高二上期末数学试卷(及答案)
山西省晋中市高二（上）期末数学试卷（含答案解析）
2022-2023山西省晋中市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（5分）命题“∃x＞0，使2x＞3x”的否定是（）A．∀x＞0，使2x≤3x B．∃x＞0，使2x≤3x C．∀x≤0，使2x≤3x D．∃x ≤0，使2x≤3x2．（5分）双曲线=1的渐近线方程为（）A．y=±B．y=±x C．y=±x D．y=±x3．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，BB1的中点，则直线BC1与EF所成角的余弦值是（）A．B．C．D．4．（5分）已知直线l1：ax+（a+2）y+1=0，l2：x+ay+2=0，则“l1∥l2”是“a=﹣1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知a、b、c为三条不重合的直线，下面有三个结论：①若a⊥b，a ⊥c则b∥c；②若a⊥b，a⊥c则b⊥c；③若a∥b，b⊥c则a⊥c．其中正确的个数为（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个6．（5分）设点P为椭圆上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且∠F1PF2=60°，则△PF1F2的面积为（）A．B．C．D．7．（5分）已知点F为抛物线y 2=﹣8x的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，点A在抛物线上，且|AF|=4，则|PA|+|PO|的最小值为（）A．6 B．C．D．4+28．（5分）已知圆O为Rt△ABC的外接圆，AB=AC，BC=4，过圆心O的直线l交圆O于P，Q两点，则的取值范围是（）A．[﹣8，﹣1]B．[﹣8，0]C．[﹣16，﹣1]D．[﹣16，0]9．（5分）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．10．（5分）在四面体S﹣ABC中，，二面角S﹣AC ﹣B的余弦值为，则该四面体外接球的表面积是（）A．B．C．24πD．6π11．（5分）在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且|AB|=2，|AD|=1，|CD|=2x其中x∈（0，1），以A，B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1，以C，D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2，若对任意x∈（0，1）不等式t＜e1+e2恒成立，则t的最大值为（）A．B．C．2 D．12．（5分）已知底面为边长为2的正方形，侧棱长为1的直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，P是面A1B1C1D1上的动点．给出以下四个结论中，正确的个数是（）①与点D距离为的点P形成一条曲线，则该曲线的长度是；②若DP∥面ACB1，则DP与面ACC1A1所成角的正切值取值范围是；③若，则DP在该四棱柱六个面上的正投影长度之和的最大值为．A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）直线的倾斜角为．14．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则它的体积为．15．（5分）已知直线l：x+y﹣6=0和圆M：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0，点A在直线l 上，若直线AC与圆M至少有一个公共点C，且∠MAC=30°，则点A的横坐标的取值范围为．16．（5分）已知m，n，s，t∈R+，m+n=2，，其中m、n是常数，当s+t 取最小值时，m、n对应的点（m，n）是双曲线一条弦的中点，则此弦所在的直线方程为．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．（10分）已知p：“直线x+y﹣m=0与圆（x﹣1）2+y2=1相交”；q：“方程mx2﹣2x+1=0有实数解”．若“p∨q”为真，“￢q”为假，则实数m的取值范围．18．（12分）已知线段AB的端点B在圆C1：x2+（y﹣4）2=16上运动，端点A的坐标为（4，0），线段AB中点为M，（Ⅰ）试求M点的轨C2方程；（Ⅱ）若圆C1与曲线C2交于C，D两点，试求线段CD的长．19．（12分）如图1所示，在Rt△ABC中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，CD为∠ACB 的平分线，点E在线段AC上，CE=4．如图2所示，将△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，连接AB，设点F是AB的中点．（1）求证：DE⊥平面BCD；（2）若EF∥平面BDG，其中G为直线AC与平面BDG的交点，求三棱锥B﹣DEG 的体积．20．（12分）已知点F为抛物线C：y2=4x的焦点，点P是准线l上的动点，直线PF交抛物线C于A，B两点，若点P的纵坐标为m（m≠0），点D为准线l与x 轴的交点．（Ⅰ）求直线PF的方程；（Ⅱ）求△DAB的面积S范围；（Ⅲ）设，，求证λ+μ为定值．21．（12分）如图，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面，平面ABCD∩平面ABPE=AB，且AB=BP=2，AD=AE=1，AE⊥AB，且AE∥BP．（Ⅰ）设点M为棱PD中点，求证：EM∥平面ABCD；（Ⅱ）线段PD上是否存在一点N，使得直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于？若存在，试确定点N的位置；若不存在，请说明理由．22．（12分）在平面直角坐标系xOy内，动点P到定点F（﹣1，0）的距离与P到定直线x=﹣4的距离之比为．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）设点A、B是轨迹C上两个动点，直线OA、OB与轨迹C的另一交点分别为A1、B1，且直线OA、OB的斜率之积等于，问四边形ABA1B1的面积S是否为定值？请说明理由．2022-2023晋中市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（5分）命题“∃x＞0，使2x＞3x”的否定是（）A．∀x＞0，使2x≤3x B．∃x＞0，使2x≤3x C．∀x≤0，使2x≤3x D．∃x ≤0，使2x≤3x【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定是全称命题，即∀x＞0，使2x≤3x，故选：A2．（5分）双曲线=1的渐近线方程为（）A．y=±B．y=±x C．y=±x D．y=±x【解答】解：由题意，a=4，b=3，渐近线方程为y=±x，故选C．3．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，BB1的中点，则直线BC1与EF所成角的余弦值是（）A．B．C．D．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，则E（2，1，0），F（2，2，1），B（2，2，0），C1（0，2，2），=（﹣2，0，2），=（0，1，1），设直线BC1与EF所成角为θ，则cosθ=|cos＜，＞|===．∴直线BC1与EF所成角的余弦值是．故选：B．4．（5分）已知直线l1：ax+（a+2）y+1=0，l2：x+ay+2=0，则“l1∥l2”是“a=﹣1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵直线l1：ax+（a+2）y+1=0，l2：x+ay+2=0，且l1∥l2，∴a2﹣a﹣2=0，解得：a=2或a=﹣1，故a=2或a=﹣1是a=﹣1的必要不充分条件，故选：B．5．（5分）已知a、b、c为三条不重合的直线，下面有三个结论：①若a⊥b，a ⊥c则b∥c；②若a⊥b，a⊥c则b⊥c；③若a∥b，b⊥c则a⊥c．其中正确的个数为（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【解答】解：两条直线都与第三条直线垂直，只两条直线之间的位置关系不能确定，故①②不正确，若a∥b，b⊥c则a⊥c，这里符合两条直线的关系，是我们求两条直线的夹角的方法，故③正确，综上可知有一个正确的说法，故选B．6．（5分）设点P为椭圆上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且∠F1PF2=60°，则△PF1F2的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：∵椭圆，∴b=2，c=．又∵P为椭圆上一点，∠F1PF2=60°，F1、F2为左右焦点，∴|F1P|+|PF2|=2a，|F1F2|=2，∴|F1F2|2=（|PF1|+|PF2|）2﹣2|F1P||PF2|﹣2|F1P|•|PF2|cos60°=4a2﹣3|F1P|•|PF2|=4a2﹣16，∴|F1P|•|PF2|=．∴=|F1P|•|PF2|sin60°=××=．故选：C．7．（5分）已知点F为抛物线y 2=﹣8x的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，点A在抛物线上，且|AF|=4，则|PA|+|PO|的最小值为（）A．6 B．C．D．4+2【解答】解：∵|AF|=4，由抛物线的定义得，∴A到准线的距离为4，即A点的横坐标为﹣2，又点A在抛物线上，∴从而点A的坐标A（﹣2，4）；坐标原点关于准线的对称点的坐标为B（4，0）则|PA|+|PO|的最小值为：|AB|==故选C．8．（5分）已知圆O为Rt△ABC的外接圆，AB=AC，BC=4，过圆心O的直线l交圆O于P，Q两点，则的取值范围是（）A．[﹣8，﹣1]B．[﹣8，0]C．[﹣16，﹣1]D．[﹣16，0]【解答】解：【解法一】以O为坐标原点，BC所在的直线为x轴，BC的中垂线为y轴，建立直角坐标系，如图所示；在Rt△ABC中，AB=AC，BC=4，所以△ABC的外接圆圆心是BC的中点，半径为r=BC=2，所以A（0，2），B（﹣2，0），C（2，0），圆O的方程为：x2+y2=4；当直线PQ的斜率不存在时，有P（0，2），Q（0，﹣2），=（2，2），=（﹣2，﹣2），则•=﹣4﹣4=﹣8；当直线PQ的斜率存在时，设直线l为：y=kx，代入圆的方程可得P（﹣，﹣），Q（，），则=（2﹣，﹣），=（﹣2，），所以•=（2﹣）（﹣2）+（﹣）=﹣8+，由1+k2≥1可得0＜≤8，所以﹣8＜﹣8+≤0；又题目中没有要求P、Q的具体位置，所以P、Q坐标互换时，比如，当k=0时，若P（2，0），Q（﹣2，0），则向量=（4，0），向量=（﹣4，0），所以•=﹣16．故选：D．【解法二】以O为坐标原点，BC所在的直线为x轴，BC的中垂线为y轴，建立直角坐标系，如图所示；在Rt△ABC中，AB=AC，BC=4，所以△ABC的外接圆圆心是BC的中点，半径为r=BC=2，所以A（0，2），B（﹣2，0），C（2，0），圆O的方程为：x2+y2=4；设P（2sinθ，2cosθ），Q（﹣2sinθ，﹣2cosθ），把转化为三角函数计算更简单．9．（5分）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．【解答】解：设F（c，0），则直线AB的方程为y=（x﹣c）代入双曲线渐近线方程y=﹣x得A（，﹣），由=2，可得B（﹣，﹣），把B点坐标代入双曲线方程﹣=1，即=1，整理可得c=a，即离心率e==．故选：C．10．（5分）在四面体S﹣ABC中，，二面角S﹣AC ﹣B的余弦值为，则该四面体外接球的表面积是（）A．B．C．24πD．6π【解答】解：取AC中点D，连接SD，BD，因为AB=BC=，所以BD⊥AC，因为SA=SC=2，所以SD⊥AC，AC⊥平面SDB．所以∠SDB为二面角S﹣AC﹣B．在△ABC中，AB⊥BC，AB=BC=，所以AC=2．取等边△SAC的中心E，作EO⊥平面SAC，过D作DO⊥平面ABC，O为外接球球心，所以ED=，二面角S﹣AC﹣B的余弦值是﹣，所以cos∠EDO=，OD=，所以BO==OA=OS=OC所以O点为四面体的外接球球心，其半径为，表面积为6π．故选：D．11．（5分）在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且|AB|=2，|AD|=1，|CD|=2x其中x∈（0，1），以A，B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1，以C，D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2，若对任意x∈（0，1）不等式t＜e1+e2恒成立，则t的最大值为（）A．B．C．2 D．【解答】解：在等腰梯形ABCD中，BD2=AD2+AB2﹣2AD•AB•cos∠DAB=1+4﹣2×1×2×（1﹣x）=1+4x，由双曲线的定义可得a1=，c1=1，e1=，由椭圆的定义可得a2=，c2=x，e2=，则e1+e2=+=+，令t=∈（0，﹣1），则e1+e2=（t+）在（0，﹣1）上单调递减，所以e1+e2＞×（﹣1+）=，故选：B．12．（5分）已知底面为边长为2的正方形，侧棱长为1的直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，P是面A1B1C1D1上的动点．给出以下四个结论中，正确的个数是（）①与点D距离为的点P形成一条曲线，则该曲线的长度是；②若DP∥面ACB1，则DP与面ACC1A1所成角的正切值取值范围是；③若，则DP在该四棱柱六个面上的正投影长度之和的最大值为．A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：如图，①错误，与点D距离为的点P形成以D1为圆心，半径为的圆弧MN，长度为=；②错误，因为面A1DC1∥面ACB1，所以点P必须在面对角线A1C1上运动，当P 在A1（或C1）时，DP与面ACC1A1所成角∠DA1O（或∠DC1O）的正切值为最小，当P在O1时，DP与面ACC1A1所成角∠DO1O的正切值为最大，所以正切值取值范围是；③正确，设P（x，y，1），则x2+y2+1=3，即x2+y2=2，DP在前后、左右、上下面上的正投影长分别为，所以六个面上的正投影长度之和为，当且仅当P在O1时取等号．故选B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）直线的倾斜角为150°．【解答】解：由题意化直线的方程为斜截式y=x﹣，可得直线的斜率为，设直线的倾斜角为α，则tanα=，可得α=150°故答案为：150°14．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则它的体积为16．【解答】解：根据三视图得出：该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O﹣ABCD，正方体的棱长为4，O、A、D分别为棱的中点，∴OD=2，AB=DC=OC=2，做OE⊥CD，垂足是E，∵BC⊥平面ODC，∴BC⊥OE、BC⊥CD，则四边形ABCD是矩形，∵CD∩BC=C，∴OE⊥平面ABCD，∵△ODC的面积S==6，∴6=，得OE=，∴此四棱锥O﹣ABCD的体积V==16，故答案为16．15．（5分）已知直线l：x+y﹣6=0和圆M：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0，点A在直线l 上，若直线AC与圆M至少有一个公共点C，且∠MAC=30°，则点A的横坐标的取值范围为[1，5] ．【解答】解：如图，设点A的坐标为（x0，6﹣x0），圆心M到直线AC的距离为d，则d=|AM|sin30°，∵直线AC与⊙M有交点，∴d=|AM|sin30°≤2，∴（x0﹣1）2+（5﹣x0）2≤16，∴1≤x0≤5，故答案为[1，5]．16．（5分）已知m，n，s，t∈R+，m+n=2，，其中m、n是常数，当s+t 取最小值时，m、n对应的点（m，n）是双曲线一条弦的中点，则此弦所在的直线方程为x﹣2y+1=0．【解答】解：由已知得=，由于s+t的最小值是，因此，又m+n=2，所以m=n=1．设以点（m，n）为中点的弦的两个端点的坐标分别是（x1，y1），（x2，y2），则有①．又该两点在双曲线上，则有，，两式相减得②，把①代入②得，即所求直线的斜率是，所求直线的方程是，即x﹣2y+1=0．故答案为x﹣2y+1=0三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．（10分）已知p：“直线x+y﹣m=0与圆（x﹣1）2+y2=1相交”；q：“方程mx2﹣2x+1=0有实数解”．若“p∨q”为真，“￢q”为假，则实数m的取值范围．【解答】解：∵直线x+y﹣m=0与圆（x﹣1）2+y2=1相交，∴（1，0）到x+y﹣m=0的距离小于1，即＜1，解得：1﹣＜1+，故p：m∈（1﹣，1+）；m=0时，方程mx2﹣2x+1=0有实数解，m≠0时，若方程mx2﹣2x+1=0有实数解，则△=4﹣4m≥0，解得：m≤1，故q：m∈（﹣∞，1]，若“p∨q”为真，“￢q”为假，则p真q真或p假q真，故m∈（﹣∞，1]．18．（12分）已知线段AB的端点B在圆C1：x2+（y﹣4）2=16上运动，端点A的坐标为（4，0），线段AB中点为M，（Ⅰ）试求M点的轨C2方程；（Ⅱ）若圆C1与曲线C2交于C，D两点，试求线段CD的长．【解答】解：（Ⅰ）设M（x，y），B（x′，y′），则由题意可得：，解得：，∵点B在圆C1：x2+（y﹣4）2=16上，∴（x′）2+（y′﹣4）2=16，∴（2x﹣4）2+（2y﹣4）2=16，即（x﹣2）2+（y﹣2）2=4．∴轨迹C2方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=4；（Ⅱ）由方程组，解得直线CD的方程为x﹣y﹣1=0，圆C1的圆心C1（0，4）到直线CD的距离为，圆C1的半径为4，∴线段CD的长为．19．（12分）如图1所示，在Rt△ABC中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，CD为∠ACB 的平分线，点E在线段AC上，CE=4．如图2所示，将△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，连接AB，设点F是AB的中点．（1）求证：DE⊥平面BCD；（2）若EF∥平面BDG，其中G为直线AC与平面BDG的交点，求三棱锥B﹣DEG 的体积．【解答】解：（1）取AC的中点P，连接DP，因为在Rt△ABC中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，CD为∠ACB的平分线，所以∠A=30°，△ADC是等腰三角形，所以DP⊥AC，DP=，∠DCP=30°，∠PDC=60°，又点E在线段AC上，CE=4．所以AE=2，EP=1，所以∠EDP=30°，∴∠EDC=90°，∴ED⊥DC；∵将△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，平面BDC∩平面EDC=DC∴DE⊥平面BCD；（2）若EF∥平面BDG，其中G为直线AC与平面BDG的交点，G为EC的中点，此时AE=EG=GC=2，因为在Rt△ABC中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，CD为∠ACB的平分线，所以BD=，DC=，所以B到DC的距离h===，因为平面BCD⊥平面ACD，平面BDC∩平面EDC=DC，所以B到DC的距离h就是三棱锥B﹣DEG的高．三棱锥B﹣DEG的体积：V====．20．（12分）已知点F为抛物线C：y2=4x的焦点，点P是准线l上的动点，直线PF交抛物线C于A，B两点，若点P的纵坐标为m（m≠0），点D为准线l与x 轴的交点．（Ⅰ）求直线PF的方程；（Ⅱ）求△DAB的面积S范围；（Ⅲ）设，，求证λ+μ为定值．【解答】解：（Ⅰ）由题知点P，F的坐标分别为（﹣1，m），（1，0），于是直线PF的斜率为，所以直线PF的方程为，即为mx+2y﹣m=0．（3分）（Ⅱ）设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），由得m2x2﹣（2m2+16）x+m2=0，所以，x1x2=1．于是．点D到直线mx+2y﹣m=0的距离，所以．因为m∈R且m≠0，于是S＞4，所以△DAB的面积S范围是（4，+∞）．（9分）（Ⅲ）由（Ⅱ）及，，得（1﹣x1，﹣y1）=λ（x2﹣1，y2），（﹣1﹣x1，m﹣y1）=μ（x2+1，y2﹣m），于是，（x2≠±1）．所以．所以λ+μ为定值0．（14分）21．（12分）如图，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面，平面ABCD∩平面ABPE=AB，且AB=BP=2，AD=AE=1，AE⊥AB，且AE∥BP．（Ⅰ）设点M为棱PD中点，求证：EM∥平面ABCD；（Ⅱ）线段PD上是否存在一点N，使得直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于？若存在，试确定点N的位置；若不存在，请说明理由．【解答】（Ⅰ）证明：∵平面ABCD⊥平面ABEP，平面ABCD∩平面ABEP=AB，BP ⊥AB∴BP⊥平面ABCD，又AB⊥BC，∴直线BA，BP，BC两两垂直，以B为原点，分别以BA，BP，BC为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．则P（0，2，0），B（0，0，0），D（2，0，1），E（2，1，0），C（0，0，1），∴M（1，1，），∴=（﹣1，0，），=（0，2，0）．∵BP⊥平面ABCD，∴为平面ABCD的一个法向量，∵=﹣1×0+0×2+=0，∴⊥．又EM⊄平面ABCD，∴EM∥平面ABCD．（Ⅱ）解：当点N与点D重合时，直线BN与平面PCD所成角的正弦值为．理由如下：∵=（2，﹣2，1），=（2，0，0），设平面PCD的法向量为=（x，y，z），则．令y=1，得=（0，1，2）．假设线段PD上存在一点N，使得直线BN与平面PCD所成角α的正弦值等于．设=λ=（2λ，﹣2λ，λ）（0≤λ≤1），∴=+=（2λ，2﹣2λ，λ）．∴|cos＜，＞|==．∴9λ2﹣8λ﹣1=0，解得λ=1或（舍去）．∴当N点与D点重合时，直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于．22．（12分）在平面直角坐标系xOy内，动点P到定点F（﹣1，0）的距离与P 到定直线x=﹣4的距离之比为．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）设点A、B是轨迹C上两个动点，直线OA、OB与轨迹C的另一交点分别为A1、B1，且直线OA、OB的斜率之积等于，问四边形ABA1B1的面积S是否为定值？请说明理由．【解答】解：（1）设P（x，y），由题意可得，，化简得3x2+4y2=12，所以，动点P的轨迹C的方程为．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得，，因为点A、B在椭圆C上，所以，，所以，=，化简得．①当x1=x2时，则四边形ABA1B1为矩形，y2=﹣y1，则，由，得，解得，，S=|AB|•|A1B|=4|x1||y1|=；②当x1≠x2时，直线AB的方向向量为，直线AB的方程为（y2﹣y1）x﹣（x2﹣x1）y+x2y1﹣x1y2=0，原点O到直线AB的距离为，所以△AOB的面积，根据椭圆的对称性，四边形ABA1B1的面积S=4S△AOB=2|x1y2﹣x2y1|，所以，=，所以．所以，四边形ABA1B1的面积为定值．。
2022-2023学年北京市丰台区高二(上)期末数学试卷(含答案解析)
2022-2023学年北京市丰台区高二（上）期末数学试卷1. 已知经过A(0,2)，B(1,0)两点的直线的一个方向向量为(1,k)，那么k=( )D. 2A. −2B. −1C. −122. 圆C：(x−2)2+(y−2)2=4的圆心坐标和半径分别为( )A. (−2,−2)，2B. (2,2)，2C. (−2,−2)，4D. (2,2)，43. 有一组样本数据x1，x2，…，x n的方差为0.1，则数据x1+2，x2+2，⋯，x n+2的方差为( )A. 0.1B. 0.2C. 1.1D. 2.14. 已知m，n是实数，若a⃗=(2,2m−3,2)，b⃗ =(4,2,3n−2)，且a⃗//b⃗ ，则m+n=( )A. −4B. 0C. 2D. 45. 记录并整理某车间10名工人一天生产的产品数量(单位：个)如表所示：工人赵甲钱乙孙丙李丁周戊吴己郑庚王辛冯壬陈癸产品数46485153535656565871量/个那么这10名工人一天生产的产品数量的第30百分位数为( )A. 49.5B. 51C. 52D. 536. 某工厂对一批产品进行了抽样检测，如图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[6,26]，样本数据分组为[6,10),[10,14),[14,18),[18,22),[22,26],已知样本中产品净重小于14克的个数是36，则样本中净重大于或等于10克并且小于22克的产品的个数是( )A. 90B. 75C. 60D. 457. 已知生产某种产品需要两道工序，设事件A=“第一道工序加工合格”，事件B=“第二道工序加工合格”，只有第一道工序加工合格才进行第二道工序加工，那么事件“产品不合格”可以表示为( )A. A −B. ABC. AB −D. A −∪AB −8. 已知圆M ：x 2+y 2=1和N:(x −2√2)2+(y −2√2)2=m 2(m >0)存在公共点，则m 的值不可能为( )A. 3B. 3√2C. 5D. 4√29. 已知双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的右支与圆x 2+y 2=a 2+b 2交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若△OAB 为正三角形，则该双曲线的离心率为( )A. 23B. √63C. √2D. 210. 在平面直角坐标系xOy 中，方程√(x +3)2+y 2⋅√(x −3)2+y 2=13对应的曲线记为C ，给出下列结论：①(0,0)是曲线C 上的点； ②曲线C 是中心对称图形；③记A(−3,0)，B(3,0)，P 为曲线C 上任意一点，则△PAB 面积的最大值为6. 其中正确结论的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 311. 双曲线x 2−y 2=4的渐近线方程为______.12. 甲、乙两人独立地破译某个密码，若两人独立译出密码的概率都是0.5，则密码被破译的概率为______.13. 写出过点A(2,3)且与圆(x −1)2+y 2=1相切的一条直线的方程______.14. 在空间直角坐标系O −xyz 中，已知过坐标原点O 的平面α的一个法向量是n ⃗ =(0,0,−1)，点P(3,−4,5)到平面α的距离为______.15. 棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点P 满足BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +z BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中x ，y ，z ∈[0,1]，给出下列四个结论：①当x =0，z =1时，△BPD 1可能是等腰三角形； ②当x =0，y =1时，三棱锥P −BDD 1的体积恒为43； ③当z =1，且x +y =1时，△BPD 1的面积的最小值为√2； ④当z =1，且x +y =12时，∠BPD 1可能为直角． 其中所有正确结论的序号是______.16. 已知△OAB 的三个顶点分别是0(0,0)，A(2,0)，B(4,2).(Ⅰ)求△OAB 的外接圆C 的方程；(Ⅰ)求直线l ：4x +3y −8=0被圆C 截得的弦的长．17. 如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1=2AB=2BC=2，M是棱CC1上任意一点．(Ⅰ)求证：AM⊥BD；(Ⅰ)若M是棱CC1的中点，求异面直线AM与BC所成角的余弦值．18. 某公司为了了解A，B两个地区用户对其产品的满意程度，从A地区随机抽取400名用户，从B地区随机抽取100名用户，通过问卷的形式对公司产品评分．该公司将收集的数据按照[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]分组，绘制成评分分布表如下：分组A地区B地区[20,40)4030[40,60)12020[60,80)16040[80,100]8010合计400100(Ⅰ)采取按组分层随机抽样的方法，从A地区抽取的400名用户中抽取10名用户参加座谈活动．求参加座谈的用户中，对公司产品的评分不低于60分的用户有多少名？(Ⅰ)从(Ⅰ)中参加座谈的且评分不低于60分的用户中随机选取2名用户，求这2名用户的评分恰有1名低于80分的概率；(Ⅰ)若A地区用户对该公司产品的评分的平均值为μ1，B地区用户对该公司产品的评分的平均值为μ2，两个地区的所有用户对该公司产品的评分的平均值为μ0，试比较μ0和μ1+μ22的大小，并说明理由．19. 已知抛物线C：y2=2px(p>0)过点A(1,2).(Ⅰ)求抛物线C的方程及其焦点坐标；(Ⅰ)过点A的直线l与抛物线C的另一个交点为B，若△OAB的面积为2，其中O为坐标原点，求点B的坐标．20. 如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB//CD，∠ADC=90∘，且AD=CD= PD=2AB.(Ⅰ)求证：AB⊥平面PAD；(Ⅰ)求平面PAD与平面PBC夹角的余弦值；(Ⅰ)在棱PB上是否存在点G(G与P，B不重合)，使得DG与平面PBC所成角的正弦值为23若存在，求PGPB的值，若不存在，说明理由．21. 已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点A(2,0)，B(0,1)两点．(Ⅰ)求椭圆E的方程；(Ⅰ)过点P的直线l与椭圆E交于C，D两点．(i)若点P坐标为(2,1)，直线BC，BD分别与x轴交于M，N两点．求证：|AM|=|AN|；(ii)若点P坐标为(2,√33)，直线g的方程为√3x−6y−2√3=0，椭圆E上存在定点Q，使直线QC，QD分别与直线g交于M，N两点，且|AM|=|AN|.请直接写出点Q的坐标，结论不需证明．答案和解析1.【答案】A【解析】解：由已知可得直线AB 的斜率为k =2−00−1=−2， 则k =−2， 故选：A.求出直线的斜率，由此即可求解．本题考查了直线的斜率以及方向向量的应用，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：圆C ：(x −2)2+(y −2)2=4的圆心坐标为(2,2)， 半径为：2. 故选：B.利用圆的定义和性质直接求解．本题考查圆的定义和性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】A【解析】解：设数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x −， 则数据x 1+2，x 2+2，⋯，x n +2的平均数为x −+2，数据x 1，x 2，…，x n 的方差为S 2=1n [(x 1−x −)2+(x 2−x −)2+...+(x n −x −)2]=0.1，又数据x 1+2，x 2+2，⋯，x n +2的方差为1n [(x 1+2−x −−2)2+(x 2+2−x −−2)2+...+(x n +2−x −−2)2]=1n [(x 1−x −)2+(x 2−x −)2+...+(x n −x −)2]=0.1. 故选：A.设数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x −，即可求出该数据的方差关系式，然后再求出数据x 1+2，x 2+2，⋯，x n +2的平均数以及方差关系式，化简即可求解．本题考查了数据的方差的求解，考查了学生的运算能力，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：根据题意，若a ⃗ =(2,2m −3,2)，b ⃗ =(4,2,3n −2)，且a ⃗ //b ⃗ ， 设b ⃗ =k a ⃗ ，则有{4=2k 2=k(2m −3)3n −2=2k ，解可得m =2、n =2，则m +n =4；故选：D.根据题意，设b ⃗ =k a ⃗ ，则有{4=2k2=k(2m −3)3n −2=2k ，解可得m 、n 的值，计算可得答案．本题考查空间向量的平行，涉及向量的坐标计算，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：将10个数据按照从小到大的顺序排列为： 46，48，51，53，53，56，56，56，58，71， ∵10×30%=3，∴所给数据的第30百分位数为第3个数据与第4个数据的平均数，等于51+532=52.故选：C.将数据按照从小到大的顺序排列，然后由百分位数的定义求解即可．本题考查了百分位数的求解，解题的关键是掌握百分位数的定义，考查了运算能力，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：由频率分布直方图可知样本中产品净重小于14克的频率为(0.025+0.05)×4=0.30， 设样本总体个数为n ，则36n =0.3，解得n =120，又样本中净重大于或等于10克并且小于22克的频率为(0.05+0.075+0.0625)×4=0.75， 所以样本中净重大于或等于10克并且小于22克的产品个数为120×0.75=90， 故选：A.根据频率分布直方图求出样本中产品净重小于14克的频率，然后设样本总体个数为n ，则即可建立方程求出n 的值，进而可以求解．本题考查了频率分布直方图的应用，考查了学生的识图能力，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：由题意可知要使产品不合格，需第一道工序不合格或者第一道工序合格且第二道工序不合格， 则“产品不合格”可以表示为A −∪AB −， 故选：D.根据和事件以及积事件的性质即可求解． 本题考查了事件的关系与运算，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：圆M ：x 2+y 2=1的圆心M(0,0)，半径r 1=1，圆N:(x −2√2)2+(y −2√2)2=m 2(m >0)的圆心N(2√2,2√2)，半径r 2=m ， 若圆M 与圆N 存在公共点，则|m −1|≤|MN|≤m +1， 即{ |m −1|≤√(2√2)2+(2√2)2m +1≥√(2√2)2+(2√2)2，解得3≤m ≤5.结合选项可得，m 的值不可能为4√2. 故选：D.由两圆的方程可得圆心坐标与半径，再由圆心距与半径的关系列式求得m 的范围，结合选项得答案．本题考查圆与圆位置关系的判定及应用，考查运算求解能力，是基础题．9.【答案】C【解析】解：如图所示，设a 2+b 2=c 2，c >0，联立{x 2+y 2=c 2x 2a2−y 2b2=1，解得x =a √b 2+c 2c，∵△OAB 为正三角形， ∴a √b 2+c 2c=c ⋅cos π6，a 2+b 2=c 2，化为3e 4−8e 2+4=0，e >1， 解得e 2=2，即e =√2， 故选：C.如图所示，设a 2+b 2=c 2，c >0，联立{x 2+y 2=c 2x 2a 2−y 2b2=1，解得x ，根据△OAB 为正三角形，利用边角关系可得关于a ，b ，c 的方程，进而得出离心率．本题考查了双曲线的标准方程及其性质、圆的方程、等边三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：对于①，把(0,0)代入√(x +3)2+y 2⋅√(x −3)2+y 2=13不成立，得(0,0)不是曲线C 上的点，故①错误；对于②，以−x 替换x ，以−y 替换y ，方程√(x +3)2+y 2⋅√(x −3)2+y 2=13不变，可知曲线C 是中心对称图形，故②正确；对于③，在方程√(x +3)2+y 2⋅√(x −3)2+y 2=13中，取x =0，可得9+y 2=13，即y =±2，∴△PAB面积的最大值为S=12×6×2=6，故③正确．∴正确结论的个数为2.故选：C.把原点的坐标代入切线方程判断①；由中心对称的概念判断②；取x=0求得y的最值，再由三角形面积公式求面积判断③．本题考查切线方程，考查推理论证能力与运算求解能力，是基础题．11.【答案】y=±x【解析】解：把双曲线x2−y2=4转化为标准方程：x 24−y24=1，∴双曲线x2−y2=4的渐近线方程为x2 4−y24=0，整理，得y=±x.故答案为：y=±x.把双曲线x2−y2=4转化为标准方程：x 24−y24=1，得到双曲线x2−y2=4的渐近线方程为x24−y24=0，由此能求出结果．本题考查双曲线的渐近线方程的求法，是基础题．解题时要认真审题，注意把双曲线方程转化为标准方程．12.【答案】0.75【解析】解：密码被破译的概率为1−(1−0.5)(1−0.5)=0.75.故答案为：0.75.求得密码没有被破译的概率，用1减去没有被破译的概率，即为密码被破译的概率．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的灵活运用．13.【答案】x=2或4x−3y+1=0【解析】解：根据题意，A(2,3)在圆(x−1)2+y2=1外，∴过点A(2,3)与圆(x−1)2+(y−2)2=1相切的直线有两条．当斜率存在时，设切线的斜率为k，则切线方程为y−3=k(x−2)，即kx−y+3−2k=0，∴√k+1=1，∴k=43，∴切线方程为4x−3y+1=0，当斜率不存在时，切线方程为x=2.综上，所求的切线方程为x =2或4x −3y +1=0. 故答案为；x =2或4x −3y +1=0.根据题意，A(2,3)在圆(x −1)2+y 2=1外，过点A(2,3)与圆(x −1)2+y 2=1相切的直线有两条，考虑斜率存在和斜率不存在，分情况讨论即可．本题考查直线与圆的位置关系，当直线与圆相切时，圆心到切线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键，属于基础题．14.【答案】5【解析】解：根据题意，点P(3,−4,5)，则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,−4,5)， 平面α的一个法向量是n ⃗ =(0,0,−1)， 则点P(3,−4,5)到平面α的距离d =|OP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ||n⃗ |=|−5|1=5，故答案为：5.根据题意，求出向量OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，由点到平面的距离公式计算可得答案． 本题考查空间向量的应用，涉及点到平面的距离计算，属于基础题．15.【答案】①②③【解析】解：对于①：当x =0，z =1时，点P 是线段B 1C 1上的动点，显然当P 是线段B 1C 1的中点时，BP =D 1P ，故①正确；对于②：当x =0，y =1时，点P 是线段CC 1上的动点，∵BB 1//CC 1，又BB 1⊂平面BDD 1，∴CC 1//平面BDD 1，∴P 到平面BDD 1的距离为定值12AC =√2，∴三棱锥P −BDD 1的体积V =13×12×2×2√2×√2=43，故②正确；对于③：当z =1，且x +y =1时，点P 在线段A 1C 1上的动点， 显然P 为A 1C 1与B 1D 1的交点时，△BPD 1的面积的最小，最小值为S △BB 1P −S △BB 1P =12×2×2√2−12×2×√2=√2，故③正确；对于④：当z =1，且x +y =12时，M ，N 为A 1B 1，B 1C 1的中点，点P 为直线MN 上的动点， 以B 为原点，BA ，BC ，BB 1为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则P(x,y,1)，B(0,0,0)，D 1(1,1,1)， ∴BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y,1)，D 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −1,y −1,0)，∴BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅D 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y,1)⋅(x −1,y −1,0)=x 2−x +y 2−y =x 2−x +y 2−y =(x +y)2−2xy −(x +y)=14−12−2xy =−14−2xy <0， 故∠BPD 1不可能为直角，故④错误． 故答案为：①②③．利用空间几何的性质，逐项判断即可．本题考查空间几何体的体积问题，考查三角形形状的判断，考查空间角问题，属中档题．16.【答案】解：(Ⅰ)设△OAB 的外接圆C 的一般方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，D 2+E 2−4F >0，把0(0,0)，A(2,0)，B(4,2)代入可得{F =022+2D +F =042+22+4D +2E +F =0，解得D =−2，E =−6，F =0，∴△OAB 的外接圆C 的一般方程为x 2+y 2−2x −6y =0. (Ⅰ)由(I)可得：(x −1)2+(y −3)2=10， 圆心C(1,3)，半径r =√10，圆心C 到直线l 的距离d =|4+9−8|√42+32=1，∴直线l ：4x +3y −8=0被圆C 截得的弦的长=2×√10−1=6.【解析】(Ⅰ)设△OAB 的外接圆C 的一般方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，D 2+E 2−4F >0，把0(0,0)，A(2,0)，B(4,2)代入可得关于D ，E ，F 方程组，解得D ，E ，F ，即可得出△OAB 的外接圆C 的一般方程．(Ⅰ)由(I)可得：(x −1)2+(y −3)2=10，可得圆心C(1,3)，半径r =√10，利用点到直线的距离公式可得圆心C 到直线l 的距离d ，即可得出直线l ：4x +3y −8=0被圆C 截得的弦的长=2√r 2−d 2.本题考查了圆的方程、直线与圆相交弦长问题、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)证明：在正四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AA 1=2AB =2BC =2，M 是棱CC 1上任意一点，∴AC ⊥BD ，AA 1⊥平面ABCD ，∵BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥AA 1，∵AC ∩AA 1=A ，∴BD ⊥平面ACC 1A 1，∵AM ⊂平面ACC 1A 1，∴AM ⊥BD ；(Ⅰ)以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，∵M 是棱CC 1的中点，∴A(0,0,0)，M(1,1,1)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,1)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0)，设异面直线AM 与BC 所成角为θ，则异面直线AM 与BC 所成角的余弦值为：cosθ=|AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3=√33.【解析】(Ⅰ)AC ⊥BD ，AA 1⊥平面ABCD ，从而BD ⊥AA 1，进而BD ⊥平面ACC 1A 1，由此能证明AM ⊥BD ；(Ⅰ)以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AM 与BC 所成角的余弦值．本题考查线面垂直、线线垂直的判定与性质、异面直线所成角的定义及其余弦值的求法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)设从A 地区抽取的用户中抽取的10名用户参加座谈的用户中，对公司产品的评分不低于60分的用户有m 名，则m 10=240400，解得m =6；(Ⅰ)将从(Ⅰ)中参加座谈的且评分不低于60分的6名用户中，评分为[60,80)的4名编号为1，2，3，4，评分为[80,100)的两名用户编号为a ，b ，则从6人中随机选取2名用户的样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,a),(1,b),(2,3),(2,4),(2,a),(2,b),(3,4),(3,a),(3,b),(4,a),(4,b),(a,b)}， 设M =“这两名用户的评分恰有一名低于80分“，则M ={(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b),(4,a),(4,b)}，则P(M)=n(M)n(Ω)=815；(Ⅰ)无法判断μ0和μ1+μ22的大小， 理由：因为样本的抽样具有随机性，样本不一定能完全代表总体，所以无法比较．【解析】(Ⅰ)按照分层抽样的规律，即抽样比相等，列出方程求解；(Ⅰ)利用列举法表示出所有的样本点，再求出要求事件包含的样本点的个数，套用公式求出结论； (Ⅰ)根据抽样具有随机性的特点，可得总体的μ0和μ1+μ22的大小关系无法确定．本题考查分层抽样的性质，古典概型的概率计算公式，属于中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)把点A(1,2)代入抛物线C ：y 2=2px(p >0)方程，则4=2p ，解得p =2.∴抛物线C 的方程为y 2=4x ，焦点坐标为(1,0).(Ⅰ)设过点A 的直线l 方程为m(y −2)=x −1，B(x 0,y 0)，直线l 与x 轴相交于M(1−2m,0)，联立{m(y −2)=x −1y 2=4x，化为y 2−4my +8m −4=0， 则2+y 0=4m ，可得2m =2+y02，则△OAB 的面积2=12|1−2m|⋅|2−y 0|，∴|1−2+y 02|⋅|2−y 0|=4，化为：y 02−2y 0±8=0，y 02−2y 0+8=0，Δ=4−32=−28<0，无解，舍去．y 02−2y 0−8=0，解得y 0=−2，4，由y 0=−2，可得4=4x 0，解得x 0=1，∴B(1,−2)；由y 0=4，可得16=4x 0，解得x 0=4，∴B(4,4).综上可得：点B 的坐标为(1,−2)，(4,4).【解析】(Ⅰ)把点A(1,2)代入抛物线C ：y 2=2px(p >0)方程，解得p ，进而得出抛物线C 的方程及其焦点坐标．(Ⅰ)设过点A 的直线l 方程为m(y −2)=x −1，B(x 0,y 0)，直线l 与x 轴相交于M(1−2m,0)，把直线l 的方程代入抛物线方程化为y 2−4my +8m −4=0，利用根与系数的关系可得m 与y 0的关系，代入△OAB 的面积2=12|1−2m|⋅|2−y 0|，解得y 0，可得点B 的坐标．本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)证明：∵AB//CD ，∠ADC =90∘，∴AB ⊥AD ，∵PD ⊥平面ABCD.AB ⊂面ABCD ，∴PD ⊥AB ，∵PD ⊂面PAD ，AD ⊂面PAD ，AD ∩PD =D ，∴AB ⊥平面PAD ；(Ⅰ)以点D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设AD =CD =PD =2AB =2，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，P(0,0,2)，B(2,1,0)，C(0,2,0)，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1−2)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1,0)，由AB ⊥平面PAD ，可得平面PAD 的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0)，设平面PBC 的一个法向量为n ⃗ =(x,y,z)，则{n ⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{2x +y −2c =0−2x +y =0，则可取n ⃗ =(1,2,2)， ∴cos <m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗ |=21×√1+4+4=23，∴平面PAD 与平面PBC 夹角的余弦值为23；(Ⅰ)设G(x,y,z)，设GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，(0<λ<1)，∴(2−x,1−y,−z)=λ(2,1,−2)，可得x =2−2λ，y =1−λ，z =2λ，∴G(2−2λ,1−λ.2λ)，∴DG⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−2λ,1−λ.2λ)， ∴cos <DG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=√1+4+4⋅√(2−2λ)+(1−λ)+4λ=23， 解得λ=19，∴PGPB =1−λ=89. 【解析】(Ⅰ)证明PD ⊥AB ，说明AD ⊥CD ，AD ⊥AB.即可证明AB ⊥平面PAD ；(Ⅰ)以D 为原点，分别以DA ，DC ，DP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D −xyz.求出平面PBC 的法向量，平面PAD 的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的余弦值即可；(Ⅰ)设G(x,y,z)，设GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，根据DG 与平面PBC 所成角的正弦值为23，即可求出λ的值，可得答案．本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，逻辑推理能力以及计算能力，属于中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)由题意得a =2，b =1，所以椭圆E 的方程为x 24+y 2=1；证明：(Ⅰ)(i)设过点P(2,1)的直线l 的方程为y −1=k(x −2)，设C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)，不妨令−2≤x 1<x 2<2，由{y −1=k(x −2)x 2+4y 2−4=0， 整理得(1+4k 2)x 2+(8k −16k 2)x +16k 2−16k =0，所以Δ=(8k −16k 2)2−4(1+4k 2)(16k 2−16k)>0，解得k >0， 所以x 1+x 2=16k 2−8k1+4k 2,x 1x 2=16k 2−16k1+4k 2；①当x 1x 2≠0时，直线BC 的方程为y −1=y 1−1x 1x ，令y =0，解得x M =x 11−y 1， 直线BD 的方程为y −1=y 2−1x 2x ，令y =0，解得x N =x21−y 2， 所以x N +x M =x 21−y 2+x 11−y 1=x 21−[k(x 2−2)+1]+x 11−[k(x 1−2)+1]=x 2−k(x 2−2)+x 1−k(x 1−2)=−2x 1x 2−2(x 1+x 2)k(x 1x 2−2(x 1+x 2)+4) =−2×16k 2−16k 1+4k 2−2×(16k 2−8k 1+4k 2)k(16k 2−16k 1+4k 2−2×(16k 2−8k 1+4k 2)+4)=4，所以|AM|=|AN|；②当x 1x 2=0时，得C(0,−1),D(85,35)，此时直线BC 的方程为x =0，直线BD 的方程为y =−x 4+1，所以M(0,0)，N(4,0)，符合题意；综上，|AM|=|AN|；(ii)由题意可得Q(1,√32).【解析】(Ⅰ)由题意得a =2，b =1，即可求解椭圆E 的方程；(Ⅰ)(i)设过点P(2,1)的直线l 的方程为y −1=k(x −2)，设C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)，令−2≤x 1<x 2<2，由{y −1=k(x −2)x 2+4y 2−4=0，利用韦达定理得到x 1+x 2=16k 2−8k 1+4k 2,x 1x 2=16k 2−16k 1+4k 2，再分x 1x 2≠0和x 1x 2=0两种情况即可得证；(ii)根据题意直接写出Q 点坐标即可．本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
江苏省2024届高二上数学期末统考试题含解析
江苏省2024届高二上数学期末统考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，半焦距为c ，过点2F 作一条渐近线的垂线，垂足为P ，若12PF F △的面积为22c ，则该双曲线的离心率为（）A.3B.2D.2．如图，样本A 和B 分别取自两个不同的总体，它们的平均数分别为A x 和B x ，标准差分别为A S 和B S ，则（）A .A B A B x x S S >>B.,A B A Bx x S S <>C.A B A Bx x S S ><D.,A B A Bx x S S <<3．变量x ，y 满足约束条件10,1,1,x y y x -+⎧⎪⎨⎪-⎩则65z x y =+的最小值为()A.6- B.8-C.1- D.54．函数()210x y x x+=>的值域为（）A.[1,)+∞ B.(1,)+∞C.[2,)+∞ D.(2,)+∞5．已知等差数列{}n a 的公差0d <，若3721a a =，2810a a +=，则该数列的前n 项和n S 的最大值为（）A.30B.35C.40D.456．程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作.它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展起了重要的作用.卷八中第33问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个.问该若干？”如图是解决该问题的程序框图.执行该程序框图，求得该垛果子的总数S 为（）A.120B.84C.56D.287．设x ∈R ，则x <3是0<x <3的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件8．某一电子集成块有三个元件a ，b ，c 并联构成，三个元件是否有故障相互独立．已知至少1个元件正常工作，该集成块就能正常运行．若每个元件能正常工作的概率均为45，则在该集成块能够正常工作的情况下，有且仅有一个元件出现故障的概率为（）A.1231 B.48125C.1625 D.161259．已知O 为坐标原点，(1,2,2),(2,1,4),(1,1,4)OA OB OC =-=-= ，点P 是OC 上一点，则当PA PB ⋅ 取得最小值时，点P 的坐标为（）A.114,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.11,,222⎛⎫ ⎪⎝⎭C.11,,144⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.()2,2,810．下列事件：①连续两次抛掷同一个骰子，两次都出现2点；②某人买彩票中奖；③从集合{1,2,3}中任取两个不同元素，它们的和大于2；④在标准大气压下，水加热到90℃时会沸腾.其中是随机事件的个数是（）A.1B.2C.3D.411．下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是A.1a b +＞ B.1a b -＞C.22a b ＞ D.33a b ＞12．2020年12月4日，嫦娥五号探测器在月球表面第一次动态展示国旗.1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点.有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近.为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，1OO ，2OO ，3OO ，4OO 分别是大星中心点与四颗小星中心点的联结线，16α≈o ，则第三颗小星的一条边AB 所在直线的倾斜角约为（）A.0B.1C.2D.3 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023-2024学年四川省绵阳市高二上学期期末教学质量测试数学检测试卷(有解析)
EF F 两点，求 S△PAB 的最大值.
1．A
【分析】求出给定直线的斜率即可得该直线的一个方向向量 a ，再求与 a 共线的向量即可.
【详解】直线
2x
3
y
1
0
的斜率为
k
2 3
，则直线
2x
3
y
1
0
的一个方向向量
a
1,
2 3
，
对于
A，因
3
2 3
1
2
0
，即向量
(3,
2)
与
1,
2 3
共线，A
是；
对于Biblioteka 2 3rrr abc
r b
r c
2
3
rrr abc
1
r b
1
r c
2
r a
3 3 3.
故选：A.
7．C
【分析】连接 QA 、 OA ，由题意可得 QA QP ，所以 QA QO QP QO OP r ， 根据双曲线的定义，即可得答案. 【详解】连接 QA 、 OA ，如图所示：
因为 l 为 PA 的垂直平分线，所以 QA QP ，
(1)求 a 的值； (2)估计家庭消费总支出的平均值及第 80 百分位数.（结果保留一位小数）
18．已知直线 l ： kx y 2k 1 0 （ k R ），圆 C ： x 12 y 12 9 . (1)试判断直线 l 与圆 C 的位置关系，并加以证明； (2)若直线 l 与圆 C 相交于 A ， B 两点，求 AB 的最小值及此时直线 l 的方程.
.
-3-
15．已知 F1 、 F2 是双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
2023-2024学年北京市房山区高二上学期期末考试数学试卷+答案解析
2023-2024学年北京市房山区高二上学期期末考试数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则z的共轭复数()A. B. C. D.2.在三棱柱中，D为棱的中点．设，用基底表示向量，则()A. B. C. D.3.两条直线与之间的距离是()A.5B.1C.D.4.设直线l的方向向量为，两个不同的平面的法向量分别为，则下列说法中错误的是()A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则5.如图，四棱锥中，底面ABCD是矩形，，平面ABCD，下列叙述中错误的是()A.平面PCDB.C. D.平面平面ABCD6.已知M为抛物线上一点，M到C的焦点F的距离为6，到x轴的距离为4，则()A.6B.4C.2D.17.下列双曲线中以为渐近线的是()A. B. C.D.8.已知点，若直线上存在点P ，使得，则实数k 的取值范围是()A. B.C.D.9.已知双曲线Q 与椭圆有公共焦点，且左、右焦点分别为，，这两条曲线在第一象限的交点为P ，是以为底边的等腰三角形，则双曲线Q 的标准方程为()A.B.C.D.10.如图，在棱长为2的正方体中，P 为线段的中点，Q 为线段上的动点，则下列结论正确的是()A.存在点Q ，使得B.存在点Q ，使得平面C.三棱锥的体积是定值D.存在点Q ，使得PQ 与AD 所成的角为二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
11.若直线与直线垂直，则a 的值为__________.12.复数的实部为__________.13.已知圆则圆的圆心坐标为__________；若圆与圆内切，则__________.14.如图，在正方体中，直线与直线所成角的大小为__________；平面ABCD 与平面夹角的余弦值为__________.15.已知直线，则与的交点坐标为__________；若直线不能围成三角形，写出一个符合要求的实数a的值__________.16.已知曲线，给出下列四个命题：①曲线关于x轴、y轴和原点对称；②当时，曲线共有四个交点；②当时，③当时，曲线围成的区域内含边界两点之间的距离的最大值是3；④当时，曲线围成的区域面积大于曲线围成的区域面积．其中所有真命题的序号是__________.三、解答题：本题共5小题，共60分。
2023-2024学年北京市海淀区高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．椭圆y 22+x 2=1的焦点坐标为（ ） A ．（﹣1，0），（1，0）B ．（0，﹣1），（0，1）C ．（−√3，0），（√3，0）D ．(0，−√3)，(0，√3) 2．抛物线y 2＝x 的准线方程是（ ）A ．x =−12B ．x =−14C ．y =−12D ．y =−143．直线3x +√3y +1=0的倾斜角为（ ）A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°4．已知点P 与A （0，2），B （﹣1，0）共线，则点P 的坐标可以为（ ）A ．（1，﹣1）B ．（1，4）C ．(−12，−1)D ．（﹣2，1） 5．已知P 为椭圆C ：x 24+y 2b 2=1上的动点，A （﹣1，0），B （1，0），且|P A |+|PB |＝4，则b 2＝（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．46．已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面ABB 1A 1⊥底面ABC ，则“CB ⊥BB 1”是“CB ⊥AB “的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．在空间直角坐标系O ﹣xyz 中，点P （﹣2，3，1）到x 轴的距离为（ ）A ．2B ．3C ．√5D ．√10 8．已知双曲线C ：x 2−y 2b 2=1的左右顶点分别为A 1，A 2，右焦点为F ，以A 1F 为直径作圆，与双曲线C 的右支交于两点P ，Q ．若线段PF 的垂直平分线过A 2，则b 2的数值为（ ）A ．3B ．4C ．8D ．910．如图，已知菱形ABCD 的边长为2，且∠A ＝60°，E ，F 分别为棱AB ，DC 中点．将△BCF 和△ADE 分别沿BF ，DE 折叠，若满足AC ∥平面DEBF ，则线段AC 的取值范围为（ ）A ．[√3，2√3）B ．[√3，2√3]C ．[2，2√3)D ．[2，2√3]二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。
2023-2024学年北京市西城区高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．直线3x﹣4y+1＝0不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．抛物线x2＝6y的焦点到准线的距离为（）A．12B．1C．2D．33．在空间直角坐标系O﹣xyz中，点A（4，﹣2，8）到平面xOz的距离与其到平面yOz的距离的比值等于（）A．14B．12C．2D．44．在(2x+1x)3的展开式中，x的系数为（）A．3B．6C．9D．12 5．正四面体ABCD中，AB与平面BCD所成角的正弦值为（）A．√63B．√36C．√24D．√336．已知直线a，b和平面α，其中a⊄α，b⊂α，则“a∥b”是“a∥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．设A，B为双曲线E：x 2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右顶点，M为双曲线E上一点，且△AMB为等腰三角形，顶角为120°，则双曲线E的一条渐近线方程是（）A．y＝x B．y＝2x C．y=√2x D．y=√3x8．在正方体的8个顶点中任选3个，则这3个顶点恰好不在同一个表面正方形中的选法有（）A．12种B．24种C．32种D．36种9．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝CC1＝4，E为棱B1C1的中点，P为四边形BCC1B1内（含边界）的一个动点．且DP⊥BE，则动点P的轨迹长度为（）A．5B．2√5C．4√2D．√1310．在直角坐标系xOy 内，圆C ：（x ﹣2）2+（y ﹣2）2＝1，若直线l ：x +y +m ＝0绕原点O 顺时针旋转90°后与圆C 存在公共点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[−√2，√2]B ．[−4−√2，−4+√2]C ．[−2−√2，−2+√2]D ．[−2+√2，2+√2]二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11．过点A （2，﹣3）且与直线x +y +3＝0平行的直线方程为 ． 12．在（2x +1）4的展开式中，所有项的系数和等于 ．（用数字作答）13．两个顶点朝下竖直放置的圆锥形容器盛有体积相同的同种液体（示意图如图所示），液体表面圆的半径分别为3，6，则窄口容器与宽口容器的液体高度的比值等于 ．14．若方程x 2m+2+y 24−m =1表示的曲线为双曲线，则实数m 的取值范围是 ；若此方程表示的曲线为椭圆，则实数m 的取值范围是 ．15．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，E 为棱BB 1的中点，F 为棱CC 1（含端点）上的一个动点．给出下列四个结论：①存在符合条件的点F ，使得B 1F ∥平面A 1ED ； ②不存在符合条件的点F ，使得BF ⊥DE ； ③异面直线A 1D 与EC 1所成角的余弦值为√55； ④三棱锥F ﹣A 1DE 的体积的取值范围是[23，2]．其中所有正确结论的序号是 ．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16．（10分）从6男4女共10名志愿者中，选出3人参加社会实践活动．（1）共有多少种不同的选择方法？（2）若要求选出的3名志愿者中有2男1女，且他们分别从事经济、文化和民生方面的问卷调查工作，求共有多少种不同的选派方法？17．（15分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BA⊥BC，BC＝3，AB＝AA1＝4．（1）证明：直线AB1⊥平面A1BC；（2）求二面角B﹣CA1﹣A的余弦值．18．（15分）已知⊙C经过点A（1，3）和B（5，1），且圆心C在直线x﹣y+1＝0上．（1）求⊙C的方程；（2）设动直线l与⊙C相切于点M，点N（8，0）．若点P在直线l上，且|PM|＝|PN|，求动点P的轨迹方程．19．（15分）已知椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的一个焦点为(√5，0)，四个顶点构成的四边形面积等于12．设圆（x﹣1）2+y2＝25的圆心为M，P为此圆上一点．（1）求椭圆C的离心率；（2）记线段MP与椭圆C的交点为Q，求|PQ|的取值范围．20．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面P AB，AB∥DC，E为棱PB的中点，平面DCE与棱P A相交于点F，且P A＝AB＝AD＝2CD＝2，再从下列两个条件中选择一个作为已知．条件①：PB＝BD；条件②：P A⊥BC．（1）求证：AB∥EF；（2）求点P到平面DCEF的距离；（3）已知点M在棱PC上，直线BM与平面DCEF所成角的正弦值为23，求PMPC的值．21．（15分）设椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a＞b＞0)左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与椭圆C相交于A，B两点．已知椭圆C的离心率为12，△ABF2的周长为8．（1）求椭圆C的方程；（2）判断x轴上是否存在一点M，对于任一条与两坐标轴都不垂直的弦AB，使得MF1为△AMB的一条内角平分线？若存在，求点M的坐标；若不存在，说明理由．2023-2024学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
2023-2024学年广西桂林市高二(上)期末数学试卷(含答案)
2023-2024学年广西桂林市高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间直角坐标系O−xyz 中，点(1,1,2)到坐标原点O 的距离为( )A.2B.3C.6D.112.一个科技小组中有4名女同学、5名男同学，现从中任选1名同学参加学科竞赛，则不同的选派方法数为( )A. 4 B. 5C. 9D. 203.椭圆x 29+y 24=1的长轴长是( )A. 2B. 3C. 4D. 64.已知在10件产品中有2件次品，现从这10件产品中任取3件，用X 表示取得次品的件数，则P(X =1)=( )A. C 12C 310B. C 12C 28C 310C. C 23C 18C 310D. C 12C 13C 3105.圆C 1：x 2+y 2=1与圆C 2：(x−3)2+y 2=9的位置关系是( )A. 外切B. 内含C. 相交D. 外离6.已知m =(1,2,4)，n =(2,1,x)分别为直线a ，b 的一个方向向量，且a ⊥b ，则x =( )A. 1B. −1C. 2D. −27.设小明乘汽车、火车前往某目的地的概率分别为0.6，0.4.汽车和火车正点到达目的地的概率分别为0.7，0.9，则小明正点到达目的地的概率为( )A. 0.78B. 0.82C. 0.87D. 0.498.已知点P(3,4)，A ，B 是圆C ：x 2+y 2=4上的两个动点，且满足|AB|=2，M 为线段AB 的中点，则|PM|的最大值为( )A. 5−3B. 5+3C. 3D. 7二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某服装公司对1−5月份的服装销量进行了统计，结果如下： 月份编号x12345销量y(万件)5096142185227若y 与x 线性相关，其线性回归方程为y =bx +7.1，则下列说法正确的是( )A. 线性回归方程必过(3,140)B. b=44.3C. 相关系数r<0D. 6月份的服装销量一定为272.9万件10.某市对历年来新生儿体重情况进行统计，发现新生儿体重X～N(3.5,0.25)，则下列结论正确的是( )A. 该正态分布的均值为3.5B. P(X>3.5)=12C. P(4<X≤4.5)≥12D. P(X>4.5)=P(X≤3)11.已知双曲线M：x24−y29=1，则下列说法正确的是( )A. M的离心率e=132B. M的渐近线方程为3x±2y=0C. M的焦距为6D. M的焦点到渐近线的距离为312.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为DD1，BB1的中点，则下列选项正确的是( )A. 直线FC1与直线AE平行B. 直线FC1与底面ABCD所成的角为30°C. 直线FC1与直线AE的距离为2305D. 直线FC1到平面AB1E的距离为23三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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高二上期末数学试卷(及答案) 高二上期末数学试卷(及答案)一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1.直线x-y+a=0（a∈R，a为常数）的倾斜角是45度。
2.命题“∃x∈R，ex=x-1”的否定是“对任意x∈R，都有ex≠x-1”。
3.过点A（-1，1）且与直线x+3y+4=0平行的直线l的方程为x+3y-2=0.4.已知一个物体的运动方程是s=1-t+t^2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么该物体在4秒末的瞬时速度是6米/秒。
5.“x＞0”是“x≠0”的充分不必要条件。
6.过点（2，0）、（0，-2）的椭圆的标准方程为(x/2)^2+(y/-1)^2=1.7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1C与BD所成的角为45度。
8.直线3x+4y=b与圆x^2+y^2-2x-2y+1=0相交，则b的取值范围为-5≤b≤5.9.若正四棱锥的底面边长为2cm，体积为4cm^3，则它的侧面积为4√3cm^2.10.下列命题，其中正确的是④：若∠ABC和∠A1B1C1的边AB∥A1B1，AC∥A1C1，则∠ABC=∠A1B1C1.11.椭圆(x/2)^2+y^2=1的左焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴正半轴上，那么以线段F1P为直径的圆的标准方程为(x-1)^2+(y-2)^2=5.12.已知双曲线的中心是原点，焦点到渐近线的距离为2，一条准线方程为y=-3，则其渐近线方程为y=±(2/3)x。
13.定义在R上的函数f（x）满足f′（x）＞1，且f（1）=2，在不等式f（x）＞x+1的解集为(1.+∞)。
14.已知动点A、B分别在图中抛物线y^2=4x及椭圆(x/3)^2+y^2=1上运动，若AB∥x，点N的坐标为（1，0），则三角形ABN的周长l的取值范围是4+2√13≤l≤4+2√10.二、解答题：本大题共7小题，共90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
15.已知圆C：（x-1）^2+y^2=9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B两点。
1) 当l经过圆心C时，求直线l的方程；解：圆心C为(1,0)，直线l过点P(2,2)，因为CP垂直于l，所以l的斜率为-1/2，过点P的直线方程为y-2=(-1/2)(x-2)，化简得l的方程为x+2y-6=0.2) 当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程；解：设弦AB的中点为M，则PM垂直于AB且经过圆心C，所以PM的斜率为2/3，又因为PM平分AB，所以AM=MB，设AM=MB=t，则AP=2-t，PB=2+t，根据圆的方程可得(2-t-1)^2+2^2=9，解得t=2/3，所以AM=MB=2/3，AB的斜率为-3/4，过点P的直线方程为y-2=(-3/4)(x-2)，化简得l的方程为3x+4y-14=0.3) 当直线l的倾斜角为45°时，求弦AB的长。
解：设弦AB的中点为M，则PM垂直于AB且经过圆心C，所以PM的斜率为1，又因为l的倾斜角为45°，所以l的斜率为1，设AB的斜率为k，则k=1，又因为AB经过点P(2,2)，所以AB的方程为y=x，将其代入圆的方程可得(x-1)^2+x^2=9，解得x=2±√2，所以AB的长为2√2.分析】题目考查命题的否定，需要掌握命题的否定规律，以及指数函数的性质．解答】解：命题“∃x∈R，ex=x﹣1”可以表示为：存在一个实数x，使得ex=x﹣1成立．该命题的否定为：对于任意实数x，都有ex≠x﹣1不成立，即存在实数x，使得ex=x﹣1成立．因为ex>0，所以当x=0时，ex=1>x﹣1，因此命题“∃x∈R，ex=x﹣1”成立．点评】本题考查了命题的否定，需要掌握命题的否定规律，同时需要对指数函数的性质有一定的了解．3．已知函数f（x）=x3﹣3x2﹣x＋3，则f（1）的值为2．分析】题目考查函数的计算，需要掌握函数的定义及运算法则．解答】解：将x=1代入函数f（x）=x3﹣3x2﹣x＋3中，可得f（1）=1﹣3﹢3＋3=2．因此，f（1）的值为2．点评】本题考查函数的计算，需要掌握函数的定义及运算法则．4．已知点A（1，2），B（4，7），则向量AB的模长为．分析】题目考查向量的计算，需要掌握向量的定义及运算法则．解答】解：向量AB的坐标表示为（3，5），则向量AB的模长为|AB|=√32+52=√34．点评】本题考查向量的计算，需要掌握向量的定义及运算法则．5．已知函数f（x）=x2﹣2x+1，则f（x）的最小值为．分析】题目考查函数的最值，需要掌握函数的求导及最值的判断方法．解答】解：将f（x）=x2﹣2x+1表示为f（x）=（x﹣1）2，由于平方数非负，因此f（x）的最小值为0，当且仅当x=1时取到．点评】本题考查函数的最值，需要掌握函数的求导及最值的判断方法．6．已知函数f（x）=x3﹣3x，则f（x）的单调递增区间为．分析】题目考查函数的单调性，需要掌握函数单调性的判断方法．解答】解：对函数f（x）求导，可得f'（x）=3x2﹣3，令f'（x）=0，解得x=±1，因此f（x）的单调递增区间为（，1）和（1，+∞）．点评】本题考查函数的单调性，需要掌握函数单调性的判断方法，同时需要掌握求导的知识．7．已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1与圆C2：（x﹣4）2+（y﹣1）2=1的交点为A、B两点，则线段AB的长度为．分析】题目考查圆的交点及线段长度的计算，需要掌握圆的性质及线段长度的计算方法．解答】解：联立圆C1和圆C2的方程，可得x2﹣6x+y2﹣8y+15=0，化为标准形式为（x﹣3）2+（y﹣4）2=2，因此圆C1和圆C2的交点为A（2，3）和B（4，1）．因此，线段AB的长度为√（4﹣2）2+（1﹣3）2=2√2．点评】本题考查圆的交点及线段长度的计算，需要掌握圆的性质及线段长度的计算方法．8．已知函数f（x）=x2﹣2x，则f（x）在[0，2]上的最大值为．分析】题目考查函数的最值，需要掌握函数的求导及最值的判断方法．解答】解：对函数f（x）求导，可得f'（x）=2x﹣2，令f'（x）=0，解得x=1，因此f（x）在x=1处取得极小值，此时f（1）=﹣1．因此，f（x）在[0，2]上的最大值为f（0）=0．点评】本题考查函数的最值，需要掌握函数的求导及最值的判断方法．9．已知向量a=3i﹣2j﹢k，向量b=2i﹣3j﹣k，则向量a﹣b的模长为．分析】题目考查向量的计算，需要掌握向量的定义及运算法则．解答】解：向量a﹣b=（3﹣2）i﹣（﹣2﹣（﹣3））j﹢（1﹣（﹣1））k=5i﹢1j﹢2k，因此向量a﹣b的模长为|a﹣b|=√52+12+22=√30．点评】本题考查向量的计算，需要掌握向量的定义及运算法则．10．已知函数f（x）=x2﹣2x，则f（x）的图象关于直线y=x的对称图象为函数g（x）的图象，且g（x）在x=1处取得最小值，则g（x）的解析式为．分析】题目考查函数的对称性，需要掌握函数的对称性及函数的计算方法．解答】解：由题意可知，f（x）的图象关于直线y=x的对称图象为函数g（x）的图象，因此g（x）=f﹣1（x）=（x﹢1）2﹣2，即g（x）=x2﹢2x﹣1．因为g（x）在x=1处取得最小值，因此g'（1）=0，解得a=1，因此g（x）的解析式为g（x）=x2﹢2x﹣1．点评】本题考查函数的对称性，需要掌握函数的对称性及函数的计算方法．11．已知点A（2，﹣1），B（4，3），C（﹣1，2），则三角形ABC的面积为．分析】题目考查三角形的面积计算，需要掌握三角形面积计算的方法．解答】解：由向量AB和向量AC可以求得向量AB×AC=（﹣11，10，14），因此三角形ABC的面积为S=|AB×AC|/2=√627/2．点评】本题考查三角形的面积计算，需要掌握三角形面积计算的方法．12．已知函数f（x）=x2﹣2x，则f（x）在[1，3]上的最小值为．分析】题目考查函数的最值，需要掌握函数的求导及最值的判断方法．解答】解：对函数f（x）求导，可得f'（x）=2x﹣2，令f'（x）=0，解得x=1，因此f（x）在x=1处取得极小值，此时f（1）=﹣1．因此，f（x）在[1，3]上的最小值为f（3）=2．点评】本题考查函数的最值，需要掌握函数的求导及最值的判断方法．13．已知函数f（x）=x3﹣3x，则f（x）在[0，2]上的最大值为．分析】题目考查函数的最值，需要掌握函数的求导及最值的判断方法．解答】解：对函数f（x）求导，可得f'（x）=3x2﹣3，令f'（x）=0，解得x=±1，因此f（x）在x=1处取得极小值，此时f（1）=﹣2．因此，f（x）在[0，2]上的最大值为f（0）=0．点评】本题考查函数的最值，需要掌握函数的求导及最值的判断方法．14．已知函数f（x）=x2﹣2x，则f（x）在[0，2]上的平均值为．分析】题目考查函数的平均值，需要掌握函数的平均值的计算方法．解答】解：f（x）在[0，2]上的积分为∫02（x2﹣2x）dx=（x3/3﹣x2）|02=4/3，因此f（x）在[0，2]上的平均值为4/3÷2=2/3．点评】本题考查函数的平均值，需要掌握函数的平均值的计算方法．二、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）15．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BAD=45°，AB=2，AD=ABCD，E是PC的中点，F是AB的中点．1）求证：BE∥平面PDF；2）求证：平面PDF⊥平面PAB．PA⊥平面A．∠BDE=∠EDF，∠PDF=90°B．∠BDE=∠EDF，∠PAB=90°C．∠BDE=∠PDF，BE∥PABD．∠EDF=∠PDF，BE∥PAB解析】1）因为E是PC的中点，所以BE∥PD；又因为∠BAD=45°，所以∠BPD=∠APD=45°；又因为F是AB的中点，所以DF⊥AB；因此，∠BDE=∠EDF；又因为BE∥PD，所以∠BDE=∠PDF；因此，BE∥平面PDF．2）因为ABCD是平行四边形，所以平面PAB和平面PCD平行；又因为PA⊥平面PCD，所以PA垂直于平面PAB；又因为∠BAD=45°，所以∠PAB=90°；又因为F是AB的中点，所以DF⊥AB；因此，∠EDF=∠PDF；又因为BE∥设侧棱长为s，则有h2= s2 - a2/4由正四棱锥的体积公式可得V=1/3 * a2 * h = 4代入h2的表达式，整理得s2= 4a2/3 + 16/3由正四棱锥的侧面积公式可得S= 1/2 * s * l其中l为侧棱斜高，由勾股定理可得l=√(h2 + s2/4)代入s2的表达式，整理得l=√(4a2/3 + 16/3 + (s2-a2/4))代入已知条件S=8，解方程可得s=2√3故答案为：8cm211.已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左焦点为 $F_1$，点 $P$ 在椭圆上，且线段 $PF_1$ 的中点 $M$ 在$y$ 轴正半轴上。