,(R)C y ax x a =+-∈.(1)若曲线1C ､2C 在1x =处的切线互相垂直，求a 的值；(2)若与曲线1C ､2C 在0x x =处都相切的直线的斜率大于3，求a 的取值范围.18．（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知圆22:40C x y x +-=及点),(1,0)(1,2A B -.(1)若直线l 过点B ，与圆C 相交于M N 、两点，且||3MN =l的方程；(2)圆C 上是否存在点P ，使得222||||1PA PB +=成立？若存在，求点P 的个数；若不存在，请说明理由.19．（本题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，已知底面ABCD 是正方形，PC ⊥底面ABCD ，且1,PC BC E ==是棱PB 上动点.(1)若过C ，D ，E 三点的平面与平面PAB 的交线是l ，证明：//CD l(2)线段PB 上是否存在点E ，使二面角P AC E --的余弦值是23？若存在，求PE PB 的值；若不存在，请说明理由.20．（本题满分12分）已知数列{}n a ，{}n b 满足1n n n b a a +=-，其中，*N n ∈.(1)若12a =，2nn b =.①求数列{}n a 的通项公式；②试求数列{}n n a ⋅的前n 项和.(2)若2n n b a +=，数列{}n a 的前6291项之和为1926，前77项之和等于77，试求前2024项之和是多少？21．（本题满分12分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,,F F P 为双曲线C 上一点，12121cos ,24F PF PF PF ∠==，且焦点到渐近线的距离为3(1)求双曲线C 的方程；(2)设A 为双曲线C 的左顶点，点(),0B t 为x 轴上一动点，过2F 的直线l 与双曲线C 的右支交于,M N 两点，直线,AM AN 分别交直线2a x =于,S T 两点，若π02SBT ∠<<，求t 的取值范围.22．（本题满分12分）已知函数2()4f x x =-，设曲线()y f x =在点()(),n n x f x 处的切线与x 轴的交点为()()*1,0n x n +∈N，其中1x 为正实数．(1)用n x 表示1n x +；(2)若14x =，记2lg2n n n x a x +=-，证明数列{}n a 成等比数列，并求数列{}n x 的通项公式．(3)若14,2n n x b x ==-，n T 是数列{}n b 的前n 项和，证明：3n T <．。
2023-2024学年重庆市高二(下)期末数学试卷(含答案)
2023-2024学年重庆市高二（下）期末考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知f′(x)是函数f(x)的导函数，则满足f′(x)=f(x)的函数f(x)是( )A. f(x)=x 2B. f(x)=e xC. f(x)=lnxD. f(x)=tanx2.如图是学校高二1、2班本期中期考试数学成绩优秀率的等高堆积条形图，如果再从两个班中各随机抽6名学生的中期考试数学成绩统计，那么( )A. 两个班6名学生的数学成绩优秀率可能相等B. 1班6名学生的数学成绩优秀率一定高于2班C. 2班6名学生中数学成绩不优秀的一定多于优秀的D. “两班学生的数学成绩优秀率存在差异”判断一定正确3.对于函数f(x)=x 3+bx 2+cx +d ，若系数b ，c ，d 可以发生改变，则改变后对函数f(x)的单调性没有影响的是( )A. bB. cC. dD. b ，c4.某地根据以往数据，得到当地16岁男性的身高ycm 与其父亲身高xcm 的经验回归方程为y =1417x +29，当地人小王16岁时身高167cm ，他父亲身高170cm ，则小王身高的残差为( )A. −3cmB. −2cmC. 2cmD. 3cm5.若函数f(x)=(x 2+bx +1)e x ，在x =−1时有极大值6e −1，则f(x)的极小值为( )A. 0B. −e −3C. −eD. −2e 36.甲、乙、丙、丁、戊五个人站成一排照相，若甲不站最中间的位置，则不同的排列方式有( )A. 48种B. 96种C. 108种D. 120种7.若王阿姨手工制作的工艺品每一件售出后可以获得纯利润4元，她每天能够售出的工艺品(单位：件)均值为50，方差为1.44，则王阿姨每天能够获得纯利润的标准差为( )A. 1.2B. 2.4C. 2.88D. 4.88.若样本空间Ω中的事件A 1，A 2，A 3满足P(A 1)=P(A 1|A 3)=14,P(A 2)=23,P(−A 2|A 3)=25,P(−A 2|−A 3)=16，则P(A 1−A 3)=( )A. 114B. 17C. 27D. 528二、多选题：本题共3小题，共18分。
2021-2022学年福建省福州第二中学高二下学期期末考试数学试题(解析版)
2021-2022学年福建省福州第二中学高二下学期期末考试数学试题一、单选题 1．设1i2i 1iz -=++，则||z =A ．0B ．12C ．1 D【答案】C【详解】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z ，然后求解复数的模. 详解：()()()()1i 1i 1i2i 2i 1i 1i 1i z ---=+=++-+ i 2i i =-+=， 则1z =，故选c.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.2．已知集合{}|22U x x =-≤≤，集合{}220A x x x =--<，则UA （ ）A ．{}21x x -≤<-B ．{}21x x -≤≤-C ．{}{}212x x -≤<-⋃D ．{}{}212x x -≤≤-⋃【答案】D【分析】解出A 集合，通过补集运算算出UA 即可【详解】解：{}{}22012A x x x x x =--<=-<<所以UA{}{}212x x -≤≤-⋃故选：D3．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A ．25n a n =- B ．310n a n =- C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =-【答案】A【分析】等差数列通项公式与前n 项和公式．本题还可用排除，对B ，55a =，44(72)1002S -+==-≠，排除B ，对C ，245540,25850105S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除C ．对D ，24554150,5250522S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除D ，故选A ．【详解】由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，故选A ．【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n 项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断．4．已知直线()100,0ax by a b +-=>>平分圆C ：222420170x y x y +---=，则aba b+的最大值为（ ） A．3+B．3-CD ．16【答案】B【分析】由题意知直线过圆C 的圆心得到21a b +=，求aba b+的最大值可转化为11a b ab a b +=+的最小值的倒数，利用基本不等式1“”的妙用求最值即可. 【详解】圆C ：222420170x y x y +---=，∴圆心(1,2)C ，直线()100,0ax by a b +-=>>平分圆C ：222420170x y x y +---=， ∴直线()100,0ax by a b +-=>>过圆心(1,2)C ，即()210,0a b a b +=>>，11112()(2)33a b b aa b ab a b a b a b+∴=+=++=++≥，3ab a b ∴≤=-+当且仅当2b a a b =，即212b a ==，ab a b +的最大值为3-故选：B5．已知圆锥SO 的底面半径为2，若其底面上存在两点A ，B ，使得90ASB ∠=︒，则该圆锥侧面积的最大值为（ ） A． B ．2πC．D ．4π【答案】C【分析】根据OA OB AB +≥可确定l ≤. 【详解】设圆锥的母线长为l ，90ASB ∠=，AB ∴=，又OA OB AB +≥（当且仅当AB 为底面圆直径时取等号），4AB ∴≤，即l ≤，∴圆锥侧面积22S l l ππ=⨯⨯=≤，即所求最大值为.故选：C6．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,+∞上单调递减，则（ ）A ．()()()0.250.5log 0.5log 0.20.5f f f >> B ．()()()0.250.5log 0.50.5log 0.2f f f >> C ．()()()0.20.55log 0.20.5log 0.5f f f >> D ．()()()0.20.550.5log 0.2log 0.5f f f >>【答案】B【分析】由于()f x 是()0,+∞上递减的偶函数，故只需要比较选项中自变量的绝对值的大小，结合指数函数，对数函数的单调性即可比较.【详解】由110.5222log 0.2log 5log 5log 42--==>=，即0.5log 0.22>，注意到()()52ln 2ln 5log 2log 51ln 5ln 2⨯=⨯=，由155550log 1log 0.5log 2log 2-=<==，故50log 20.5<<，即50log 0.50.5<<，又根据指数函数性质，0.5x y =是R 上的减函数，故10.200.50.50.5<<，即0.20.50.51<<，于是0.250.5log 0.50.5log 0.2<<，又()f x 是()0,+∞上递减的偶函数，则()()()0.250.5log 0.50.5log 0.2f f f >>.故选：B7．若双曲线C:22221x y a b -=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为A ．2 BC D 【答案】A【详解】由几何关系可得，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为0bx ay ±=，圆心()2,0到渐近线距离为d ==()2,0到直线0bx ay +=的距离为2bd c===即2224()3c a c -=，整理可得224c a =，双曲线的离心率2242c e a===．故选A ． 点睛:双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)． 8．函数()sin ln 23f x x x π=--的所有零点之和为（ ） A ．9 B ．6 C ．4.5 D ．3【答案】A【分析】根据给定条件，构造函数sin y x =π，ln 23y x =-，作出这两个函数的部分图像，确定两个图像的交点个数，再结合性质计算作答.【详解】由()0sin ln |23|x x f x π=⇔=-，令 sin y x =π ， ln 23y x =- ， 显然sin y x =π与ln 23y x =-的图像都关于直线32x =对称， 在同一坐标系内作出函数sin y x =π，ln 23y x =-的图像，如图，观察图像知，函数sin y x =π，ln 23y x =-的图像有6个公共点，其横坐标依次为123456,,,,,x x x x x x ，这6个点两两关于直线32x =对称，有1625343x x x x x x +=+=+=， 所以，1234569x x x x x x +++++=，所以函数()sin ln 23f x x x π=--的所有零点之和为9.故选：A二、多选题9．某人有6把钥匙，其中n 把能打开门.如果随机地取一把钥匙试着开门，把不能开门的钥匙扔掉，设第二次才能打开门的概率为p ，则下列结论正确的是（ ） A ．当1n =时，16p = B ．当2n =时，13p = C ．当3n =时，310p = D ．当4n =时，45p =【答案】AC【分析】根据n 不同的取值，分别计算对应概率求解. 【详解】当1n =时，511656p ⨯==⨯，选项A 正确； 当2n =时，4246515p ⨯==⨯，选项B 错误； 当3n =时，3336510p ⨯==⨯，选项C 正确； 当4n =时，2446515p ⨯==⨯，选项D 错误. 故选：AC10．函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 的最小正周期为2πB ．,06π⎛⎫⎪⎝⎭是()y f x =图象的一个对称中心C ．()f x 在区间11,212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．把()y f x =图象上所有点向右平移12π个单位长度后得到函数()2cos2g x x =-的图象 【答案】BCD【分析】根据正弦型函数的性质、图象的变换性质，结合已知图象逐一判断即可.【详解】由题意知，2A =，35341234T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，所以周期T π=，22πωπ==， 又552sin 221212f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以52,,2,623k k Z k k Z πππϕπϕπ+=+∈⇒=-∈， 因为2πϕ<，所以令0k =，即3πϕ=-，故()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以A 错误；又2sin 20663f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确；因为11,212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以232,332x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，由于正弦函数在其上单调递减，所以函数()f x 在11,212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故C 正确；将()y f x =图象上所有点向右平移12π个单位长度后得到2sin 22cos2122y f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，故D 正确．故选：BCD ．11．已知函数()()R f x x ∈满足()()()492f x f x f =-+，又()9f x +的图象关于点()9,0-对称，且()12022f =，则（ ） A ．()20f =B ．()()()4445462022f f f ++=-C ．1133f x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭关于点()3,3对称D ．1133f x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭关于点()1,3对称【答案】ABC【分析】将2代入()()()492f x f x f =-+可算出()20f =，故A 正确；将()20f =代入可得()f x 关于2x =对称，又因为()9f x +的图象关于点()9,0-对称，可得()f x 关于点()0,0对称，利用()f x 的双对称可以得到()f x 的周期，然后通过()f x 的周期和对称算出()()()44,45,46f f f ，故B 正确；先研究1133f x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭是由()f x 经过各种图像变换，就可求出1133f x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的对称中心，故C 正确，D 错误【详解】解：将2x =代入()()()492f x f x f =-+得()()()2292f f f =+， 所以()20f =，故A 正确；将()20f =代入()()()492f x f x f =-+得()()4f x f x =-， 所以()f x 关于2x =对称，()9f x +是()f x 向左平移9个单位长度得到，因为()9f x +的图象关于点()9,0-对称，所以()f x 关于点()0,0对称 所以()()()()4,f x f x f x f x =-=--所以()()()44,f x f x f x =-=--()()()4448f x f x f x -=---=-- 所以()()8f x f x =-，所以()f x 的周期为8， 所以()()()()44485400f f f f =+⨯===，()()()()()453863312022f f f f f =-+⨯=-=-=-=- ()()()()46286220f f f f =-+⨯=-=-=所以()()()4445462022f f f ++=-，故B 正确；1133f x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭是由()f x 先向右平移一个单位得到()1f x -，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的三倍得到113f x ⎛-⎫⎪⎝⎭，最后向上平移3个单位长度得到1133f x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，所以1133f x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭关于点()3,3对称，故C 正确，D 错误；故选：ABC12．已知正三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，11AA =，M 为AB 的中点，点P 在线段1BC 上，则下列结论正确的是（ ） A ．直线1//BC 平面1A MC B ．A 和P 到平面1A MC 的距离相等C ．三棱锥1P A MC -D ．不存在点P ，使得1AP A C ⊥【答案】ABD【分析】连接11,A C AC 交于点O ，连接OM ，证得1//OM BC ，进而得到1//BC 平面1A MC ，可判定A 正确；证得AN NP =，结合斜线与平面所成的角相等，可判断B 正确；先证明CM AB ⊥，并求出CM 的长度，1//BC 平面1A MC ，所以,B P 到平面1A MC 的距离是一样的，所以11P A MC B A MC V V --=，继而算出答案，可得C 是错误的；假设存在点P ，使得1AP A C ⊥，令[]1(1),0,1AP AB AC λλλ=+-∈，结合10AC AP ⋅>，可判定D 正确.【详解】对于A 中，如图所示，连接11,A C AC 交于点O ，连接OM ， 因为111ABC A B C -为正三棱柱，所以其侧面都是矩形，所以O 为1AC 的中点，又因为M 是AB 的中点，所以1//OM BC ，由OM ⊂平面1A MC ，且1BC ⊄平面1A MC ，所以1//BC 平面1A MC ，所以A 正确；对于B 中，在1ABC ，因为AP 交OM 于点N ，1//OM BC ，AM MB =，所以AN NP =， 因为AN 与PN 与平面1A MC 成角相等，所以A 和P 到平面1A MC 的距离相等， 所以B 正确；对于C 中，因为底面是正三角形，且M 为AB 的中点，所以CM AB ⊥， 所以22213CM -因为1//BC 平面1A MC ，且P 在1BC 上， 所以11111113131332P A MC B A MC A BMC BMC V V V SAA ---===⋅=⨯⨯=C 错误 对于D 中，假设存在点P ，使得1AP A C ⊥，令[]1(1),0,1AP AB AC λλλ=+-∈，可得1111(1)AC AP AC AB AC AC λλ⋅=⋅+-⋅， 易得1AC 和AB 所成角为锐角，1AC 和1AC 所成角为锐角，所以1110,0AC AB AC AC ⋅>⋅>，所以1111(1)0AC AP AC AB AC AC λλ⋅=⋅+-⋅>， ，所以不存在点P ，使得1AP A C ⊥，所以D 正确. 故选：ABD三、填空题13．若平面向量()()1,1,2,a b m ==满足()a ab ⊥-，则m =___________. 【答案】0【分析】由题意得()0-⋅=a b a ，代入坐标进行计算即可． 【详解】∵()a a b ⊥-，∴()0-⋅=a b a ， 又()()1,1,2,a b m ==，()1,1-=--a b m ， ∴110m -+-=，即0m =， 故答案为：0．14．8(1)()yx y x-+的展开式中35x y 的系数为___________.【答案】14-【分析】把8(1)()y x y x -+化为88()()y x y x y x -++，根据8()x y +展开式的通项，讨论求出k 的值，进行运算即可得到答案.【详解】8()x y +展开式的通项为：()818C 0,1,2,8k kk k T xy k -+==由于888(1)()()()y y x y x y x y x x=-+-++，所以当5k =当时，53568C T x y =，当4k =当时，44458C T x y =，所以8(1)()y x y x-+的展开式中35x y 的项为，()()535444543535358888C C =C C 567014y x y x y x y x y x y x--=-=-， 所以8(1)()y x y x-+的展开式中35x y 的系数为14-.故答案为：14-.15．写出一个使等式sin cos 2sin cos 66ααππαα+=⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立的α的值为_____________． 【答案】8π（答案不唯一，只要满足()2148k k Z παπ+=-∈即可）. 【分析】利用二倍角和两角和差正弦公式化简已知等式得到sin 2sin 263ππαα⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由正弦函数性质可确定()()222136k k Z ππααπ+++=+∈，由此可解得结果. 【详解】sin cos cos sin sin cos 66sin cos sin cos 6666ππααααααππππαααα⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭sin 2621sin 223παπα⎛⎫+ ⎪⎝⎭==⎛⎫+ ⎪⎝⎭，sin 2sin 263ππαα⎛⎫⎛⎫∴+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()222136k k Z ππααπ∴+++=+∈，解得：()2148k k Z παπ+=-∈， 当0k =时，8πα=，∴使得等式成立的一个α的值为8π（答案不唯一）. 故答案为：8π（答案不唯一，只要满足()2148k k Z παπ+=-∈即可）. 16．有一凸透镜其剂面图（如图所示）是由椭圆221259x y +=和双曲线22188x y -=的实线部分组成，已知两曲线有共同焦点M ，N ，动点A ，B 分别在左右两部分实线上运动，则△ANB 周长的最小值为______________【答案】1042-【分析】根据已知条件，结合双曲线和椭圆的定义，将原问题转化为,,A B M 三点共线时，ANB 周长取得最小值，即可求解.【详解】由题意，双曲线22188x y -=，可得22a =， 根据双曲线的定义可得42AM AN -=，即42AN AM =-， 又由椭圆221259x y +=，可得5a =， 根据椭圆的定义可得10BM BN +=，所以10BN BM =-，所以ANB 周长为1042()10421042BM AM AB AB AB ---+≥--+=-, 故ANB 周长的最小值为1042-，其中,,A B M 三点共线时，等号成立. 故答案为：1042-.四、解答题17．甲､乙两名同学与同一台智能机器人进行象棋比赛，计分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得1分；如果甲输而乙赢，则甲得1-分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分.设甲赢机器人的概率为0.6，乙赢机器人的概率为0.5.求：(1)在一轮比赛中，甲的得分X的分布列；(2)在两轮比赛中，甲的得分Y的分布列及期望.【答案】(1)分布列见解析E Y=(2)分布列见解析，()0.2【分析】（1）依题意可得X的可能取值为1-，0，1，利用相互独立事件的概率公式求出所对应的概率，即可得到分布列；（2）依题意可得Y的可能取值为2-，1-，0，1，2，利用相互独立事件的概率公式求出所对应的概率，即可得到分布列及数学期望；【详解】(1)解：依题意可得X的可能取值为1-，0，1，P X=-=-⨯=，所以(1)(10.6)0.50.2(0)0.60.5(10.6)(10.5)0.5P X==⨯+-⨯-=，P X==⨯-=，(1)0.6(10.5)0.3所以X的分布列为(2)解：依题意可得Y的可能取值为2-，1-，0，1，2，所以2P Y P X P X=-==-⨯=-==，(2)(1)(1)0.20.04=-==-⨯=⨯=⨯⨯=，P Y P X P X(1)(1)(0)220.20.50.22===-⨯=⨯+=⨯==⨯⨯+=，(0)(1)(1)2(0)(0)20.30.20.50.37P Y P X P X P X P X===⨯=⨯=⨯⨯=，(1)(0)(1)20.30.520.3P Y P X P X2(2)(1)(1)0.30.09===⨯===，P Y P X P X所以Y的分布列为所以()20.0410.200.3710.320.090.2E Y =-⨯-⨯+⨯+⨯+⨯=．18．如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，1PD DC ==，M 为BC 的中点，且PB AM ⊥．（1）求BC ；（2）求二面角A PM B --的正弦值． 【答案】（12；（270【分析】（1）以点D 为坐标原点，DA 、DC 、DP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设2BC a =，由已知条件得出0PB AM ⋅=，求出a 的值，即可得出BC 的长；（2）求出平面PAM 、PBM 的法向量，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得结果.【详解】（1）[方法一]：空间坐标系+空间向量法PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，不妨以点D 为坐标原点，DA 、DC 、DP所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系D xyz -，设2BC a =，则()0,0,0D 、()0,0,1P 、()2,1,0B a 、(),1,0M a 、()2,0,0A a ， 则()2,1,1PB a =-，(),1,0AM a =-，PB AM ⊥，则2210PB AM a ⋅=-+=，解得22a =，故22BC a ==； [方法二]【最优解】：几何法+相似三角形法如图，连结BD ．因为PD ⊥底面ABCD ，且AM ⊂底面ABCD ，所以PD AM ⊥． 又因为PB AM ⊥，PBPD P =，所以AM ⊥平面PBD ．又BD ⊂平面PBD ，所以AM BD ⊥．从而90ADB DAM ∠+∠=︒．因为90∠+∠=︒MAB DAM ，所以∠=∠MAB ADB ． 所以∽ADB BAM ，于是=AD BAAB BM．所以2112BC =．所以2BC =． [方法三]：几何法+三角形面积法 如图，联结BD 交AM 于点N ．由[方法二]知⊥AM DB ．在矩形ABCD 中，有∽DAN BMN ，所以2==AN DA MN BM，即23AN AM =．令2(0)=>BC t t ，因为M 为BC 的中点，则BM t =，241=+DB t 21+AM t 由1122=⋅=⋅DABSDA AB DB AN ，得221241123=++t t t 212t =，所以22==BC t（2）[方法一]【最优解】：空间坐标系+空间向量法设平面PAM 的法向量为()111,,m x y z =，则2AM ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()2,0,1AP =-， 由111120220m AM x y m AP x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅=-+=⎩，取12x ()2,1,2m =，设平面PBM 的法向量为()222,,n x y z =，2BM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()2,1,1BP =--， 由222220220n BM x n BP x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⎪⋅=--+=⎩，取21y =，可得()0,1,1n =，3314cos ,72m n m n m n ⋅===⋅⨯所以，270sin ,1cos ,14m n m n =-=， 因此，二面角A PM B --的正弦值为7014. [方法二]：构造长方体法+等体积法如图，构造长方体1111ABCD A B C D -，联结11,AB A B ，交点记为H ，由于11AB A B ⊥，1AB BC ⊥，所以AH ⊥平面11A BCD ．过H 作1D M 的垂线，垂足记为G ．联结AG ，由三垂线定理可知1⊥AG D M ， 故AGH ∠为二面角A PM B --的平面角．易证四边形11A BCD 2的正方形，联结1D H ，HM ． 111111111,2D HMD HMD A HHBMMCD A BCD SD M HG S S SSS=⋅=---正方形，由等积法解得310=HG 在Rt AHG 中，2310==AH HG ，由勾股定理求得35=AG ． 所以，70sin AH AGH AG ∠==A PMB --70【整体点评】（1）方法一利用空坐标系和空间向量的坐标运算求解；方法二利用线面垂直的判定定理，结合三角形相似进行计算求解，运算简洁，为最优解；方法三主要是在几何证明的基础上，利用三角形等面积方法求得.（2）方法一，利用空间坐标系和空间向量方法计算求解二面角问题是常用的方法，思路清晰，运算简洁，为最优解；方法二采用构造长方体方法+等体积转化法，技巧性较强，需注意进行严格的论证.19．已知数列{}n a 的各项均不为零，n S 为其前n 项和，且121n n n a a S +=-.(1)证明：22n n a a +-=；(2)若11a =-，数列{}n b 为等比数列，11b a =，23b a =.求数列{}n n a b 的前2022项和2022T . 【答案】(1)证明见解析； (2)4044.【分析】（1）由题设递推式可得()1212n n n n a a a a +++-=，结合已知条件即可证结论.（2）由（1）及等比数列定义写出{}n b 通项公式，进而有(1)nn n n a b a =-，根据奇偶项的正负性，应用分组求和法及（1）的结论求2022T 即可. 【详解】(1)因为121n n n a a S +=-①，则12121n n n a a S +++=-②， ②-①得：()1212n n n n a a a a +++-=，又10n a +≠， 所以22n n a a +-=.(2)由11a =-得：31a =，于是231b a ==， 由11b =-得：{}n b 的公比1q =-.所以(1)n n b =-，(1)nn n n a b a =-.由12121a a a =-得：23a =由22n n a a +-=得：2022202120202019214a a a a a a -=-=⋅⋅⋅=-=， 因此2022123420212022T a a a a a a =-+-+-+⋅⋅⋅()()()214320222021a a a a a a =-+-+⋅⋅⋅+-()211011a a =⨯-10114=⨯4044=.20．在ABC 中，cos2cos2cos22sin sin 1A C B A C +-=-+. (1)求角B ；(2)设锐角ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且1c =，求ABC 面积的取值范围. 【答案】(1)π3.(2).【分析】(1)将已知条件按二倍角展开化简得222a c ac b+-=，再结合余弦定理即可求得角B；(2)结合题意可得有ππ62A<<，由正弦定理可得sin2πsin()3AaA=-，再由面积公式可得S，代入a并化简可得1311tan2SA=+，根据A的范围即可求出S的范围. 【详解】(1)解：因为cos2cos2cos22sin sin1A CB A C+-=-+.所以cos2cos22sin sin1cos2A C A C B++=+，即有22212sin12sin2sin sin112sinA C A C B-+-+=+-，即222sin sin sin sin sinA C A C B+-=，即222a c ac b+-=，由余弦定理可得：2222cosb ac ac B=+-，所以2cos1B=，即1cos2B=，又因为(0,π)B∈，所以π3B=.(2)解：由(1)可得：π3B=，所以2π3A C+=，所以2π3C A=-，又因为ABC为锐角三角形，所以π22ππ32AA⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，即有ππ62A<<；又因为1c=，12πsin sin sin()3a cA C A==-，所以sin2πsin()3AaA=-，又因为1sin2Sac B==sin2πsin()3AA-sin3cosA+1311tan2A+. 因为有ππ62A<<，所以有tan A1tan A<<所以13tan2A<<，所以以11122tan2A<+<，所以122311tan 2A <+，1311tan 2A <+即S ∈. 21．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左､右焦点分别为1F ､2F ，焦距为2，点⎭在椭圆C 上. (1)求椭圆C 的方程；(2)若点()()000,0P x y y >是椭圆C 上一点，Q 为y 轴上一点，22PF PQ =，设直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，若直线PM ，PN 关于直线0x x =对称，求直线l 的斜率. 【答案】(1)22143x y += (2)12-【分析】（1）依题意列出几何量方程组，直接求解可得；（2）先求点P 坐标，然后可得直线PM 、PN 的斜率关系，设直线方程联立椭圆方程，利用韦达定理代入斜率关系，化简可得直线的斜率k .【详解】(1)解：依题意可得22223314c a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩，又222b a c =-， 所以24a =，23b =，1c =. 所以22143x y +=； (2)解：因为22PF PQ =，所以Q 是2PF 的中点. 结合QO x ⊥轴，所以1PF x ⊥轴，所以01x =-，则2201314y +=，解得032y =±，因为00y >，所以032=y ，所以31,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭.因为直线PM 、PN 关于直线01x x ==-对称. 所以PM 、PN 的倾斜角互补，所以0PM PN k k +=，显然直线l 的斜率存在，设l ：y kx m =+，由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2224384120k x kmx m +++-=，由0∆>得2243m k <+.设()11,M x y ， ()22,N x y ，则1228+43km x x k -=+，212241243m x x k -=+，由12123322011PMPNy y kk x x --+=+=++， 整理得()1212322302kx x k m x x m ⎛⎫++-++-= ⎪⎝⎭，所以2483420k k km m ++--=，即()()212320k k m ++-= 若232k m +-0=，则32m k =+， 所以直线MN 的方程为()312y k x -=+，此时，直线MN 过P 点，舍去. 所以21k +0=，即12k =-，所以直线l 的斜率为12-.22．已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()'f x 为()f x 的导数．证明： （1）()'f x 在区间(1,)2π-存在唯一极大值点；（2）()f x 有且仅有2个零点． 【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）求得导函数后，可判断出导函数在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，根据零点存在定理可判断出00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '=，进而得到导函数在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上的单调性，从而可证得结论；（2）由（1）的结论可知0x =为()f x 在(]1,0-上的唯一零点；当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，首先可判断出在()00,x 上无零点，再利用零点存在定理得到()f x 在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上的单调性，可知()0f x >，不存在零点；当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，利用零点存在定理和()f x 单调性可判断出存在唯一一个零点；当(),x π∈+∞，可证得()0f x <；综合上述情况可证得结论. 【详解】（1）由题意知：()f x 定义域为：()1,-+∞且()1cos 1f x x x '=-+ 令()1cos 1g x x x =-+，1,2x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭ ()()21sin 1g x x x '∴=-++，1,2x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()211x +在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，sin x -，在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减()g x '∴在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减又()0sin0110g '=-+=>，()()2244sin 102222g ππππ⎛⎫'=-+=-< ⎪⎝⎭++00,2x π⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '=∴当()01,x x ∈-时，()0g x '>；0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<即()g x 在()01,x -上单调递增；在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减则0x x =为()g x 唯一的极大值点即：()f x '在区间1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上存在唯一的极大值点0x .（2）由（1）知：()1cos 1f x x x '=-+，()1,x ∈-+∞ ①当(]1,0x ∈-时，由（1）可知()f x '在(]1,0-上单调递增()()00f x f ''∴≤= ()f x ∴在(]1,0-上单调递减又()00f =0x ∴=为()f x 在(]1,0-上的唯一零点②当0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()f x '在()00,x 上单调递增，在0,2x π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减又()00f '= ()00f x '∴>()f x ∴在()00,x 上单调递增，此时()()00f x f >=，不存在零点又22cos 02222f ππππ⎛⎫'=-=-< ⎪++⎝⎭10,2x x π⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()10f x '=()f x ∴在()01,x x 上单调递增，在1,2x π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减又()()000f x f >=，2sin ln 1ln ln102222e f ππππ⎛⎫⎛⎫=-+=>=⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭()0f x ∴>在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，此时不存在零点第 21 页 共 21 页 ③当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，sin x 单调递减，()ln 1x -+单调递减 ()f x ∴在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 又02f π⎛⎫> ⎪⎝⎭，()()()sin ln 1ln 10f ππππ=-+=-+< 即()02f f ππ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，又()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 ∴()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在唯一零点 ④当(),x π∈+∞时，[]sin 1,1x ∈-，()()ln 1ln 1ln 1x e π+>+>=()sin ln 10x x ∴-+<即()f x 在(),π+∞上不存在零点综上所述：()f x 有且仅有2个零点【点睛】本题考查导数与函数极值之间的关系、利用导数解决函数零点个数的问题.解决零点问题的关键一方面是利用零点存在定理或最值点来说明存在零点，另一方面是利用函数的单调性说明在区间内零点的唯一性，二者缺一不可.。
青海高二高中数学期末考试带答案解析
青海高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知集合（整数集）和，其中是虚数单位，则集合所含元素的个数有（）A．个B．个C．个D．个2.已知随机变量服从二项分布，则等于（）A．B．C．D．3.已知直线是曲线的一条切线，则的值为（）A．B．C．D．4.若的展开式中第四项为常数项，则（）A．B．C．D．5.若二项式（）中所有项的系数之和为，所有项的系数的绝对值之和为，则的最小值为（）A．B．C．D．6.北京某大学为第十八届四中全会招募了名志愿者（编号分别是，，，号），现从中任意选取人按编号大小分成两组分配到江西厅、广电厅工作，其中三个编号较小的人在一组，三个编号较大的在另一组，那么确保号、号与号同时入选并被分配到同一厅的选取种数是（）A．B．C．D．7.学校计划利用周一下午第一、二、三节课开设语文、数学、英语、物理科的选修课，每科一节课，每节至少有一科，且数学、物理不安排在同一节，则不同的安排方法共有（）A．种B．种C．种D．种8.一个射箭运动员在练习时只记射中环和环的成绩，未击中环或环就以环记．该远动员在练习时击中环的概率为，击中环的概率为，既未击中环也未击中环的概率为（，，），如果已知该运动员一次射箭击中环数的期望为环，则当取最小值时，的值为（）A．B．C．D．9.若函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（）A．或或B．或C．D．不存在这样的实数10.已知函数有平行于轴的切线且切点在轴右侧，则的范围为（）A．B．C．D．11.已知函数有两个极值点、，且，，则的取值范围是（）A．B．C．D．12.定义在上的函数，满足，，若且，则有（）A．B．C．D．不能确定二、填空题1.航空母舰“辽宁舰”将进行一次编队配置科学实验，要求艘攻击型核潜艇一前一后，艘驱逐舰和艘护卫舰分列左、右，同侧不能都是同种舰艇，则舰艇分配方案的方法数为．（用数字作答）2.二项式的展开式的第二项的系数为，则的值为．3.某公司的广告费支出与销售额（单位：万元）之间有下列对应数据：由资料显示对呈线性相关关系．根据上表提供的数据得到回归方程中的，预测销售额为万元时约需____万元广告费．4.一盒子装有只产品，其中有只一等品，只二等品．从中取产品两次，每次任取一只，作不放回抽样．设事件为“第一次取到的是一等品”，事件为“第二次取到的是一等品”，则条件概率．三、解答题1.已知，求：（1）；（2）．2.用，，，，这五个数字组成无重复数字的自然数．（1）在组成的三位数中，求所有偶数的个数；（2）在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如，等都是“凹数”，试求“凹数”的个数；（3）在组成的五位数中，求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数．3.某高校共有学生人，其中男生人，女生人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：（1）应收集多少位女生的样本数据？（2）根据这个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：，，，，．估计该校学生每周平均体育运动时间超过小时的概率；（3）在样本数据中，有位女生的每周平均体育运动时间超过小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．附：4.某鱼类养殖户在一个鱼池中养殖一种鱼，每季养殖成本为元，此鱼的市场价格与鱼池的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：鱼池产量（）鱼的市场价格（元/）概率概率表示在这个鱼池养殖季这种鱼的利润，求（2）若在这个鱼池中连续季养殖这种鱼，求这季中至少有季的利润不少于元的概率．5.已知函数（）．（1）当时，求在的最小值；（2）若存在单调递减区间，求的取值范围．6.（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系中，圆的方程为．以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆的极坐标方程；（2）射线与圆的交点为、两点，求点的极坐标．7.（选修4-5：不等式选讲）设函数．（1）解不等式；（2）若对任意实数满足，求实数的取值范围．青海高二高中数学期末考试答案及解析1.已知集合（整数集）和，其中是虚数单位，则集合所含元素的个数有（）A．个B．个C．个D．个【答案】B【解析】，则，，含有三个元素，故正确选项是B.【考点】复数的运算，集合的运算.2.已知随机变量服从二项分布，则等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由二项分布概念可知得，则=，故正确选项为D.【考点】二项分布.3.已知直线是曲线的一条切线，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】曲线的导函数为，为曲线在点处切线的斜率，由切线可知斜率为，即，得，所以切点为（1,1），将切点代入切线方程可求得，故正确选项为C.【考点】导函数的运用.4.若的展开式中第四项为常数项，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据二项式展开公式有第四项为，第四项为常数，则必有，即，所以正确选项为B.【考点】二项式定理.【易错点睛】某项为常数项，隐含条件就是该项的次数为，这是解题的关键；二项式展开后的第项的公式为，而不是；要区分组合数公式与二项式系数公式，清楚的熟记每个公式，能够使我们解题的正确率得到大大的提升．5.若二项式（）中所有项的系数之和为，所有项的系数的绝对值之和为，则的最小值为（）A．B．C．D．【解析】二项式中所有系数和为时二项式的值，而所有系数绝对值的和则为时二项式的值，故，，则，，令，由导函数知函数在上为增函数，则在取得最小值为，故正确选项为D.【考点】二项式系数，函数的单调性.6.北京某大学为第十八届四中全会招募了名志愿者（编号分别是，，，号），现从中任意选取人按编号大小分成两组分配到江西厅、广电厅工作，其中三个编号较小的人在一组，三个编号较大的在另一组，那么确保号、号与号同时入选并被分配到同一厅的选取种数是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】号、号与号放在一组，则其余三个编号要么都比6小，要么都比24大，比6 小时，有种选法，都比24大时，有种选法，合计30种选法，号、号与在选厅时有两种选法，所以选取的种数共有种，故正确选项为C.【考点】组合与排列的概念.7.学校计划利用周一下午第一、二、三节课开设语文、数学、英语、物理科的选修课，每科一节课，每节至少有一科，且数学、物理不安排在同一节，则不同的安排方法共有（）A．种B．种C．种D．种【答案】B【解析】由于每科一节课，每节至少有一科，必有两颗在同一节，先从4科中任选两科看作整体，然后做三个元素的排序，共有,又数学物理不能在同一节课中，数学物理在同一节课中的分法为，则不同的安排法共有36-6=30种，故正确选项为B.【考点】组合与排列的运用.8.一个射箭运动员在练习时只记射中环和环的成绩，未击中环或环就以环记．该远动员在练习时击中环的概率为，击中环的概率为，既未击中环也未击中环的概率为（，，），如果已知该运动员一次射箭击中环数的期望为环，则当取最小值时，的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由运动员一次射箭击中环数的期望为环，可知，即，则，当，即时取等号，此时，则，故正确选项为A.【考点】离散型随机变量的分布列和数学期望的应用．9.若函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（）A．或或B．或C．D．不存在这样的实数【答案】B【解析】由题意得上必有一个零点，而的零点为，故有，解得或，所以正确选项为B.【考点】应用导数研究函数的单调性.10.已知函数有平行于轴的切线且切点在轴右侧，则的范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意得存在零点，而此零点在轴的正半轴，即，解不等式得的取值范围为，故正确选项为A.【考点】函数的切线与导数的关系.11.已知函数有两个极值点、，且，，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】有两个极值点、，即有两个零点、，又，，开口向上，所以有，，这是线性约束条件，可知在四条直线的交点处取得最值，所以有在处取得最大值，在处取得最小值，所以的取值范围为，故正确选项为C.【考点】函数的极值点，零点以及导数的运用.【思路点睛】题中所给函数为3次函数，由涉及到极值点，所以必须得用导函数，函数在极值点两侧的单调性相反，导函数在极值点两侧的正负相反，可以列出关于，的不等式组，从而为求的范围提供新的条件，在高中阶段，导数法时解关于极值问题的常用方法.12.定义在上的函数，满足，，若且，则有（）A．B．C．D．不能确定【答案】A【解析】由知，当时，为增函数，当时，为减函数，且，当，有，当，因为，所以，，所以有，即，所以恒有，故正确选项为A.【考点】函数的单调性与导函数的关系.【思路点睛】在进行隐函数函数值大小比较的时候，常用的方法是利用函数的单调性，所以首先要求得函数的单调区间，对于在定义域上单调性不唯一的函数，一定要通过函数的性质将两个自变量放在单调性一致的区间上，这样才能利用函数的单调性比较函数值的大小．二、填空题1.航空母舰“辽宁舰”将进行一次编队配置科学实验，要求艘攻击型核潜艇一前一后，艘驱逐舰和艘护卫舰分列左、右，同侧不能都是同种舰艇，则舰艇分配方案的方法数为．（用数字作答）【答案】32【解析】攻击性核潜艇有前后两种排序，驱逐舰与护卫舰，需要先进行分组，可分为2组，共种分法，两组分别在航母两侧，有种分法，每组中的驱逐舰与护卫舰有先后顺序，共有4种排序法，所以共有种分配方法.【考点】排列与组合的概念.2.二项式的展开式的第二项的系数为，则的值为．【答案】3或【解析】展开的第二项为，由已知有，，当时，，当，所以的值为3或.【考点】二项式定理，定积分.3.某公司的广告费支出与销售额（单位：万元）之间有下列对应数据：由资料显示对呈线性相关关系．根据上表提供的数据得到回归方程中的，预测销售额为万元时约需____万元广告费．【答案】15【解析】，则，即，当销售额为万时，代入回归直线得广告费，即投入万广告费，预计销售额将为万.【考点】线性相关与回归直线.【思路点睛】两个变量若线性相关，则可认为它们满足回归直线方程，而回归直线方程表示的是一条直线，所以先要利用已知条件求得这条直线中的两个参数，，其中可以直接利用变量来求得，而参数则要利用来求得，求得了回归直线方程，就可将变量代入直线，从而求得另一个变量，在此求得的值为近似值，而非精确值.4.一盒子装有只产品，其中有只一等品，只二等品．从中取产品两次，每次任取一只，作不放回抽样．设事件为“第一次取到的是一等品”，事件为“第二次取到的是一等品”，则条件概率．【答案】【解析】表示在第一次取出的是一等品的情况下，第二次取出的是一等品的概率．第一取出一等品的概率为，然后还有个一等品和个二等品，所以第二次取出的是一等品的概率为，则条件概率为.【考点】条件概率.【易错点睛】本题主要考查的是条件概率的计算，要熟记相关概念即计算公式．条件概率为事件发生的前提下在发生事件的概率，用公式可表示为，容易与且事件的概率计算混淆，且事件概率为事件的概率与事件的概率直接相乘.三、解答题1.已知，求：（1）；（2）．【答案】（1）-2；（2）．【解析】二项式中，当时，二项式的值就是二项式展开中各项系数的和；当时，二项式展开中的系数会正负交替，结合时二项式的系数，就可以求得二项式中偶次项系数和与奇次项系数和，从而可进一步求得待求量的值．试题解析：（1）当时，，展开式变为，当时，，，（2）由展开式知：，，，均为负，，，，均为正，令，①令，②【考点】二项式的系数.2.用，，，，这五个数字组成无重复数字的自然数．（1）在组成的三位数中，求所有偶数的个数；（2）在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如，等都是“凹数”，试求“凹数”的个数；（3）在组成的五位数中，求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数．【答案】（1）30；（2）20；（3）28．【解析】在正自然数中，零不能处在最高位，（1）偶数的个位数为偶数，所以只能为0，2，4，根据排列公式求出偶数个数即可；（2）由题意可知十位数可为0，1，2，分别从剩余的数字中取两个进行排列；（3）5个数字中只有两个奇数，所以可将1，3以及夹在中间的偶数看作整体，并与剩余的两个偶数进行排列计算．试题解析：（1）将所有的三位偶数分为两类：（i）若个位数为，则共有（个）；（ii）若个位数为或，则共有（个），所以，共有个符合题意的三位偶数．（2）将这些“凹数”分为三类：（i）若十位数字为，则共有（个）；（ii）若十位数字为，则共有（个）；（iii）若十位数字为，则共有（个），所以，共有个符合题意的“凹数”．（3）将符合题意的五位数分为三类：（i）若两个奇数数字在一、三位置，则共有（个）；（ii）若两个奇数数字在二、四位置，则共有（个）；（iii）若两个奇数数字在三、五位置，则共有（个），所以，共有个符合题意的五位数．【考点】排列的运用.3.某高校共有学生人，其中男生人，女生人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）．（1）应收集多少位女生的样本数据？（2）根据这个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：，，，，．估计该校学生每周平均体育运动时间超过小时的概率；（3）在样本数据中，有位女生的每周平均体育运动时间超过小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．附：【答案】（1）90；（2）0.75；（3）%．【解析】（1）由题知，抽样比例为50:1，分层抽样是按照男女生比例来比例来抽样的，所以所抽300名学生中，男生与女生比例为10500:4500，可求出女生人数为；（2）观察频率分布直方图，找出每周平均体育运动不超过4小时的所有小矩形高即为频率/组距，这些小矩形的面积和即为每周平均体育运动不超过4小时的频率，1减去这个频率就是一周体育运动时间超过4小时的频率；（3）根据频率分之直方图计算出这300名学生中每周平均体育运动时间超过4小时以及不超过4小时的人数，列出表格，并代入公式中，得到样本观测值，将该值与表中概率为0.95的值比较，可得出有%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．试题解析：（1），所以应收集位女生的样本数据．（2）由频率分布直方图得，所以该校学生每周平均体育运动时间超过小时的概率的估计值为．（3）由（2）知，位学生中有人的每周平均体育运动时间超过小时，人的每周平均体育运动时间不超过小时．又因为样本数据中有份是关于男生的，份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：结合列联表可算得所以有%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．【考点】分层抽样方法，总体估计，独立性检验.4.某鱼类养殖户在一个鱼池中养殖一种鱼，每季养殖成本为元，此鱼的市场价格与鱼池的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：鱼池产量（）鱼的市场价格（元/）概率概率（1）设表示在这个鱼池养殖季这种鱼的利润，求的分布列和期望；（2）若在这个鱼池中连续季养殖这种鱼，求这季中至少有季的利润不少于元的概率．【答案】（1）分布列见解析，；（2）0.896．【解析】（1）根据利润=产量市场价格-成本，可求出的所有可能值为40000，20000，8000，且可求得，，的值，即可列出的分布列，进而求出它的期望；（2）可假设为“第季度利润不少于20000元”的事件，则相互独立，由（1）知，，3季度利润均不少于20000的概率为，3季度中由两季度利润不少于20000的概率为，进而可求出3季度张至少有两季度利润不少于20000的概率．试题解析：（1）因为利润产量市场价格成本，所以所有可能的取值为，，，．，，．所以的分布列为则．（2）设表示事件“第季利润不少于元”（，，），由题意知，，相互独立，由（1）知，（，，）季的利润均不少于元的概率为季中有季利润不少于元的概率为所以季中至少有季的利润不少于元的概率为【考点】离散型随机变量的分布列，数学期望，概率的求法.5.已知函数（）．（1）当时，求在的最小值；（2）若存在单调递减区间，求的取值范围．【答案】（1）1；（2）．【解析】（1）因为单调性无法直接判断，所以宜使用导函数法来判断函数在上的单调性，从而求出最小值；（2）存在单调递减区间，则有正实数解，即，利用二次函数的相关知识求出参数范围.试题解析：解：（1），定义域为．，在上是增函数．．（2）因为因为存在单调递减区间，所以有正数解．即有的解．①当时，明显成立．②当时，开口向下的抛物线，总有的解；③当时，开口向上的抛物线，即方程有正根．因为，所以方程有两正根．当时，：，解得．综合①②③知：．【考点】导函数以及二次函数的运用，解含有参数的不等式.6.（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系中，圆的方程为．以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆的极坐标方程；（2）射线与圆的交点为、两点，求点的极坐标．【答案】（1）；（2）．【解析】将直角坐标系中用极坐标系中表示为，，并代入圆的方程，进行化简，即可得到圆的极坐标方程；（2）射线的直角坐标系方程为，，先联立射线方程与圆的方程，求出点在直角坐标系中坐标，然后再转化成极坐标系中的坐标．试题解析：（1）圆的普通方程是，又，，所以圆的极坐标方程是（2）因为射线的普通方程为，联立方程组消去并整理得解得或，所以点的直角坐标为所以点的极坐标为解法2：把代入得所以点的极坐标为【考点】极坐标与直角坐标的转化，极坐标方程与直角坐标方程的转化.【方法点睛】利用两种坐标的互相转化，能够将不熟悉的问题转化为熟悉的问题，在相互转化是要注意：极点与原点重合，极轴与轴正向重合，取相同的单位长度；直角坐标系方程转化为极坐标方程时，要将直角坐标用极坐标表示，并代入直角坐标方程进行化简得出极坐标方程，同理极坐标方程转直角坐标方程则需将极坐标用直角坐标来表示，并进行化简。
潍坊市高二数学下学期期末考试试题含解析
学生
甲
乙
丙
丁
戊
己
庚
辛
壬
癸
平均
标准差
数学
88
62
物理
75
63
若这10位同学的成绩能反映全班的成绩状况，且全班成绩服从正态分布，用实线表示全班数学成绩分布曲线，虚线表示全班物理成绩分布曲线，则下列正确的是( ）
∴ 面 ,又 面 ，即有 ，故B正确
选项C中，点 运动到 中点时，即在△ 中 、 均为中位线
∴Q为中位线的交点
∴根据中位线的性质有： ，故C错误
选项D中,由于 ，直线 与 所成角即为 与 所成角：
结合下图分析知：点 在 上运动时
当 在 或 上时， 最大为45°
当 在 中点上时， 最小为
∴ 不可能是30°，故D正确
故选:B
【点睛】本题主要考查利用棱柱侧面展开图求解距离最值问题,意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
8. 在桌面上有一个正四面体 .任意选取和桌面接触的平面的三边的其中一条边，以此边为轴将正四面体翻转至另一个平面,称为一次操作.如图，现底面为 ，且每次翻转后正四面体均在桌面上，则操作3次后，平面 再度与桌面接触的概率为（ ）
二、多项选择题：
9。 已知复数 的共轭复数为 ，且 ，则下列结论正确的是（ ）
A。 B。 虚部为 C。 D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】
先利用题目条件可求得 ，再根据复数的模的计算公式，以及复数的有关概念和复数的四则运算法则即可判断各选项的真假．
【详解】由 可得, ,所以 ， 虚部为 ；
黑龙江高二高中数学期末考试带答案解析
黑龙江高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.．“p或q是假命题”是“非p为真命题”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件2.已知为偶函数且，则等于 ( )A．0B．4C．8D．16 3.观察下列式子: <2,<3,<4,….归纳出的结论是 ( )A．B．C．D．以上都不对4.命题：“对任意一个实数，均有”，则为（）A．存在，使得B．对任意，均有C．存在，使得D．对任意，均有5.直线过椭圆左焦点F1和一个顶点B，则该椭圆的离心率为 ( ) A． B． C． D．6.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，有下列命题：①若，则；②若；③若；④若，则；其中真命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个7.若命题的否命题为，命题的逆命题为，则是的逆命题的 ( )A．逆否命题B．否命题C．逆命题D．原命题8.．若函数的导函数在区间（－∞，4）上是减函数，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．9.．已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．10.设函数A．B．C．D．211.已知抛物线，过点向抛物线引两条切线，A、B为切点，则线段AB的长度是（）A．B．C．D．12.已知双曲线方程为，过点作直线与双曲线交于两点，记满足的直线的条数为，则的可能取值为（）A．B．C．D．二、填空题1.，则a＝________.2..已知数列,…,计算得,….由此可猜测=3..直线与函数的图象有相异的三个公共点，则a的取值范围是______．4..已知平面，空间任意三条两两平行且不共面的直线，若直线与，与，与确定的平面分别为，则平面内到平面距离相等的点的个数可能为__三、解答题1.（本小题满分10分）用平行于四面体的一组对棱、的平面截此四面体(如图）.（1）求证：所得截面是平行四边形；（2）如果.求证：四边形的周长为定值.2..（本小题满分12分）已知函数（1）讨论函数的单调区间；（2）求函数在[0，2]上的最大值和最小值.3.本小题满分12分）如图，在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AB 和BC 的中点，EF 交BD 于H 。
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高二数学期末考试题及答案Learn standards and apply them. June 22, 2023
一、选择题：本大题共12小题,每小题3分,共36分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选项填在试卷的答题卡中．
1．若抛物线y 2
=2px 的焦点与椭圆22162
x y +=的右焦点重合,则p 的值为 A ．-2
B ．2
C ．-4
D ．4
2．理已知向量a =3,5,-1,b =2,2,3,c =4,-1,-3,则向量2a -3b +4c 的坐标为
A ．16,0,-23
B ．28,0,-23
C ．16,-4,-1
D ．0,0,9
文曲线y =4x -x 2上两点A 4,0,B 2,4,若曲线上一点P 处的切线恰好平行于弦AB ,则点P 的坐标为
A ．1,3
B ．3,3
C ．6,-12
D ．2,4
3．过点0,1作直线,使它与抛物线y 2
=4x 仅有一个公共点,这样的直线有
A ．1条
B ．2条
C ．3条
D ．4条
4．已知双曲线22
2112
x y a -
=的离心率2,则该双曲线的实轴长为 A ．2 B ．4
C ．23
D ．43
5．在极坐标系下,已知圆C 的方程为=2cos θ,则下列各点中,在圆C 上的是
A ．1,-3π
B ．1,6
π
C ．2,34π
D 2,54
π
6．将曲线y =sin3x 变为y =2sin x 的伸缩变换是
A ．312
x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩
B ．312
x x
y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩
C ．32x x y y '
=⎧⎨'=⎩
D ．32x x
y y
'=⎧⎨'=⎩
7．在方程sin cos 2x y θ
θ=⎧⎨=⎩
为参数表示的曲线上的一个点的坐标是
A ．2,-7
B ．1,0
C ．12,12
D ．13,23
8．极坐标方程=2sin 和参数方程231x t
y t =+⎧⎨=--⎩
t 为参数所表示的图形分别为
A ．圆,圆
B ．圆,直线
C ．直线,直线
D ．直线,圆
9．理若向量a =1,,2,b =2,-1,2,a 、b 夹角的余弦值为8
9
,则=
A ．2
B ．-2
C ．-2或
2
55
D ．2或-
255
文曲线y =e x +x 在点0,1处的切线方程为 A ．y =2x +1 B ．y =2x -1 C ．y =x +1 D ．y =-x +1
10．理已知点P 1的球坐标是P 14,2π,53π,P 2的柱坐标是P 22,6
π
,1,则|P 1P 2|=
A ．21
B ．29
C ．30
D ．42
文已知点P 在曲线fx =x 4
-x 上,曲线在点P 处的切线垂直于直线x +3y =0,则点P 的坐标
为
A ．0,0
B ．1,1
C ．0,1
D ．1,0
11．过双曲线的右焦点F 作实轴所在直线的垂线,交双曲线于A ,B 两点,设双曲线的左顶点M ,若点M 在以AB 为直径的圆的内部,则此双曲线的离心率e 的取值范围为
A ．32,+∞
B ．1,32
C ．2,+∞
D ．1,2
12．从抛物线y 2
=4x 上一点P 引抛物线准线的垂线,垂足为M ,且|PM |=5,设抛物线的焦点为F ,则△MPF 的面积为
A ．5
B ．10
C ．20
D 15二、填空题：本大题共4小题,每小题4分,共16分．请将答案填在试卷的答题卡中．
13．理已知空间四边形ABCD 中,G 是CD 的中点,则1
()2
AG AB AC -+=
．
文抛物线y =x 2+bx +c 在点1,2处的切线与其平行直线bx +y +c =0间的距离是 ．
14．在极坐标系中,设P 是直线l ：cos θ+sin θ=4上任一点,Q 是圆C ：2
=4cos θ-3上任一点,则|PQ |的最小值是________．
15．理与A -1,2,3,B 0,0,5两点距离相等的点Px ,y ,z 的坐标满足的条件为__________．
文函数fx =ax 3
-x 在R 上为减函数,则实数a 的取值范围是__________．
16．如图,已知双曲线以长方形ABCD 的顶点A 、B 为左、右焦点,且双曲线过C 、D 两顶点．若AB =4,BC =3,则此双曲线的标准方程为_____________________．
三、解答题：本大题共4小题,共48分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．
17．本题满分12分
双曲线与椭圆22
12736
x y +
=有相同焦点,且经过点15,4,求其方程．
18．本题满分12分
在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为：415
315x t y t
⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩
t 为参数,若以O
为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线C 的极坐标方程为
=2cos θ+4
π
,求直线l 被曲线C 所截的弦长．
19．本题满分12分
已知抛物线的顶点在原点,对称轴是x轴,抛物线上的点M-3,m到焦点的距离为5,求抛物线的方程和m的值．
20．本题满分12分
文已知函数fx=x2x-a．
1若fx在2,3上单调,求实数a的取值范围；
2若fx在2,3上不单调,求实数a的取值范围．
理本题满分12分
如图,四棱锥P—ABCD的底面是矩形,PA⊥面
ABCD,PA=219,AB=8,BC=6,点E是PC的中点,F在AD上且
AF：FD=1：2．建立适当坐标系．
1求EF的长；
2证明：EF⊥PC．
参考答案
一、 选择题：本大题共12小题,每小题3分,共36分．
内为文科答案
二、填空题：本大题共4小题,每小题4分,共16分．
13．理12BD 文3
22
14．21-
15．理2x -4y +4z =11 文a ≤0 16．x 2
-2
3
y =1 三、解答题：本大题共4小题,共48分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．
17．本题满分12分
解：椭圆22
13627
y x +
=的焦点为0,3,c =3,………………………3分 设双曲线方程为22
22
19y x a a
-=-,…………………………………6分 ∵过点15,4,则
22161519a a
-=-,……………………………9分 得a 2
=4或36,而a 2<9,∴a 2=4,………………………………11分
双曲线方程为22
145
y x -=．………………………………………12分
18．本题满分12分
解：将方程415
315x t y t
⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩
t 为参数化为普通方程得,3x +4y +1=0,………3分
将方程2θ+4
π
化为普通方程得,x 2+y 2-x +y =0, ……………6分 它表示圆心为
12,-1
2
,半径为22的圆, …………………………9分
则圆心到直线的距离d =1
10
, …………………………………………10分 弦长为2211721005
r d -=-=． …………………………………12分
20．文本题满分12分
解：由fx =x 3
-ax 2
得f ′x =3x 2
-2ax =3xx -
23
a
．…………3分 1若fx 在2,3上单调,则23a ≤0,或0<23
a
≤2,解得：a ≤3．…………6分
∴实数a 的取值范围是-∞,3．…………8分 2若fx 在4,6上不单调,则有4<
23
a
<6,解得：6<a <9．…………11分 ∴实数a 的取值范围是6,9．…………12分
20．理本题满分12分
解：1以A 为原点,AB ,AD ,AP 分别为x ,y ,z 轴建立直角坐标系,…………2分
由条件知：AF =2,…………3分
∴F 0,2,0,P 0,0,219,C 8,6,0．…4分
从而E 4,3,19,∴EF =222(40)(32)(190)-+-+-=6．…………6分 2证明：EF =-4,-1,-19,PC =8,6,-219,…………8分 ∵EF PC ⋅=-4×8+-1×6+-19×-219=0,…………10分 ∴EF ⊥PC ．…………12分
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